Avaliação experimental da variação da entropia da informação de escoamentos em meios porosos - Projeto de graduação - Nathan F. Strey

7/23/2019 Avaliao experimental da variao da entropia da informao de escoamentos em meios porosos - Projeto de gr

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO

CENTRO TECNOLGICO

GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

NATHAN FANTECELLE STREY

AVALIAO EXPERIMENTAL DA VARIAO DA ENTROPIA DA

INFORMAO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

VITRIA

2012


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Projeto de Graduao apresentado ao

Departamento de Engenharia Mecnica da

Universidade Federal do Esprito Santo, como

requisito parcial para obteno do ttulo de

Engenheiro Mecnico.

Orientador: Prof. Ms. Rogrio Silveira deQueiroz.

VITRIA

2012


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Projeto de Graduao apresentado ao Departamento de Engenharia Mecnica da Universidade

Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Engenheiro

Mecnico.

Aprovada em ___ de ________ de 2012.

COMISSO EXAMINADORA

__________________________________________________

Prof. Ms. Rogrio Silveira de Queiroz

Universidade Federal do Esprito Santo

Orientador

__________________________________________________

Prof. Dr. Juan Srgio Romero Saenz


__________________________________________________

Prof. Dr. Angelo Gil Pezzino Rangel



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AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer a todos que me apoiaram e incentivaram durante os cinco anos do cursode Engenharia Mecnica e tambm no projeto de pesquisa, no qual me empenhei nos ltimos

dois anos, especialmente:

Os meus familiares que sempre me incentivaram e me deram fora para correr atrs dos meus

sonhos;

Os amigos que me ajudaram a ter nimo para continuar;

Os colegas de turma que compartilharam comigo todos esses anos de estudo;

Todos os servidores da universidade;

Os professores que me ensinaram um pouco do que sabem durante este perodo;

Todos os colegas de laboratrio que me ajudaram no projeto;

O Professor Rogrio Silveira de Queiroz, pelo seu vasto conhecimento, experincia e

compreenso mostrados durante o perodo do projeto, pela indicao do tema e por ter

aceitado gentilmente a tarefa de ser meu orientador;

A Agncia Nacional do Petrleo, Gs Natural e Biocombustveis (ANP), FINEP

(Financiadora de Estudos e Projetos) e ao Ministrio da Cincia e Tecnologia pelo grande

incentivo ao estudo e pesquisa dado ao instituir o Programa de Recursos Humanos na

Universidade.


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RESUMO

Uma avaliao experimental da taxa de variao da entropia da informao normalizada deescoamentos em meios porosos foi realizada, a fim de se obter uma caracterizao utilizando

descritores otimizados, sendo eles porosidade do meio, tipo e vazo de fluido. Os

experimentos consistiram em bombear um fluido contendo um traador fluorescente numa

clula experimental contendo um meio poroso e capturar imagens do escoamento que foram

avaliadas de acordo com a teoria da entropia de informao de Shannon. Os experimentos

visaram a simular o processo de recuperao secundria de petrleo, cuja descrio

matemtica ainda um desafio, representando um passo para alcanar o entendimento do

fenmeno. Tcnicas estatsticas foram utilizadas para obter concluses adequadas dos

experimentos. Como resultado, observou-se a influncia, ou no, dos parmetros avaliados na

taxa de variao de entropia da informao.

Palavras-chave: Entropia da informao. Recuperao secundria de petrleo. Meio poroso.


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ABSTRACT

An experimental evaluation of the rate of change of the normalized information entropy ofporous media was performed in order to obtain a characterization using optimized descriptors,

being them porosity of the media, type and flow of fluid. The experiment consisted of

pumping a fluid containing a fluorescent tracer in an experimental cell containing a porous

media and capturing images which have been evaluated according to the theory of Shannon

information entropy. The experiments intended to simulate the secondary petroleum recovery

process, for which a mathematical description is still a challenge, representing a step towards

understanding the phenomenon. Statistical techniques were used to obtain appropriate

conclusions from experiments. As result, it was observed the influence of the evaluated

parameters on the rate of change in information entropy.

Keywords: Information entropy. Secondary petroleum recovery. Porous media.


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1Processos de recuperao de petrleo .................................................................

Figura 2 - Microfotografia de uma rocha reservatrio contendo leo ..................................

Figura 3 - Ilustrao da molhabilidade com ngulos de contato para diferentes fluidos .....

Figura 4 - Representao da tenso superficial entre ar e gua num tubo capilar ................

Figura 5 - Fotografia de uma populao de 625 partculas que interagem numa regio de

tamanho 50x50 e que representam uma microestrutura bifsica em evoluo ....................

Figura 6 Imagens de filmes granulares de ouro mostrando o comprimento timo deentropia .................................................................................................................................

Figura 7 Diagrama de Ishikawa apresentando os fatores que influenciam no valor da

entropia .................................................................................................................................

Figura 8 - Diagrama de Ishikawa apresentando as provveis fontes de erro do

experimento ..........................................................................................................................

Figura 9 - Organograma mostrando a estrutura de organizao dos experimentos .............

Figura 10Esquema de montagem do aparato experimental ..............................................

Figura 11 - Detalhes da caixa contendo o meio poroso com indicaes de cada elemento

que a constitui .......................................................................................................................

Figura 12 - Teste em tubo de ensaio do efeito de fluorescncia da Rodamina 6G em

glicerina ................................................................................................................................

Figura 13 - Regio de interesse da imagem obtida num dos experimentos .........................Figura 14 - Sequncia de imagens obtidas do escoamento do experimento 1 .....................

Figura 15 - Resultado do clculo do p-valor ........................................................................

Figura 16 - Imagens do experimento 1 .................................................................................




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Figura 25 - Imagens do experimento 10 ...............................................................................















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LISTA DE GRFICOS

Grfico 1 - Entropia versus probabilidade para uma fonte com dois eventoscomplementares de probabilidades q e 1-q ..........................................................................

Grfico 2 Entropia da informao H(m) para vrias distribuies aleatrias de

partculas num espao finito .................................................................................................

Grfico 3 - Diferenas entre H(m) e Hr(m) do grfico 2 plotados como entropia

normalizada H'(m) ................................................................................................................

Grfico 4 - Sequncia tpica de curvas de H(m) calculada para uma populao de

partculas interagindo ...........................................................................................................

Grfico 5 - Entropia da informao normalizada para diferentes tamanhos de janela .........

Grfico 6 - Refletncia para amostra A: medida e calculada por diferentes modelos .........

Grfico 7 - Transmitncia para amostra A: medida e calculada por diferentes modelos.

Grfico 8 - Taxa de variao mdia da entropia da informao normalizada ......................

Grfico 9Entropia normalizada versus tamanho de janela em vrios instantes de tempo.Grfico 10Evoluo no tempo da entropia normalizada e da janela tima.......................

Grfico 11Efeito da porosidade na curva de evoluo da entropia ..................................

Grfico 12 - Efeito da vazo na curva de evoluo da entropia ...........................................

Grfico 13 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 1 ......









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Grfico 22 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 10 ....















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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Microestados, macroestados e conjunto para um sistema de trs partculas comenergia 9 eu ...........................................................................................................................

Tabela 2 - Probabilidades e mdia dos quadrados da energia para o sistema de trs

partculas com energia total 9eu ...........................................................................................

Tabela 3 - Propriedades da glicerina bidestilada ..................................................................

Tabela 4 - Exemplo do resultado da contagem de pixels pretos (P) e brancos (B) para

uma janela de amostragem de 20x20 pixels (l=20) ..............................................................

Tabela 5 - Entropias normalizadas, entropias mximas e janela tima para um dado

experimento ..........................................................................................................................

Tabela 6 - Esquema de organizao dos dados ....................................................................

Tabela 7 - Dados de entropia normalizada para as diversas configuraes e observaes

dos experimentos ..................................................................................................................

Tabela 8 - Resultados dos clculos estatsticos ....................................................................

Tabela 9Dados do experimento 1 .....................................................................................

Tabela 10Dados do experimento 2 ...................................................................................








Tabela 18Dados do experimento 10 .................................................................................



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SUMRIO

1 INTRODUO ..............................................................................................................

1.1 MOTIVAO ..............................................................................................................

