Teste de Hiptese Introduo: Os testes de hipteses so uma das
aplicaes da estatstica mais usadas. Ao testar a hiptese, toma-se
uma amostra aleatria do sistema em estudo e se calcula o parmetro
desejado. Conforme o valor do parmetro, a hiptese nula ser aceita
ou rejeitada, a partir de procedimentos estatsticos. Definio da
Hiptese (estabelecimento das hipteses): - Hiptese simples (nula):
especificado apenas um valor para o parmetro. Vamos considerar
sempre H0 como hiptese simples. - Hiptese composta(alternativa):
especificado mais de um valor para o parmetro. A hiptese
alternativa ( H1) , em geral, uma das trs seguintes: H1: valor da
mdia - hiptese alternativa bilateral H1: > valor da mdia -
hiptese alternativa unilateral (superior) H1: < valor da mdia -
hiptese alternativa unilateral (inferior) Calcular a estatstica do
Teste (valor calculado a partir da amostra que ser usado na tomada
de desio): Uma maneira de tomar-se uma deciso comparar o valor
tabelado com a estatstica do teste. Para o caso de testes de mdias,
a estatstica do teste a varivel padronizada Z:
Regio Crtica: O valor da estatstica do teste, no caso, o valor
Z, calculado supondo que a hiptese nula (Ho) verdadeira. No
entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade
de ocorrncia muito baixa. Nesse caso, a hiptese nula deve ser
rejeitada e aceitamos a hiptese alternativa. A regio crtica a regio
onde Ho rejeitada. A rea da regio crtica igual ao nvel de
significncia (a), que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho
quando ela verdadeira. Nvel de Significncia: Ao testar uma hiptese
estabelecida, a probabilidade mxima com a qual se sujeita a correr
o risco de um erro do tipo I denominada de Nvel de Sigificncia do
Teste. Essa probalibidade, represenrada por , geralmente
especificada -1-
Teste de Hiptese antes da extrao de quaisquer amostras, de modo
que os resultados obtidos no influenciem na escolha. Coeficiente de
Confiana (1 - ): Corresponde probabilidade de que o pesquisador
venha a rejeitar a hiptese nula, quando ela efetivamente verdadeira
e no deve ser rejeitada. Risco : a probabilidade de cometer o erro
tipo II. Depende da diferena entre o valor constante da hiptese e
os verdadeiros valores do parmetro da populao. Se a diferena for
grande, ser pequeno. Se a diferena for pequena, ser grande. Eficcia
de um Teste (1 - ): a probabilidade de rejeitar a hiptese nula
quando ela falsa e deve ser rejeitada.Probabilidade de tomar a
deciso certa. Testes (Unilateral e Bilateral): A cauda em uma
distribuio a regio crtica que contm os valores que entraro em
conflito significativo com a hiptese nula (H0). Elas so as regies
extremas limitadas pelo valor crtico. A determinao do tipo de teste
acontece de acordo com a hiptese alternativa (H1). Teste Unilateral
(ou unicaudal) esquerda: A regio crtica est na cauda esquerda sob a
curva. Teste Unilateral (ou unicaudal) direita: A regio crtica est
na cauda esquerda sob a curva. Teste bilateral ou bicaudal: A regio
crtica est nas duas regies extremas (caudas) sob a curva. Por
exemplo, se utilizarmos o nvel de significncia de 5%, a
probabilidade de rejeitar Ho quando ela verdadeira igual a 5%.
Unilateral esquerda: Ho: = 50 H1:: > 50 Unilateral direita: Ho:
: = 50 H1: : > n0, n n0. Observar tambm que o valor de n menor
que o de n0 porque o ajuste para uma populao finita. Um Teste
envolvendo a Diferena entre duas Propores Populacionais: A
Estatstica de teste (Z efetivo) neste caso :
n1 = tamanho da amostra da populao 1. n2 = tamanho da amostra da
populao 2. = tamanho total das duas amostras
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Teste de Hiptese
Tabela da Distribuio Normal Padro
-7-
Teste de Hiptese
Extrada do livro Curso de Estatstica- Jairo Simon da Fonseca
& Gilberto de Andrade Martins- Editora Atlas Exemplo 1:
-8-
Teste de Hiptese Uma mquina automtica produz discos metlicos,
admita que os dimetros produzidos so normalmente distribuidos com
desvio padro 0,13 cm. A mquina foi regulada para produzir discos
com dimetro mdio de 10 am.Selecionado aleatoriamente 15 discos
registram-se os respectivos dimetros (em cm) 10,0 ; 9,9 ; 10,1 ;
9,8 ; 9,7 ; 10,0 ; 9,8 ; 10,1 ; 9,7 ; 9,8 ; 9,9 ; 10,0 ; 9,9 ; 10,0
; 9,8. a) Teste o rigor da mquina para = 5% b) Construa o intervalo
de confiana para a mdia dos dimetros, para = 10% H1: p = 10 H1: p
10 x= somatrio dos dimetros/ n x= 10,0 + 9,9 + 10,1 + 9,8 + 9,7 +
10,0 + 9,8 + 10,1 + 9,7 + 9,8 + 9,9 + 10,0 + 9,9 + 10,0 + 9,8 / 15
T = x-/(/n) = 9,9 10 / 0,13/15 = - 2,979 = 5% = 0,05
Z(/2) = Z(0,05/2) = Z(0,025) = 1,96 ( dado retirado da tabela) 1
- 0,025 = 0,975 Bilateral: T > Z(/2) T< - Z(/2) T< - 1,96
- 2,979 < - 1,96 Logo, Sujeito Ho, existe evidncia que a mquina
est desafinada.
