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Aula2-Zeros de funções
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Continuação Zeros de Funções Método de Newton-Raphson Método da Secante
Profa. Thaís Gama
UNIFAL-2010
Método Newton-Raphson (MNR)
Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de . Suponha que , então existe um intervalo
contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva
,
convergirá para a raiz.
x)(),(),( xfxfxf
0)( xf
Ix 0 kx
I0)( f
II
)(
)(1
k
kkk xf
xfxx
Ilustração gráfica do MNR
Método Newton-Raphson (MNR)
Ordem de convergência do MNR
Suponha que o MNR gere uma seqüência que
converge para . A ordem de convergência do MNR é
quadrática.
kx
Método Newton-Raphson (MNR)
Exemplo do Método de Newton-Raphson.Seja a função com . Seja . Do MNR devemos escolher a
função equivalente
Obtemos
A convergência do MNR é mais rápida!
62 xxxf 25.10 x
12
6)(
2
x
xxxx
0625.2)5.1(1 x5.10 x
0008.2)0625.2(2 x
0000.2)0008.2(3 x
Método da SecanteNo método de Newton há a necessidade decalcular e o seu valor numérico a cadaIteração. Esta é uma desvantagem do MNR.
O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim,
Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.
1
11
1
11
kk
kkkk
kk
kk
kkk xfxf
xfxxfx
xx
xfxf
xfxx
xf
Esquema do MS
Método da Secante
Exemplo do Método da SecanteSeja a função com . Seja e . Do Método da Secante
obtemosa seqüência
62 xxxf 2
5.10 x
7.11 x5.10 x
0335.2
25.241.1
25.27.141.15.1
01
01102
xfxf
xfxxfxx
7.11 x
9977.1
41.11798.0
41.10357.21798.07.1
12
12213
xfxf
xfxxfxx
0000.2
23
23324
xfxf
xfxxfxx
Método da Secante
Ordem de Convergência do Método da Secante
Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do Método da Bissecção (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é
p=1.618 ...
Comparação dos Métodos
O MNR e MS têm convergência mais rápida que o método da Bissecção, considerando apenas o número de iterações.
Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração.
O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.
Comparação dos Métodos
No caso geral, não há método melhor!!!!!
Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for
muito elaborado, o MNR é indicado, caso
contrário o MS é aconselhável.
ExercíciosCalcule as raízes positivas das funções
abaixo:1) Pelo MNR: e2) Pelo MS: Resolver em sala de aula
individualmente!!
