Aula 2 - Ondas€¦ · Aula 2 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 7deMaiode2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 1 / 46

Aula 2 - Ondas

Rene F. K. Spada

ITA

7 de Maio de 2018

Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 1 / 46

1 Solução de Equação de Onda

2 Séries de Fourier

3 Retomando a Solução da Equação de Onda






Na aula passada deduzimos a equação:

∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2




∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Descreve o movimento de uma onda em uma corda;

Agora estamos interessados em uma corda vibrando;Como em um instrumento musical:



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Descreve o movimento de uma onda em uma corda;Agora estamos interessados em uma corda vibrando;

Como em um instrumento musical:



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2



L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;

y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial[

∂y(x , t)

∂t

]t=0

= y0(x)∣∣ Velocidade inicial

y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:

y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;Calcular a posição de cada ponto da corda em cada instante;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para gerar essa onda precisamos de extremidades fixas;Assim a corda vibra entre as extremidades;Em um dado instante a corda possui um perfil;Objetivo → expressão que descreve o movimento da corda;Calcular a posição de cada ponto da corda em cada instante;Procuramos uma função de duas variáveis → x e t;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para o cálculo de y(x , t);


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)

Para o cálculo de y(x , t);Precisamos de condições iniciais;Primeiro olhando para a parte temporal;


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


y(x , 0) = y0(x)

∣∣ Posição inicial[∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


y(x , 0) = y0(x)∣∣ Posição inicial

[∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)



∂y(x , t)

∂t

]t=0

= y0(x)

∣∣ Velocidade inicial


y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)



∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0


y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;

Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:

y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0


y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;

Como a corda está fixa nas duas extremidades;Podemos aplicadar também as condições de contorno:

y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0


y0(x) e y0(x) são funções apenas de x ;Retornando à corda vibrando;Como a corda está fixa nas duas extremidades;

Podemos aplicadar também as condições de contorno:

y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t)

= y(L, t) = 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t)

= 0


L

y(x , t)y(x , 0) y(x , t)


∂y(x , t)

∂t

]t=0



y(0, t) = y(L, t) = 0


Para resolvermos a equação de onda:

∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:

y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2


y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;

Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:

y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;

Método de Separação de Variáveis;Procuraremos uma solução do tipo:

y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

Temos uma equação diferencial parcial de duas variáveis;Transformaremos essa equação em duas equações diferenciaisordinárias;Método de Separação de Variáveis;

Procuraremos uma solução do tipo:

y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2


y(x , t) = X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2


y(x , t) = X (x)Θ(t)


Assim, para a parte espacial:

E para a parte temporal:



∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)]




∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]




∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]

∂2y

∂x2 = Θ(t)∂2X (x)

∂x2




∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]

∂2y

∂x2 = Θ(t)∂2X (x)

∂x2




∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]

∂2y

∂x2 = Θ(t)∂2X (x)

∂x2


∂2y

∂t2=

∂2

∂t2[X (x) Θ(t)]



∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]

∂2y

∂x2 = Θ(t)∂2X (x)

∂x2


∂2y

∂t2=

∂2

∂t2[X (x)︸︷︷︸

cte

Θ(t)]



∂2y

∂x2 =∂2

∂x2 [X (x) Θ(t)︸︷︷︸cte

]

∂2y

∂x2 = Θ(t)∂2X (x)

∂x2


∂2y

∂t2=

∂2

∂t2[X (x)︸︷︷︸

cte

Θ(t)]

∂2y

∂t2= X (x)

∂2Θ(t)

∂t2


Retornando a equação de onda:

∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2∣∣ Substituindo

Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2

Dividindo ambos os lados por X (x)Θ(t)



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

∣∣ Substituindo

Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2




∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2




∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2




∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2




∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2


Θ(t)

X (x)Θ(t)

∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2X (x)Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2


HHHΘ(t)

X (x)HHHΘ(t)

∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2X (x)Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)


