UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES

ENGENHARIA CIVIL

LUCAS FEITOSA DE ALBUQUERQUE LIMA BABADOPULOS

AVALIAO DO MODELO VISCOELSTICO LINEAR APLICADO A MISTURAS

ASFLTICAS UTILIZADAS EM REVESTIMENTOS DE PAVIMENTOS NO

BRASIL

FORTALEZA

2013

ii

LUCAS FEITOSA DE ALBUQUERQUE LIMA BABADOPULOS

AVALIAO DO MODELO VISCOELSTICO LINEAR APLICADO A MISTURAS

ASFLTICAS UTILIZADAS EM REVESTIMENTOS DE PAVIMENTOS NO

BRASIL

Monografia apresentada ao curso de

Engenharia Civil do Centro de Tecnologia da

Universidade Federal do Cear como requisito

para obteno do Ttulo de Engenheiro Civil.

Prof. Orientador: JORGE BARBOSA SOARES

Prof. Co-orientador: FLVIO VASCONCELOS DE SOUZA

Fortaleza - Cear

Fevereiro/2013

iii

LUCAS FEITOSA DE ALBUQUERQUE LIMA BABADOPULOS

AVALIAO DO MODELO VISCOELSTICO LINEAR APLICADO A MISTURAS

ASFLTICAS UTILIZADAS EM REVESTIMENTOS DE PAVIMENTOS NO

BRASIL

Monografia apresentada ao curso de

Engenharia Civil do Centro de Tecnologia da

Universidade Federal do Cear como requisito

para obteno do Ttulo de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. Jorge Barbosa Soares, Ph.D.

Co-orientador: Flvio Vasconcelos de Souza,

Ph.D.

Aprovada em: __/__/____.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________________

Prof. Jorge Barbosa Soares, Ph.D. (Orientador)

Universidade Federal do Cear (UFC)

________________________________________________________

Flvio Vasconcelos de Souza, Ph.D. (Co-orientador)

PRH-31/ANP

________________________________________________________

Prof. Vernica Teixeira Franco Castelo Branco, Ph.D. (Avaliadora)

Universidade Federal do Cear (UFC)

________________________________________________________

Luis Alberto Hermann do Nascimento, M.Sc. (Avaliador)

Cenpes/Petrobras

iv

VIDA, a ser brindada a cada

nova experincia, pois danada pra

tomar uns rumos curiosos por

detalhes raros.

v

AGRADECIMENTOS

A meus pais, Silvia e Baba, porque, alm de lhes dever a vida, comemoram os passos

de cada novo Babinha como se fossem os deles. No fundo, so mesmo.

Aos meus irmos e a minha irm, exemplos e nortes da minha personalidade. Em

especial ao Marquinho, que num dia de maro de 2007 aprumou meu futuro enquanto aluno

da UFC (e talvez mais que isso), apresentando-me ao LMP e ao seu coordenador. Esse dia at

o momento determinou vrias das decises que me tm rumado.

Ao Jorge, pela orientao pessoal, profissional, guia turstico, guru e, mais que isso,

pela amizade privilegiada cuja companhia boa de aproveitar... Brindemos!

Vernica, minha orientadora adotiva, que quando a veia artstica pulsa ilumina o

DET e o torna o melhor lugar do mundo... Brindemos!

Ao Flvio, pela participao como co-orientador, em cujas competncia e potncia me

espelho para o futuro.

Ao Luis, exemplo que manterei como referencial nas alianas entre empresas e

universidades. Mais especialmente, sou-lhe enormemente agradecido pelo timo perodo em

na NCSU, em Raleigh, onde, sem discriminao, ensinou-me tudo que se pode aprender em

duas semanas, ainda conseguindo aproveitar diversos momentos felizes. Boa parte das

concluses deste trabalho se deve participao do Luis e aos dados fornecidos por ele. Alm

disso, ter se disponibilizado para participar, mesmo por videoconferncia, como avaliador

deste trabalho foi muito atencioso... Valeu!

Ao Dr. Kim, pela recepo atenciosa na NCSU. Aprendi em duas semanas de

treinamento o que poderia ter demorado muitos meses para absorver...

Ao Prof. Di Benedetto, que me recebeu com extrema ateno na ENTPE, em Lyon,

enriqueceu este trabalho e por conta disso tudo pode ter modificado meus planos para o

futuro.

Ao LMP, sem o qual o meu futuro h seis anos certamente no seria este.

vi

greve dos professores, que atrasou e atrapalhou os ltimos meses da minha

graduao e tornou o ano de 2012 o mais longo que j passei. Felizmente, o efeito colateral

foi dar mais tempo para melhorar este trabalho e permitir as viagens que lhe trouxeram algum

brilho.

Aos amigos pra vida que a execuo deste trabalhou trouxe, atravs de cada nova

experincia, em especial, Marcio, Renato, Raul, Reuber, Samuel e Juliana.

Ao Rmulo e ao Daniel, amigos que possibilitam o dia-a-dia do laboratrio de

misturas do LMP.

Aos professores do Petran, em especial as Profas. urea e Suelly, que me receberam

em suas disciplinas com carinhosa ateno.

