Aula 4 - Ondas · 2018. 6. 5. · Aula 4 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 15deMaiode2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 1 / 46

Aula 4 - Ondas

Rene F. K. Spada

ITA

15 de Maio de 2018

Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 1 / 46

1 Ondas Sonoras

2 Relação entre Densidade e Deslocamento

3 Relação entre Pressão e Deslocamento

4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler

6 Ondas em Mais de Uma Dimensão

7 Cone de Mach


1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Som é uma onda mecânica;

Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;

I Alto-falantes em piscinas;

E também pode ser sólido;

I Índios em filmes de faroeste;


Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;

Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;





Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;

Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;





Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;

Mas pode ser líquido;





Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;

I Alto-falantes em piscinas;E também pode ser sólido;
















Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:

A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.






























A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;

Assim o som é uma onda longitudinal.





Mas o que a perturbação do gongo causa?

Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;


Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;

Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;


Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;

São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;


Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;

Analisaremos esse processo em detalhes;


Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;


1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


O processo pode ser separado em:

Deslocamentodo Fluido

Mudança deDensidade

Mudançade Pressão

Variação dePressão provocaDeslocamento





Mudançade Pressão






Mudançade Pressão






Mudançade Pressão






Mudançade Pressão



Consideremos uma onda sonora em um tubo:

~F

Compressão

Rarefação

Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;



~F

Compressão

Rarefação

Primeiro o tubo está em equilíbrio;

Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;



~F

Compressão

Rarefação

Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;

Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;



~F

Compressão

Rarefação

Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;

Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;



~F

Compressão

Rarefação





~F

Compressão

Rarefação





~F

Compressão

Rarefação





~F

Compressão

Rarefação

Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;


A

∆x

A

u(x , t)

∆x1

Quando o tubo está em repouso:

Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;

V0 = A∆x

Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :


A

∆x

A

u(x , t)

∆x1

Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;

Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;

V0 = A∆x



A

∆x

A

u(x , t)

∆x1

Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;

Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;

V0 = A∆x



A

∆x

A

u(x , t)

∆x1

Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;

V0, ρ0 e p0;

V0 = A∆x



A

∆x

A

u(x , t)

∆x1

Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;

V0 = A∆x



A

∆x

A

u(x , t)

∆x1


V0 = A∆x



A

∆x

A

u(x , t)

∆x1


V0 = A∆x

Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;

Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :


A

∆x

A

u(x , t)

∆x1


V0 = A∆x

Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);

Assim precisamos calcular ∆V :


A

∆x

A

u(x , t)

∆x1


V0 = A∆x



V1 = A [x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t)]

Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]


V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]

Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]


V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x

Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]

∆V = V1 − V0 = A∆x[u(x + ∆x , t)− u(x , t)

∆x

]



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]

∆V = V1 − V0 = A∆x︸︷︷︸V0

[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x

]



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]

∆V = V1 − V0 = A∆x︸︷︷︸V0

[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x

]︸︷︷︸

∆x→0, derivada



Assim temos:

∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]

∆V = V1 − V0 = A∆x︸︷︷︸V0

[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x

]︸︷︷︸

∆x→0, derivada

∴∆VV0

= ∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x

Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:

I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;

δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x



δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x



δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x



δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x



δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x

Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;

I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;

δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x

Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;

δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


Como ρ = m/V :

dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V

V 2 = −ρ∆VV

Assim:

− ∆VV0

= ∆ρρ0

= −∂u(x , t)∂x

Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;

δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x

Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)

∂x > 0, deslocamento cresce com x ;Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.


δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x

Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;

O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)



δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x

Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:

Se ∂u(x ,t)∂x > 0, deslocamento cresce com x ;

Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.


δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x


∂x > 0, deslocamento cresce com x ;

Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.


δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x




1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Para relação entre densidade e pressão;

Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;

I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;

O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:

∑F = ma


Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;

Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;



∑F = ma


Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;



∑F = ma



I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;

I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:

∑F = ma





∑F = ma




O caminho natural é pelas leis de Newton;

Como estamos trabalhando em uma dimensão:

∑F = ma





∑F = ma





∑F = ma


A

∆x

~F1 ~F2

Considerando novamente a seção ∆x do tubo;

Para a massa contida nessa seção:

m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A


A

∆x

~F1 ~F2

Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:

m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A


A

∆x

~F1 ~F2


m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A


A

∆x

~F1 ~F2


m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A


A

∆x

~F1 ~F2


m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A

F2 = −P(x + ∆x , t)A


A

∆x

~F1 ~F2


m = ρ0∆V = ρ0A∆x

E para as forças:

F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A


Assim, para a segunda lei de Newton:



