Aula 3 - Ondas - Instituto Tecnológico de Aeronáutica€¦ · Aula 3 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 14deMaiode2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 1 / 41

Aula 3 - Ondas

Rene F. K. Spada

ITA

14 de Maio de 2018

Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 1 / 41

1 Princípio da Superposição

2 Ondas Estacionárias

3 Batimentos e Velocidade de Grupo

4 Reflexão de Ondas







Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;

Assim, uma combinação linear dessas soluções:

y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)

Sendo a e b constantes, temos que:

∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2


Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:

y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 =

∂2 (ay1 + by2)∂x2 = a∂

2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 =

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 =

∂2 (ay1 + by2)∂t2 = a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 =

a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2



y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)


∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2

∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)

∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2


Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2

É direto ver que y(x , t) também é solução.


Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 =

1v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2

e ∂2y2∂x2 = 1

v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim temos:

∂2y(x , t)∂x2 = 1

v2∂2y(x , t)∂t2

a∂2y1∂x2 + b∂

2y2∂x2 = 1

v2

[a∂

2y1∂t2 + b∂

2y2∂t2

]

Como:

∂2y1∂x2 = 1

v2∂2y1∂t2 e ∂2y2

∂x2 = 1v2∂2y2∂t2



Assim vale o princípio da Superposição:

Princípio da SuperposiçãoPara a equação de onda unidimensional, qualquer combinação linear desoluções também é solução.

Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;Esse princípio possui várias outras aplicações;








Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;

Esse princípio possui várias outras aplicações;






Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:

Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:

y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;


Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:

y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)




y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)




y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;

Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;



y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;

A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;



y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;

Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;



y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;

y(x , t) atinge seu valor máximo;



y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)




y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2

y1(x , t) + y2(x , t)



Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:

y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;



y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)




y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)




y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;

Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;



y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;

A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;



y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;

Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;



y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)

Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;

y(x , t) atinge seu valor mínimo;



y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)




y2(x , t)

y1(x , t)~v1

~v2

y1(x , t)

y2(x , t)








Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;

Para simplificar:

I Mesma frequência;I Mesma amplitude;

Ou seja:

{

y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)


Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:


Ou seja:

{




I Mesma frequência;

I Mesma amplitude;Ou seja:

{





Ou seja:

{





Ou seja:

{





Ou seja:

{y1(x , t) = A cos(kx − ωt)

y2(x , t) = A cos(kx + ωt)




Ou seja:

{y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)


Pelo princípio da Superposição:

y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)

Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:

Assim temos:

y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)





Assim temos:






Assim temos:






y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)

Assim temos:






y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)︸︷︷︸A cos(kx−ωt)

Assim temos:







+A cos(kx) cos(ωt)− A sin(kx) sin(ωt)

Assim temos:







+ A cos(kx) cos(ωt)− A sin(kx) sin(ωt)︸︷︷︸A cos(kx+ωt)

Assim temos:






y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) +((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸︷︷︸

A cos(kx−ωt)

+ A cos(kx) cos(ωt)−((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸︷︷︸

A cos(kx+ωt)

Assim temos:







A cos(kx−ωt)


A cos(kx+ωt)

Assim temos:







A cos(kx−ωt)


A cos(kx+ωt)

Assim temos:




Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;

t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T



Essa onda não se propaga;

Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;




Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);

Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;




Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;

Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;




Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;

Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;











































Em uma imagem com um longo tempo de exposição:

NóAntinó

Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.



NóAntinó




NóAntinó




NóAntinó

Existem pontos imóveis → Nós;

Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.



NóAntinó

Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;

Iremos localizar matematicamente esses pontos.



NóAntinó




O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:

cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .



O termo que causa a oscilação é cos(ωt);

O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:

cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .



O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);

Assim, o ponto é um nó se:

cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .




cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .




cos(kx) = 0

=⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .




cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . .

,nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .




cos(kx) = 0 =⇒ kx = π

2 ,3π2 ,

5π2 , . . . ,

nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .


Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:

Em que λ é o comprimento das ondas.



x = nπ2k | k = 2π

λ




x = nπ2k | k = 2π

λ

x = nπλ2 · 2π




x = nπ2k | k = 2π

λ

x = n�πλ2 · 2�π




x = nπ2k | k = 2π

λ

x = n�πλ2 · 2�π

∴ x = nλ4 , n = 1, 3, 5, . . .




x = nπ2k | k = 2π

λ

x = n�πλ2 · 2�π

∴ x = nλ4 , n = 1, 3, 5, . . .




Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:

cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .



Para o caso dos antinós;

A amplitude deve ser máxima;Ou seja:

cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .



Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;

Ou seja:

cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .




cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .




cos(kx) = 1

=⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .




cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . .

, nπ , n = 0, 1, 2, . . .




cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .


Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:



x = nπk | k = 2π

λ



x = nπk | k = 2π

λ

x = nπλ2π



x = nπk | k = 2π

λ

x = n�πλ2�π



x = nπk | k = 2π

λ

x = n�πλ2�π

∴ x = nλ2 , n = 0, 1, 2, 3, . . .


Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;

Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3


Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;

Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3


Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:

Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3


Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;

λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3



λ

n=1 n=3 n=5 n=7

n=0 n=1 n=2 n=3







Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;

Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:

{

y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)

Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:

∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)


Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;

A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:

{



∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)


Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:

{



∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)



{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)

y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)


∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)



{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)


∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)





∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)





∆k = k1 − k2 � k̄

= 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)





∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)





∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄

= 12 (ω1 + ω2)





∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)

∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)


Pelo princípio da superposição:

y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)

Como cos a + cos b = 2 cos[

12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];

Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;

12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) =

12 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 1

2(k1 + k2)︸︷︷︸k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t)

= 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2) x − 1

2(ω1 + ω2) t

= 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2) t

= 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t





12(a + b)

]cos

[12(a − b)

];


12(a + b) = 1

2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸︷︷︸

k̄

x − 12(ω1 + ω2)︸︷︷︸

ω̄

t

∴12(a + b) = k̄x − ω̄t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) =

12 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 1

2 (k1 − k2)︸︷︷︸∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t)

= 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2) x − 1

2 (ω1 − ω2) t

= 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2) t

= 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t



12(a − b) = 1

2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸︷︷︸

∆k

x − 12 (ω1 − ω2)︸︷︷︸

∆ω

t

∴12(a − b) = ∆k

2 x − ∆ω2 t


Como:


Temos:

y(x , t) = 2A cos(∆k

2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t

)com A(x , t) = 2A cos

(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t


(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t


(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t


(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t


(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t

)

com A(x , t) = 2A cos(∆k

2 x − ∆ω2 t

)


Como:


Temos:


2 x − ∆ω2 t

)cos(k̄x − ω̄t

)

É usual escrever:

y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t


(∆k2 x − ∆ω

2 t)


Essa forma sugere a interpretação:

Uma onda cos(k̄x − ω̄t

);

Modulada por A(x , t) = 2A cos(

∆k2 x − ∆ω

2 t);

Esse fenômeno é chamado de batimento;

×


Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos

(k̄x − ω̄t

);


∆k2 x − ∆ω

2 t);


×



(k̄x − ω̄t

);


∆k2 x − ∆ω

2 t);


×



(k̄x − ω̄t

);


∆k2 x − ∆ω

2 t);


×



(k̄x − ω̄t

);


∆k2 x − ∆ω

2 t);


×



(k̄x − ω̄t

);


∆k2 x − ∆ω

2 t);


×


Continuaremos com a discução considerando ondas em cordas;Sabemos que a velocidade de uma onda é v = ω/k;Assim podemos calcular a velocidade dessas ondas separadamente;


Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;

Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:

~vF

vϕ = ω̄

k̄


Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;

A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:

~vF

vϕ = ω̄

k̄


Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )

A velocidade de fase é dada por:

~vF

vϕ = ω̄

k̄


Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:

~vF

vϕ = ω̄

k̄


Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:

