Curso de Mat.1 / 2ª SÉRIE / Bimestre 3 / Professor Robson / 2013

Sugestões de Textos 1) Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 10, 6ª Edição; Atual Editora2) Matemática do Ensino Médio, Volume 2, 6ª Edição; SBM3) Medida e Forma em Geometria, Elon Lages Lima, SBM

Programa:

3º Bimestre: Pirâmide, Cone e Esfera (incluindo fusos e cunhas esféricas)

4º Bimestre: Troncos de Prismas, Cilindros, Cones e Pirâmides; Problemas de Inscrição e Circunscrição de Sólidos

Introdução: Estudamos Prismas e Cilindros em momentos distintos. Isto é feito por questões didáticas. Na verdade existe uma definição única para esses sólidos. O mesmo ocorre em relação a definição de Pirâmides e Cones. Manteremos o procedimento já adotado. Na referência 3, a definição única é adotada. Trata-se de um clássico no tratamento de semelhanças, áreas e volumes.

Começaremos definindo semelhança de figuras planas e espaciais.

DefiniçãoSejam F e F’ duas figuras planas ou espaciais e r um número real positivo. Diz-se que F e F’ são Semelhantes, com Razão de Semelhança r, quando existe uma correspondência biunívoca (função bijetora) s :F→F ' , entre os pontos de F e os pontos de F’, com a seguinte propriedade:

Se X, Y são pontos quaisquer de F e X '=s (X ) , Y '=s (Y ) são seus correspondentes em F’, então X ' Y '=r⋅XY .

Obs.: Repare que a definição não envolve congruência de ângulos correspondentes, ou seja, tal congruência é uma consequência da definição.

Teorema 1) As áreas (volumes) de duas figuras semelhantes estão entre si como o quadrado (cubo) da razão de semelhança.

Pirâmide

Definição

Consideremos um polígono convexo A1 A2 .. . An situado num plano α e um ponto V situado fora de α . Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) P à reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra no polígono. Na figura-1, temos uma pirâmide triangular V-ABC.

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Elementos de uma Pirâmide: Tomando a figura-1 como exemplo,V = vérticeABC= baseAB ,BC , AC = arestas da base VAB,VBC ,VAC= faces lateraisVA ,VB ,VC = arestas lateraish=altura= distância de V a α=VV’, onde V’=projeção ortogonal de V sobre α

Algumas Definições, Terminologias e Simbologias SL= Área lateral = soma das áreas das faces laterais (que são triângulos)

ST=S L+SB = Área Total = soma da Área Lateral com a Área da Base

Dizemos que uma pirâmide é Regular se for verdade que a sua base é um polígono regular e que V’ coincide com o centro O da base. Neste caso, as faces laterais de P são triângulos isósceles congruentes. Sugestão: desenhe uma pirâmide triangular regular e uma pirâmide quadrangular não regular.

Apótema de uma Pirâmide Regular = altura de uma face lateral em relação a uma aresta da base

Apótema da Base de uma Pirâmide Regular = distância do centro a um lado da base

V (V−A1A2 . .. An )= volume da pirâmide de vértice V e cuja base é o polígono convexo A1 A2 .. . An

P é uma Pirâmide Triangular, Quadrangular, Pentagonal, etc, quando sua base é um triângulo,

quadrilátero, pentágono, etc, respectivamente.

Teorema 2)

Se P1 , P2 são duas pirâmides de mesma altura e bases equivalentes (mesma área), então

V (P1)=V (P2 ).

Para demonstrar esse teorema (em sala) usaremos o seguinte

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Lema: Se p’ é o polígono gerado pela intersecção de uma pirâmide (qualquer) com um plano paralelo à

base p da pirâmide, então p e p’ são polígonos semelhantes.

Teorema 3)

Se P é uma pirâmide de altura h, Então V (P )=1

3SB .h

.Obs.: Esse teorema, que é uma consequência (Corolário) do teorema 2, será demonstrado em sala.

Definição: Seccionando uma pirâmide P por um plano paralelo ao plano da base, geramos dois sólidos: o sólido que contem o vértice, que é uma nova pirâmide P’, e o sólido que contem a base da pirâmide dada que é um Tronco de Pirâmide de Bases Paralelas T.

Podemos provar que P e P’ são sólidos semelhantes.

