AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO...MP09 (9º ano) - Identificar situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade. √ MP15 (9º ano) - Resolver

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM

EM PROCESSO

Material de apoio para o professor

1ª Série

Ensino Médio

Matemática

São Paulo1º Bimestre de 2020

26AAP_APOIO_PROF_MA_1EM_REVISAO_4.indd 1 31/03/2020 19:11:00

APRESENTAÇÃO

Olá Professor, Olá Professora

Apresentamos o “Material de Apoio para o Professor” preparado para a Avaliação da Aprendizagem em Processo – AAP do 1º Bimestre de 2020, para as disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática, destinado a todos os anos do ensino fundamental e todas as séries do ensino médio.

O objetivo da AAP é acompanhar o desenvolvimento do currículo, de forma contínua, identificando habilidades que os estudantes mais dominam ou necessitam de apoio pedagógico. Seus resultados, inseridos na SED - Secretaria Escolar Digital, permitirão, a partir da plataforma Foco Aprendizagem, análises e diagnósticos de grande valia para a tomada de decisão, na escola, quanto às necessidades de recuperação e aprofundamento, especialmente na SEI - Semana de Estudos Intensivos, prevista no Calendário Escolar de 2020, sempre com o objetivo de ”garantir a todos os estudantes a aprendizagem de excelência” prevista no Plano Estratégico da SEDUC.

Como avaliação formativa focaliza, majoritariamente, habilidades do bimestre referenciadas no Currículo Paulista, para o ensino fundamental. Para o ensino médio permanece o currículo vigente. Também introduz, como inovação, algumas habilidades de percurso. Esta articulação com o currículo é fundamental para que tenha sentido pedagógico - tanto a professores como a estudantes – integrando a avaliação no cotidiano didático da sala de aula. Lembrando que as habilidades selecionadas representam, como em qualquer avaliação, um recorte das habilidades propostas no currículo e considerando, ainda, aquelas passíveis de serem avaliadas em questões de múltipla escolha.

No Quadro I – “Habilidades Avaliadas no 1º Bimestre – AAP”, estão relacionadas as habilidades passíveis de avaliação, código da habilidade do currículo com à qual está referenciada e quais as selecionadas para as provas deste bimestre, assinalando também quais habilidades foram escolhidas para o percurso. Ressaltando que na AAP as habilidades do bimestre se reportam ao currículo do bimestre correspondente e as habilidades de percurso àquelas essenciais para o desenvolvimento do aprendizado ao longo das diversas etapas de ensino e fundantes para o ano em curso. Na sequência deste quadro existem considerações específicas para cada segmento e disciplina.

No Quadro II - “Organização Geral da Prova”, está identificada a estrutura de cada prova, por ano/série e disciplina, incluindo o número das questões, seu relacionamento ao bimestre ou percurso, gabarito e código da habilidade na AAP.

Na sequência encontraremos “Questões, Habilidades, e Grade de Correção Comentada”, onde estão destacadas as habilidades avaliadas e as respectivas questões com a grade de correção comentada (Categoria de Respostas para os Anos Iniciais), por prova, ano/série e disciplina.

Por fim, foram elaboradas “Orientações para o Processo Avaliativo da AAP“, colocando aspectos importantes a serem considerados antes, durante e após a aplicação da AAP, salientando que o engajamento do professor e do estudante podem, efetivamente, transformar este instrumento de avaliação em material pedagógico valioso para ambos, com reflexos nas atividades didáticas desenvolvidas com e a partir dele.

Bom trabalho a todos!COPED/DAVED


Avaliação da Aprendizagem em Processo • Material de apoio para o professor

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Quadro I - Habilidades Avaliadas no 1º Bimestre – AAP

1ª Série do Ensino Médio – MatemáticaHabilidades Avaliadas no 1º Bimestre - AAP

Código e Descrição da Habilidade para aAvaliação Processual Bimestre Percurso

MP01 - Identificar determinado termo em sequências numéricas ou geométricas. √

MP02 - Expressar algebricamente padrões de sequências numéricas ou geométricas. √

MP03 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Aritmética. √MP04 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Geométrica. √MP05 - Resolver problemas envolvendo P.A. ou P.G., em diferentes contextos. √MP06 - Calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A. ou P.G. √MP08 (8º ano) - Realizar operações com polinômios. √MP08 (9º ano) - Resolver problemas envolvendo equações de 2º grau. √

MP09 (9º ano) - Identificar situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade. √

MP15 (9º ano) - Resolver problemas envolvendo semelhança de triângulos √

Na AAP da 1ª série do ensino médio, as habilidades apresentadas nesta avaliação, relativas às unidades temáticas Números/Sequências, Geometria e Álgebra, têm a intenção de contribuir para a reflexão a respeito de como os estudantes construíram os conhecimentos matemáticos ao longo deste primeiro bimestre.

