Marat Aula2

BC 1507- Instrumentação e Controle

Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e

Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS

Modelos mecânicos

Sistema massa-mola

Movimento livre

Segunda lei de Newton:

ma = F

Modelos mecânicos

Sistema massa - mola - amortecedor

Movimento livre

k - constante elástica da mola;

- coeficiente de amortecimento.

Modelo de um sistema elétrico

Circuito em série LRC

L - indutância; R - resistência; C - capacitância; E - voltagem; i - corrente; q - carga no capacitor. Segunda lei de Kirchhoff: a voltagem aplicada em uma malha fechada deve ser Igual à soma das quedas de voltagem na malha.

Carga no capacitor está relacionada com o corrente por

Então


Exemplo 1. Mostrar que o sistema de equações

diferenciais para as correntes e

na rede elétrica em consideração é

Observação: nos pontos de ramificação usar a primeira lei de Kirchhoff


Exemplo 2. Mostrar que o sistema de equações

diferenciais para as correntes e

na rede elétrica em consideração é


Exemplo 3.

Mostrar que o sistema de equações

diferenciais para a carga no capacitor q(t) e

a corrente elétrica malha considerada é

Modelos populacionais

Thomas Robert Malthus (1798):

• “An Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society”

Pierre Verhulst (1838)

A. Lotka (1925)

V. Volterra (1926)

Modelo de Malthus

• é a taxa de crescimento da população

rNdt

dN

r N

(1766-1834)

Modelo de Malthus

Modelo de Malthus

Modelo de Malthus

Modelo de Verhulst

é a taxa de crescimento intrínseco da população

PK

Pr

dt

dP

1

r

K é capacidade de suporte do meio ambiente ou o nível de saturação da população

(1804-1849)

Modelo de Verhulst

Modelo de Verhulst

Exploração de recursos naturais renováveis

Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of Renewable Resources. John Wiley & Sons, Inc., 1992.

Clark (1992) estudou a exploração da população de baleias da Antártida, usando o modelo:

hPK

Pr

dt

dP

1

onde h é taxa de exploração constante.

Neste caso existem 2 pontos de equilíbrio: um é instável e outro é estável.

Com base nos dados de 1976 Clark estimou valores do modelo r = 0.08 e

K = 400000 e descobriu que com uma população inicial P(0) = 70000 e

h = 8000 a população de baleias vão para extinção.

Modelo Lotka - Volterra

•Vito Volterra (1860-1940) foi um famoso

• matemático italiano, que se aposentou

•de uma carreira em matemática pura, no

•início de 1920.

•Seu genro, Humberto d'Ancona, foi um

• biólogo que estudou as populações de

•várias espécies de peixes no mar Adriático. Em 1926,

•D'Ancona completou um estudo estatístico dos números de

• cada espécie vendida nos mercados de peixe de três portos: Fiume, Trieste e Veneza.

Percentages of predators in the Fiume fish catch

1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923

12 21 22 21 36 27 16 16 15 11


• a taxa de crescimento das presas • a taxa de mortalidade dos predadores • e representam as medidas de interação • entre as duas espécies

NPbPdt

dP

NPaNdt

dN

ab

Um Modelo de Pesca

ePNPbPdt

dP

cNNPaNdt

dN

ca

P

ebN

*

*

Pontos de equilíbrio


Cientistas do Isle Royale National Park , parque nacional dos EUA, com mais de 50 trabalhos publicados, acreditam que os modelos de Lotka-Volterra são os mais adequados para estudar relações predador-presa.

Modelo epidemiológico (SIR)

Uma doença diretamente transmissível pode ser modelada através de um modelo que considera a população de uma comunidade divido em 3 partes. A primeira parte é população suscetível (designada s), a segunda parte é população infectada (i), e a terceira – é população recuperada (r). Suponhamos que todos sejam suscetíveis à doença inicialmente.

Neste modelo (modelo SIR) 1k é

chamado de taxa de infecção e 2k é

chamado de taxa de recuperação.

Modelos de sistemas econômicos

Modelo de uma indústria Consideraremos uma indústria que funciona

com plena capacidade, ou seja, usando todos

seus bens de capital. Neste caso a produção da

indústria é proporcional ao estoque de bens de

capital:

K(t)bx (1)

onde K é estoque de bens de capital;

x é produção da indústria;

b é coeficiente de capital do produto.


O modelo dinâmico que descreve a variação

do estoque de bens de capital tem a seguinte

forma:

)(tKI(t)dt

dK (2)

onde I(t) é investimento; é coeficiente de depreciação do capital.

Levando (1) para (2) obtemos a seguinte

equação diferencial:

)bx(tαI(t)dt

dxb (3)


A equação (3) modela a variação da produção

da indústria em função do investimento.

Dividindo ambos os membros da equação (3)

por b e transferindo o termo com x para lado

esquerdo obtemos:

)() tux(tαdt

dx (4)

onde u(t) = I(t)/b.

De (4) é visto que sem investimentos a

produção da indústria vai cair.


