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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE

PRODUÇÃO E MECÂNICA

MEC 460 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS

CAP 2 – VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS COM UM

GRAU DE LIBERDADE

PROFª JÉSSICA PONTES RANGEL

1

Introdução

Diz-se que um sistema sofre vibração livre quando oscila somente

sob uma perturbação inicial,

A figura abaixo representa um sistema massa-mola que representa o

sistema vibratório mais simples possível.

É denominado um sistema com um grau de liberdade visto que a

coordenada x é suficiente para especificar a posição da massa a

qualquer tempo.

Não há nenhuma força externa aplicada à massa: por consequência,

o movimento resultante de uma perturbação inicial será vibração

livre.

2

Introdução

Uma vez que não existe nenhum elemento que cause dissipação de

energia durante o movimento da massa, a amplitude do movimento

permanece constante ao longo; é um sistema não amortecido.

Vários sistemas mecânicos e estruturais devem ser idealizados

como sistemas com um grau de liberdade.

3

Vibração livre de um sistema de translação

não amortecido

Equação do movimento pela 2ª lei do movimento de Newton

O procedimento que usaremos pode ser resumido da seguinte maneira:

1. Selecione uma coordenada adequada para descrever a posição da massa ou do corpo rígido do sistema.

2. Determine a configuração de equilíbrio estático do sistema.

3. Desenhe o diagrama do corpo livre da massa ou corpo rígido.

4. Aplique a segunda lei de Newton à massa ou ao corpo rígido mostrada no diagrama de corpo livre.

4


não amortecido

Assim, se a massa m for deslocada por uma distância 𝑥 (𝑡) quando

uma força resultante 𝐹 (𝑡) agir sobre ela na mesma direção, a

segunda lei do movimento de Newton resulta em

Se a massa m for constante, essa equação se reduz

5


não amortecido

Para um corpo rígido sujeito ao movimento rotacional, a lei de

Newton resulta em

Aplicando o procedimento a um sistema não amortecido com grau

de liberdade, temos

Massa apoiada sobre roletes sem atrito;

Movimentação de translação horizontal;

Há uma força kx na mola quando a massa é deslocada de uma distância +x;

DCL pode ser representada pela figura (1.c).

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não amortecido

7


não amortecido

Equação do movimento por outros métodos

As equações de movimento de um sistema vibratório podem ser derivadas por vários métodos

Princípio de D’Alembert;

Princípio dos deslocamentos virtuais;

Princípio da conservação de energia.

8


não amortecido

Princípio dos deslocamentos virtuais

O princípio dos deslocamentos virtuais afirma que “se um

sistema que está em equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças

for submetido a um deslocamento virtual, então o trabalho virtual

total realizado pelas forças será zero”.

O deslocamento virtual é definido como um deslocamento

infinitesimal imaginário que ocorre instantaneamente.

9


não amortecido


Trabalho virtual: trabalho realizado por todas as forças,

incluindo as forças de inércia no caso de um problema

dinâmico, devido a um deslocamento virtual.

10


não amortecido

11


O trabalho virtual realizado por uma força, pode ser

determinado por:

Trabalho virtual realizado pela força da mola:

Trabalho virtual realizado pelas força de inércia:

O trabalho virtual total iguala-se a zero (hipoteticamente temos a

direção das forças de vínculo perpendicular ao movimento das

partículas, que é tangencial a superfície – dessa forma, o trabalho

virtual sempre será zero), então:

Ou


não amortecido

12

Princípio de D’Alembert

As equações de movimento 2.1 e 2.2 podem ser reescritas

como:

Podemos considerá-las equações de equilíbrio desde que:

sejam tratados como uma força e um momento


não amortecido

13

Princípio de D’Alembert

Essa força (ou momento) fictícia é conhecida como força de

inércia (ou momento de inércia), e o estado de equilíbrio

artificial é conhecido como equilíbrio dinâmico.

O princípio subentendido nas equações (2.4a) e (2.4b) é

denominado Princípio de D’Alembert.

