Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Perpendicularidade e paralelismo

Objetivos

• Introduzir os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo.

• Introduzir o quinto postulado de Euclides, ressaltando sua grande im-

portancia historica e teorica.

• Apresentar os primeiros resultados decorrentes do quinto postulado.

Introducao

Discutiremos nesta aula os importantes conceitos de perpendicularidade

e paralelismo entre retas.

Ja vimos, na aula 1, que duas retas sao paralelas quando nao se inter-

sectam. A seguir, veremos o que significa dizer que duas retas sao perpendi-

culares.

Definicao 12

Duas retas sao ditas perpendiculares se elas se intersectam formando angulos

retos.

(a) (b)

Fig. 68: a) Retas paralelas. b) Retas perpendiculares.

Observe o desenho abaixo.

As retas sao paralelas ou

nao?

As retas sao paralelas.

Verifique com uma regua.

Usando os resultados das aulas anteriores, e possıvel provar as seguintes

proposicoes:

55 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

Proposicao 7

Dados uma reta r e um ponto P , existe uma unica reta s perpendicular a r

passando por P .

s r

P

Fig. 69: Reta s perpendicular a r passando por P .

Proposicao 8

Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r

contendo P .

s

r

P

Fig. 70: Reta s paralela a r contendo P .

As provas dessas proposicoes estao no Apendice que aparece no final

da aula, e voce deve estuda-las num segundo momento, apos ter dominado o

uso destas proposicoes para resolver problemas.

Observe a figura 71.

s r

P

T

Q

Fig. 71: O ponto Q e o pe da perpendicular.

O ponto Q e chamado de pe da perpendicular baixada do ponto P a

reta r e o ponto T pertencente a reta s e chamado de reflexo do ponto P em

relacao a reta r, desde que PQ ≡ QT .

CEDERJ 56

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

Note que a palavra unica no enunciado da proposicao 7 nao aparece

no enunciado da proposicao 8. Na verdade, nao e possıvel provar, usando

apenas os axiomas e os resultados anteriores, que so existe uma reta com a

propriedade desejada.Voce sabia que...

A unicidade da paralela

(chamado de Quinto

Postulado de Euclides) foi

proposta por Euclides como

um axioma. Por muitos anos

(mais de 2.000!) varios

matematicos tentaram

provar, sem sucesso, que a

unicidade da paralela

decorria dos outros axiomas.

Foi somente na primeira

metade do seculo XIX que os

matematicos chegaram a

conclusao de que o quinto

postulado nao era

demonstravel a partir dos

outros quatro. Isso ocorreu

com a descoberta das

chamadas geometrias

nao-euclidianas em que o

quinto postulado de Euclides

e substituıdo por uma outra

afirmacao que lhe e

contraditoria. Essa

descoberta esta associada ao

nome de dois matematicos

que a obtiveram

independentemente: Janos

Bolyai (1802-1860) e Nikolai

I. Lobachevsky (1793-1856).

Apresentamos, agora, o axioma que e conhecido como o Quinto Postu-

lado de Euclides.

Quinto Postulado de Euclides

• Por um ponto fora de uma reta passa uma unica reta paralela

a reta dada.

Antes de obter algumas consequencias do Quinto Postulado de Euclides,

definiremos o importante conceito de mediatriz de um segmento.

Definicao 13

A mediatriz de um segmento e a reta perpendicular a esse segmento em seu

ponto medio (veja figura 72).

r

A

B

Fig. 72: A reta r e mediatriz do segmento AB.

Agora considere duas retas r e s; suponha que t e uma reta que corta

as duas. A reta t e chamada transversal as retas r e s. Considere os oito

angulos indicados na figura 73, numerados para facilitar a explicacao.

r

s

1

3

2

4

5

6

7

8

t

Fig. 73: Paralelas cortadas por uma transversal.

57 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

Os angulos 3 e 6, bem como os angulos 4 e 5, sao chamados alternos

internos (pois ficam em lados alternados de t, entre as retas r e s), enquanto

os pares 1 e 8 e 2 e 7 sao ditos alternos externos. Chamam-se correspondentes

os seguintes pares de angulos: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, e 4 e 8. Note que, se um

dos pares acima for congruente, os outros tambem o serao.

Voce sabia que...

Janos Bolyai

1802-1860 d.C., Romenia.

Janos Bolyai nasceu na

Transilvania, naquela epoca

parte da Hungria e do

Imperio Austrıaco. Entre

1820 e 1823, ele preparou um

tratado sobre um sistema

completo de Geometria

nao-euclidiana. Antes de o

trabalho ser publicado, ele

descobriu que Gauss tinha

antecipado muito do seu

trabalho. Embora Gauss

nunca tivesse publicado seu

trabalho nessa area, isso era

um ponto de honra para

Bolyai. Porem, o trabalho

do Bolyai foi publicado em

1832 como apendice de um

ensaio, por seu pai.

Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-nd.ac.uk/~history/

Mathematicians/Bolyai.

html

Proposicao 9

Se duas retas cortadas por uma transversal determinam um par de angulos

alternos internos congruentes, entao as retas sao paralelas.

Prova:

Suponha que r e s sao cortadas por t, como na hipotese da proposicao.

Se r e s nao fossem paralelas, elas teriam um ponto em comum, como na

figura 74.

r

s

t

Fig. 74: Proposicao 9.

Terıamos entao um triangulo para o qual um angulo externo seria igual

a um angulo interno nao adjacente, o que seria contraditorio com o teorema

do angulo externo. Logo r e s sao paralelas.

Q.E.D.

Na proposicao seguinte utilizaremos pela primeira vez o Quinto Postu-

lado de Euclides.

Proposicao 10

Se duas retas paralelas sao cortadas por uma transversal, os angulos alternos

internos sao congruentes.A proposicao 10 e quivalente

a proposicao 29 do livro I

dos Elementos, em que

Euclides usou o Quinto

Postulado pela primeira vez.

Prova:

Sejam r e s duas retas paralelas cortadas por uma transversal t nos

pontos A e B, respectivamente. Sejam C e F pontos de r e G e D pontos de

s dispostos como na figura 75.

CEDERJ 58

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

r

s

t

A

B

C

D

F

G

Fig. 75: t e transversal as retas paralelas r e s.

Provaremos que os angulos ˆBAC e ˆABD sao congruentes. Para isso,

vamos supor que tal fato nao aconteca, ou seja, que BAC > ABD ou ABD >

BAC.

Voce sabia que...

Nikolai I. Lobachevsky

(1793-1856 d.C., Russia) foi

o primeiro a publicar um

relato sobre Geometria

nao-euclidiana (1829). Seu

trabalho atraiu pouca

atencao quando apareceu

porque foi publicado em

russo e os russos que o leram

fizeram severas crıticas. Em

1840, ele publicou um

tratado em alemao, atraves

do qual suas descobertas

chegaram ao conhecimento

de Gauss. Em uma carta a

Schumacher, Gauss elogiou o

trabalho de Lobachevsky,

mas ao mesmo tempo

reiterou sua prioridade nesse

assunto. Lobachevsky nao

teve o merecido

reconhecimento durante sua

vida. De fato, em 1846 ele

foi demitido da Universidade

de Kazan, apesar dos vinte

anos de notaveis servicos

prestados como professor e

administrador. Somente

apos a morte de Gauss

(1855), quando suas

correspondencias foram

publicadas, o mundo

comecou a reconhecer os

trabalhos de Lobachevsky

sobre Geometria

nao-euclidiana.

Em qualquer caso, no semiplano determinado por t que contem C,

tracamos a semi-reta−→AE tal que ˆBAE ≡ ˆABD, como na figura 76. O lado

esquerdo da figura 76 representa o caso BAC > ABD, enquanto que o lado

direito, o caso ABD > BAC.

r

s

t

A

B

C

D

F

G

r

s

t

A

B

C

D

F

G

E

E

Fig. 76: Proposicao 10.

As retas←→AE e s sao cortadas por t de forma que os angulos alternos

internos ˆBAE e ˆABD sao congruentes. Usando a proposicao 9, concluımos

que←→AE e paralela a s, e portanto existem duas paralelas a s (

←→AE e r)

passando pelo ponto A, o que contraria o Quinto Postulado de Euclides.

Chegamos a essa contradicao porque assumimos que BAC nao e congruente

a ABD. Logo, devemos ter BAC ≡ ABD.

Q.E.D.

O teorema a seguir e um dos mais utilizados da Geometria euclidiana.

59 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

Lei Angular de Tales

A soma dos angulos internos de qualquer triangulo e 180o.

Prova:

Seja ABC um triangulo e seja s a reta que passa por A e e paralela a

reta←→BC, como na figura 77.

A

B C

D E s

Fig. 77: Reta s paralela a reta que contem os pontos B e C.

Sobre s marque pontos D e E. Como a reta←→AB e transversal as

retas paralelas s e←→BC, podemos concluir, a partir da proposicao 10, que

ABC ≡ DAB. Analogamente, considerando a transversal←→AC, podemos

concluir que ACB ≡ EAC. Logo,

ABC +BAC + ACB = DAB +BAC + EAC = 180o

Q.E.D.

