7/23/2019 Avaliao experimental da variao da entropia da informao de escoamentos em meios porosos - Projeto de gr
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO
CENTRO TECNOLGICO
GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
NATHAN FANTECELLE STREY
AVALIAO EXPERIMENTAL DA VARIAO DA ENTROPIA DA
INFORMAO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
VITRIA
2012
7/23/2019 Avaliao experimental da variao da entropia da informao de escoamentos em meios porosos - Projeto de gr
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NATHAN FANTECELLE STREY
AVALIAO EXPERIMENTAL DA VARIAO DA ENTROPIA DA
INFORMAO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
Projeto de Graduao apresentado ao
Departamento de Engenharia Mecnica da
Universidade Federal do Esprito Santo, como
requisito parcial para obteno do ttulo de
Engenheiro Mecnico.
Orientador: Prof. Ms. Rogrio Silveira deQueiroz.
VITRIA
2012
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NATHAN FANTECELLE STREY
AVALIAO EXPERIMENTAL DA VARIAO DA ENTROPIA DA
INFORMAO DE ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
Projeto de Graduao apresentado ao Departamento de Engenharia Mecnica da Universidade
Federal do Esprito Santo, como requisito parcial para obteno do ttulo de Engenheiro
Mecnico.
Aprovada em ___ de ________ de 2012.
COMISSO EXAMINADORA
__________________________________________________
Prof. Ms. Rogrio Silveira de Queiroz
Universidade Federal do Esprito Santo
Orientador
__________________________________________________
Prof. Dr. Juan Srgio Romero Saenz
Universidade Federal do Esprito Santo
__________________________________________________
Prof. Dr. Angelo Gil Pezzino Rangel
Universidade Federal do Esprito Santo
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AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos que me apoiaram e incentivaram durante os cinco anos do cursode Engenharia Mecnica e tambm no projeto de pesquisa, no qual me empenhei nos ltimos
dois anos, especialmente:
Os meus familiares que sempre me incentivaram e me deram fora para correr atrs dos meus
sonhos;
Os amigos que me ajudaram a ter nimo para continuar;
Os colegas de turma que compartilharam comigo todos esses anos de estudo;
Todos os servidores da universidade;
Os professores que me ensinaram um pouco do que sabem durante este perodo;
Todos os colegas de laboratrio que me ajudaram no projeto;
O Professor Rogrio Silveira de Queiroz, pelo seu vasto conhecimento, experincia e
compreenso mostrados durante o perodo do projeto, pela indicao do tema e por ter
aceitado gentilmente a tarefa de ser meu orientador;
A Agncia Nacional do Petrleo, Gs Natural e Biocombustveis (ANP), FINEP
(Financiadora de Estudos e Projetos) e ao Ministrio da Cincia e Tecnologia pelo grande
incentivo ao estudo e pesquisa dado ao instituir o Programa de Recursos Humanos na
Universidade.
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RESUMO
Uma avaliao experimental da taxa de variao da entropia da informao normalizada deescoamentos em meios porosos foi realizada, a fim de se obter uma caracterizao utilizando
descritores otimizados, sendo eles porosidade do meio, tipo e vazo de fluido. Os
experimentos consistiram em bombear um fluido contendo um traador fluorescente numa
clula experimental contendo um meio poroso e capturar imagens do escoamento que foram
avaliadas de acordo com a teoria da entropia de informao de Shannon. Os experimentos
visaram a simular o processo de recuperao secundria de petrleo, cuja descrio
matemtica ainda um desafio, representando um passo para alcanar o entendimento do
fenmeno. Tcnicas estatsticas foram utilizadas para obter concluses adequadas dos
experimentos. Como resultado, observou-se a influncia, ou no, dos parmetros avaliados na
taxa de variao de entropia da informao.
Palavras-chave: Entropia da informao. Recuperao secundria de petrleo. Meio poroso.
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ABSTRACT
An experimental evaluation of the rate of change of the normalized information entropy ofporous media was performed in order to obtain a characterization using optimized descriptors,
being them porosity of the media, type and flow of fluid. The experiment consisted of
pumping a fluid containing a fluorescent tracer in an experimental cell containing a porous
media and capturing images which have been evaluated according to the theory of Shannon
information entropy. The experiments intended to simulate the secondary petroleum recovery
process, for which a mathematical description is still a challenge, representing a step towards
understanding the phenomenon. Statistical techniques were used to obtain appropriate
conclusions from experiments. As result, it was observed the influence of the evaluated
parameters on the rate of change in information entropy.
Keywords: Information entropy. Secondary petroleum recovery. Porous media.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1Processos de recuperao de petrleo .................................................................
Figura 2 - Microfotografia de uma rocha reservatrio contendo leo ..................................
Figura 3 - Ilustrao da molhabilidade com ngulos de contato para diferentes fluidos .....
Figura 4 - Representao da tenso superficial entre ar e gua num tubo capilar ................
Figura 5 - Fotografia de uma populao de 625 partculas que interagem numa regio de
tamanho 50x50 e que representam uma microestrutura bifsica em evoluo ....................
Figura 6 Imagens de filmes granulares de ouro mostrando o comprimento timo deentropia .................................................................................................................................
Figura 7 Diagrama de Ishikawa apresentando os fatores que influenciam no valor da
entropia .................................................................................................................................
Figura 8 - Diagrama de Ishikawa apresentando as provveis fontes de erro do
experimento ..........................................................................................................................
Figura 9 - Organograma mostrando a estrutura de organizao dos experimentos .............
Figura 10Esquema de montagem do aparato experimental ..............................................
Figura 11 - Detalhes da caixa contendo o meio poroso com indicaes de cada elemento
que a constitui .......................................................................................................................
Figura 12 - Teste em tubo de ensaio do efeito de fluorescncia da Rodamina 6G em
glicerina ................................................................................................................................
Figura 13 - Regio de interesse da imagem obtida num dos experimentos .........................Figura 14 - Sequncia de imagens obtidas do escoamento do experimento 1 .....................
Figura 15 - Resultado do clculo do p-valor ........................................................................
Figura 16 - Imagens do experimento 1 .................................................................................
Figura 17 - Imagens do experimento 2 .................................................................................
Figura 18 - Imagens do experimento 3 .................................................................................
Figura 19 - Imagens do experimento 4 .................................................................................
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Figura 20 - Imagens do experimento 5 .................................................................................
Figura 21 - Imagens do experimento 6 .................................................................................
Figura 22 - Imagens do experimento 7 .................................................................................
Figura 23 - Imagens do experimento 8 .................................................................................
Figura 24 - Imagens do experimento 9 .................................................................................
Figura 25 - Imagens do experimento 10 ...............................................................................
Figura 26 - Imagens do experimento 11 ...............................................................................
Figura 27 - Imagens do experimento 12 ...............................................................................
Figura 28 - Imagens do experimento 13 ...............................................................................
Figura 29 - Imagens do experimento 14 ...............................................................................
Figura 30 - Imagens do experimento 15 ...............................................................................
Figura 31 - Imagens do experimento 16 ...............................................................................
Figura 32 - Imagens do experimento 17 ...............................................................................
Figura 33 - Imagens do experimento 18 ...............................................................................
Figura 34 - Imagens do experimento 19 ...............................................................................
Figura 35 - Imagens do experimento 20 ...............................................................................
Figura 36 - Imagens do experimento 21 ...............................................................................
Figura 37 - Imagens do experimento 22 ...............................................................................
Figura 38 - Imagens do experimento 23 ...............................................................................
Figura 39 - Imagens do experimento 24 ...............................................................................
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LISTA DE GRFICOS
Grfico 1 - Entropia versus probabilidade para uma fonte com dois eventoscomplementares de probabilidades q e 1-q ..........................................................................
Grfico 2 Entropia da informao H(m) para vrias distribuies aleatrias de
partculas num espao finito .................................................................................................
Grfico 3 - Diferenas entre H(m) e Hr(m) do grfico 2 plotados como entropia
normalizada H'(m) ................................................................................................................
Grfico 4 - Sequncia tpica de curvas de H(m) calculada para uma populao de
partculas interagindo ...........................................................................................................
Grfico 5 - Entropia da informao normalizada para diferentes tamanhos de janela .........
Grfico 6 - Refletncia para amostra A: medida e calculada por diferentes modelos .........
Grfico 7 - Transmitncia para amostra A: medida e calculada por diferentes modelos.
Grfico 8 - Taxa de variao mdia da entropia da informao normalizada ......................
Grfico 9Entropia normalizada versus tamanho de janela em vrios instantes de tempo.Grfico 10Evoluo no tempo da entropia normalizada e da janela tima.......................
Grfico 11Efeito da porosidade na curva de evoluo da entropia ..................................
