Aula16_TesteHipotese

7/24/2019 Aula16_TesteHipotese

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Prof. Paulo Alessio. 2 Semestre de 2008

"Crescer no evoluir, crescer ficar maior. Evoluir ficar melhor."

Disciplina: ESTATSTICA e PROBABILIDADE1. Teoria da Deciso Estatstica (TDE) - Testes de Hipteses.

Na prtica, somos chamados a tomar decises acerca de populaes, baseadas na

informaes das amostras. Este tipo de situao um exemplo de inferncia estatstica e, acontrrio do que possa parecer, relativamente freqente no dia-a-dia de empresas. Tome-scomo exemplo, a deciso de substituir um equipamento por outro, similar ou mais avanadtecnologicamente. Esta tomada de deciso requer estudos sobre desempenho, custo confiabilidade, entre outros fatores. Neste caso, o procedimento usual a comparao dos dadoreferentes ao novo equipamento com os dados referentes ao equipamento a ser substitudoSomente aps esta comparao que se toma a deciso de efetuar, ou no, a troca. O que stem aqui uma tpica aplicao da Teoria da Deciso Estatstica, j que, por mais detalhados qusejam os estudos, sempre haver uma margem de incerteza quanto correo da decistomada.

1.1 Hipteses Estatsticas.A partir de amostras faremos suposies sobre os parmetros de uma populao. Essa

hipteses podem ser ou no verdadeiras. So exemplos de hipteses estatsticas:

1. a mdia populacional da altura dos brasileiros 1,65, isto , = 1,65;2. a proporo de brasileiros com a doena X 40 %, ou seja, p = 0,40;

Uma hiptese estatstica pode ser verdadeira ou no.Na situao tomada como exemplo no incio destas notas de aulas, poderiam se

formuladas duas hipteses: A primeira poderia ser expressa como: A substituio dequipamento no acarretar nenhum ganho de produtividade. A segunda hiptese poderia ser: substituio do equipamento acarretar um ganho expressivo de produtividade.

1.2 Tipos de Hipteses.Na TDE so formuladas duas hipteses, chamadas Hiptese Nula (H0) e Hiptes

Alternativa (H1). Ambas dizem respeito, essencialmente, a um parmetro (valor populacional) e aseu respectivo estimador (valor amostral).

Hiptese nula(H0) a hiptese a ser testada.Hiptese alternativa(H1) qualquer hiptese diferente da hiptese nula.

A hiptese nula afirma que no h diferena entre o parmetro e o estimador.A hiptese alternativa deve sempre contradizer a hiptese nula.

1.3 Teste de Hiptese.Um teste de hiptese estatstica uma regra geral tal que, quando os valores de um

amostra so obtidos, leva deciso de aceitar ou rejeitar a hiptese considerada.Supondo que a mdia de uma populao seja o parmetro a ser testado, as hiptese

nula e alternativa geralmente so enunciadas assim:

a) Teste bicaudal ou bilateral:

=

01

00

:

:

H

H

Notas de aula 16


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b) Teste unicaudal ou unilateral direita:

>

=

01

00

:

:

H

H

c) Teste unicaudal ou unilateral esquerda:

30) pode-se utilizar o desvio padro da amostra (s).

Quando a amostra for pequena (n 30) devemos utilizar a distribuio de Student.

=

.

),(

,

:, 00

amostradaelementosdenmeroon

eamostradapadrodesvioos

testadaserahiptesepopulaodamdiaa

amostradamdiaax

onde

n

s

xt

6) Concluses:a) Se .,

0

2

Hserejeitazz >

(Teste bilateral)

b) Se.0, Hserejeitazz > (Teste unilateral)

c) Se .,0

Hserejeitazz z2

(zcrtico ) ou tambm porque 96,1


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=

.

),(

,

:, 00


eamostradapadrodesvioos

testadaserahiptesepopulaodamdiaa

amostradamdiaax

onde

n

s

xt

1=n = 20 1 = 19

O valor do tcrtico retirado da tabela com os parmetros 19 e 0,025 tcrtico= 2,093.O valor de tcalculado obtido da aplicao da frmula:

20

5,7

504,53 =t = 2,027.

Como tcalc.= 2,027 cai no intervalo -2,093 a 2,093 (RA), aceita-se Ho.

