GPEFE

Ondas Mecânicas

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@msn.com

megafisica.com.br

Aula 13: Ondas

Mecânicas

Ondas

Ondas podem ser definidas como resultados dealgum tipo de vibração. Tal vibração ao se propagarpelo espaço, com o passar do tempo produz o quedefinimos como ondas.

Ondas

Podemos definir uma onda como sendo uma

perturbação em um meio que se propaga,

transportando energia.

Se a corda estiver fixa em uma extremidade e provocarmos umaperturbação vertical para cima e para baixo, veremos que aperturbação se propaga pela corda.

As ondas transportam energia sem transporte de matéria.

Natureza de Vibração

Ondas Mecânicas

Nas propagações mecânicas ocorre transporte de vibraçõesmecânicas, isto é, as partículas materiais vibram. É o caso dasondas em cordas, em molas, na superfície e no interior doslíquidos, dos sólidos (terremotos) e dos gases (som se propagandono ar) etc. As ondas mecânicas necessitam de um meio materialpara sua propagação;

Ondas Eletromagnéticas

As propagações eletromagnéticas correspondem a variações noscampos elétrico e magnético, originadas por cargas elétricasoscilantes. É o caso das ondas de rádio, das microondas, dos raiosinfravermelhos e da luz visível.

Ondas de Matéria

Elétrons, prótons, átomos e até moléculas, que conhecemos comopartículas podem ter um comportamento ondulatório.

Direção de Propagação

Transversal

Longitudinal

Mistas

Variáveis de uma Onda:

Ao perturbar uma corda com afinalidade de produzir uma ondaprogressiva e transversal, identificamosuma figura semelhante aquelarepresentada abaixo:

Podemos propor umaequação que descreva aposição dos pontos em y dacorda em função de x e t.

Variáveis de uma Onda:

)(),( kxAsentxy =

Uma onda pode ser representada graficamentepor uma função seno

λπ2=k f

Tππω 2

2 ==

Constante de Fase

Quando uma onda progressiva senoidal éexpressa pela função de onda apresentadaabaixo, em t = 0 e x = 0 a onda sempreapresentará y(x,t) = A. Neste caso podemosintroduzir uma constante que permita alteraressa característica denominada constante de

fase (φ)

)(),( tkxAsentxy ω−=

)(),( ϕω +−= tkxAsentxy

Velocidade de Propagação

Uma sucessão de pulsos iguais produz umaonda periódica. Dentre as ondas em geral, asperiódicas apresentam especial interesse, tantopela facilidade de descrição, quanto pelasaplicações práticas. Analisaremos as ondasperiódicasUnidimensionais.

λλf

Tt

sv ==

∆∆=

Reflexão de um pulso

A figura é um pulso transversalpropagando-se para a direita em umacorda. A linha em claro corresponde a umaposição futura a ser ocupada pelaperturbação, após um intervalo de tempo t.

Chamamos de fonte o agente que gera aperturbação. Quando a fonte executa umaoscilação completa, produz um pulso quese propaga com certa velocidade ao longoda corda.A parede age como uma segunda fonte,produzindo um pulso oposto que sepropaga para a esquerda: a reflexão ocorrecom inversão de fase.

Reflexão de um pulso

Imaginemos uma argola, de massadesprezível em relação à corda, que possasubir e descer, sem atrito. Não havendointeração (como no caso anterior com aparede), a argola, ao subir e descer, agecomo uma fonte, produzindo um pulsoidêntico ao que chega, porém deslocando-se para a esquerda: a reflexão ocorre seminversão de fase.

Refração em uma corda

Numa corda, a dimensão que predomina é ocomprimento. Ao definirmos a densidade de umacorda é usual fazê-lo em termos de massa porunidade de comprimento, chamada de densidadelinear (μ).

L

m=µ

Imagine agora a seguinte situação, onde unimosduas cordas através do ponto J.

Refração em uma corda

Se μ1 = μ2

Se μ1 < μ2 Se μ1 > μ21

Velocidade de Propagação

µτ=v

Energia e Potência da Onda

Energia Cinética: esta é máxima quandoo ponto oscilando passa pela origem,maior v, maior a energia cinética.

Energia potencial elástica: a medidaque a onda se propaga a corda deveesticar e isso gera uma energia associadaa essa variação.

Transporte de energia: Quando a ondase propaga ao longo da corda, as forçasassociadas à tensão da corda realizamtrabalho continuamente para transferirenergia das regiões com energia para asregiões sem energia.

Energia e Potência da Onda

Taxa de Transporte de Energia:

2

2

ydmvdK =

22

4

1Av

dt

dKTaxa

méd

ωµ=

=

22

2

1AvPméd ωµ=

Equação de Onda

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

∂∂=

∂∂

Superposição de Ondas

),(),(),( 21 txytxytxy +=

Equação de Onda

Interferência de Ondas

Suponha que duas ondassenoidais de mesmo comprimentode onda e mesma amplitude nomesmo sentido ao longo de umacorda esticada. Como será a ondaresultante?

Interferência de Ondas

)(),( tkxsenytxy m ω−=

)(),( ϕω +−= tkxsenytxy m

( ) ( )ϕωϕ2

12

1cos2[),( +−= tkxsenytxy m

Interferência de Ondas

A figura representa duas fontes F1 e F2, emconcordância de fase, produzindo ondasbidimensionais que atingem o ponto P.Sejam s1 o percurso da fonte F1 até o ponto P, e s2 opercurso da fonte F2 até o ponto P.