Se h, h’, s e s’, v e v’ são, respectivamente, comprimentos de segmentos correspondentes, áreas de superfícies correspondentes e frações de volumes correspondentes de P e P’ (ou de dois sólidos

semelhantes quaisquer), fazendo r= h

h ' = razão de semelhança entre P e P’, então

ss '

=( hh ' )2

evv '

=( hh ' )3

.

Obs.:

1) Esse resultado é uma consequência do teorema 1, pois

hh ' = razão de semelhança entre as pirâmides.

2) Desenhe um tronco triangular de bases paralelas.3)Repare que o volume de T bem como sua área lateral podem ser obtidos a partir dos volumes e das áreas laterais de P e P’ (exatamente de que maneira?). 4) A definição e os resultados sobre tronco de pirâmides de bases paralelas se estendem para o que chamamos de Troncos de Cones de Bases Paralelas.

Teorema 4) Se B e b são as áreas das bases de T e h é a altura de T, Então

V (T )=13h (b+√b .B+B ).

Obs.: Caso T seja um tronco de cone de bases paralelas com raios R e r, tem-se que

V (T )=13h (π⋅R2+√π⋅R2⋅π⋅r2+π⋅r2 )⇒V (T )=1

3πh (R2+R⋅r+r2) .

Exercícios:

1) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema é 8m sabendo que o

apótema da base mede 6m.2) Calcular a área total de uma pirâmide triangular regular de apótema 12m sabendo que o raio da

circunferência circunscrita à base é

5√33

m .

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3) A base de uma pirâmide tem 225m2 .

A 2/3 de uma aresta, a partir do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. Calcular a área da secção plana determinada.

4) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a?

5) No cubo de aresta a mostrado na figura adiante, X e Y são pontos médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE. Calcule, em função de a:a) o comprimento de XY b) a área da base da pirâmide c) o volume da pirâmide.

6) Dado um cubo de aresta (L), qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo?7) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à aresta OA. Se “a” expressa a medida de MN, determine o volume da pirâmide em função de “a” .

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8) Um tetraedro regular, cujas arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T.a) Calcule a altura do tetraedro ABCDb) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular.c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST.9) Calcule a altura H e o seno do ângulo diedro formado por duas faces quaisquer de um tetraedro regular cujas arestas medem “a”cm.

10) Determine a medida da altura e da aresta lateral de uma pirâmide que tem por base um triângulo eqüilátero de lado 16cm, sabendo que as faces laterais formam com o plano da base ângulos de 60º.11) Um tetraedro regular SABC de aresta “a” é cortado por um plano que passa pelo vértice A e pelos pontos D e E situados respectivamente sobre as arestas SB e SC. Sabendo que SD = SE =(1/4)SC, ache o volume da pirâmide ASDE.

12) Calcule a área da secção determinada em um tetraedro regular, por um plano que contém uma aresta

do tetraedro e é perpendicular à aresta oposta, sabendo que a área total do tetraedro vale 64 √3 m2 .13) O plano que dista 3m da base de uma pirâmide secciona-a segundo um polígono de área 8m2. Calcule

o volume da pirâmide, sabendo que a sua base tem área igual a 18m2.14) Duas pirâmides de alturas iguais tem suas bases sobre o mesmo plano. Um plano secciona as duas pirâmides paralelamente às bases, determinando na primeira pirâmide uma secção de área 144cm2. Obtenha a área determinada pelo plano na segunda pirâmide, sabendo que as áreas das bases das pirâmides são respectivamente 225cm2 e 900cm2.15) As bases de um tronco de pirâmide são dois pentágonos regulares cujos lados medem 5dm e 3dm, respectivamente. Sendo essas bases paralelas e a medida do apótema do tronco de pirâmide 10dm, determine a área total e o volume desse tronco.16) Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 4dm de altura cujas bases tem área 36dm2 e 144dm2.

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Cone

Definição Consideremos um círculo de centro O e raio R situado num plano α e um ponto V situado fora de α . Chama-se cone circular ou cone C à reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra no círculo.

Elementos de um Cone: Tomando a figura-1 como exemplo, V = vérticeλ (O , R ) = círculo de centro O e raio R = baseVP = geratriz quando P pertence à circunferência da baseh=altura= distância do vértice ao plano da base=VV’VO=eixo do cone

Algumas Definições : C é um cone Oblíquo quando a reta quando VO é oblíquo ao plano da base.