Exerccios.1) Um fabricante de material desportivo desenvolve uma nova linha de pesca sinttica sobre qual ele afirma que tem resistncia mdia ruptura de 8 kg com desvio padro de 0,5 kg. Testehiptese de que = 8 kg, contra a hiptese de que 8 kg, se uma amostra de 50 linhas ftestada e apresentou uma mdia de resistncia a ruptura de 7,8 kg. Use um nvel de 0,01 d

significncia.Resposta. zcalc = -2,828 (menor do que 2,58 (zcrtico)), rejeitamos H0 e conclumos que resistncia mdia ruptura diferente de 8 kg ( menor que 8 kg).

2) A vida mdia de uma amostra de 100 lmpadas, produzidas por uma fbrica, foi calculada e1570 horas, o desvio padro indicado de 120 horas. Se a vida mdia de todas as lmpadaproduzidas pela companhia, testar a hiptese = 1600 horas, em face da hiptese alternativa 1600 horas, adotando o nvel de significncia: a) 0,05; b) 0,01.Resposta.a) Concluso: . zcalc= - 2,5 e zcrtico= -1,96, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado amostrafirma que a mdia diferente de 1600h (na realidade menor do que 1600h), ao nvel de 95%

de confiana, 1570(1576,48 ; 1623,52).b) Concluso: . zcalc= - 2,5 e zcrtico= -2,58, aceita-se H0 , ou seja, o resultado afirma que a mdest compreendida no intervalo que satisfaz ao nvel de 99% de confiana, 1570 (1569,041630,96).

3) No exerccio anterior, testar a hiptese = 1600 h em face da alternativa < 1600 adotando o nvel de significncia: a) 0,05 e b) 0,01.Resposta. a) Concluso: zcalc = - 2,5 e zcrtico = -1,65, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado damostra afirma que a mdia menor do que 1600 h, ao nvel de 95% de confiana, a mdia 157cai na R.R., nesse nvel a mdia s poderia chegar a 1580,20.b) Concluso: zcalc= - 2,5 e zcrtico= -2,33, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado da amostra afirma qu

a mdia menor do que 1600h, ao nvel de 99% de confiana, a mdia 1570cai na R.R., nessnvel a mdia s poderia chegar a 1572,04.

4) A associao dos proprietrios de indstrias metalrgicas est muito preocupada com o tempperdido com acidentes de trabalho, cuja mdia nos ltimos tempos, tem sido da ordem de 6horas/homem por ano. Tentou-se um programa de preveno de acidentes, aps o qual ftomada uma amostra de 9 indstrias e medido o nmero de horas/homens perdidas por acidentque foi de 50 horas e desvio padro de 20 horas/homem. Voc diria, no nvel de 5%, que hevidncia de melhoria?


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Resposta. No, pois tcalc= - 1,5 e tcrtico= -1,860 (tcalccaiu na R. A. de H0 ). Para ter melhoria teriaque cair na R.R.

5) A tenso de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta a mdia de 1800 kg e desvio padro 100 kg. Mediante nova tcnica no processo de fabricao, proclamou-se que tenso de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa declarao, ensaiou-se uma amostra d50 cabos, tendo-se determinado a tenso mdia de ruptura de 1850 kg. Pode-se dizer que

tenso de ruptura aumentou se usarmos o nvel de significncia 0,01.Resposta.Sim, pois zcalc= 3,54 e zcrtico= 2,33 (zcalccaiu na R. R. de H0 ). Logo, houve melhoria nprocesso ao nvel de 99% de confiana. Nesse nvel qualquer mdia acima de 1832,95 kapresenta melhoria no processo.

6) De 50.000 vlvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 vlvulas, obtm-se a vida mdia de 800 horas e desvio padro de 100 horas.a) Qual o intervalo de confiana de 99% para a vida mdia da populao de vlvulasResposta.787,1 < < 812,9

b)Com que confiana dir-se-ia que a vida mdia 800 0,98? Resposta.15,86%

7) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuio normaA diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha dproduo se a mdia de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrrio continuaria fabric-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivduoonde verificou-se que a mdia e o desvio padro da amostra so 7,2 kg e 2 kg respectivamentConstrua um teste de hiptese adequado, utilizando = 0,05, e com base na amostra colhiddetermine a deciso a ser tomada pela diretoria.Resposta. tcalc= -2 e tcrtico= -1,711. Cai na R.R. de de H0 . Logo, a mdia menor que 8 kento, o produto deve ser retirado da linha de produo.

