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Lcia Dinis 2005/2006

Mecnica dos Slidos no LinearCaptulo 2

1

Sumrio e Objectivos

Sumrio: Deformaes. Slido Uniaxial. Descrio Lagrangeana e Euleriana. Gradiente de Deformao. Decomposio Polar. Tensores das Deformaes de Green e Lagrange. Deformao de Corte. Significado Fsico do Tensor de Green. Tensores de Cauchy e Euler. Deformaes em Termos dos Deslocamentos. Valores Notveis. Volume e rea. Objectivos da Aula: Apreenso dos Conceitos Fundamentais associados ao termo Deformao em Mecnica dos Slidos.



2

Ponte



3

Configurao Inicial e Deformada do slido.

2x

3x

1x

x

P P*

x*



4

SLIDO UNIAXIAL



5

SLIDO UNIAXIAL

i

o oi

= = AA

AA

Alongamento Relativo



6

Deformao usual em Engenharia

1o

o = AAA Tambm designada

por Extenso

Alongamento Relativo

O Comprimento de referncia o comprimento na configurao inicial.



7

Deformao Natural

== 11e oAAA

alongamento RelativoO Comprimento de referncia o comprimento na Configurao final.



8

Deformao de Lagrange

( )121

21 2

2o

2o

2

=

= A

AAE

Metade da variao dos quadrados do comprimento por unidade de quadrado do comprimento inicial



9

Deformao de Euler

=

= 22

2o

2 1121

21

AAAE

Metade da variao dos quadrados do comprimento por unidade de quadrado do comprimento na configurao deformada



10

Deformao logartmica

o o

d n = = AA A AAA A ( ) =+= += 1n1n o AA AA

...41

31

21 432 ++=



11

Alongamento dependente da posio do ponto no slido

( )x* x=

Posio inicial do ponto no slido coordenada x

Posio do ponto na configurao deformada -coordenada

( ) ( ) ( ) ( )xd

xdx

xxx0x

limx =

+=

Alongamento



12

COORDENADAS DE EULER E DE LAGRANGE

( )x

( )L

( )P*P =( )VV

L

x

P

S

O

( )xx =*2 2,e e*

3 3,e e*

1 1,e e*



13

Vector na Configurao Inicial

( )s=P xG ( )s s= + Q xGCurva L entre P e Q, s coordenada paramtrica

Coordenadas de P e Q na configurao inicial

O vector que une os dois pontos P e Q na configurao inicial do slido ( ) ( )s s s= = + PQ x x xsendo o comprimento do vector x, a distncia entre os pontos P e Q.

Vectores Base na Configurao inicial eee 321 ,,



14

Vector na Configurao Deformada

Na configurao deformada os dois pontos P* e Q* ocupam as posies e( )s*x ( )ss* +xNa configurao deformada

P*Q*= ( ) ( )s*ss** xxx +=Vectores Base na Configurao Deformada

2 31, ,e* e* e*



15

Vector Tangente Curva na configurao Inicial

Quando o comprimento do arco entre os dois pontos, tender para zero, as distncias entre os pontos P e Q tende para o comprimento do arco entre P e Q. O vector tangente curva : ( ) ( )d

d s ss s s

sx x x=

+ lim

0

No limite este vector tende para o vector unitrio na direco da tangente curva no ponto P, tendo em conta que nestas condies dx=ds.



16

Vector Tangente Curva na configurao Deformada

Na configurao deformada o vector tangente curva queune os pontos P* e Q* : ( ) ( )lim s s sd

s 0ds s+ =

x* x*x*

No limite este vector tende para , ou seja:

( ) ( ) ( )s s slimss 0 s

+ = x* x*

Sendo a Extenso ou Alongamento da curva .( ) s

( ) s

( )2 d dsds ds

= x* x*O quadrado de :( ) s



17

Descrio de Euler

No caso de se considerar sobre a curva na configurao deformada, o vector tende para o vector unitrio e o comprimento do vector . Nestas condies :

s ( ) Ld dsx*

( )d d s sx 1

( )1 2 s dd s

dd s

=

x x

Este tipo de descrio do comportamento do slido designado por descrio de Euler.



