Aula de Álgebra Linear - 13 de Outubro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 13 de Outubro

1/96

l g e b r a L i n e a r

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E s p a o V e t o r i a l

F i n i t a m e n t e

G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r

C o n j u n t o L . I .

C o n j u n t o L . D .

E x e m p l o 8

E x e m p l o 9

P r o p r i e d a d e s d a

D e p e n d n c i a

L i n e a r

P r o p r i e d a d e P

1


2


3


E s p a o s V e t o r i a i s : E s p a o s V e t o r i a i s F i n i t a m e n t e G e r a d o s

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

O b j e t i v o s d a A u l a

E s p a o V e t o r i a l F i n i t a m e n t e G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3



E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3



E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9

P r o p r i e d a d e s d a D e p e n d n c i a L i n e a r


1


2


3


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

M o t i v a o


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

M o t i v a o

O b s e r v e m o s n o R o c o n j u n t o :

S= {(

1,

0,

0), (

0,

1,

0), (

0,

0,

1)}


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

M o t i v a o


S= {(

1,

0,

0), (

0,

1,

0), (

0,

0,

1)}

C o m o , p a r a t o d o

(a , b , c ) R

3

, v a l e a i g u a l d a d e :

( a , b , c ) = a ( 1 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 ) + c ( 0 , 0 , 1 )


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

M o t i v a o


S= {(

1,

0,

0), (

0,

1,

0), (

0,

0,

1)}


(a , b , c ) R

3


( a , b , c ) = a ( 1 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 ) + c ( 0 , 0 , 1 )

P o d e m o s d i z e r q u e o s v e t o r e s d e S g e r a m o R3


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

M o t i v a o


S= {(

1,

0,

0), (

0,

1,

0), (

0,

0,

1)}


(a , b , c ) R

3


( a , b , c ) = a ( 1 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 ) + c ( 0 , 0 , 1 )

P o d e m o s d i z e r q u e o s v e t o r e s d e S g e r a m o R3

M u i t o s o u t r o s c o n j u n t o s n i t o s d e R3

t e m e s s a m e s m a

p r o p r i e d a d e .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o

D i z e m o s q u e u m e s p a o v e t o r i a l V n i t a m e n t e g e r a d o s e

e x i s t e u m s u b c o n j u n t o n i t o S d e V , d e m a n e i r a q u e V s e j a

u m s u b e s p a o g e r a d o p o r S


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o



u m s u b e s p a o g e r a d o p o r S .

A t e n o a o f a t o d e q u e o c o n j u n t o S d e v e s e r n i t o


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o




A t e n o a o f a t o d e q u e o c o n j u n t o S d e v e s e r n i t o ;

E m n o s s o c u r s o m a n t e r e m o s a t e n o q u a s e q u e

e x c l u s i v a m e n t e s o b r e o s E s p a o s V e t o r i a i s F i n i t a m e n t e

G e r a d o s


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o




A t e n o a o f a t o d e q u e o c o n j u n t o S d e v e s e r n i t o ;

E m n o s s o c u r s o m a n t e r e m o s a t e n o q u a s e q u e

e x c l u s i v a m e n t e s o b r e o s E s p a o s V e t o r i a i s F i n i t a m e n t e

G e r a d o s ;

U s a r e m o s a n o t a o V

= [S

]p a r a r e p r e s e n t a r u m

e s p a o v e t o r i a l V q u e g e r a d o a p a r t i r d o c o n j u n t o d e

v e t o r e s S

V .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

L e m b r e - s e q u e i = (1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) e k = (0 , 0 , 1 )d e s d e q u e s e t e n h a m i d e n t i c a n d o V e R

3


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

L e m b r e - s e q u e i = (1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) e k = (0 , 0 , 1 )d e s d e q u e s e t e n h a m i d e n t i c a n d o V e R

3

.