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2︸︷︷︸

a



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2︸︷︷︸

a

P(x , t)A− P(x + ∆x , t)A = ρ0A∆x ∂2u(x , t)∂t2



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2︸︷︷︸

a


P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x = ρ0

∂2u(x , t)∂t2



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2︸︷︷︸

a


P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x︸︷︷︸

∆x→0, -derivada

= ρ0∂2u(x , t)∂t2



∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂

2u(x , t)∂t2︸︷︷︸

a


P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x︸︷︷︸

∆x→0, -derivada

= ρ0∂2u(x , t)∂t2

∴∂P∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2


Mas como p0 é constante em x ;

∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2

Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;



∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2




∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2




∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2




∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2

Queremos encontrar a equação de onda;

Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;



∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2

Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;

Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;



∂P∂x = ∂p

∂x

Temos:

∴∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2



Expandindo a pressão em série de Taylor:

P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ

Ou seja:

δP = p =(∂P∂ρ

)0δρ

Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;



P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ

Ou seja:

δP = p =(∂P∂ρ

)0δρ




P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ

Ou seja:

δP = p =(∂P∂ρ

)0δρ




P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ

Ou seja:

δP = p =(∂P∂ρ

)0δρ




P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ

Ou seja:

δP = p =(∂P∂ρ

)0δρ



Um deslocamento no fluido produz uma variação de densidade:

δρ = −ρ0∂u∂x

Essa variação de densidade causa uma variação de pressão:

p =(∂P∂ρ

)0δρ = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x





p =(∂P∂ρ

)0δρ = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x





p =(∂P∂ρ

)0δρ = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x





p =(∂P∂ρ

)0δρ = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x


E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:

∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x

Assim temos:

∂2u(x , t)∂t2 =

(∂P∂ρ

)0

∂2u∂x2



∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2

com p = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x

Assim temos:

∂2u(x , t)∂t2 =

(∂P∂ρ

)0

∂2u∂x2



∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x

Assim temos:

∂2u(x , t)∂t2 =

(∂P∂ρ

)0

∂2u∂x2



∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x

Assim temos:

∂2u(x , t)∂t2 =

(∂P∂ρ

)0

∂2u∂x2



∂p∂x = −ρ0

∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0

(∂P∂ρ

)0

∂u∂x

Assim temos:

∂2u(x , t)∂t2 =

(∂P∂ρ

)0

∂2u∂x2


Podemos reconhecer essa última expressão como:

1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u

∂x2 com v =√(

∂P∂ρ

)0

Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;



1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u

∂x2

com v =√(

∂P∂ρ

)0




1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u

∂x2 com v =√(

∂P∂ρ

)0




1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u

∂x2 com v =√(

∂P∂ρ

)0

Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.

É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;



1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u

∂x2 com v =√(

∂P∂ρ

)0



1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Precisamos saber que o processo é adiabático;

A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:

P = bργ , γ = CpCV

CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;


Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;

Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:




Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;

Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:




Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;

Para esse tipo de processo:




Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:





P = bργ

, γ = CpCV









CV → Calor específico do gás a volume constante;

Cp → Calor específico do gás a pressão constante;






Assim temos:

P = bργ =⇒ ∂P∂ρ

= γbργ−1 = γPρ

Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:

PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ

kBTmp

Assim, para a velocidade temos:

v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:


= γbργ−1

= γPρ



kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:




PV = NkBT

=⇒ P = NkBTV = ρ

kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:




PV = NkBT =⇒ P = NkBTV

= ρkBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Assim temos:





kBTmp


v =√∂P∂ρ0

=√γ

Pρ0

=√γ

kBTmp


Utilizando:

v =√γ

Pρ0

Para o ar a T=273 K:

I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2

I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s

Realmente muito próximo do valor experimental.


Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2

I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2

I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0

Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2

I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I ρ0 = 1, 293kg/m3;

I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Utilizando:

v =√γ

Pρ0


I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4

v ≈ 332m/s



Para o caso de líquidos;

É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:

B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0

Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:

v ≈ 1.483m/s

Também muito próximo do valor experimental.


Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:

B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s




B = ρ

(∂P∂ρ

)0

Assim:

v =√

B0ρ0


v ≈ 1.483m/s

Também muito próximo do valor experimental.Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46

1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;

Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;

Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;

Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;

Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;

Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;

Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.

s A~v0 ~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;

A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;

Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;

A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;

Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;

Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).

s A~v0

~v

~v0


Sendo v a velocidade da onda;

A velocidade da onda relativa ao observador:

v ′ = v + v0

O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:

ν ′ = v ′λ

= v + v0λ


Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:

v ′ = v + v0


ν ′ = v ′λ

= v + v0λ



v ′ = v + v0


ν ′ = v ′λ

= v + v0λ



v ′ = v + v0

O comprimento de onda não se altera;

Utilizando v = λν:

ν ′ = v ′λ

= v + v0λ



v ′ = v + v0


ν ′ = v ′λ

= v + v0λ



v ′ = v + v0


ν ′ = v ′λ

= v + v0λ


Como λ = v/ν;

ν ′ = v ′λ

=(1 + v0

v

)ν

Se o observador estiver se movendo para longe da fonte:

ν ′ = v ′λ

=(1− v0

v

)ν


Como λ = v/ν;