18

Descrio de Lagrangee de Euler

Na formulao baseada na descrio de Lagrange da deformao, considerado sobre a curva na configurao inicial e o alongamento relativo definido de acordo com

ou seja com base nos vectores de posio na configurao deformada estabelecidos em termos do parmetro, s, na configurao inicial. Na descrio Euleriana a extenso definida considerando sobre a configurao deformada ou seja de acordo com

s( ) ( ) ( )s s slims

s 0 s+ =

x* x*

s

( )1 2 s dd s

dd s

=

x x



19

Gradiente de Deformao

O vector ( )sx* est relacionado com o vector de posio ( )x s atravs da funo de deformao ou de mapeamento, , ou seja: ( ) ( )( )s s= x* x

Derivando em ordem ao parmetro s da curva L no deformada, obtm-se: ( )d d

d s d s= x* xx

onde as componentes so as derivadas de em ordem a x, ou seja

( )[ ] = x ij i jxGradiente da Deformao



20


O gradiente da funo ( ) x o chamado gradiente da deformao e usualmente designado por ( )xF = .

A equao ( )d dd s d s= x* xx pode ser escrita com a seguinte forma:

d dds ds

=x* xF

ou dx* =F dx



21


Designando os vectores base na configurao inicial por ei e os vectores base na

configurao deformada por ie* , o tensor F um tensor com a base tensorial i j* e ee pode exprimir-se em termos das suas componentes Fij, com seguinte forma:

( )ii j ij i j

j

Fx

= = x

F e* e e* e

O produto F dx/ds

( )ij i j k kd Fd s = = xF e* e n e

ij k i j kF = n e* e e ij j iF n e*tendo em conta que n xk d d s= e que i j k jk i = e* e e e* de acordo com a definio do produto tensorial de vectores.



22

Descrio Lagrangeana

ij j id Fds

=x* n e*O vector, F dx/ds, um vector na configurao deformada e :

Note-se que o tensor F um tensor que est ligado s coordenadas do ponto na configurao inicial, sendo portanto esta descrio uma descrio Lagrangeana.



23

Componentes do Tensor Gradiente de Deformao

As componentes do tensor gradiente de deformao, F, podem ser escritas com a seguinte forma

1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

3 3 3 3 3 3

2 21 3 1 3

x x xx x x x x x

x x xx x x x x x

x x xx x x xx x

=

* * *

* * *F

* * *

O tensor gradiente pode representar, movimentos de corpo rgido locais e globais, como sejam rotaes em torno de um eixo e pode representar alongamentos ou extenses numa ou mais direces, nomeadamente estados de extenso pura.



24

Exemplo 2.1

Num dado instante do tempo a relao entre as coordenadas de um ponto na

configurao inicial e final : 2

1 1 1 2 3 3 2x * x x ;x * x ; x * x= + = = Calcule o gradiente da deformao F



25

Exemplo 2.1-Soluo

1 1 1

21 31

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xx xx 1 2 x 0 0

x x x 0 0 1x x x

0 1 0x x xx x x

+ =

* * *

* * *F

* * *

N o c a so d e se r 0x 1 = , o te n so r F :

010100

001F , q u e c o rre sp o n d e a u m te n so r d e ro ta o R , se n d o TF F = I e d e tF =

1 .

C o n se q u e n te m e n te o p o n to { }32 x,x0 , so fre u u m m o v im e n to d e c o rp o r g id oe n tre a p o s i o in ic ia l e a p o s i o d e fo rm a d a , e m b o ra o s lid o c o m o u m to d o p o ssa te r

so fr id o d e fo rm a e s .