E x a m p l e

O e s p a o V d o s v e t o r e s d a g e o m e t r i a d e n i d o s p o r

s e g m e n t o s o r i e n t a d o s n i t a m e n t e g e r a d o p o i s c o n s i d e r a n d o

a t e r n a f u n d a m e n t a l {

i

,

j,

k

}, p a r a t o d o

u

V , e x i s t e m

a,

b,

c R, d e m a n e i r a q u e u = a

i

+b

j

+c

k .


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o f o r m a d o a p e n a s p e l o v e t o r n u l o , V = {o }, n i t a m e n t e g e r a d o


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o f o r m a d o a p e n a s p e l o v e t o r n u l o , V = {o }, n i t a m e n t e g e r a d o p o i s , f a z e n d o S = {o }


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o f o r m a d o a p e n a s p e l o v e t o r n u l o , V = {o }, n i t a m e n t e g e r a d o p o i s , f a z e n d o S = {o }, v a l e V = [S ].


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

M

2

(R) n i t a m e n t e g e r a d o


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

M

2

(R) n i t a m e n t e g e r a d o , b a s t a o b s e r v a r q u e c o m o c o n j u n t o d e v e t o r e s

S=

1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

0 0

0 1

p o s s v e l g e r a r t o d o o e s p a o M

2

(R

).


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

M

2


S=

1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

0 0

0 1


2

(R

).

D e m o n s t r a o .

P a r a t o d o s a,

b,

c,

d R, t e m o s


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

M

2


S=

1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

0 0

0 1


2

(R

).


P a r a t o d o s a,

b,

c,

d R, t e m o s

a b

c d

= a

1 0

0 0

+ b

0 1

0 0

+c

0 0

1 0

+d

0 0

0 1


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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o M

m

n



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o M

m

n

(R) n i t a m e n t e g e r a d o , b a s t a c o n s i d e r a r o c o n j u n t o g e r a d o r S s e g u i r :

S =

1 0 . . . 0

0 0. . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 0

,

0 1 . . . 0

0 0. . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 0

, . . . ,

0 0 . . . 0

0 0. . .

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 1



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P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

Rn

n i t a m e n t e g e r a d o .



26/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

Rn

n i t a m e n t e g e r a d o . B a s t a v e r i c a r q u e o c o n j u n t o :

S = {( 1 , 0 , . . . , 0 ), ( 0 , 1 , 0 , . . . , 0 ), . . . , ( 0 , 0 , . . . , 1 )}

u m c o n j u n t o g e r a d o r d e Rn

.



27/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n




28/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n

(R) n i t a m e n t e g e r a d o . O s p o l i n m i o s f0

,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1



29/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t



30/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t , . . . , fn

( t ) = t n



31/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t , . . . , fn

( t ) = t n , t R, s o g e r a d o r e s d e P

n

(R)



32/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t , . . . , fn


n

(R) u m a v e z q u e s e f

(t

) =a

0

+a

1

t+ . . . +

a

n

t

n

u m e l e m e n t o d e P

n

(R) e n t o



33/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t , . . . , fn


n


(t

) =a

0

+a

1

t+ . . . +

a

n

t

n


n

(R) e n t o .

f=

a

0

f

0

+a

1

f

1

+ . . . +a

n

f

n



34/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

P

n


,f

1

, . . . ,f

n

d a d o s p o r f

0

( t ) = 1 , f1

( t ) = t , . . . , fn


n


(t

) =a

0

+a

1

t+ . . . +

a

n

t

n


n

(R) e n t o .

f=

a

0

f

0

+a

1

f

1

+ . . . +a

n

f

n

O b s e r v e q u e {f0

,f

1

, . . . ,f

n

} p o s s u i n + 1 e l e m e n t o s .



