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Transformada de Laplace para resolver Equações Diferenciais envolvendo funções seccionalmente contínuas Funções Seccionalmente Contínuas Uma função é chamada seccionalmente contínua em um intervalo a, b, se a função for contínua em cada subintervalo de a, b e se os limites laterais de f, em cada um dos subintervalos, for finito. ft 2 se 3 t 0 1 se 0 t 2 gt t se 0 t 1 1 se 1 t 5 Uma função seccionalmente contínua pode representar fenômenos, grandezas impulsivas ou valores funcionais que são modificados conforme o tempo varia. Por exemplo, alimentadores (bateria) tipo liga-desliga. Estamos interessados em resolver problemas onde a "função entrada" é representada por uma função seccionalmente contínua. Por exemplo: Considere o modelo de um circuito dado por dq dt 0,1q Et, satisfazendo q0 0,5 onde Et, que representa a força eletromotriz vale 2 para t no intervalo 0,2 e 1 no intervalo 2, 10. Dessa forma, para calcular a transformada de Laplace de uma função seccionalmente contínua, a partir das expressas na tabela, é necessário, antes de mais nada, escrevermos funções seccionalmente contínuas, como combinação de funções que aparecem na tabela. Uma outra alternativa é calcular a transformada de Laplace da função seccionalmente contínua utilizando a definição de transformada de Laplace. Função escalão unitário ou função impulso Nas aplicações em engenharia encontramos funções que estão ou "desativadas" ou "ativas". Por exemplo, uma força externa atuando sobre um sistema mecânico ou uma tensão imposta em um circuito podem ser retiradas após um intervalo de tempo. Precisamos definir uma função que é o número zero 0, desativada, até um certo tempo t c, e que é o número 1, ativada, após t c. Essa função é chamada função degrau unitário, função de Heaviside, função escalão unitário ou função impulso. Ela é denotada e definida por: ut c 0 0 t c 1 t c Observações: A função ut c é definida, num sentido mais amplo, para valores de t c e para 1

aula 7_2015_1

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Aula 7

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Page 1: aula 7_2015_1

Transformada de Laplace para resolver Equações Diferencia is envolvendofunções seccionalmente contínuas

Funções Seccionalmente Contínuas

Uma função é chamada seccionalmente contínua em um intervalo �a, b�, se afunção for contínua em cada subintervalo de �a, b� e se os limites laterais de f, em cadaum dos subintervalos, for finito.

f�t� �2 se �3 � t � 0

1 se 0 � t � 2g�t� �

t se 0 � t � 1

1 se 1 � t � 5

Uma função seccionalmente contínua pode representar fenômenos, grandezasimpulsivas ou valores funcionais que são modificados conforme o tempo varia. Porexemplo, alimentadores (bateria) tipo liga-desliga.

Estamos interessados em resolver problemas onde a "função entrada" érepresentada por uma função seccionalmente contínua.Por exemplo:

Considere o modelo de um circuito dado pordqdt

� 0, 1q � E�t�, satisfazendo

q�0� � 0, 5 onde E�t�, que representa a força eletromotriz vale 2 para t no intervalo �0, 2�e 1 no intervalo �2, 10�.

Dessa forma, para calcular a transformada de Laplace de uma funçãoseccionalmente contínua, a partir das expressas na tabela, é necessário, antes de maisnada, escrevermos funções seccionalmente contínuas, como combinação de funçõesque aparecem na tabela.

Uma outra alternativa é calcular a transformada de Laplace da funçãoseccionalmente contínua utilizando a definição de transformada de Laplace.