Grfico 12 - Efeito da vazo na curva de evoluo da entropia ...........................................
Grfico 13 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 1 ......
Grfico 14 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 2 ......
Grfico 15 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 3 ......
Grfico 16 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 4 ......
Grfico 17 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 5 ......
Grfico 18 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 6 ......
Grfico 19 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 7 ......
Grfico 20 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 8 ......
Grfico 21 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 9 ......
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Grfico 22 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 10 ....
Grfico 23 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 11 ....
Grfico 24 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 12 ....
Grfico 25 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 13 ....
Grfico 26 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 14 ....
Grfico 27 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 15 ....
Grfico 28 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 16 ....
Grfico 29 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 17 ....
Grfico 30 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 18 ....
Grfico 31 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 19 ....
Grfico 32 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 20 ....
Grfico 33 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 21 ....
Grfico 34 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 22 ....
Grfico 35 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 23 ....
Grfico 36 - Entropia normalizada e janela tima versus tempo para o experimento 24 ....
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Microestados, macroestados e conjunto para um sistema de trs partculas comenergia 9 eu ...........................................................................................................................
Tabela 2 - Probabilidades e mdia dos quadrados da energia para o sistema de trs
partculas com energia total 9eu ...........................................................................................
Tabela 3 - Propriedades da glicerina bidestilada ..................................................................
Tabela 4 - Exemplo do resultado da contagem de pixels pretos (P) e brancos (B) para
uma janela de amostragem de 20x20 pixels (l=20) ..............................................................
Tabela 5 - Entropias normalizadas, entropias mximas e janela tima para um dado
experimento ..........................................................................................................................
Tabela 6 - Esquema de organizao dos dados ....................................................................
Tabela 7 - Dados de entropia normalizada para as diversas configuraes e observaes
dos experimentos ..................................................................................................................
Tabela 8 - Resultados dos clculos estatsticos ....................................................................
Tabela 9Dados do experimento 1 .....................................................................................
Tabela 10Dados do experimento 2 ...................................................................................
Tabela 11Dados do experimento 3 ...................................................................................
Tabela 12Dados do experimento 4 ...................................................................................
Tabela 13Dados do experimento 5 ...................................................................................
Tabela 14Dados do experimento 6 ...................................................................................
Tabela 15Dados do experimento 7 ...................................................................................
Tabela 16Dados do experimento 8 ...................................................................................
Tabela 17Dados do experimento 9 ...................................................................................
Tabela 18Dados do experimento 10 .................................................................................
Tabela 19Dados do experimento 11 .................................................................................
Tabela 20Dados do experimento 12 .................................................................................
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Tabela 21Dados do experimento 13 .................................................................................
Tabela 22Dados do experimento 14 .................................................................................
Tabela 23Dados do experimento 15 .................................................................................
Tabela 24Dados do experimento 16 .................................................................................
Tabela 25Dados do experimento 17 .................................................................................
Tabela 26Dados do experimento 18 .................................................................................
Tabela 27Dados do experimento 19 .................................................................................
Tabela 28Dados do experimento 20 .................................................................................
Tabela 29Dados do experimento 21 .................................................................................
Tabela 30Dados do experimento 22 .................................................................................
Tabela 31Dados do experimento 23 .................................................................................
Tabela 32Dados do experimento 24 .................................................................................
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SUMRIO
1 INTRODUO ..............................................................................................................
1.1 MOTIVAO ..............................................................................................................
1.2 REVISO BIBLIOGRFICA .....................................................................................
1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................
1.3.1 Objetivo geral ...........................................................................................................
1.3.2 Objetivos especficos ................................................................................................
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................................
2 FUNDAMENTAO TERICA ................................................................................
2.1 ENGENHARIA DE PETRLEO E OS PROCESSOS DE RECUPERAO ...........
2.2 RESERVATRIOS ......................................................................................................
2.2.1 Definio ....................................................................................................................
2.2.2 Acumulao ..............................................................................................................
2.2.3 Propriedades da rocha reservatrio e fluidos ........................................................
2.2.3.1 Porosidade () .........................................................................................................
2.2.3.1.1 Porosidade absoluta (abs) ...................................................................................
2.2.3.1.2 Porosidade efetiva (efetiva) ...................................................................................
2.2.3.2 Saturao .................................................................................................................
2.2.3.3 Molhabilidade .........................................................................................................
2.2.3.4 Tenso superficial e tenso interfacial ....................................................................
2.2.3.5 Presso capilar (pc) ..................................................................................................
2.2.3.6 Permeabilidade () ..................................................................................................
2.2.3.7 Compressibilidade ...................................................................................................
2.3 ENTROPIA ...................................................................................................................
15
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19
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2.4 MECNICA QUNTICA ESTATSTICA E O CLCULO DA ENTROPIA ..........
2.5 O PRINCPIO DA MXIMA ENTROPIA ..................................................................
3 DISCUSSO DE PROBLEMAS ..................................................................................
3.1 ENTROPIA DA INFORMAO DE ESTRUTURAS COMPLEXAS ......................
3.2 MODELO ENTRPICO PARA AS PROPRIEDADES PTICAS DE MEIOS
HETEROGNEOS .............................................................................................................
4 PROJETO EXPERIMENTAL .....................................................................................
4.1 RECONHECIMENTO E ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA .........................
4.2 SELEO DA VARIVEL RESPOSTA ....................................................................
4.3 ESCOLHA DOS FATORES, NVEIS E FAIXAS .......................................................
4.4 ESCOLHA DO MODELO EXPERIMENTAL ............................................................
5 MATERIAIS E MTODOS ..........................................................................................
5.1 APARATO EXPERIMENTAL ....................................................................................
5.1.1 Meio poroso ...............................................................................................................
5.1.2 Fluidos .......................................................................................................................
5.1.2.1 Glicerina ..................................................................................................................
5.1.2.2 Mistura gua e Carbopol 940 1,84% .......................................................................
5.1.3 Contaminante ...........................................................................................................
5.1.4 Sistema hidrulico ....................................................................................................
5.1.5 Fonte luminosa .........................................................................................................
5.1.6 Cmera fotogrfica e aquisio de dados ...............................................................
5.2 FUNCIONAMENTO DO EXPERIMENTO ................................................................
5.3 TRATAMENTO DAS IMAGENS ...............................................................................
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5.4 CLCULO DA TAXA DE VARIAO DA ENTROPIA DO ESCOAMENTO ......
5.5 ANLISE ESTATSTICA DOS DADOS ....................................................................
5.5.1 Soma dos quadrados dos efeitos principais e de interao ...................................5.5.2 Graus de liberdade....................................................................................................
5.5.3 Mdia da soma dos quadrados ................................................................................
5.5.4 Teste F e p-valor........................................................................................................
6 RESULTADOS ...............................................................................................................
7 CONCLUSO ................................................................................................................
8 REFERNCIAS .............................................................................................................
APNDICE DADOS DOS EXPERIMENTOS ...........................................................
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1 INTRODUO
1.1 MOTIVAO
A engenharia de reservatrios, uma ramificao da engenharia de petrleo, concentra-se
basicamente nos processos de explorao de reservatrios de leo e gs, com o objetivo de
maximizar a recuperao e consequentemente a sua produo de petrleo. Como a prpria
origem do nome petrleo antecipa (petrleo vem do latimpetroleum,petrus = pedra e oleum
= leo, leo da pedra), esses reservatrios so basicamente pedras, ou rochas porosas, que
sero aqui tratadas como meios porosos.
A maximizao da produo (recuperao) de um reservatrio de leo e gs s possvel
quando o meio poroso onde ele est armazenado for bem caracterizado. Importantes
propriedades de um meio poroso que so desejveis conhecer so, por exemplo, a porosidade,
a saturao, a molhabilidade, a presso capilar e a permeabilidade. Alm disso, conhecer
como acontece o escoamento do fluido durante a sua recuperao crucial para uma precisa
previso de produo e determinao da melhor maneira de ele ser recuperado.
Sabe-se, contudo, que esses desafios impostos pela engenharia de reservatrios so problemas
que envolvem grande complexidade devido ao carter extremamente aleatrio das
caractersticas dos meios porosos e dinmica dos fluidos envolvidos. Assim, fundamental
o desenvolvimento de mtodos que sirvam para avaliar, ou at mensurar propriedades de
escoamento de fluidos nesses meios, sendo esse o principal motivo para a realizao desse
trabalho.