35/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o P (R) n o n i t a m e n t e g e r a d o



36/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o P (R) n o n i t a m e n t e g e r a d o , c o n s i d e r e m o s o c o n j u n t o S

= {f

1

, . . . ,f n

} P

(R) , s u p o n d o q u e c a d a fi

s e j a

n o n u l o e q u e f

n

s e j a o p o l i n m i o d e m a i o r g r a u d e S



37/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e


= {f

1

, . . . ,f n

} P


s e j a


n

s e j a o p o l i n m i o d e m a i o r g r a u d e S , e n t o

o g r a u d e q u a l q u e r c o m b i n a o l i n e a r

1

f

1

+ . . . + n

f

n

n o u l t r a p a s s a o g r a u d e f

n



38/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e


= {f

1

, . . . ,f n

} P


s e j a


n



1

f

1

+ . . . + n

f

n


n

, l o g o [

S]

s p o s s u i p o l i n m i o s d e

g r a u m e n o r o u i g u a l a o d e f

n



39/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e


= {f

1

, . . . ,f n

} P


s e j a


n



1

f

1

+ . . . + n

f

n


n

, l o g o [

S]

s p o s s u i p o l i n m i o s d e

g r a u m e n o r o u i g u a l a o d e f

n

. L o g o [S ] = P (R) .


B a s e e D i m e n s o d e E s p a o V e t o r i a l


40/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3




41/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

N o r m a l m e n t e a s s o c i a m o s o c o n c e i t o d e D i m e n s o a a l g o

g e o m t r i c o , n e s s e m o m e n t o i r e m o s d e n i r o c o n c e i t o d e

D i m e n s o d o p o n t o d e v i s t a a l g b r i c o




42/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3



D i m e n s o d o p o n t o d e v i s t a a l g b r i c o ;

P a r a q u e o c o n c e i t o d e D i m e n s o f a a s e n t i d o

n e c e s s r i o i n i c i a l m e n t e a c o r r e t a c o m p r e e n s o d o

c o n c e i t o d e B a s e d e u m E s p a o V e t o r i a l




43/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3






c o n c e i t o d e B a s e d e u m E s p a o V e t o r i a l ;

U m a v e z x a d a u m a b a s e e m u m e s p a o v e t o r i a l d e

d i m e n s o n , s e u s e l e m e n t o s s o m e r a m e n t e

c o m b i n a e s l i n e a r e s d o s n v e t o r e s b s i c o s




44/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3









c o m b i n a e s l i n e a r e s d o s n v e t o r e s b s i c o s ;

N o s s o o b j e t i v o a p a r t i r d e a g o r a m o s t r a r q u e e m t o d o

e s p a o v e t o r i a l V e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S t a l q u e t o d o s

o s e l e m e n t o s d e V p o d e m s e r e s c r i t o s d e m a n e i r a n i c a

c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s e l e m e n t o s d e S




45/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3









c o m b i n a e s l i n e a r e s d o s n v e t o r e s b s i c o s ;

N o s s o o b j e t i v o a p a r t i r d e a g o r a m o s t r a r q u e e m t o d o

e s p a o v e t o r i a l V e x i s t e u m s u b c o n j u n t o S t a l q u e t o d o s

o s e l e m e n t o s d e V p o d e m s e r e s c r i t o s d e m a n e i r a n i c a

c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s e l e m e n t o s d e S , e q u e

t o d o s o s o u t r o s s u b c o n j u n t o s d e V q u e p o s s u e m e s s a

m e s m a p r o p r i e d a d e p o s s u i r o o m e s m o n m e r o d e

e l e m e n t o s d e S ;



46/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o ( C o n j u n t o L i n e a r m e n t e I n d e p e n d e n t e )



47/96

P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


U m c o n j u n t o L = {

u

1

,u

2

, . . . ,u

n

} V l i n e a r m e n t e

i n d e p e n d e n t e ( L . I . ) s e , e s o m e n t e s e , u m a i g u a l d a d e o t i p o

1

u

1

+ 2

u

2

+ . . . + n

u

n

=o

c o m o s i

e m R, s f o r p o s s v e l p a r a

1

= 2

= . . . = n

=0 .


