Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de Coimbra

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Luis Adriano Oliveira

Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo

Relações Integrais Aplicadas a Volumes de Controlo

Leis básicas: vocacionadas para sistemas (Lagrange)Mec. dos Fluidos: Euler dominante (volumes de controlo - VC)

Fund.tal associar leis básicas a VC

Basta relacionar as propriedades de um sistema com as de um fluidocontido num VC que, instantaneamente, coincide com o sistema.

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Propried.Intensivas (não dependem: T, p, propr. específicas)

Extensivas (dependem da massa: m, mV, E, volume,…)

Seja N : Propriedade extensiva de densidade mássica η:

sist. sist.N dv= ηρ∫∫∫

Relação entre Sistema e VC 3

sistema que, no instante t, coincide com o VC ALBR :

VC (ligado, portanto, ao sistema de referência oxyz)

Em t+∆t : sistema moveu-se ; VC permaneceu imóvel

Balanço de matéria:

III : matéria que saiu do VC entre t e t+∆t

I : matéria que entrou no VC entre t e t+∆t

II : matéria que, entre t e t+∆t, não deixou de pertencer ao VC

Balanço de N :

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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sist sistt t tt 0sist.

III II II It t tt 0

II II III It t t t t tt 0

N NDN DN limDt Dt t

dv dv dv dvlim

t

dv dv dv dvlim

t t t

+∆∆ →

+∆∆ →

+∆ +∆∆ →

− = = = ∆

ηρ + ηρ − ηρ + ηρ= =

∆ ηρ − ηρ ηρ ηρ = + − ∆ ∆ ∆

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

sist. sist.N dv= ηρ∫∫∫

taxa média de variação de Nem II, entre t e t+∆t

taxa média de saída de N,do VC, entre t e t+∆t

taxa média de entrada de N,no VC, entre t e t+∆t

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( ) ( )II IIt t tVC

dv dvdv

t t+∆

ηρ − ηρ ∂→ ηρ

∆ ∂

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫

∆t 0 :

II VC

( ) ( )( )III It t t

SC

dv dvˆV.n dA

t t+∆

ηρ ηρ− → ηρ

∆ ∆

∫∫∫ ∫∫∫∫∫

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫1.º membro: Lagrange2.º membro: Euler

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VCdv

t∂

ηρ∂ ∫∫∫

( )SCˆV.n dAηρ∫∫

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫

: taxa de variação de N no interior do VC, no instante t

Equação válida num instante t

: fluxo líquido de N através da superfície de controlo, no instante t

DNDt

: taxa de variação de N no interior do sistema que,no instante t, coincide com o VC

Convenção : normal unitária exterior :SC

0> ⇒∫∫ Efluxo resultante

SC0< ⇒∫∫ Influxo resultante

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( )VC SCˆdv V.n dA

t∂

ρ = − ρ∂ ∫∫∫ ∫∫

DM 0Dt

=

Exemplo :conservação de massa (Eq. Integral da Continuidade)

Por definição de sistema

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫

Equação integral de conservação de uma propriedade N :

sist. sist.1 N dv massa do sistema (M)η = ⇒ = ρ =∫∫∫

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Em rigor, qualquer escoamento é 3-D [ex. : u=u(x,y,z)]

Porém, casos há em que é legítimo admitir simplificações (2-D, 1-D)

Escoamentos Tri-, Bi- e Unidimensionais (3-D, 2-D, 1-D)

Equação Integral da Continuidade (ex. 1-D, )

( )VC SCˆdv V.n dA

t∂

ρ = − ρ∂ ∫∫∫ ∫∫

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3V A V A V A 0 m m m−ρ +ρ +ρ = ⇒ = +

0t∂=

∂

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Forças exercidassobre um sistema

Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Linear

de campo (sem contacto, via densid. mássica)

de superfície (ou de contacto)

( ) VCsistP mV Vdv VC sist, em t= = ρ ≡∫∫∫Quant. mov.to :

( )c s

D mVDV DPV N P F F F ma mDt Dt Dt

η ≡ ⇒ ≡ = + = = = =

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫

( )c s VC SCˆF F Vdv V V.n dA

t∂

+ = ρ + ρ∂ ∫∫∫ ∫∫

Eq. vectorial(3 eq. escalares)

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( )s SCˆF V V.n dA= ρ∫∫

Exemplo: te

2

(1 D, / t 0, c. , atrito e peso 0

V ?,F ?)

− ∂ ∂ = ρ = ≅

= =

( )( )

SC

12 2 1 1 2 1SC 2

Cont. : V.dA 0

AV.dA 0 V A V A 0 V VA

ρ = ⇒

⇒ = ⇒ − = ⇒ =

∫∫

∫∫

Quant. de Mov.to:

1 1 2 2 x 2 2 2 1 1 1

2 2 y 2 2 2

p A p A cos F V cos .V A V .V Ap A sin F V sin .V A

− θ+ = ρ θ −ρ− θ+ = ρ θ

- Forças via pa neutralizam-se entre si- Força que o fluido exerce sobre o suporte: F−

11Eq. Integral de Conservação de Quantidade de Movimento Angular

Analogamente:

( ) ( )( )c s VC SCˆM M r V dv r V V.n dA

t∂

+ = ρ Λ + ρ Λ∂ ∫∫∫ ∫∫

c sM , M : Momentos resultantes das forças exercidas sobre o sistema

Eq. vectorial(3 eq. escalares)

Eq. Integral de Conservação de Energia

dQ : calor recebido pelo sistema ; dW : trabalho executado pelo sist.