Função escalão unitário ou função impulso

Nas aplicações em engenharia encontramos funções que estão ou "desativadas" ou"ativas". Por exemplo, uma força externa atuando sobre um sistema mecânico ou umatensão imposta em um circuito podem ser retiradas após um intervalo de tempo.Precisamos definir uma função que é o número zero �0�, desativada, até um certotempo t � c, e que é o número 1, ativada, após t � c. Essa função é chamada funçãodegrau unitário , função de Heaviside , função escalão unitário ou função impulso .Ela é denotada e definida por:

u�t � c� �0 0 � t � c

1 t � c

Observações :A função u�t � c� é definida, num sentido mais amplo, para valores de t � c e para

1

Page 2: aula 7_2015_1

valores de t � c. Nós definimos u�t � c� somente para os valores não-negativos. Quandouma função f�t� é definida para t � 0 e multiplicada por u�t � c� ela tem uma parte doseu gráfico "anulada" pela função u�t � c�.Por exemplo: Seja a função f�t� � sin t, se multiplicarmos f�t� por u�t � 1� teremos umafunção g�t� � sin t. u�t � 1�. Ao construirmos o gráfico deste produto "anularemos" aparte do gráfico de sin t. u�t � 1� que fica no intervalo de 0 � t � 1.

f�t� � sin t

6.2553.752.51.250

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

u�t � 1� �0 0 � t � 1

1 t � 1

g�t� � sin t. u�t � 1� �0 0 � t � 1

sin t t � 1

6.2553.752.51.250

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

ExercíciosI) Faça o gráfico das funções a seguir, que são escritas como combinação de funçõesdo tipo u�t � c�. Em cada caso, antes de fazer o gráfico, escreva como a função estádefinida em cada subintervalo de seu domínio.

2

Page 3: aula 7_2015_1

a� f�t� � 2u�t � 2� b� h�t� � 1 � u�t � �� c� g�t� � u�t � �� sin�t � ��

d� f�t� � 2 � �t � 4�2u�t � 4� e� h�t� � u�t � �� � u�t � 2�� f� r�t� � 0, 5 � u�t � 0, 2� � u�t � 0, 5�

g� g�t� � e�t�1�u�t � 1� h� s�t� � 1 � u�t � ��cos�t � �� i� r�t� � 2 � u�t � 3�

II) Observe, com base nos exercícios feitos anteriormente que a função u�t � c� é "base"para definir ou expressar outras funções seccionalmente contínuas. Para entendermelhor, expresse as funções seguintes como combinação de funções u�t � c� paravalores convenientes de c.

a� f�t� �1 se 0 � t � 1

0 se t � 1b� h�t� �

3 se 0 � t � �

0 se t � �

c� s�t� �0 se 0 � t � 2�

t2 se t � 2�d� g�t� �

1 se 0 � t � 2

2 se t � 2

e� r�t� �t se 0 � t � 2

t � 1 se t � 2f� i�t� �

2 se 0 � t � �

4 � cos t se t � �

TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO u�t � c�

A transformada de Laplace da função u�t � c� é dada por:

��u�t � c�� � e�cs

s com c � 0 e s � 0.

É possível verificar essa igualdade por meio da definição do operador �, ou seja,

��u�t � c�� � �0

�e�stu�t � c�dt � �

0

ce�st0dt � �

c

�e�st1dt � 0 � �

c

�e�st1dt � e�cs

s para c � 0 es � 0.

ExercícioEncontre a transformada de Laplace das seguintes funções, lembrando da propriedadelinear de � e que ��u�t � c�� � e�cs

s .

a� f�t� � u�t � 2� b� g�t� � u�t � 2�� c� h�t� � 1 � u�t � ��

d� f�t� � 1 � u�t � 3� e� h�t� � 2 u�t � 12 � f� h�t� � u�t � �� � u�t � 2��

g� r�t� � u�t � 1� � u�t � 2� h� s�t� � 1 � 12 u�t � 2�

TEOREMA DA TRANSLAÇÃO

Seja F�s� � ��f�t�� e c � 0. Então:

��u�t � c�f�t � c�� � e�cs��f�t�� � e�csF�s�

3

Page 4: aula 7_2015_1

Como f�t� � ��1�F�s��, a forma inversa do teorema da translação para c � 0 é

��1�e�csF�s�� � u�t � c�f�t � c�

Esse teorema afirma que a translação de f numa distância c, na direção dos tpositivos (domínio da função f) corresponde a multiplicação da função F (que é atransformada de f) pelo fator e�cs.

Demostração :Para demonstrar esse resultado é suficiente calcular ��u�t � c�f�t � c�� mediante a

definição de � e considerando uma mudança de variável na integração: u � t � c.

