Aula 1 - Ondas · Aula 1 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 24deAbrilde2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 1 / 41

Aula 1 - Ondas

Rene F. K. Spada

ITA

24 de Abril de 2018

Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 1 / 41

1 Motivação

2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento


1 Motivação



Um dos conceitos mais fundamentais da Física;

De forma bastante ampla:

Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.

Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;


Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:










Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;

Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;




Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;

Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;






Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;

A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;

Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)

A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.


Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;

No caso da água → Aproximadamente circular;




Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;






A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;

Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.






Iniciaremos com modelos simples;

Ondas em molas:

Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)

Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;


Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:










Após um pulso em uma mola em repouso;

O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;




Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;

Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;







Esse é um tipo de onda chamado longitudinal;

Onda LongitudinalPerturbação transmitida pela onda é ao longo do sentido de propagação daonda.

Ondas sonoras são ondas longitudinais.

















Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)

Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;O pulso se propaga nahorizontal;

Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.

Ex. → Onda eletromagnética;



Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;

O pulso se propaga nahorizontal;



















1 Motivação



Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.

Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:

y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y

Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.



Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):

Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:

y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y





y(x , 0) = f (x)

f (x)

x

y



Podemos analisar mais um instante t 6= 0:

f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Assim, no referencial original:

y(x , t) = f (x − vt)

Descreve uma onda progressiva:

I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;



f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;O referencial se desloca para direita junto com a onda;


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;O referencial se desloca para direita junto com a onda;O deslocamento é dado por vt;


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y

Nesse novo referencial:


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)

A relação entre os dois referenciais → Transformada de Galileu


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)

A relação entre os dois referenciais → Transformada de Galileu

x ′ = x − vt y ′ = y


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)





f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)

Descreve uma onda progressiva:I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;

I Velocidade → v ;



f (x)

~v

f (x ′)y ′

∆x = vt

x

y


y(x , t) = f (x − vt)

Descreve uma onda progressiva:I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;


Importante entender o significado de:

y(x , t) = f (x − vt)

Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;



y(x , t) = f (x − vt)

Função de duas variáveis;

Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;



y(x , t) = f (x − vt)

Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;

cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;



y(x , t) = f (x − vt)

Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;

cos(kx) cos(kvt) não se propaga;



y(x , t) = f (x − vt)

Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;


Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;

Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :

y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)


Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;

Basta reconhecer que v → −v :

y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)


Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :

y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)



y

−x

g(x)

~v

g(x ′′)y ′′

∆x = −vt

y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)


Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;

Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;

Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;

Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:

y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)


1 Motivação



Caso particular;

Ondas HarmônicasPerturbação em um dado ponto x corresponde a uma oscilação harmônicasimples;

A onda possui perfil senoidal:

y(x , t) = cos(kx ′ + δ

)= cos[k(x − vt) + δ]


Caso particular;



y(x , t) = cos(kx ′ + δ

)= cos[k(x − vt) + δ]


Caso particular;



y(x , t) = cos(kx ′ + δ

)= cos[k(x − vt) + δ]


Caso particular;



y(x , t) = cos(kx ′ + δ

)= cos[k(x − vt) + δ]


Como sabemos de oscilações harmônicas:

x(t) = A cos(ωt + φ)

Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:

ω = kv = 2πν =2πτ

ν → Frequência;τ → Período de oscilação;










Comparando com y(x , t);

Para a frequência angular de oscilação ω:




















ν → Frequência;

τ → Período de oscilação;








Assim, o perfil pode ser escrito como:

y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)

Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:

τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)




Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;

Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:

τ

t

y(0, t)




Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;

O movimento do gerador da onda:

τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)





τ

t

y(0, t)


Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;

MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

k = 2π/λ→ Número de onda angular;

A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.



MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;

O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.



MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

O gerador da onda descreve um MHS;

k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.



MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

O gerador da onda descreve um MHS;A perturbação é transmitida pela onda;




MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

O gerador da onda descreve um MHS;A perturbação é transmitida pela onda;O comprimento de onda é dado por λ = 2π/k;




MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

k = 2π/λ→ Número de onda angular;

A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.



MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y

k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;

O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.



MHS

y(x , t)

λ = 2πk

y(x , t + ∆t)∆x = v∆t

x

y



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ = vτ

Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ


Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ = vτ



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ = vτ



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ =2πvτ2π

λ = vτ



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ =��2πvτ��2π

λ = vτ



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ =��2πvτ��2π

λ = vτ



Como:

λ =2πk

e k =2πvτ

Temos que:

λ =��2πvτ��2π

λ = vτ



Da mesma forma que ν = 1/τ ;

Temos que:

σ =1λ

Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:

I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);


Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:

σ =1λ





σ =1λ





σ =1λ

Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;

σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:




σ =1λ

Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;

Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:




σ =1λ

Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;

Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:




σ =1λ

Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;

Assim temos duas grandezas análogas:




σ =1λ





σ =1λ


I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);

I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);



σ =1λ




Se escrevermos:

y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ

ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:

I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;


Se escrevermos:





Se escrevermos:


ϕ(x , t)→ Fase da onda;

δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:



Se escrevermos:


ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;

No sistema internacional de unidades:



Se escrevermos:





Se escrevermos:



I ϕ(x , t)→ Radianos;

I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;


Se escrevermos:



I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;

I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;


Se escrevermos:



I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;

I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;


Se escrevermos:



I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;

I ω → rad/s ou s−1;


Se escrevermos:





Considerando um ponto em que a fase é constante;

Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:

ϕ(x , t) = ϕ0 = constante

v∆t1

v∆t2

x

y


Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:


v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y




v∆t1

v∆t2

x

y


Para o cálculo da velocidade desse ponto;

Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;

dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k

Como ω = 2πν e k = 2π/λ:

=⇒ v = λν


Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;

dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt

=d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ)

= 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


v =2πνλ2π

=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


v =��2πνλ��2π

=⇒ v = λν



dϕ(x , t)

dt=

d

dt(kx − ωt + δ) = 0

kdx

dt− ω = 0

v =dx

dt=ω

k


v =��2πνλ��2π

=⇒ v = λν


Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):

Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:

y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)

]


Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;

Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:


]


Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;

Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:


]


Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:


]


Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:


]


Onda harmônica conhecida como onda monocromática;

No caso de ondas eletromagnéticas:

I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;

Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.


Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:





I Frequência e comprimento de onda únicos;

I Corresponde a uma única cor no espectro;









Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;

Emprego muito frequente dessas relações.






1 Motivação



Considerando a expressão geral:

y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt

Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:

vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]

Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;



y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt

Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;

Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:

vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt

Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;

Assim, derivando em relação ao tempo:

vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]




y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]

Estamos derivando y(x , t);

Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;



y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt


vy =∂

∂t[y(x , t)]

ay =∂2

∂t2[y(x , t)]



f depende de t por x ′ = x − vt;

Devemos utilizar a regra da cadeia:

∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′


f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:

∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′



∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′



∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt)

= −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′



∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′



∂y

∂t=

df

dx ′∂x ′

∂t

∣∣ ∂x ′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

∴∂y

∂t= −v df

dx ′


Para segunda derivação:

∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′

) ∣∣ R. da cadeia

∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

)

∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′

)

∣∣ R. da cadeia

∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∂2y

∂t2= −v d

dx ′

(df

dx ′

)∂x ′

∂t

∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∂2y

∂t2= −v d

dx ′

(df

dx ′

)∂x ′

∂t︸︷︷︸−v

∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2



∂2y

∂t2=

∂

∂t

(∂y

∂t

) ∣∣ ∂y

∂t= −v df

dx ′

∂2y

∂t2= −v ∂

∂t

(df

dx ′


∂2y

∂t2= −v d

dx ′

(df

dx ′

)∂x ′

∂t︸︷︷︸−v

∴∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2


Mas, para a derivação em x :

∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt)

= 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =

d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2



∂x ′

∂x=

∂

∂x(x − vt) = 1

Assim:

∂y

∂x=

df

dx ′∂x ′

∂x=

df

dx ′

∂2y

∂x2 =d2f

dx ′2∂x ′

∂x=

d2f

dx ′2


Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2

Assim, y(x , t) respeita a equação:

∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2

Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.


Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2

∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2

Antes de discutirmos as soluções;

Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.


Retornando a:

∂2y

∂t2= v2 d

2f

dx ′2∣∣ d2f

dx ′2=∂2y

∂x2


∂2y

∂t2= v2∂

2y

∂x2 ou1v2∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



1 Motivação



Consideraremos uma onda progressiva;

Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;

Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;


Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;

Variação de comprimento da corda é despresível;



Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;







Analisaremos um pequeno comprimento de corda;

Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;





~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;

Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:

T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y

∂x

Assim, pela 2a Lei de Newton:

∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;

A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:


∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;

A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T

∂y

∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:

A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T

∂y

∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:cos ∆θ(x + ∆x) = cos ∆θ(x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:cos ∆θ(x + ∆x) = cos ∆θ(x)

As forças nessa direção seanulam; 3



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;

Na aproximação de pequenosângulos:


∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:


∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)


T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ

= T∂y

∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may

= µ∆x︸︷︷︸m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


~T

~T

xx x + ∆x

∆θ(x)

∆θ(x + ∆x)



∂x


∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸

m

∂2y

∂t2︸︷︷︸ay

= T

[∂y(x + ∆x , t)

∂x− ∂y(x , t)

∂x

]


Assim:

Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:

µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2

Precisamos saber o significado do termo µ/T ;


Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x


µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x

Fazendo ∆x → 0;

Definição de derivada parcial:

µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x


µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x


µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x


µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Assim:

µ∂2y

∂t2= T

[∂y(x+∆x ,t)

∂x − ∂y(x ,t)∂x

]∆x


µ∂2y

∂t2= T

∂2y

∂x2

µ

T

∂2y

∂t2=∂2y

∂x2



Retornando à onda progressiva;

Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;






Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;

Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;





∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ

Densidade linear de massa → µ;

Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;

No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑

Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)


∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;

Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;

No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;

Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;

No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ

Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;

No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x

→∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ)

= 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y

→∑



∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑

Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ)

= 2T sin(∆θ)


∆l

~T~T

∆θ∆θ

∆θ ∆θ


No eixo x →∑

Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3

No eixo y →∑



Na aproximação de pequenos ângulos:

2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ

Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;

Isolando v ;

v =√

T/µ



2T sin(∆θ) ≈

2T∆θ


Isolando v ;

v =√

T/µ





Isolando v ;

v =√

T/µ




Como 2∆θ = ∆l/R;

Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;

Isolando v ;

v =√

T/µ





Isolando v ;

v =√

T/µ





2T∆θ = T∆l

R=

mv2

R=µ∆l v2

R

Isolando v ;

v =√

T/µ





2T∆θ = T∆l

R=

mv2

R=µ∆l v2

R

Isolando v ;

v =√

T/µ





2T∆θ = T∆l

R=

mv2

R=µ∆l v2

R

Isolando v ;

v =√

T/µ





2T∆θ = T∆l

R=

mv2

R=µ∆l v2

R

Isolando v ;

v =√

T/µ


Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;

v =√

T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;v = λν → Propriedades da onda;v =

√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;

Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.


Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =

√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;

v = λν → Propriedades da onda;v =






v = λν → Propriedades da onda;

v =√

T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.












Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;

Podemos utilizar as duas em conjunto.








No caso de v =√

T/µ;

T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;Normalmente:

v =

√Propriedade ElásticaPropriedade Inercial


No caso de v =√

T/µ;T → Propriedade elástica;

µ→ Propriedade inercial;Normalmente:

v =



No caso de v =√

T/µ;T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;

Normalmente:

v =



No caso de v =√

T/µ;T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;Normalmente:

v =



No caso de v =√

T/µ;T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;Normalmente:

v =



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Aula 1 - Ondas · Aula 1 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 24deAbrilde2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 1 / 41