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PROJETO E CONSTRUO

DE ESTRADAS PROJETO GEOMTRICO DE VIAS

3 - CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO

3.1 - INTRODUO

A descontinuidade da curvatura que existe no ponto de passagem da tangente para a circular (ponto PC)

ou da circular para a tangente (ponto PT) no pode ser aceita em um traado racional. Na passagem do

trecho em tangente para o trecho circular e vice-versa, dever existir um trecho com curvatura progressi-

va para cumprir as seguintes funes:

permitir uma variao progressiva da superelevao, teoricamente nula nos trechos retos e constante

no trecho circular;

possibilitar uma variao contnua de acelerao centrpeta na passagem da tangente para o trecho

circular;

proporcionar um traado fluente, sem impresso de descontinuidade da curvatura e esteticamente

agradvel, graas variao suave da curvatura.

Essas curvas de curvatura progressiva so chamadas de curva de transio e so curvas cujo raio ins-

tantneo varia em cada ponto desde o valor Rc (na concordncia com o trecho circular de raio Rc) at o

valor infinito (na concordncia com o trecho em tangente). Os principais tipos de curvas usadas para a

transio so:

Y

X

45

P

R

L

O

[R . L = K]

Clotide ou Espiral

(Raio Varivel)

Lemniscata

[R . p = K]

p

Y

X

Parbola Cbica

[y = a . x3]

variao linear da curvatura

nica que possibilita giro

constante do volante: C = L / K

Embora mais trabalhosa, a espiral a curva que melhor atende as exigncias de um traado racional. A

espiral a curva descrita por um veculo que trafega a uma velocidade constante, enquanto o motorista

gira o seu volante a uma velocidade angular constante.

20

Y

45o

R

L P

o X

Equao da Espiral

RL = N

Para um ponto P genrico:

L = comprimento da curva desde a origem at o ponto P.

R = raio instantneo no ponto P

N = parmetro da espiral (constante)

3.2 - COMPRIMENTO DA TRANSIO (Ls)

O valor da constante N est relacionada ao valor do comprimento de transio (Ls) a ser adotado para a

curva. A condio necessria concordncia da transio com a circular impe: RcLs = N. Com o valor

do raio da curva circular (Rc) e o valor adotado para o comprimento de transio (Ls), define-se o valor

da constante N. O valor do comprimento de transio Ls a ser adotado ser necessariamente um valor

compreendido entre os limites: Lsmin e Lsmx.

3.2.1 - VALORES MNIMOS E MXIMOS DO COMPRIMENTO DE TRANSIO

a - Valor Mnimo do Comprimento de Transio (Lsmn)

A determinao do Lsmn feita de forma que a variao da acelerao centrpeta (ac) que atua sobre

um veculo que percorra a transio com uma velocidade (V) constante, no ultrapasse valores confort-

veis. A variao confortvel da acelerao centrpeta por unidade de tempo (J) no deve ultrapassar o

valor de 0,6m/s3. Para um veculo que percorra a curva de transio com velocidade constante em um

tempo ts, a variao da acelerao centrpeta ser:

ps

c2

p

s

c

V/L

R/V

t

aJ ou

c

3p

sRJ

VL

Adotando-se Jmx = 0,6 m/s3, determina-se o valor do comprimento de transio correspondente a essa

variao mxima de acelerao centrpeta:

c

p

sR

xVL

3036,0

min ou

423LY

3ss

ss

onde Lsmn = mnimo comprimento de transio em metros

Rc = raio do trecho circular em metros

Vp = velocidade em km/h

O valor de Ls est sujeito limitaes superiores:

quando existem outras curvas horizontais nas proximidades da curva estudada, o Ls adotado dever

ser tal que no interfira com as curvas imediatamente anterior e/ou posterior.

para que as curvas de transio no se cruzem, o valor adotado de Ls no pode ultrapassar o valor de

Lsmx correspondente ao valor nulo do desenvolvimento do trecho circular, isto , quando os pontos

SC e CS so coincidentes.

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b - Valor Mximo do Comprimento de Transio (Lsmx)

Condio de mximo comprimento de transio (= 0)

= AC - 2s

para = 0 AC = 2s ousmx = AC/2

onde smx = mximo valor do ngulo de transio

Lsmx = 2 Rc. smx Lsmx = Rc. AC (em metros)

Rc = raio do trecho circular em metros

AC = ngulo central em radianos

3.2.2. - ESCOLHA DO VALOR DE LS

A escolha de comprimento de transio (Ls) muito grandes, geram grande valores de p (afastamento da

curva circular), criando um deslocamento do trecho circular em relao sua posio primitiva, excessi-

vamente grande. Por isso recomendado o uso de um valor mnimo para a variao da acelerao cen-

trpeta (Jmn) e um comprimento de transio que no ultrapasse ao valor (Ls) obtido com o uso desse

Jmn. Geralmente, recomenda-se adotar um valor para Ls igual a duas vezes o valor do Lsmn calculado,

ou seja Ls = 2.Lsmn.

3.3 - ESPIRAL DE TRANSIO (Clotide)

Clculo dos elementos necessrios definio da curva

SC

y d

L

dL

x

dy

Y

X dx

ESPIRAL

TS

Sendo Ls o comprimento de transio e Rc o raio do trecho circular temos:

R x L = N = Rc x Ls

dL = R x d

L

NR

N

dLLd

N2

L2

sc

2

LR2

L

dx = dL x cos

dy = dL x sen

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Desenvolvendo-se sen e cos em srie e integrando:

....

216101LX

42

....