P r o f . E s p . :


48/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


U m c o n j u n t o L = {

u

1

,u

2

, . . . ,u

n

} V l i n e a r m e n t e

i n d e p e n d e n t e ( L . I . ) s e , e s o m e n t e s e , u m a i g u a l d a d e o t i p o

1

u

1

+ 2

u

2

+ . . . + n

u

n

=o

c o m o s i

e m R, s f o r p o s s v e l p a r a

1

= 2

= . . . = n

=0 .

Q u a n d o L L . I . d i z - s e t a m b m q u e o s e l e m e n t o s d e L

s o v e t o r e s l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s .


P r o f . E s p . :


49/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

D e n i o ( C o n j u n t o L i n e a r m e n t e D e p e n d e n t e )


P r o f . E s p . :


50/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


U m c o n j u n t o L = {u 1 , u 2 , . . . , u n } V l i n e a r m e n t e d e p e n d e n t e ( L . D . ) s e , e s o m e n t e s e , L n o L . I .


P r o f . E s p . :


51/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


U m c o n j u n t o L = {u 1 , u 2 , . . . , u n } V l i n e a r m e n t e d e p e n d e n t e ( L . D . ) s e , e s o m e n t e s e , L n o L . I . , o u s e j a ,

p o s s v e l u m a i g u a l d a d e o t i p o

1

u

1

+ 2

u

2

+ . . . + n

u

n

=o

c o m o s i

e m R, s e m q u e o s e s c a l a r e s i

s e j a m t o d o s i g u a i s

a o n m e r o z e r o .


P r o f . E s p . :


52/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


U m c o n j u n t o L = {u 1 , u 2 , . . . , u n } V l i n e a r m e n t e d e p e n d e n t e ( L . D . ) s e , e s o m e n t e s e , L n o L . I . , o u s e j a ,

p o s s v e l u m a i g u a l d a d e o t i p o

1

u

1

+ 2

u

2

+ . . . + n

u

n

=o

c o m o s i

e m R, s e m q u e o s e s c a l a r e s i

s e j a m t o d o s i g u a i s

a o n m e r o z e r o .

Q u a n d o L L . D . d i z - s e t a m b m q u e o s e l e m e n t o s d e L

s o v e t o r e s l i n e a r m e n t e d e p e n d e n t e s .


P r o f . E s p . :

O b s e r v a e s


53/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

P a r a e v i t a r a m b i g u i d a d e , n o c a s o e m q u e X

= {v

}c o n s t a d e u m n i c o e l e m e n t o v , d i z - s e , p o r d e n i o ,

q u e X L . I . q u a n d o v=


P r o f . E s p . :

O b s e r v a e s


54/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


= {v



;

O e l e m e n t o n u l o o n u n c a e s t a r p r e s e n t e e m u m

c o n j u n t o d e v e t o r e s L . I .


P r o f . E s p . :

O b s e r v a e s


55/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


= {v



;


c o n j u n t o d e v e t o r e s L . I . , p o i s o m e s m o s e r c o m b i n a o

l i n e a r d e q u a i s q u e r o u t r o s v e t o r e s q u e s e e n c o n t r a r e m

n e s s e c o n j u n t o


P r o f . E s p . :

O b s e r v a e s


56/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


= {v



;




n e s s e c o n j u n t o ;

P o r c o n v e n o d i r e m o s q u e o c o n j u n t o v a z i o

l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e


P r o f . E s p . :

O b s e r v a e s


57/96

T h i a g o

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


= {v



;






l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e ;

T o d o e s p a o v e t o r i a l n o n u l o p o s s u i u m c o n j u n t o L . I .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

O b s e r v a e s


58/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


= {v



;






l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e ;

T o d o e s p a o v e t o r i a l n o n u l o p o s s u i u m c o n j u n t o L . I . ;

T o d o s u b c o n j u n t o d e u m c o n j u n t o L . I t a m b m L . I .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e