C é um cone Reto ou de Revolução quando VO é perpendicular ao plano da base. Repare que as geratrizes de um cone reto tem todas o mesmo comprimento (que denotaremos por g). Desenhe um cone oblíquo e um cone reto.

Secção Meridiana = É a intersecção do cone com um plano que contém VO. Repare que a secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.

Cone Eqüilátero = É um cone reto quando suas secções meridianas são triângulos eqüiláteros (ou seja, quando g = 2r)

Teorema 5)

Se C é um cone reto de geratriz g e cuja base tem raio R, então SL=π⋅R⋅g .

Obs.: O cálculo da área lateral de um cone oblíquo não pode ser obtida, tal como a área lateral de cilindros

circulares oblíquos, através de resultados da matemática elementar (sem o cálculo diferencial e integral).

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Teorema 6)

Se C1 ,C2 são dois cones de mesma altura e bases equivalentes, então V (C1)=V (C2 )

.

Obs.: A demonstração deste teorema é inteiramente similar a demonstração do teorema 2.

Teorema 7)

Se C é um cone cuja base tem raio R e cuja altura mede h, Então V (C )=1

3SB .h=

13π⋅R2⋅h .

Obs.: Esse teorema será demonstrado em sala.

Exercícios:

1) Calcular a altura, a área total e o volume de um cone reto cuja geratriz mede 65cm e cuja altura mede

56cm.2) Calcular a área total de um cone cuja secção meridiana é um triângulo eqüilátero de 8dm de lado.3) Calcular a área total de um cone cuja altura mede 12cm e forma um ângulo de 45º com a geratriz.4) Calcular a razão entre o raio da base e a geratriz de um cone de revolução, sabendo que o desenvolvimento da sua superfície lateral (ou seja, a sua superfície lateral planificada...) é um setor circular cujo ângulo mede 60º.5) Calcular o ângulo central de um setor obtido pela planificação da superfície lateral de um cone cujo raio da base mede 1cm e cuja altura é 3cm.6) Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a medida do raio da

base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede 4 √6cm . 7) Calcule o volume V de um cone de revolução em função da sua área lateral A e de sua área total S.8) Mostre que a relação abaixo, entre o volume V, a área lateral A e a área total S de um cone de revolução é verdadeira.

9 πV 2=S (S−A ) (2 A−S ) .

9) Um cone circular tem raio 2m e altura 4m. Qual é a área da secção transversal feita por um plano distante 1m do seu vértice?10) Dado um cone circular reto e um cilindro circular reto de mesma altura e mesma base, mostre que a área lateral do cilindro é menor que duas vezes a área lateral do cone.

11) A área lateral de um tronco de cone vale 560 π cm2 .O raio da base maior e a geratriz tem medidas iguais. O raio da base menor vale 8cm e a altura do tronco mede 16cm. Determine a geratriz e o volume desse tronco.

12) A medida do raio da base menor de um tronco de cone é 10cm e a geratriz forma com a altura um

ângulo de 45º. Determine a medida do raio da base maior, sabendo que o volume do tronco de cone é

399 π cm3 .

Esfera

Definição Consideremos um ponto O e uma distância R. Chama-se esfera de centro O e raio R (simbolicamente E(O,R)) ao conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias a O são menores ou iguais a R. Desenhe uma esfera de centro O e raio R. Reescrevendo a definição via a linguagem de conjuntos, teremos

E (O ,R )={P do espaço /PO≤R }.

Obs.:

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1) Chama-se de superfície da esfera de centro O e raio R ao conjunto dos pontos do espaço que distam R do ponto O.2) A esfera também é um sólido de revolução (assim como os cilindros e cones retos) gerado pela rotação (de 360º) de um semicírculo em torno de um eixo que contem seu diâmetro. Assim, a superfície de uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo de rotação.

Teorema 8) Toda secção plana de uma esfera é um círculo e este círculo terá área máxima quando o

plano secante passar pelo centro O. Demonstre esse teorema.

Teorema 9) A área superficial S e o volume V de uma esfera de raio R são obtidos, respectivamente, pelas

seguintes relações:

S=4 π⋅R2 e V=43π⋅R3 .

Obs.: Esse teorema será demonstrado em sala.

