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EFB803 Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Distribuio Normal

Aula-2 (2oBim)

Muitos fenmenos observados na natureza so

modelados por uma funo matemtica conhecida

como curva de Gauss, tais como:

Distribuio Normal

O comportamento desses fenmenos apresenta

valores muito freqentes em torno da mdia e medida

que afastamos dessa mdia, a freqncia vai

diminuindo;

a) peso da populao;

b) estatura da populao;

c) medidas de coeficientes de inteligncia;

d) erros de medidas, etc

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Se construirmos um histograma para estudarmos a forma

da distribuio desse comportamento, teremos:

Distribuio Normal

mdia

Histograma com a curva ajustada:

Distribuio Normal

mdia

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Distribuio Normal

A distribuio normal tambm conhecida como curva de Gauss, tem o grfico em forma de sino, sendo simtrica em torno

da mdia ;

A mdia, mediana e a moda so iguais;

A rea total sob a curva vale 1 (ou 100%);

X

Distribuio Normal

X

68,26% da rea est

entre - e +

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Distribuio Normal

Uma v.a. X tem distribuio normal com parmetros

e 2 se sua funo densidade de probabilidade

dada por:

xseexf

x

- ,.2

1)(

2

2

1

Notao: X ~ N(,2)

)(XE2)( XVarNesse caso, temos: e

Distribuio Normal

P(a < X < b) = ???

dxebXaP

b

a

x

2

2

1

.2

1)(

Integral sem

primitiva !!!

Para facilitar as contas, trabalharemos com uma

padronizao: uma v.a. tambm com distribuio normal, mas

com mdia =0 e varincia 2=1 (ou seja, Z ~ N(0,1));

Essa distribuio conhecida como normal padronizada ou

normal padro;

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Como realizar a

padronizao?

Curva normal

padro

Distribuio Normal Padro

Fazemos uma transformao de variveis:

X

Z

f(z)

Z

No caso da curva normal padro, tambm calculamos

probabilidades atravs da rea sob a curva.

Distribuio Normal Padro

Z z Z

P(Z > z)

Porm, as reas so tabeladas e fornecem

diretamente as probabilidades.

f(z)

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Exemplo Um levantamento indica que pessoas usam seus

smartphones em mdia durante um ano e meio antes de adquirir

uma nova mquina. O desvio padro de meio ano. Selecionando

ao acaso algum que tenha um smartphone, obtenha a

probabilidade de que ele o use por mais do que dois anos antes de

comprar outro. (Suponha que a varivel aleatria X seja

normalmente distribuda).

Seja X= Tempo de uso do smartphone antes da troca por outro modelo Do enunciado, temos que X ~ N (1,5; 0,52)

)5,0

5,12(P)

2(P2)P(X

Z

X

1587,0)1P(Z

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Exerccio (1 de 4)

O peso das pessoas de certa populao

distribuem-se normalmente com mdia 70kg e desvio

padro de 8kg. Determine a proporo de pessoas da

populao com peso:

a) Superior a 80kg.

b) Inferior a 54 kg.

c) Entre 54 e 86kg.

d) Entre 78 e 86kg.

e) Qual o peso, tal que 90% das pessoas da populao

tenham peso inferior a esse valor?

0,0228

0,9544

0,1359

Aprox. 80,24kg

0,1057

Exerccio (2 de 4)

Suponha que a absoro de gua (%) em certo tipo de piso

cermico tenha distribuio normal com mdia 2,5 e desvio padro

0,6. Selecionando aleatoriamente uma unidade desse piso, qual a

probabilidade dele acusar absoro de gua entre 2% e 3,5%?

0,7492

Suponha que o tempo de resposta na execuo de um algoritmo

uma v.a. com distribuio normal de mdia 23 segundos e desvio

padro de 4 segundos. Calcule:

a) A probabilidade de o tempo de resposta ser menor do que 25

segundos;

b) A probabilidade de o tempo de resposta ficar entre 20 e 30

segundos;

Exerccio (3 de 4)

0,7333

0,6915

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A temperatura ambiente nessa poca do ano tem

distribuio normal com uma mdia de 18C e um

desvio padro de 3,4C.

a) Em 75% do tempo, a temperatura superior a qual valor

nessa poca do ano? 15,72

b) Encontre o intervalo, simtrico em relao mdia, que

corresponda s temperaturas de 90% do tempo nessa poca do

ano. [12,42 ; 23,59]

Exerccio (4 de 4)