UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE

PRODUÇÃO E MECÂNICA

MEC 460 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS

CAP 2 – VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS COM UM

GRAU DE LIBERDADE

PROFª JÉSSICA PONTES RANGEL

1

Introdução

Diz-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente

sob uma perturbação inicial,

A figura abaixo representa um sistema massa-mola que representa o

sistema vibratório mais simples possível.

É denominado um sistema com um grau de liberdade visto que a

coordenada x é suficiente para especificar a posição da massa a

qualquer tempo.

Não há nenhuma força externa aplicada à massa: por consequência,

o movimento resultante de uma perturbação inicial será vibração

livre.

2

Introdução

Uma vez que não existe nenhum elemento que cause dissipação de

energia durante o movimento da massa, a amplitude do movimento

permanece constante ao longo; é um sistema não amortecido.

Vários sistemas mecânicos e estruturais devem ser idealizados

como sistemas com um grau de liberdade.

3

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Equação do movimento pela 2ª lei do movimento de Newton

O procedimento que usaremos pode ser resumido da seguinte maneira:

1. Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do corpo rígido do sistema.

2. Determine a configuração de equilíbrio estático do sistema.

3. Desenhe o diagrama do corpo livre da massa ou corpo rígido.

4. Aplique a segunda lei de Newton à massa ou ao corpo rígido mostrada no diagrama de corpo livre.

4

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Assim, se a massa m for deslocada por uma distância 𝑥 (𝑡) quando

uma força resultante 𝐹 (𝑡) agir sobre ela na mesma direção, a

segunda lei do movimento de Newton resulta em

Se a massa m for constante, essa equação se reduz

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Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Para um corpo rígido sujeito ao movimento rotacional, a lei de

Newton resulta em

Aplicando o procedimento a um sistema não amortecido com grau

de liberdade, temos

Massa apoiada sobre roletes sem atrito;

Movimentação de translação horizontal;

Há uma força kx na mola quando a massa é deslocada de uma distância +x;

DCL pode ser representada pela figura (1.c).

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Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

7

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Equação do movimento por outros métodos

As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários métodos

Princípio de D’Alembert;

Princípio dos deslocamentos virtuais;

Princípio da conservação de energia.

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Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Princípio dos deslocamentos virtuais

O princípio dos deslocamentos virtuais afirma que “se um

sistema que está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças

for submetido a um deslocamento virtual, então o trabalho virtual

total realizado pelas forças será zero”.

O deslocamento virtual é definido como um deslocamento

infinitesimal imaginário que ocorre instantaneamente.

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Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Princípio dos deslocamentos virtuais

Trabalho virtual: trabalho realizado por todas as forças,

incluindo as forças de inércia no caso de um problema

dinâmico, devido a um deslocamento virtual.

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Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

11

Princípio dos deslocamentos virtuais

O trabalho virtual realizado por uma força, pode ser

determinado por:

Trabalho virtual realizado pela força da mola:

Trabalho virtual realizado pelas força de inércia:

O trabalho virtual total iguala-se a zero (hipoteticamente temos a

direção das forças de vínculo perpendicular ao movimento das

partículas, que é tangencial a superfície – dessa forma, o trabalho

virtual sempre será zero), então:

Ou

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

12

Princípio de D’Alembert

As equações de movimento 2.1 e 2.2 podem ser reescritas

como:

Podemos considerá-las equações de equilíbrio desde que:

sejam tratados como uma força e um momento

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Princípio de D’Alembert

Essa força (ou momento) fictícia é conhecida como força de

inércia (ou momento de inércia), e o estado de equilíbrio

artificial é conhecido como equilíbrio dinâmico.

O princípio subentendido nas equações (2.4a) e (2.4b) é

denominado Princípio de D’Alembert.

A aplicação desse princípio na figura (1.c) resulta em:

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Princípio da Conservação de Energia

Considera-se um sistema conservativo: nenhuma energia é perdida devido à atrito ou membros não elásticos.