Ao Erasmus Mundus, entidade que organizou e permitiu meu intercmbio em Nantes,

onde passei vinte meses intensos tanto pessoalmente quanto profissionalmente. A estada na

Frana tambm vem moldando meu presente e parece direcionar meu futuro.

Aos outros dois Infantes do 23 (Marco e Roberto) e nossa msica, que nos trata o

esprito. Alm disso, aos nossos amigos (Cntia, Renata, Natlia, Karina, Puxi e a vai, alm

de Gwen e Cia e Basile e Cia), com os quais distribumos uma rede de amizades que no

imaginvamos e que j rendeu diversas experincias engrandecedoras e lembranas

marcantes. Isso me alegra diariamente. Sinto-me transformado por essas experincias.

vii

RESUMO

A tendncia da Mecnica dos Pavimentos, quanto anlise estrutural, a gradual sofisticao

dos modelos constitutivos dos materiais. A hiptese de elasticidade linear, ainda usada no

estado da prtica (a partir da utilizao do mdulo de resilincia), cede lugar a modelos

constitutivos mais gerais e adequados a cada um dos constituintes quando se trata do estado

da arte. No caso dos solos, estimula-se o uso de modelos resilientes no-lineares, e no das

misturas asflticas, modelos viscoelsticos, para os quais o mdulo dinmico e o ngulo de

fase so as propriedades a determinar. O presente trabalho trata da modelagem viscoelstica

linear de misturas asflticas. Alguns dos modelos existentes apenas ajustam resultados

experimentais usando funes matemticas genricas, como as leis de Potncia ou a funo

sigmoidal. Outros utilizam anlogos mecnicos, que permitem a interpretao fsica dos

resultados matemticos. Dentre os modelos baseados em anlogos mecnicos, destacam-se os

de Kelvin-Voigt e de Maxwell-Wiechert (associaes de um nmero finito de molas e

amortecedores lineares cujos resultados matemticos so sries de Prony) e o modelo 2S2P1D

(associao de duas molas lineares, um amortecedor linear e dois parablicos). Enquanto os

primeiros apresentam elevada eficincia computacional, o ltimo apresenta resultado mais

refinado para a representao do comportamento das misturas asflticas. Isso se deve ao fato

de os primeiros poderem fornecer apenas um Espectro Discreto de Relaxao, mesmo com a

utilizao de muitos elementos, enquanto o ltimo capaz de representar um Espectro

Contnuo, equivalente a uma quantidade infinita de elementos discretos. Durante o presente

trabalho, diversas misturas asflticas foram estudadas, com diferentes tipos de ligantes

modificados e agregados. Trata-se de uma base de dados extensa, em se considerando a

dificuldade de se encontrar modelos viscoelsticos disponveis na literatura. Foi estudado e

validado para misturas asflticas um mtodo matemtico aproximado para obteno do ngulo

de fase a partir do mdulo dinmico. Alm disso, foram apresentados e testados mtodos para

obteno do mdulo de resilincia a partir do mdulo dinmico. Quanto modelagem

viscoelstica linear, a aplicao do modelo 2S2P1D permite a melhor representao das

propriedades viscoelsticas lineares das misturas asflticas, mas recomenda-se a obteno das

sries de Prony a partir do modelo 2S2P1D para a modelagem dos pavimentos, por causa de

sua maior eficincia computacional.

Palavras chave: Modelos viscoelsticos lineares. Misturas asflticas. Mdulo dinmico.

ngulo de fase. Mdulo de resilincia.

viii

ABSTRACT

The trend in Pavement Mechanics with respect to structural analysis is the progressive

enhancement of constitutive models. The hypothesis of linear elasticity for all layer materials

is commonly used in practical applications, by using the resilient modulus. However, more

general constitutive equations can be used, such as non-linear elastic models for soils, and

linear viscoelasticity for asphalt mixes (by using the dynamic modulus). This paper deals with

the linear viscoelastic modelling of asphalt mixes. Some of the existing models fit general

mathematic functions, like the Power Laws or the Sigmoidal Functions. Others are based in

mechanical analogs, and considered to be a better physical interpretation of the mathematical

results. Among the analogical models, the Kelvin-Voigt, the Maxwell-Wiechert (both being

associations of a finite number of linear springs and dashpots, from which the mathematical

results are Prony series) and the 2S2P1D model (association of two linear springs, two

parabolic dashpots and a linear one) are the most used. While the first ones present high

computational efficiency, the last one obtains more refined results while representing the

linear viscoelastic properties of asphalt mixes. This is due to the fact that the first ones result

only in a Discrete Relaxation Spectrum, even using a high number of elements, while the

latter is capable of representing a Continuum Relaxation Spectrum, using only seven model

constants, which is equivalent to an infinite number of viscoelastic elements. For the present

paper, different asphalt mixes were evaluated, using different modified binders and

aggregates. An extensive database was created for asphalt mixes used in Brazil. Na

approximate mathematical method to obtain the phase angle from the dynamic modulus

master curve was studied and validated for asphalt mixes. In addition, a method to obtain the

resilient modulus from the dynamic modulus was presented. With respect to the linear

viscoelastic modelling, the application of 2S2P1D model allows a better representation of the

linear viscoelastic properties of asphalt mixes, but Prony series are recommended to Pavement

Analysis because of its lower computational cost. Prony series can be obtained from an

adjusted 2S2P1D model.