1.2 REVISO BIBLIOGRFICA
O fundamento terico em que se embasam este trabalho e a maioria dos outros usados como
referncia o conceito da entropia da informao. Claude Elwood Shannon (1916 2001) considerado o criador da teoria da informao (OCONNOR; ROBERTSON, 2003). O texto
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clssico que descreve sua teoria foi publicado inicialmente em 1948 com o ttulo A
Mathematical Theory of Communication, no jornal tcnico The Bell System Technical
Journal, da empresa de telecomunicaes Bell Telephone Laboratories, localizada nos
Estados Unidos. Mais tarde, em 1949, Shannon, em parceria com Warren Weaver, publicou o
livro The Matematical Theory of Communication, que por ser de fcil acesso tambm a no
especialistas popularizou os conceitos publicados no artigo que o deu origem. Na
interpretao de Shannon, a incerteza da informao pode ser quantificada numa propriedade
que ele denominou entropia. Utilizando a entropia da informao como ferramenta, ele
conseguiu analisar de maneira sistemtica a eficincia na transmisso de dados em sistemas
de comunicao. A ideia inicial de Shannon, devidamente adaptada, aplicada hoje em dia
em diversas reas do conhecimento como Matemtica, Fsica, Qumica, Biologia, Engenharia,Economia, Lingustica, Msica, Arquitetura, Planejamento Urbano, Teoria Social e Cultural
entre muitas outras.
Yelshin (1996) dissertou sobre a possibilidade do uso da entropia da informao como
descritor quantitativo de caractersticas estruturais de meios porosos. Yelshin calcula a
entropia da informao para diferentes distribuies de tamanhos de poro (Simpson,
exponencial, gamma, log normal e Weibull) e capilaridade, citando exemplos e comparando
resultados numricos. O mtodo aplicado tanto para meios porosos de camada simples como
para multicamadas (utilizando o conceito de entropia conjunta para o ltimo caso) e suas
concluses qualitativas apresentam consistncia com os casos prticos. O autor conclui que a
utilizao da entropia da informao d um novo ponto de vista aos problemas de modelagem
de meios porosos e abre a possibilidade de maiores investigaes tericas e experimentais nos
fenmenos de transporte envolvidos.
Andraud et al. (1997) estabeleceram uma relao rigorosa entre entropia de porosidade local
de Boger et al. (1992) e a entropia configuracional de Andraud et al. (1994), que foram
introduzidas como descritores morfolgicos derivadas de flutuaes locais de volume em
microestruturas correlatas arbitrrias que ocorrem em meios porosos ou outros sistemas
heterogneos. Foi provado que os comprimentos caractersticos, nos quais as entropias so
extremas (mximos ou mnimos), so idnticos para ambos os casos de entropia
(configuracional e de porosidade local), desde que a resoluo seja alta o suficiente para tal.
Siclen (1997) demonstrou que a entropia da informao fornece uma quantificao da
complexidade de um sistema material multicomponente por meio da anlise de uma
microestrutura bifsica em evoluo simulada por uma populao de partculas interagindo
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numa superfcie bidimensional. observado que a entropia da informao cresce para todas
as escalas de comprimento de acordo com que a configurao aleatria inicial de partculas se
desenvolve, at produzir uma distribuio de aglomerados ramificados. A entropia
normalizada utilizada pelo autor uma medida mais sensvel em relao s entropias
configuracional e de porosidade local, visto que a normalizao utilizada por ele desconta a
entropia inicial esperada para o sistema. Valores extremos da entropia normalizada para
diferentes comprimentos caractersticos so discutidos e relacionados com a morfologia do
sistema.
Andraud e Lafait (1998) validaram um modelo entrpico para obteno de propriedades
morfolgicas de filmes metlicos finos prximos ao limiar de percolao. Graas ferramenta
chamada entropia configuracional normalizada, o modelo proposto permite determinar um
comprimento tpico que caracterstico da desordem da imagem que representa o filme
metlico. As propriedades pticas desses filmes perto do limiar de percolao, onde as teorias
clssicas falham, conseguem ser determinadas com o modelo, que baseado na partio da
imagem real no comprimento tpico encontrado. Alm disso, foram realizados testes de
sensibilidade do modelo para flutuaes locais na morfologia utilizando imagens geradas com
diferentes algoritmos.
Queiroz et al. (2007) tambm utilizaram a entropia da informao e o ndice de Shannon
como ferramentas para avaliar o desempenho de redes de monitoramento ambiental
automtico em Vitria, regio metropolitana do estado do Esprito Santo, no Brasil. A partir
de dados coletados por analisadores de gases num perodo de aproximadamente quatro anos
(2001 a 2005) concluses so tiradas a respeito da importncia real de cada analisador para a
rede.
Vakarin e Badiali (2007?) descreveram a caracterizao de meios aleatrios utilizando a
abordagem da mxima entropia, atravs da estimativa das propriedades estatsticas desses
meios. Prova-se que existe uma relao explcita entre a resposta do sistema analisado a um
estmulo externo e a taxa de informao. Pode-se ento relacionar as caractersticas da
resposta obtida (pontos de inflexo e singularidades) com o meio ao redor e os estmulos
aplicados. Isto demonstrado obtendo-se a distribuio de velocidades Power Law atravs de
uma abordagem superestatstica. Conclui-se que possvel estabelecer essa relao sem entrar
em detalhes microscpicos que determinam o comportamento do sistema.
Robinson (2008) dissertou sobre as ideias bsicas entorno da definio de entropia na teoria
da informao e sua relao com a entropia na teoria dos sistemas dinmicos e na mecnica
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estatstica. Alguns dos tpicos abordados pelo autor explicam de maneira simples aspectos
fundamentais da entropia da informao de Shannon.
Mendes et al. (2009) apresentaram os resultados de experimentos de visualizao do
fenmeno de formao de viscous fingeringdurante o deslocamento de solues aquosas de
Carbopol por gua deionizada em uma clula retangular de Hele-Shaw. Escolher o Carbopol
como fluido a ser deslocado justificado pelo fato dele ter caractersticas reolgicas
semelhantes de um leo pesado. A montagem experimental serviu, de certa forma, como
referncia para os experimentos do presente trabalho. Simulaes numricas foram feitas ao
final como forma de comparar qualitativamente os escoamentos (real e numrico).
Wang et al. (2009) investigaram a caracterizao do escoamento de gua no solo e o
transporte de soluto utilizando medidas de informao, dentre elas a entropia da informao,
ganho mdio de informao, complexidade de flutuaes e medida efetiva da complexidade.
Foram realizados experimentos de infiltrao de gua com contaminante fluorescente e foram
capturadas imagens de diversas sees do solo irrigado. Concluiu-se que a entropia da
informao uma medida mais verstil que a distribuio de probabilidades para caracterizar
heterogeneidades do escoamento em solos.
Catania et al. (2007) apresentaram uma anlise quantitativa de imagens obtidas deescoamentos em meios porosos constitudos de caixas preenchidas com prolas de vidro
padronizadas. A visualizao do escoamento feita utilizando um contaminante no fluido
injetado que apresenta o fenmeno de fluorescncia. Imagens so obtidas com uma cmera
CCD e a distribuio bidimensional das concentraes do contaminante determinada
utilizando curvas de calibrao adequadas. A anlise do erro experimental no perfil de
concentraes tambm feita e o desempenho do modelo construdo testado.
Montgomery (2001) apresentou a base para o projeto experimental, feito de acordo com omodelo aninhado-fatorial, que eficiente quando os experimentos envolvem o estudo de dois
ou mais fatores.
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1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo geral
O objetivo principal utilizar a anlise da entropia da informao de Shannon para
caracterizar escoamentos em meios porosos.
1.3.2 Objetivos especficos
Realizar uma reviso bibliogrfica detalhada sobre a caracterizao de meios heterogneos
bifsicos com a utilizao da entropia da informao de Shannon.
Construir o aparato experimental necessrio e adquirir os dados de interesse do projeto.
Extrair informaes relevantes dos resultados obtidos dos experimentos por meio de uma
anlise estatstica rigorosa.
1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO
Neste captulo faz-se uma breve introduo ao assunto abordado no restante do texto,
incluindo motivao, objetivos e descrevendo de forma sucinta as referncias que foram
utilizadas ou serviram de inspirao para este trabalho.
No Captulo 2 apresentou-se, de forma mais aprofundada, os fundamentos tericos que
sustentam o assunto, abordando desde aspectos prticos da engenharia de reservatrios como
propriedades de rochas e meios porosos at conceitos de Mecnica Quntica Estatstica e
Entropia da Informao de Shannon.
No terceiro captulo so discutidos dois trabalhos independentes que abordam a anliseentrpica em meios heterogneos, incluindo fundamentao terica, resultados e concluses.
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No Captulo 4, o projeto experimental do trabalho desenvolvido com base em consideraes
estatsticas que so adotadas.
O Captulo 5 apresenta de forma detalhada os materiais e metodologias utilizadas, incluindo
procedimentos experimentais, procedimentos de clculo e anlises estatsticas.