A energia dos sistema permanecerá constante se nenhum trabalho for realizado sobre o sistema conservativo.

Visto que a energia de um sistema vibratório é parte potencial e parte cinética, a soma dessas duas energias devem permanecer constantes.

A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

15

Princípio da Conservação de Energia

A energia potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica.

Dessa forma como T+U= constante, temos:

As energias cinética e potencial são dadas por

Portanto, podemos escrever a equação como mostrado anteriormente,

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

16

Equação de movimento de um sistema massa-mola em

posição vertical Considere a configuração do sistema na figura (4.a). A massa está pendurada na

extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior está ligada a um

suporte rígido.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Equação de movimento de um sistema massa-mola em

posição vertical

Pela figura (4.a) constatamos que, para o equilíbrio estático,

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Equação de movimento de um sistema massa-mola em

posição vertical

Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância +x, então a

força da mola (como mostrado na figura 4c) é:

Visto que k𝛿𝑠𝑡 = 𝑊, obtemos:

Portanto, podemos ignorar o peso de uma massa que se movimenta verticalmente

contanto que seu deslocamento x seja medido em relação à posição de equilíbrio estático.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Solução da equação do movimento

Para resolver a equação (2.3), pode-se admitir que

Onde C e s são constantes a determinar. A substituição da

equação (2.11) na equação (2.3), resulta em:

Como C não pode ser zero, temos

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

20

Solução da equação do movimento

E, por consequência,

Onde 𝑖 = −11

2 e

A equação (2.12) é denominada equação característica;

Os dois valores de s são as raízes da equação característica

(chamados autovalores do problema);

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

21

Solução da equação do movimento

Uma vez que ambos os valores de s satisfazem a equação

(2.12), a solução geral da equação (2.3) pode ser expressa

como

Onde 𝐶1 𝑒 𝐶2 são constantes. Usando as identidades

A equação (2.15) pode ser reescrita como

Onde 𝐴1 𝑒 𝐴2 são novas constantes. Todas as constantes

podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

22

Solução da equação do movimento

O número de condições a especificar é igual à ordem a

equação diferencial governante.

No caso, se os valores de deslocamento e da velocidade forem

especificados como 𝑥0 𝑒 𝑥 0 𝑒𝑚 𝑡 = 0, temos que pela equação

(2.16)

Assim, a solução da equação (2.3) sujeita às condições iniciais

da equação (2.17) é dada por

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

23

Movimento Harmônico

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

24

Movimento Harmônico

A quantidade 𝜔𝑛 representa a frequência natural de vibração

do sistema.

A equação (2,16) pode ser escrita de maneira diferente com a

introdução da notação:

Onde 𝐴 𝑒 𝜑 são as novas constantes, que podem ser expressas

como:

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

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Movimento Harmônico

Introduzindo a equação (2.19) na equação (2.16), a solução

pode ser escrita como:

Usando as relações:

A equação (2.16) pode ser expressa como:

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

26

Movimento Harmônico

Onde

e

O ângulo de fase também pode ser interpretado como o

ângulo entre a origem e o primeiro pico.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

27

Movimento Harmônico

Observe os seguintes aspectos do sistema massa-mola:

1. Se o sistema massa-mola estiver em uma posição vertical, como

mencionado anteriormente, a frequência natural pode ser expresso

como:

A constante elástica da mola k, pode ser expressa em termos da

massa m

Substituindo o valor de k na equação (2.26) temos:

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

28

Movimento Harmônico

Por consequência, a frequência natural em ciclos por segundo e o

período natural são dados por

Assim, quando a massa vibra em sentido vertical, podemos calcular a

frequência natural e o período de vibração pela simples medição da

deflexão estática 𝛿𝑠𝑡 . Não é necessário saber qual é a rigidez da mola k,

e a massa m.

