Matriz de Admitância e Cálculo de Redes

Joinville, 8 de Abril de 2013

Matriz de Admitância e Cálculo de Redes

Escopo dos Tópicos Abordados

� Matriz de Admitância e Cálculo de Redes – Matriz de Admitância;– Eliminação de Gauss;– Redução de Kron;

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Considerando Linhas de Transmissão (LTs) médias e longas:– Existência do carregamento B – susceptância “shunt”;

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: com existência de susceptância “shunt”;

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;

� Cálculo das admitâncias primitivas:

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;

� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;

� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;

� Cálculo das admitâncias da matriz YBus:

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt”;

� Cálculo das admitâncias da matriz Ybus final:

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Montagem da Matriz de Admitância Nodal

� Dados do sistema: existência de susceptância “shunt” e transformadores com representações como:

– Relação nominal em fase;– Defasador puro

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Transformadores com relação não nominal em fase

� Modelo de transformador ideal em fase:– Consiste em um transformador ideal com as perdas no núcleo

desprezadas e com relação de transformação

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

kma:1

Transformadores com relação não nominal em fase

� Modelo de transformador ideal em fase – não considerando o ponto p como uma barra:– Da figura, pode-se escrever as relações de corrente

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

Transformadores com relação não nominal em fase

� Modelo de transformador ideal em fase:– As relações de transformação são:

– Substituindo nas equações, pode-se obter:

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇒

Transformadores com relação não nominal em fase

� Modelo de transformador ideal em fase:

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇒

Transformadores com relação não nominal em fase

� Matriz de admitância - transformador ideal em fase:

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇓reverso

Transformadores com relação não nominal em fase

� Matriz de admitância - transformador ideal em fase:

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇓

reverso

Transformadores com relação não nominal em fase

� Matriz de admitância resultante trafo ideal em fase:

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�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇒

Representação de Transformadores Defasadores

� Representação de um transformador defasador puro:

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ϕjaet =

�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

⇒�A presença de transformadores defasadores tornam a matriz assimétrica

Representação de Transformadores Defasadores

� Matriz de admitância :

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ϕjaet =

�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

Representação de Transformadores Defasadores

� Matriz de admitância :

20

ϕjaet =

20

⇓

Representação de Transformadores Defasadores

� Matriz de admitância :

21

ϕjaet =

21

Representação de Transformadores Defasadores

� Matriz de admitância :

22

ϕjaet =

22

reversoreverso

Representação de Transformadores Defasadores

� Matriz de admitância resultante:

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ϕjaet =

�Material aproveitado da apostila do Prof. Sérgio Haffner.

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via:– Inversão da matriz Ybus;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU; - próxima aula

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via Inversão da matriz Ybus:

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via Inversão da matriz Ybus:� Desvantagens:

– Custo computacional elevado (geralmente a Ybus possui dimensão elevada – dimensão igual ao número de nós da rede);

– Apesar de Ybus ser esparsa, sua inversa é uma matriz cheia (todos os elementos diferentes de zero - não esparsa).

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via eliminação de Gauss ou eliminação sucessivas:– Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4

incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a um sistema de uma equação e uma variável;

– A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da equação, que é substituída novamente no conjunto de equações a fim de se calcular o restante das incógnitas;

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo:

� Passo 1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô Y11:

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Resolução das Equações Nodais

� Resolução via eliminação de Gauss para o exemplo:

� Passo 2) multipliquepor Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das

equações 2, 3 e 4:

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(1)

(2)

(3)

(4)

(2’)

Resolução das Equações Nodais

� Passo 2) :

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(1)

(2)

(3)

(4)

(2’)

(3’)

(4’)

Resolução das Equações Nodais

� Reescrevendo em forma compacta:

� De forma genérica:

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(2’)

(3’)

(4’)

(1’)

Resolução das Equações Nodais

� Após o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis:

� Sistema original:

� Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:

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Resolução das Equações Nodais

� Graficamente, após o passo 1, o nó 1 foi eliminado, resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a referência:

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Resolução das Equações Nodais

� Realizando eliminações sucessivas através das equações genéricas, elimina-se V2:

� Resultando no sistema:

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Resolução das Equações Nodais

� Graficamente, elimina-se V2:

� Resultando no sistema:

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Resolução das Equações Nodais

� Prosseguindo com a eliminação, elimina-se V3:

� Resultando no sistema onde se obtém V4:

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Resolução das Equações Nodais

� Por substituição reversa, a partir do valor de V4, calcula-se V3, V2 e V1:

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Resolução das Equações Nodais

� Uma outra terminologia utilizada, que equivale à eliminação de Gauss, porém comumente aplicada somente para determinados nós, é denominada redução de Kron;

� Nesta redução, nós específicos, normalmente os que não são de interesse ou não possuem injeção de corrente (barras sem geração, cargas ou elementos shunt) são normalmente eliminados.

� Para eliminar a barra p, usa-se Ypp como pivô e elimina-se o nó p utilizando a fórmula:

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Resolução das Equações Nodais

� Eliminação do nó 2:

� Observe que os elementos j e k estão ligados ao nó 2 e p=2.� Nova linha 1:

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Resolução das Equações Nodais

� Eliminação do nó 2: linha e coluna 2 desaparecem

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Resolução das Equações Nodais

� Eliminação do nó 2: linha e coluna 2 desaparecem– Calculos similares levam à obtenção de outros elementos da matriz

� Monte o circuito por inspeção da matriz:

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Resolução das Equações Nodais

� Fatoração LU: próxima aula_ livro Bergen& Vittal

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