Na unidade temática Números/Sequências, espera-se que os estudantes reconhecem as regularidades envolvidas na construção de sequência numéricas ou de sequências geométricas, e que saibam expressar essas regularidades, sempre que possível, por intermédio de uma expressão matemática.

Além disso espera-se que os estudantes entendam e compreendam as diferenças nos conceitos de progressão aritmética e de progressão geométrica, como por exemplo, o cálculo das razões, o cálculo do termo geral e a soma dos termos dessas sequências.

Em Geometria, espera-se que os estudantes tenham os conhecimentos necessários para resolver problemas envolvendo semelhança de triângulos, como por exemplo, o Teorema de Tales e os casos de semelhança entre triângulos entre outros.

Na unidade temática álgebra, ampliando os conhecimentos dos estudantes vistos em anos anteriores, espera-se que saibam resolver problemas envolvendo a variação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, sobretudo por meio de suas representações gráficas e a tradução desses significados em linguagem algébrica: hy = kx, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional a x).

Vale lembrar que o raciocínio proporcional ocupa lugar de destaque na aprendizagem matemática, para resolver problemas, pois os estudantes deverão identificar a natureza da variação entre duas grandezas.

Ainda em álgebra, espera-se que os estudantes saibam realizar operações com polinômios, pois são muito importantes para os cálculos algébricos em vários contextos, inclusive em situações em que irão resolver problemas que envolvam equações do segundo grau e até mesmo em sequências quando o problema pede para determinar uma expressão algébrica que expressa uma sequência.

Esperamos que as questões apresentadas nesta avaliação auxiliem os professores, e assim, proporcionar práticas que promovam aprofundamento dos conhecimentos ou, se necessário, recuperação da aprendizagem.


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1ª Série do Ensino Médio • Matemática

Quadro II - Organização Geral da Prova

1ª Série do Ensino Médio – MatemáticaOrganização Geral da Prova

Número daQuestão Gabarito Código da Habilidade na AAP Bimestre Percurso

1 C MP01 √2 B MP01 √3 D MP02 √4 A MP02 √5 D MP03 √6 C MP03 √7 D MP04 √8 D MP04 √9 C MP05 √

10 E MP05 √11 A MP06 √12 D MP06 √13 C MP08 (8º ano) √14 D MP08 (9º ano) √15 D MP09(9º ano) √16 A MP15 (9º ano) √



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Questões, Habilidades e Grade de Correção Comentada

Questão 1

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP01 - Identificar determinado termo em sequências numéricas ou geométricas.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Observe a sequência de figuras a seguir.

Considerando que a lei de formação permanecerá a mesma, a figura que ocupará a posição 53ª na sequência dada, será:

(A) Igual à figura da posição 1.(B) Igual à figura da posição 2.(C) Igual à figura da posição 3.(D) Igual à figura da posição 4.(E) Igual à figura da posição 10.

CORREÇÃO COMENTADA

Para resolver esta questão o estudante deverá perceber a regularidade da sequência, ou seja, que a figura 1 é igual à figura 6, a figura 2 é igual à figura 7 e assim por diante. Dessa maneira deverá concluir que o período da sequência é igual a 5, portanto a cada 5 elementos a sequência se completa.

Então, para determinar a 53ª figura, ele deverá dividir 53 por 5. O quociente será o número de períodos completos que a sequência possui e o resto determina o número da figura que ocupa a 53ª posição.Como o resto da divisão é igual a três, então a figura da 53ª posição, será a mesma da figura 3.

GRADE DE CORREÇÃO

(A) Igual à figura da posição 1

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante ao efetuar a divisão ao baixar o três para continuar a operação, reparou que 3 é menor que 5 e parou esquecendo de colocar o zero no quociente da divisão e atentou ao seu quociente e não ao resto.

(B) Igual à figurada da posição 2.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante apresenta dificuldade em efetuar a divisão, ou fragilidade na habilidade em questão.

(C) Igual à figura da posição 3.

Resposta correta.

(D) Igual à figura da posição 4.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante dividiu 53 por 7 resultando resto 4.

(E) Igual à figura da posição 10.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante escolheu o quociente no lugar do resto, apresentando falta de domínio na técnica utilizada.


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Questão 2

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP01 - Identificar determinado termo em sequências numéricas ou geométricas.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Observe a sequência numérica a seguir, a qual obedece a uma lei de formação.

1 1 1 1 1 1 1 11, 1, , , , , , , , , ...2 3 4 9 8 27 16 81

Quais são os dois próximos números dessa sequência, obedecendo sua ordem?