8) O salrio mdio dos empregados das indstrias da construo civil de 2,5 salrios mnimocom um desvio padro de 0,5 salrios mnimos. Se uma firma particular emprega 49 empregadocom um salrio mdio de 2,3 salrios mnimos, podemos afirmar que esta indstria paga salrioinferiores, ao nvel de 5%?Resposta.Sim

9) Verificou-se, por meio de experincias, que a tenso mdia de ruptura do fio de uma certmarca de 9,72 kg, com desvio padro de 1,40 kg. Recentemente, uma amostra de 36 peas dfio apresentou a tenso mdia de ruptura de 8,93 kg. Pode-se concluir, nos nveis de significncia(a) 0,05; (b) 0,01 que o fio se tornou de qualidade inferior?Resposta.Sim. Rejeita-se Ho, logo o fio se tornou de qualidade inferior em ambos os nveis d

significncia.

10) Uma companhia fabrica cabos cujas tenses de ruptura tm a mdia de 300 kg e o desvpadro de 24 kg. Acredita-se que, mediante um processo recentemente aperfeioado, a tensmdia de ruptura pode ser aumentada. Foram ensaiados 64 cabos feitos atravs do novprocesso obtendo-se uma mdia de 310 kg para a ruptura. Ao nvel de significncia de 1% possvel afirmar que houve melhoria no processo?Resposta.Sim. Rejeita-se Ho: = 300 e aceita-se H1: > 300 logo houve melhoria no processo.


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11) Um fabricante de tubo de televisor afirma que a vida til mdia do tubo , no mnimo, de9.000 horas. Testar esta afirmao ao nvel de significncia de 5%, dado que a vida til mdia euma amostra de 15 tubos foi de 8.800 horas com 500 horas de desvio padro.Resposta.Aceita-se a Ho: = 9.000 e rejeita-se H1: < 9.000, logo a afirmao do fabricante verdadeira ao nvel de significncia de 5%.

12) Um fabricante interessado na compra de um novo equipamento para produzir ferramenta

especificou que o equipamento no deve exigir, em mdia, mais do que 10 minutos dmanuteno para cada hora de operao. O agente de compras visita uma companhia onde equipamento est instalado, e, pela informao que recolhe, nota que 40 horas de operaaleatoriamente selecionadas incluem um total de 7 horas e 30 minutos de manuteno, sendo quo desvio padro do tempo de manuteno por hora foi de 3 minutos. Com base neste resultadamostral, pode-se rejeitar a hiptese de que o equipamento possui as especificaes sobre tempo de manuteno, ao nvel de significncia de 1%?Resposta.Portanto, rejeita-se a Ho: = 10 minutos e aceita-se H1: > 10 minutos, logo o tempmdio de manuteno desse equipamento maior do que 10 minutos por hora de manuteno anvel de significncia de 1%.

13) Um estudo inclui 123 crianas que estavam usando cinto de segurana ao se ferirem ecolises de veculos. O tempo gasto em uma unidade de tratamento intensivo acusa mdia d0,83 dia e desvio padro de 0,16 dia. Com base em dados de Morbidity Among Pediatric MotoVehicle Crash Victims: The Effectiveness of Seat Belts, ao nvel de 0,01 de significncia, teste afirmao de que a amostra com cinto de segurana provm de uma populao com mdinferior a 1,39 dia que a mdia para a populao que no usava cinto quando se feriu em colisde veculos. Os cintos de segurana parecem ser eficazes?Resposta.zcalc= -38,82, cai na R.R. de H0 (zcrtico= -2,33). Logo, a mdia menor que 1,39 diOs cintos de segurana parecem contribuir para a reduo do tempo de internao hospitalar.

14) Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos mesmos est deteriorando. De experinc

passada sabe-se que a mdia de resistncia ao esmagamento de tais tijolos de 400 libras coum desvio padro de 20 libras. Uma amostra de 100 tijolos deu uma mdia de 395 libras. Ao nvde 5% de significncia teste a hiptese de que a qualidade mdia no se tenha alterado contra alternativa de que se tenha deteriorado.Resposta. zcalc= -2,5, cai na R.R. de H0 (zcrtico= -1,65). Rejeita-se a hiptese de que a mdcontinua em 400 libras. Houve deteriorao da qualidade.

