Aula 3 - Distribuicao de Probabilidades

7/24/2019 Aula 3 - Distribuicao de Probabilidades

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EFB803Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Distribuio de ProbabilidadesAula-3

Clculo de Probabilidades Como experimento, lanamos um dado e observamos o

nmero da face que sai.

Nosso interesse estudar o evento sair face par, quedenotaremos por A.

Temos:

2

1

6

3)(

,36,4,2

66,5,4,3,2,1

AP

nA

nS

A

Espao amostral

Evento:

subconjunto de S

Probabilidade de

ocorrer o evento A


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Definio clssica

Se um experimento aleatrio admitir n resultados

distintos, sendo todos igualmente provveis, ento a

probabilidade de ocorrncia um evento A se S,

definida por:

onde:

nA o nmero de resultados favorveis ao evento A

n o nmero total de resultados possveis.

,)(n

nAP

A

Definio de Probabilidade A probabilidade uma funo P que associa a cada evento A

de um espao amostral S um nmero real, obedecendo os

seguintes axiomas:

).()()()(

:temosS,dequaisquereventosdoissoBeA

:definiodaDecorre

)()()()P(A

:temos,exclusivosmutuamenteeventos,,,)3

1)2

1)(0)1

2121

21

BAPBPAPBAP

Se

APAPAPAnA

AAAsendo

P(S)

AP

n

n


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Distribuio de probabilidades (CAP.3)

Variavel Aleatria: funo matemtica que assume(V.A.) valores numricos. A cada um

desses valores existe uma

probabilidade de ocorrncia.

Discreta

Contnua

Nmero de pontos obtidos do lanamento de um dado;

Quantidade de peas defeituosas selecionadas de um lote;

Etc...

Comprimento de uma pea;Tempo de vida til de um equipamento;

Etc...

ExemplosV.A.s DISCRETAS1) Experimento: Lanamento de um dado e anota-se a face obtida

V.A.: X = Nmero de pontos obtidos do lanamento desse dado

Quais valores essa varivel assume?

Qual a probabilidade de sair cada um desses nmeros?

Distribuio de probabilidades de X?

x P(X = x) = p(x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

Funo de

probabilidade

da v.a. X


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2) Experimento: Seleciono 3 peas de um lote, sendo elasclassificadas como boas ou defeituosas

V.A.: X = Qtde. de peas selecionadas com defeito

Quais valores essa varivel assume? Ou quais so os resultados

possveis do experimento?

Qual a probabilidade de sair cada um desses valores?

Distribuio de probabilidades de X?

x P(X = x) = p(x)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Considere B: pea boa e D: pea defeituosa

{BBB, DBB, BDB, BBD, DDB, DBD, BDD, DDD}

0 1 2 3

ExemplosV.A.s DISCRETAS

Funo de

probabilidade

da v.a. X

V.A.s DISCRETAS Para as variveis discretas, duascondies devem ser satisfeitas:

1) P(xi) 0; para todo ndice i;

2) P(xi) =1

x P(X = x) = p(x)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Funo de

probabilidade da

qtde. de peas com

defeito


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3) Experimento: Da minha produo de esferas de rolamento,seleciono uma pea e observo o dimetro dela (em mm).

V.A.: X = Dimetro da esfera

Conseguimos apenas calcular probabilidades para valores

contidos em intervalos da reta real

As probabilidades de ocorrncia dos possveis resultados

dos experimento so determinadas por uma funo contnua

f(x), denominada funo densidade de probabilidade:

ExemplosV.A.s CONTNUAS

Assume qualquer valor em um

intervalo contnuo dos nmeros reais

a b

f(x) P(a X b)

4)A V.A. contnua X dada pela funo densidade de probabilidadef(x) = 3x2, com0 x 1.

Como calcular P(0 X )?

Para as variveis contnuas, as

seguintes propriedades devem ser

satisfeitas:

ExemplosV.A.s CONTNUAS

1) f(x) 0; para qualquer xR;

2) P(a X b) = ;

3) ;

P(0 X )


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Mdia ou Valor Esperado (E(X))

A mdia de uma varivel aleatria o

principal parmetro de posio sobre o

centro de sua distribuio de probabilidades

X V.A. DISCRETA

X V.A. CONTINUA

= E(X)=

= E(X)=

ExemploSorteio de uma bola de uma urna

Uma urna contm 5 bolasbrancas, 3 pretas e 2 vermelhas.

Realizo uma aposta com um amigo: se eu sorteio uma bola

branca, ganho 10 crditos. Se eu retirar uma bola preta ou

vermelha, perco 5 e 15 crditos, respectivamente. Qual o ganho

mdio (ou esperado) do jogo?

Seja X = Ganhodojogo

Resultado do sorteio xi P(X = xi) = p(xi)

Branca 10

Preta -5 3/10

Vermelha -15 1/5

Portanto, o ganho mdio dessa aposta de 0,50 crditos.


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Exemplo

No exemplo 4, no qual a V.A. contnua X dada pela funo

densidade de probabilidade f(x) = 3x2

, com0 x 1, a mdiade X :

Propriedades de E(X)

1) E(k) = k (k uma constante)

2) E(kX) = k.E(X)

3) E(XY) = E(X) E(Y)

4) E(X k) = E(X) k

5) E(XY) = E(X).E(Y), desde que X e Y sejam independentes entre si

OBS: X e Y so duas variveis aleatrias


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Exemplos

No exemplo 4, no qual a v.a. contnua X dada pela funo

densidade de probabilidade f(x) = 3x2

, com0 x 1, avarincia de X :

Propriedades de Var(X)

1) Var(k) = 0 (k uma constante)

2) Var(kX) = k2.Var(X)

3) Var(Xk) = Var(X)

4) Var(XY) = Var(X)+Var(Y), desde que X e Y sejam independentesentre si

OBS: X e Y so duas variveis aleatrias


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Exerccios (1 de 3)1) A distribuio de probabilidade da quantidade de avies fabricados

por ms em uma fbrica dada abaixo:

N de avies/m Probabilidade

1 0,08

2 0,14

3 0,29

4 0,35

5 0,10

6 0,04

a) Obtenha a mdia e o desvio padro do nmero de avies fabricados

por ms nessa fbrica.

b) Se em outra fbrica o n mdio mensal de avies produzidos igual

a 5/ms e o desvio padro igual a 1,2/ms, qual a mdia e o desvio

padro do n total de avies fabricados pelas duas fbricas juntas?

E(X) = 3,37 e DP(X) = 1,197

E(X+Y) = 8,37 e DP(X+Y) = 1,695

2) O tempo de vida til (X, em anos) de uma trava de segurana de um

aparelho industrial segue funo densidade de probabilidade (f.d.p.)

dada abaixo:

Exerccios (2 de 3)

a) Determine a constante k e calcule a probabilidade de a vida til

dessa trava ultrapassar 8 meses.

b) Qual o coeficiente de variao da vida til dessa trava de

segurana?

k= 6/5 e 0,1704

61,25%


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3) A demanda semanal de gs propano (em milhares de litros) de uma

instalao industrial uma v.a. aleatria X com funo densidade

de probabilidade dada por:

Exerccios (3 de 3)

a) Determine a constante k.

b) Dispondo-se no incio da semana de um estoque de 1900 litros

desse gs e sabendo que no haver reposio do estoque nasemana, qual a probabilidade de que o estoque no atenda ao

consumo semanal?

c) Calcule a mdia e o desvio padro de X.

k= 2

0,1474

E(X) = 1,6137 e DP(X) = 0,2503

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