Os resultados dos experimentos, incluindo imagens, tabelas e grficos de dados, planilhas de
clculo com informaes relevantes e anlises estatsticas so apresentados no Captulo 6.
Finalmente, no Captulo 7, conclui-se o trabalho discutindo os resultados obtidos e
apresentando possibilidades de desenvolvimento para o assunto.
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2 FUNDAMENTAO TERICA
2.1 ENGENHARIA DE PETRLEO E OS PROCESSOS DE RECUPERAO
A funo da Engenharia de Petrleo promover a base para o projeto e execuo de tcnicas
de recuperao de petrleo que sejam viveis do ponto de vista logstico e econmico. Para
que isto seja realizado vrias reas do conhecimento so necessrias, dentre elas Engenharia,
Geologia, Matemtica, Fsica, Qumica e Economia.
O projeto em Engenharia de Petrleo muitas vezes depende da observao e da utilizao de
uma quantidade limitada de dados sobre os reservatrios. Os reservatrios, por sua vez, s
conseguem ser explorados de forma vivel at certo limite que representa uma frao da
quantidade total de petrleo armazenada em seu interior. medida que um reservatrio
produz, mais dados sobre sua a natureza so conhecidos e os mtodos para sua explorao
podem ser alterados. A Engenharia de Petrleo pode, ento, ser considerada uma cincia da
aplicao da incerteza no projeto.
Desenvolvimentos nos processos de recuperao de petrleo requerem que os mtodos da
Engenharia de Petrleo sejam combinados com as tecnologias das Engenharias de Minerao
e Qumica. Vrios so os mtodos de recuperao de petrleo e alguns dos mais importantes
esto apresentados no diagrama mostrado na Figura 1.
Figura 1. Processos de recuperao de petrleo. Fonte: Archer (1986). Nota: O organograma uma adaptao.
Recuperao de Petrleo
Processos primrios
(mecanismos naturais)
Influxo degua
Gs emsoluo
Expansode fluido
Drenagemgravitacional
Capa degs
Combinadas
Processos secundrios
(energia suplementar)
Injeo degua
Injeo degs
Processos
especiais
Mtodostrmicos
Injeo defluidos
aquecidos
Combustoin situ
Mtodosmiscveis
Injeo dedixido de
carbono (CO2)
Injeo de gsnatural
Injeo denitrognio
Mtodosqumicos
Injeo depolmeros
Injeo desolues
tensoativas
Injeo demicroemulso
Injeo desoluoalcalina
Estimulao
cidos
Fratura
Outros
Microbiolgica
Ondaseletromagnticas
Perfurao deenchimento
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2.2 RESERVATRIOS
2.2.1 Definio
Segundo Archer e Wall (1986), reservatrio pode ser definido como uma acumulao de
hidrocarbonetos em rochas sedimentares porosas e permeveis. A acumulao, quando a
presso do fluido entra em equilbrio assim que o reservatrio descoberto, tambm
conhecida como poo.
A rocha reservatrio no um bloco macio. Ela contm vrios poros de tamanho milimtrico
e justamente nesses espaos que petrleo e gua so armazenados (ver Figura 2).
Figura 2. Microfotografia de uma rocha reservatrio contendo leo. Fonte: Thomas (2001).
2.2.2 Acumulao
A acumulao de petrleo no interior dos poros de uma rocha reservatrio se deve a trs
fatores: gerao, migrao e acmulo desde a rocha fonte. A gerao do petrleo se deve a
reaes anaerbias ocorridas em material orgnico depositado nos sedimentos da rocha, em
condies termodinmicas favorveis durante um longo perodo de tempo. A migrao, que
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um fenmeno ainda no completamente entendido, ocorre muito provavelmente porque,
durante a gerao, surgem mudanas de volume no fluido que levam a altas presses
localizadas na rocha, que por sua vez geram microfissuras promovendo uma rota de fuga no
sistema permevel. Finalmente, o petrleo acumulado na rocha reservatrio devido a
armadilhas (falhas geolgicas ou barreiras rochosas macias) e dali no consegue mais
migrar.
2.2.3 Propriedades da rocha reservatrio e fluidos
Com o objetivo de se definir os parmetros para a produo de petrleo, vrias propriedades
mensurveis foram definidas. Algumas das mais importantes esto apresentadas. Como o
objetivo deste trabalho no utilizar as equaes envolvidas, o tpico no teve grande
aprofundamento.
2.2.3.1 Porosidade ()
A porosidade de uma rocha a medida da capacidade de armazenamento de fluido.
Quantitativamente, ela a razo entre o volume de poros (ou volume poroso) pelo volume
total. Matematicamente,
(1)A porosidade depende da forma, da organizao, do tamanho dos gros e da cementao da
rocha.
Os poros podem estar conectados entre si, ou isolados devido cementao. Assim, so
definidos dois tipos de porosidade: absoluta e efetiva.
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2.2.3.1.1 Porosidade absoluta (abs)
o total de volumes vazios dividido pelo volume total. Neste caso, considera-se o volumedos poros isolados, que resulta em
(2)
2.2.3.1.2 Porosidade efetiva (efetiva)
a razo entre o volume de poros interligados e o volume total, isto ,
(3)
2.2.3.2 Saturao
Os poros de rochas reservatrio podem estar ocupados por gua e por petrleo, este ltimo na
forma de leo ou gs. A saturao definida como a frao do volume do poro ocupado por
um determinado fluido (leo, gs ou gua). Assim:
(4) (5)
(6)Onde:
Sleo: saturao do leo;
Sgs: saturao do gs;
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Sgua: saturao da gua.
Logicamente, o somatrio das saturaes dos trs diferentes componentes igual a um.
(7)Junto com o petrleo geralmente gua tambm encontrada no interior dos poros. Logo, a
produo de gua inerente ao processo de produo de petrleo e um fator importante a ser
observado.
2.2.3.3 Molhabilidade
A molhabilidade a tendncia de um fluido de se espalhar, ou aderir, a uma superfcie slida
na presena de outros fluidos imiscveis. Pode ser quantificada pela medio do ngulo de
contato da interface lquido slido (), como mostrado na Figura 3. A molhabilidade em
rochas reservatrio importante na distribuio dos fluidos nesse meio. Por causa das foras
atrativas, fases com maior molhabilidade tendem a ocupar poros menores e fases com menor
molhabilidade ocupam espaos mais abertos.
Figura 3. Ilustrao da molhabilidade com ngulos de contato para diferentes fluidos. Fonte: Ahmed (2006).
2.2.3.4 Tenso superficial e tenso interfacial
O efeito das foras nas superfcies fluidas imiscveis chamado tenso superficial (quando osfluidos so lquido e gs) ou tenso interfacial (quando se tem dois lquidos). Uma
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modelagem feita para tubos capilares (ver Figura 4) e as tenses podem ser calculadas
segundo a equao (AHMED; 2006):
(8)Onde:
1: massa especfica do fluido mais denso (1);
2: massa especfica do fluido menos denso (2);
12: tenso superficial ou tenso interfacial entre os fluidos 1 e 2;
: ngulo de contato;
r: raio do tubo capilar;
h: diferena de altura entre as superfcies do fluido dentro e fora do tubo capilar;
g: acelerao da gravidade.
Figura 4. Representao da tenso superficial entre ar e gua num tubo capilar. Fonte: Ahmed (2006).
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2.2.3.5 Presso capilar (pc)
As foras capilares num reservatrio de petrleo so causadas pelo efeito combinado dastenses superficiais e interfaciais, geometria e saturao dos poros e molhabilidade do
sistema. Devido curvatura na superfcie de contato entre dois fluidos imiscveis surge uma
diferena de presses que chamada presso capilar. Referindo-se novamente aos parmetros
apresentados na Figura 4, a presso capilar pode ser calculada por (AHMED; 2006):
(9)O conhecimento da presso capilar importante para se determinar a presso necessria para
recuperar petrleo da rocha reservatrio.
2.2.3.6 Permeabilidade ()
Permeabilidade a propriedade do meio poroso que mede a capacidade da estrutura de
transmitir fluidos. uma propriedade muito importante pois controla a direo do movimento
e o fluxo dos fluidos no reservatrio. Foi definida matematicamente por Henry Darcy em
1856 e a equao que define essa propriedade chamada Lei de Darcy (AHMED; 2006):
(10)
Onde:
v: velocidade aparente do fluxo fluido;
: permeabilidade;
: viscosidade do fluido;
: queda de presso por unidade de comprimento.
Para um modelo linear, isola-se e se obtm:
(11)Onde:
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q: taxa de fluxo;
p: queda de presso no canal;
L: comprimento do canal (poros interligados);
A: rea da seo transversal do canal.