��u�t � c�f�t � c�� � �0

�e�stu�t � c�f�t � c�dt � �

0

ce�st0dt � �

c

�e�stf�t � c�dt � 0 � �

0

�e��u�c�sf�u�du

� e�csF�s�

Frequentemente precisamos calcular a transformada de Laplace de um produto de umafunção g por uma função degrau unitário u�t � c� onde a função g precisa ser escrita naforma f�t � c�. Para tanto, precisamos arrumar g�t� para a forma f�t � c� fazendo uso demanipulações algébricas.Por exemplo:���3t � 1�u�t � 1�� � ���3t � 3 � 3 � 1�u�t � 1��

� ���3�t � 1� � 4�u�t � 1��� ��3�t � 1�u�t � 1� � 4u�t � 1��� 3���t � 1�u�t � 1�� � 4��u�t � 1��

ExercíciosI) Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:

a� f�t� � sin�t � 1�u�t � 1� b� f�t� � u�t � 1� � 2u�t � 3� � 0, 1 cos�t � ��u�t � ��

c� f�t� � sin�t�u�t � �� � cos�t � 3��u�t � 3�� d� f�t� � �t � 1�u�t � 1� � 0, 5u�t � 0, 1�

e� f�t� � 1 � e t�o,5u�t � 0, 5� � �t � 1�u�t � 1� f� f�t� � 2 � �t � 4�2u�t � 4� � u�t � 3�

g� f�t� � e4t�8u�t � 2� h� f�t� � tu�t � 3�

Respostas

a� e�s

s2 � 1b� e�s

s � 2e�3s

s � 0, 1 e��sss2 � 1

c� � e��s

s2 � 1� se�3�s

s2 � 1d� e�s

s2 � 0, 5 e�0,1s

s

e� 1s � e�0,5s

s � 1� e�s

s2 f� 2s � 2e�4s

s3 � e�3s

s

g� e�2s

s � 4h� e�3s

s2 � 3 e�3s

s

II) Encontre a transformada inversa de Laplace das funções seguintes, expressando a

4

Page 5: aula 7_2015_1

função f�t� � ��1�F�s�, indicando os intervalos onde ela "muda" de comportamento.Lembre que ��1�e�csF�s�� � u�t � c�f�t � c�.

a� F�s� � e�s

s � 1Solução:Nesse caso,

��1�F�s�� � ��1 e�s

s � 1� ��1 e�s. 1

s � 1� e��t�1�u�t � 1� �

0 se 0 � t � 1

e�t�1 se t � 1

b� F�s� � e��s

s2 � 4Solução:

Nesse caso,

��1�F�s�� � ��1 e��s

s2 � 4� 1

2��1 e��s. 1. 2

s2 � 4� 1

2sin 2�t � ��u�t � �� �

0 se 0 � t � �

0, 5 sin 2t se t � �

c� F�s� � e�3s

s3 d� G�s� � e��s

s2 � 1e� H�s� � se�0.2s

s2 � 4

f� F�s� ��1 � e�0.1s�

s2 g� G�s� �0, 5se�s

s2 � 0, 1s � 0, 02h� H�s� �

0, 2e�2s

0, 1s2 � 0, 4s

Respostas

c� f�t� ��t � 3�2

2!u�t � 3� d� g�t� � sin�t � ��u�t � �� � � sin t. u�t � ��

e� h�t� � cos2�t � 0, 2�u�t � 0, 2� f� f�t� � t � �t � 0, 1�u�t � 0, 1�

g� g�t� � 13

e�0,2�t�1� � 16

e0,1�t�1� u�t � 1� h� h�t� � e4t�8 � 12

u�t � 2�

EXERCÍCIOS

1- Calcule x"�16x � f�t� com x�0� � 0, x ��0� � 1 e f�t� �cos4t 0 � t � �

0 t � �.

R: x�t� �

18

t sin 4t � 14

sin 4t 0 � t � �

� � 28

sin 4t t � �

2- Use a transformada de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuitoem série RC se q�0� � 0, R � 2, 5�, C � 0, 08 farad e E�t� é a voltagem dada na figuraabaixo.

