Aula 5 - 2015/2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2 ªORDEM

Algumas equações diferenciais de segunda ordem podem ser resolvidas porintegração direta e em alguns casos, utilizando substituição de funções.

Vejamos um exemplo:

A solução da equação y �� � f�x� é obtida mediante duas integrações sucessivas.Diante disso ache a solução geral da equação diferencial y �� � e2x � sin x � 0 e a soluçãoparticular da equação diferencial y �� � x3 � 2x � 0, que satisfaz as condições y�0� � 1 ey ��0� � �2.

Equações diferenciais de 2 ª ordem com coeficientes constantes ehomogêneas .

Essas equações diferenciais apresentam a seguinte expressão matemática:

ay �� � by � � cy � 0 (1)

onde a, b e c são constantes reais e y é a função incógnita.Que tipo de função y, pode ser solução da equação diferencial 1? Considerando os

conhecimentos de cálculo diferencial podemos pensar que y pode ser um tipo de funçãoexponencial. Sendo assim, podemos sugerir y � erx, para algum r. Se isso for verdadeentão essa função precisa satisfazer a equação (1).

Substituindo y � erx em (1), temos

ar2erx � b r erx � c erx � 0

simplificando a equação acima, obtemos

ar2 � br � c � 0 (2)

onde observamos que r precisa ser raiz da equação (2) para que y � erx seja solução daequação diferencial.

A equação ar2 � br � c � 0 é chamada de equação característica da equaçãodiferencial.

Dependendo do caso, essa equação característica pode ter duas raízes reais e

1

diferentes, duas raízes reais e iguais ou duas raízes complexas. Essas raízes quandoencontradas e substituídas em y � erx, fornecem soluções da equação diferencial dada.

Exemplo:Dada y �� � 3y � � 2y � 0, encontre a sua equação característica e suas soluções.

Observe que, de acordo com nossos estudos, essas soluções encontradas nãoconstituem a solução geral da equação diferencial (1), pois elas não contém nenhumaconstante e nem expressam todas as possíveis soluções de (1).

A teoria referente às equações diferenciais lineares de segunda ordem comcoeficientes constantes mostra que a solução geral de (1) é expressa como combinaçãolinear de soluções linearmente independentes de (1).

Ou seja, se y1�x� e y2�x� forem soluções linearmente independentes de (1), então:

y�x� � A y1�x� � B y2�x�

expressa a solução geral de (1).

De uma maneira geral , pode -se concluir que :

� Se r1 e r2 são raízes reais e distintas (r1 � r2� da equação característicaassociada à (1), então as soluções fundamentais geradas são:

y1�x� � er1x e y2�x� � er2x.

Pode ser mostrado que essas soluções são linearmente independentes e dessaforma a solução geral de (1) é:

y�x� � Aer1x � Ber2x

para A e B números reais quaisquer.

� Se r1 e r2 são raízes reais e iguais (r1 � r2 � r� da equação característica entãoapenas uma solução é gerada:

y1�x� � erx.

Nesse caso podemos mostrar que xerx também é solução da equação diferencial(verifique!). Sendo assim, y1�x� � erx e y2�x� � xerx são linearmenteindependentes. Portanto a solução geral de (1) é:

y�x� � Aerx � Bxerx

para A e B números reais quaisquer.

� Se r1 e r2 são raízes complexas da equação característica, então r1 � p � qi er2 � p � qi, onde p e q são númeors reais e i � �1 , é chamado de unidadeimaginária.

2

Por meio de manipulações algébricas que envolvem propriedades das funçõescomplexas, podemos concluir que, nesse caso,

y1�x� � epx cosqx e y2�x� � epx sin qx

são soluções linearmente independentes de (1).Então a solução geral de (1) é:

y�x� � epx�A cosqx � B sin qx�

para A e B números reais quaisquer.

Equações diferenciais lineares de 2 ª ordem com coeficientesconstantes não -homogêneas .

Essas equações diferenciais apresentam a seguinte expressão matemática:

ay �� � by � � cy � r�x�, com r�x� � 0.

Métodos dos coeficientes a determinar

Esse método foi desenvolvido por Déscartes (1596/1650).

Seja

ay �� � by � � cy � r�x� (3)

onde y�x� é a solução geral procurada. Então

y�x� � yh�x� � yr�x�

onde, yh�x� é a solução geral da equação diferencial homogênea associada a equaçãodada e yr�x� é uma solução particular da equação diferencial dada.

Seja r�x� o termo do segundo membro da equação diferencial linear de coeficientesconstantes (3). Consideraremos no nosso estudo, a seguinte tabela de sugestões desolução para yr�x� dependendo do tipo de função r�x�.