26

Rotao em Torno do Eixo x1

3x

2x 2x*

3x*( )x

=010100

001R

1 1 2 3 3 2x * x ; x * x ; x * x= = =



27

Rotao

As deformaes de um ponto cujo vector de posio na configurao inicial x

so caracterizadas pela mudana de distncias entre dois pares de pontos na

vizinhana de x. Um elemento dx transforma-se no elemento material dx* = F dx

qualquer que seja o estado de deformao em x. No caso do exemplo anterior verificou-

se que no caso do gradiente de deformao ser um tensor ortogonal e anti-simtrico

no existe variao de comprimento dos elementos na vizinhana de x existindo s

rotao.



28

Deformao Pura

No caso F ser um tensor simtrico, U, tal que dx* = F dx = U dx, o material na

vizinhana do ponto x est num estado de deformao pura em relao configurao

de referncia. No caso particular de ser x*= Ux (U tensor constante), o slido inteiro

est num estado de extenso pura.

No caso do tensor U ser um tensor real e simtrico, existem trs direces

mutuamente ortogonais, em relao s quais o tensor U um tensor diagonal.

Designando por ,,, 321 eee as trs direces mutuamente ortogonais que podem ser

designadas por direces principais e por ,,, 321 os valores prprios correspondentes, ento o tensor U no sistema de eixos principais :



29

Exemplo 2.2

No caso da relao entre as coordenadas de um ponto na configurao inicial e

as coordenadas de um ponto na configurao deformada ser:

1 1 2 2 3 3x * 3x ; x * x ; x * 4x= = = Determine os alongamentos sofridos pelos elementos lineares OP, OQ e OR

representados na figura e no sistema de eixos principais



30

Elementos na configurao Inicial e Deformada

1x

1x *

2x

3x1.414

1.0

1.0

Q

O R

P

2x *

3x *

O4.0

5.0

3.0



31

Exemplo 2.2 - Soluo

O tensor gradiente :

400010003

F

sendo portanto um tensor real e simtrico e independente das coordenadas do ponto x ,

o estado de deformao correspondente um estado de deformao puro e homogneo

correspondendo a estado de pura extenso do slido.

O alongamento sofrido pelo elem ento O P 31/31 == ; O alongamento sofrido pelo elem ento O Q 41/43 == . O elemento O R tem um comprimento inicial 1.414 e um comprim ento final 5, sendo o alongamento OR 5 / 1.414 = .



32

TEOREMA DA DECOMPOSIO POLAR

Verificou-se que se podem considerar dois tipos de gradiente F; um tensor

ortogonal, designado por R que descreve movimentos de corpo rgido e um tensor real e

simtrico designado por U que descreve estados de deformao pura com extenses

segundo as direces principais. possvel demonstrar que um tensor real F com

determinante no nulo, condio necessria existncia de 1F , pode ser sempre decomposto no produto de dois tensores um tensor ortogonal R e um tensor simtrico

U, isto :

F = R U ou F = V R



33

Decomposio Polar

Nestas igualdades U e V representam tensores simtricos reais e positivos

definidos e R um tensor ortogonal. Estas equaes so conhecidas por Teorema da

Decomposio Polar. A decomposio representada nas duas equaes anteriores

nica, existe um s R, um s U e um s V que satisfaz as condies anteriores. O tensor

U designado por tensor dos alongamentos relativos direita e V designado por

tensor dos alongamentos relativos esquerda. dx* = F dx = R U dx

O efeito do gradiente de deformao, F, foi contabilizado considerando um processo de deformao pura seguido de um movimento de corpo rgido, o mesmo efeito poderia ser obtido invertendo a ordem dosprocessos, ou seja considerando F=VR



34

Decomposio Polar

Tendo em conta que F=RU=VR e que T =RR I conclui-se que: T=U R VR ou TRURV = .