(A) 1 1e32 64

(B) 1 1e32 243

(C) 1 1e243 729

(D) 1 1e25 36

(E) 1 1e243 32


Observe que a sequência é formada pelos números 1 1e2 3

intercalados elevados às potências 0, 1, 2, 3, 4, 5 etc.

Então:

⇒

0 0 1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , ... 1, 1, , , , , , , , , ...2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 8 27 16 81

Portanto, os dois próximos termos da sequência são = =

5 51 1 1 1e .2 32 3 243

GRADE de CORREÇÃO

(A) 1 1e32 64

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante interpretou em parte o

enunciado, aplicou seus conhecimentos, mas considerou apenas a fração 12

e

não considerou a fração 13

.

(B) 1 1e

32 243

Resposta correta.



7

(C) 1 1e243 729

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante interpretou em parte o

enunciado, aplicou seus conhecimentos, mas considerou apenas a fração 13

e

não considerou a fração 12

.

(D) 1 1e25 36

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante calculou o quadrado de 15

e o

quadrado de 16

, ou escolheu uma resposta que achou conveniente.

(E) 1 1e243 32

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante interpretou corretamente o enunciado, aplicou seus conhecimentos, mas não se ateve a ordem dos elementos da sequência.

Questão 3

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP02 – Expressar algebricamente padrões de sequências numéricas ou geométricas.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Observe a sequência de números: (0, 2, 6, 14, 30, 62, ...), ou seja, a1 = 0, a2 = 2, a3 = 6, a4 = 14, a5 = 30, a6 = 62, .... A expressão numérica que representa o termo geral (an) da sequência é:

(A) n2 – 1(B) 2(n – 1)2

(C) n2 – n(D) 2n – 2(E) 2n – 2


Para resolver esta questão, deverá ser feita uma reflexão sobre os valores e verificar que, elevando o número dois às potências 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., obtemos 2, 4, 8, 16, 32, 64... Comparando com a sequência dada, verifica-se que foi subtraído 2 de todos os números, assim tem-se os valores:

21 – 2 = 0; 22 – 2 = 2; 23 – 2 = 6; 24 – 2 = 14; 25 – 2 = 30; 26 – 2 = 62

Portanto, a expressão será 2n – 2.

GRADE de CORREÇÃO(A) n2 – 1 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante, ao substituir n = 1, verificou que

coincidia com o primeiro elemento da sequência.

(B) 2(n – 1)2 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante substituiu n = 1 e n = 2, verificou que esses dois números coincidiram com os dois primeiros elementos da sequência.

(C) n2 – n Resposta incorreta. Possivelmente o estudante substitui n = 1, n = 2 e n = 3, verificou que esses valores coincidiram com os três primeiros elementos da sequência.

(D) 2n – 2 Resposta correta.


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(E) 2n – 2 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante substitui n = 1, n = 2 e verificou que esses valores coincidiram com os dois primeiros elementos da sequência.

Questão 4

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP02 – Expressar algebricamente padrões de sequências numéricas ou geométricas.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Observe a sequência de figuras a seguir:

O número de estrelas da figura n é dado por,

(A) ( )( )+ +n 1 n 22

(B) 2(n + 1)

(C) 3n + 1

(D) +3n 22

(E) 2n2 + 1

RESPOSTA COMENTADA

A sequência dada representa os números triangulares a partir do valor 3. Neste caso, se o estudante

conhece a lei de formação dos números triangulares ( )+

=

n n 1N

2, ele pode substituir n por (n+1). Assim,

( )( )+ +=

n 1 n 2N

2

Caso ele não conheça a lei de formação dos números triangulares, ele pode usar uma estratégia para obter a lei de formação, como no exemplo a seguir.

“Ajusta-se as estrelas de maneira a formarem fileiras e completa-se os espaços vazios, verificando que forma quadrados perfeitos.



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Destacando-se uma das diagonais, vê-se que a quantidade de estrelas sob a diagonal é igual a quantidade de estrelas sobre a diagonal.

Essa quantidade sob ou sobre a diagonal pode ser obtida tomando o quadrado, retirando-se a diagonal e dividindo o resultado por 2:

2

estrelas sobn nN

2−−

=

Finalmente, basta somar a esta quantidade a diagonal.

( )

2

2

n nN n2

n nN2

n n 1N

2

−= +

+=

+=

Que é a lei de formação dos números triangulares.”

Outra estratégia que também pode ser utilizada pelos estudantes é substituir o valor de n na expressão e verificar se esta é verdadeira para todos os valores de n, isto é, o resultado da expressão deve ser igual ao número de estrelinhas de cada posição n. Caso não seja verdadeira para todos os valores de n, fazer o mesmo para a próxima expressão e assim sucessivamente, até encontrar a expressão que verifica a igualdade para todas as figuras representadas. Então:

( )( )+ += ⇒ =

1 1 1 2Para n 1 3, conferiu

2.