Keywords: Linear viscoelastic models. Asphalt mixtures. Dynamic Modulus. Phase angle.

Resilient modulus.

ix

SUMRIO

1 INTRODUO .................................................................................................................. 1

2 PROBLEMA E QUESTES DE PESQUISA .................................................................... 4

3 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 6

4 REVISO DA LITERATURA ........................................................................................... 7

4.1. Modelo Constitutivo Viscoelstico Linear ...................................................................... 8

4.2. Ensaios de Rigidez ........................................................................................................ 23

4.3. Construo de Curvas Mestras ...................................................................................... 25

4.4. Relao entre o ngulo de Fase e o Mdulo Dinmico ................................................ 29

4.5. Relaes entre o Mdulo de Resilincia e o Mdulo Dinmico ................................... 32

5 METODOLOGIA ............................................................................................................. 40

5.1. ViscoLabTM

.................................................................................................................... 40

5.2. Experimental .................................................................................................................. 40

5.3. Processamento dos dados usando o ViscoLabTM

.......................................................... 41

6 RESULTADOS ................................................................................................................. 42

6.1. Validade das Relaes de Kramers-Kronig para as Misturas Asflticas ....................... 44

6.2. Banco de dados de propriedades viscoelsticas lineares ............................................... 48

6.3. Estimao de resultados de Fluncia ............................................................................. 48

6.4. Estimao de resultados de Mdulo de Resilincia (MR) ............................................. 49

6.5. Ajustes do Modelo 2S2P1D .......................................................................................... 52

7 CONCLUSES E SUGESTES ..................................................................................... 60

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 63

APNDICE .............................................................................................................................. 69

Banco de dados de Sries de Prony para misturas asflticas brasileiras .............................. 69

1

1 INTRODUO

O presente trabalho se enquadra na grande rea de Infraestrutura de Transportes,

especificamente degf Pavimentao Asfltica. , sobretudo, associado a procedimentos de

ensaio e tratamento de dados ligados modelagem do comportamento termomecnico das

misturas asflticas utilizadas em revestimentos de pavimentos asflticos. A relevncia do

tema est associada aos vultosos investimentos, a exemplo do Programa de Acelerao do

Crescimento (PAC) do Governo Federal e do Pr-Estradas do Governo Estadual do Cear, em

manuteno e expanso da malha viria. Esta responsvel pelo escoamento de cerca de 60%

da carga e 90% dos passageiros transportados no territrio nacional (CNT, 2011). Estimava-

se, em 2010, que a malha viria demandaria mais de R$ 180 bilhes para a sua recuperao

(IPEA, 2010).

Apresenta-se, portanto, o desafio de prover a manuteno e a expanso da malha

viria existente em regime de economia de recursos e evitar desperdcios. Neste contexto,

justifica-se um trabalho que visa o aperfeioamento de procedimentos de ensaio de

laboratrio e de anlise desses resultados para a caracterizao de misturas asflticas, uma vez

que estes materiais so os principais usados nos revestimentos virios nacionais em situaes

de trfego mdio a pesado. Entre as atividades que objetivam ou influenciam a economia de

recursos em Pavimentao Asfltica, podem-se citar o Projeto e a Construo (Execuo) de

Rodovias e a Gerncia de Pavimentos. O Projeto de Rodovias pode ser dividido em diversos

subprojetos, como o geomtrico da via e o dimensionamento do pavimento, entre outros. O

presente plano de pesquisa est relacionado ao projeto de pavimentos asflticos, utilizados em

95% da extenso da malha viria nacional revestida. Especificamente, este trabalho pretende

tratar da modelagem do comportamento termomecnico das misturas asflticas aplicadas em

revestimentos asflticos, influenciando a anlise de tenses e de deformaes nos pavimentos.

Mtodos empricos para a dosagem de misturas asflticas, para a previso do

comportamento dos materiais de pavimentao e para a previso de falha de pavimentos

ajudaram, no passado, a entender melhor os fatores que influenciam o comportamento dos

pavimentos (Haas et al., 1994; Roberts et al., 1996). Porm, h uma tendncia cada vez maior

de se utilizar os chamados mtodos mecanstico-empricos nas diversas atividades envolvidas

2

no projeto de pavimentos (Motta, 1991; Huang, 2004; Medina e Motta, 2005; Soares et al.,

2009).