A aplicação desse princípio na figura (1.c) resulta em:


não amortecido

14

Princípio da Conservação de Energia

Considera-se um sistema conservativo: nenhuma energia é perdida devido à atrito ou membros não elásticos.

A energia dos sistema permanecerá constante se nenhum trabalho for realizado sobre o sistema conservativo.

Visto que a energia de um sistema vibratório é parte potencial e parte cinética, a soma dessas duas energias devem permanecer constantes.

A energia cinética T é armazenada na massa em virtude de sua velocidade.


não amortecido

15

Princípio da Conservação de Energia

A energia potencial U é armazenada na mola em virtude de sua deformação elástica.

Dessa forma como T+U= constante, temos:

As energias cinética e potencial são dadas por

Portanto, podemos escrever a equação como mostrado anteriormente,


não amortecido

16

Equação de movimento de um sistema massa-mola em

posição vertical Considere a configuração do sistema na figura (4.a). A massa está pendurada na

extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior está ligada a um

suporte rígido.


não amortecido

17


posição vertical

Pela figura (4.a) constatamos que, para o equilíbrio estático,


não amortecido

18


posição vertical

Se a massa sofrer uma deflexão até uma distância +x, então a

força da mola (como mostrado na figura 4c) é:

Visto que k𝛿𝑠𝑡 = 𝑊, obtemos:

Portanto, podemos ignorar o peso de uma massa que se movimenta verticalmente

contanto que seu deslocamento x seja medido em relação à posição de equilíbrio estático.


não amortecido

19

Solução da equação do movimento

Para resolver a equação (2.3), pode-se admitir que

Onde C e s são constantes a determinar. A substituição da

equação (2.11) na equação (2.3), resulta em:

Como C não pode ser zero, temos


não amortecido

20


E, por consequência,

Onde 𝑖 = −11

2 e

A equação (2.12) é denominada equação característica;

Os dois valores de s são as raízes da equação característica

(chamados autovalores do problema);


não amortecido

21


Uma vez que ambos os valores de s satisfazem a equação

(2.12), a solução geral da equação (2.3) pode ser expressa

como

Onde 𝐶1 𝑒 𝐶2 são constantes. Usando as identidades

A equação (2.15) pode ser reescrita como

Onde 𝐴1 𝑒 𝐴2 são novas constantes. Todas as constantes

podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema.


não amortecido

22


O número de condições a especificar é igual à ordem a

equação diferencial governante.

No caso, se os valores de deslocamento e da velocidade forem

especificados como 𝑥0 𝑒 𝑥 0 𝑒𝑚 𝑡 = 0, temos que pela equação

(2.16)

Assim, a solução da equação (2.3) sujeita às condições iniciais

da equação (2.17) é dada por


não amortecido

23

Movimento Harmônico


não amortecido

24


A quantidade 𝜔𝑛 representa a frequência natural de vibração

do sistema.

A equação (2,16) pode ser escrita de maneira diferente com a

introdução da notação:

Onde 𝐴 𝑒 𝜑 são as novas constantes, que podem ser expressas

como:


não amortecido

25


Introduzindo a equação (2.19) na equação (2.16), a solução

pode ser escrita como:

Usando as relações:

A equação (2.16) pode ser expressa como:


não amortecido

26


Onde

e

O ângulo de fase também pode ser interpretado como o

ângulo entre a origem e o primeiro pico.


não amortecido

27


Observe os seguintes aspectos do sistema massa-mola:

1. Se o sistema massa-mola estiver em uma posição vertical, como

mencionado anteriormente, a frequência natural pode ser expresso

como:

A constante elástica da mola k, pode ser expressa em termos da

massa m

Substituindo o valor de k na equação (2.26) temos:


não amortecido

28


Por consequência, a frequência natural em ciclos por segundo e o

período natural são dados por

Assim, quando a massa vibra em sentido vertical, podemos calcular a

frequência natural e o período de vibração pela simples medição da

deflexão estática 𝛿𝑠𝑡 . Não é necessário saber qual é a rigidez da mola k,

e a massa m.


não amortecido

29


2. Pela equação (2.21), a velocidade e a aceleração da massa m pode

ser obtida como

3. Se o deslocamento inicial for zero, a equação (2.21) torna-se

Contudo, se a velocidade inicial for zero, a solução torna-se

Vibração livre de um sistema torcional não

amortecido

30

Sistema Torcional

Se um corpo rígido oscilar em relação a um eixo de referência específico, o movimento resultante será denominado vibração por torção.