Θ(t)∂2X (x)

∂x2 =X (x)

v2∂2Θ(t)

∂t2


HHHΘ(t)

X (x)HHHΘ(t)

∂2X (x)

∂x2 = ��HHHX (x)

v2��HHHX (x)Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2


E a equação pode ser reescrita como:

1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2ou

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

Variáveis separadas; 3

O lado esquerdo depende apenas de x ;O lado direito depende apenas de t;



1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

ouv2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2





1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2ou

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2





1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2ou

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2





1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2ou

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2


O lado esquerdo depende apenas de x ;

O lado direito depende apenas de t;



1X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

v2Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2ou

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2




Considerando a forma:

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

Fazendo essa constante −ω2

O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;Assim:



v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2





v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;





v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;Variando apenas t (direita) → Lado esquerdo não varia;





v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2

Variando apenas x (esquerda) → Lado direito não varia;Variando apenas t (direita) → Lado esquerdo não varia;Só faz sentido se ambos os lados forem constantes;





v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2





v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2


O sinal de negativo indica que a aceleração do elemento de cordaaponta sempre para posição de equilíbrio;

Assim:



v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 =1

Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2




Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0

ω → Frequência angular.


Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2

=⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒

∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2

=⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒

∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Para x :

v2

X (x)

∂2X (x)

∂x2 = −ω2 =⇒ ∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

Para t:

1Θ(t)

∂2Θ(t)

∂t2= −ω2 =⇒ ∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0



Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;

Utilizaremos sin e cos:

∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

Antes de proseguir;Vamos verificar a solução:


Procuramos uma função cuja derivada segunda seja ela mesma comsinal invertido;Utilizaremos sin e cos:

∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)




∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0

=⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)




∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)




∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)




∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

Antes de proseguir;

Vamos verificar a solução:



∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) = 0 =⇒ X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)



Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

Substituindo na equação para X (x):

∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx=

− Cω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 =

− Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)

− Dω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Assim:

X (x) = C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

dX (x)

dx= − C

ω

vsin(ωvx)

+ Dω

vcos(ωvx)

d2X (x)

dx2 = − Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)


∂2X (x)

∂x2 +ω2

v2 X (x) =

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

︸︷︷︸d2Xdx

+ω2

v2

C cos(ωvx)

+ D sin(ωvx)

︸︷︷︸X (x)

=


Multiplicando o termo ω2

v2 ;

−C ω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

+ω2

v2 C cos(ωvx)

+ω2

v2 D sin(ωvx)

=

Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.



v2 ;

−��

Cω2

v2 cos(ωvx)− D

ω2

v2 sin(ωvx)

+��

��ω2

v2 C cos(ωvx)

+ω2

v2 D sin(ωvx)

=




v2 ;

−��

��Cω2

v2 cos(ωvx)−��

��XXXXXXXD

ω2

v2 sin(ωvx)

+��

��ω2

v2 C cos(ωvx)

+��

�XXXXXXXω2

v2 D sin(ωvx)

=




v2 ;

−��

��Cω2


��XXXXXXXD

ω2

v2 sin(ωvx)

+��

��ω2

v2 C cos(ωvx)

+��

�XXXXXXXω2

v2 D sin(ωvx)

=

Como X (x) proposto satisfaz a equação;

X (x) é uma solução da equação de onda;Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.



v2 ;

−��

��Cω2


��XXXXXXXD

ω2

v2 sin(ωvx)

+��

��ω2

v2 C cos(ωvx)

+��

�XXXXXXXω2

v2 D sin(ωvx)

=

Como X (x) proposto satisfaz a equação;X (x) é uma solução da equação de onda;

Lidaremos com as constantes C e D daqui a pouco.



v2 ;

−��

��Cω2


��XXXXXXXD

ω2

v2 sin(ωvx)

+��

��ω2

v2 C cos(ωvx)

+��

�XXXXXXXω2

v2 D sin(ωvx)