No Estado da Prtica do projeto de pavimentos asflticos no Brasil, permanece-se

utilizando a adaptao, feita em 1966 (ainda que revista em 1981), pelo Eng. Murilo Lopes,

do Mtodo Emprico do Corpo de Engenheiros do Exrcito Americano (USACE), concebido

entre os anos 1930 e 1960 para trfego e materiais que no se assemelham ao cenrio

brasileiro do sculo XXI. Enquanto isso, nos pases desenvolvidos, a anlise de tenses e

deformaes para o dimensionamento de pavimentos prtica corrente. Deve-se ressaltar que,

em rodovias brasileiras concessionadas tal prtica j comum, bem como em alguns projetos

de maior relevncia ou com insucessos recorrentes. Vale notar que o Departamento Nacional

de Infraestrutura de Transportes (DNIT) aceita mtodos alternativos desde que devidamente

justificados e que sejam assumidas as responsabilidades em casos de insucesso. Contudo, a

falta de normatizao de um projeto menos emprico leva os engenheiros brasileiros a

manterem o quadro de atraso da Engenharia de Pavimentao nacional em rodovias no

concessionadas e apenas em alguns casos a usarem mtodos que no o emprico da dcada de

1960.

Enquanto os guias de dimensionamento nos pases desenvolvidos so revisados

em mdia de 10 em 10 anos, o manual brasileiro no sofre modificaes h mais de 45 anos

(Soares et al., 2009). Atualmente, uma iniciativa nacional, que envolve tembm o Laboratrio

de Mecnica dos Pavimentos da Universidade Federal do Cear (LMP/UFC) e um total de 27

universidades brasileiras para o desenvolvimento do novo mtodo mecanstico-emprico de

dimensionamento de pavimentos, deve incluir avanos na anlise de tenses e de

deformaes. Trata-se da Rede Temtica de Asfalto que tem o apoio da Petrobras e a

participao do DNIT. Este projeto, em andamento e com previso de concluso para 2016,

possui foco na execuo e no monitoramento de pistas experimentais. Isto essencial para a

construo de uma base de dados nacional com informaes dos materiais, dos pavimentos e

do desempenho destes em campo sob a ao do trfego e do meio ambiente. Contudo, h

aspectos de pesquisa cientfica que no so previstos no escopo do projeto, mas que so

cruciais para o completo desenvolvimento de um mtodo de dimensionamento com vis

mecanicista, ainda que tais incorporaes sejam includas no longo prazo. Entre os principais

aspectos que merecem ateno acadmica est o mtodo de caracterizao das misturas

asflticas com relao a sus propriedades viscoelsticas lineares.

3

A literatura nacional e internacional j reporta o carter viscoelstico de misturas

asflticas desde os anos 1960 (Huet, 1963; Sayegh, 1965) e vem consolidando o

conhecimento sobre o assunto desde os anos 1990 (Daniel et al., 1998; Souza e Soares, 2002;

Di Benedetto et al., 2004; Sousa et al., 2007; Teixeira et al., 2007; Silva, 2009; ). O

conhecimento desse modelo foi aplicado ao comportamento das misturas asflticas depois de

ter sido bastante amadurecido em outras reas como a da Engenharia de Polmeros (Schapery,

1962). J foi apresentado na literatura que as tenses e as deformaes nos pavimentos

estimadas usando o Modelo Elstico Linear para o revestimento podem ser subestimadas em

mais de 100% a depender da varivel observada e da velocidade de passagem dos veculos

(Silva, 2009). Essa subestimao leva deteriorao precoce dos pavimentos e consequente

gasto excessivo em manuteno ou, alternativamente, a condies estruturais e funcionais

aqum do projetado para os pavimentos. Portanto, a tendncia que gradativamente

propriedades fundamentais ligadas viscoelasticidade sejam includas na anlise estrutural de

pavimentos e, posteriormente, no dimensionamento dos mesmos.

A presente monografia envolve a caracterizao viscoelstica linear de misturas

asflticas, incluindo o ajuste de funes analticas descrevendo o comportamento das mesmas.

As funes analticas so necessrias como dado de entrada de programas computacionais de

anlise de tenses e de deformaes em pavimentos. Torna-se, portanto, necessrio tanto o

desenvolvimento de uma ferramenta computacional para gerar tais funes analticas a partir

de dados experimentais, como a organizao de um banco de dados contendo funes

analticas tpicas para os materiais utilizados no Brasil, como os Concretos Asflticos (CAs) e

as Areias Asflticas (AAs). Dessa forma, espera-se dar subsdio para um futuro

aprimoramento do mtodo de dimensionamento brasileiro, considerando propriedades mais

realistas do que somente a elasticidade das camadas, como, por exemplo, a susceptibilidade

do comportamento mecnico s condies de temperatura e de taxa de carregamento

(diretamente relacionada velocidade de passagem dos veculos).

