aula3p1

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ROBTICAHelder Anibal Hermini

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Aula 3

Modelagem Cinemtica de Robs

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Sistemas de Refernciae

Transformao de Coordenadas

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Transformao omog!nea

=

w

z

y

x

V

Um ponto V no espao pode ser representado emcoordenadas homogneas por,

onde

321 vwz,v

wy,v

wx ===

e w o fator de escala real e no nulo.

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Translao

" #oss$%el transladar um &onto u nasdire'es () *) e + ou em uma direo arbitrria)a &artir da a&licao da relao

=

1000

z100

y010

x001

)z,y,trans(xT0

0

0

000

com a relao

v = T . u

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Considere a transformao ,omog!nea

-.em&lo /

=

1000

0100

0010

1001

T e o &onto

1

0

0

1

u

=

A transformao ,omog!nea T) transformao &onto u em um &onto %)

v = T. u =

=

1

0

02

1

0

01

1000

0100

00101001

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Transladar o ponto v(1,0,0) de 1 unidade na

direo , ! na direo " e # na direo $.

%&emplo !

10

0

1

10003100

2010

1001

(1,2,3)transv

==

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RotaoConsidere os pontos u e v , representados na fi'ura.

Suas representaes no plano so u(&u, u) e v(&v,v)respectivamente. Considere ainda *ue o ponto u foi transformado no

ponto v, atrav+s de uma rotao, em torno da ori'em, de um n'ulo

,no sentido anti-or/rio.

2

v

2

v

2

u

2

u

1v

1v

1u

1u

yxyxr

senry

cosrx

e

senrycosrx

1

2

3

4

rotao em z

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esenvolvendo as e*uaes 1 e ! e usando as e*uaes # e ,tem-se

sen.senrcos.cosrx11v sen.ycos.xx uuv

sen.cosrcos.senry 11v sen.ycos.yy uuv

5

2s e*uaes 3 e 4 podem ser escritas, ento5

uuv ysenxcosx

uuv ycosxseny

ou na forma vetorial

=

u

u

v

v

y

x

cossen

sencos

y

x!

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6ara o espao tridimensional a e*uao 7 pode ser reescritana forma vetorial5

=

u

u

u

v

v

v

z

y

x

.

100

0cossen

0sencos

z

y

x

ou ainda em coordenadas omo'neas,

=

1z

y

x

.

10000100

00cossen

00sencos

1z

y

x

u

u

u

v

v

v

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Resumindo, as matri8es transformao omo'nea de rotaoem torno dos trs ei&os so5

1000

0100

00cossen

00sencos

Z,ot

=

1000

0cossen0

0sencos0

0001

!,ot

=

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

",ot

=

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Modelagem Cinemtica 0iretae In%ersa de Mani&uladores

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#$%&'$ *+T$ %&T$

A+&- %A- /*TA-

#roblema Cinemtico de Mani&uladores

$-$ & $&*TA$

%$ &&T/A%$ %$ $45

#$%&'$ *+T$ *&-$

$-$ & $&*TA$%$ &&T/A%$ %$ $45

A+&- %A- /*TA-

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6ro9lema Cinem/tico ireto

"alcular a matr#$ de transformao homognea %ue relac#ona a #&s#ma refernc#a com a refernc#a #&1. 'ara #sto fa$&se uso dospar(metros de todas as )untas*

+endo o t#do todas as matr#$es +#&1# , otm&se +-n atras de*

n1n

32

21

10

n0 T...T.T.TT

"omo +-n depende das ar#/e#s das )untas, o prolema

c#nem/t#co d#reto se resole com a oteno da matr#$ detransformao homognea %ue fornece pos#o e or#entao daponta do ro0 em relao a ase.