O clculo de U, V e R a partir de F uma operao possvel e como j foi referido a

soluo nica



35

Rotao e Alongamento

{ }1d 4=x*{ }12=dx *

=1002

U

=0110

R

=0110

R

=2001

V

{ }4d 1=x *

{ }2d 1=xA

B



36

Exemplo 2.3

Considere-se o elemento rectangular AB representado na figura e considere o

tensor gradiente de deformao F = RU = VR, para o qual :

=1002

U e

=0110

R

e determine o tensor F e o tensor V do processo de deformao



37

Exemplo 2.3 - Soluo

O efeito da aplicao do tensor U ao elemento AB corresponde manuteno

das dimenses segundo 2x e duplicao da dimenso segundo 1x como se representa

na figura. O efeito da aplicao do tensor R corresponde a uma rotao de 90o como se

representa tambm na figura. Correspondendo a um gradiente de deformao F que :

F = R U

O gradiente F :

=

==0210

1002

0110

URF

O tensor V :

=

===

2001

0110

1002

0110TT RURRFV



38

Exemplo 2.4

Considere as relaes seguintes entre as coordenadas de um ponto na

configurao deformada e as coordenadas de um ponto na configurao inicial:

1 1 2 3 3 2x * x , x * 3x , x * 2x= = = Determine:

a) O tensor gradiente de deformao F.

b) O tensor das extenses direita U.

c) O tensor de rotao R.

d) O tensor das extenses esquerda V.



39

Exemplo 2.4-Soluo

a)

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xx x x 1 0 0

x x x 0 0 3x x x

0 2 0x x xx x x

=

* * *

* * *F

* * *

b)

=

===

900040001

020300001

030200001

TT2 FFUUU

donde se obtm

=

300020001

U



40

Exemplo 2.4-Soluo

c) O tensor 1U :

=

3/10002/10001

1U

O tensor R :

==

010100001

1UFR

d) O tensor V :

=

==

200030001

010100001

020300001

TRFV



41

Exemplo 2.5

Mostre que se for 2211 URURF == , ento 21 RR = e 21 UU = . Soluo:

Tendo em conta que 2211 URURF == ento T22T11F RURUF == e consequentemente : 22

2122

T2211

T11

F UUURRUURRUFF ==== . Os tensores 1U e 2U , so positivos definidos consequentemente 21 UU = .



42

Exemplo 2.6

Mostre que se for 'VRRUF == , ento 'RR = .

Soluo:

Note-se que 'VR pode ser escrito com a seguinte forma

( ) ( )1= =' ' ' ' ''-1'VR R VR R VRR R Por outro lado :

( )= = =' ' ''-1F RU R VR R UR Consequentemente :

'RR =



43

TENSOR DAS DEFORMAES DE GREEN E DE LAGRANGE

O quadrado da extenso ( )2 s igual ao quadrado do comprimento do vector d dsx*

( )2 n F n F n= .e tal que F n F n = n F F n. . TsendoTensor das Deformaes de Green -C C F F= T

Consequentemente ( )2 . =n n CnTensor das deformaes de Lagrange

( ) ( )[ ] nEnnnE .121 2 == [ ]ICE = 2

1



44

TENSOR DAS DEFORMAES DE GREEN E DE LAGRANGE

Os tensores C e E so tensores simtricos como resulta da definio do tensor C, uma vez que o produto de um tensor pelo transposto do tensor um tensor simtrico.

F = R U [ ] [ ] [ ] UUURRUURURFFC TTTTT ====Pelo Teorema da Decomposio Polar :Nestas condies pode concluir-se que o tensor, C, constitudo por quantidades que permitem o clculo das variaes de comprimento de elementos lineares do slido e que no so afectadas por movimentos de corpo rgido, sendo consequentemente o tensor C independente dos movimentos de corpo rgido.



45

Exemplo 2.7

Considere o processo de deformao regido pelas relaes seguintes entre as

coordenadas na configura inicial e deformada:

1 1 2 2 2 3 3x* x kx ;x* x ;x* x= + = = e determine

a) O tensor de Green C.

b) O tensor das extenses ou dos alongamentos relativos U e o inverso - 1U .

c) O tensor rotao R.