=



Para a parte temporal:

∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)

Conferindo:

Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)

dΘ(t)

dt= −ωE sin(ωt) + ωF cos(ωt)

d2Θ(t)

dt2= −ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)



∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0

=⇒ Θ(t) = E cos(ωt) + F sin(ωt)

Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) = 0 =⇒


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)




∂2Θ(t)


Conferindo:


dΘ(t)


d2Θ(t)



Substituindo na equação para Θ(t):

∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =

−ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt)︸︷︷︸d2Θ(t)

dt2

+ ω2

E cos(ωt) + F sin(ωt)︸︷︷︸Θ(t)

=

Portanto a solução Θ(t) satisfaz a equação.



∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=

− ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt) + ω2E cos(ωt) + ω2F sin(ωt) =




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=

−��ω2E cos(ωt)− ω2F sin(ωt) +��

��ω2E cos(ωt) + ω2F sin(ωt) =




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=

−��ω2E cos(ωt)−

XXXXXXω2F sin(ωt) +��ω2E cos(ωt) +

XXXXXXω2F sin(ωt) =




∂2Θ(t)

∂t2+ ω2Θ(t) =


dt2

+ ω2


=

−��ω2E cos(ωt)−

XXXXXXω2F sin(ωt) +��ω2E cos(ωt) +

XXXXXXω2F sin(ωt) =



Assim a solução geral fica:

y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)

[E cos(ωt) + F sin(ωt)]︸︷︷︸Θ(t)

Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.



y(x , t) =

X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)





y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)





y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =

[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)





y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)





y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)





y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)


Ainda precisamos lidar com as constantes C , D, E e F ;

Devemos utilizar as condições iniciais e de contorno.



y(x , t) = X (x)Θ(t)

y(x , t) =[C cos

(ωvx)

+ D sin(ωvx)]

︸︷︷︸X (x)




Como a solução está separada:

y(x , t) = X (x)Θ(t)

Podemos aplicar a condição de contorno espacial só em X (x):

L

{

y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{

y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{

y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{

y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) =

X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) = X (0) =

0y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) = X (0) = 0

y(L, t) = X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) =

X (L) = 0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) =

0



y(x , t) = X (x)Θ(t)


L

{y(0, t) = X (0) = 0y(L, t) = X (L) = 0


Assim, fazendo x = 0 em X (x):

X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0,

não podemos afirmar nada sobre D;

Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:

C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0,

não podemos afirmar nada sobre D;


C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0,

não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:

C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;


C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;

A igualdade só é respeitada se:

C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se:

C = 0E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0

E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)



X (0) = C cos(ωv0)

+ D sin(ωv0)

= 0

Como sin(0) = 0, não podemos afirmar nada sobre D;Mas cos(0) = 1;A igualdade só é respeitada se: C = 0E a solução fica:

X (x) = D sin(ωvx)


Fazendo x = L em X (x);

X (L) = D sin(ωvL)

= 0

Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:

sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0


sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0

Uma solução pode ser dada se D = 0;

No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:

sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0

Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;

Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:

sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0

Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;

Ou seja, não existe onda;Então, a outra opção é:

sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0

Uma solução pode ser dada se D = 0;No entanto essa é uma solução trivial;Se C = D = 0, X (x) = y(x , t) = 0 para todo x e t;Ou seja, não existe onda;

Então, a outra opção é:

sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0


sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0


sin(ωvL)

= 0

=⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0


sin(ωvL)

= 0 =⇒

ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .



X (L) = D sin(ωvL)

= 0


sin(ωvL)

= 0 =⇒ ω

vL = nπ , n = 1, 2, 3, . . .


Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;

Fazendo ω → ωn:

ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ

Frequências possíveis dependem apenas das propriedades da corda;


Inserimos uma dependencia em um número inteiro n;Fazendo ω → ωn:

ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ




ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ




ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ




ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ




ωn

vL = nπ =⇒ ωn =

nπv

L

Sabendo que v =√

T/µ:

ωn =nπ

L

√T

µ



Retornando para X (x):

X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L

E retornando a y(x , t):

y(x , t) = D sin(nπ

Lx)

[E cos(ωnt) + F sin(ωnt)]



X (x) = D sin(ωn

vx)

| ωn =nπv

L



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L

X (x) = D sin(nπv

Lvx)



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L

X (x) = D sin(nπ�v

L�vx)



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L


L�vx)

X (x) = D sin(nπ

Lx)



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L


L�vx)

X (x) = D sin(nπ

Lx)



Lx)




X (x) = D sin(ωn

vx)| ωn =

nπv

L


L�vx)

X (x) = D sin(nπ

Lx)



Lx)




Lx)


Se fizermos DE = An e DF = Bn:

y(x , t) = [An cos(ωnt) + Bn sin(ωnt)] sin(nπ

Lx)

Lembrando que ωn = nπv/L:

y(x , t) = An sin(nπ

Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)



Lx)




Lx)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)



Lx)




Lx)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)



Lx)




Lx)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)



Lx)




Lx)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)


As condições iniciais são para:

y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)

Para a segunda condição:


Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) =

y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)

[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

=

y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)

Para a primeira condição:



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

y(x , 0) = y0(x) = An sin(nπx

L

)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) =

− An sin(nπ

Lx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

=

y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)



y(x , 0) = y0(x)[∂y∂t

]t=0

= y0(x)



Lx)

cos(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)

sin(nπv

Lt)

∂y

∂t= y(x , t) = − An sin

(nπLx)(nπv

L

)sin(nπv

Lt)

+ Bn sin(nπ

Lx)(nπv

L

)cos(nπv

Lt)

[∂y

∂t

]t=0

= y0(x) = Bn

(nπvL

)sin(nπ

Lx)


A nossa solução depende de n;

Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;

Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:

Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;

Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;

Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


A nossa solução depende de n;Cada valor de n é uma solução diferente;Como sabemos sobre equações diferenciais:Se y1(x , t) e y2(x , t) são soluções de uma equação diferencial;Então y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) também é solução;Assim, para uma solução mais geral para equação de onda devemosconsiderar todos valores possíveis de n:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]

em que ωn =nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


Com a solução geral;

Dadas condições iniciais (t = 0);

y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)

Da solução geral obtemos:

y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)


Com a solução geral;Dadas condições iniciais (t = 0);

y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)


y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)



y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)


y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)



y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)


y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)



y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)


y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)

y0(x) =∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)



y(x , 0) = y0(x) e y(x , 0) = y0(x)


y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)


Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;

Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:

Ln = 1→ Primeiro harmônico.n = 2→ Segundo harmônico.n = 3→ Terceiro harmônico.n = 4→ Quarto harmônico.n = 1, 2, 3, 4.

Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;Ou seja, a soma de vários modos.


Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;

Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:




Antes de discutirmos como obter as constantes An e Bn;Vamos olhar os gráficos de y(x , t)× x para n = 1, 2, 3, 4;Para diferentes valores de n obtêm-se diferentes modos de vibração:


























Em geral, a corda vibra em vários modos ao mesmo tempo;

Ou seja, a soma de vários modos.






Solução geral → Soma de senos e cossenos;

Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.


Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;

Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.


Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;

Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.


Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;

Depois aplicaremos na solução da equação de onda.


Solução geral → Soma de senos e cossenos;Completamente conhecida se soubermos An e Bn;Esse tipo de soma foi estudada por Fourier;Estudaremos primeiro Séries de Fourier;Depois aplicaremos na solução da equação de onda.






Segundo Fourier:

Toda função periódica pode ser escrita como uma soma de senos ecossenos

Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;Mas é verdade.


Segundo Fourier:




Segundo Fourier:


Grandes matemáticos como Laplace, Lagrange e Poisson nãoacreditaram;

Mas é verdade.