Para que a Equao 11 seja vlida, as seguintes condies devem ser atendidas:
- Fluxo laminar;
- No ocorrncia de reaes entre fluido e rocha;
- Apenas uma fase presente no poro;
- Poro completamente saturado.
Ainda importante ressaltar que vrios autores estabeleceram relaes entre a porosidade e a
permeabilidade de um meio, dadas certas condies. Essas relaes possibilitam a obteno
do valor da permeabilidade a partir da porosidade, que geralmente uma propriedade mais
fcil de mensurar.
2.2.3.7 Compressibilidade (cf)
definido como a mudana, em frao de volume, devida a uma variao unitria da presso
a uma dada temperatura. A importncia dessa propriedade que a rocha reservatrio varia seu
volume a partir do momento em que descoberta e isso influencia na produo do petrleo.
De uma forma geral:
(12)
Onde:
cf: compressibilidade;
: porosidade;
p: presso.
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2.3 ENTROPIA
A Primeira Lei da Termodinmica modela a mudana de estado de um sistema onde ocorre atransferncia de energia na forma de calor (Q), de trabalho (W) e de energia interna (E). Ela
pode ser escrita como:
(13)Apesar de sua grande utilidade terica e prtica, a Primeira Lei no inclui, em sua formulao
e conceito, a tendncia de transferncia de energia em um determinado sentido. Um exemplo
simples a transferncia de calor de um objeto quente para um objeto frio, ambos
pertencentes a um sistema isolado em relao sua vizinhana. Sabe-se que,
espontaneamente, a transferncia de calor ocorre do objeto quente para o frio. Contudo,
observa-se que o processo inverso (transferir calor espontaneamente do objeto frio para o
quente) tambm respeita a Primeira Lei. Conclui-se, ento, que a equao de balano de
energia no inclui, ou no considera o sentido preferencial da transferncia de calor.
A Primeira Lei no impe restrio no sentido do processo, mas apenas satisfaz-la no
garante que este processo de fato ocorre. Para remediar tal problema, outro princpio geral foi
introduzido, a Segunda Lei da Termodinmica. Processos inversos como o do exemplo citado
anteriormente violam a Segunda Lei e a propriedade que caracteriza essa condio chamada
entropia.
Entropia um condensado das principais noes que envolvem desordem, caos, incerteza e
aleatoriedade. Ela foi introduzida por Clausius em 1865, escolhendo o nome entropia cujo
nome vem do grego e significa contedo de transformao. Em seu artigo de 1865, Clausius
estabeleceu a Primeira e a Segunda Lei da Termodinmica da seguinte forma:
I. A energia do universo constante;
II. A entropia do universo tende a um mximo.
A entropia uma propriedade extensiva de um sistema. Isto significa que ela a soma das
entropias de todas as partes que o constituem. Outra caracterstica da entropia que ela nunca
diminui para um sistema isolado. Ou seja, para qualquer processo real (dito irreversvel) h
sempre gerao de entropia e no caso de um processo perfeito (reversvel) a entropia se
mantm constante. Resgatando o exemplo dado sobre a transferncia de calor entre um objeto
quente e outro frio e calculando a variao de entropia do processo espontneo verifica-se que
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maior que a do processo inverso. O clculo para o processo inverso levaria a uma
diminuio da entropia do processo isolado, violando a Segunda Lei, permitindo dizer que
nesse sentido a transferncia de calor espontnea impossvel.
Para uma melhor descrio da entropia, que , de certa forma, uma propriedade abstrata,
necessrio considerar o estado microscpico do sistema. No exemplo de Reynolds (1965),
considerada uma grande bandeja com esferas onde metade delas da cor preta e a outra
metade da cor branca. A bandeja possui pequenas covas onde as esferas ficam posicionadas.
No incio, as esferas esto separadas por cor, cada conjunto de um lado do recipiente. Um
observador que v a bandeja de uma grande distncia (anlogo a uma viso macroscpica do
sistema) no consegue ver as esferas individualmente. A bandeja ento chacoalhada e
medida que esferas se movem e ocupam covas diferentes o observador vai achar que a regio
preta est se difundindo na regio branca. Para este observador, com o tempo, o sistema vai
ficando cinza. Aps um tempo grande o suficiente ele concluiria que no ocorrem mais
mudanas e que a difuso do preto no branco ocorreu at que o equilbrio do sistema fosse
atingido. Ele poderia propor uma teoria para explicar o fenmeno mesmo sem conhecer o
comportamento individual das esferas.
Contudo, se o observador considerasse a existncia de esferas (viso microscpica do sistema)
ele poderia propor uma teoria mais requintada, considerando o efeito de influncias externas
no sistema como um todo. Consideraes estatsticas revelariam que o sistema sempre se
tornaria mais e mais aleatrio, as esferas iriam se tornando mais desorganizadas e a incerteza
sobre o arranjo delas aumentaria. O mesmo comportamento descrito acima seria observado se
considerssemos as esferas como tomos ou molculas diferentes se difundindo.
A entropia do sistema uma medida da aleatoriedade, desordem ou incerteza microscpica,
quando somente o estado macroscpico conhecido. Como j dito, ela nunca diminui para
um dado sistema. Para que possa ser quantificada a Termodinmica Estatstica define a
entropia em termos de probabilidades de estados qunticos ou microscpicos.
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2.4 MECNICA QUNTICA ESTATSTICA E O CLCULO DA ENTROPIA
A Mecnica Quntica Estatstica estuda o comportamento microscpico da matria a fim deobter um estado macroscpico correspondente que possa ser, de fato, observado. Postulou-se
que qualquer partcula, ou sistema de partculas arranjadas de alguma forma pode existir
apenas em certos estados qunticos permitidos e, assim, conseguem-se descries completas e
precisas de um fenmeno. Os estados qunticos permitidos so determinados pela natureza
das partculas e pelas circunstncias em que elas se encontram. A equao de Schrdinger
estabelece a base para o clculo dos estados qunticos permitidos, mas no ser aqui tratada,
pois a ideia que interessa que os possveis estados de um sistema podem ser quantificados.
Trs termos importantes utilizados em Mecnica Quntica Estatstica so microestados,
macroestados e conjunto. Microestado qualquer estado microscpico do sistema,
especificado em termos das propriedades individuais das partculas. Macroestado qualquer
estado do sistema especificado em termos das propriedades da coleo de todas as partculas,
sendo importante observar que h vrios microestados possveis para um dado macroestado.
Finalmente, conjunto a totalidade de macroestados (ou microestados) onde energia, volume,
magnetizao e polarizao se mantm fixos, ou seja, representam um sistema isolado.Outro exemplo de Reynolds (1965) para compreender esses conceitos admite um sistema com
trs partculas distintas, A, B e C, que podem assumir um de cinco estados qunticos
possveis, contendo energias 0, 1, 2, 3 e 4eu, onde eu refere-se a uma unidade de energia
arbitrria. Considerando apenas os estados no qual a energia total 9eu, pode-se construir
uma tabela com os microestados, macroestados e conjunto para o sistema, mostrada a seguir
na Tabela 1.
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TABELA 1 -MICROESTADOS,MACROESTADOSE CONJUNTO PARA UM SISTEMA
DE TRS PARTCULAS COM ENERGIA 9EU
Nmero do microestado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Energia
4 eu A A B B C C BC AC AB
3 eu ABC B C A C A B
2 eu C B C A B A
1 eu A B C
0 eu
Macroestado 1 Macroestado 2 Macroestado 3
Conjunto de macroestados
Fonte: Reynolds (1965). Nota: A tabela uma adaptao da original.
Define-se a propriedadeMcomo a mdia da soma dos quadrados da energia de cada partcula
(Equao 14) e observa-se que ela diferente em valor para cada macroestado. Tal definio
ser utilizada mais a frente no texto.
(14)Uma medida quantitativa de um macroestado particular existindo num dado instante de tempo
a probabilidade do estado quntico pi(t), que a probabilidade do estado quntico i ser
percebido no instante t. Calculando a probabilidade para o exemplo anterior e apresentando de
forma tabelar temos:
TABELA 2 - PROBABILIDADES E MDIA DOS QUADRADOS DA ENERGIA PARA OSISTEMA DE TRS PARTCULAS COM ENERGIA TOTAL 9EU
Macroestado (i) Maneiras de se formar Probabilidade (pi) Mi (eu)
1 1 0,1 9,00
2 6 0,6 9,67
3 3 0,3 11,00
Total 10 1,0 29,67
Fonte: Reynolds (1965). Nota: A tabela uma adaptao da original.