1.2 REVISO BIBLIOGRFICA .....................................................................................

1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................

1.3.1 Objetivo geral ...........................................................................................................

1.3.2 Objetivos especficos ................................................................................................

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................................

2 FUNDAMENTAO TERICA ................................................................................

2.1 ENGENHARIA DE PETRLEO E OS PROCESSOS DE RECUPERAO ...........

2.2 RESERVATRIOS ......................................................................................................

2.2.1 Definio ....................................................................................................................

2.2.2 Acumulao ..............................................................................................................

2.2.3 Propriedades da rocha reservatrio e fluidos ........................................................

2.2.3.1 Porosidade () .........................................................................................................

2.2.3.1.1 Porosidade absoluta (abs) ...................................................................................

2.2.3.1.2 Porosidade efetiva (efetiva) ...................................................................................

2.2.3.2 Saturao .................................................................................................................

2.2.3.3 Molhabilidade .........................................................................................................

2.2.3.4 Tenso superficial e tenso interfacial ....................................................................

2.2.3.5 Presso capilar (pc) ..................................................................................................

2.2.3.6 Permeabilidade () ..................................................................................................

2.2.3.7 Compressibilidade ...................................................................................................

2.3 ENTROPIA ...................................................................................................................

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2.4 MECNICA QUNTICA ESTATSTICA E O CLCULO DA ENTROPIA ..........

2.5 O PRINCPIO DA MXIMA ENTROPIA ..................................................................

3 DISCUSSO DE PROBLEMAS ..................................................................................

3.1 ENTROPIA DA INFORMAO DE ESTRUTURAS COMPLEXAS ......................

3.2 MODELO ENTRPICO PARA AS PROPRIEDADES PTICAS DE MEIOS

HETEROGNEOS .............................................................................................................

4 PROJETO EXPERIMENTAL .....................................................................................

4.1 RECONHECIMENTO E ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA .........................

4.2 SELEO DA VARIVEL RESPOSTA ....................................................................

4.3 ESCOLHA DOS FATORES, NVEIS E FAIXAS .......................................................

4.4 ESCOLHA DO MODELO EXPERIMENTAL ............................................................

5 MATERIAIS E MTODOS ..........................................................................................

5.1 APARATO EXPERIMENTAL ....................................................................................

5.1.1 Meio poroso ...............................................................................................................

5.1.2 Fluidos .......................................................................................................................

5.1.2.1 Glicerina ..................................................................................................................

5.1.2.2 Mistura gua e Carbopol 940 1,84% .......................................................................

5.1.3 Contaminante ...........................................................................................................

5.1.4 Sistema hidrulico ....................................................................................................

5.1.5 Fonte luminosa .........................................................................................................

5.1.6 Cmera fotogrfica e aquisio de dados ...............................................................

5.2 FUNCIONAMENTO DO EXPERIMENTO ................................................................

5.3 TRATAMENTO DAS IMAGENS ...............................................................................

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5.4 CLCULO DA TAXA DE VARIAO DA ENTROPIA DO ESCOAMENTO ......

5.5 ANLISE ESTATSTICA DOS DADOS ....................................................................

5.5.1 Soma dos quadrados dos efeitos principais e de interao ...................................5.5.2 Graus de liberdade....................................................................................................

5.5.3 Mdia da soma dos quadrados ................................................................................

5.5.4 Teste F e p-valor........................................................................................................

6 RESULTADOS ...............................................................................................................

7 CONCLUSO ................................................................................................................

8 REFERNCIAS .............................................................................................................

APNDICE DADOS DOS EXPERIMENTOS ...........................................................

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1 INTRODUO

1.1 MOTIVAO

A engenharia de reservatrios, uma ramificao da engenharia de petrleo, concentra-se

basicamente nos processos de explorao de reservatrios de leo e gs, com o objetivo de

maximizar a recuperao e consequentemente a sua produo de petrleo. Como a prpria

origem do nome petrleo antecipa (petrleo vem do latimpetroleum,petrus = pedra e oleum

= leo, leo da pedra), esses reservatrios so basicamente pedras, ou rochas porosas, que

sero aqui tratadas como meios porosos.

A maximizao da produo (recuperao) de um reservatrio de leo e gs s possvel

quando o meio poroso onde ele est armazenado for bem caracterizado. Importantes

propriedades de um meio poroso que so desejveis conhecer so, por exemplo, a porosidade,

a saturao, a molhabilidade, a presso capilar e a permeabilidade. Alm disso, conhecer

como acontece o escoamento do fluido durante a sua recuperao crucial para uma precisa

previso de produo e determinao da melhor maneira de ele ser recuperado.

Sabe-se, contudo, que esses desafios impostos pela engenharia de reservatrios so problemas

que envolvem grande complexidade devido ao carter extremamente aleatrio das

caractersticas dos meios porosos e dinmica dos fluidos envolvidos. Assim, fundamental

o desenvolvimento de mtodos que sirvam para avaliar, ou at mensurar propriedades de

escoamento de fluidos nesses meios, sendo esse o principal motivo para a realizao desse

trabalho.

1.2 REVISO BIBLIOGRFICA

O fundamento terico em que se embasam este trabalho e a maioria dos outros usados como

referncia o conceito da entropia da informao. Claude Elwood Shannon (1916 2001) considerado o criador da teoria da informao (OCONNOR; ROBERTSON, 2003). O texto


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clssico que descreve sua teoria foi publicado inicialmente em 1948 com o ttulo A

Mathematical Theory of Communication, no jornal tcnico The Bell System Technical

Journal, da empresa de telecomunicaes Bell Telephone Laboratories, localizada nos

Estados Unidos. Mais tarde, em 1949, Shannon, em parceria com Warren Weaver, publicou o

livro The Matematical Theory of Communication, que por ser de fcil acesso tambm a no

especialistas popularizou os conceitos publicados no artigo que o deu origem. Na

interpretao de Shannon, a incerteza da informao pode ser quantificada numa propriedade

que ele denominou entropia. Utilizando a entropia da informao como ferramenta, ele

conseguiu analisar de maneira sistemtica a eficincia na transmisso de dados em sistemas

de comunicao. A ideia inicial de Shannon, devidamente adaptada, aplicada hoje em dia

em diversas reas do conhecimento como Matemtica, Fsica, Qumica, Biologia, Engenharia,Economia, Lingustica, Msica, Arquitetura, Planejamento Urbano, Teoria Social e Cultural

entre muitas outras.

Yelshin (1996) dissertou sobre a possibilidade do uso da entropia da informao como

descritor quantitativo de caractersticas estruturais de meios porosos. Yelshin calcula a

entropia da informao para diferentes distribuies de tamanhos de poro (Simpson,

exponencial, gamma, log normal e Weibull) e capilaridade, citando exemplos e comparando

resultados numricos. O mtodo aplicado tanto para meios porosos de camada simples como

para multicamadas (utilizando o conceito de entropia conjunta para o ltimo caso) e suas

concluses qualitativas apresentam consistncia com os casos prticos. O autor conclui que a

utilizao da entropia da informao d um novo ponto de vista aos problemas de modelagem

de meios porosos e abre a possibilidade de maiores investigaes tericas e experimentais nos

fenmenos de transporte envolvidos.

Andraud et al. (1997) estabeleceram uma relao rigorosa entre entropia de porosidade local

de Boger et al. (1992) e a entropia configuracional de Andraud et al. (1994), que foram

introduzidas como descritores morfolgicos derivadas de flutuaes locais de volume em

microestruturas correlatas arbitrrias que ocorrem em meios porosos ou outros sistemas

heterogneos. Foi provado que os comprimentos caractersticos, nos quais as entropias so

extremas (mximos ou mnimos), so idnticos para ambos os casos de entropia

(configuracional e de porosidade local), desde que a resoluo seja alta o suficiente para tal.

Siclen (1997) demonstrou que a entropia da informao fornece uma quantificao da

complexidade de um sistema material multicomponente por meio da anlise de uma

microestrutura bifsica em evoluo simulada por uma populao de partculas interagindo


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numa superfcie bidimensional. observado que a entropia da informao cresce para todas

as escalas de comprimento de acordo com que a configurao aleatria inicial de partculas se

desenvolve, at produzir uma distribuio de aglomerados ramificados. A entropia

normalizada utilizada pelo autor uma medida mais sensvel em relao s entropias

configuracional e de porosidade local, visto que a normalizao utilizada por ele desconta a

entropia inicial esperada para o sistema. Valores extremos da entropia normalizada para

diferentes comprimentos caractersticos so discutidos e relacionados com a morfologia do

sistema.

