1 Aula 04

EFB 803 - Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Distribuies Binomial e de Poisson

Aula-4

Exemplo 1

Experimento: Seleciono 3 peas de um lote e elas so

classificadas como boas (B) ou defeituosas (D). A proporo de

defeitos da produo dessas peas 5%. A v.a. de interesse o

nmero de peas defeituosas (Y).

{BBB, DBB, BDB, BBD, DDB, DBD, BDD, DDD}

Sabemos que os possveis resultados so:

0 1 2 3

Y = Nmero de peas defeituosas

Se eu selecionei 3 peas, qual a probabilidade de uma ser defeituosa?

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Exemplo 1

{BBB, DBB, BDB, BBD, DDB, DBD, BDD, DDD}

Ento a probabilidade de selecionar trs peas e uma ser defeituosa :

probabilidade de uma pea ser B

0,05

0,95

probabilidade de uma pea ser D

Probabilidade de sair cada uma dessas configuraes:

DBB =(0,05).(0,95).(0,95)

BDB =(0,95).(0,05).(0,95)

BBD =(0,95).(0,95).(0,05)

um defeito

P(Y = 1) = 3.(0,95)2.(0,05) = 0,1354

Exemplo 2

A partir de uma pesquisa realizada no campus, foi levantado que

35% dos alunos praticam futebol.

Em um grupo de 5 alunos, qual a probabilidade de exatamente 2

praticarem o esporte?

Do enunciado, sabemos que a probabilidade

de um aluno qualquer praticar futebol vale 0,35

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Os possveis resultados so:

Y = Nmero de alunos que jogam futebol A v.a. de interesse :

N N N N N

S N N N N

N S N N N

N N S N N

N N N S N

N N N N S

S S S S S . . . .

S o aluno joga

N o aluno no joga Sendo

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Exemplo 2

a) Em um grupo de 5 alunos, existem quantas possibilidades

de encontrarmos 2 pessoas que praticam o esporte?

SSNNN

SNSNN

SNNSN

SNNNS

NSSNN

NSNSN

NSNNS

NNSSN

NNSNS

NNNSS

10 possibilidades

probabilidade de ocorrer essa possibilidade = (0,35)2.(1 - 0,35)

3

(0,35)2.(1 - 0,35)

3

. . . . . . . . . .

(0,35)2.(1 - 0,35)

3

Em um grupo de 5 alunos,

qual a probabilidade de

exatamente 2 jogarem?

Ento:

P (Y = 2) = 10.(0,35)2.(1 - 0,35)

3

= 10.(0,35)2.(0,65)

3

= 0,3364

b) Suponha que agora temos um grupo de 10 alunos e o nosso

interesse calcular a probabilidade de que dois deles

pratiquem futebol. Quantas combinaes de 2 alunos podemos

formar de um conjunto de 10 alunos?

possvel calcular o nmero de possibilidades de uma

maneira mais fcil, sem precisar escrever todas elas:

k)!k!(n

n!

k

nknC

),(

1032

5

252

5

2

5)2,5(

!!

!

)!!(

!C

a) No item anterior, ao invs de listar todas as possibilidades:

4582

10

2102

10

2

10)2,10(

!!

!

)!!(

!Cb)

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Em muitos experimentos, as possveis respostas so

dicotmicas (existem apenas 2 alternativas), como os vistos nos

exemplos anteriores:

uma pea selecionada de um lote considerada boa ou defeituosa;

um aluno pratica ou no pratica futebol

Distribuio Binomial

A distribuio Binomial pode ser utilizada nos casos acima se o

interesse for, por exemplo:

nmero de peas boas selecionadas de um conjunto de 3 peas;

nmero de pessoas que praticam futebol dentre 5 alunos sorteados;

Caractersticas da Distribuio Binomial:

O experimento consiste em um nmero finito de n tentativas

idnticas;

Para cada tentativa, h apenas dois resultados possveis, que

chamaremos de sucesso (S) ou fracasso (F);

A probabilidade de sucesso p permanece a mesma a cada

tentativa. A probabilidade de fracasso (1 p);

As tentativas so independentes;

A varivel X de interesse uma contagem (nmero ou

quantidade de sucessos nas n tentativas).

Distribuio Binomial

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knk ppk

n

)1( k)P(X

P(X = k): probabilidade de se obter k sucessos nas n tentativas;

n: nmero de tentativas;

p: probabilidade de sucesso em cada tentativa;

, sendo que 0! = 1;

Se X ~ Bin (n, p), ento E(X) = np e Var (X) = np(1- p) (Verifique!)

k)!k!(n

n!

k

n

Forma Geral

Exemplo 3

Experimento: Seleciono 6 peas de um lote e elas so classificadas

como boas (B) ou defeituosas (D). A probabilidade de uma pea ser

boa .

Se foram selecionadas 6 peas, qual a probabilidade de

exatamente duas serem defeituosas?

2966,04

11

4

1

2

62)P(Y

42

Y = Nmero de peas defeituosas dentre 6

n = 6 peas

sucesso = uma pea defeituosa p = 1/4

Y ~ Bin (6, 1/4)

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Quantidade de veculos que chegam a um posto de pedgio

rodovirio em determinado perodo de um dia da semana;

Nmero de chamadas telefnicas que chegam a uma central em

determinado perodo de tempo;

Quantidade de defeitos encontrados em determinada superfcie de

uma chapa;

Nmero de impurezas encontradas em determinado volume de

uma substncia;

Distribuio de Poisson

Exemplos

Distribuio de Poisson

Caractersticas da Distribuio de Poisson:

A varivel aleatria X de interesse tambm uma contagem,

porm, diferente da distribuio Binomial, agora nosso interesse

o nmero (ou quantidade) de sucessos em um intervalo

contnuo de observao t;

o intervalo contnuo t pode ser um intervalo de tempo, de rea,

volume, etc...