15) Muitos anos de experincia com um exame de ingls para admisso universidade fornecea nota mdia de 64 com desvio padro de 8. Todos os estudantes de certa cidade, em nmero d55, obtiveram uma nota mdia de 68. Podemos estar certos de que os estudantes desta cidadsejam superiores em Ingls ao nvel de 10% de significncia?

Resposta.zcalc= 3,71, cai na R.R. de H0 (zcrtico= 1,28). Rejeita-se a hiptese de H0 = 64, logomdia maior de 64.

16) Uma fbrica de automveis anuncia que seus carros consomem em mdia 11 litros por 10quilmetros, com desvio padro de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmao e analisa 3carros dessa marca, obtendo 10,6 litros por 100 quilmetros, como um consumo mdio. Admitindque o consumo tenha distribuio normal, ao nvel de 10% o que a revista concluir sobre anncio da fbrica?


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Resposta..zcalc= -2,96, cai na R.R. de H0 (zcrtico= 1,65). Rejeita-se a hiptese de H0 = 11logo a mdia diferente de 11 litros em 100 Km. A revista pode concluir que o anncio no verdadeiro.

17) A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuio normal com mdia de 164 cm desvio padro de 5,82 cm. Deseja-se saber se as condies sociais desfavorveis vigentes nparte pobre dessa cidade causam um retardamento no crescimento dessa populao. Para iss

levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo-se a mdia de 162 cmPode esse resultado indicar que os adultos residentes na rea so em mdia mais baixos que odemais Habitantes da cidade ao nvel de 5%?Resposta..zcalc= -4,12 < zcrtico = - 1,65, rejeita-se H0, isto , podemos admitir que as condiesociais desfavorveis provocam um retardamento no crescimento da populao da parte estudadao nvel de 5%.

18) Um exame padro de inteligncia tem sido usado por vrios anos com mdia de 80 pontoUm grupo de 25 estudantes ensinado, dando-se nfase a resoluo de testes. Se esse grupobtm mdia de 83 pontos e desvio padro de 7 pontos no exame. H razes para se acreditque a nfase dada mudou o resultado do teste ao nvel de 10%?

Resposta.A nfase mudou o resultado do teste, tcalc= 2,14 e tcrtico = 1,711.

19) Um metalrgico decide testar a pureza de um certo metal, que supe ser constitudexclusivamente de mangans. Adota para isso o critrio da verificao do ponto de fusExperincias anteriores mostraram que esse ponto de fuso se distribua normalmente com mdde 1260. O metalrgico realizou 4 experincias, obtendo 1267, 1269; 1261 e 1263. Poder eaceitar que o metal puro ao nvel de 5%?Resposta.O metal puro ao nvel de significncia de 5% (tcalc= 2,74 e tcrtico = 3,182).

20) Um fabricante de correntes sabe, por experincia prpria, que a resistncia ruptura dessacorrentes tem distribuio normal com mdia de 15,9 libras. Uma modificao no processo d

produo introduzida. Levanta-se ento uma amostra de 16 correntes fabricadas com o novprocesso, obtendo-se resistncia mdia de ruptura de 15 libras e desvio padro de 2,4 libraPode esse resultado significar que a resistncia mdia ruptura diminuiu ao nvel de 5%?Resposta. No significativa a diminuio da resistncia da corrente ((tcalc = -1,5 e tcrtico =1,753).

1.9 Teste de Hiptese para a Proporo Populacional (p).

1) Estabelece-se a hiptese nula.00

: ppH = 2) Estabelece-se a hiptese alternativa.

2.1) pH op :1 bilateral ou2.2) pH :1 > p0 unilateral direita ou

2.3) pH :1 < p0 unilateral esquerda3) Fixar o nvel de significncia .

4) Determinar a regio de rejeio.


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5) Calcular a estatstica z calc. , sendo

=

=

.

,1

,

,

:,.

.


pq

populaodampercentageouproporoap

amostradampercentageouproporoap

onde

n

qp

ppzcalc

6) Concluses:a) Se ocalc Hserejeitazz > ,

2

. , onde )(

2

tabeladozzz crtico ==

b) Se 0, Hserejeitazz >

Se 0

, Hserejeitazz

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