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Física Quântica
Aula 05
Ondas
Alex Gomes Dias
8 de outubro de 2015
Física Quântica
• A dinâmica dos átomos com mais de um elétron, a estruturação dos orbitais,
e a intensidade das linhas espectrais são exemplos notáveis que indicam a
necessidade de se ter uma teoria quântica que dê conta da descrição dos
sistemas atômicos de maneira geral.
• Importantes desenvolvimentos teóricos e experimentais, que se seguiram após
o modelo de Bohr, deram origem a Mecânica Quântica.
• Uma contribuição determinante para a formulação da Mecânica Quântica
foi o trabalho de L. de Broglie sobre a dualidade onda-partícula como uma
propriedade geral também das partículas de matéria.
�Assim como a luz, a matéria também apresenta
o comportamento dual onda-partícula.�
• Mecânica ondulatória: equação de uma onda unidimensional
∂2
∂x2y (x, t) =
1
v2
∂2
∂t2y (x, t) v e a velocidade
Um tipo de solução da equação acima é a seguinte onda harmônica
y (x, t) = y0 cos
[2π
λ(x− vt)
]= y0 cos (kx− wt)
Essa onda tem amplitude y0 e se desloca para a direita (exemplo no Mathematica)
Física Quântica 1
vf = νλ
k =2π
λ
w = 2πν =2π
T
vf é a velocidade de fase, e k o número de onda (número de comprimentos de
onda na extensão 2π). A onda harmônica não tem localização espacial, tampouco
temporal.
20 40 60 80 100 120x
-1.0
-0.5
0.5
1.0
yHx,tL
Onda harmônica y(x, t = π
4w
)= cos
(0.1 x− π
4
), com k = 0.1
• Fórmula de Euler (a demonstração pode ser vista no adendo)
eiθ
= cos θ + i sin θ .
A exponencial
Física Quântica 2
ei(kx−wt)
= cos (kx− wt) + i sin (kx− wt)
é solução da equação de onda. Com isso, uma forma útil de se escrever a solução
senoidal é tomar a parte real ou imaginária. Para a solução y (x, t) acima
y (x, t) = y0Re[ei(kx−wt)
]= y0 cos (kx− wt)
As ondas harmônicas são uma idealização para diversas situações físicas.
Dado um número complexo z
z = x+ iy x, y ∈ <
denotam-se a parte real e a parte imaginária de z como
Re [z] = x , Im [z] = y .
O complexo conjugado de z é de�nido como
z∗
= x− iy .
Com isso o módulo quadrado de z é de�nido como
z∗z = x
2+ y
2
Física Quântica 3
O número complexo pode também ser escrito na forma
z =√x2 + y2 e
iarctan(yx)
= ρ eiarctan(yx)
Representação de z = x+ iy no plano complexo.
Física Quântica 4
- Ondas estacionárias.
Considere uma corda esticada e cujas extremidades estão �xas, cada uma
presa a uma parede. Numa situação ideal as frequências de vibração da corda
são quantizadas (essa é a condição para que se tenha onda estacionária). Os
comprimentos de onda devem se relacionar com o comprimento L da corda
conforme
nλn
2= L
Fig. de Tipler.
e isso leva a
νn =v
λn= n
v
2L
Essas são as frequências dos estados estacionários da corda com as extremidades
�xas.
Física Quântica 5
• Superposição.
Sejan y1 e y2 soluções da equação de onda. A superposição
ys = y1 + y2
também é uma solução da equação de onda. Isso é uma consequência da equação
de onda ser linear.
• Por meio da superposição diversas formas de onda podem ser construídas. Um
pulso pode ser representado por um grupo de ondas em superposição.
Tal grupo e denominado pacote de ondas. A descrição de um pulso com extensão
�nita (localização) requer uma composição de ondas harmônicas com diferentes
amplitudes e números de onda e frequências. Há todo um desenvolvimento teórico
para se representar formas especí�cas através de superposições, as chamadas séries
de Fourier.