Andraud e Lafait (1998) validaram um modelo entrpico para obteno de propriedades

morfolgicas de filmes metlicos finos prximos ao limiar de percolao. Graas ferramenta

chamada entropia configuracional normalizada, o modelo proposto permite determinar um

comprimento tpico que caracterstico da desordem da imagem que representa o filme

metlico. As propriedades pticas desses filmes perto do limiar de percolao, onde as teorias

clssicas falham, conseguem ser determinadas com o modelo, que baseado na partio da

imagem real no comprimento tpico encontrado. Alm disso, foram realizados testes de

sensibilidade do modelo para flutuaes locais na morfologia utilizando imagens geradas com

diferentes algoritmos.

Queiroz et al. (2007) tambm utilizaram a entropia da informao e o ndice de Shannon

como ferramentas para avaliar o desempenho de redes de monitoramento ambiental

automtico em Vitria, regio metropolitana do estado do Esprito Santo, no Brasil. A partir

de dados coletados por analisadores de gases num perodo de aproximadamente quatro anos

(2001 a 2005) concluses so tiradas a respeito da importncia real de cada analisador para a

rede.

Vakarin e Badiali (2007?) descreveram a caracterizao de meios aleatrios utilizando a

abordagem da mxima entropia, atravs da estimativa das propriedades estatsticas desses

meios. Prova-se que existe uma relao explcita entre a resposta do sistema analisado a um

estmulo externo e a taxa de informao. Pode-se ento relacionar as caractersticas da

resposta obtida (pontos de inflexo e singularidades) com o meio ao redor e os estmulos

aplicados. Isto demonstrado obtendo-se a distribuio de velocidades Power Law atravs de

uma abordagem superestatstica. Conclui-se que possvel estabelecer essa relao sem entrar

em detalhes microscpicos que determinam o comportamento do sistema.

Robinson (2008) dissertou sobre as ideias bsicas entorno da definio de entropia na teoria

da informao e sua relao com a entropia na teoria dos sistemas dinmicos e na mecnica


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estatstica. Alguns dos tpicos abordados pelo autor explicam de maneira simples aspectos

fundamentais da entropia da informao de Shannon.

Mendes et al. (2009) apresentaram os resultados de experimentos de visualizao do

fenmeno de formao de viscous fingeringdurante o deslocamento de solues aquosas de

Carbopol por gua deionizada em uma clula retangular de Hele-Shaw. Escolher o Carbopol

como fluido a ser deslocado justificado pelo fato dele ter caractersticas reolgicas

semelhantes de um leo pesado. A montagem experimental serviu, de certa forma, como

referncia para os experimentos do presente trabalho. Simulaes numricas foram feitas ao

final como forma de comparar qualitativamente os escoamentos (real e numrico).

Wang et al. (2009) investigaram a caracterizao do escoamento de gua no solo e o

transporte de soluto utilizando medidas de informao, dentre elas a entropia da informao,

ganho mdio de informao, complexidade de flutuaes e medida efetiva da complexidade.

Foram realizados experimentos de infiltrao de gua com contaminante fluorescente e foram

capturadas imagens de diversas sees do solo irrigado. Concluiu-se que a entropia da

informao uma medida mais verstil que a distribuio de probabilidades para caracterizar

heterogeneidades do escoamento em solos.

Catania et al. (2007) apresentaram uma anlise quantitativa de imagens obtidas deescoamentos em meios porosos constitudos de caixas preenchidas com prolas de vidro

padronizadas. A visualizao do escoamento feita utilizando um contaminante no fluido

injetado que apresenta o fenmeno de fluorescncia. Imagens so obtidas com uma cmera

CCD e a distribuio bidimensional das concentraes do contaminante determinada

utilizando curvas de calibrao adequadas. A anlise do erro experimental no perfil de

concentraes tambm feita e o desempenho do modelo construdo testado.

Montgomery (2001) apresentou a base para o projeto experimental, feito de acordo com omodelo aninhado-fatorial, que eficiente quando os experimentos envolvem o estudo de dois

ou mais fatores.


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1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo geral

O objetivo principal utilizar a anlise da entropia da informao de Shannon para

caracterizar escoamentos em meios porosos.

1.3.2 Objetivos especficos

Realizar uma reviso bibliogrfica detalhada sobre a caracterizao de meios heterogneos

bifsicos com a utilizao da entropia da informao de Shannon.

Construir o aparato experimental necessrio e adquirir os dados de interesse do projeto.

Extrair informaes relevantes dos resultados obtidos dos experimentos por meio de uma

anlise estatstica rigorosa.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Neste captulo faz-se uma breve introduo ao assunto abordado no restante do texto,

incluindo motivao, objetivos e descrevendo de forma sucinta as referncias que foram

utilizadas ou serviram de inspirao para este trabalho.

No Captulo 2 apresentou-se, de forma mais aprofundada, os fundamentos tericos que

sustentam o assunto, abordando desde aspectos prticos da engenharia de reservatrios como

propriedades de rochas e meios porosos at conceitos de Mecnica Quntica Estatstica e

Entropia da Informao de Shannon.

No terceiro captulo so discutidos dois trabalhos independentes que abordam a anliseentrpica em meios heterogneos, incluindo fundamentao terica, resultados e concluses.


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No Captulo 4, o projeto experimental do trabalho desenvolvido com base em consideraes

estatsticas que so adotadas.

O Captulo 5 apresenta de forma detalhada os materiais e metodologias utilizadas, incluindo

procedimentos experimentais, procedimentos de clculo e anlises estatsticas.

Os resultados dos experimentos, incluindo imagens, tabelas e grficos de dados, planilhas de

clculo com informaes relevantes e anlises estatsticas so apresentados no Captulo 6.

Finalmente, no Captulo 7, conclui-se o trabalho discutindo os resultados obtidos e

apresentando possibilidades de desenvolvimento para o assunto.


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2 FUNDAMENTAO TERICA

2.1 ENGENHARIA DE PETRLEO E OS PROCESSOS DE RECUPERAO

A funo da Engenharia de Petrleo promover a base para o projeto e execuo de tcnicas

de recuperao de petrleo que sejam viveis do ponto de vista logstico e econmico. Para

que isto seja realizado vrias reas do conhecimento so necessrias, dentre elas Engenharia,

Geologia, Matemtica, Fsica, Qumica e Economia.

O projeto em Engenharia de Petrleo muitas vezes depende da observao e da utilizao de

uma quantidade limitada de dados sobre os reservatrios. Os reservatrios, por sua vez, s

conseguem ser explorados de forma vivel at certo limite que representa uma frao da

quantidade total de petrleo armazenada em seu interior. medida que um reservatrio

produz, mais dados sobre sua a natureza so conhecidos e os mtodos para sua explorao

podem ser alterados. A Engenharia de Petrleo pode, ento, ser considerada uma cincia da

aplicao da incerteza no projeto.

Desenvolvimentos nos processos de recuperao de petrleo requerem que os mtodos da

Engenharia de Petrleo sejam combinados com as tecnologias das Engenharias de Minerao

e Qumica. Vrios so os mtodos de recuperao de petrleo e alguns dos mais importantes

esto apresentados no diagrama mostrado na Figura 1.

Figura 1. Processos de recuperao de petrleo. Fonte: Archer (1986). Nota: O organograma uma adaptao.

Recuperao de Petrleo

Processos primrios

(mecanismos naturais)

Influxo degua

Gs emsoluo

Expansode fluido

Drenagemgravitacional

Capa degs

Combinadas

Processos secundrios

(energia suplementar)

Injeo degua

Injeo degs

Processos

especiais

Mtodostrmicos

Injeo defluidos

aquecidos

Combustoin situ

Mtodosmiscveis

Injeo dedixido de

carbono (CO2)

Injeo de gsnatural

Injeo denitrognio

Mtodosqumicos

Injeo depolmeros

Injeo desolues

tensoativas

Injeo demicroemulso

Injeo desoluoalcalina

Estimulao

cidos

Fratura

Outros

Microbiolgica

Ondaseletromagnticas

Perfurao deenchimento


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2.2 RESERVATRIOS

2.2.1 Definio

Segundo Archer e Wall (1986), reservatrio pode ser definido como uma acumulao de

hidrocarbonetos em rochas sedimentares porosas e permeveis. A acumulao, quando a

presso do fluido entra em equilbrio assim que o reservatrio descoberto, tambm

conhecida como poo.