Nesse caso, o deslocamento do corpo é medido em termos de coordenada angular.

Em um problema de vibração por torção, o momento restaurador pode ser resultante da torção e de um membro elástico ou de um momento desbalanceado de uma força ou conjugado.


amortecido

31

Sistema Torcional

Equação de Movimento

Considerando o diagrama de corpo livre do disco, podemos derivar a

equação de movimento aplicando a segunda lei de movimento de

Newton.


amortecido

32

Sistema Torcional

Equação de Movimento

A frequência natural do sistema torcional é

E o período e a frequência de vibração em ciclos por segundo são:


amortecido

33

Sistema Torcional

Solução

A solução geral da equação (2.40) pode ser obtida como no caso da

equação (2.3)

Por consequência, as constantes 𝐴1 𝑒 𝐴2 podem ser determinadas

como

Método da Energia de Rayleigh

34

As frequências naturais do sistema serão determinadas

agora pelo método da energia.

O princípio da conservação de energia pode ser

enunciado novamente como

O índice 1 denota o equilíbrio estático e escolhemos

𝑈1 = 0 como referência energia potencial.

O índice 2 corresponde ao máximo deslocamento da

massa, temos 𝑇2 = 0.

Método da Energia de Rayleigh

35

Assim, a equação (2.55) torna-se

Se o sistema estiver em movimento harmônico,

então𝑇1 𝑒 𝑈2 denotam os valores máximos das energias

cinética e potencial, respectivamente, e a equação (2.56)

torna-se

A aplicação dessa equação, que também é conhecida

como método da energia de Rayleigh, dá a frequência

natural do sistema diretamente.

Vibração Livre com Amortecimento Viscoso

36

A figura abaixo apresenta um sistema com um grau de

liberdade com um amortecedor viscoso.

Se x for medida em relação à posição de equilíbrio da

massa m, teremos:


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Solução

Para solucionar a equação (2.59), admitimos a solução na

forma:

A inserção dessa função na equação (2.59) resulta na equação

característica

Cujas as raízes são

Estas raízes dão duas soluções para a equação (2.59):


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Solução

Assim, a solução geral da equação (2.59) é dada por uma combinação de

duas soluções:

Constante de Amortecimento crítico e Fator de Amortecimento

O amortecimento crítico 𝑐𝑐 é definido como o valor da constante de

amortecimento c para o qual o radical da equação (2.62) torna-se zero:


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Constante de Amortecimento crítico e Fator de Amortecimento

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento ζ é

definido como a razão entre a constante de amortecimento e a

constante de amortecimento crítico.

Pelas equações (2.65) e (2.66), podemos escrever as equações

Por consequência,

Assim, a solução da equação (2.64) pode ser escrita como


40

Caso 1. Sistema criticamente amortecido

(ζ=0 ou 𝑐𝑐 = 𝑐 ou 𝑐 2𝑚 = 𝑘 𝑚 ).

Caso 2. Sistema Superamortecido

(𝜁 > 1 𝑜𝑢 𝑐 > 𝑐𝑐 𝑜𝑢 𝑐 2𝑚 > 𝑘 𝑚 ).

Caso 3. Sistema Subamortecido

(𝜁 < 1 𝑜𝑢 𝑐 < 𝑐𝑐 𝑜𝑢 𝑐 2𝑚 < 𝑘 𝑚 ).

Exercícios

41

Capítulo 2.

2.44/ 2.90/ 2.91/ 2.114/ Exemplo 2.11

42

OBRIGADA!! :D

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