Definições

Fuso Esférico é a superfície definida pela intersecção da superfície de uma esfera com um diedro cuja

aresta contém um diâmetro dessa esfera e Cunha Esférica é o sólido definido pela intersecção de uma

esfera com um diedro cuja aresta contem um diâmetro dessa esfera.

Sugestão: Desenhe um fuso e uma cunha.

Teorema 10) A área S e o volume V de uma cunha definidos por um diedro de medida α numa esfera de

raio R são obtidos, respectivamente, pelas seguintes relações:

S=α360

.4 π⋅R2=α90

⋅π⋅R2 e V=α360

.43π⋅R3=

α270

⋅π⋅R3 , se α é exp resso em graus ou

S=α2π. 4 π⋅R2=2⋅α⋅R2 e V=α

2π.43π⋅R3=2α

3⋅R3 , se α é exp resso em radianos .

Obs.: Para demonstrar esse teorema basta utilizar a proporcionalidade (direta) entre α e a área do fuso e o

volume da cunha. Faça isso!

Exercícios:1) Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20cm, sendo 21cm a distância do plano ao centro da esfera.2) O raio de uma esfera mede 41cm. Determine a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo 40cm e 16cm as respectivas distâncias desses planos ao centro da esfera.3) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25cm de diâmetro. Determine a área lateral do cone, sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.4) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 e 8cm. Calcule a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.5) O raio de uma esfera mede 16cm. De um ponto P situado a 41cm do centro da esfera traçam-se tangentes à esfera. Determine o comprimento dos segmentos com extremidades em P e nos pontos de tangência com a esfera, bem como a distância do centro da esfera ao plano do círculo de contato e o raio desse círculo.

6) Determine o ângulo do fuso de uma esfera, sendo 324 π cm2

a área da esfera e 54 π cm2 a área do fuso.

7) Qual é a área de um fuso de 28º pertencente a uma esfera de 4 π m2de superfície.

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8) Um fuso de 10º de uma esfera de 1cm de raio é equivalente a uma secção plana da esfera. Determine a distância da secção ao centro da esfera.9) Determine as medidas dos raios de duas esferas, sabendo que sua soma vale 20cm e que o fuso de 60º na primeira é equivalente ao fuso de 30º na segunda.10) Calcule o número de brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5cm que podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1,0cm.

Problemas de Inscrição e Circunscrição de SólidosExercícios:1) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 5m3 de volume.2) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54cm2.

3) Calcule o volume de um octaedro regular inscrito em uma esfera de volume igual a 36 π cm3 .

4) Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12cm de diâmetro. Obtenha o volume da esfera.

5) Determine a área total e o volume de um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio 2cm.

6) Um prisma regular hexagonal está inscrito num cilindro equilátero. Obtenha a razão entre as áreas

laterais do prisma e do cilindro.7) Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cone de revolução. O perímetro da base da

pirâmide mede 20√2 cm . Calcule a altura do cone, sabendo que a sua geratriz tem o mesmo comprimento da diagonal da base.8) Calcule o volume do cubo inscrito numa pirâmide quadrangular de 6m de altura e 3m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as arestas da pirâmide.9) Determine o volume do cilindro equilátero inscrito num cone de revolução, sendo 24cm a altura do cone e 12cm o raio da base do cone.10) Determine a área de uma esfera inscrita num cilindro de revolução cuja secção meridiana tem 25cm2

de área.11) Em uma esfera de raio r, inscrevemos um cilindro de modo que o raio da esfera seja igual ao diâmetro do cilindro. Calcule a área lateral, a área total e o volume do cilindro em função de r.12) Determine o volume e a área lateral de um cone em função da altura h do cone e do raio r de uma esfera inscrita nesse cone.13) Determine a altura de um cone reto inscrito numa esfera de raio igual a 18cm, sendo a área lateral do cone o dobro da área da base.14) Calcule o volume da esfera inscrita num tronco de cone circular reto cujos raios das bases medem 1m e 4m.15) Determine o volume de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de 10cm de raio, sabendo que o raio da base maior do tronco é o quádruplo do raio da base menor.16) Sete esferas de 3cm de raio estão no interior de uma lata cilíndrica. Três esferas são tangentes entre si, tangentes à base inferior da lata e tangentes à superfície lateral da lata. Outras três esferas são também tangentes entre si, tangentes à base superior da lata e tangentes à superfície lateral da lata. A sétima esfera é tangente às outras seis. Determine o volume da lata.

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