Os valores e vectores prprios do tensor C



46

Exemplo 2.7-Soluo

a) O tensor gradiente de deformao :

1 2 00 1 00 0 1

= F

o tensor de Green C obtm-se a partir do tensor F, considerando a definio, ou seja:

=

==

100052021

100010021

100012001

T FFC



47

Exemplo 2.7-Soluo

b) O tensor dos alongamentos relativos U, :

0.7071 0.7071 00.7071 2.1213 0

0 0 1

= U

O tensor 1U :

1

2.1213 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1.0

=

U

1 =U IU



48

Exemplo 2.7-Soluo

c) O tensor das rotaes : 1=R FU , ou seja:

1

1 2 00 1 00 0 1

=

F U2.1213 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1.0

=

0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0

0 0 1

d) Os valores prprios de C so obtidos por resoluo da equao caracterstica e

so: 0.1716, 5.8284 e 1.0.

Os vectores prprios so:

0.9239 0.3827 00.3827 , 0.9239 , 0

0 0 1



49

Exemplo 2.8

Considere a transformao de corte simples representada pelas equaes:

1 1 2 2 2 3 3x * x 2x ; x * x ;x * x= + = = a) Qual o alongamento de um elemento linear que na configurao

inicial est na direco 1e .

b) Qual o alongamento de um elemento linear que na configurao

inicial est na direco 2e .

c) Qual o alongamento de um elemento linear que na configurao

inicial est na direco 21 ee + .



50

Exemplo 2.8-Soluo

a) O tensor gradiente de deformao F : 1 2 00 1 00 0 1

= F

dL* 1 2 0 dL0 0 1 0 00 0 0 1 0

= ou seja dL*=dL

Ao mesmo resultado se chegaria no caso de se considerar o tensor E definido do seguinte modo:

( ) ( ) { }2 20 1 0 dL

dL* dL 2* dL 0 0 1 2 0 0 00 0 1 0

= =



51

Exemplo 2.8-Soluo

b) Um vector que tenha a direco de 2e passa a

2dL 1 2 0 0dL 0 1 0 dL0 0 0 1 0

=

sofrendo uma variao de comprimento ( )5 1 dL ao que corresponde um alongamento 5 1 . Esta concluso tambm poderia ser obtida considerando

( ) ( ) { } ( )2 2 20 1 0 0

dL* dL 2* 0 dL 0 1 2 0 dL 4 dL0 0 1 0

= =

Consequentemente dL* tem um comprimento igual a 5dL .



52

Exemplo 2.8-Soluo

c) Um vector que tenha a direco de 1 2e + e passa a

3dL 1 2 0 dLdL 0 1 0 dL0 0 0 1 0

=

O vector passa a ter o comprimento 10dL sofrendo uma variao de comprimento de

10 2 . Por outro lado tambm se sabe que:

( ) ( ) { } ( )2 2 20 1 0 dL

dL* 2 dL 2* dL dL 0 1 2 0 dL 8 dL0 0 1 0

= =

ou seja:

( ) ( )2 2dL* 10 dL=



53

Exemplo 2.9


1 1 2 2 2 3 3x * x kx ;x * x ;x * x= + = = a) Calcule o tensor de Lagrange E.

b) Calcule o comprimento na configurao deformada do segmento OB da

figura.

Compare o valor obtido em b) com 22E



54

Exemplo 2.9-Soluo

a) O gradiente de deformao F :

1 k 00 1 00 0 1

= F

O tensor C :

T 2

1 k 0k 1+ 0k0 0 1

= C F =F

O tensor E :

2

0 k 01E k 0k2

0 0 0

=



55

Exemplo 2.9-Soluo

b) O vector OB : { }T0 1 0 , o vector OB : 1 k 0 0 k

OB 0 1 0 1 10 0 1 0 0

= =

a que corresponde o comprimento 21 k+ . c) O valor de 22E corresponde a 1/2 do quadrado da variao de comprimento

sofrida pelo vector.