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Representao de enavit-:artem9er'

1u&on,a 2ue doissistemas de coordenadascoincidentes) (*+ e(/*/+/4

A transformao,omog!nea 2ue relacionaesses sistemas 5 a matri6identidade

=

1000

0100

00100001

1T10

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#ro%oca7se uma rotao

de em relao ao ei.o +)atra%5s da transformao

=

1000

0100

00cossen

00sen6cos

)z,ot(0

=

1000

0100

00cossen

00sen6cos

)z,ot(.T 01

0

A no%a matri6 5 agoradada &or

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A seguir translada7se o

sistema (/*/+/ de d unidadesao longo de +/4 A matri6 ficaento)

=

1000

d100

00cossen

00sen6cos

d0,0,Trans).z,ot(T 01

0

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Translada7se o sistema (/ */

+/ de a unidades ao longo doei.o (/4 A no%a matri6 5 dada&or

=

1000

d100

00cossen

a0sen6cos

00,a,Trans.d0,0,Trans).z,ot(T 010

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Representao de enavit-:artem9er'8inalmente) &ro%oca7se uma

rotao do sistema (/ */ +/de )em torno do ei.o (/4 -sta 9ltimatransformao dei.a a matri6 como

=

1000

dcossen0

a.sen.cossen6cos.cossen

a.cos.sensen.sencos6cos

)x,ot(.00,a,.Transd0,0,Trans).z,ot(T 101

0

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C;

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'asso 1 Estabelecer o eixo zdos sistemas de coordenadas

de cada elo nos eixos de cada

junta da estrutura, ou nadireo do deslocamento das

junta prismticas.

'asso 2 Colocar a origemdo sistema de coordenadas

referencial, no eixo z da junta

do primeiro elo.

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'asso 3 Estabelecer aorigem do sistema de

coordenadas na linha

ortogonal aos eixos z dos

sistemas de coordenadas decada par de elos para toda a

estrutura.

'asso 4 Definir o eixo x decada do sistema de

coordenadas na linha

ortogonal aos eixos z dos

sistemas de coordenadas decada par de elos para toda a

estrutura, definido o sentido do

eixo pela regra da mo direita

do eixo de maior ordem para o

de menor ordem.

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'asso 5 Definir o eixo decada sistema de coordenadas

pela regra da mo direita.

'asso Definir o sistema decoordenadas da garra,

conforme o passo ! indicado na

figura ".".

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'asso ! Estabelecer os #par$metros da con%eno de

Dena%it&'artenberg, onde(

) uma rotao do eixo xi&*

para o

eixo xiem torno de z

i-1.

d) um deslocamento ao longo doeixo z

i - 1, da origem o

i -1at o eixo x

i.

a um alongamento ou

comprimento ao longo do eixo xidaorigem o

iat) o eixo z

i -1.

) uma rotao do eixo z i - 1

ao

eixo zitorno do eixoxi.

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'asso Determinar matrizes de transforma+es homogneas entre cada par de elos.

'asso Determinar matrizes de transforma+es homogneas entre cada par de elos e abase. - matriz de transformao homognea entre o elemento final e a base define o modelo

cinemtico direto do rob.

+# 1

. 2

... n

1000

dcs0

sascccscasscsc

Aiii

iiiiiii

iiiiiii

i

=6e a )unta for rotac#onal

6e a )unta for pr#sm/t#ca

1000

dcs0

0scccs

0sscsc

Aiii

iiiii

iiiii

i

=

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Exemplo deExemplo deImplementao deImplementao de

estabelecimento deestabelecimento deparmetros pelo mtodoparmetros pelo mtodode Denavit-Hartembergde Denavit-Hartemberg

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6armetros G : para o Ro9H 6FA2 340

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Aatri8es de transformao omo'nea para o Ro9H 6FA2 340

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Fm sistema 2rticulado pode ser representadomatem/ticamente por n corpos mIveis C i (i = 1, !,..., n) ede um Corpo fi&o, acoplado por n articulaes, formandouma estrutura em cadeia, e as Euntas podem serrotacionais ou prism/ticas. 6ara representar assituaes relativas dos v/rios corpos da cadeia, +fi&ado para cada elemento Cium referencial Ri.

%&*$ %& --TA- %& $$%&*A%A-AA #$%&'$- AT/'A%$-

A #atriz de Trans7orma89o de oordenadas

!i, "i, Zi -istema de e7er:ncia

'i etor de Transla89o

$i

$ri;em

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%SCR@>?; A2T%AJT@C2

6odemos relacionar um certo referencial RiK1(oiK1, &iK1, iK1,8iK1) com um previamente Ri(oi, &i, i, 8i), como tam9+m as

coordenadas de sistema de ori'em 9/sico poro iK1= oiK 2 i,iK1L Mi

;nde 2 + a matri8 de ;rientao

2i, iK1= 21, !.2!, #. ... 2i, iK1

;nde Mi + o vetor de translao entre uma ori'em e aoutra.