( )( )+ += ⇒ =


2.

( )( )+ += ⇒ =


2.

( )( )+ += ⇒ =


2.

Portanto a alternativa correta é a (A).


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GRADE DE CORREÇÃO

(A) ( )( )n 1 n 22

+ + Resposta correta

(B) 2(n + 1) Resposta incorreta. Possivelmente o estudante fez a verificação para n = 2 e conclui ser esta a reposta correta, sem ter verificado para todos os valores de n.

(C) 3n + 1 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante fez a verificação para n = 3 e conclui ser esta a reposta correta, sem ter verificado para todos os valores de n.

(D) +3n 22

Resposta incorreta. Possivelmente a escolha dessa alternativa demonstra que o estudante possui dificuldade nesse conteúdo.

(E) 2n2 + 1 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante fez a verificação para n = 1 e conclui ser esta a resposta correta, sem ter verificado para todos os valores de n.

Questão 5

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP03 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Aritmética.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

O professor da 1ª Série do Ensino Médio, escreveu no quadro negro, as seguintes sequências:

E deu o comando: “Escolham entre as 5 sequências aquela que representa uma Progressão Aritmética”.

(A) Sequência indicada em I.(B) Sequência indicada em II.(C) Sequência indicada em III.(D) Sequência indicada em IV.(E) Sequência indicada em V.


A resposta correta é a alternativa “D”, pois uma Progressão Aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o seu anterior, a partir do segundo, é igual a uma constante denominada razão.

No caso, 7 – 2 = 12 – 7 = 17 – 12 = 22 – 17 = 27 – 22 ... = 5.



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GRADE DE CORREÇÃO

(A) Sequência indicada em I.

Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante calculou os termos dessa sequencia: a1 + a1 = a2, a2 + a2 = a3..., concluindo que ela é uma PA.

(B) Sequência indicada em II.

Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante notou que a sequencia foi obtida fazendo a seguinte soma a cada termo da sequencia: 0 + 2 = 2, 2 + 3 = 5,5 + 4 = 9, 9 + 5 = 14, e assim por diante, concluindo que fosse uma PA de razão 1.

(C) Sequência indicada em III.

Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante ainda não consegue identificar a diferença entre a regularidade de uma PA e uma PG.

(D) Sequência indicada em IV.

Resposta correta.

(E) Sequência indicada em V.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante fez a escolha da alternativa de maneira aleatória.

Questão 6

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP03 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Aritmética.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Verifique as sequências a seguir.

I. 25%; 50%; 75%; 100%; 125%; ...II. 3; 12; 48; 192; 768; ...III. 50; 41,5; 33; 24,5; 16; ...IV. 9; 18; 27; 36; 45; ...V. 3; 6; 12; 24; 48; ...

Quais delas representam uma Progressão Aritmética?

(A) I e II(B) I, II e V(C) I, III e IV(D) I, III e V(E) II, III e IV


Esta questão pretende verificar se o estudante compreendeu o conceito de Progressão Aritmética, onde a diferença entre um termo e o seu anterior, a partir do segundo, é igual a uma constante denominada razão da PA.

Na sequência I é uma PA, onde o primeiro termo é igual a 25% e a razão também é igual a 25%, ou seja, cada termo tem 25% a mais que o anterior.

A sequência II não é uma PA e sim uma PG de razão 4, pois os termos estão sendo multiplicados por 4 a partir do primeiro.

A sequência III é uma PA onde o primeiro termo é igual a 50 e a razão igual a –8,5, ou seja, cada termo é 8,5 a menos que o anterior.

A IV é uma PA, onde o primeiro termo é 9 e a razão 9, ou seja, cada termo tem 9 a mais que o anterior.


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A sequência V é uma é uma PG de razão 2, ou seja, os termos estão sendo multiplicados por 2 a partir do primeiro.

Portanto as sequências que são PA são as I, III e IV.

GRADE DE CORREÇÃO

(A) I, II Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante identificou alguma lógica nas sequências numéricas, porém não identificou corretamente as respectivas razões de uma PA.

(B) I, II, V Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante não reconhece que as sequências II e V, não são Progressões Aritméticas.

(C) I, III e IV Resposta correta.

(D) I, III e V Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante, se confundiu, quando escolheu a sequência V, pois, esta não é uma PA.

(E) II, III e IV Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante não reconheceu que a sequência II é uma PG e não uma PA.

Questão 7

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP04 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Geométrica. (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Os círculos abaixo, de mesmo tamanho, foram divididos em partes iguais, segundo uma lei de formação. De acordo com essa informação, o círculo da figura 4, foi dividido em

(A) 12 partes.(B) 36 partes.(C) 39 partes.(D) 81 partes.(E) 360 partes.