• Ilustração: superposição de duas ondas de mesma amplitude y0 real
y = Re[y0e
i(k1x−w1t) + y0ei(k2x−w2t)
]= y0 cos (k1x− w1t) + y0 cos (k2x− w2t)
Física Quântica 6
Por conveniência escrevemos f1 = k1x−w1t e f2 = k2x−w2t de modo
que
y = Re[y0
(eif1 + e
if2)]
= Re
[y0
(e−if2−f12 + e
if2−f1
2
)eif1+f2
2
]
= Re
[2y0cos
(f2 − f1
2
)eif1+f2
2
]
= 2y0cos
(f2 − f1
2
)cos
(f1 + f2
2
)
= 2y0cos
((k2 − k1)
2x−
(w2 − w1)
2t
)cos
((k2 + k1)
2x−
(w2 + w1)
2t
)
= 2y0cos
[(∆k
2
)x−
(∆w
2
)t
]cos[kx− wt
]com
4k = k2 − k1, ∆w = w2 − w1
k =k1 + k2
2, w =
w1 + w2
2Para um intervalo de tempo �xo a dependência em x se dá na forma
Fig. de Tipler.
Nesse caso a função
Física Quântica 7
2y0cos
[(∆k
2
)x−
(∆w
2
)t
]=
2y0cos
{∆k
2
[x−
(∆w
∆k
)t
]}
é o envelope, i. e., a moduladora das oscilações, da função de onda
y = 2y0cos
{∆k
2
[x−
(∆w
∆k
)t
]}cos
{k
[x−
w
kt
]}
= 2y0cos
{2π
λ−
[x−
(∆w
∆k
)t
]}cos
{2π
λ+
[x−
w
kt
]}
λ− é o comprimento da função da estrutura moduladora, que varia lentamente, e
λ+o comprimento de onda da estrutura interior e que varia rapidamente
λ− =4π
| k2 − k1 |, λ+ =
4π
| k2 + k1 |
Observe também que a função moduladora propaga-se com velocidade
vg =∆w
∆k
Essa é chamada de velocidade de grupo.
A onda interior a função moduladora tem velocidade
vf =w
k
Física Quântica 8
e essa é a velocidade de fase (veja exemplo �velocidades� no Mathematica).
100 200 300 400 500 600� x
-2
-1
1
2
yHx,tL
Função de onda resultante da superposição de duas ondas planas:
y (x, t) = 2 cos [0.01 (x− 4t)] cos [0.11 (x− 8t)]
Para um pacote de ondas geral a velocidade de grupo é de�nida como
vg =dw
dk|k
Sendo
w = k vf
tem-se
vg = vf + kd vf
dk|k
Quando
d vf
dk= 0
Física Quântica 9
a velocidade de grupo e de fase são iguais (veja exemplo �velocidades� no Mathe-
matica onde as velocidades de grupo e de fase são iguais).
Meios não dispersivos: são aqueles onde a velocidade de fase é a mesma
para todas as frequências.
As ondas eletromagnéticas se propagam com mesma velocidade no vácuo, c.
d vf
dk=
c
2π
d vf
dν= 0
onde utilizou-se que
k =2π
λ=
2π
cν e dk =
2π
cdν
=⇒ vácuo é um meio não dispersivo para ondas eletromagnéticas.
Um pacote de ondas eletromagnéticas que se propaga no vácuo mantém,
portanto, sua forma pois a velocidade de grupo e de fase são iguais nesse caso.
Um prisma é um meio dispersivo.
Física Quântica 10
• Relação entre ∆k e ∆x.
Fig. de Tipler
Para um tempo �xo t a função moduladora é nula para xn
∆k
2
[xn −
(∆w
∆k
)t
]=
2n+ 1
2π
A diferença entre dois pontos consecutivos da função moduladora é
∆k
2
[xn+1 −
(∆w
∆k
)t
]−
∆k
2
[xn −
(∆w
∆k
)t
]=
2 (n+ 1) + 1
2π −
2n+ 1
2π
∆k
2
(xn+1 − xn
)= π
∆k
2∆x = π
Ou seja,
∆k∆x = 2π
De fato para a função moduladora na �gura
∆x =λ
2
∆k
2=
2π
λ⇒ ∆k∆x = 2π
Física Quântica 11
Da mesma forma �xando x
∆t∆w = 2π
• Um pacote de ondas geral pode ser construído com a superposição de ondas
harmônicas de diferentes amplitudes, número de onda e frequências
y (x, t) =∑n
Ancos(knx− wnt)
Para se representar um pulso que é não nulo em uma região do espaço (i.
e. localizado) é necessário uma superposição de in�nitas ondas. Isso porque
com uma superposição de um número �nito de ondas pode fazer a função
moduladora pequena fora de uma dada região, onde há interferência destrutiva
das ondas do grupo, mas haverão outros pontos onde as ondas estarão em fase
resultando em nova repetição. Vimos isso na superposição de duas onda acima.