4

2 PROBLEMA E QUESTES DE PESQUISA

Segundo a Confederao Nacional do Transporte (CNT), mais da metade (57,4%)

das rodovias brasileiras est em estado regular, ruim ou pssimo (CNT, 2011). Entre os

motivos que concorrem para manter esse quadro, podem-se citar deficincias de execuo dos

pavimentos, falta de fiscalizao quanto construo e quanto pesagem dos veculos,

ausncia ou deficincia de sistemas de gerncia e de gesto de infraestruturas e deficincias

em nvel de projeto. No contexto da condio estrutural e funcional dos pavimentos, quanto

ao projeto, destaca-se como principal fator interveniente o mtodo de dimensionamento do

sistema de camadas, ressaltando-se o empirismo e o arcasmo dos mtodos normatizados no

Brasil, como mencionado anteriormente. Disso resulta a inexistncia de informaes

consolidadas sobre o nvel de solicitao dos materiais empregados nos pavimentos

brasileiros, como tambm a no considerao de suas propriedades fundamentais. Desta

forma, dificulta-se, por exemplo, a utilizao de materiais de melhor qualidade (como ligantes

asflticos modificados por polmero ou por borracha de pneu modo), at porque tais materiais

apresentam custo superior em termos de preo unitrio (por tonelada ou m). Porm, os

mesmos apresentam propriedades mais adequadas utilizao em revestimentos de rodovias

de mdio e de alto volume de trfego e sua utilizao poderia, consequentemente, conduzir o

dimensionamento a estruturas mais esbeltas, levando a custos competitivos em termos de m

de rodovia construda, principalmente em se considerando os custos de manuteno da

infraestrutura ao longo do tempo. Trata-se de se observar o custo do ciclo de vida til do

pavimento, e no apenas seu custo inicial. O Estado da Prtica em rodovias concessionadas e

nos pases desenvolvidos j contempla o dimensionamento mecanstico de pavimentos,

baseado na anlise estrutural elstica do sistema de camadas (Soares et al., 2009). As solues

tpicas em termos de materiais e de espessuras de camadas foram, em geral, organizadas em

catlogos, que facilitam o dimensionamento das estruturas. Porm, a literatura j consolidou o

conhecimento acerca da viscoelasticidade linear das misturas asflticas, tendo comprovado

que o comportamento mecnico desses materiais depende da temperatura e da taxa de

carregamento. Diante do exposto, define-se a seguir o problema de pesquisa deste trabalho.

Ainda que os mtodos de dimensionamento mecanstico-empricos em uso

atualmente apresentem uma anlise de tenses e de deformaes nos pavimentos, no se

representa adequadamente o comportamento mecnico do revestimento, que continua a ser

5

considerado como elstico linear, quando se sabe que ele apresenta suscetibilidade

temperatura e taxa de carregamento (viscoelasticidade). Assim, o modelo constitutivo

adotado atualmente para os materiais aplicados em revestimentos sabidamente simplificado.

Questes ligadas a dificuldades de ensaios avanados e tambm a anlise dos mesmos

mantm este quadro inalterado.

Como questes de pesquisa relevantes a este estudo, podem-se listar:

possvel reunir em um programa computacional ferramentas para

construo de curvas mestras de propriedades viscoelsticas lineares, ajuste de

funes analticas s curvas mestras, estimativa de erros e estimativa de diferentes

propriedades fundamentais mantendo uma interface amigvel?

Um banco de dados de funes analticas de viscoelasticidade linear

facilitaria a aplicao desse modelo na anlise de pavimentos?

Que relao o parmetro elstico MR guarda com as propriedades

viscoelsticas das misturas asflticas?

Que impacto tem a considerao de propriedades viscoelsticas lineares

na anlise estrutural de pavimentos asflticos? Que tipo (superestimao ou

subestimao) de erro cometido em tal procedimento em consequncia da

hiptese de elasticidade (comparativamente viscoelasticidade linear) das

camadas asflticas? Qual a ordem de grandeza desse erro?

6

3 OBJETIVOS

O presente trabalho visa a avaliar a aplicao do modelo viscoelstico linear ao

comportamento das misturas asflticas, comumente utilizadas em revestimentos de

pavimentos no Brasil.

Os objetivos especficos deste trabalho esto ligados modelagem do

comportamento mecnico de misturas asflticas:

1. Modificar o cdigo-fonte de um software de ajuste de propriedades

viscoelsticas lineares (ViscoLabTM

), sendo possvel, a partir de dados

experimentais (mdulo dinmico): construir curvas mestras; ajustar sries de

Prony e estimar o erro do ajuste; estimar outras propriedades viscoelsticas

lineares no domnio do tempo (interconverter sries de Prony);

2. Gerar um banco de dados de propriedades viscoelsticas lineares para

misturas comumente utilizadas em camadas de revestimento no Brasil;

3. Estudar as relaes tericas entre o MR e o mdulo dinmico e verific-

las experimentalmente;

4. Verificar experimentalmente a acurcia das estimativas do modelo

viscoelstico linear para o comportamento de misturas asflticas a partir da

comparao entre ensaios simulados computacionalmente e resultados

experimentais.

7

4 REVISO DA LITERATURA

Os materiais presentes na natureza, quando submetidos a tenses (e a

deformaes), tm a capacidade de armazenar ou de dissipar a energia que lhes fornecida

nesse processo. Ao se representar o comportamento de um material elstico, assume-se que

toda a energia mecnica fornecida ao sistema armazenada, tanto para a elasticidade linear

quanto para a elasticidade no-linear (quando tenso e deformao no se relacionam atravs

de uma lei de proporcionalidade linear representada pelo Mdulo de Young E, dado em

unidades de tenso). A tenso () depende apenas da deformao especfica instantnea ().