Segundo Fourier:




Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;

Essa função pode ser representada por uma série do tipo:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] , ω0 =2πT

Precisamos determinar an e bn;


Dada qualquer função f (t) que seja periódica em T ;Essa função pode ser representada por uma série do tipo:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1





f (t) =a0

2+

∞∑n=1





f (t) =a0

2+

∞∑n=1




Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:

T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:

∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0

Possível obter por integração direta;


Utilizaremos a ortogonalidade dos senos e cossenos:T sempre será múltiplo do comprimento de onda dessas funções:

∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0




∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n

∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0




∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n

∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0




∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0




∫ T

0sin

(2nπT

t

)sin

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0cos

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt =

{0 , m 6= n

T/2 , m = n∫ T

0sin

(2nπT

t

)cos

(2mπT

t

)dt = 0



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1


Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :

T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1

[an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)] dt


Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1



T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1


Para o cálculo de an:

Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;Integrando de 0 até T :

T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1


Para o cálculo de an:Multiplicando ambos os lados por cos(mω0t) com m 6= 0;

Integrando de 0 até T :

T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1



T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1



T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1



T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Como temos:

f (t) =a0

2+

∞∑n=1



T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt

+

T∫0

cos(mω0t)∞∑n=1



Para o cálculo do primeiro termo do lado direito:

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0

cos(mω0t) cos(0ω0t)︸︷︷︸1

dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0 | m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0



T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0


dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0 | m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0



T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0


dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0 | m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0



T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0


dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0

| m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0



T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0


dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0 | m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0



T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2

T∫0


dt

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt =

a0

2T

2δm0 | m 6= 0

T∫0

cos(mω0t)a0

2dt = 0


Para o cálculo do terceiro termo do lado direito:

∞∑n=1

bn

T∫0

cos(mω0t) sin(nω0t)dt = 0

Assim temos:

T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =∞∑n=1

an

T∫0

cos(mω0t) cos(nω0t)dt



∞∑n=1

bn

T∫0

cos(mω0t) sin(nω0t)dt =

0

Assim temos:

T∫0


an

T∫0




∞∑n=1

bn

T∫0


Assim temos:

T∫0


an

T∫0




∞∑n=1

bn

T∫0


Assim temos:

T∫0


an

T∫0




∞∑n=1

bn

T∫0


Assim temos:

T∫0

cos(mω0t)f (t)dt =

∞∑n=1

an

T∫0




∞∑n=1

bn

T∫0


Assim temos:

T∫0


an

T∫0



∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt =

∞∑n=1

an

∫ T

0cos(mω0t) cos(nω0t)dt

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt

De forma análoga, mas multiplicando por sin (mω0t):

∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


∫ T


∞∑n=1

an

∫ T

0cos(mω0t) cos(nω0t)dt︸︷︷︸

T2 δmn

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt


∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


∫ T


∞∑n=1

an

∫ T


T2 δmn

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt


∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


∫ T


∞∑n=1

an

∫ T


T2 δmn

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt


∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


∫ T


∞∑n=1

an

∫ T


T2 δmn

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt


∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


∫ T


∞∑n=1

an

∫ T


T2 δmn

Assim:

∴ am =2T

∫ T

0cos(mω0t)f (t)dt


∴ bm =2T

∫ T

0sin(mω0t)f (t)dt


Para o cálculo de a0:

Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:


Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;

Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:


Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);

Os termos em an e bn ficam:


Para o cálculo de a0:Sabendo que cos(0ω0t) = 1;Assim, multiplicando ambos os lados por cos(0ω0t);Os termos em an e bn ficam:



∞∑n=1

an

∫ T

0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt =



∞∑n=1

an

∫ T

0cos(0ω0t) cos(nω0t)dt︸︷︷︸

T2 δn0

= 0



∞∑n=1

an

∫ T


T2 δn0

= 0

∞∑n=1

bn

∫ T

0cos(0ω0t) sin(nω0t)dt =



∞∑n=1

an

∫ T


T2 δn0

= 0

∞∑n=1

bn

∫ T

0cos(0ω0t) sin(nω0t)dt︸︷︷︸

T2 δn0

= 0


O único termo que não é nulo é:

T∫0

cos(0ω0t)f (t)dt =a0

2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =a0

2T

Ou seja, já considerando cos(0ω0t) = 1:

a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0

cos(0ω0t)f (t)dt =

a0

2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0


2

T∫0

cos(0ω0t)dt =

a0

2

T∫0

dt =a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0


2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =

a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0


2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0


2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt



T∫0


2

T∫0

cos(0ω0t)dt =a0

2

T∫0

dt =a0

2T


a0 =2T

T∫0

f (t)dt


Podemos unificar o cálculo de a0 com an;

Assim temos como solução para os coeficientes:

an =2T

T∫0

cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2T

T∫0

sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .


Podemos unificar o cálculo de a0 com an;Assim temos como solução para os coeficientes:

an =2T

T∫0

cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2T

T∫0

sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .



an =2T

T∫0

cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2T

T∫0

sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .



an =2T

T∫0

cos(nω0t)f (t)dt n = 0, 1, 2, 3, . . .

bn =2T

T∫0

sin(nω0t)f (t)dt n = 1, 2, 3, . . .


Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;

Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;Retornaremos agora à solução da equação de onda.


Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;

Retornaremos agora à solução da equação de onda.


Esse é apenas um procedimento de cálculo para os coeficientes;Estudos mais aprofundados sobre essa série fogem do escopo dessaaula;Retornaremos agora à solução da equação de onda.






Como vimos anteriormente;

A equação de onda é dada por:

∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


Como vimos anteriormente;A equação de onda é dada por:

∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]

em que ωn =nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .



∂2y(x , t)

∂x2 =1v2∂2y(x , t)

∂t2

E possui solução:

y(x , t) =∞∑n=1

[An sin

(nπxL

)cos(ωnt) + Bn sin

(nπxL

)sin(ωnt)

]em que ωn =

nπv

L, n = 1, 2, 3, . . .


Utilizando as condições iniciais temos que:

y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)

Iremos utilizar o mesmo procedimento utilizado em séries de Fourierpara calcular os coeficientes:



y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)

y0(x) =∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)




y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)




y0(x) =∞∑n=1

An sin(nπx

L

)y0(x) =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

)sin(nπx

L

)



Para a primeira condição inicial;

Se multiplicarmos ambos os lados por sin(mπxL

);

Em seguida integramos de 0 a L:

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx


Para a primeira condição inicial;Se multiplicarmos ambos os lados por sin

(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

An

L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

An

L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

An

L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn =

AmL

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

An

L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

An

L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

AnL

2δmn = Am

L

2

∴ Am =2L

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx


Para a segunda condição inicial:

Se multiplicarmos ambos os lados por sin(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx


Para a segunda condição inicial:Se multiplicarmos ambos os lados por sin

(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn =

Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx



(mπxL

);


L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L∫0

sin(mπx

L

)sin(nπx

L

)dx

︸︷︷︸L2 δmn

L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx =

∞∑n=1

Bn

(nπvL

) L

2δmn = Bm

(mπvL

) L

2

∴ Bm =

(2

mπv

) L∫0

sin(mπx

L

)y0(x)dx


Temos a solução geral completa;

Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.


Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);

Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.


Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;

Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.


Temos a solução geral completa;Se soubermos y0(x) e y0(x);Ou seja, a posição e velocidade inicial em todos os pontos da corda;Sabemos também o comportamento da corda durante todo o tempo.


Documents

Aula 2 - Ondas€¦ · Aula 2 - Ondas ReneF.K.Spada ITA 7deMaiode2018 Rene F. K. Spada (ITA) Aula 2 - Ondas 7 de Maio de 2018 1 / 46