Fig. de Tipler
A representação do pulso é feita por meio de uma distribuição contínua, subs-
tituindo An por
Física Quântica 12
A (k) dk ,
e integrando em dk. De maneira geral a superposição é da forma
y (x, t) =
ˆ +∞
−∞A (k) e
i(kx−wt)dk
A determinação dos An no caso discreto, bem como A (k) no caso contínuo é
feita por métodos da análise de Fourier.
• Interferência.
Um fenômeno característico das ondas é a interferência. Observa-se ao analisar
o caso particular da superposição de duas ondas que em certos pontos, onde as
ondas estão em fase, a amplitude da onda resultante é o dobro de cada onda da
composição. Nos pontos onde a diferença de fase é de 180o a amplitude da onda
resultante é nula. De fato, escrevendo
y = y0 cos (k1x− w1t) + y0 cos (k2x− w2t)
= y0 cos (k1x− w1t)
+ y0 cos (k1x− w1t+ (k2 − k1) x− (w2 − w1) t)
e o valor y = 0 é obtido quando
(k2 − k1) x− (w2 − w1) t = (2n+ 1)π
com n = 0, 1, 2, .... Nesses pontos a superposição é nula, pois neles
cos (k1x− w1t+ (k2 − k1) x− (w2 − w1) t)
= cos (k1x− w1t+ (2n+ 1)π) = −cos (k1x− w1t)
Física Quântica 13
Imaginemos duas fontes, S1 e S2 separadas por uma distância d e que emitem
ondas de mesma amplitude e em fase. As ondas são coerentes, i. e., mantém uma
diferença de fase constante entre elas.
yS1 = y0cos (k x1 − wt)
yS2 = y0cos (k x2 − wt)
Uma quantidade importante de uma onda que se propaga com velocidade v é sua
intensidade
I = ρv
onde ρ é a densidade de energia (energia por unidade de volume) da onda. Essa
densidade de energia é proporcional ao quadrado da sua amplitude y0, i. e.,
ρ ∼ y20
Consequentemente, a intensidade é também proporcional ao quadrado da ampli-
tude. Para ver a proporcionalidade com o quadrado da amplitude em ρ observe o
caso da densidade de energia de uma onda eletromagnética
ρ ∝| −→E |2= E20 cos
2(kx− wt)
Física Quântica 14
Em um anteparo distante (L� d) das fontes a intensidade da onda resul-
tante da superposição é registrada em função do ângulo θ. As ondas emitidas
pelas fontes são esféricas mas para essa discussão pode-se considerar, sem perder
sua essencialidade, que as ondas são planas.
Fig de Tipler.
Para que a onda resultante da superposição no ponto P , correspondente ao ângulo
θ, no anteparo seja construtiva máxima a diferença do percurso deve ser um
múltiplo inteiro do comprimento de onda. A diferença de percurso é
x2 − x1 = ∆x = d sinθ
- Interferência construtiva
Nos pontos de interferência construtiva máxima
∆x = d sinθmax = nλ n = 0,±1,±2...
Isso porque em tais pontos a diferença de fase das duas ondas é um múltiplo inteiro
Física Quântica 15
de 2π e, assim,
yS2 = y0cos (k x2 − wt)
= y0cos (k x1 + k∆x− wt)
= y0cos (k x1 + nλk − wt)
= y0cos (k x1 + 2nπ − wt) = yS1
Na segunda linha utilizou-se que k = 2π/λ. Com isso,
yTotal = yS1 + yS2 = 2yS1
Nesse caso a intensidade é quatro vezes maior uma vez que a amplitude da onda
resultante nos pontos considerados seria o dobro da amplitude das ondas yS1 e yS2.
- Interferência destrutiva
∆x = d sinθmim =2n+ 1
2λ n = 0,±1,±2...
Nos pontos correspondentes a esses ângulos no anteparo a interferência é destrutiva
máxima
yS2 = y0cos (k x1 + (2n+ 1)π − wt) = −yS1
de modo que
yTotal = yS1 + yS2 = 0
Em tais pontos a intensidade é sempre nula.
O que se registra no anteparo é um padrão típico de interferência.
Física Quântica 16
• Interferência de ondas advindas de fontes que emitem em fase e
com mesma amplitude.
Avaliemos a interferência de ondas coerentes advindas de N fontes. O número
wt é o mesmo para todas as ondas e será omitido por simplicidade (este pode ser
reintroduzido ao �nal fazendo kx→ kx− wt).