Sendo assim, o caminho percorrido durante o carregamento em um diagrama de tenso-

deformao superposto pelo caminho de descarregamento (setas nos dois sentidos na zona

de elasticidade indicadas na Figura 1).

Figura 1. Diagrama tenso-deformao genrico

Na zona elstica, ocorre armazenamento total de energia e o anlogo mecnico

apropriado uma mola. No caso da representao do comportamento viscoso linear, a tenso

seria ligada taxa de deformao por uma lei de proporcionalidade linear relacionada ao

coeficiente de viscosidade (dado em unidades de tenso vezes tempo). Toda a energia

mecnica fornecida ao sistema seria dissipada e o anlogo mecnico mais apropriado seria um

amortecedor. As equaes que associam as tenses e as deformaes (ou suas taxas) so

denominadas leis constitutivas e os parmetros que as definem podem geralmente ser

considerados propriedades dos materiais.

Alguns materiais, porm, nem armazenam nem dissipam toda a energia mecnica

que lhes fornecida e outros modelos representam melhor seu comportamento que a

8

Elasticidade ou a Viscosidade. Esses so conhecidos como Modelos Viscoelsticos. Quando

materiais viscoelsticos so submetidos a carregamentos rpidos (altas frequncias), exibem

um comportamento prximo ao dos slidos elsticos (armazenamento total da energia

mecnica). Em contrapartida, quando se aplicam carregamentos a uma taxa lenta (baixas

frequncias), o material apresenta deformaes lentas (quase permanentes) com o passar do

tempo, assemelhando-se ao comportamento dos fluidos viscosos (dissipao total da energia

mecnica). Estas deformaes permanentes, no modelo viscoelstico linear, so, na verdade,

recuperveis, mas num tempo bastante superior ao tempo de anlise de tenses e de

deformaes, o que as torna permanentes do ponto de vista prtico.

4.1. Modelo Constitutivo Viscoelstico Linear

Uma das maneiras de se modelar o comportamento mecnico de materiais

viscoelsticos lineares utilizar funes genricas com constantes a determinar, ajustando-as

de maneira que a previso do modelo seja a melhor possvel em relao aos resultados

experimentais. Este processo conhecido na literatura internacional como curve fitting, ou

ajuste de curvas. Dois tipos de curvas para ajuste de propriedades viscoelsticas so

extensamente apresentadas na literatura: baseadas em funes genricas (como as leis de

potncia e as funes sigmoidais) ou baseadas em anlogos mecnicos (soluo analgica da

resposta de associaes de molas e de amortecedores). Apesar de, em geral, os ajustes

baseados em funes genricas apresentarem boa aderncia aos dados experimentais

analisados, os resultados matemticos (constantes obtidas) apresentam dificultosa

interpretao fsica. Por esse motivo, esse tipo de ajuste de propriedades viscoelsticas no

ser estudado no presente trabalho, sendo recomendada a leitura de Williams (1964) e de Park

et al. (1996), relativos s leis de potncia, e de Witczak e Fonseca (1996), de Christensen et

al. (2003) e de Bari e Witczak (2006), relativos s funes sigmoidais. Em contrapartida, os

modelos baseados em anlogos mecnicos, que utilizam associaes de molas, de

amortecedores e de elementos elastoplsticos, permitem interpretao fsica mais simples.

Como este trabalho trata apenas da viscoelasticidade linear das misturas asflticas, os

elementos elastoplsticos no sero abordados, pois, nesse caso, o problema apresenta no

linearidade com relao s tenses e s deformaes. Modelos desse tipo, representando a

parcela de comportamento elastoplstico de misturas asflticas, podem ser encontrados em Di

Benedetto et al. (2007a).

9

No caso do armazenamento parcial de energia depender unicamente do formato

do histrico de tenses (ou de deformaes) e no de suas magnitudes (a uma dada

temperatura), o comportamento linear (em relao solicitao) e o anlogo mecnico mais

apropriado uma associao de molas e de amortecedores escolhida de forma a ajustar dados

experimentais. As associaes em srie, em paralelo, ou um misto entre elas de anlogos

mecnicos (molas e amortecedores) do origem a modelos viscoelsticos lineares. Em geral,

esses modelos ficaram conhecidos com os nomes dos fsicos que os desenvolveram. O

modelo de Maxwell-Wiechert, ou modelo de Maxwell generalizado, consiste de associaes

em paralelo de pares mola-amortecedor ligados em srie (Figura 2a). O modelo de Kelvin-

Voigt, ou modelo de Voigt generalizado, consiste de associaes em srie de pares mola-

amortecedor ligados em paralelo (Figura 2b).

(a) Modelo de Maxwell-Wiechert (acima) (b) Modelo de Kelvin-Voigt (abaixo)

Figura 2. Modelos Viscoelsticos Lineares

Para cada elemento viscoelstico, definem-se as variveis

(dada em unidade

de tempo), que conhecida como tempo de relaxao no Modelo de Maxwell-Wiechert, e

10

(tambm em unidade de tempo), que conhecida como tempo de retardao no Modelo

de Kelvin-Voigt.