A rocha reservatrio no um bloco macio. Ela contm vrios poros de tamanho milimtrico

e justamente nesses espaos que petrleo e gua so armazenados (ver Figura 2).

Figura 2. Microfotografia de uma rocha reservatrio contendo leo. Fonte: Thomas (2001).

2.2.2 Acumulao

A acumulao de petrleo no interior dos poros de uma rocha reservatrio se deve a trs

fatores: gerao, migrao e acmulo desde a rocha fonte. A gerao do petrleo se deve a

reaes anaerbias ocorridas em material orgnico depositado nos sedimentos da rocha, em

condies termodinmicas favorveis durante um longo perodo de tempo. A migrao, que


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um fenmeno ainda no completamente entendido, ocorre muito provavelmente porque,

durante a gerao, surgem mudanas de volume no fluido que levam a altas presses

localizadas na rocha, que por sua vez geram microfissuras promovendo uma rota de fuga no

sistema permevel. Finalmente, o petrleo acumulado na rocha reservatrio devido a

armadilhas (falhas geolgicas ou barreiras rochosas macias) e dali no consegue mais

migrar.

2.2.3 Propriedades da rocha reservatrio e fluidos

Com o objetivo de se definir os parmetros para a produo de petrleo, vrias propriedades

mensurveis foram definidas. Algumas das mais importantes esto apresentadas. Como o

objetivo deste trabalho no utilizar as equaes envolvidas, o tpico no teve grande

aprofundamento.

2.2.3.1 Porosidade ()

A porosidade de uma rocha a medida da capacidade de armazenamento de fluido.

Quantitativamente, ela a razo entre o volume de poros (ou volume poroso) pelo volume

total. Matematicamente,

(1)A porosidade depende da forma, da organizao, do tamanho dos gros e da cementao da

rocha.

Os poros podem estar conectados entre si, ou isolados devido cementao. Assim, so

definidos dois tipos de porosidade: absoluta e efetiva.


26/97

24

2.2.3.1.1 Porosidade absoluta (abs)

o total de volumes vazios dividido pelo volume total. Neste caso, considera-se o volumedos poros isolados, que resulta em

(2)

2.2.3.1.2 Porosidade efetiva (efetiva)

a razo entre o volume de poros interligados e o volume total, isto ,

(3)

2.2.3.2 Saturao

Os poros de rochas reservatrio podem estar ocupados por gua e por petrleo, este ltimo na

forma de leo ou gs. A saturao definida como a frao do volume do poro ocupado por

um determinado fluido (leo, gs ou gua). Assim:

(4) (5)

(6)Onde:

Sleo: saturao do leo;

Sgs: saturao do gs;


27/97

25

Sgua: saturao da gua.

Logicamente, o somatrio das saturaes dos trs diferentes componentes igual a um.

(7)Junto com o petrleo geralmente gua tambm encontrada no interior dos poros. Logo, a

produo de gua inerente ao processo de produo de petrleo e um fator importante a ser

observado.

2.2.3.3 Molhabilidade

A molhabilidade a tendncia de um fluido de se espalhar, ou aderir, a uma superfcie slida

na presena de outros fluidos imiscveis. Pode ser quantificada pela medio do ngulo de

contato da interface lquido slido (), como mostrado na Figura 3. A molhabilidade em

rochas reservatrio importante na distribuio dos fluidos nesse meio. Por causa das foras

atrativas, fases com maior molhabilidade tendem a ocupar poros menores e fases com menor

molhabilidade ocupam espaos mais abertos.

Figura 3. Ilustrao da molhabilidade com ngulos de contato para diferentes fluidos. Fonte: Ahmed (2006).

2.2.3.4 Tenso superficial e tenso interfacial

O efeito das foras nas superfcies fluidas imiscveis chamado tenso superficial (quando osfluidos so lquido e gs) ou tenso interfacial (quando se tem dois lquidos). Uma


28/97

26

modelagem feita para tubos capilares (ver Figura 4) e as tenses podem ser calculadas

segundo a equao (AHMED; 2006):

(8)Onde:

1: massa especfica do fluido mais denso (1);

2: massa especfica do fluido menos denso (2);

12: tenso superficial ou tenso interfacial entre os fluidos 1 e 2;

: ngulo de contato;

r: raio do tubo capilar;

h: diferena de altura entre as superfcies do fluido dentro e fora do tubo capilar;

g: acelerao da gravidade.

Figura 4. Representao da tenso superficial entre ar e gua num tubo capilar. Fonte: Ahmed (2006).


29/97

27

2.2.3.5 Presso capilar (pc)

As foras capilares num reservatrio de petrleo so causadas pelo efeito combinado dastenses superficiais e interfaciais, geometria e saturao dos poros e molhabilidade do

sistema. Devido curvatura na superfcie de contato entre dois fluidos imiscveis surge uma

diferena de presses que chamada presso capilar. Referindo-se novamente aos parmetros

apresentados na Figura 4, a presso capilar pode ser calculada por (AHMED; 2006):

(9)O conhecimento da presso capilar importante para se determinar a presso necessria para

recuperar petrleo da rocha reservatrio.

2.2.3.6 Permeabilidade ()

Permeabilidade a propriedade do meio poroso que mede a capacidade da estrutura de

transmitir fluidos. uma propriedade muito importante pois controla a direo do movimento

e o fluxo dos fluidos no reservatrio. Foi definida matematicamente por Henry Darcy em

1856 e a equao que define essa propriedade chamada Lei de Darcy (AHMED; 2006):

(10)

Onde:

v: velocidade aparente do fluxo fluido;

: permeabilidade;

: viscosidade do fluido;

: queda de presso por unidade de comprimento.

Para um modelo linear, isola-se e se obtm:

(11)Onde:


30/97

28

q: taxa de fluxo;

p: queda de presso no canal;

L: comprimento do canal (poros interligados);

A: rea da seo transversal do canal.

Para que a Equao 11 seja vlida, as seguintes condies devem ser atendidas:

- Fluxo laminar;

- No ocorrncia de reaes entre fluido e rocha;

- Apenas uma fase presente no poro;

- Poro completamente saturado.

Ainda importante ressaltar que vrios autores estabeleceram relaes entre a porosidade e a

permeabilidade de um meio, dadas certas condies. Essas relaes possibilitam a obteno

do valor da permeabilidade a partir da porosidade, que geralmente uma propriedade mais

fcil de mensurar.

2.2.3.7 Compressibilidade (cf)

definido como a mudana, em frao de volume, devida a uma variao unitria da presso

a uma dada temperatura. A importncia dessa propriedade que a rocha reservatrio varia seu

volume a partir do momento em que descoberta e isso influencia na produo do petrleo.

De uma forma geral:

(12)

Onde:

cf: compressibilidade;

: porosidade;

p: presso.


31/97

29

2.3 ENTROPIA

A Primeira Lei da Termodinmica modela a mudana de estado de um sistema onde ocorre atransferncia de energia na forma de calor (Q), de trabalho (W) e de energia interna (E). Ela

pode ser escrita como:

(13)Apesar de sua grande utilidade terica e prtica, a Primeira Lei no inclui, em sua formulao

e conceito, a tendncia de transferncia de energia em um determinado sentido. Um exemplo

simples a transferncia de calor de um objeto quente para um objeto frio, ambos

pertencentes a um sistema isolado em relao sua vizinhana. Sabe-se que,

espontaneamente, a transferncia de calor ocorre do objeto quente para o frio. Contudo,

observa-se que o processo inverso (transferir calor espontaneamente do objeto frio para o

quente) tambm respeita a Primeira Lei. Conclui-se, ento, que a equao de balano de

energia no inclui, ou no considera o sentido preferencial da transferncia de calor.