Consideremos a situação na qual a diferença de fase entre dois pares de ondas
consecutivas é δ = ϕN , e determinemos a condição para interferência completa-
mente destrutiva. A superposição é a das seguintes ondas
y1 = y0cos
(kx+
ϕ
N
)y2 = y0cos
(kx+ 2
ϕ
N
)...
yn = y0cos
(kx+ n
ϕ
N
)yN = y0cos (kx+ ϕ)
Isto é,
Física Quântica 17
yT = y0
N∑n=1
cos
(kx+ n
ϕ
N
)
= y0ReN∑n=1
ei(kx+n
ϕN ) = y0Re
[eikx
N∑n=1
einϕN
]
= y0Re
[eikx
(eiϕN − ei(N+1)
ϕN
1− eiϕN
)]
= y0Re
eikxeiϕN
+iϕ2
(e−i
ϕ2 − ei
ϕ2
)ei
ϕ2N
(e−i
ϕ2N − ei
ϕ2N
)
= y0Re
[ei(kx+
ϕN
+ϕ2−
ϕ2N ) e−i
ϕ2 − ei
ϕ2
e−iϕ
2N − eiϕ
2N
]
= y0Re
[ei(kx+N+1
2Nϕ)sinϕ2sin ϕ
2N
]
= y0cos
(kx+
N + 1
2Nϕ
)sinϕ2sin ϕ
2N
Quando δ = ϕN = 2π
N (ou um múltiplo inteiro disso) a interferência é comple-
tamente destrutiva. A diferença de fase entre a onda da primeira e da última fonte é
δN − δ1 = N2π
N−
2π
N= 2π
N − 1
N
Para N grande N−1N ≈ 1, e a condição para interferência destrutiva é que a
diferença de fase entre a onda da primeira e última fonte seja 2π.
Física Quântica 18
• Difração.
Uma onda ao passar por um orifício ou contornar um objeto pode apresentar o
fenômeno de difração. Tal fenômeno ocorre quando o comprimento de onda é da
ordem do tamanho do orifício ou objeto que atravessa.
O fenômeno da difração pode ser visto ao se considerar ondas harmônicas que
atravessam uma fenda cujo tamanho é da ordem do comprimento de onda.
Esse padrão observado é explicado pelo princípio de Huygens (1678).
A explicação da difração se dá pela superposição. De acordo com o princípio
de Huygens aplicado a essa situação o padrão observado é o mesmo gerado por
fontes no lugar da fenda.
Conforme observamos anteriormente tem-se um ponto de interferência destru-
tiva total quando a diferença de fase entre as ondas da primeira e da última fonte
Física Quântica 19
é aproximadamente 2π. Assim, o primeiro mínimo ocorre quando a diferença no
percurso entre a onda da primeira e da última fonte é igual a um comprimento de
onda
∆x = a sinθ = λ
Isso porque para a primeira e para a última
y1 = y0cos (kx+ δ1)
yN = y0cos (kx+ δN)
= y0cos (kx+ δ1 + (δN − δ1)) = y0cos (kx+ δ1 + k∆x)
δ = δN − δ1 = k∆x =2π
λa sinθ
e a condição observada é assim satisfeita com ∆x acima, i. e. λ = a sinθ.
Repare que a largura do padrão de difração (tamanho da distância entre os
dois primeiros mínimos) cresce a medida que a largura da fenda, a, diminui, i. e.,
θ aumenta, pois
Física Quântica 20
a sinθ = λ = constante
Padrão de difração que observado. A �gura resulta da passagem da laser por
uma fenda simples.
• Difração de Fraunhofer.
Luz que atravessa um orifício circular apresenta a difração de Fraunhofer.
Física Quântica 21
• A síntese de toda essa discussão é que ondas apresentam os fenômenos
peculiares de difração e interferência.
Física Quântica 22
Adendo
A prova da fórmula de Euler é dada com a expansão da exponencial
ex
=∞∑n=0
xn
n!
Com isso,
eiθ
=
∞∑n=0
(i θ)n
n!
=
∞∑n=0
(i θ)2n
(2n)!+
∞∑n=0
(i θ)2n+1
(2n+ 1)!
=
∞∑n=0
(−1)n θ2n
(2n)!+ i
∞∑n=0
(−1)n θ2n+1
(2n+ 1)!
= cos θ + i sin θ
Física Quântica 23