As funes analticas (relacionando tenso e deformao) obtidas para esses

modelos baseados em anlogos mecnicos lineares ficaram conhecidas como Sries de Prony

(ou de Dirichlet, que representam um caso mais geral onde as constantes podem ser nmeros

complexos). As sries de Prony so a maneira mais comum de se representar o

comportamento viscoelstico linear de meios slidos (Soares e Souza, 2003).

Para uma deformao especfica constante ( ), a tenso decrescente em funo

do tempo ( ) (fenmeno da relaxao) a uma dada temperatura. Para essa temperatura,

escreve-se o mdulo de relaxao ( ) uniaxial na direo de tenso-compresso como

sendo a relao entre a tenso obtida e a deformao constante. A srie de Prony que

representa o mdulo de relaxao para o modelo de Maxwell generalizado apresentada na

Equao 1.

Os parmetros , e definem uma srie de Prony de n elementos que

representa as propriedades viscoelsticas lineares do material estudado.

Para o caso de uma solicitao constante de tenso (ensaio conhecido como Creep

Esttico), observa-se o aumento da deformao com o tempo (fenmeno da fluncia). A srie

de Prony para a Funo Fluncia (ou complincia, ou creep compliance, ou complacncia)

( ) obtida analiticamente para o modelo de Kelvin-Voigt e representada pela Equao

2.

Os parmetros , e tambm definem uma srie de Prony de n elementos

que representa as propriedades viscoelsticas lineares do material estudado. O conjunto de

tempos de relaxao associados s respectivas magnitudes de relaxao Ei conhecido

como espectro viscoelstico discreto de relaxao. Analogamente, o conjunto de tempos de

(1)

(2)

11

retardao associados s respectivas magnitudes de complacncia Dj conhecido como

espectro viscoelstico discreto de retardao (Ferry, 1980). Esses espectros podem ser

generalizados quando o nmero de elementos tende a infinito e a funo relacionando mdulo

(ou complacncia) com o tempo que resulta conhecida como espectro de relaxao (ou de

retardao). De acordo com Silva et al. (2008), so necessrios de oito a quinze elementos

viscoelsticos para se obter um bom ajuste com relao aos resultados experimentais. A

qualidade do ajuste pode ser apreciada graficamente, comparando os resultados previstos pelo

modelo ajustado e os resultados experimentais, ou mesmo atravs de quantidades estatsticas,

como o somatrio dos desvios quadrados.

Enquanto as sries de Prony definem espectros discretos de relaxao, outros

modelos utilizando anlogos mecnicos podem representar espectros contnuos. Nesses

modelos, alguns dos elementos apresentam resposta viscosa parablica com relao ao tempo,

em vez de linear, como no amortecedor comum. Pode-se dizer que tal elemento utiliza uma lei

de potncia para a descrio de seu comportamento (Christensen, 1982), mas deve-se frisar

que a definio da lei parablica desses amortecedores baseada no conceito de derivadas

fracionrias e permite, sim, a interpretao fsica dos resultados matemticos do modelo,

como ser visto mais adiante. Entre os modelos que utilizam anlogos parablicos, destacam-

se o modelo de Huet (1963), o modelo de Huet-Sayegh (Sayegh, 1965) e o modelo 2S2P1D

(two springs, two parabolic dashpots and one dashpot, ou seja, associao de duas molas

lineares, dois amortecedores parablicos e um linear) (Di Benedetto et al., 2004, 2007b). Tais

modelos representam uma evoluo gradual desde o modelo de Huet at o modelo 2S2P1D, a

partir da incluso de mais elementos analgicos, que geram mais constantes a determinar.

Huet (1963) utilizava apenas uma mola (uma constante) e dois amortecedores parablicos

(cada um com duas constantes, somando um total de cinco constantes). O modelo de Huet-

Sayegh utiliza mais uma mola associada em paralelo com o modelo de Huet (seis constantes

no total). Finalmente, o 2S2P1D adiciona, em relao ao anterior, um amortecedor linear em

srie com o modelo de Huet (total de sete constantes).

A demonstrao detalhada das equaes dos modelos aqui apresentados no

consiste em objetivo deste trabalho, sendo o leitor referido aos trabalhos de Pronk (2003,

2006) e de Woldekidan (2011). essencial, porm, apresentar a Equao 3, que descreve a

deformao de fluncia em um amortecedor parablico. Posteriormente, aps a introduo

dos conceitos de ngulo de fase e de mdulo dinmico, ser ilustrada a interpretao fsica do

12

comportamento matemtico do elemento parablico, que mais evidente em anlises no

domnio da frequncia, no no domnio do tempo (caso da Equao 3).

Nessa equao, (unidade de tenso vezes tempo), (unidade de tempo) e

(adimensional) representam as constantes do modelo e representa a funo gamma.

Entre as vantagens do modelo 2S2P1D sobre os demais citados at aqui, sublinha-

se o fato de terem sido apresentadas na literatura relaes matemticas entre seus resultados

ajustados ao comportamento de diferentes escalas da mistura asfltica. Di Benedetto et al.

(2004) mostraram a relao entre o referido modelo ajustado aos resultados de propriedades

viscoelsticas de misturas asflticas e dos ligantes asflticos que as compem. Delaporte et al.