Para resolver a questão é necessário verificar em quantas partes os círculos das figuras foram divididos e observar que a quantidade de partes do círculo seguinte é igual ao triplo da quantidade de partes do anterior. Portanto trata-se de uma PG de razão 3. Desse modo, tomando a quantidade de partes da figura 3, ou seja, 27, ao multiplicar por 3 obtém-se 81.



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GRADE DE CORREÇÃO

(A) 12 partes Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de PG e multiplicou as 3 partes da figura 1 por 4, por ser a figura 4.

(B) 36 partes Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de PG e somou 9 a 27 (quantidade de partes da figura 2 + quantidade de partes da figura 3)

(C) 39 partes Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de PG e somou 3 + 9 + 27 (quantidade de partes das figuras 1, 2 e 3).

(D) 81 partes Resposta correta.

(E) 360 partes Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de PG e confundiu com a divisão de 360° por 1°.

Questão 8

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP04 - Identificar se uma determinada sequência é Progressão Geométrica. (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Supondo que a sequência numérica (243, 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) continue no mesmo padrão, ela se refere a:

(A) Progressão Aritmética de razão 13

.

(B) Progressão Geométrica de razão 3.

(C) Progressão Aritmética de razão 2.

(D) Progressão Geométrica de razão 13

.

(E) Progressão Geométrica de razão –3.


O enunciado da questão trás que a sequência numérica apresentada possui um padrão. Elimina-se que seja uma PA pois 81 – 243 ≠ 27 – 81. Para verificar se está sequência é uma PG a divisão de um termo a partir do segundo termo pelo seu antecessor deverá ser sempre igual a uma constante que é a razão da PG. Então:

81 : 243 = 13

; 27 : 81 = 13

; 9 : 27 = 13

; 3 : 9 = 13

; 1 : 3 = 13

; 13

; : 1 = 13

; 19

: 13

= 13

;

Neste caso verifica-se que trata de uma PG de razão 13


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GRADE DE CORREÇÃO

(A) Progressão Aritmética de razão 13

.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não distingue PA de PG demonstrando fragilidade em distinguir os conceitos.

(B) Progressão Geométrica de razão 3.

Resposta incorreta. O estudante possivelmente constatou que os termos dessa sequência são determinados dividindo-os por 3, e achou que era uma PG de razão 3, demonstrando fragilidade no conceito de PG.

(C) Progressão Aritmética de razão 2.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de Progressão Aritmética e nem de Progressão Geométrica.

(D) Progressão Geométrica de

razão 13

.

Resposta correta.

(E) Progressão Geométrica de razão –3.

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante calculou a divisão dos termo por 3, e como os números diminuíam na sequencia, concluiu que deveria ser a razão –3.

Questão 9

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP05 - Resolver problemas envolvendo PA ou PG, em diferentes contextos. (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Num certo telhado as telhas dispõem-se de modo que cada fileira tem 2 telhas a mais que a anterior. Quantas fileiras serão necessárias para fazer o telhado, se a primeira fileira possui 4 telhas e a última 38?

(A) 21(B) 19(C) 18(D) 17(E) 16


Para resolver esta questão é preciso associar o enunciado a uma PA, onde a1 = 4, r = 2, an = 38 e a quantidade de fileiras a encontrar equivale ao n. Depois disso, basta substituir os valores dados na fórmula do termo geral de uma PA, para encontrar o valor de n.Como an = a1 + (n – 1)r então,

38 = 4 + (n – 1)2 38 = 4 +2n – 2 38 – 2 = 2n 2n = 36 n = 18

Portanto esse telhado será formado por 18 fileiras.



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GRADE DE CORREÇÃO(A) 21 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu o conceito de PA

e possivelmente somou 4 telhas da primeira fileira com as 38 da última e dividiu esse resultado por 2.

(B) 19 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu o conceito de PA e talvez tenha dividido as 38 telhas por 2, que são as 2 telhas que cada fileira tem a mais.

(C) 18 Resposta correta.

(D) 17 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu corretamente o conceito de PA e talvez subtraiu as 4 telhas da primeira fileira do total de telhas e depois dividiu por 2, que são as 2 telhas que cada fileira tem a mais.

(E) 16 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o conceito de PA e respondeu a alternativa que achou a mais adequada.

Questão 10

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP05 - Resolver problemas envolvendo PA ou PG, em diferentes contextos. (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Assim que Margarete soube de uma nova notícia, à 1h da tarde, ela a contou a 4 amigas. Cada uma dessas amigas contou a notícia a 4 outras pessoas durante a segunda hora da tarde. E assim a notícia foi se espalhando até às 6 horas da tarde. Às 6 horas da tarde, quantas pessoas sabiam da notícia, incluindo Margarete?