Voce sabia que...

Considerado o primeiro

filosofo grego, introdutor da

Geometria na Grecia. Como

rico negociante de azeite da

cidade de Mileto, litoral da

Asia Menor (atual Turquia),

Tales percorreu inumeras

vezes o litoral do

Mediterraneo, entre 600 a.C.

e 550 a.C., e conheceu as

obras de varios matematicos

e astronomos da regiao,

principalmente no Egito. Ao

aposentar-se, dedicou-se a

Matematica e estabeleceu os

primeiros postulados basicos

da Geometria. E atribuıdo a

ele o calculo da altura de

uma piramide a partir do

comprimento de sua sombra,

em determinado horario do

dia e dependendo da posicao

do sol. Na Filosofia, Tales

defendeu a existencia de

uma substancia fundamental

que da origem ao movimento

e a transformacao da vida.

Para ele, o princıpio de tudo

e a agua. “O morto resseca,

enquanto os germes sao

umidos, e os alimentos

cheios de seiva”, ele dizia.

Ate Tales, todas as

explicacoes sobre o Universo

eram mitologicas. Consulte:

http://www-groups.dcs.

st-nd.ac.uk/~history/

Mathematicians/Tales.html

Notas:

1) Como os angulos internos de um triangulo equilatero tem todos a

mesma medida, segue da Lei Angular de Tales que cada um deles mede

60o.

2) Se dois triangulos ABC e DEF sao tais que BC ≡ EF , B ≡ E e

A ≡ D, entao ABC ≡ DEF .

De fato, como A+ B + C = D + E + F = 180◦, entao A ≡ D, B ≡ E

e C ≡ F e estamos no caso A.L.A. de congruencia, as vezes e referida

como caso A.L.A◦. (le-se angulo, lado, angulo oposto).

CEDERJ 60

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

Resumo

Nesta aula voce aprendeu...

• O que significa dizer que duas retas sao paralelas ou perpendiculares.

• Que so existe uma reta passando por um ponto e perpendicular a uma

reta dada.

• Que so existe uma reta passando por um ponto e paralela a uma reta

dada.

• Que angulos alternos internos sao congruentes.

• Que a soma dos angulos internos de um triangulo e 180o.

Exercıcios

1. (PUC-SP, 1983) Considere a sentenca:

“Num plano, se duas retas sao..........., entao toda reta............... a uma

delas e..........a outra”

A alternativa que preenche corretamente as lacunas e:

(a) Paralelas, perpendicular, paralela

(b) Perpendiculares, paralela, paralela

(c) Perpendiculares, perpendicular, perpendicular

(d) Paralelas, paralela, perpendicular

(e) Perpendiculares, paralela, perpendicular

2. (UFMG, 1992) Com base nos dados da figura 78, pode-se afirmar que

o maior segmento e:A

B C D

E

55 65

70

70

o

o

o o

Fig. 78: Exercıcio 2.

(a) AB (b) AE (c)EC (d) BC (e) ED

61 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

3. Determine os angulos x e y indicados na figura 79 onde D = 25◦ e AE

e BD sao segmentos de reta. (Lembre-se de que as indicacoes dadas

pelos tracos curtos transversais significam que AB ≡ AC ≡ CD e

BC ≡ BE).A

B C

D

E

x

y

Fig. 79: Exercıcio 3.

4. Determine DPE na figura 80, sendo B = 20◦.

A

B C D

E

P

Fig. 80: Exercıcio 4.

5. Na figura 81, A e reto,−−→BD e bissetriz de B e

−−→CE e bissetriz de C.

Determine a medida de ˆBFC.

C B

A

D E

F

Fig. 81: Exercıcio 5.

6. Determine o valor do angulo A no triangulo ABC da figura 82.

C

B

A

D

Fig. 82: Exercıcio 6.

CEDERJ 62

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

7. Na figura 83 , BAC e reto e D e o ponto medio de BC. Mostre que

m(AD) =m(BC)

2.

C

B

A

D

Fig. 83: Exercıcio 7.

8. Determine a medida de AB na figura 84.

C

B

A

60

30

10

o

o

Fig. 84: Exercıcio 8.

9. Determine as medidas dos angulos B e C na figura 85.

C

B

A

6 3

Fig. 85: Exercıcio 9.

10. Na figura 86, o angulo BAC e reto e−−→MN e bissetriz do angulo AMC.

Determine o valor de ANM .

C B

A

N

M Fig. 86: Exercıcio 10.

63 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

11. Na figura 87, BAC e reto e M e o ponto medio de BC. Determine

MAN .

