Aula 5 Estatistica Verao 2012

7/24/2019 Aula 5 Estatistica Verao 2012

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Curso de Mecnica Estatstica - Vero 2012 - Programa de Ps-graduao em Fsica da UFPE/ Aula 5

Roteiro

1

Ensembles estatsticosMicroestados de um sistema clssico

Espao de Fase

EnsembleEstatstico

Funo densidade de probabilidades

Interpretao probabilstica

O Teorema de Liouville

Propriedades decorrentes do Teorema de Liouville

Equilbrio estatstico e equilbrio termodinmico

!

Equilbrio estatstico: exemplos! Equilbrio termodinmico: princpio da equiprobabilidade priori

domingo, 5 de fevereiro de 2012


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Ensembles estatsticos

2

objetivo da Mecanica Estatstica e descrever o comportamento macroscopicode sistemas fsicos a partir do comportamento microscopico (do grande numero) daspartculas (ou graus de liberdade) constituintes. Em suma, fazer a conexao entre adinamica microscopica e a dinamica macroscopica.

nam ca m croscop ca, epen en o a natureza o s stema, po e ser emdescrita pela dinamica classica (lagrangeana ou hamiltoniana) ou pela mecanicaquantica.

Para isso, e necessario possuir toda informacao sobre um certo estado mi-croscopico e, mesmo assim, ser possvel resolver o enorme conjunto de equacoesacopladas que descrevem de evolucao temporal.

A descricao classica e feita pela resolucao das equacoes do movimento de Hamil-

ton. O conhecimento das coordenadas generalizadas em dado instante (estado ini-cial) permite a determinacao precisa de todos os estados passados e futuros.

A descricao quantica e feita pela resolucao da equacao de Schrodinger. Com oconhecimento da funcao de onda do estado inicial e possvel determinar a evolucaotemporal para estados passados e futuros com certo grau de incerteza inerente.



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2









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2









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2









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2









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2









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3

Ambas as descricoes sao baseadas em equacoes reversveis no tempo e resultamnum conjunto completo (enorme) de informacoes microscopicas, as quais, quando

adequadamente reunidas, sao capazes de descrever a leis que governam o compor-tamento macroscopico. Ha porem, certo aspectos da dinamica macroscopica quenao emergem diretamente do comportamento microscopico como:

A existencia dos estados de equilbrio.

A evolucao (nao-reversvel) para tais estados de equilbrio.

mecanica estatstica, por outro a o, tem por o jetivo proporcionar a escricao

macroscopica a partir de um conjunto reduzidodas informacoes microscopicas e de

postulados razoaveis que possibilitem a estimativa dos valores medios das grandezas

macroscopicas mensuraveis.

A mecanica estatstica prescinde do calculo microscopico detalhado, porem

retem caractersticas microscopicas essenciais como as propriedades de simetriapara descrever o comportamento macroscopico.

Para realizar este objetivo, lanca mao de um conjunto metodos estatsticos e da

eoria de probabilidades, alem das leis da dinamica classica ou quantica e leis de

conservacao. Por fim, deve prover uma justificativa teoricapara a Termodinamica.



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3





mecanica estatstica, por outro a o, tem por o jetivo proporcionar a escricaomacroscopica a partir de um conjunto reduzidodas informacoes microscopicas e de










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3















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3















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3















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Microestados de um sistema clssico

4

Microestado de um sistema classico com n graus de liberdade:

conjunto de2ncoordenadase momentos generalizados{qi, pi}(i= 1, 2, . . . n),

{qi, pi} podem ser dependentes do tempo e

satisfazem as equacoes do movimento de Hamilton,

qi = H

pi, e pi=

H

qi, i= 1, 2, . . . n

onde H e a hamiltoniana classica e o ponto sobre a coordenada indica aderivada em relacao ao tempo.

Observacoes:

As coordenadas (qi, pi) sao ditas serem canonicamente conjugadas.

As coordenadas e momentos generalizados podem ser definidas de forma bas-tante geral onde estao includos os vnculos existentes no sistema. Em geral,trata-se de uma representacao parametrizada.

EXEMPLO: num gas de Nmoleculas livres no espaco Euclideano, as coorde-nadas generalizadas poderiam ser as 3Ncoordenadas de posicao {xi, yi, zi}e os respectivos 3N momentos {pi, pi, pi} momentos generalizados, .