~vF vϕ = ω̄

k̄


Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;

Ou seja A(x , t) = 2A cos(

∆k2 x − ∆ω

2 t);

A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω

2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk


Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos

(∆k2 x − ∆ω

2 t);



~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;

Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;

Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;Considerando um ponto fixo G ;

A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;

Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;

Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k

≈ dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;

A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k

≈ dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);


2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;

A derivada deve ser calculada para k = k̄;

~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk



(∆k2 x − ∆ω

2 t);



~vG

vg = ∆ω∆k ≈

dωdk


Para ondas em uma corda homogênea:

v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ

Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.



v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ




v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ




v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ




v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ

Mas esse é um caso particular;

Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.



v =√

Tµ

Então:

vϕ = vg =√

Tµ








Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;

Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;

y(x , t)~v

Sendo y(x , t) = g(x + vt):


Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;

Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;

y(x , t)~v



Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;

Ele está viajando para esquerda;

y(x , t)~v





y(x , t)~v





y(x , t)~v



Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;

y(x , t)~v



Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;

y(x , t)~v



y(x , t)~v

A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:

y(0, t) = 0 para qualquer t

Trabalharemos com a solução:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;


y(x , t)~v




y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



y(x , t)~v




y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



y(x , t)~v




y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



y(x , t)~v




y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



y(x , t)~v




y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Aplicando a condição de contorno na solução geral:

y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)



y(0, t) = f (−vt) + g(vt)

= 0∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)



y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0

∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)



y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)



y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)



y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)

Ou seja, temos que:

f (z) = −g(−z)


Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;

Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:

f (x − vt) = −g(vt − x)

Substituindo na solução geral:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)


Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;

Então fazendo z = x − vt:

f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)


Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:

f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)



f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)



f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)



f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)



f (x − vt) = −g(vt − x)


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)

∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)


Podemos visualizar a solução;

Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;

Não existe cordag(x + vt)

−g(vt − x)

~v1

−~v1

Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.


Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;


−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1





−g(vt − x)

~v1

−~v1



E o que gera essa onda refletida?

g(x + vt)

~F

−~F

A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.



g(x + vt)

~F

−~F




g(x + vt)

~F

−~F




g(x + vt)

~F

−~F

A corda faz uma força na extremidade para cima;

A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.



g(x + vt)

~F

−~F

A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;

Essa força que gera a onda refletida.



g(x + vt)

~F

−~F



Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;

Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.

y(x , t)

~v


Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;

Esse anel se move na extremidade sem atrito.

y(x , t)

~v


Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.

y(x , t)

~v


Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.

y(x , t)

~v


Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:

Assumindo pequenos ângulos;

~T

θ

Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x




~T

θ





~T

θ





~T

θ





~T

θ

Ty = T sin θ

≈ T tan θ = T ∂y∂x


Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:Assumindo pequenos ângulos;

~T

θ

Ty = T sin θ

≈ T tan θ = T ∂y∂x



~T

θ

Ty = T sin θ ≈ T tan θ

= T ∂y∂x



~T

θ



No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;

Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:

Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0

Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;

Assim:

Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:

Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Fy (0, t) =

T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x =

0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)



Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0


y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


Assim:

∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)

Aplicando em x = 0:

∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0

Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;


Assim:

∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)

Aplicando em x = 0:

∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0



Assim:

∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)

Aplicando em x = 0:

∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0



Assim:

∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)

Aplicando em x = 0:

∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0



Assim:

∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)

Aplicando em x = 0:

∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0



Então deve valer para z :

f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)

Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;

f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0

f ′(z) = −g ′(−z)


f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)


f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)

Assim, para as funções primitivas:

Fazendo z → x − vt;

f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)

Assim, para as funções primitivas:

Fazendo z → x − vt;

f (z) = g(−z)

=⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)


f (z) = g(−z)

=⇒ f (x − vt) = g(vt − x)



f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)


f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)


Substituindo na solução:

y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)

Podemos visualizar a solução:

Não existe corda

g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1



y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda




y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)


Não existe corda



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