(A) 21(B) 25(C) 1 024(D) 4 096(E) 5 461


Para resolver esta questão, o estudante precisa associar que se trata da soma dos termos de uma PG. Portanto, basta tomar a quantidade de pessoas que ficaram sabendo da notícia na primeira hora, identificar a quantidade de vezes que a notícia foi divulgada e aplicar a fórmula da soma dos termos da PG.

Vamos calcular a soma dos termos da PG:

( )( )

( )− − −= ⇒ = = = =

− −

1 n 6a q 1 4 4 1 16384 4 16380S S 5460.q 1 4 1 3 3

Logo, incluindo a Margarete será 5460 + 1 = 5461.

O estudante também poderá resolver a questão calculando cada termo da PG e depois somá-los. Assim terá:

a1 = 4 a2 = 16 a3 = 64 a4 = 256 a5 = 1024 a6 = 4096

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + 1 = 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 4096 + 1

S = 5461


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GRADE DE CORREÇÃO

(A) 21 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu o enunciado, e tenha calculado a diferença entre 1h e 6h, multiplicou por 4, que é o número de pessoas que recebiam a notícia a cada hora, e somou 1 contando a Margarete.

(B) 25 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu o enunciado, multiplicou por 4, que é o número de pessoas que recebiam a notícia a cada hora, pelas 6 horas e somou 1 contando a Margarete.

(C) 1024 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não entendeu o enunciado, calculou a diferença entre as horas (6 – 1 = 5) e depois calculou 45.

(D) 4096 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante calculou apenas a quantidade de pessoas que receberiam a notícia às 6 horas.

(E) 5461 Resposta correta.

Questão 11

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP06 - Calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA ou PG (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Nair comprou uma televisão e vai pagar as prestações em Progressão Aritmética de razão RS 200,00. Qual o valor total da televisão se ela pagou em 6 prestações sem entrada e a primeira prestação foi de R$ 100,00.

(A) R$ 3 600,00(B) R$ 3 300,00(C) R$ 1 600,00(D) R$ 1 200,00(E) R$ 1 100,00


Para resolver esta questão, o estudante precisa constatar que se trata da soma dos termos de uma PA, onde a1= 100, n = 6 e r = 200 e para calculá-la, o estudante poderá escolher entre as fórmulas:

1 1[a a (n 1)r] nS

2+ + −

= ou 1 n(a a ) nS

2+

=

Se escolheu a primeira, basta substituir os valores na fórmula, mas se escolheu a segunda, primeiro precisará calcular o sexto termo e depois substituir os valores na fórmula.Como exemplo escolhemos a segunda fórmula.

a6 = a1 + (n – 1)r = 100 + (5) . 200 = 100 + 1000 = 1100

( ) ( )+ += = = ⋅ =1 na a n 100 1100 6

S 1200 3 36002 2



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O estudante também poderá resolver a questão calculando cada termo da PA e depois somá-los. Assim terá:

a1 = 100 a2 = 300 a3 = 500 a4 = 700 a5 = 900 a6 = 1100

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 100 + 300 + 500 + 700 + 900 + 1100

S = 3600

GRADE DE CORREÇÃO

(A) R$ 3 600,00 Resposta correta.

(B) R$ 3 300,00 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante equivocou-se e esqueceu de somar a primeira prestação quando efetuou a soma dos termos da PA.

(C) R$ 1 600,00 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o enunciado e marcou a alternativa de forma aleatória.

(D) R$ 1 200,00 Resposta incorreta. Possivelmente, o estudante multiplicou a razão pelo número de prestações.

(E) R$ 1 100,00 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante calculou apenas a sexta prestação.

Questão 12

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP06 - Calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA ou PG (A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Sabendo que as potências de 10 formam uma Progressão Geométrica de razão 10, determine a soma dos sete primeiros termos dessa PG sabendo que o primeiro termo é 1.

(A) 11 111 110(B) 10 101 010(C) 10 000 000(D) 1 111 111(E) 1 000 001


Para resolver esta questão é preciso calcular a soma dos termos de uma PG, onde a1 = 100 = 1, constatar que a razão da PG é 10 e aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PG. Logo temos,

( ) ( )− −= = = =

− −

n 71a q 1 1 10 1 9 999 999

S 1 111 111.q 1 10 1 9

O estudante também poderá resolver a questão calculando cada termo da PG e depois somá-los. Assim terá:

a1 = 1 a2 = 10 a3 = 100 a4 = 1 000 a5 = 10 000 a6 = 100 000 a7 = 1 000 000

S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 1 + 10 + 100 + 1 000 + 10 000 + 100 000 + 1 000 000

S = 1 111 111


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GRADE DE CORREÇÃO

(A) 11 111 110 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante considerou o 10 como o primeiro termo da PG.

(B) 10 101 010 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante escolheu a alternativa que achou mais adequada ou desconhece o que vem a ser potência de base 10.