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4





qi = H

pi, e pi=

H

qi, i= 1, 2, . . . n


Observacoes:






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4





qi = H

pi, e pi=

H

qi, i= 1, 2, . . . n


Observacoes:






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4





qi = H

pi, e pi=

H

qi, i= 1, 2, . . . n


Observacoes:






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Espao de Fase

5

Espaco de Fase ,

E um espaco 2ndimensional, i.e. existe um eixo

de coordenadas para cada uma das 2n coorde-

nadas e momentos generalizados.

cada ponto representa um estado particular re-

alizavel.

uma trajetoria corresponde a evolucao temporal

do sistema.

t0

t1

tf

p

q



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Espao de Fase

5

Espaco de Fase ,





alizavel.


do sistema.

t0

t1

tf

p

q



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Espao de Fase

5

Espaco de Fase ,





alizavel.


do sistema.

t0

t1

tf

p

q



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Espao de Fase

5

Espaco de Fase ,





alizavel.


do sistema.

t0

t1

tf

p

q

Exemplo: Oscilador Harmonico Simples - 1D

massa m, forca harmonica de constante > 0e ponto de equilbrio na origem

x = 0.

Hamiltoniana classica:H =

1

2mp2

+

2x2



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Espao de Fase

6

Espaco de Fase:

O espaco bidimensional com coordenadas (x, p).

Se o oscilador estiver isolado, estara em um

estado com energia constante E, entao sua

evolucao temporal e dada equacao

1

2mp2

+

2x2

= E p2

2mE +

x2

2E/ = 1

a trajetoria e uma elipse de semi-eixos:

2mE e2E/, e excentricidade e=

1 (m)1



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Espao de Fase

6

p

q

Espaco de Fase:

O espaco bidimensional com coordenadas (x, p).

Se o oscilador estiver isolado, estara em um

estado com energia constante E, entao sua

evolucao temporal e dada equacao

1

2mp2

+

2x2

= E p2

2mE +

x2

2E/ = 1

a trajetoria e uma elipse de semi-eixos:

2mE e2E/, e excentricidade e=

1 (m)1



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EnsembleEstatstico

7

Ensemble estatstico:

Conjunto representativodos estados microscopicosrealizaveis de um sistema fsico,

sobre o qual pode-se realizar medias estatsticas de interesse.



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EnsembleEstatstico

7






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EnsembleEstatstico

7






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EnsembleEstatstico

7

Ensembleestatstico no espaco de ase:

conjunto depontos, cada um representando uma

replica independente do sistema original, porem

em um microestado distinto compatvel com os

vnculos existentes.






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p

q

(q, p)

EnsembleEstatstico

7





vnculos existentes.






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p

q

(q, p)

EnsembleEstatstico

7





vnculos existentes.


Conjunto representativodos estados microscopicosrealizaveis de um sistema fsico,sobre o qual pode-se realizar medias estatsticas de interesse.

(q, p, t) e a funcao densidade de probabilidadesdo espaco de fase.



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8

Define-se entao a funcao densidade de ensemble por

(q, p, t) dq dp= numero de elementos do ensemblecom valores

entre (q, p) e (q+ dq, p+dp) no instante t.



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8

Propriedades da funcao densidade:

(a) A densidade de elementos do ensemble (q, p, t) 0.

(b) A integral de (q, p, t) em todo o espaco de fase fornecera o numero total

de elementos do ensemble N, i.e.

dq dp (q, p, t) =N

(c) pode ser normalizada, i.e.

(q, p, t) = 1N

(q, p, t)

dq dp (q, p, t) = 1

(q, p, t) dq dp=

fracao dos elementos do ensemblecom valores

entre(q, p) e (q+ dq, p+dp) no instante t.






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8





dq dp (q, p, t) =N


(q, p, t) = 1N

(q, p, t)

dq dp (q, p, t) = 1

(q, p, t) dq dp=








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8





dq dp (q, p, t) =N


(q, p, t) = 1N

(q, p, t)

dq dp (q, p, t) = 1

(q, p, t) dq dp=








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8





dq dp (q, p, t) =N


(q, p, t) = 1N

(q, p, t)

dq dp (q, p, t) = 1

(q, p, t) dq dp=








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9

bservar a evolucao temporal de um certoelemento do ensemble durante um inter-

valo de tempot

. Medir o tempo de permanencia t do es-

tado no interior do elemento de volume(qp).