Exemplo 2: -9-
Teste de Hiptese Uma mquina de refrigerante est regulada de modo
a servir uma quantidade de lquido normalmente distribuido com
desvio padro de 20 ml.Sabendo que numa amostra aleatria de 36
bebidas se obteve uma mdia de 250 ml. a) Construa um intervalo de
confiana a 95% para a verdadeira mdia. b)Qual deveria ser o tamanho
da amostra para obter uma amplitude aproximadamente 11,5? a) e [ x
- Z(/2).(/n) ; x + Z.(/2).(/n) ] = e [ x Z(/2).(/n) ] = e [ 250
Z(0,05/2).(20/36) ] = e [ 250 Z(0,025).(20/6) ] = e [ 250
1,96.(10/3) ] = e [ 250 6,53 ] = e [ 250 - 6,53 ; 250 + 6,53 ] = e
[ 243,47 ; 256,53 ] b) e [ x - Z(/2).(/n) ; x + Z.(/2).(/n) ] = 1
0,95 = 0,05 n = 36 = 20 Z(0,025) = 1,96
Amplitude do intervalo = 2.[ Z(/2).(/n) ] Sabemos que = 11,5.
Ento: 2.[ Z(/2).(/n) ] = 11,5 Z(0,05/2).(20/n) = 11,5/2 1,96.(20/n)
= 5,75 39,2 = 5,75.n n = 39,2/5,75 n = 6,82 n = 6,82 = 46,48 n
47
Exemplo 3:
- 10 -
Teste de Hiptese Um fabricante de doces afirma que a percentagem
de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios , no mximo, igual a
3%. Uma pesquisa aleatria acusa 4 sacos mal cheios em 50. A amostra
foi extrada de uma remessa de 400 sacos. Considerando uma
significncia de 0,05, a evidncia amostral refuta a alegao do
fabricante (isto , mais de 3% mal cheios)? RESOLUO: Temos uma
amostra de 50 (n=50) extrada de uma populao de 400 (N=400). Ento
temos que observar que (n/N) > 5% pois (50/400) = 12,5% Sempre
que isso ocorrer, deveremos, no denominador da estatistica teste,
utilizar o FCPF (Fator de correo para populao Finita), dado por:
N-n/N-1 - Ento, no presente caso, o no FCPF ser: 400-50/400-1 =
350/399 1 Passo: Enunciar as hipteses Ho: p 3% H1: p > 3% (teste
unilateral direita) 2 Passo: Encontrar o valor de Ztab. O teste
unilateral direita, com = 0,05 , logo, para uma rea de 0,45 (0,95
0,50), encontraremos, na tabela normal Ztab= 1,69 3 Passo: Desenhar
a curva, plotando Ztab:
4 Passo: Calcular a estatistica teste aplicando o fator de
correo para populao finita, de tamanho conhecido e o tamanho da
amostra superior a 5% da populao. A proporo(ou frequncia relativa)
na amostra de: f = 4/50 = 0,08 Zcalc = f po /
[po.(1-po)/n].(350/399) = 0,08 0,03/[0,03.(1-0,03)]/50 = =
0,05/0,023 = 2,21 5 Passo:Comparando vemos Zcalc > Ztab O nvel
de significncia de 5%, rejeitamos Ho. Logo o fabricante est
enganado, a proporo de sacos mal cheios superior a 3%. Exemplo 4: -
11 -
Teste de Hiptese O peso mdio de litros de leite de embalagens
enchidas em uma linha de produo est sendo estudado. O padro prev um
contedo mdio de 1000 ml por embalagem. Sabe-se que o desvio padro
de 10 ml e que a varivel tem distribuio normal. Para encontrar a
probabilidade de erro tipo II, quando testamos a mdia ser diferente
de 1000 ml ao nvel de 5% de significncia com 4 unidades amostrais,
e sendo o real contedo mdio da embalagem de 1012 ml, temos: Ho: p
=1000 H1: p 1000 P(erro do tipo II) = P(aceitar Ho/Ho falsa) = ?
Z(/2) = Z(0,025) = 1,96 (tabela normal) 1,96 = x 1000 / 104 x =
1009,8
Erros tipo I e tipo II P( aceitar Ho/Ho falsa) = P (x <
1009,8 / = 1012) = P.[x-/(/n) < 1009,8 - 1012 / (10/4)] =P( Z
< - 0,44) = 0,33 Ou seja, a probabilidade de no rejeitarmos Ho,
quando a mdia real da embalagem de 1012 ml de 0,33. A partir dessa
informao podemos obter o poder do teste que de 1 - = 1 - 0,33 =
0,67.
- 12 -
Teste de Hiptese REFERNCIA BIBLIOGRFICA: SIDIA M. CALLEGARI
JAQUES -Bioestatstica PIRES,ANA. IST.(Outubro de 2000).
Probabilidades, Erros e Estatstica COSTA NETO, P.L.O.; CYMBALISTA,
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http://ufpa.br/dicas/biome/biotestes.htm
http://www.editoraferreira.com.br/publique/media/toq15_pedrobello.pdf
http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est364.shtml - Figuras editadas no
Photoshop.
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