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Aula 9 - definições

Maio-2003

SISTEMAS LINEARESMestrado em Engenharia

Elétrica.

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O estudo e desenho de sistemas físicos podeser feito de maneira empírica através daaplicação de um sinal ao sistema e damedição de sua resposta ao estímulo(método da tentativa e do erro)

ou então,

de maneira analítica que é usada quando osistema é muito caro, complicado, perigosoou quando as especificações do sistemaforem muito rigorosas.

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O estudo analítico de sistemas físicos écomposto de 4 etapas:

modelagem, desenvolvimento das equações

matemáticas análise e projeto.

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No caso da modelagem, temos que assumirque temos o modelo pois este não pode serfeito com lápis e papel (necessitamos decomponentes físicos).

Um sistema físico pode ter diferentes modelosque dependem das diversas respostas queestamos buscando.

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A descrição matemática do sistema é obtidapela aplicação de leis da física que sãousadas para descrever matematicamente osistema em estudo.

Podemos descrever os sistemas porequações lineares, não lineares, integrais,diferenciais e diferença. O tipo de equaçãovai depender do tipo de resposta que estamosbuscando.

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A análise pode ser dividida em duas etapas: quantitativa quando desejamos respostas do

sistema com respeito a um determinado sinalde entrada - aqui usamos o computador parasimular.

ou

qualitativa, quando estamos interessados empropriedades gerais do sistema como porexemplo a estabilidade, controlabilidade ouobservabilidade.

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O desenho ou projeto em geral se origina daanálise. Se a resposta de um modelo não éadequada, nós podemos otimizá-lo ou melhorá-loatravés do ajuste de certos parâmetros ou pelaadição de compensadores. O projeto é executadopelo modelo do sistema físico, logo, ao escolher-se um bom modelo, teremos um projeto melhor.

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1) A equação Y(s)=H(s)U(s) , no domínio de Laplace,descreve a relação entre a entrada U(s) e a saída Y(s)de um sinal, é chamada de descrição externa.

2) H(s), denominado de Função de Transferência,é fatorado com a razão de duas matrizes polinomiais H(s)=P(s)/Q(s)

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As equações abaixo: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(to)=xo cond. inicial

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t),

são chamadas de equações de estado ou equações dinâmicas e descrevem um sistema internamente.São equações diferenciais lineares de primeira ordem de dimensão-n.

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1) A(.),B(.),C(.),D(.), são funções do tempo com dimensões n x n; n x q; p x n, and p x q, respectivamente.

2) O vetor sinal u( . ) de dimensões qx1 é uma função contínua do tempo, chamada de sinal entrada (ou controle).

3) De maneira similar, o sinal y( . ) de dimensões px1 é conhecido como sinal de saída.

4) O vetor de dimensão n é chamado de estado do sistema.

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5) O caso invariante no tempo, refere-se às matrizes A, B, C, D, constantes.

6) Quando p = q = 1, o modelo é chamado SISO (Single-Input Single-Output). Neste caso B é um vetor coluna e C é um vetor linha. 7) Quando p e q forem maiores do que um (>1), o modelo é chamado de MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). Neste caso, B and C são matrizes.Em ambos casos (SISO & MIMO), o vetor estado pode ainda

ser (e geralmente é) de dimensão n.

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IMPORTANTE:

•Estas duas equações serão desenvolvidas usando conceitos de linearidade, invariância no tempo, causalidade e relaxamento.

•Para que possamos realizar uma análise qualitativa, precisamos investigar as propriedades desta duas equações: . x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

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Exemplo: Um foguete é propelido por uma força vertical que é proporcional a razão de ejeção da massa u0, i.e., F= .uo, logo a massa m(t) =uo. A posição vertical do foguete em relação à

superfície da terra é dada por h(t), sua massa por m(t),

e sua velocidade por v(t). As equações de movimento são:

m(t) .v(t) = .uo - m(t)g; h(t)=v(t) ; m(t) =uo

O que nos leva a uma equação diferencial de segunda ordem em h(t):

g)t(m

)t(h o

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Definindo x1=h, x2=h e y=h nós obtemos o modelo estado-es-

paço de dimensão n=2:

)t(x

)t(x01)t(y

v

h

)t(x

)t(x;

tmg

0

)t(x

)t(x

00

10

)t(x

)t(x

2

1

o

o

o2

o1

0o

o

2

1

2

1

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NETWORKV1(t) + V2

+

SISTEMAX Y

Resposta à entrada ZERO: É a saída Y quando a entrada X=ZERO. A saída(zero-input response) Y pode ser diferente de ZERO pois poderão existir cargas ou fluxos iniciais.