A diferença de percurso é dada por:

21 sss −=∆

Interferência de Ondas

Interferência Construtiva:

A diferença de percurso devecorresponder à distânciaentre pontos emconcordância de fase:

λns =∆

21 AAA +=

Interferência de Ondas

Interferência Destrutiva:

as ondas, ao atingir o pontoP, estão em oposição de fase.Se suas amplitudes foremiguais, teremos umaamplitude resultante nula.

λ

+=∆2

1ns 21 AAA −=

Interferência de Ondas

Interferência Parcial:

as ondas chegam ao pontoP com uma diferença defase que não é nula nemcorresponde às fasesopostas. São os pontosintermediários que sesituam entre asuperposição destrutiva ea construtiva.

2

1+≠∆≠ ns

nλ 2121 AAAAA +<<−

Ondas Estacionárias

Considere uma corda no qual uma extremidade se

encontra fixa num suporte e a outra ligada numa

fonte de ondas.

Se a fonte produzir ondas com

frequência constante, elas sofrerão reflexão na

extremidade fixa e, então ocorrerá uma

interferência da onda incidente com a refletida.

Essa onda terá a forma representada na figura.

Ondas Estacionárias

A soma destas duas oscilações resulta umaonda estacionária.

Definimos então ondas estacionárias comosendo aquela obtida pela interferência deduas ondas iguais que se propagam nomesmo meio e em sentidos contrários.

Entende-se por ondas iguais aquelas quepossuem mesma freqüência, mesmaamplitude, mesmo comprimento de onda,mesma velocidade.

Ondas Estacionárias

O seu comportamento também exibe uma freqüência Fundamental e os respectivos harmônicos:

Ondas Estacionárias

1° harmônico

Ondas Estacionárias

2° harmônico

Ondas Estacionárias

3° harmônico

Ondas Harmônicas

Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma

corda através da reflexão de ondas progressivas nas

extremidades da corda. Se uma extremidade é fixa,

deve ser a posição de um nó. Isso limita as frequências

possíveis para as ondas estacionárias e cada frequência

possível é chamada de frequência de ressonância.

L

vnfn

2=

Ondas Estacionárias

Várias ondas, quando convenientemente somadas podem tomar a forma de um pulso:

+ +

+ + .... =

Ondas Sonoras

Genericamente uma onda sonora é definida comoqualquer onda longitudinal.

Ondas Sonoras

Frentes de Onda: são superfícies nas quais asoscilações do meio devida às ondas sonoras têm omesmo valor.

Raio: São linhas orientadas perpendicularmente asfrentes de ondas e indicam a direção de propagação.

Velocidade do Som

Semelhante a uma onda na corda, a velocidade depropagação para a onda sonora deve aparecer emobjetos que possuem então uma característicainercial e uma característica elástica.

µτ=v

Mas, para uma onda sonora, quem pode substituir atração? E o μ ?

Velocidade do Som

Imagine um pulso que se propaga da direita paraesquerda. Do referencial do pulso, temos o arviajando da esquerda para a direita.

ρB

v =

VV

pB ∆

∆−=

Velocidade do Som

A tabela a seguir mostra a velocidade do som emdiferentes meios materiais:

ρB

v =

Ondas Sonoras Progressivas

Uma onda sonora se propagando através do arpossui associado a ela uma variação de pressão eum deslocamento:

Ondas Sonoras Progressivas

Uma onda sonora se propagando através do arpossui associado a ela uma variação de pressão eum deslocamento:

)cos(),( tkxstxs m ω−=

)(),( tkxsenptxp m ω−∆=∆

mm svp )( ρω=∆

Interferência de Ondas

Assim como as ondas transversais,ondas longitudinais sofrem ofenômeno de interferência.

λπφ s∆=2 2

1+≠∆≠ ns

nλ

2

1+=∆n

s

λn

s =∆λ

Intensidade e Nível Sonoro

Podemos definir a intensidade (I) de uma ondacomo sendo a taxa de transferência de energiadesta onda por unidade de área:

²²2

1msv

A

PI ωρ==

Mas a intensidade varia com a distância dafonte:

²4 r

PI s

π=

Intensidade e Nível Sonoro

Muitas vezes, invés de utilizar a intensidadepara falar da onda sonora, utilizamos oconceito de nível sonoro:

0

log)10(I

IdB=β

Fontes de Sons Musicais

Os instrumentos musicais são as nossas fontes de sons

musicais, podendo estes ser produzidos por cordas vibrantes,membranas, colunas de ar, blocos de madeira ou barrasmetálicas...

L

nvfn

2=

As frequências de ressonância obtidas, variam de acordocom o tipo de instrumento:

• Tubo de duas extremidades abertas:

Fontes de Sons Musicais

L

nvfn

4=

• Tubo de uma extremidade aberta:

Batimento

Duas oscilações com pequena diferença nas suasfreqüências quando somadas, produzem o fenômeno dobatimento

)cos()]'cos(2[)( ttsts m ωω=

21 fffbat −=

Timbre e Altura

A altura é uma qualidade do som. É ela que nos permitediferenciar um som grave de um agudo. Som grave é o somde baixa frequência; som águdo é o de alta frequência.

O timbre nos permite distinguir entre sons de mesmafrequência (mesma altura) e de mesma intensidade mas

emitidos por fontes diferentes.

Efeito Doppler

Uma fonte de ondas está emitindo com frequênciade 1000 Hz. Se você estiver em um referencialparado em relação a fonte, medirá sua frequenciaem 1000 Hz também. Mas se você apresentar algumdeslocamento em relação a fonte de ondas, irádetectar uma frequência diferente. Esse fenômeno éconhecido como Efeito Doppler.

S

D

vv

vvff

±±='