Tabela de soluções particulares

3

r�x� Forma de yr�x�

1. 1(qualquer constante) A

2. 5x � 7 Ax � B

3. 3x2 � 2 Ax2 � Bx � C

4. x3 � x � 1 Ax3 � Bx2 � Cx � D

5. sin 4x A cos4x � B sin 4x

6. cos4x A cos4x � B sin 4x

7. e5x Ae5x

8. �9x � 2�e5x �Ax � B�e5x

9. x2e5x �Ax2 � Bx � C�e5x

10. e3x sin 4x Ae3x cos4x � Be3x sin 4x

11. 5x2 sin 4x �Ax2 � Bx � C�cos4x � �Dx2 � Ex � F� sin 4x

12. xe3x cos4x �Ax � B�e3x cos4x � �Cx � D�e3x sin 4x

Exercícios :

I) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.1. y �� � 36y � 0 2. y �� � 9y � 0

3.d2ydx2 � 8

dydx

� 16y � 0 4. 12y �� � 5y � � 2y � 0

5. 3y �� � 2y � � y � 0 6. 4y �� � 4y � � 3y � cos2x7. y �� � 2y � � y � 3 � e

x2

II) Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.8. 2y �� � 2y � � y � 0 y�0� � �1, y ��0� � 09. y �� � 5y � � 4y � 0 y�0� � 1, y ��0� � 010. y �� � 6y � � 9y � �6x2 � 2� � e�2x com y�0� � 0 e y ��0� � 1.11. y �� � 4y � �x � 3� sin 2x com y�0� � 1 e y ��0� � 112. y �� � 8y � � 20y � 100x2 � 26xex com y�0� � 0 e y ��0� � 0.

RESPOSTAS:1. y�x� � Ae�6x � Be6x

2. y�x� � A cos3x � B sin 3x3. y�x� � Ae�4x � Bxe�4x

4. y�x� � Ae23

x � Be�14

x

5. y�x� � e� 13

x A cos 23 x � B sin 2

3 x

6. y�x� � Ae32

x � Be� 12

x � 19425

cos2x � 8425

sin 2x

7. y�x� � Aex � Bxex � 4ex2 � 3

8. y�x� � e12

x �cos x2 � sin x

2

9. y�x� � 43

e�t � 13

e�4t

10. y�x� � 89

x � 23

x2 � 125

e�2x � 5375

e3x � 10445

xe3x � 23

4

11. y�x� � 1932

e2x � 1532

e�2x � 18

x sin 2x � 38

sin 2x � 116

cos2x

12. y�x� � e4x � 23130

cos2x � 1265

sin 2x � 5x2 � 4x � 1110

� 2xex � 1213

ex

III) Determine a carga no capacitor em um circuito em série RCL em t � 0, 01 s quandoL � 0, 05 h, R � 2 �, C � 0, 01 f, E�t� � 0 V, q�0� � 5 C e i�0� � 0 A.Determine o primeiroinstante de tempo no qual a carga no capacitor é igual a zero. ( 4, 568 C; 0, 0509 s)

IV) Um circuito RCL ligado em série tem L � 20H, R � 180�, C � 1280

F e E�t� � 10 sin t

V, com q�0� � 0 e i�0� � 1. A equação diferencial que representa a variação da carga

num circuito RCL é dada pord2qdt2 � R

Ldqdt

� 1LC

q � 1L

E�t�. Encontre a carga e a

corrente em qualquer tempo. Sabendo o que a corrente é a taxa de variação da carga,verifique se a corrente é transitória e justifique. A corrente é dita transitória se elatende a zero conforme o tempo cresce. (q�t� � 1

500�110e�2t � 101e�7t � 13 sin t � 9 cos t��

V) Um corpo com 2 kg está suspenso em uma mola cuja constante elástica é 4 kg/m. Ocorpo é posto em movimento, sem velocidade inicial �x ��0� � 0�, deslocando-se 0, 5 macima da posição de equilíbrio �x�0� � �0, 5�, considerando a posição "para cima"negativa. Se é aplicada simultaneamente uma força externa F�t� � sin 4t e desprezendoa resistência do ar, determine a função que dá o movimento do corpo a cada instante.Calcule também a posição do corpo após 5 segundos.

x�t� � � 12

cos 2 t � 17 2

sin 2 t � 128

sin 4t, x�5� � �0, 313 m

VI) Verifique se a família de curvas y � C1ex � C2xex � xex ln|x| é a solução geral daequação diferencial não -homogênea y �� � 2y � � y � ex

x . �é solução)

VII) Verifique se a família de curvas y � C1e2x � C2e5x � 6ex é a solução geral daequação diferencial não -homogênea y �� � 7y � � 10y � 24ex. �é solução)

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