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

29

Movimento Harmônico

2. Pela equação (2.21), a velocidade e a aceleração da massa m pode

ser obtida como

3. Se o deslocamento inicial for zero, a equação (2.21) torna-se

Contudo, se a velocidade inicial for zero, a solução torna-se

Vibração livre de um sistema torcional não

amortecido

30

Sistema Torcional

Se um corpo rígido oscilar em relação a um eixo de referência específico, o movimento resultante será denominado vibração por torção.

Nesse caso, o deslocamento do corpo é medido em termos de coordenada angular.

Em um problema de vibração por torção, o momento restaurador pode ser resultante da torção e de um membro elástico ou de um momento desbalanceado de uma força ou conjugado.

Vibração livre de um sistema torcional não

amortecido

31

Sistema Torcional

Equação de Movimento

Considerando o diagrama de corpo livre do disco, podemos derivar a

equação de movimento aplicando a segunda lei de movimento de

Newton.

Vibração livre de um sistema torcional não

amortecido

32

Sistema Torcional

Equação de Movimento

A frequência natural do sistema torcional é

E o período e a frequência de vibração em ciclos por segundo são:

Vibração livre de um sistema torcional não

amortecido

33

Sistema Torcional

Solução

A solução geral da equação (2.40) pode ser obtida como no caso da

equação (2.3)

Por consequência, as constantes 𝐴1 𝑒 𝐴2 podem ser determinadas

como

Método da Energia de Rayleigh

34

As frequências naturais do sistema serão determinadas

agora pelo método da energia.

O princípio da conservação de energia pode ser

enunciado novamente como

O índice 1 denota o equilíbrio estático e escolhemos

𝑈1 = 0 como referência energia potencial.

O índice 2 corresponde ao máximo deslocamento da

massa, temos 𝑇2 = 0.

Método da Energia de Rayleigh

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Assim, a equação (2.55) torna-se

Se o sistema estiver em movimento harmônico,

então𝑇1 𝑒 𝑈2 denotam os valores máximos das energias

cinética e potencial, respectivamente, e a equação (2.56)

torna-se

A aplicação dessa equação, que também é conhecida

como método da energia de Rayleigh, dá a frequência

natural do sistema diretamente.

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

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A figura abaixo apresenta um sistema com um grau de

liberdade com um amortecedor viscoso.

Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da

massa m, teremos:

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

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Solução

Para solucionar a equação (2.59), admitimos a solução na

forma:

A inserção dessa função na equação (2.59) resulta na equação

característica

Cujas as raízes são

Estas raízes dão duas soluções para a equação (2.59):

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

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Solução

Assim, a solução geral da equação (2.59) é dada por uma combinação de

duas soluções:

Constante de Amortecimento crítico e Fator de Amortecimento

O amortecimento crítico 𝑐𝑐 é definido como o valor da constante de

amortecimento c para o qual o radical da equação (2.62) torna-se zero:

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

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Constante de Amortecimento crítico e Fator de Amortecimento

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento ζ é

definido como a razão entre a constante de amortecimento e a

constante de amortecimento crítico.

Pelas equações (2.65) e (2.66), podemos escrever as equações

Por consequência,

Assim, a solução da equação (2.64) pode ser escrita como

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

40

Caso 1. Sistema criticamente amortecido

(ζ=0 ou 𝑐𝑐 = 𝑐 ou 𝑐 2𝑚 = 𝑘 𝑚 ).

Caso 2. Sistema Superamortecido

(𝜁 > 1 𝑜𝑢 𝑐 > 𝑐𝑐 𝑜𝑢 𝑐 2𝑚 > 𝑘 𝑚 ).

Caso 3. Sistema Subamortecido

(𝜁 < 1 𝑜𝑢 𝑐 < 𝑐𝑐 𝑜𝑢 𝑐 2𝑚 < 𝑘 𝑚 ).

Exercícios

41

Capítulo 2.

2.44/ 2.90/ 2.91/ 2.114/ Exemplo 2.11

42

OBRIGADA!! :D