Estado do sistema: É o conjunto de condições iniciais do sistema.

Resposta Estado Zero: É a saída Y devida a uma entrada arbitrária X quando(Zero-state response) todos as condições iniciais zero (zero state).

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•Variáveis de Estado: São um conjunto de variáveis que descrevem o comportamento interno de um sistema. Representam elementos físicos, logo podem ser medidos.

•Representação por Variáveis de Estado: É o modelo que é definido em termos das variáveis de estado.

•O Modelo de Estado: É apresentado em termos de equa- ções matriciais.

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Álgebra Linear: É usada para realizar transformações de similaridade para resolver equações algébricas lineares e computar funções de uma matriz.

Solução das Equações de Estado: Diferentes análises, levam a diferentes maneiras de descrever o mesmo sistema.

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Estabilidade: É uma propriedade qualitativa de umsistema linear. É o primeiro requerimento a ser obtidoquando se projeta um sistema.

Temos•Estabilidade BIBO (bounded input, bouded output)

•Se um sistema não for internamente estável não será BIBO!

•Estabilidade no sentido de Lyapunov•Estabilidade Assintótica

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Estabilidade à resposta impulsiva:

Se lim |h(t))| o sistema é bounded. t

Ai Bk

H(s) = + , onde Ai são pólos simples s+pi (s + pk)2

e Bk são pólos múltiplos.

h(t) terá então pólos desta forma, para r<1:

Aie-pitu(t) e Bk [(tr-1)/(r-1)!] e-pkt u(t)

Aie

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Figura 1

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Pólos no eixo jwsão permitidos desdeque não sejam únicos

1) Para a estabilidade à resposta impulsiva,todos os valores característicos (pólos=)devem estar localizados no plano esquerdo.

2) Um circuito que possua só R,L,C (elementos passivos)é estável.

3) Fontes dependentes (Op.AMP.) são fontes de instabilidade.

jw

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Procedimentos para determinar a estabilidade:

P(s)

H(s)= onde Q(s)=bosn+b1sn-1+....bn para n>2 determine a Q(s) a estabilidade do sistema.

1) Podemos resolver explicitamente a equação para encontrar as raízes ou então usar o Polinômio de Hurwitz:

Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s

Hurwitz restrito pólos no eixo jw

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Procedimentos para determinar a estabilidade:

Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s

1) Todos os b’s são > do que ZERO.2) Abaixo de sn não existem expoentes faltando (não existe sinal negativo para cancelar outro termo).3) Quando em Q(s) nós apenas temos termos do tipo (s2+d2), (perdemos os termos de ordem ímpar).4) Quando em Q(s) temos apenas termos do tipo (s2+d2)s, perde- mos os termos de ordem par.Exemplo:1) Q(s)= 2s4+10s3-12s3+21s+76 -12 sistema instável! 2) Q(s)= 63s6 + 24s4 10s2 + 64 Sem os termos ímpares sistema pode ser estável - condição necessária mas não suficiente!

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Estabilidade BIBO

H(s) e(t) r(t) R(s)=H(s).E(s) Pr(s) PH(s).Pe(s) =

Qr(s) QH(s).Qe(s)

limt |e(t)| limt |r(t)| BI(bounded input) BO(bounded output)

A B C Dr(t) = TL-1( + + ...) ( + + ...) s+p1H s+p2H s+p1E s+p2E

bounded se todos os pólos bounded por suposiçãoestão no LHP e sem pólosno eixo jw

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Exemplo: Sendo dado H(s)= e uma entrada e(t)=10 sen(2t)u(t). w

R(s) = + R(s)= r(t)= tsen2t u(t) t não bounded

Aqui, precisamos Hurwitz restrito porque podemos excitar uma freqüên-cia natural do circuito que resultará em ressonância.

1s

1s22

4s

2.102 1s

1s22

22 )4s(20s40

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Controlabilidade e Observabilidade:•Essencial no estudo da estabilidade e da teoria do controle ótimo.•Predição ou filtragem de sinais.•Se um estado é controlável, os eigenvalues da equação podem ser arbitrariamente definidos pela introdução de realimentação de estado através de uma matriz de ganho constante.•Se as equações de estado são observáveis, seus estados podem ser gerados, criando-se um estimador de estado com eigenvalue arbitrado.

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Controlabilidade e Observabilidade:

•De forma simplificada podemos dizer que controlabilidade estuda as possibilidade de dirigir um estado desde a entrada.

•Observabilidade estuda a possibilidade de estimar um esta- desde a sua saída.

•Se uma equação dinâmica é controlável, todos os modos da equação podem ser excitados desde a entrada.

•Se uma equação dinâmica é observável, todos os modos da equação podem ser observados da saída.