(C) 10 000 000 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante calculou 107.

(D) 1 111 111 Resposta correta.

(E) 1 000 001 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante somou apenas o primeiro e último termos.

Questão 13

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP08 (8º ano) - Realizar operações com polinômios.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Dados os polinômios A = 2x – 5, B = 4x + 3 e C = 3x2 – 10x – 15, o valor de A . B – C é:

(A) 5x2 – 24x – 30(B) 11x2 – 24x – 30(C) 5x2 – 4x(D) 3x + 7(E) x


Para resolver esta questão será necessário substituir as letras pelos polinômios correspondentes e depois resolver a expressão resolvendo primeiro a multiplicação e depois a adição desse resultado com o oposto do polinômio C,

Logo temos,

A . B – C =

= (2x – 5) . (4x + 3) – (3x2 – 10x – 15) =

= 8x2 + 6x – 20x - 15 - 3x2 + 10x + 15 =

= 5x2 – 4x



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GRADE DE CORREÇÃO

(A) 5x2 – 24x – 30 Resposta incorreta. Possivelmente escreveu o oposto apenas do primeiro termo do polinômio C.

(B) 11x2 – 24x – 30 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante considerou o polinômio C em vez de –C, ou desconhece o que o sinal negativo indica em um produto.

(C) 5x2 – 4x Resposta correta.

(D) 3x + 7 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não conseguiu resolver de forma correta alguma operação.

(E) x Resposta incorreta. Ao efetuar a multiplicação x . x, esqueceu de elevar ao quadrado.

Questão 14

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP08 (9º ano) - Resolver problemas envolvendo equações de 2º grau.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Observe a figura a seguir.

O valor de a para que a área do retângulo seja igual a 150 cm2 é:

(A) –12 cm e 13 cm(B) –13 cm e 12 cm(C) 12 cm(D) 13 cm(E) 12 cm e 13 cm


A área do retângulo é dada pela equação: (a – 3) . (a + 2) = 150a2 – a – 6 – 150 = 0

a2 – a – 156 = 0

1

2

1 1 624 1 625 1 25a a2 2 2

26a 13 e224a 12 este valor deve ser desprezado, pois não existe lado com valor negativo.2

± + ± ±= = = =

= =

= − = −


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GRADE DE CORREÇÃO

(A) –12 e 13 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não atentou os valores encontrados refere-se a medida de lado e esta não pode ser negativa.

(B) –13 e 12 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante considerou “b” em vez de “–b”, além de desconsiderar o valor negativo para a medida do lado, demonstrando fragilidade no manuseio da fórmula de Báskara e não atentou os valores encontrados refere-se a medida de lado e esta não pode ser negativa.

(C) 12 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante considerou “b” em vez de “–b”.

(D) 13 Resposta correta.

(E) 12 e 13 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante sabendo que a medida do lado não pode ser negativa, equivocou-se em achar que bastaria desconsiderar o sinal do número 12.

Questão 15

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP09 (9º ano) - Identificar situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

O gráfico a seguir representa grandezas diretamente proporcionais.

O valor de y quando x vale 7 e a constante de proporcionalidade k entre y e x (nessa ordem), valem:

(A) = =14 2y e k3 3

(B) y = 8 e k = 2(C) y = 9 e k = 3(D) y = 10,5 e k = 1,5

(E) y = 10,5 e =2k3


Para resolver esta questão, basta aplicar a regra de proporcionalidade e depois calcular yx

. 3 y 21 10,52y 21 y 10,5. Logo k 1,5.2 7 2 7= ⇒ = ⇒ = = = =



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GRADE DE CORREÇÃO

(A) = =14 2y e k3 3

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante apresenta fragilidade em diferenciar grandezas diretamente das inversamente proporcionais, e também em encontrar a constante de proporcionalidade, limitando em encontra-la

somente com uma única razão. 2 y 14 14 1 2y e k .3 x 3 3 7 3= ⇒ = = ⋅ =

(B) y = 8 e k = 2 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante apresenta fragilidade na habilidade em questão, marcando a alternativa que achou mais adequada.

(C) y = 9 e k = 3 Resposta incorreta. Possivelmente o estudante apresenta fragilidade na habilidade em questão. Calculou a diferença entre 12 e 9, que são os valores de y e depois dividiu 9 por 3.

(D) y = 10,5 e k = 1,5 Resposta correta.

(E) y = 10,5 e =2k3

Resposta incorreta. Possivelmente o estudante entendeu o conceito de grandezas diretamente proporcionais, mas deve ter se distraído e efetuado x

y.

Questão 16

Habilidade selecionada para a avaliaçãoMP15 (9º ano) - Resolver problemas envolvendo semelhança de triângulos.(A descrição de uma habilidade para a avaliação faz um recorte do que foi desenvolvido em sala de aula).