No limite t , a probabilidade do sis-tema ser encontrado em (qp) e definidapor

dW(q, p, t) = limt

t

t

Como

dW(q, p, t) = 1 dW(q, p, t) =(q, p, t) dq dp

identifica-se

(q, p, t) =

funcao densidade de probabilidades do sistema ter valores

entre(q, p) e (q+q, p+p) no instante t.

q

p

p

q


I b bil i


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9


valo de tempot




dW(q, p, t) = limt

t

t

Como


identifica-se

(q, p, t) =



q

p

p

q


I t t b bil ti


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9


valo de tempot




dW(q, p, t) = limt

t

t

Como


identifica-se

(q, p, t) =



q

p

p

q


I t t b bil ti


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9


valo de tempot




dW(q, p, t) = limt

t

t

Como


identifica-se

(q, p, t) =



q

p

p

q


I t t b bil ti


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10

Observacao importante:

O problema fundamental da Mecanica Estatstica e determinar (q, p, t)paraum sistema isolado ou para uma parte (subsistema) e um sistema maior iso-lado.

O conhecimento de(q, p, t)permite calcular medias de grandezas macroscopicasmensuraveis.

Medias de Ensemble

A media de ensemblede uma grandeza dinamica do sistema f(q, p) sobre os ele-mentos do ensemble e definida por:

< f >t=

f(q, p) (q, p, t) dqdp

Obs:

A media de ensemble, acima definida, e dependente do instantetse (q, p, t)e dependente do tempo explicitamente.

< f >t e um numero real.


I t t b bil ti


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10




Medias de Ensemble


< f >t=


Obs:






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10




Medias de Ensemble


< f >t=


Obs:






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11

Consideracoes iniciais:

1. Considere o ensemblede um sistema fsico em dois instantes de tempo, t0 et. Nesse intervalo de tempo, cada ponto descreve uma trajetoria unica quenao se cruzam determinada pelas leis da mecanica (equacoes de Hamilton).Logo, ha uma correspondencia biunvoca entre os pontos do ensemble em t0e t.

2. A dinamica do ensemble em pode ser vista como uma sucessao de trans-formacoes infinitesimais do espaco de fase nele mesmo, i.e.

(t) : [transformacao entre configuracoes]

Em outras palavras, corresponde ao conjunto das transformacoes canonicasque cada estado do sistema (elemento do ensemble) sofre entre t e t+t.

3. Nem toda transformacao contnua e possvel. O teorema de Liouville permi-tira discernir, dentre o conjunto das transformacoes contnuas, aquelas trans-formacoes que sao compatveis com a dinamica dos sistema.




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11










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11










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11










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12

Equacao de Liouville,

t

qp

= i

qi

Hpi

pi

Hqi

t

qp

= , H

Obs: o smbolo {A,B} representa o chamado colchete de Poisson das grandezasA e B usado na Mecanica Classica.

Reescrevendo a equacao de Liouville em termos da variaveis (q, p), e rearrumandotemos:

t

=

i

qiqi+

pipi

,

t

+i

qi qi+

pi pi

= 0,

d

dt(q, p, t) = 0,

derivada hidrodinamica.

p = H

qq=

H

pLembrar:




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12


t

qp

= i

qi

Hpi

pi

Hqi

t

qp

= , H



t

=

i

qiqi+

pipi

,

t

+i

qi qi+

pi pi

= 0,

d

dt(q, p, t) = 0,


p = H

qq=

H

pLembrar:




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12


t

qp

= i

qi

Hpi

pi

Hqi

t

qp

= , H



t

=

i

qiqi+

pipi

,

t

+i

qi qi+

pi pi

= 0,

d

dt(q, p, t) = 0,


p = H

qq=

H

pLembrar:




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12


t

qp

= i

qi

Hpi

pi

Hqi

t

qp

= , H



t

=

i

qiqi+

pipi

,

t

+i

qi qi+

pi pi

= 0,

d

dt(q, p, t) = 0,


p = H

qq=

H

pLembrar:




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12


t

qp

= i

qi

Hpi

pi

Hqi

t

qp

= , H



t

=

i

qiqi+

pipi

,

t

+i

qi

qi+

pi p

i

= 0,

d

dt(q,

p, t

) = 0,


p = H

qq=

H

pLembrar:




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13

Comentarios e interpretacoes:

1. A equacao

t

=

i

qiqi+

pipi

,

descreve a variacao da funcao densidade (q, p, t) em relacao ao tempo, nasvizinhancas do ponto (q, p) fixo, no instante t.

2. A derivada hidrodinamica d/dt descreve a dependencia temporal completada funcao densidade (q, p, t) nas coordenadas (q, p, t), i.e mede a variacaoda densidade no entorno de um ponto (q, p) que esta movendo-se no espacode fase.

3. O teorema de Liouville,d

dt(q, p, t) = 0,

significa que a densidade(q, p, t)permanece constante, quando vista por umobservador que se move junto ao ponto.