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A mdia da propriedade M ponderada de acordo com a probabilidade do macroestado
correspondente pode ser calculada como:
(15)Assim, qualquer outra propriedade para o sistema isolado (conjunto de todos os macroestados
ou microestados) pode ser calculada da mesma maneira. Calculando a energia para o sistema,
por exemplo, encontraramos o valor 9,00eu, que foi o valor estabelecido inicialmente.
Dados os conceitos anteriores, pode-se ento calcular a entropia, definida pela letra H,
lembrando que ela deve ser a medida de toda a aleatoriedade de todos os estados qunticos
para o sistema e uma propriedade extensiva, ou seja, a entropia de um sistema C composto
pelas partes A e B :
(16)A entropia definida como:
(17)
Seja:
(18)
() (19)
() ( ) (20)
Para que:
( )
() (21)
A funo logartmica seria uma escolha apropriada para a funof(pi), pois:
(22)Substituindo e rearranjando chega-se finalmente em:
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( )
(23)
O resultado obtido satisfaz a condio de ser propriedade extensiva.
Para que a entropia seja positiva uma constante negativa inserida na equao e a nica
forma possvel paraH (SHANNON, 1948):
(24)
Onde k uma constante positiva e vai depender da unidade de medida utilizada. A constante k
assume o valor da constante de Boltzman (kb=1) se considerarmos H a entropiatermodinmica.
Definida desta forma, a entropia possui a propriedade extensiva e ela mxima para o sistema
mais aleatrio possvel.
Para distribuies de probabilidade, generaliza-se a expresso na forma integral:
[] (25)
2.5 O PRINCPIO DA MXIMA ENTROPIA
A informao (I) relacionada a qualquer eventox tendo probabilidadep(x) definida como:
(26)
Logo, a informao cresce medida que um evento menos provvel e infinita no limiteonde o evento se torna impossvel. Matematicamente:
(27)No outro extremo, sex fosse absolutamente certo, a informao desapareceria. Temos ento:
(28)Entretanto, para a entropia verifica-se que seus valores permanecem dentro de um limite. Para
ilustrar um caso simples, Desurvire (2009) considera dois eventos,x1 ex2, com probabilidades
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q e 1-q respectivamente. Aplicando a definio de entropia (Equao 24) para a fonte de
eventosX={x1,x2} temos:
[ ] (29)
Variando q de 0 (x1 impossvel) at 1 (x1 absolutamente certo) pode-se plotarH(X)=f(q), de
acordo com o Grfico 1.
Grfico 1. Entropia versus probabilidade para uma fonte com dois eventos de probabilidades q e 1-q. Fonte:Desurvire (2009). Nota: O grfico uma adaptao do original.
Verifica-se que a entropia atinge um valor mximo em q=0,5, ou seja, no caso dos eventosx1
ex2 serem equiprovveis.
Formalmente, a mxima entropia pode ser provada tomando a derivada e encontrando sua
raiz. Para casos com mais de dois eventos, resultados analticos para mxima entropia so
obtidos utilizando o mtodo dos multiplicadores de Lagrange. Esses casos no sero aqui
apresentados.
O resultado demonstra que a mxima entropia pode ser utilizada para definir o estado do
sistema com a maior riqueza de informao, ou seja, o mais aleatrio possvel. Assumir uma
distribuio de probabilidades q e 1-q diferente da equiprovvel para os eventos do exemplo
anterior resultaria numa entropia menor que o mximo encontrado e isso implicaria considerar
uma informao que no se conhece realmente.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
EntropiaH
Probabilidade q
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3 DISCUSSO DE PROBLEMAS
Nos trabalhos de Siclen (1997) e Andraud e Lafait (1998) discute-se a utilizao da entropiada informao para avaliar sistemas bifsicos heterogneos aleatrios.
3.1 ENTROPIA DA INFORMAO DE ESTRUTURAS COMPLEXAS
Siclen (1997) demonstra, para uma microestrutura bifsica em evoluo simulada por umapopulao de partculas interagindo numa superfcie bidimensional, que a funo entropia da
informao fornece uma medida sensvel da complexidade de um sistema. A complexidade
refere-se, neste caso, faixa de escalas de comprimento onde as caractersticas morfolgicas
esto presentes.
A entropia calculada para um sistema simples bifsico e bidimensional em evoluo para
todas as escalas de comprimento m. Basicamente, o sistema constitudo por uma quantidade
Nde partculas (com tamanho 1x1 cada) colocadas aleatoriamente numa regio quadrada de
ladoL. Essas partculas interagem formando uma distribuio irregular de aglomerados, como
mostra a Figura 5.
Figura 5. Fotografia de uma populao de 625 partculas que interagem numa regio de tamanho 50x50 e que
representam uma microestrutura bifsica em evoluo. Fonte: Siclen (1997).
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37
A entropia para um sistema finito perfeitamente aleatrio :
[]
(30)
Ondepi(m) a probabilidade de se encontrar exatamente i partculas numa regio quadrada
aleatria de tamanho mxm, e pode ser calculada para este sistema perfeitamente aleatrio
como:
(31)
(32)Onde,
m: tamanho do lado de uma regio amostral ou "caixa" (representa o comprimento de escala);
L: lado da regio quadrada;
N: total de partculas da regio quadrada;
i: quantidade de partculas na caixa mxm.A entropia da informaoH(m) para uma dada configurao de partculas :
[]
(33)
Onde Pi(m) a probabilidade real de encontrar exatamente i partculas em qualquer regio
mxm, ou seja, a probabilidade para o caso no perfeitamente aleatrio.
As diferenas entre as curvas de entropia versus tamanho da caixa para ambas as entropias
mostradas acima so mostradas no Grfico 2.
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Grfico 2. Entropia da informao H(m) para vrias distribuies aleatrias de partculas num espao finito. Alinha tracejada representa a curvaHr(m), ou seja, para o caso perfeitamente aleatrio. Fonte: Siclen (1997).
A fim de analisar os efeitos de distribuio de partculas no aleatrias o Siclen (1997) definiu
a entropia normalizadaH'(m), como segue:
(33)Valores deH'(m) maiores que zero ocorrem em escalas de comprimento m onde aglomeradosde partculas so maiores dos que ocorrem numa configurao perfeitamente aleatria.
Valores de H'(m) negativos ocorrem em escalas de comprimento m onde a distribuio de
partculas mais ordenada ou regular do que na configurao perfeitamente aleatria.
Os mesmos dados do Grfico 2, agora plotados como entropia normalizada, fornecem o
Grfico 3 a seguir, que demonstra melhor as distribuies de partculas no-aleatrias, como
explicado anteriormente.
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Grfico 3. Diferenas entreH(m) eHr(m) do Grfico 2 plotados como entropia normalizadaH'(m). Fonte: Siclen(1997).
Agora analisando a evoluo das curvas de entropia normalizada com o tempo, percebe-se
que valores mximos de H'(m) representam a formao de aglomerados de partculas. O
Grfico 4 representa uma sequncia tpica das curvas de evoluo de H'(m). A nucleao e
crescimento de aglomerados so indicados pelo aumento de H'(m) em pequenas escalas de
comprimento e mudana de posio do primeiro mximo das curvas para comprimentos madjacentes. Os mximos adicionais representam junes de aglomerados menores em escalas
maiores, significando aumento de no homogeneidades.
Grfico 4. Sequncia tpica de curvas de H(m) calculada para uma populao de partculas interagindo nos
tempos t= 0, 100, 200, ... , 1000. Fonte: Siclen (1997).
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Finalmente, conclui-se que microestruturas complexas possuem caractersticas distintas em
diversas escalas de comprimento. Isso demonstrado pelo comportamento de H(m), que
cresce medida que a configurao inicial aleatria de partculas evolui. Mximos de H'(m)
representam formaes de aglomerados em diferentes escalas e tambm so um bom
indicador de caractersticas morfolgicas do sistema.
3.2 MODELO ENTRPICO PARA AS PROPRIEDADES PTICAS DE MEIOS
HETEROGNEOS
Andraud e Lafait (1998) utilizam o conceito da entropia da informao de Shannon como
ferramenta para a anlise morfolgica de meios heterogneos bifsicos, especificamente a
morfologia de filmes metlicos de granulao fina. Eles determinam o comprimento
caracterstico da desordem da imagem que representa o sistema e desenvolvem um modelo
para as propriedades pticas do meio heterogneo.