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.0,1,2,3,..k para,!

k)P(Xk

e k

Forma Geral

OBS.: = t representa o nmero mdio de ocorrncias no

intervalo t, sendo a taxa de ocorrncia dos resultados.

Se X ~ Po (), ento E(X) = e Var (X) = (Verifique!)

Exemplo 4

Um telefone recebe ligaes a uma taxa de 0,75

chamadas/hora. Calcule a probabilidade de que em um intervalo

de 4 horas esse telefone receba:

a) Exatamente duas chamadas;

b) No mximo uma chamada;

c) No mnimo trs chamadas

X = Nmero de chamadas recebidas no intervalo de 4 horas

Qual a v.a. X de interesse?

Em um intervalo de 4 horas, em mdia quantas chamadas chegam?

= 0,75 chamadas/hora t = 4 horas

= t = 3 X ~ Po (3)

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Exemplo 4 Um telefone recebe em mdia 0,75 chamada/hora. Calcule a probabilidade de que em um intervalo de 4 horas esse telefone receba:

a) Exatamente duas chamadas

2240,0!2

3

!2)P(X

23

e

k

e k

b) No mximo uma chamada

1991,0

!1

3

!0

3 1303

ee)1()0(1)P(X XPXP

c) No mnimo trs chamadas

)3(13)P(X XP )]2()1()0([1 XPXPXP

5768,0423,01!2

3

!1

3

!0

31

231303

eee

Exerccios (1 de 7)

A partir de uma pesquisa realizada na faculdade, foi

levantado que 80% dos alunos acessam o Facebook com o

celular durante as aulas. Em um grupo de 10 alunos, calcule:

a) Qual a probabilidade de nenhum acessar o Facebook?

b) Qual a probabilidade de exatamente 3 acessarem o

Facebook?

c) Qual a probabilidade de no mximo um deles acessar o

Facebook?

d) Qual a probabilidade de no mnimo 8 deles acessar o

Facebook?

e) Qual o nmero esperado de alunos que acessar o

Facebook?

R. (0,00001024%)

R. (0,0786432%)

R. (0,00041984%)

R. (67,77995%)

R. (E(X) = 8)

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A nota em um exame de proficincia em lnguas

estrangeiras tem funo densidade de probabilidade dada por:

Exerccios (2 de 7)

10,0

100),10(f(x)

2

xse

xsexxk

onde k uma constante positiva.

Uma empresa exige que candidatos a vagas oferecidas

por ela obtenham uma nota mnima de 8,5 pontos.

Se sete candidatos tentam uma vaga, qual a

probabilidade de pelo menos dois deles atenderem a exigncia

da empresa?

R. 6,317%

Um empresrio promete um bnus equivalente a 30% do

salrio para cada vendedor que conseguir vender 3 ou mais

unidades de seu produto por hora. Sabendo-se que a

probabilidade de ganhar o bnus 35%, pergunta-se:

Se 5 lojas de vendas trabalham com 3 vendedores cada uma,

qual a probabilidade de que em no mximo 1 dessas lojas, pelo

menos um de seus vendedores ganhe o bnus?

Exerccios (3 de 7)

R. 2,23%

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Exerccios (4 de 7)

Em uma central de computao o nmero de acessos

CPU segue uma distribuio de Poisson com mdia de 4

acessos por segundo.

a) Em um intervalo de um segundo, escolhido ao acaso, qual a

probabilidade de haver mais de dois acessos CPU?

b) Em um intervalo de 5 segundos, selecionado

aleatoriamente, qual a probabilidade de haver 25 acessos?

R. 76,19%

R. 4,46%

Exerccios (5 de 7)

Em um determinado trecho de uma rodovia pode-se

considerar que o nmero de buracos que necessitam de reparo

segue uma distribuio de Poisson, com uma mdia de 2

buracos por quilometro.

a) Qual a probabilidade de que no haja buracos que

necessitem de reparos em 2 km desse trecho da rodovia?

b) Qual a probabilidade de que no mnimo um buraco requeira

reparo em 0,5 km desse trecho da rodovia?

R. 1,83%

R. 63,21%

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Exerccios (6 de 7)

Um empresrio promete um bnus equivalente a 30% do

salrio para cada vendedor que conseguir vender 3 ou mais

unidades de seu produto por hora. Esses vendedores costumam

vender a uma taxa mdia de 21 unidades por perodo de 10

horas de trabalho. Supondo-se que o nmero de unidades

vendidas segue uma distribuio de Poisson, pergunta-se:

Considerando que o bnus calculado pelo desempenho

do vendedor por hora, qual a porcentagem de vendedores que

conseguiro ganhar o bnus? R. 35,03%

Exerccios (7 de 7)

O nmero de falhas de um dispositivo eletrnico possui

distribuio de Poisson com uma taxa de uma falha a cada dez

horas. O custo unitrio de fabricao do dispositivo R$35 e o

preo de venda R$65. Se o dispositivo falhar duas ou mais

vezes nas primeiras 10 horas de uso, o cliente devolve o

equipamento e reembolsado.

a) Qual o lucro esperado por unidade do dispositivo?

b) Se 10 unidades so vendidas a um cliente, qual a

probabilidade de no mximo duas serem devolvidas?

R. R$ 4,90

R. 48,34%