1.ª lei da Termodinâmica : dE=dQ-dW

Taxas de variação : DE Q WDt

= −

12Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)

( )sist sist sistE e dv N dv e= ρ ↔ = ηρ ∴ η ≡∫∫∫ ∫∫∫

( )VC SCDN ˆdv V.n dADt t

∂= ηρ + ηρ

∂ ∫∫∫ ∫∫

( )VC SCˆQ W e dv e V.n dA

t∂

− = ρ + ρ∂ ∫∫∫ ∫∫

1p2p1u2u

Eq. escalar

WsW

fW

W : trab. executado pelo sist. / tempo

( )SCp V.dA∫∫

: trab. de veio (shaft)

: trab. líquido que sai para vencer pressão

( ) vSC.V dA W− τ =∫∫ : trab. realizado para vencer a viscos.

13Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)

( ) ( )s v SC VC SCˆQ W W p V.dA e dv e V.n dA

t∂

− − − = ρ + ρ∂∫∫ ∫∫∫ ∫∫

2p 1 pˆˆ ˆp e u V gz h u2

= ρ = + + = +ρ ρ

( )2 2

s v VC SCV Vˆ ˆˆQ W W u gz dv h gz V.n dA

t 2 2 ∂

− − = + + ρ + + + ρ ∂ ∫∫∫ ∫∫

14Eq. Integral de Conservação de Energia (cont.)

( )2 2

s v VC SCV Vˆ ˆˆQ W W u gz dv h gz V.n dA

t 2 2 ∂

− − = + + ρ + + + ρ ∂ ∫∫∫ ∫∫

Exemplo :

vAr ( p / RT), W 0, / t 0,1 Dρ = ∂ ∂ = −

tei p ih c T C.= +

22

s 2 2 2

2 23 1

3 3 3 1 1 1

VˆQ W h gz .m2

V Vˆ ˆh gz .m h gz .m2 2

= + + + +

+ + + − + +

15Escoamento de Fluidos Invíscidos

Equação de Bernoulli

( ) 2V 1V.grad V grad p g.grad z . Vt

∂+ = − − + ν∇

∂ ρ

ˆ ˆds ds s grad ss∂

= ⇒ ≡∂

(Eq. Euler)

1 p zˆ ˆ ˆV. Vs s g ss s s∂ ∂ ∂ = − − ∂ ρ ∂ ∂

Projecção sobre uma linha de corrente:

, a multiplicar escalarmente por ds

( 0)t∂=

∂

2V 1 p z 1V. ds ds g. ds d(p V gz) 0s s s 2

∂ ∂ ∂= − − ⇒ + ρ +ρ =

∂ ρ ∂ ∂

2 te1p V gz C.2

+ ρ +ρ = Bernoulli (válida para uma dada l.c.)

16Equação de Bernoulli - Domínios de validade

Equação de Bernoulli vs 1.ª lei da Termodinâmica

12

te1 21 D, c. , / t 0 ( m m m)− ρ = ∂ ∂ = ∴ = =

2 22 1

s v 2 2 2 1 1 1V Vˆ ˆQ W W h gz .m h gz .m

2 2

− − = + + − + +

2 2s v1 1 2 2

1 2 2 1W Wp V p V Qˆ ˆgz gz u u

2 2 m m m

+ + = + + + + + − − ρ ρ

17Equação de Bernoulli - Aplicações

- Tubo de Pitot Medição da velocidade (já visto)- Medidor de Venturi- Medidor de Diafragma- Medidor de Bocal Medição directa do caudal- Descarregador Rectangular- Descarregador Triangular

Medidor de Venturi

( )2

22 1 2 2 2 d d

1

AV 2 p p / 1 Q A V .C 0.95 C 1A

= − ρ − ⇒ = ≤ <

21 2

1

AContinuidade : V VA

=

2 21 1 1 2 2 2

1 1Bernoulli : p V gz p V gz2 2

+ ρ +ρ = + ρ +ρ

(Calibração)

18Equação de Bernoulli - Aplicações

Medidor de Diafragma

Vena Contracta : A2 = ?

2 0A C'A=

( ) ( )22 2 d 0 1 2 0 1Q C.A V C .A 2 / p p / 1 A / A= = ρ − −

( ) ( )2 22d 0 1 0 1C CC' 1 A / A / 1 C ' A / A 0.6, via calibraçao= − − ≈

Reservatório aberto para a atmosfera

1 0A A>> ⇒

( )d d 0 1 2C C.C ' , Q C A 2 / p p≅ ≅ ρ −

1 2 2p gh , p 0 V 2gh= ρ = ⇒ =

d 0Q C A 2gh=

19Equação de Bernoulli - Aplicações

Medidor de Bocal

Em tudo análogo ao medidor de diafragma

Descarregadores (Rectangular, triangular)

3 / 2d d

2dQ C . 2gh.L.dh Q 2g.C .L.H3

= ⇒ =

( ) 5 / 2d

8Triangular : dA 2 H h tg dh Q 2gC tg H2 15 2θ θ

= − ⇒ =