A ferramenta utilizada consiste na anlise de uma imagem bifsica por uma janela deslizante
de tamanho varivel l, definido uma quantidade de N(l) de amostras da imagem total. Isso
permite determinar a distribuio de probabilidades {pi} da imagem para cada tamanho l. A
probabilidade pi(l) definida como o nmero de janelas (amostras) contendo exatamente i
pixels pretos,Ni(l), dividido pelo nmero total de amostrasN(l). Matematicamente:
(35)
Aplicando a frmula de entropia de informao de Shannon obtm-se a definio da entropiaconfiguracional:
[]
(36)
Para comparar os valores de entropia calculados para diferentes tamanhos de anlise foi
necessrio normalizar a entropia. Para essa normalizao foi escolhida, a partir de
consideraes tericas, a mxima entropia terica. Assim a entropia normalizada :
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[]
(37)Aplicando a ferramenta para diferentes tipos de imagens encontrou-se para todos os casos que
um comprimento timo l0 existe e neste comprimento timo a entropia mxima, como
mostrado no Grfico 5.
Grfico 5. Entropia da informao normalizada para diferentes tamanhos de janela. Fonte: Andraud e Lafait(1998).
O comprimento timo l0 caracterstico da desordem da imagem e quanto maior a desordem
(e tambm a entropia), menor o comprimento timo. Andraud e Lafait (1998) constataram que
o comprimento timo alcana um mnimo e a entropia um mximo prximo do limite de
percolao.
Do ponto de vista ptico, considerou-se que, para este comprimento timo os
comportamentos locais das propriedades iro se combinar e representar o comportamento
global de todo o meio. Este ponto de vista se assemelha s teorias pticas clssicas para a
percolao, a diferena que se leva em conta a funo de distribuio real da configurao
de tamanho l0 na imagem em vez da distribuio terica dada pela teoria da percolao. O
modelo portanto pode ser aplicado a qualquer morfologia.
Analisaram-se inicialmente duas imagens A e B, mostradas na Figura 6. Na imagem A afrao de metal (na cor branca) do filme granular fino de 32% e o filme est abaixo do
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limite de percolao. J na imagem B a frao de metal 60% e o filme granular est acima
do limite de percolao.
Figura 6. (A) Imagem de um filme granular de ouro abaixo do limite de percolao, 32% de frao metlica ecomprimento timo de entropia de 100nm. (B) Imagem de um filme granular de ouro acima do limite de
percolao, 60% de frao metlica e comprimento timo de entropia de 100nm. Fonte: Andraud e Lafait (1998).
A anlise entrpica conduz a um valor de l0 igual a 18 pixels (Grfico 5), correspondente a
100nm, para ambas as imagens. Este comportamento pode ser explicado pelo fato de estas
duas amostras estarem equidistantes do limiar de percolao.
Inspirados em teorias pticas existentes dois modelos distintos para refletncia e transmitncia
de filmes granulares foram desenvolvidos utilizando a funo de distribuio real de
configurao com tamanho l0. Os modelos desenvolvidos, assim como modelos clssicos
existentes e dados experimentais para as amostras so mostrados nos Grficos 6 e 7 para a
amostra da Figura 6 (A).
Grfico 6. Refletncia para a amostra A: medida e calculada por diferentes modelos. Fonte: Andraud e Lafait
(1998).
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Grfico 7. Transmitncia para a amostra A: medida e calculada por diferentes modelos. Fonte: Andraud e Lafait(1998).
O Modelo 1 desenvolvido estima bem as propriedades em toda a faixa de comprimentos de
onda e o Modelo 2 apresenta problemas que aqui no cabem discutir. O importante que o
modelo pde ser validado.
Andraud e Lafait (1998) em seguida testaram a sensibilidade do modelo para vrias amostras
e mostrou-se que as propriedades pticas previstas so bem sensveis a leves flutuaes da
morfologia do meio.
Chegaram concluso que a entropia configuracional normalizada mostrou-se eficiente na
anlise morfolgica de meios heterogneos. O modelo desenvolvido bem satisfatrio para
predizer as propriedades pticas de filmes de ouro granulares prximos ao limiar de
percolao. Tambm se concluiu que o modelo bem sensvel a flutuaes locais das
caractersticas morfolgicas do meio a partir de simulaes realizadas com diferentes
imagens.
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4 PROJETO EXPERIMENTAL
4.1 RECONHECIMENTO E ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA
O objetivo do experimento a avaliao de escoamento em um meio poroso utilizando a
entropia da informao como meio de caracteriz-lo.
4.2 SELEO DA VARIVEL RESPOSTA
A varivel principal a ser analisada no experimento a taxa de variao da entropia da
informao normalizada para um dado experimento, assim como utilizado por Vakarin e
Badiali (2007?), que se mostra muito til para fenmenos desta natureza.
4.3 ESCOLHA DOS FATORES, NVEIS E FAIXAS
Considerou-se que os fatores que afetam a taxa de variao da entropia da informao
normalizada so a porosidade do meio (fator A), o tipo de fluido (fator B) e a vazo (fator C).
Foram utilizados dois nveis de porosidade. No nvel baixo, partculas com tamanhocaracterstico de 2 a 4 mm formaram o meio, resultando numa porosidade de 34%, e, no nvel
alto, utilizaram-se partculas de 4 a 6 mm e a porosidade foi de 40%. J os dois fluidos
utilizados foram glicerina (newtoniano) e uma soluo de gua com Carbopol 1,84% (no-
newtoniano). Devido a limitaes do experimento no foi possvel igualar os nveis de vazo
para os dois fluidos. Para a glicerina, as vazes utilizadas foram 25 ml/min e 44 ml/min e,
para a soluo de gua com Carbopol, 158 e 439 ml/min.
Estes trs fatores apresentados so os chamados controlveis. Contudo, outros fatores tambm
podem influenciar na resposta dos experimentos. Estes podem ser classificados em
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incontrolveis, distrbios e constantes. O diagrama de causa e efeito da Figura 7 resume esses
fatores.
Figura 7. Diagrama de Ishikawa apresentando os fatores que influenciam no valor da entropia.
O porqu de esses fatores surgirem depende de vrias condies que so apresentadas no
diagrama da Figura 8.
Figura 8. Diagrama de Ishikawa apresentando as provveis fontes de erro do experimento.
Como todo experimento, as fontes de erro esto presentes e reconhecer quais delas so
importantes e quais devem ser corrigidas faz parte do processo. Os procedimentos tomadosforam os mais cuidadosos possveis para que esses erros fossem minimizados.
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4.4 ESCOLHA DO MODELO EXPERIMENTAL
A anlise fatorial largamente utilizada em experimentos onde vrios fatores estoenvolvidos e seria uma boa escolha para model-los. Contudo, verifica-se uma hierarquia, ou
um acoplamento entre os fatores fluido (B) e vazo (C), ou seja, o nvel de vazo depende do
fluido escolhido. O modelo experimental que verifica essas condies observadas o
aninhado-fatorial (nested-factorial) e por isso foi o escolhido. Para realizar a anlise
assumimos que os fatores so fixos, os experimentos so completamente aleatrios e
suposies de normalidades so satisfeitas. Um organograma que resume a estrutura de
organizao dos experimentos mostrado a seguir na Figura 9.
Figura 9. Organograma mostrando a estrutura de organizao dos experimentos.
Definiu-se a realizao de trs rplicas experimentais para cada combinao de fatores,
permitindo mais confiabilidade nos resultados e assegurando que os erros so minimizados.
Aps a realizao dos experimentos e de posse dos resultados aplicou-se o tratamento
matemtico proveniente do modelo aninhado-fatorial para obter as seguintes estatsticas:
I. Soma dos quadrados para cada efeito;
II. Nmero de graus de liberdade de cada efeito;
III. Mdia dos quadrados de cada efeito;
IV. ValorF0 (teste F);
V. P-valor de cada efeito.
Com estes dados possvel tirar concluses a respeito dos dados obtidos, como por exemplo,
se o efeito de cada fator ou de interaes significativo ou no.
Vazo
Fluido
Porosidade
Estrutura
34%
Glicerina
25[ml/min]
44[ml/min]
Carbopol
158[ml/min]
439[ml/min]
40%
Glicerina
25[ml/min]
44[ml/min]
Carbopol
158[ml/min]
439[ml/min]
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5 MATERIAIS E MTODOS
A fim de atingir o objetivo proposto fez-se necessrio a construo de um aparatoexperimental especfico e a utilizao de tcnicas que sero discutidas a seguir.
5.1 APARATO EXPERIMENTAL
A montagem do experimento mostrada na Figura 10 e tem como referncias montagenssimilares em experimentos de Mendes et. al. (2009) e Catania et. al. (2007).
Figura 10. Esquema da montagem do aparato experimental com identificao de cada componente.
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5.1.1 Meio poroso
O meio poroso consiste numa caixa de acrlico transparente (polimetil-metacrilato), cujosdetalhes so mostrados na Figura 11, constituda de uma cmara de entrada de dimenses
3x5x3cm, separada de uma cmara central (20x20x3cm) por uma tela metlica fina, que por
sua vez separada da cmara de sada (20x5x3cm) por outra tela fina, semelhante primeira.