59/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

O c o n j u n t o L = {( 1 , 1 , 0 , 0 ); (0 , 2 , 1 , 0 ); (0 , 0 , 0 , 3 )} R4 L . I .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e


60/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

O c o n j u n t o L = {( 1 , 1 , 0 , 0 ); (0 , 2 , 1 , 0 ); (0 , 0 , 0 , 3 )} R4 L . I . p o i s :

x(

1,

1,

0,

0) +

y(

0,

2,

1,

0) +

z(

0,

0,

0,

3) = (

0,

0,

0,

0)


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e


61/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x(

1,

1,

0,

0) +

y(

0,

2,

1,

0) +

z(

0,

0,

0,

3) = (

0,

0,

0,

0)

x = 0x + 2 y = 0

y = 03 z

=0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e


62/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x(

1,

1,

0,

0) +

y(

0,

2,

1,

0) +

z(

0,

0,

0,

3) = (

0,

0,

0,

0)

x = 0x + 2 y = 0

y = 03 z

=0

x

=y

=z

=0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

E x a m p l e


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V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x(

1,

1,

0,

0) +

y(

0,

2,

1,

0) +

z(

0,

0,

0,

3) = (

0,

0,

0,

0)

x = 0x + 2 y = 0

y = 03 z

=0

x

=y

=z

=0

O s i s t e m a p o s s v e l e d e t e r m i n a d o e s u a n i c a s o l u o a

t r i v i a l , p o r t a n t o L . I .


P r o f . E s p . :

T h i a g o


64/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o L = {( 1 , 1 , 0 , 0 ); (0 , 1 , 0 , 0 ); (2 , 1 , 0 , 0 )} R4 L . D .


P r o f . E s p . :

T h i a g o


65/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e

O c o n j u n t o L = {( 1 , 1 , 0 , 0 ); (0 , 1 , 0 , 0 ); (2 , 1 , 0 , 0 )} R4 L . D . p o i s :

x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )


P r o f . E s p . :

T h i a g o


66/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e


x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )


P r o f . E s p . :

T h i a g o


67/96

V e d o V a t t o



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

E x a m p l e


x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )

x

+2 z

=0

x+

y+

z=

0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e


68/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )

x

+2 z

=0

x+

y+

z=

0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e


69/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )

x

+2 z

=0

x+

y+

z=

0

x

+2 z

=0

y z = 0


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o

E x a m p l e


70/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


x (1 , 1 , 0 , 0 ) + y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + z ( 2 , 1 , 0 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )

x

+2 z

=0

x+

y+

z=

0

x

+2 z

=0

y z = 0

O s i s t e m a p o s s v e l e i n d e t e r m i n a d o e s u a n i c a s o l u o a

t r i v i a l , p o r t a n t o L . D .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


71/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


72/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

P r o p o s i o

C o n s i d e r e m o s u m e s p a o v e t o r i a l V s o b r e R


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


73/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

P r o p o s i o

C o n s i d e r e m o s u m e s p a o v e t o r i a l V s o b r e R. S e u m c o n j u n t o

n i t o L

V c o n t m o v e t o r n u l o


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


74/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

P r o p o s i o


n i t o L

V c o n t m o v e t o r n u l o , e n t o e s s e c o n j u n t o L . D .


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


75/96



G e r a d o

E x e m p l o 1

E x e m p l o 2

E x e m p l o 3

E x e m p l o 4

E x e m p l o 5

E x e m p l o 6

E x e m p l o 7

D e p e n d n c i a

L i n e a r



E x e m p l o 8

E x e m p l o 9


D e p e n d n c i a

L i n e a r


1


2


3

P r o p o s i o


n i t o L

V c o n t m o v e t o r n u l o , e n t o e s s e c o n j u n t o L . D . .


S e j a S = {o , u2

, . . . , un

}


P r o f . E s p . :

T h i a g o

V e d o V a t t o


1


76/96



G e r a d o

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Aula de Álgebra Linear - 13 de Outubro