Aula 3 - Testes de Hipoteses (Duas Medias)

7/24/2019 Aula 3 - Testes de Hipoteses (Duas Medias)

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EFB803Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Testes de hipteses para comparao de 2 mdias:

Duas amostras emparelhadas

Duas amostras independentes

Duas amostras so ditas emparelhadas quando fazemos

estudos comparativos em que uma mesma unidade

experimental fornece dados em duas situaes diferentes

(em geral, em dois momentos distintos ao longo do tempo: antes

e depois de alguma interveno, por exemplo).

Dados emparelhados ou pareados

Queremos comparar duas mdias 1e 2provenientes de

duas populaes por meio de uma amostra de cada uma delas

de tamanho n1e n2, respectivamente.



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Para comparar as duas mdias de interesse (1 e 2),existem as seguintes possibilidades:

Comparao de duas mdias

As varincias eso conhecidas

2

1

2

2

As varincias eso DESconhecidas

2

1

2

2

Supostas iguais

Diferentes

Duas amostras pareadas

Exemplodados emparelhados

Para verificar se um curso de especializao de lngua inglesa melhora

significativamente o nvel de conhecimento de ingls de seus participantes, foi considerada

uma amostra de 20 pessoas do curso. Eles foram submetidos a um teste antes do incio

do curso e, aps 4 semanas de curso, fizeram novamente o teste. Com os resultados

obtidos na tabela abaixo, qual seria a concluso sobre o curso? possvel dizer que

houve melhora significativa no conhecimento dos alunos? (use = 5%).

Participante Nota antes Nota depois Participante Nota antes Nota depois

1 32 34 11 30 36

2 31 31 12 20 26

3 29 35 13 24 27

4 10 16 14 24 24

5 30 33 15 31 32

6 33 36 16 30 31

7 22 24 17 15 15

8 25 28 18 32 34

9 32 26 19 23 26

10 20 26 20 23 26


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Concluso:rejeitamos a hiptese nula, isto , existem evidncias estatsticas

de que o curso melhora o nvel de conhecimento de ingls dos alunos, uma vez

que dif> 0.

Exemplo

0 T

=5%

Regio de

rejeio

de Ho

Tcritico= ? (1,729)86,3

20

893,2

05,2

obsT

n

s

XT

Tobservado= 3,86

H0: dif = 0Ha: dif> 0

xdif= 2,5sdif= 2,893

n = 20

_

Queremos testar

Resumo casos gerais (dados emparelhados)

/2/2 Bilateral: H0: dif=

Ha: dif

Unilateral direita: H0: dif=Ha: dif>

Unilateral esquerda: H0: dif=Ha: dif


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As hipteses de interesse so:


H0: 1= 2H1: 1> 2

H0: 1- 2= 0

H1: 1- 2> 0

H0: 1= 2H1: 1< 2

H0: 1- 2= 0

H1: 1- 2< 0

H0: 1= 2H1: 1 2

H0: 1- 2= 0

H1: 1- 2 0

No geral, testamos se a

diferena 1- 2 =

Propriedade

A respeito da mdia amostral, sabemos que

n,N~X

2

Avaliaremos a diferena 1- 2 a partir das

respectivas mdias amostrais21 XX

2

2

2

1

2

12121

nn,N~XX

H0: 1- 2=


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A estatstica do teste :

CASO 1 varincias populacionais conhecidas

2

2

2

1

2

1

2121

nn

)(XXZ

sendo que Z ~ N(0,1)

Como as varincias e so desconhecidas,

substitumos elas pelas varincias das amostras ( e ).

CASO 2 Varincias populacionais DESconhecidas, mas supostas iguais

21

p

2121

n

1

n

1S

)(XXT

2

1

2

2

2

2s

2

1s


sendo que T ~ t (n1+ n

2- 2)

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

snsnS

p

OBS.:

(Como supomos que e so iguais, e

estimam uma mesmo valor. Por isso calculamosum valor ponderado entre eles)

2

1 2

2

2

2s2

1s


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As varincias e tambm devem ser

substitudas pelas varincias das amostras ( e ).

CASO 3 Varincias pop. DESconhecidas, mas supostas desiguais

2

2

2

1

2

1

2121

n

s

n

s

)(XXT

2

1

2

2

2

2s

2

1s


sendo que T ~ t (???)

OBS.: A estatstica do teste T apresenta distribuio t-Student aproximada: os graus de liberdadeso calculados computacionalmente)

Exemplo duas amostras independentes

Duas fbricas devem ser comparadas em relao ao tempo gasto por seus

trabalhadores para executar determinada tarefa. Na fbrica A so considerados 15

trabalhadores e so obtidos um tempo mdio estimado de 13 min e um desvio padro de 2

min. Na fbrica B so considerados 18 trabalhadores e o tempo mdio obtido de 11 min

e o desvio padro de 3 min. Sabendo-se que o tempo de execuo da tarefa tem a

mesma variabilidade nas duas fbricas, pode-se considerar que os trabalhadores dafbrica B so mais rpidos do que os da fbrica A? Use o nvel de 5% de significncia.