As telas metlicas possuem orifcios da ordem de 0,1mm de dimetro e visam garantir que a
velocidade do escoamento no varie muito ao longo do meio poroso.
Figura 11. Detalhes da caixa contendo o meio poroso com indicaes de cada elemento que a constitui.
A cmara central a que representa de fato o meio poroso. Ela constituda de cacos de vidro
comprimidos entre duas placas de vidro grossas com 10 mm de espessura cada, por sua vez
espaadas numa distncia de tambm 10 mm. Os cacos de vidro so classificados por meio de
processo de peneiramento em duas classes de tamanho: de 2 a 4 mm (fino) e de 4 a 6 mm
(grosso). Cada classe de tamanho resulta numa porosidade diferente para o meio, que um
dos fatores a ser avaliado nos experimentos. De acordo com Catania et. al. (2007), o espao
em que os cacos de vidro so confinados (com 10 mm de espessura) suficientemente estreito
para aproximar um sistema quasibidimensional e ao mesmo tempo pondera os possveis
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efeitos de no uniformidade ao longo da espessura de modo que gera uma distribuio suave
do fluido no meio.
O fundo da caixa escuro enquanto que todo o restante transparente. Essa caracterstica
necessria para obter um bom contraste nas imagens do escoamento, que sero detalhadas
mais adiante.
A entrada de fluido se d por um nico orifcio de 2 mm de dimetro localizado na cmara de
entrada e a sada se d atravs de quatro orifcios de mesma dimenso localizados na cmara
de sada, como mostra a Figura 11.
O sistema todo vedado utilizando como elemento vedante silicone industrial em todas as
junes.
5.1.2 Fluidos
Com o intuito de avaliar a influncia da natureza do fluido nos escoamentos em meios
porosos dois tipos deles, um newtoniano e outro no newtoniano, foram utilizados. A seguir
cada um deles detalhado.
5.1.2.1 Glicerina
A glicerina foi o primeiro fluido escolhido para a realizao dos experimentos por apresentar
um ndice de refrao de aproximadamente 1,47 em relao ao vcuo, que prximo do
ndice de refrao do vidro para as mesmas condies (em mdia 1,50). Isso faz com que,
idealmente, no haja distino entre o que vidro e o que glicerina numa mistura entre os
dois. Na prtica, o meio poroso de cacos de vidro preenchido com glicerina apresentou
algumas imperfeies visuais, porm bem aceitveis para os experimentos em questo, ou
seja, o que predominou numa vista superior foi o fundo escuro da caixa.
Alm da funo de preenchimento inicial do meio poroso, a glicerina com traador
fluorescente (ver seo 5.1.3) foi injetada no meio para que fosse observado o comportamento
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de seu escoamento. A glicerina um fluido newtoniano de alta viscosidade e algumas de suas
propriedades esto listadas na Tabela 3.
TABELA 3 - PROPRIEDADES DA GLICERINA BIDESTILADA
Glicerina bidestilada
Frmula qumica C3H8O3
Densidade a 20C 1,2584 [g/ml]
Viscosidade absoluta a 20C 1,485 [Pa.s]
ndice de refrao a 20C 1,47
Fonte: Certificado de anlise do laboratrio de controle de qualidade - fabricante Fontana.
5.1.2.2 Mistura gua e Carbopol 1,84%
O outro fluido utilizado foi uma mistura de gua com o espessante Carbopol 940, numa
concentrao de 1,84%. O Carbopol um polmero hidrossolvel extremamente eficiente
como modificador reolgico capaz de promover alta viscosidade gua. No seu estado bsico
o Carbopol se apresenta na forma de um p branco de granulao fina. O p misturado com
gua e agitado at se obter um fluido homogneo.
A escolha do Carbopol deve-se ao fato de suas caractersticas reolgicas serem similares s do
petrleo lquido, e mais do que isso, ser um representante da classe de fluidos no
newtonianos.
Da mesma forma que a glicerina, a mistura com Carbopol foi contaminada com um traador
fluorescente para visualizao do escoamento no meio poroso.
Para fins de simplificao de nomenclatura, neste trabalho a mistura ser tratada apenas como
"Carbopol".
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5.1.3 Contaminante
Cloreto de Rodamina 6G (C28H31N2O3.Cl) foi utilizado como contaminante por apresentar ofenmeno de fluorescncia. Este corante tem alta fotoestabilidade e seu pico de absoro de
luz ocorre num comprimento de onda de 530nm (cor verde). O corante apresenta alta
solubilidade em gua e, como constatado em testes preliminares, tambm apresenta boa
solubilidade em glicerina e em Carbopol (ver Figura 12).
Em ambos os fluidos de trabalho (glicerina e Carbopol) a concentrao utilizada do
contaminante Rodamina 6G foi de 30 ppm. Antes de serem utilizados e depois de serem
misturados com o corante, os fluidos permaneceram em descanso de pelo menos vinte equatro horas dentro de reservatrios protegidos da luz para que a solubilizao fosse
completa.
O contaminante serviu como traador do fluxo de fluido no meio poroso transparente. Devido
a sua fluorescncia, um alto nvel de contraste foi obtido, possibilitando imagens ntidas
capturadas pela cmera fotogrfica. Uma vantagem observada que, devido concentrao
muito baixa de corante (30ppm), pode-se considerar que a tcnica utilizada representa um
meio praticamente no intrusivo de se obter informaes do experimento.
Existe tambm uma relao entre a intensidade luminosa fluorescente emitida pelo
contaminante e sua concentrao no fluido, dada uma fonte luminosa externa conhecida,
contudo, isso no ser escopo deste trabalho.
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Figura 12. Teste em tubo de ensaio do efeito de fluorescncia da Rodamina 6G em glicerina quando excitada por
luz verde.
5.1.4 Sistema hidrulico
O sistema hidrulico, que tem por objetivo a injeo de fluidos no meio poroso, constitudo
de trs reservatrios de cinco litros de capacidade cada para comportar os fluidos de trabalho
(glicerina, glicerina com traador e Carbopol com traador), um reservatrio de dois litros
para gua de limpeza, dois reservatrios de dois litros para sada de fluidos (um na sada da
caixa contendo o meio poroso e outro num desvio utilizado para sangria do sistema),
mangueiras siliconadas de 2 mm de dimetro interno para interligao de todo o sistema, um
conjunto de vlvulas para direcionar os diferentes fluidos, uma vlvula para sangria e
finalmente uma bomba peristltica com controle de vazo.
A bomba peristltica utilizada tem um controlador de vazo por manete que varia a
velocidade de rotao em dez diferentes nveis, garantindo a presso de descarga. Para o nvel
de vazo baixo, foi utilizado o ajuste de velocidade de nmero 4 e, para vazo alta, foi
utilizado nvel de velocidade nmero 10. Testes realizados com a bomba em descarga livre
utilizando glicerina apresentaram valores mdios de 25 [ml/min] e 44 [ml/min] para as vazes
baixa e alta, respectivamente. Para o Carbopol os valores mdios foram de 158 [ml/min] e 439
[ml/min].
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5.1.5 Sistema de iluminao
Os experimentos foram realizados em uma sala escura e praticamente toda potncia luminosafoi proveniente de duas lmpadas espirais verdes fluorescentes de 26 W cada, montadas em
refletores parablicos e posicionadas em relao ao meio poroso como mostra a Figura 10.
Para evitar reflexes indesejadas de outros objetos ao redor da regio de interesse, placas
escuras foram posicionadas ao redor da caixa contendo o meio poroso.
As lmpadas foram ligadas pelo menos um minuto antes de comearem os experimentos. Esse
o tempo recomendado pelo fabricante para que elas entrem em regime e o nvel de
luminosidade requerido seja garantido.
5.1.6 Cmera fotogrfica e aquisio de dados
As imagens foram gravadas por uma cmera digital Samsumg SL202 com uma resoluo de
3648(H)x2432(V) pixels. A cmera equipada com um sensor de imagem CCD e com uma
lente de distncia focal de 6,2 a 18,6 mm. Um filtro de banda luminosa foi posicionado na
frente da lente da cmera de modo a permitir que apenas comprimentos de onda prximos ao
pico de emisso do traador fluorescente fossem capturados (cor laranja). Um cronmetro
digital registra o momento da aquisio de cada imagem.
A lente da cmera foi alinhada no centro e paralelamente a superfcie superior do meio poroso
(placa de vidro) a uma distncia de 30 cm dela e configurada com o fator de proximidade
ativado (macro).
A aquisio dos dados foi feita por meio do armazenamento das imagens no carto de
memria instalado na cmera e a posterior