C B

A

N M

30 60 o o

Fig. 87: Exercıcio 11.

12. Na figura 88, AB ≡ AC. Determine o valor de A.

C B

A

D

E

F

Fig. 88: Exercıcio 12.

13. Considere os triangulos T1, T2, . . . , T12 da figura 89. Assinale os pares

de triangulos congruentes e indique o caso de congruencia.

T

3

4

70 o 1

1

2 T

60 o 2

35 o

3

8

T 4 T 3

35 o

25 o

T 5

3

8

35 o

3

6

4 T 6 T 7

10

1

2

60 o

T 8 3

4 70 o

T 9

6

5

20 o

80 o

T 10 3

4

T 11 25 o 35 o 80 o 20 o

5 T 12

10

Fig. 89: Exercıcio 13.

CEDERJ 64

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

14. Na figura 90 tem-se m(AC) = m(PR) = 4, m(AB) = m(RS) = 3 e

m(BC) = 6.

A

B C

R

S

P

3 4

6

3

4

Fig. 90: Exercıcio 14.

Considere os casos:

a) C ≡ P , b) B ≡ S e c) C ≡ R

Em que casos podemos determinar a medida de PS?

15. Seja ABC um triangulo isosceles de base BC. Prove que a mediatriz

de BC passa pelo ponto A.

16. (Distancia de ponto a reta) Sejam r uma reta e P /∈ r. Se Q e o

pe da perpendicular baixada de P a reta r, prove que Q e o ponto de

r mais proximo de P . A medida do segmento PQ e definida como a

distancia de P a r.

17. Prove que a medida de um angulo externo de um triangulo e igual a

soma das medidas dos angulos internos a ele nao-adjacentes.

18. (Desafio) Na figura 91, as retas r e s sao perpendiculares.

r

s A

B

Fig. 91: Exercıcio 18.

Qual e o caminho mais curto para ir do ponto A ao ponto B tocando-se

nas duas retas?

65 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

19. Seja ABC um triangulo e r uma reta que nao corta ABC. Sejam A′,

B′ e C ′ os reflexos de, respectivamente, A, B e C em relacao a r, como

na figura 92.

r

C

B

A

A'

B'

C'

Fig. 92: Exercıcio 19.

Prove que o triangulo A′B′C ′ e congruente a ABC.

20. (FUVEST-2001) Na figura 93, tem-se que AD ≡ AE, CD ≡ CF e

BA ≡ BC.

C

B

A D

E

F

80 o

Fig. 93: Exercıcio 20.

Se o angulo EDF mede 80o, entao o angulo ABC mede: (a) 20o

(b) 30o (c) 50o (d) 60o (e) 90o

CEDERJ 66

Perpendicularidade e paralelismoMODULO 1 - AULA 5

Apendice: Para saber mais...

Neste Apendice vamos apresentar uma prova das proposicoes 7 e 8 que

enunciamos nesta aula.

Proposicao 7

Dada uma reta r e um ponto P , existe uma unica reta s perpendicular a r

passando por P .

Prova:

Temos dois casos a considerar: P ∈ r e P /∈ r. O caso em que P ∈ rpode ser demonstrado facilmente a partir dos axiomas sobre medicao de

angulos (veja a aula 2). No caso em que P /∈ r, tome pontos distintos A

e B em r e trace AP . No outro semiplano determinado por r, trace uma

semi-reta−→AC de modo que BAC ≡ PAB (figura 94).

A

C D

E

B

P

r

Fig. 94:

Sobre−→AC marque o ponto D tal que AD ≡ AP . Seja E o ponto em

que PD intersecta r. Prove que PAE ≡ DAE. Segue daı que P EA ≡ DEA.

Logo, PEA e reto e, portanto,←→PE e perpendicular a r.

Esta provado, assim, que existe uma reta passando por P e perpendi-

cular a r. Falta provar que nao existe outra reta com essa propriedade.

Suponha que exista outra reta←→PF que seja perpendicular a r (figura

95).

E F

P

r

Fig. 95:

Use o teorema do angulo externo para mostrar que isso e um absurdo.

67 CEDERJ

Perpendicularidade e paralelismo

Proposicao 8

Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r

contendo P .

Prova:

Sejam r uma reta e P /∈ r. Seja←→PA a reta passando por P e perpendi-

cular a r. Trace a semi-reta−−→PB tal que ˆAPB e reto. Prove, por contradicao,

que←→PB e paralela a r. (Se

←→PB e r nao fossem paralelas, elas se intersectariam

em um ponto C, formando um triangulo com dois angulos retos).

CEDERJ 68