ν ′ = v ′λ

=(1 + v0

v

)ν


ν ′ = v ′λ

=(1− v0

v

)ν


Como λ = v/ν;

ν ′ = v ′λ

=(1 + v0

v

)ν


ν ′ = v ′λ

=(1− v0

v

)ν


Como λ = v/ν;

ν ′ = v ′λ

=(1 + v0

v

)ν


ν ′ = v ′λ

=(1− v0

v

)ν


De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν

Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:

I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;


De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν




De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν

Agora considerando a fonte em movimento:

Se a fonte se mover na direção do objeto:



De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν




De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν


I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;

I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;


De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν


I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;

I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;


De forma geral:

ν ′ = v ′λ

=(1± v0

v

)ν




O comprimento de onda observado fica:

λ′ = λ−∆λ = λ− vsν

Como λ = v/ν, a frequência observada fica:

ν ′ = vλ′

= vλ− vs

ν

ν ′ = vvν −

vsν

=(

11− vs

v

)ν



λ′ = λ−∆λ = λ− vsν


ν ′ = vλ′

= vλ− vs

ν

ν ′ = vvν −

vsν

=(

11− vs

v

)ν



λ′ = λ−∆λ = λ− vsν


ν ′ = vλ′

= vλ− vs

ν

ν ′ = vvν −

vsν

=(

11− vs

v

)ν



λ′ = λ−∆λ = λ− vsν


ν ′ = vλ′

= vλ− vs

ν

ν ′ = vvν −

vsν

=(

11− vs

v

)ν



λ′ = λ−∆λ = λ− vsν


ν ′ = vλ′

= vλ− vs

ν

ν ′ = vvν −

vsν

=(

11− vs

v

)ν


De forma análoga, quando a fonte se afasta do observador:

ν ′ =(

11 + vs

v

)ν

E de forma geral:

ν ′ =(

11∓ vs

v

)ν



ν ′ =(

11 + vs

v

)ν

E de forma geral:

ν ′ =(

11∓ vs

v

)ν



ν ′ =(

11 + vs

v

)ν

E de forma geral:

ν ′ =(

11∓ vs

v

)ν



ν ′ =(

11 + vs

v

)ν

E de forma geral:

ν ′ =(

11∓ vs

v

)ν


E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?

ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν

Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;

Regra geral:

I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;



ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν


Regra geral:




ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν

Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;

Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;

Regra geral:




ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν


Regra geral:




ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν


Regra geral:




ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν


Regra geral:I Se aproximando → Aumenta a frequência;

I Se afastando → Diminui a frequência;



ν ′ =(v ± v0

v ∓ vs

)ν


Regra geral:I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;


1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Até agora estudamos ondas em uma dimensão;

O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;

Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.

s Frente de Ondakx − ωt = cte


Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?

Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;




Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
































Precisamos escrever a equação de onda em 3D;

Em coordenadas cartesianas por ex:

∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2

A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:

ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:

ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ

)

ϕ(~r , t)→ Escalar.


Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:

∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2

=⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:

ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ)

=⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ

)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:

ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t)

= A cos(~k ·~r − ωt + δ

)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)




∂2ϕ

∂x2 = 1v2∂

2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 = 1v2∂

2ϕ∂t2


ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)

Por ex:


)

ϕ(~r , t)→ Escalar.Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46

O número de onda ganhou informação vetorial:

k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda

|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.

~k





~k




|~k| = k = 2π/λ = ω/v;

Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.

~k




|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;

Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.

~k





~k





~k





~k





~k





~k





~k


Para coordenadas polares temos:

ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)

Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.

s~k





s~k




Como só existe dependência radial;

A frente de onda é circular.

s~k





s~k





s~k





s~k





s~k





s~k





s~k





s~k


Para uma onda com simetria esféria;

Em coordenadas esféricas temos:

ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)

r r r r


Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:


r r r r




r r r r




r r r r




r r r r




r r r r




r r r r


1 Ondas Sonoras



4 Velocidade do Som

5 Efeito Doppler


7 Cone de Mach


Considere um referencial inercial;

A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:

s Ri~vss s s

Efeito Doppler.


Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;

Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:

s Ri~vss s s

Efeito Doppler.


Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;

Se vs < v temos:

s Ri~vss s s

Efeito Doppler.


Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:

s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.



s Ri~vss s s

Efeito Doppler.


Agora se v = vs

s Ri~vss s s

As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.


Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Agora se v = vs

s Ri~vss s s

As frentes de ondas são todas somadas;

Formação da barreira do som.


Agora se v = vs

s Ri~vss s s



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα

O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;

sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv

Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.


Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα

= vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



Se vs > v :

s Ri~vsts s s s

vt

vstα


sinα = vtvst

= vvs

= 1nM

=⇒ ∴ nM = vsv



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Aula 4 - Ondas · 2018. 6. 5. · Aula 4 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 15deMaiode2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 1 / 46