56

DEFORMAO DE CORTE



57

DEFORMAO DE CORTE

Considere-se a correlao entre a configurao inicial e deformada do slido

representada na figura 2.12. Na configurao inicial consideram-se linhas 1L e 2L

ortogonais, cujas tangentes no ponto P, de intercepo das duas linhas, so 1n e 2n . Na

configurao deformada as linhas ( )1 L e ( )2 L encontram-se no ponto ( ) P e as tangentes so 1nF e 2nF formando entre si um ngulo . O coseno do ngulo formado pelas tangentes deformadas 1nF e 2nF so:

( )21

2121 nFnF

nF.nFnFnF = ,cos (2.41)

onde F tensor gradiente da deformao, sendo dx/ds = n e dX/ds = F n como se

mostrou anteriormente.



58

DEFORMAO DE CORTE

A equao pode ser modificada, tendo em conta a definio do tensor de Green e

que 2T

121 .. nFFnnFnF = , obtendo-se:

( ) ( ) ( )22,cos nnnC.nnFnF 2121 = (2.42)

sendo ( ) ( ) 2211 e nFnnFn == . No caso dos vectores iniciais serem ortogonais, a mudana de ngulo entre os dois

vectores pode ser designada por e tal que:

=2

(2.43)

No processo de deformao de um slido constata-se que existe uma relao entre corte

e extenso



59

SIGNIFICADO FSICO DO TENSOR DE GREEN - Extenso

O significado fsico das componentes do tensor de Green e de Lagrange pode ser

mais facilmente obtido se considerar que a direco das tangentes curva ou curvas L

so consideradas coincidentes com as direces dos eixos de referncia s quais

correspondam os vectores base { }321 e, eee . A componente ij do tensor C : jiij . eCeC =

O quadrado da extenso na direco de ie :

( ) iii2ii . eCeeC ==



60

SIGNIFICADO FSICO DO TENSOR DE GREEN

Consequentemente os elementos da diagonal do tensor C representam extenses

na direco de elementos lineares inicialmente com a direco dos eixos coordenados.

O coseno do ngulo , formado pelos vectores ji e eFeF que correspondiam aos vectores ji e ee na configurao inicial,

( ) ( ) ( ) jjiiij

ji

jiji

.,cos

CC

Cee

eCeeFeF ==

Os elementos no diagonais do tensor C representam uma medida do ngulo de

corte.



61

Exemplo 2.9


11 1 2 2 2 3 3x * x kx ;x * x k ; x * xx= + = + = .Na configurao deformada qual o nguloformado por dois segmentos lineares que na configurao inicial tinham as direces

de 1e e 2e .

Soluo:

De acordo com a equao 2.46 :

( ) ( ) ( ) jjiiij

ji

jiji

.,cos

CC

Cee

eCeeFeF ==



62

Exemplo 2.9-Soluo

portanto necessrio calcular o tensor C. Este tensor obtm-se a partir do tensor F

que :

1 k 0k 1 00 0 1

= F

Consequentemente C : 2

2

1 2k 0k2k 1 0k0 0 1

+ = + C

sendo o ngulo pedido igual a:

( )i j 211 22

2kcos ,1 k

= = +12CFe Fe

C C



63

TENSORES DE CAUCHY E EULER

O quadrado da extenso referida configurao deformada, 1/ ( )2 s , sendo s definido sobre a configurao deformada

o quadrado do comprimento do vector d d sx , o qual pode ser calculado a partir

do inverso do tensor gradiente da deformao F. O vector 1F n* tem um comprimento

que igual extenso ( ) ( )1 = n * n , sendo a extenso uma funo do vectortangente n*, o quadrado da extenso :

( )2 . = -1 -1n * n * n *F F

e representa

Considere-se o produto ( )T. n *-1 -1 -1 -1n* n* = n*F F F F , sendo o produto tensorial ( )T-1 -1F F que aparece na expresso designado por Tensor das Deformaes deCauchy, C*, ou seja:

( )T* = -1 -1C F F



64

TENSORES DE CAUCHY E EULER

A extenso de um segmento com a orientao n* na configurao deformada

A deformao de Euler

( ) ( )21 11 .2

= = E* n* n* E*n*

n

onde E* o Tensor das Deformaes de Euler definido a partir do tensor das

deformaes de Cauchy, com a seguinte forma:

[ ]12

= E* I C*



65

DEFORMAES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS

( )x

V

x

2x

1x

3x Pu

( )VP*

x = (x)



66


A funo de deformao (x) pode ser estabelecida em termos dos deslocamentos ( ) ( ) = +x x u xO tensor gradiente da deformao F : uIF +=

sendo as componentes do gradiente do vector deslocamentos u definidos do seguinte modo [ ] jiij uuu = . O tensor gradiente da deformao tm as seguintes componentes em termos dos deslocamentos

j,iijij uF +=



67


O tensor da deformao de Green calculado a partir da definio como sendo

FFC T= , ou seja: [ ] [ ] uuuuIC TT +++=

As componentes do tensor C podem ser calculadas a partir das componentes do

tensor u do seguinte modo: j,ki,ki,jijijij uuuuC +++=

sendo

jij,i uuu =



68


O tensor de Lagrange de acordo com a definio:

( ) [ ] [ ][ ]uuuuICE TT21

21 ++==

cujas componentes so

[ ]j,ki,ki,jj,iij uuuu21E ++= note-se que as duas primeiras parcelas representam a parte linear do tensor ou seja

[ ][ ]T21 uu +=

cujas componentes so:

[ ]i,jj,iij uu21 += e a ltima parcela representa a parte no linear do tensor



69

DEFORMAES PRINCIPAIS

No slido, V e num ponto existem direces segundo as quais as extenses tm valores extremos, mximos ou mnimos. Tendo em conta que os quadrados das extenses so: ( ) nCnn .2 =nas direces do vector unitrio n, o clculo dos valores extremos de passa pelo clculo dos mximos ou mnimos de sujeito restrio . Nestas condies o Lagrangeano (L) de problema de optimizao com restries :( ) ( )1..,L = nnnCnunsendo o multiplicador de Lagrange.



70


A equao a satisfazer para que haja um mximo ou mnimo da funo obtm-se considerando a derivada 0L = n [ ] 0ou == nICnnCou seja:

O problema que se representa pela equao um problema de valores prprios, onde n um vector com uma direco tal que por aplicao do tensor C apenas sofre uma alterao de comprimento quantificada por .

Soluo no trivial

[ ] 0CCC

CCCCCC

detdet

333231

232221

131211=

=

IC



71


donde resulta a equao cbica designada por equao caracterstica e que : 0III 3221

3 =++onde

( ) 3322111 CCCCtrI ++==3223332231133311211222112 CCCCCCCCCCCCI ++=

++== 3321122331122332113322113 CCCCCCCCCCCCCdetI223113322113 CCCCCC +

so os invariantes do tensor C



72

VOLUME E REA

( )V

11 sdnF

22 sdnF

( )xV

11 sdn

33 sdn

( )x

P

2x

1x

3x

2X

1X

3X

22 sdn33 sdnF

Mudana de Volume



73

Mudana de Volume

O volume na configurao inicial :( ) 321321 sdsdsd.Vd nnn =

O volume na configurao deformada:

( ) ( ) 321321 sdsdsd.VdVd nFnFnF ==ou seja VddetVd F=tendo em conta que

( ) ( )[ ] ( )[ ]wvuTwTvTuT .xdet.x =



74

Mudana de rea

11 sdn

dAP

( )P11 sdnF

dA*P

n 22 sdnF

( )x

2x

1x

3x

22 sdn

2X

1X

3X

N



75

Transformao de Piola

As reas elementares na configurao inicial e deformada so:

2121 sdsdAd nn = 2121 sdsdAd nFnF =

As normais n e N podem se calculadas a partir dos vectores 21 e nn e

21 e nFnF do seguinte modo: 21

21

21

21 NenFnFnFnF

nnnnn

==

consequentemente: ( ) 2121 sdsdxAd nnn = ( ) 2121 sdsdxAd nFnFN =( ) 2121TT sdsdxAd nFnFFNF = ( ) AddetAdT nFNF =

( ) AddetAd 1T nFFN = ( ) nFFdetAdAd T =

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