A Primeira Lei no impe restrio no sentido do processo, mas apenas satisfaz-la no

garante que este processo de fato ocorre. Para remediar tal problema, outro princpio geral foi

introduzido, a Segunda Lei da Termodinmica. Processos inversos como o do exemplo citado

anteriormente violam a Segunda Lei e a propriedade que caracteriza essa condio chamada

entropia.

Entropia um condensado das principais noes que envolvem desordem, caos, incerteza e

aleatoriedade. Ela foi introduzida por Clausius em 1865, escolhendo o nome entropia cujo

nome vem do grego e significa contedo de transformao. Em seu artigo de 1865, Clausius

estabeleceu a Primeira e a Segunda Lei da Termodinmica da seguinte forma:

I. A energia do universo constante;

II. A entropia do universo tende a um mximo.

A entropia uma propriedade extensiva de um sistema. Isto significa que ela a soma das

entropias de todas as partes que o constituem. Outra caracterstica da entropia que ela nunca

diminui para um sistema isolado. Ou seja, para qualquer processo real (dito irreversvel) h

sempre gerao de entropia e no caso de um processo perfeito (reversvel) a entropia se

mantm constante. Resgatando o exemplo dado sobre a transferncia de calor entre um objeto

quente e outro frio e calculando a variao de entropia do processo espontneo verifica-se que


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30

maior que a do processo inverso. O clculo para o processo inverso levaria a uma

diminuio da entropia do processo isolado, violando a Segunda Lei, permitindo dizer que

nesse sentido a transferncia de calor espontnea impossvel.

Para uma melhor descrio da entropia, que , de certa forma, uma propriedade abstrata,

necessrio considerar o estado microscpico do sistema. No exemplo de Reynolds (1965),

considerada uma grande bandeja com esferas onde metade delas da cor preta e a outra

metade da cor branca. A bandeja possui pequenas covas onde as esferas ficam posicionadas.

No incio, as esferas esto separadas por cor, cada conjunto de um lado do recipiente. Um

observador que v a bandeja de uma grande distncia (anlogo a uma viso macroscpica do

sistema) no consegue ver as esferas individualmente. A bandeja ento chacoalhada e

medida que esferas se movem e ocupam covas diferentes o observador vai achar que a regio

preta est se difundindo na regio branca. Para este observador, com o tempo, o sistema vai

ficando cinza. Aps um tempo grande o suficiente ele concluiria que no ocorrem mais

mudanas e que a difuso do preto no branco ocorreu at que o equilbrio do sistema fosse

atingido. Ele poderia propor uma teoria para explicar o fenmeno mesmo sem conhecer o

comportamento individual das esferas.

Contudo, se o observador considerasse a existncia de esferas (viso microscpica do sistema)

ele poderia propor uma teoria mais requintada, considerando o efeito de influncias externas

no sistema como um todo. Consideraes estatsticas revelariam que o sistema sempre se

tornaria mais e mais aleatrio, as esferas iriam se tornando mais desorganizadas e a incerteza

sobre o arranjo delas aumentaria. O mesmo comportamento descrito acima seria observado se

considerssemos as esferas como tomos ou molculas diferentes se difundindo.

A entropia do sistema uma medida da aleatoriedade, desordem ou incerteza microscpica,

quando somente o estado macroscpico conhecido. Como j dito, ela nunca diminui para

um dado sistema. Para que possa ser quantificada a Termodinmica Estatstica define a

entropia em termos de probabilidades de estados qunticos ou microscpicos.


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31

2.4 MECNICA QUNTICA ESTATSTICA E O CLCULO DA ENTROPIA

A Mecnica Quntica Estatstica estuda o comportamento microscpico da matria a fim deobter um estado macroscpico correspondente que possa ser, de fato, observado. Postulou-se

que qualquer partcula, ou sistema de partculas arranjadas de alguma forma pode existir

apenas em certos estados qunticos permitidos e, assim, conseguem-se descries completas e

precisas de um fenmeno. Os estados qunticos permitidos so determinados pela natureza

das partculas e pelas circunstncias em que elas se encontram. A equao de Schrdinger

estabelece a base para o clculo dos estados qunticos permitidos, mas no ser aqui tratada,

pois a ideia que interessa que os possveis estados de um sistema podem ser quantificados.

Trs termos importantes utilizados em Mecnica Quntica Estatstica so microestados,

macroestados e conjunto. Microestado qualquer estado microscpico do sistema,

especificado em termos das propriedades individuais das partculas. Macroestado qualquer

estado do sistema especificado em termos das propriedades da coleo de todas as partculas,

sendo importante observar que h vrios microestados possveis para um dado macroestado.

Finalmente, conjunto a totalidade de macroestados (ou microestados) onde energia, volume,

magnetizao e polarizao se mantm fixos, ou seja, representam um sistema isolado.Outro exemplo de Reynolds (1965) para compreender esses conceitos admite um sistema com

trs partculas distintas, A, B e C, que podem assumir um de cinco estados qunticos

possveis, contendo energias 0, 1, 2, 3 e 4eu, onde eu refere-se a uma unidade de energia

arbitrria. Considerando apenas os estados no qual a energia total 9eu, pode-se construir

uma tabela com os microestados, macroestados e conjunto para o sistema, mostrada a seguir

na Tabela 1.


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32

TABELA 1 -MICROESTADOS,MACROESTADOSE CONJUNTO PARA UM SISTEMA

DE TRS PARTCULAS COM ENERGIA 9EU

Nmero do microestado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Energia

4 eu A A B B C C BC AC AB

3 eu ABC B C A C A B

2 eu C B C A B A

1 eu A B C

0 eu

Macroestado 1 Macroestado 2 Macroestado 3

Conjunto de macroestados

Fonte: Reynolds (1965). Nota: A tabela uma adaptao da original.

Define-se a propriedadeMcomo a mdia da soma dos quadrados da energia de cada partcula

(Equao 14) e observa-se que ela diferente em valor para cada macroestado. Tal definio

ser utilizada mais a frente no texto.

(14)Uma medida quantitativa de um macroestado particular existindo num dado instante de tempo

a probabilidade do estado quntico pi(t), que a probabilidade do estado quntico i ser

percebido no instante t. Calculando a probabilidade para o exemplo anterior e apresentando de

forma tabelar temos:

TABELA 2 - PROBABILIDADES E MDIA DOS QUADRADOS DA ENERGIA PARA OSISTEMA DE TRS PARTCULAS COM ENERGIA TOTAL 9EU

Macroestado (i) Maneiras de se formar Probabilidade (pi) Mi (eu)

1 1 0,1 9,00

2 6 0,6 9,67

3 3 0,3 11,00

Total 10 1,0 29,67

Fonte: Reynolds (1965). Nota: A tabela uma adaptao da original.


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33

A mdia da propriedade M ponderada de acordo com a probabilidade do macroestado

correspondente pode ser calculada como:

(15)Assim, qualquer outra propriedade para o sistema isolado (conjunto de todos os macroestados

ou microestados) pode ser calculada da mesma maneira. Calculando a energia para o sistema,

por exemplo, encontraramos o valor 9,00eu, que foi o valor estabelecido inicialmente.

Dados os conceitos anteriores, pode-se ento calcular a entropia, definida pela letra H,

lembrando que ela deve ser a medida de toda a aleatoriedade de todos os estados qunticos

para o sistema e uma propriedade extensiva, ou seja, a entropia de um sistema C composto

pelas partes A e B :

(16)A entropia definida como:

(17)

Seja:

(18)

() (19)

() ( ) (20)

Para que:

( )

() (21)

A funo logartmica seria uma escolha apropriada para a funof(pi), pois:

(22)Substituindo e rearranjando chega-se finalmente em:


36/97

34

( )

(23)

O resultado obtido satisfaz a condio de ser propriedade extensiva.

Para que a entropia seja positiva uma constante negativa inserida na equao e a nica

forma possvel paraH (SHANNON, 1948):

(24)

Onde k uma constante positiva e vai depender da unidade de medida utilizada. A constante k

assume o valor da constante de Boltzman (kb=1) se considerarmos H a entropiatermodinmica.

Definida desta forma, a entropia possui a propriedade extensiva e ela mxima para o sistema

mais aleatrio possvel.