1320423LY

53

No ponto SC quando L = Ls (ponto de concordncia da espiral com a circular)

c

ss

R2

L

216101LX

4s

2s

ss

423LY

3ss

ss

Resta o problema da localizao da espiral na curva de forma que haja concordncia da transio com o

trecho reto (tangente) no ponto TS e com o trecho circular no ponto SC.

3.4 - LOCALIZAO DA TRANSIO NA CURVA HORIZONTAL

Para isso h necessidade do afastamento da curva em relao tangente, para a introduo da espiral.

Esse afastamento que tem um valor determinado (p) pode ser obtido de trs maneiras diferentes:

com a reduo do raio Rc da curva circular para o valor (Rc -se o mesmo centro (o) da

curva circular (mtodo do centro conservado).

mantendo-se a curva circular na sua posio original e afastando-se a tangente a uma distncia (p) da

curva circular (mtodo do raio e centro conservados).

afastando-se o centro (o) da curva circular para uma nova posio (o'), de forma que se consiga o a-

fastamento (p) desejado, conservando-se o raio Rc da curva circular (mtodo do raio conservado).

PI

PC PT

O

p

Rc

PI

PC PT

O

Rc - p

p

Rc

mtodo do centro

conservado

mtodo do raio

e centro conservados

PI

PC PT

O

O'

Rc

Rc

mtodo do raio conservado

PI

p

(s o centro desloca-se)

O mtodo do raio conservado geralmente o mais usado, pois apresenta as vantagens de no alterar o

raio (Rc) pr-estabelecido para a curva circular e de no alterar a posio das tangentes (traz como con-

seqncia a modificao do traado e a alterao das curvas imediatamente anterior e posterior curva

estudada). Com os valores de Xs, Ys e s e escolhido o mtodo de afastamento, define-se a posio da

transio em relao curva circular. Para isso, determina-se o valor do afastamento da curva circular

(p) e a distncia dos pontos TS e ST ao PI (TT).

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3.5 - CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO

AC

PI

Y

p

SC

AC

E

k

Xs

Ys TT

A

ST

CS

TS

X

s

AC/2

O

Rc

O = centro do trecho circular afastado p = afastamento da curva circular

PI = ponto de interseo das tangentes = ngulo central do trecho circular

Xs = abscissa dos pontos SC e CS X = abscissa de um ponto genrico A

Ys = ordenada dos pontos SC e CS Y = ordenada de um ponto genrico A

k = abscissa do centro (O) da curva circular s = ngulo da transio

TT = distncia do TS ou ST ao PI = tangente total AC = deflexo das tangentes = ngulo central

p = Ys Rc x (1 cos s)

cc R

2

ACcos

)pR(E

k = Xs Rc x sen s

2

ACtg)pR(kTT c

pontos de concordncia: TS = tangente-espiral

SC = espiral-circular

CS = circular-espiral

ST = espiral-tangente

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3.6 - ESTAQUEAMENTO E LOCAO DAS TRANSIES

TS

SC

s

Ls

Xs

Ys Aproximaes:

[K Ls / 2] [Xs Ls] [TT L

s / 2 + R

c . tg (AC / 2)]

[p Ys / 4]

[dL = R . d]

[dL = (K / L) . d]

[d = dL . L / K]

[ = L2 / 2 K]

[ = L2 / 2 (Ls . Rc)]

3.6.1 - CLCULO DAS ESTACAS DOS PONTOS TS, SC, CS E ST

Definida a estaca do ponto de intersees das tangentes (PI) teremos:

Estaca do TS = Estaca do PI - TT

Estaca do SC = Estaca do TS + Ls

Estaca do CS = Estaca do SC + D

Estaca do ST = Estaca do CS + Ls

onde D = desenvolvimento do trecho circular

D = Rc.

no caso de espirais simtricas (mesmo comprimento Ls)

= AC - 2s

D = Rc (AC - 2s)

obs: necessariamente D 0

3.6.2 - EXECUO DE TABELA DE DADOS PARA A LOCAO DAS ESPIRAIS

Ys

p

js

PI

SC

X

Xs

TT

TS

Y

s

c is

i

25

....

216101LX

42

....

1320423LY

53

X

Yarctgi

s

ss

X

Yarctgi

s

s

icos

Xc

js = s is

TABELA DE LOCAO

ESTACA INTEIRA FRAO L X Y I

TS

:

SC Ls Xs Ys Is

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EXERCCIOS SOBRE CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIO

1. Projeta-se uma rodovia para Vp = 100 km/h. Calcular os comprimentos de transio mnimo, mximo

e desejvel para uma curva horizontal cujo raio no trecho circular 600,00 m, sendo a superelevao

de 9% e o ngulo central igual a 60.

2. Com os dados do exerccio anterior e adotando-se Ls = 120,00 m, calcular os elementos da curva,

fazendo um croquis para indicar: s, Xs, Ys, K, p e TT.

3. Ainda com os dados do exerccio anterior e sabendo-se que a estaca do PI igual a 847+12,20 m,

calcular as estacas do TS, SC, CS e ST.

4. Fazer a tabela de locao para a primeira espiral do exerccio anterior.

5. Em uma curva de trevo, conforme esquema abaixo, tem-se Rc = 50,00 m e Ls = 60,00 m. A estaca da

estrada A no cruzamento 122+15,54 m. Calcular os quatro pontos notveis, adotando-se estaque-

amento em continuao estrada A e at o ST da curva.

[122 + 15,54]

A

Ls

120

122

121

110o

70o

Ls

B