Para medir a largura de um lago, foram tomadas algumas medidas que resultaram no modelo matemático da figura a seguir.

Sabendo que:

BC //DE , a largura do lago deve ser:

(A) 660 m(B) 440 m(C) 300 m(D) 110 m(E) 66 m


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Para resolver a questão, basta aplicar uma das propriedades fundamentais da semelhança:

“Toda paralela a um dos lados de um triângulo que intercepta os outros dois lados forma com estes um triângulo semelhante ao primeiro”.

Portanto, os triângulos, ADE e ABC são semelhantes, logo podemos escrever uma das proporções:

AB BC 720 x, logo , então240 220AD DE

270 220x , efetuando as simplificações temos, x 660 m e a alternativa correta é a letra A.240

= =

⋅= =

GRADE DE CORREÇÃO

(A) 660 m Resposta Correta.

(B) 440 m Resposta incorreta. Possivelmente o estudante nota que há semelhança entre os triângulos, porém possui fragilidade em encontrar os lados proporcionais,

fazendo: 240 220480 x

= .

(C) 300 m Resposta incorreta. Possivelmente o estudante não compreendeu o enunciado e escolheu a alternativa que achou mais adequada.

(D) 110 m Resposta incorreta. Possivelmente o estudante nota que há semelhança entre os triângulos, porém possui fragilidade em encontrar os lados proporcionais,

fazendo: 480 240220 x

= .

(E) 66 m Resposta incorreta. Possivelmente o estudante cortou todos os zeros demonstrando fragilidade em simplificação de fração.


Bibliografia Consultada

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista do Estado de São Paulo: SEDUC, 2019.Secretaria da Educação. São Paulo – SP.

SÃO PAULO FAZ ESCOLA. Vol. 1. Versão Estendida. Ensino Fundamental Anos Finais. Currículo Paulista do Estado de São Paulo: SEDUC, 2019.Secretaria da Educação. São Paulo – SP.

Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática / Coord. Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE, 2008. ISBN 978-85-61400-04-0. 1. Matemática (Ensino Fundamental e Médio) – Estudo e ensino. I. Fini, Maria Inês. II. São Paulo (Estado) Secretaria da Educação


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Avaliação da Aprendizagem em Processo

Coordenadorias

Coordenadoria Pedagógica - COPEDCoordenador: Caetano Pansani Siqueira

Coordenadoria de Informação, Tecnologia, Evidência e Matrícula - CMITECoordenador: Thiago Guimarães Cardoso

Departamentos

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão Pedagógica - DECEGEPDiretor: Valéria Arcari Muhi

Centro dos Anos Finais do Ensino Fundamental - CEFAFDiretora: Patrícia Borges Coutinho da Silva

Centro de Ensino Médio - CEMDiretora: Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho

Equipe Curricular de Matemática – Leitura crítica e validação do material Ilana Brawerman, Isaac Cei Dias, João dos Santos Vitalino, Marcos José Traldi, Otávio Yoshio Yamanaka,

Rafael Dombrauskas, Sandra Lopes e Vanderley Aparecido Cornatione

Departamento de Avaliação Educacional – DAVED Diretora: Patricia de Barros Monteiro

Assistente Técnica: Maria Julia Filgueira Ferreira

Centro de Planejamento e Análise de Avaliações - CEPAVElaboração dos Materiais

Ademilde Ferreira de Souza, Cristiane Dias Mirisola, Ilton Campos Cavalcanti,Isabelle Regina de Amorim Mesquita, Juvenal de Gouveia, Márcia Soares de Araújo Feitosa,

Roberto Antonio Inocencio, Soraia Calderoni Statonato, Sylvia Russiano Toledo Casari

Leitura Crítica dos Materiais (PCNP)Inês Chiarelli Dias, Lilian Ferolla de Abreu, Lyara Araújo Gomes Garcia, Simoni Renata e Silva Perez

Centro de Aplicação de Avaliações - CEAPAAmanda Morais Cardoso, Denis Delgado dos Santos, José Guilherme Brauner Filho,

Nilson Luiz da Costa Paes, Teresa Miyoko Souza Vilela

Departamento de Tecnologia de SistemasDiretor: Marcos Aparecido Barros de Lima

Centro de Planejamento e Integração de Sistemas Diretora: Camila da Silva Alcazar

Viviana Fernandes dos Santos – Analista de Sistemas

Representantes do CAPE Leitura crítica, validação e adaptação do material para os deficientes visuais

Ana Maria de Araujo Pires, Carolina Molinari Carvalho Ruiz, Gina Lúcia Camargo de Mendonça Garcia,Tânia Regina Martins Resende



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AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO...MP09 (9º ano) - Identificar situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade. √ MP15 (9º ano) - Resolver