5

Page 6: aula 7_2015_1

6.2553.752.51.250

6.25

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

R: q�t� �0 0 � t � 3

25

� 25

e�5�t�3� t � 3

3- Um circuito em série contém um indutor, um resistor e um capacitor para os quaisL � 0, 5 henry, R � 10� e C � 0, 01 farad, respectivamente. A voltagem

E�t� �10 0 � t � 5

0 t � 5é aplicada ao circuito. Determine a carga instantânea q�t� no

capacitor se q�0� � 0 e q��0� � 0.

R: q�t� �

110

�1 � e�10t cos10t � e�10t sin 10t� 0 � t � 5

110

e�10t��cos10t � sin 10t � e50 cos10�t � 5� � e50 sin 10�t � 5�� t � 5

4- Use a transformada de Laplace para determinar a carga q�t� no capacitor em umcircuito RC quando q�0� � 0, R � 50 ohms, C � 0. 01 farad e E�t� é dada por

876543210-1

1.5

1

0.5

0

t

E(t)

t

E(t)

6

Page 7: aula 7_2015_1

R: q�t� �

0 0 � t � 1

0, 01 � 0, 01e�2t�2 1 � t � 3

0, 01e�2t�2 � 0, 01e�2t�2 t � 3

5- Faça o gráfico das funções abaixo que são escritas como combinação de funçõesescalão.�a� u�t � 1� � u�t � 2��b� 1 � u�t � ��cos tEm cada caso antes de fazer o gráfico, escreva como a função está definida em cadasubintervalo de seu domínio.

6- Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado, eescreva a função resposta explicitando onde ela muda de comportamento.

y �� � y � f�t� y�0� � 0, y ��0� � 1 onde f�t� �

0 0 � t � �

1 � � t � 2�

0 t � 2�

R: y�t� �

sin t 0 � t � �

sin t � �1 � cos t� � � t � 2�

sin t � 2 cos t t � 2�

7- Calcule:

a) ��1 1 � e�2s

s � 2� e�2t � u�t � 2�e4�2t

b) ��1 e��s

s2�s2 � 1�� ��t � �� � sin�t � ���u�t � ��

c) ��e2�tu�t � 2�� � e�2s

s � 1

d) � cos2t u�t � �� �s e��s

s2 � 4

8- Um corpo de 0,5 kg está suspenso numa mola cuja constante elástica é 2 kg/m. Ocorpo é posto em movimento (sem velocidade e sem deslocamento inicial), com aaplicação de uma força (externa) dada por sin�t � �� u�t � ��. Desprezando a resistênciado ar, determine a função que da o movimento do corpo em cada instante. Calculetambém a posição do corpo após 10 segundos.

m��x �c

�x �kx � E�t�

R: x�t� �0 0 � t � �

�2 sin t � sin 2t3

t � �

7

Page 8: aula 7_2015_1

9- Resolva a equação diferencial y � � 4y � g�t� onde g�t� �t 0 � t � 1

t � 1 t � 1,

satisfazendo a condição y�0� � 1. Escreva a função resposta explicitando onde elamuda de comportamento.

R: y�t� �

1716

e�4t � t4

� 116

0 � t � 1

316

� 1716

e�4t � 14

e�4�t�1� � t4

t � 1

10- Um circuito RC, cuja equação é q� � 1RC

q � ER

, tem E�t� � sin�t � 2�� u�t � 2��,

resistência de 10 ohms, capacitância de 10�2farad e inicialmente uma carga de 2coulombs. encontre a função que dá a carga em cada instante. Escreva-a explicitando osintervalos onde ela muda de comportamento. Determine, também, o valor da carga nosinstante t � 1s e no instante t � 3s.

R: q�t� �2 e�10t 0 � t � 2�

�2 e�10t � 0. 1101

cos t � 1101

sin t � 0. 1101

e�10�t�2�� t � 2�

11- Calcule

a) ��1 e�s�s � 1�s2 � 4s

� u�t � 1� 54 e4t�4 � 1

4

b) ��1 e��s

s2�s2 � 1�� ��t � �� � sin�t � ���u�t � ��

c) � �t � 1� u�t � 1� � e�s

s2

d) � sin t u�t � �� � � e��s

s2 � 1

8