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1. A equacao

t

=

i

qiqi+

pipi

,




dt(q, p, t) = 0,





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1. A equacao

t

=

i

qiqi+

pipi

,




dt(q, p, t) = 0,





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1. A equacao

t

=

i

qiqi+

pipi

,




dt(q, p, t) = 0,





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p

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I. eversao tempora :

Sob acao da operacao de reversao temporal, i.e. {q, p, t} {q,p,t} ocolchete de Poisson da equacao de Liouville muda de sinal, implicando que a

densidade(q, p,t) =(q, p, t), i.e. evolui de forma reversa.

II. Evolucao temporal da media de ensemble:

A media de ensemble de uma grandeza f(q, p), definida no slide 10, e umafuncao do tempo, i.e.

< f >t

= f(q, p) (q, p, t)dq dp

A evolucao temporal desta media pode ser calculada usando o T.L., ou seja,

d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi

Integrando por partes cada uma das parcelas pode-se mostrar para cada termo

que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi




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p

14






< f >t



d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi


que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi




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< f >t



d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi


que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi




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< f >t=

f(

q,p

) (q,

p, t

)dq d

p


d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi


que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi




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< f >t=

f(q, p

)

(q, p, t

)dq dp


d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi


que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi




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< f >t=

f(q, p

)

(q, p, t

)dq dp


d

dt < f >t=

f(q, p)(q, p, t)

t dq dp=

2ni=1

dq dp f(q, p)

qi

H

pi

pi

H

qi


que

dqi

qif(q, p)

H

pi= f(q, p)

H

pi

dqi

f

qi

H

pi+f

2H

qipi

=0




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Considerando que o primeiro termo se anula porque se anula nos limites de inte-

gracao em e coletando todos os termos resulta:

d

dt < f >t=

2ni=1

dq dp (q, p, t)

f

qi

H

pi

f

pi

H

qi

+

f 2H

qipi f

2H

qipi

d

dt < f >t=

dq dp (q, p, t) {f, H}

d

dt < f >t=t




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=0

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Considerando que o primeiro termo se anula porque se anula nos limites de inte-

gracao em e coletando todos os termos resulta:

d

dt < f >t=

2ni=1

dq dp (q, p, t)

f

qi

H

pi

f

pi

H

qi

+

f 2H

qipi f

2H

qipi

d

dt < f >t=

dq dp (q, p, t) {f, H}

d

dt < f >t=t




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qu r o estatst co em um ensem e.

Supor ensemblede micro-estados descrito pela funcao densidade (q, p, t) em (q, p).

Os estados de equilbrio estatstico formam um subconjunto de , cuja funcao densidade naodepende explicitamente do tempo. i.e.

t(q, p, t) = 0, (q, p, t) =(q, p)

Consequencias:(i) A probabilidade de se encontrar um certo estado (ponto) em determinada regiao de ,

descrita por (q, p) e independente do tempo.

(ii) As medias de ensemble de grandezas dinamicas f(q, p) feitas sobre (q, p), sao indepen-dentes do tempo.

(iii) Os observaveis macroscopicos serao independentes do tempo, o que define o estado deequilbrio estatstico

(iv) Sed

dt < f(q, p, t)>t= 0 = 0.




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t(q, p, t) = 0, (q, p, t) =(q, p)





(iv) Sed

dt < f(q, p, t)>t= 0 = 0.




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t(q, p, t) = 0, (q, p, t) =(q, p)





(iv) Sed

dt < f(q, p, t)>t= 0 = 0.




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t(q, p, t) = 0, (q, p, t) =(q, p)





(iv) Sed

dt < f(q, p, t)>t= 0 = 0.


Ensemblesem equilbrio estatstico: exemplos


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1. Ensemble Uniforme (trivial): (q, p) =Constante

qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0

2. EnsembleEstacionario: (q, p) =()

e uma constante do movimento, i.e. dependente de q e p, mas nao depende dotempo.

Exemplo: = H(p, q) =E, (sistema com energia constante)

Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.

Portanto, segundo o teorema de Liouville, o comportamento de sera:

t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0= 0

ver slide 12




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qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0




Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.


t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0= 0

ver slide 12




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qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0




Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.


t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0= 0

ver slide 12




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qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0




Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.


t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0= 0

ver slide 12

=0




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qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0




Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.


t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0= 0

ver slide 12

=0




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qi(q, p) =

pi(q, p) = 0 {,H}= 0




Logo, se

d

dt(q, p) = 0,

i

qi

qi+

pipi+

t

= 0 {, H}= 0.


t(q, p) =

i

qiqi+

pipi

=

=

i

qi

qi+

pipi

=

{, H}

=0

= 0

ver slide 12

=0




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Comentarios:

Neste caso, (q, p) nao depende explicitamente do tempo, mas pode ser nao-uniformeespacialmenteem .