Para distribuies de probabilidade, generaliza-se a expresso na forma integral:

[] (25)

2.5 O PRINCPIO DA MXIMA ENTROPIA

A informao (I) relacionada a qualquer eventox tendo probabilidadep(x) definida como:

(26)

Logo, a informao cresce medida que um evento menos provvel e infinita no limiteonde o evento se torna impossvel. Matematicamente:

(27)No outro extremo, sex fosse absolutamente certo, a informao desapareceria. Temos ento:

(28)Entretanto, para a entropia verifica-se que seus valores permanecem dentro de um limite. Para

ilustrar um caso simples, Desurvire (2009) considera dois eventos,x1 ex2, com probabilidades


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35

q e 1-q respectivamente. Aplicando a definio de entropia (Equao 24) para a fonte de

eventosX={x1,x2} temos:

[ ] (29)

Variando q de 0 (x1 impossvel) at 1 (x1 absolutamente certo) pode-se plotarH(X)=f(q), de

acordo com o Grfico 1.

Grfico 1. Entropia versus probabilidade para uma fonte com dois eventos de probabilidades q e 1-q. Fonte:Desurvire (2009). Nota: O grfico uma adaptao do original.

Verifica-se que a entropia atinge um valor mximo em q=0,5, ou seja, no caso dos eventosx1

ex2 serem equiprovveis.

Formalmente, a mxima entropia pode ser provada tomando a derivada e encontrando sua

raiz. Para casos com mais de dois eventos, resultados analticos para mxima entropia so

obtidos utilizando o mtodo dos multiplicadores de Lagrange. Esses casos no sero aqui

apresentados.

O resultado demonstra que a mxima entropia pode ser utilizada para definir o estado do

sistema com a maior riqueza de informao, ou seja, o mais aleatrio possvel. Assumir uma

distribuio de probabilidades q e 1-q diferente da equiprovvel para os eventos do exemplo

anterior resultaria numa entropia menor que o mximo encontrado e isso implicaria considerar

uma informao que no se conhece realmente.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

EntropiaH

Probabilidade q


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36

3 DISCUSSO DE PROBLEMAS

Nos trabalhos de Siclen (1997) e Andraud e Lafait (1998) discute-se a utilizao da entropiada informao para avaliar sistemas bifsicos heterogneos aleatrios.

3.1 ENTROPIA DA INFORMAO DE ESTRUTURAS COMPLEXAS

Siclen (1997) demonstra, para uma microestrutura bifsica em evoluo simulada por umapopulao de partculas interagindo numa superfcie bidimensional, que a funo entropia da

informao fornece uma medida sensvel da complexidade de um sistema. A complexidade

refere-se, neste caso, faixa de escalas de comprimento onde as caractersticas morfolgicas

esto presentes.

A entropia calculada para um sistema simples bifsico e bidimensional em evoluo para

todas as escalas de comprimento m. Basicamente, o sistema constitudo por uma quantidade

Nde partculas (com tamanho 1x1 cada) colocadas aleatoriamente numa regio quadrada de

ladoL. Essas partculas interagem formando uma distribuio irregular de aglomerados, como

mostra a Figura 5.

Figura 5. Fotografia de uma populao de 625 partculas que interagem numa regio de tamanho 50x50 e que

representam uma microestrutura bifsica em evoluo. Fonte: Siclen (1997).


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37

A entropia para um sistema finito perfeitamente aleatrio :

[]

(30)

Ondepi(m) a probabilidade de se encontrar exatamente i partculas numa regio quadrada

aleatria de tamanho mxm, e pode ser calculada para este sistema perfeitamente aleatrio

como:

(31)

(32)Onde,

m: tamanho do lado de uma regio amostral ou "caixa" (representa o comprimento de escala);

L: lado da regio quadrada;

N: total de partculas da regio quadrada;

i: quantidade de partculas na caixa mxm.A entropia da informaoH(m) para uma dada configurao de partculas :

[]

(33)

Onde Pi(m) a probabilidade real de encontrar exatamente i partculas em qualquer regio

mxm, ou seja, a probabilidade para o caso no perfeitamente aleatrio.

As diferenas entre as curvas de entropia versus tamanho da caixa para ambas as entropias

mostradas acima so mostradas no Grfico 2.


40/97

38

Grfico 2. Entropia da informao H(m) para vrias distribuies aleatrias de partculas num espao finito. Alinha tracejada representa a curvaHr(m), ou seja, para o caso perfeitamente aleatrio. Fonte: Siclen (1997).

A fim de analisar os efeitos de distribuio de partculas no aleatrias o Siclen (1997) definiu

a entropia normalizadaH'(m), como segue:

(33)Valores deH'(m) maiores que zero ocorrem em escalas de comprimento m onde aglomeradosde partculas so maiores dos que ocorrem numa configurao perfeitamente aleatria.

Valores de H'(m) negativos ocorrem em escalas de comprimento m onde a distribuio de

partculas mais ordenada ou regular do que na configurao perfeitamente aleatria.

Os mesmos dados do Grfico 2, agora plotados como entropia normalizada, fornecem o

Grfico 3 a seguir, que demonstra melhor as distribuies de partculas no-aleatrias, como

explicado anteriormente.


41/97

39

Grfico 3. Diferenas entreH(m) eHr(m) do Grfico 2 plotados como entropia normalizadaH'(m). Fonte: Siclen(1997).

Agora analisando a evoluo das curvas de entropia normalizada com o tempo, percebe-se

que valores mximos de H'(m) representam a formao de aglomerados de partculas. O

Grfico 4 representa uma sequncia tpica das curvas de evoluo de H'(m). A nucleao e

crescimento de aglomerados so indicados pelo aumento de H'(m) em pequenas escalas de

comprimento e mudana de posio do primeiro mximo das curvas para comprimentos madjacentes. Os mximos adicionais representam junes de aglomerados menores em escalas

maiores, significando aumento de no homogeneidades.

Grfico 4. Sequncia tpica de curvas de H(m) calculada para uma populao de partculas interagindo nos

tempos t= 0, 100, 200, ... , 1000. Fonte: Siclen (1997).


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40

Finalmente, conclui-se que microestruturas complexas possuem caractersticas distintas em

diversas escalas de comprimento. Isso demonstrado pelo comportamento de H(m), que

cresce medida que a configurao inicial aleatria de partculas evolui. Mximos de H'(m)

representam formaes de aglomerados em diferentes escalas e tambm so um bom

indicador de caractersticas morfolgicas do sistema.

3.2 MODELO ENTRPICO PARA AS PROPRIEDADES PTICAS DE MEIOS

HETEROGNEOS

Andraud e Lafait (1998) utilizam o conceito da entropia da informao de Shannon como

ferramenta para a anlise morfolgica de meios heterogneos bifsicos, especificamente a

morfologia de filmes metlicos de granulao fina. Eles determinam o comprimento

caracterstico da desordem da imagem que representa o sistema e desenvolvem um modelo

para as propriedades pticas do meio heterogneo.

A ferramenta utilizada consiste na anlise de uma imagem bifsica por uma janela deslizante

de tamanho varivel l, definido uma quantidade de N(l) de amostras da imagem total. Isso

permite determinar a distribuio de probabilidades {pi} da imagem para cada tamanho l. A

probabilidade pi(l) definida como o nmero de janelas (amostras) contendo exatamente i

pixels pretos,Ni(l), dividido pelo nmero total de amostrasN(l). Matematicamente:

(35)

Aplicando a frmula de entropia de informao de Shannon obtm-se a definio da entropiaconfiguracional:

[]

(36)

Para comparar os valores de entropia calculados para diferentes tamanhos de anlise foi

necessrio normalizar a entropia. Para essa normalizao foi escolhida, a partir de

consideraes tericas, a mxima entropia terica. Assim a entropia normalizada :


43/97

41

[]

(37)Aplicando a ferramenta para diferentes tipos de imagens encontrou-se para todos os casos que

um comprimento timo l0 existe e neste comprimento timo a entropia mxima, como

mostrado no Grfico 5.

Grfico 5. Entropia da informao normalizada para diferentes tamanhos de janela. Fonte: Andraud e Lafait(1998).

O comprimento timo l0 caracterstico da desordem da imagem e quanto maior a desordem

(e tambm a entropia), menor o comprimento timo. Andraud e Lafait (1998) constataram que

o comprimento timo alcana um mnimo e a entropia um mximo prximo do limite de

percolao.