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%specificaes de 6osio e ;rientao do %fetuador

N/ foram vistas trs coisas muito importantes, no*ue di8 respeito O cinem/tica de ro9Hs, a sa9er5

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n = n&nn8T etor normal do efetuador e tem direo orto'onal aos

vetores o e a

s = s&ss8T etor de desli8amento e aponta na direo dos movimentos de

a9ertura e fecamento dos dedos da mo

a = a&aa8 T etor de apro&imao e aponta na direo normal a palma da

mo

p = p& p p8T etor posio e aponta da ori'em do sistema de coordenadas

da 9ase at+ a ori'em do sistema de coordenadas da mo.

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Un'ulos de %uler e R6"

matr#$ de or#entao espac#al de um ro0

poder/ ser e7pressa atras das componentes dosersores de or#entao n, s e a, ou atras de trs(ngulos. 8ormalmente em apl#ca9es #ndustr#as sout#l#$ados (ngulos :uler ou ;'< =;oll, '#tch e para descr#o da or#entao de um corpo r?g#do noespao.

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( ) ( ) ( ) ( )= z,ROT.y,ROT.z,ROT,,EULER

Un'ulos de %uler

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CLCULO DOS NGULOS DE EULER A PARTIR DA MATRIZ DE ORIENTAO

(, , )

CLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAO A PARTIR DOSANGULOS DE EULER

(

,

,

)

ORIENTAO DO EFETUADOR

( )

+

=

CSSCS

SSCCCSSSCSCS

CSCSCSCSSCCC

,,EULER

/*#0

2ATANy

x

=

a-

a

=

yx2ATAN

a

aC-as

+

=

yx

yx

nSnC

SS2ATAN

aC-

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Un'ulos R6"

( ) ( ) ( ) ( )= z,ROT.y,ROT.z,ROT,,!"R

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CLCULO DOS NGULOS RPY A PARTIR DA MATRIZ DE ORIENTAO

(, , )

CLCULO DA MATRIZ DE ORIENTAO A PARTIR DOS ANGULOS RPY

(

,

,

)

ORIENTAO DO EFETUADOR

2ATANx

y

=

n

n

+

=yx

nSnC

n2ATAN

+

=

yx

yx

sCsS

C2ATAN

aaS

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6ro9lema Cinem/tico @nversoA necessidade da obten89o de re7er:ncias em coordenadas an;ulares,

corres n9o linear e com

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# A trans7orma89o de coordenadas de um rob com n ;raus deliberdade revolutos

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# *o caso da trans7orma89o inversa de coordenadas, uma

determinada

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Matri6 :acobiana# %ada uma con7i;ura89o inicial Boe !o

de um rob, as coordenadas ! do

elemento terminal s9o descritas

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# A matriz acobiana () serC de7inida como?

Matri6 :acobiana

( )

=

n

mmm

n

n

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

q

F

qJ

......

...............

......

......

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

ara uma rob, as coordenadas de seu elementoterminal ser9o descritas atrav>s de um vetor

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@nverso da Aatri8 Naco9iana(Controle de 6osio de uma prItese)

# $ controle de uma

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Mal,a de Controle de #osio

A

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Mal,a de Controle de #osio

inalmente, a obten89o da matriz acobiana, utilizada no m>todo

recursivo uma 7ormamultidimensional da derivada e relaciona a velocidade no es

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Aetodolo'ia da @nversa enerali8ada# &m muitos casos, a solu89o de um sistema de eBua8Kes lineares existe,

mesmo Buando a inversa da matriz n9o existe. &ste *

iv) Auando usadas no lugar da #nersa, dee ser capa$ de proporc#onar respostassens?e#s para %uest9es #mportantes ta#s como cons#stnc#a das e%ua9es, ousolu9es dos m?n#mos %uadrados.

# A matriz inversa ;eneralizada de uma matriz A deve atender aal;umas das se;uintes

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# #oore e enrose de7iniram a

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