Os casos mais comuns sao os dos sistemas conservativos onde =E, e uma constante.Obviamente {H, H} 0 onde H(q, p) = E. Tais ensembles sao chamados de micro-canonicose serao estudados em detalhes mais adiante.

A condicao necessaria e suficiente para que o sistema esteja em equlbrio estatstico e afuncao densidade (q, p) dependa somente das constantes do movimento.

Nao ha qualquer restricao ao numero das constantes do movimento, desde que m


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Comentarios:






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Comentarios:






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Comentarios:






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Comentarios:






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Comentarios:






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Comentarios:






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Um sistema fsico real possui certas condicoes de vnculos macroscopicos, as quais correspondema informacoes parciaissobre o sistema.Exemplos: energia constante entre E e E+dE, volume restrito a V e V +dV e/ou o

numero de partculas N constante.

Oensemblede sistemas compatveis com tais vnculos macroscopicos e que atendam ao teoremade Liouville e chamado de ensemble representativodo sistema fsico real.

As medias estatsticas que regem o equilbrio estatstico, acima discutido, serao feitas sobreensemble representativo.

Mas, um sistema fsico real e um exemplar unico do ensemblee as medias sao observados emintervalos de tempo finitos . As grandezas fsicas macroscopicas f(q, p) observadas quecaracterizarao o equilbrio termodinamicoresultarao da observacao media, i.e.

f() = 1

t0+

t0

f(q, p) dt

onde qi =qi(t) e pi = pi(t).

Obs: o tempo de observacao deve ser muito maior que as escalas de tempo caractersticasdos processo de interacao entre as componentes microscopicas do sistema, e.g. o tempomedio entre as colisoes das moleculas de um gas, etc.


Equilbrio termodinmico


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f() = 1

t0+

t0

f(q, p) dt






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f() = 1

t0+

t0

f(q, p) dt






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f() = 1

t0+

t0

f(q, p) dt






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f() = 1

t0+

t0

f(q, p) dt






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Para se caracterizar o equilbrio termodinamico e necessario realizar M (muitas) medicoes dagrandeza no mesmo tempo de observacao e tomar a media estatstica para se obter o valor que

caracteriza o estado deequlibrio

termodinamico, i.e.

f() = 1M

Mj=1

f()

Duas questoes se colocam:

1. Existe de fato umgenunoe unicoestado microscopico deequilbriocompletamente especi-ficado, tal que a afericao dessas medias temporaisseriam realizadas sobre a sua evolucaotemporal, i.e sobre sua trajetoria em ?

2. Se esse estado existe, como descreve-lo completamente?




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Para se caracterizar o equilbrio termodinamico e necessario realizar M (muitas) medicoes dagrandeza no mesmo tempo de observacao e tomar a media estatstica para se obter o valor que

caracteriza o estado deequlibrio

termodinamico, i.e.

f() = 1M

Mj=1

f()







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Para se caracterizar o equilbrio termodinamico e necessario realizar M (muitas) medicoes dagrandeza no mesmo tempo de observacao e tomar a media estatstica para se obter o valor quecaracteriza o estado de equlibriotermodinamico, i.e.

f() = 1M

Mj=1

f()







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V

2

V

2

Considerar um gas deNmoleculas em equilbrio,em um recipiente de volume V completamente

isolado.Supor uma particao imaginaria que divida o re-

cipiente em duas partes identicas de volume V /2possuindo uma pequena abertura,

O estado de equilbrio macroscopico e aquele emque a pressao permanece constante no tempo

(por definicao).

Logo, o estado de equilbrio microscopico deveter exatamente o mesmo numero de moleculasem cada particao.

Essa configuracao pode ocorrer em algum instante mas, em seguida, o numero de

moleculas em cada particao podera flutuar em torno do valor medio N/2.Nessas configuracoes o sistema nao estara no estado de equilbrio microscopico

violando a condicao de ser constante no tempo.

Portanto, a pressao somente sera igual em ambos os lados no sentido estatstico.




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V

2

V

2





(por definicao).









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V

2

V

2





(por definicao).









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V

2

V

2





(por definicao).

Logo, o estado de equilbrio microscopico deveter

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Aula 5 Estatistica Verao 2012