Do ponto de vista ptico, considerou-se que, para este comprimento timo os

comportamentos locais das propriedades iro se combinar e representar o comportamento

global de todo o meio. Este ponto de vista se assemelha s teorias pticas clssicas para a

percolao, a diferena que se leva em conta a funo de distribuio real da configurao

de tamanho l0 na imagem em vez da distribuio terica dada pela teoria da percolao. O

modelo portanto pode ser aplicado a qualquer morfologia.

Analisaram-se inicialmente duas imagens A e B, mostradas na Figura 6. Na imagem A afrao de metal (na cor branca) do filme granular fino de 32% e o filme est abaixo do


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42

limite de percolao. J na imagem B a frao de metal 60% e o filme granular est acima

do limite de percolao.

Figura 6. (A) Imagem de um filme granular de ouro abaixo do limite de percolao, 32% de frao metlica ecomprimento timo de entropia de 100nm. (B) Imagem de um filme granular de ouro acima do limite de

percolao, 60% de frao metlica e comprimento timo de entropia de 100nm. Fonte: Andraud e Lafait (1998).

A anlise entrpica conduz a um valor de l0 igual a 18 pixels (Grfico 5), correspondente a

100nm, para ambas as imagens. Este comportamento pode ser explicado pelo fato de estas

duas amostras estarem equidistantes do limiar de percolao.

Inspirados em teorias pticas existentes dois modelos distintos para refletncia e transmitncia

de filmes granulares foram desenvolvidos utilizando a funo de distribuio real de

configurao com tamanho l0. Os modelos desenvolvidos, assim como modelos clssicos

existentes e dados experimentais para as amostras so mostrados nos Grficos 6 e 7 para a

amostra da Figura 6 (A).

Grfico 6. Refletncia para a amostra A: medida e calculada por diferentes modelos. Fonte: Andraud e Lafait

(1998).


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Grfico 7. Transmitncia para a amostra A: medida e calculada por diferentes modelos. Fonte: Andraud e Lafait(1998).

O Modelo 1 desenvolvido estima bem as propriedades em toda a faixa de comprimentos de

onda e o Modelo 2 apresenta problemas que aqui no cabem discutir. O importante que o

modelo pde ser validado.

Andraud e Lafait (1998) em seguida testaram a sensibilidade do modelo para vrias amostras

e mostrou-se que as propriedades pticas previstas so bem sensveis a leves flutuaes da

morfologia do meio.

Chegaram concluso que a entropia configuracional normalizada mostrou-se eficiente na

anlise morfolgica de meios heterogneos. O modelo desenvolvido bem satisfatrio para

predizer as propriedades pticas de filmes de ouro granulares prximos ao limiar de

percolao. Tambm se concluiu que o modelo bem sensvel a flutuaes locais das

caractersticas morfolgicas do meio a partir de simulaes realizadas com diferentes

imagens.


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44

4 PROJETO EXPERIMENTAL

4.1 RECONHECIMENTO E ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA

O objetivo do experimento a avaliao de escoamento em um meio poroso utilizando a

entropia da informao como meio de caracteriz-lo.

4.2 SELEO DA VARIVEL RESPOSTA

A varivel principal a ser analisada no experimento a taxa de variao da entropia da

informao normalizada para um dado experimento, assim como utilizado por Vakarin e

Badiali (2007?), que se mostra muito til para fenmenos desta natureza.

4.3 ESCOLHA DOS FATORES, NVEIS E FAIXAS

Considerou-se que os fatores que afetam a taxa de variao da entropia da informao

normalizada so a porosidade do meio (fator A), o tipo de fluido (fator B) e a vazo (fator C).

Foram utilizados dois nveis de porosidade. No nvel baixo, partculas com tamanhocaracterstico de 2 a 4 mm formaram o meio, resultando numa porosidade de 34%, e, no nvel

alto, utilizaram-se partculas de 4 a 6 mm e a porosidade foi de 40%. J os dois fluidos

utilizados foram glicerina (newtoniano) e uma soluo de gua com Carbopol 1,84% (no-

newtoniano). Devido a limitaes do experimento no foi possvel igualar os nveis de vazo

para os dois fluidos. Para a glicerina, as vazes utilizadas foram 25 ml/min e 44 ml/min e,

para a soluo de gua com Carbopol, 158 e 439 ml/min.

Estes trs fatores apresentados so os chamados controlveis. Contudo, outros fatores tambm

podem influenciar na resposta dos experimentos. Estes podem ser classificados em


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incontrolveis, distrbios e constantes. O diagrama de causa e efeito da Figura 7 resume esses

fatores.

Figura 7. Diagrama de Ishikawa apresentando os fatores que influenciam no valor da entropia.

O porqu de esses fatores surgirem depende de vrias condies que so apresentadas no

diagrama da Figura 8.

Figura 8. Diagrama de Ishikawa apresentando as provveis fontes de erro do experimento.

Como todo experimento, as fontes de erro esto presentes e reconhecer quais delas so

importantes e quais devem ser corrigidas faz parte do processo. Os procedimentos tomadosforam os mais cuidadosos possveis para que esses erros fossem minimizados.


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46

4.4 ESCOLHA DO MODELO EXPERIMENTAL

A anlise fatorial largamente utilizada em experimentos onde vrios fatores estoenvolvidos e seria uma boa escolha para model-los. Contudo, verifica-se uma hierarquia, ou

um acoplamento entre os fatores fluido (B) e vazo (C), ou seja, o nvel de vazo depende do

fluido escolhido. O modelo experimental que verifica essas condies observadas o

aninhado-fatorial (nested-factorial) e por isso foi o escolhido. Para realizar a anlise

assumimos que os fatores so fixos, os experimentos so completamente aleatrios e

suposies de normalidades so satisfeitas. Um organograma que resume a estrutura de

organizao dos experimentos mostrado a seguir na Figura 9.

Figura 9. Organograma mostrando a estrutura de organizao dos experimentos.

Definiu-se a realizao de trs rplicas experimentais para cada combinao de fatores,

permitindo mais confiabilidade nos resultados e assegurando que os erros so minimizados.

Aps a realizao dos experimentos e de posse dos resultados aplicou-se o tratamento

matemtico proveniente do modelo aninhado-fatorial para obter as seguintes estatsticas:

I. Soma dos quadrados para cada efeito;

II. Nmero de graus de liberdade de cada efeito;

III. Mdia dos quadrados de cada efeito;

IV. ValorF0 (teste F);

V. P-valor de cada efeito.

Com estes dados possvel tirar concluses a respeito dos dados obtidos, como por exemplo,

se o efeito de cada fator ou de interaes significativo ou no.

Vazo

Fluido

Porosidade

Estrutura

34%

Glicerina

25[ml/min]

44[ml/min]

Carbopol

158[ml/min]

439[ml/min]

40%

Glicerina

25[ml/min]

44[ml/min]

Carbopol

158[ml/min]

439[ml/min]


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5 MATERIAIS E MTODOS

A fim de atingir o objetivo proposto fez-se necessrio a construo de um aparatoexperimental especfico e a utilizao de tcnicas que sero discutidas a seguir.

5.1 APARATO EXPERIMENTAL

A montagem do experimento mostrada na Figura 10 e tem como referncias montagenssimilares em experimentos de Mendes et. al. (2009) e Catania et. al. (2007).

Figura 10. Esquema da montagem do aparato experimental com identificao de cada componente.


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5.1.1 Meio poroso

O meio poroso consiste numa caixa de acrlico transparente (polimetil-metacrilato), cujosdetalhes so mostrados na Figura 11, constituda de uma cmara de entrada de dimenses

3x5x3cm, separada de uma cmara central (20x20x3cm) por uma tela metlica fina, que por

sua vez separada da cmara de sada (20x5x3cm) por outra tela fina, semelhante primeira.

As telas metlicas possuem orifcios da ordem de 0,1mm de dimetro e visam garantir que a

velocidade do escoamento no varie muito ao longo do meio poroso.

Figura 11. Detalhes da caixa contendo o meio poroso com indicaes de cada elemento que a constitui.