H0: A= BH1: A> B

H0: A- B= 0

H1: A- B> 0

nA= 15 nB= 18

xA= 13 xB= 11

sA= 2 sB= 3


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0 T

=5%

Tcritico= ? (1,697)

BA

BABA

n1n1Sp

)(XXT

Tobs= 2,20

CASO 2 varincias pop. DESconhecidas, mas supostas iguais

nA= 15 nB= 18

xA= 13 xB= 11

sA= 2 sB= 3

H0: A- B= 0

H1: A- B> 0

5965,22

)1()1( 22

BA

BBAAp

nnsnsnS

20,2

n

1

n

1Sp

)(XXT

BA

BABAobs

Concluso: Rejeitamos H0. Ou seja, asevidncias indicam que na fbrica B ostrabalhadores so mais rpidos, em mdia.

Sabe-se que a variabilidade do tempo de vida de doistipos de componentes eltricos considerada equivalente eeles sero comparados quanto sua vida mdia. Para isso,considera-se uma amostra de 37 unidades do componente dotipo I e de 25 unidades do tipo II, sendo obtidos:

Ao nvel de 1% de significncia, pode-se concluir que osdois tipos so equivalentes tambm em relao ao tempomdio de vida?

Exerccio 1/5

Tipo I (horas) Tipo II (horas)

Mdia 1130 1100

Desvio padro 22,5 20,3

Tobs= 5,35; Tcrticos= -2,660 e 2,660; Concluso: rejeitamos H0(os tempos mdios no so equivalentes)


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Um fabricante afirma que a mdia da resistncia tenso da corda A excede a mdia da resistncia da corda Bpor, pelo menos, 12 quilogramas. Para testar sua afirmao, 50pedaos de cada corda so testados sob condies similares.A corda do tipo A teve uma resistncia mdia de 86,7 kg e a dotipo B, 77,8 kg. Sabe-se, pelos fabricantes, que asvariabilidades de seus produtos so 6,28 kg e 5,61 kg, para A eB, respectivamente.

Teste a afirmao do fabricante usando o nvel de 0,05.

Exerccio 2/5

Zobs= -2,60; Zcrtico= -1,64; Concluso: rejeitamos H0(a afirmao do fabricante no verdadeira)

Um cientista de computao est comparando duaslinguagens diferentes de programao na melhoria das tarefascomputacionais. Doze programadores, familiarizados com asduas linguagens, executaram uma tarefa padro nas duaslinguagens e o tempo de execuo (em minutos) registrado. H

alguma indicao de que uma linguagem seja melhor do que aoutra? Os dados so apresentados abaixo (use = 5%).

Exerccio 3/5

Programador Linguagem 1 Linguagem2 Programador Linguagem1 Linguagem2

1 17 18 7 16 10

2 16 14 8 14 13

3 21 19 9 21 19

4 14 11 10 23 24

5 18 23 11 13 15

6 24 21 12 18 20

Tobs= 0,781; Tcrticos= -2,201 e 2,201; Concluso: no rejeitamos H0(no temos evidncias para dizer que umalinguagem seja melhor do que a outra)


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Para comparar duas marcas de um tipo de motor para geradores de

energia, considerou-se uma amostra de 21 motores de cada uma dasmarcas e mediu-se o consumo de combustvel por hora de funcionamento

de cada motor. Os resultados foram:

Exerccio 4/5

Marca A 3 3 2 2 4 1 4 2 4 3 3 1 1 1 6 8 6 5 4 4 3,5

Marca B 0,5 1 3 2 10 5 2 2 2 2 1,5 1 2 1 2 0,7 1 1 3 1 3

Com o auxlio do Minitab, calculamos algumas medidas para essesdados:Descriptive Statistics: marca A; marca B

Variable Total Count Mean StDev

Marca A 21 3,357 1,852

Marca B 21 2,224 2,063

Tambm verificamos que a variabilidade do consumo decombustvel nas duas marcas equivalente. Com essas informaes, faao teste adequado para verificar se o consumo mdio de combustvel nasduas marcas tambm pode ser considerado equivalente (use = 0,05).

Tobs= 1,87; Tcrticos= -2,021 e 2,021; Concluso: no rejeitamos H0(no temos evidncias para dizer que oconsumo mdio das duas marcas difere)

Um fabricante trabalha com mquinas que produzemcerto tipo de pea. Ele pretende diminuir o tempo gasto quecada mquina gasta na produo da pea alterando umdispositivo da mquina. Ele separa 8 dessas mquinas e anotao tempo gasto na produo da pea (em horas). Altera o

dispositivo e anota novamente o tempo gasto:

Exerccio 5/5

Mquina 1 2 3 4 5 6 7 8

Sem alterao 10,5 8,7 9,2 10 9,5 8,9 11,2 12

Com alterao 9 8,9 7,8 7,3 8 8 9,5 10

Ao nvel de 1% de significncia, qual a concluso dofabricante com relao alterao feita?:Tobs= 4,83 Tcrtico= 2,938; Concluso: rejeitamos H0(houve diminuio no tempo mdio. OBS: dif = sem-com)

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