Modelos insumo-produto de Leontief

Os modelos estático e dinâmico de insumo-

produto foram propostos pelo Wassily

Leontieff para descrever a interação de n

indústrias de uma economia.

Modelos de sistemas econômicos Wassily Wassilyovitch Leontief (Munique, 5 de

Agosto de 1905 —Nova York, 5 de Fevereiro de 1999)

foi um economista russo, naturalizado estadunidense.

Foi notável por pesquisas sobre como as mudanças em

um único setor da economia afetam os demais.

De origem russa, em 1931 emigrou para os Estados

Unidos, onde se naturalizou. Recebeu o Prémio de

Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel de

1973, pelo desenvolvimento da matriz de insumo-

produto (input-output), conhecida como a "matriz de

Leontief", e a sua aplicação à economia.


Leontief em Harvard

Modelos de sistemas econômicos O modelo input-output foi apresentado pela

primeira vez no seu livro The Structure of the

American Economy, publicado em 1941. O modelo

tornou-se um instrumento essencial para o

planejamento, tanto nos países de economia

centralmente planejada quanto para aqueles que

adotam a economia de mercado.

Uma aplicação muito interessante do modelo insumo-

produto foi realizada durante Segunda Guerra

Mundial. Naquele período “os administradores do

esforço de produção industrial dos Estados Unidos

sentiram muito a necessidade de informações

detalhadas”.

Modelos de sistemas econômicos Dada a encomenda do presidente Roosevelt de “50 mil

aviões”, foi bastante fácil prever que o pais teria que

produzir mais alumínio. Porém, não ficou

imediatamente claro que construção de instalações

para a produção de alumínio ia chocar-se com a

escassez de cobre – uma escassez que foi solucionada

com o empréstimo de prata, fornecida pelo Forte

Knox, para produção de maciças barras condutoras,

que transmitiam eletricidade às instalações. Tendo na

mão uma tabela de insumo-produto da economia

norte-americana para o ano de 1939, as autoridades de

governo usaram ela para tomar a decisão.

Modelos de sistemas econômicos Modelo estático de insumo-produto

É considerado um sistema de n indústrias

interligadas. A produção de uma indústria (digamos a

indústria de aço) é necessária como um insumo em

muitas outras indústrias e/ou também, possivelmente,

em si própria; portanto, o nível “correto” de produção

de aço depende das necessidades de insumo de todas

as n indústrias. Por sua vez, os produtos de outras

indústrias entram como insumo na indústria de aço. O

modelo matemático neste caso tem a seguinte forma:


nnnnnnn

nn

nn

yxaxaxax

yxaxaxax

yxaxaxax

...

....................

...

...

2211

222221212

112121111

(5)

onde iy denota a demanda final pelo i - esímo produto

e ija representa o requisito de insumo da j - esíma

indústria.


Introduzindo os vetores X e Y e a matriz A com

elementos ija (i, j = 1, 2, ..., n) o modelo (5) pode ser

escrito em forma vetorial – matricial:

X = AX + Y (6)

Para a matriz A não-singular existe única solução da

equação (6):

YAIX 1)( (7)


Modelo dinâmico de insumo-produto O modelo dinâmico pode ser desenvolvido, supondo

que há possibilidade de formação de capital, incluindo

a acumulação de estoques. Neste caso podemos incluir

a matriz de coeficientes de capital:

nnnn

n

n

bbb

bbb

bbb

B

...

............

...

...

21

22221

11211

.


O modelo dinâmico de insumo-produto tem

a seguinte forma:

YXBAXX (8)

Exemplo. Considere um modelo bissetorial fechado,

ou seja, de duas indústrias que consomem sua produção

e não produzem para vender fora do sistema. A primeira

indústria produz alimentos (digamos, agricultura e agropecuária)

e a segunda indústria produz máquinas para as duas indústrias.


Neste caso 0e0,0 212221 yyaa , e

o modelo de insumo produto é:

2221212

2121111

xbxbx

xaxax

(9)

Diferenciando a primeira equação (9), obtemos:

2

11

121

1x

a

ax

(10)


Da segunda equação (9), obtemos:

)(1

1212

22

2 xbxb

x (11)

Levando (11) em (10), obtemos:

212

1 xc

ax (12)

onde

21121122 )1( baabc (13)


Levando (12) em (11), temos:

211

2

)1(x

c

ax

(14)

212

1 xc

ax

(12)

Sistema de duas equações diferenciais lineares determina

a quantidade de maquinas a serem produzidas para

aumentar a produção de alimentos no sistema.

Bibliografia

BC 1507- Instrumentação e Controle 39

Bassanezi, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática.

São Paulo: Contexto, 2002.

Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of

Renewable Resources. John Wiley & Sons, Inc., 1992.

Chiang, A., Wainwright, K. Mathematica para economistas . Rio de

Janeiro: Elsevier, 2006.

Edelstein-Keshet, L. Mathematical models in biology. The Random

House Ed., Toronto, 1988.

Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São

Paulo: Thomson, 2003.

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