A cmara central a que representa de fato o meio poroso. Ela constituda de cacos de vidro

comprimidos entre duas placas de vidro grossas com 10 mm de espessura cada, por sua vez

espaadas numa distncia de tambm 10 mm. Os cacos de vidro so classificados por meio de

processo de peneiramento em duas classes de tamanho: de 2 a 4 mm (fino) e de 4 a 6 mm

(grosso). Cada classe de tamanho resulta numa porosidade diferente para o meio, que um

dos fatores a ser avaliado nos experimentos. De acordo com Catania et. al. (2007), o espao

em que os cacos de vidro so confinados (com 10 mm de espessura) suficientemente estreito

para aproximar um sistema quasibidimensional e ao mesmo tempo pondera os possveis


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efeitos de no uniformidade ao longo da espessura de modo que gera uma distribuio suave

do fluido no meio.

O fundo da caixa escuro enquanto que todo o restante transparente. Essa caracterstica

necessria para obter um bom contraste nas imagens do escoamento, que sero detalhadas

mais adiante.

A entrada de fluido se d por um nico orifcio de 2 mm de dimetro localizado na cmara de

entrada e a sada se d atravs de quatro orifcios de mesma dimenso localizados na cmara

de sada, como mostra a Figura 11.

O sistema todo vedado utilizando como elemento vedante silicone industrial em todas as

junes.

5.1.2 Fluidos

Com o intuito de avaliar a influncia da natureza do fluido nos escoamentos em meios

porosos dois tipos deles, um newtoniano e outro no newtoniano, foram utilizados. A seguir

cada um deles detalhado.

5.1.2.1 Glicerina

A glicerina foi o primeiro fluido escolhido para a realizao dos experimentos por apresentar

um ndice de refrao de aproximadamente 1,47 em relao ao vcuo, que prximo do

ndice de refrao do vidro para as mesmas condies (em mdia 1,50). Isso faz com que,

idealmente, no haja distino entre o que vidro e o que glicerina numa mistura entre os

dois. Na prtica, o meio poroso de cacos de vidro preenchido com glicerina apresentou

algumas imperfeies visuais, porm bem aceitveis para os experimentos em questo, ou

seja, o que predominou numa vista superior foi o fundo escuro da caixa.

Alm da funo de preenchimento inicial do meio poroso, a glicerina com traador

fluorescente (ver seo 5.1.3) foi injetada no meio para que fosse observado o comportamento


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de seu escoamento. A glicerina um fluido newtoniano de alta viscosidade e algumas de suas

propriedades esto listadas na Tabela 3.

TABELA 3 - PROPRIEDADES DA GLICERINA BIDESTILADA

Glicerina bidestilada

Frmula qumica C3H8O3

Densidade a 20C 1,2584 [g/ml]

Viscosidade absoluta a 20C 1,485 [Pa.s]

ndice de refrao a 20C 1,47

Fonte: Certificado de anlise do laboratrio de controle de qualidade - fabricante Fontana.

5.1.2.2 Mistura gua e Carbopol 1,84%

O outro fluido utilizado foi uma mistura de gua com o espessante Carbopol 940, numa

concentrao de 1,84%. O Carbopol um polmero hidrossolvel extremamente eficiente

como modificador reolgico capaz de promover alta viscosidade gua. No seu estado bsico

o Carbopol se apresenta na forma de um p branco de granulao fina. O p misturado com

gua e agitado at se obter um fluido homogneo.

A escolha do Carbopol deve-se ao fato de suas caractersticas reolgicas serem similares s do

petrleo lquido, e mais do que isso, ser um representante da classe de fluidos no

newtonianos.

Da mesma forma que a glicerina, a mistura com Carbopol foi contaminada com um traador

fluorescente para visualizao do escoamento no meio poroso.

Para fins de simplificao de nomenclatura, neste trabalho a mistura ser tratada apenas como

"Carbopol".


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5.1.3 Contaminante

Cloreto de Rodamina 6G (C28H31N2O3.Cl) foi utilizado como contaminante por apresentar ofenmeno de fluorescncia. Este corante tem alta fotoestabilidade e seu pico de absoro de

luz ocorre num comprimento de onda de 530nm (cor verde). O corante apresenta alta

solubilidade em gua e, como constatado em testes preliminares, tambm apresenta boa

solubilidade em glicerina e em Carbopol (ver Figura 12).

Em ambos os fluidos de trabalho (glicerina e Carbopol) a concentrao utilizada do

contaminante Rodamina 6G foi de 30 ppm. Antes de serem utilizados e depois de serem

misturados com o corante, os fluidos permaneceram em descanso de pelo menos vinte equatro horas dentro de reservatrios protegidos da luz para que a solubilizao fosse

completa.

O contaminante serviu como traador do fluxo de fluido no meio poroso transparente. Devido

a sua fluorescncia, um alto nvel de contraste foi obtido, possibilitando imagens ntidas

capturadas pela cmera fotogrfica. Uma vantagem observada que, devido concentrao

muito baixa de corante (30ppm), pode-se considerar que a tcnica utilizada representa um

meio praticamente no intrusivo de se obter informaes do experimento.

Existe tambm uma relao entre a intensidade luminosa fluorescente emitida pelo

contaminante e sua concentrao no fluido, dada uma fonte luminosa externa conhecida,

contudo, isso no ser escopo deste trabalho.


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Figura 12. Teste em tubo de ensaio do efeito de fluorescncia da Rodamina 6G em glicerina quando excitada por

luz verde.

5.1.4 Sistema hidrulico

O sistema hidrulico, que tem por objetivo a injeo de fluidos no meio poroso, constitudo

de trs reservatrios de cinco litros de capacidade cada para comportar os fluidos de trabalho

(glicerina, glicerina com traador e Carbopol com traador), um reservatrio de dois litros

para gua de limpeza, dois reservatrios de dois litros para sada de fluidos (um na sada da

caixa contendo o meio poroso e outro num desvio utilizado para sangria do sistema),

mangueiras siliconadas de 2 mm de dimetro interno para interligao de todo o sistema, um

conjunto de vlvulas para direcionar os diferentes fluidos, uma vlvula para sangria e

finalmente uma bomba peristltica com controle de vazo.

A bomba peristltica utilizada tem um controlador de vazo por manete que varia a

velocidade de rotao em dez diferentes nveis, garantindo a presso de descarga. Para o nvel

de vazo baixo, foi utilizado o ajuste de velocidade de nmero 4 e, para vazo alta, foi

utilizado nvel de velocidade nmero 10. Testes realizados com a bomba em descarga livre

utilizando glicerina apresentaram valores mdios de 25 [ml/min] e 44 [ml/min] para as vazes

baixa e alta, respectivamente. Para o Carbopol os valores mdios foram de 158 [ml/min] e 439

[ml/min].


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5.1.5 Sistema de iluminao

Os experimentos foram realizados em uma sala escura e praticamente toda potncia luminosafoi proveniente de duas lmpadas espirais verdes fluorescentes de 26 W cada, montadas em

refletores parablicos e posicionadas em relao ao meio poroso como mostra a Figura 10.

Para evitar reflexes indesejadas de outros objetos ao redor da regio de interesse, placas

escuras foram posicionadas ao redor da caixa contendo o meio poroso.

As lmpadas foram ligadas pelo menos um minuto antes de comearem os experimentos. Esse

o tempo recomendado pelo fabricante para que elas entrem em regime e o nvel de

luminosidade requerido seja garantido.

5.1.6 Cmera fotogrfica e aquisio de dados

As imagens foram gravadas por uma cmera digital Samsumg SL202 com uma resoluo de

3648(H)x2432(V) pixels. A cmera equipada com um sensor de imagem CCD e com uma

lente de distncia focal de 6,2 a 18,6 mm. Um filtro de banda luminosa foi posicionado na

frente da lente da cmera de modo a permitir que apenas comprimentos de onda prximos ao

pico de emisso do traador fluorescente fossem capturados (cor laranja). Um cronmetro

digital registra o momento da aquisio de cada imagem.

A lente da cmera foi alinhada no centro e paralelamente a superfcie superior do meio poroso

(placa de vidro) a uma distncia de 30 cm dela e configurada com o fator de proximidade

ativado (macro).

A aquisio dos dados foi feita por meio do armazenamento das imagens no carto de

memria instalado na cmera e a posterior

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Avaliação experimental da variação da entropia da informação de escoamentos em meios porosos - Projeto de graduação - Nathan F. Strey