(2007) mostraram a relao entre os mstiques e os ligantes asflticos, atravs de relaes

matemticas estabelecidas entre as constantes dos modelos ajustados s propriedades

viscoelsticas dos mesmos. Os modelos supracitados (Huet, Huet-Sayegh e 2S2P1D) podem

ser utilizados para anlises estruturais de pavimentos considerando o revestimento como

viscoelstico linear (Chabot et al., 2010), mas as sries de Prony apresentam maior eficincia

computacional nesse tipo de aplicao (Woldekidan, 2011).

Diante do exposto, percebe-se que os materiais viscoelsticos apresentam resposta

de deformao em um dado instante determinada no apenas pelo correspondente valor

instantneo de tenso, mas tambm por todo o histrico de tenso ao qual o material foi

submetido (Christensen, 1982). Com a aplicao do princpio da superposio de Boltzmann

(Boltzmann, 1874), obtm-se a integral de convoluo que representa o modelo constitutivo

viscoelstico linear genrico, em sua forma integral, independentemente da funo escolhida

para o ajuste das propriedades (leis de potncia, sries de Prony). A integral de convoluo

pode ser escrita tanto para a tenso (Equao 4a) quanto para a deformao (Equao 4b). A

funo de deformao () e a de tenso () devem ser diferenciveis (suaves) em relao ao

tempo, de maneira que suas primeiras derivadas existam.

;

ou

;

(4a)

(3)

(4b)

13

Por vezes, refere-se a essas integrais entre a propriedade do material e a derivada

da funo de solicitao em relao ao tempo como sendo o produto de convoluo entre as

mesmas. Sublinha-se que o princpio da superposio de Boltzmann vlido tanto para os

materiais viscoelsticos lineares quanto para os no-lineares. No entanto, a teoria da

viscoelasticidade linear restrita a condies de deformao infinitesimal, as quais so

satisfeitas em muitos problemas tericos, mas no devem ser assumidas em alguns casos reais

(Soares e Souza, 2002). Souza (2012) apresenta um modelo considerando deformaes finitas

(grandes, induzindo no linearidade) aplicado ao comportamento de ligantes asflticos.

O mdulo de relaxao e a funo fluncia so propriedades fundamentais que

representam as mesmas caractersticas de um dado material, i.e., manifestaes ligadas

viscoelasticidade linear. Portanto, elas so interdependentes. Isso significa que, para a

caracterizao experimental das propriedades viscoelsticas lineares de um material, basta a

determinao de uma das duas. Porm, diferente dos materiais puramente elsticos, o mdulo

e a complacncia no so simplesmente recprocos (E xD 1). Na verdade, pode-se mostrar,

partindo das integrais de convoluo (Equaes 4a e 4b), que uma propriedade pode ser

obtida matematicamente a partir da outra (processo conhecido como interconverso) atravs

das Equaes 5a e 5b.

;

ou

;

As propriedades anteriormente apresentadas (mdulo de relaxao e

complacncia) se manifestam em funo do tempo de carregamento e, por esse motivo, so

ditas transientes. Analogamente, definem-se propriedades no domnio da frequncia: o

mdulo complexo (E*) e a complacncia complexa (D

*). O mdulo complexo (E

*) mais

comumente utilizado, no sendo geralmente necessria a definio da complacncia

complexa, pois as duas propriedades so recprocas (E*xD

*=1). O mdulo complexo

expresso pela relao entre a tenso e a deformao durante uma solicitao harmnica,

escrita em se utilizando nmeros complexos. Para os materiais viscoelsticos, o sinal de

deformao sempre defasado do sinal de tenso de uma quantidade conhecida como ngulo

de fase ( ). Escreve-se, aplicando-se a Frmula de Euler para expoentes complexos, a

Equao 6.

(5a)

(5b)

14

Onde .

conhecido como mdulo de estocagem e representa a parcela de

armazenamento da energia mecnica. Ele tambm pode ser representado matematicamente

por Re(E*) (parte real do mdulo complexo).

conhecido como mdulo de

perda e representa a parcela de dissipao da energia mecnica. Ele tambm pode ser

representado matematicamente por Im(E*) (parte imaginria do mdulo complexo) Deve-se

observar que representa a pulsao (ou frequncia angular), expressa geralmente em rad/s, e

est diretamente relacionada com a frequncia de carregamento f, dada em Hz, sendo

. Deve-se tomar o cuidado de no confundir as duas definies (frequncia

frequncia angular), pois tal engano provocaria erros na aplicao da Equao 6.

Assim como o mdulo de relaxao, os mdulos de perda e de estocagem podem

ser representados por equaes analticas deduzidas a partir dos anlogos mecnicos

utilizando os mesmos parmetros anteriormente obtidos para a srie de Prony (Equao 1).

Pode-se mostrar que, assumido o modelo de Maxwell generalizado para a representao da

viscoelasticidade linear, os mdulos de estocagem (E1) e de perda (E2) so calculados a partir

das Equaes 7 e 8, respectivamente.

O valor absoluto (ou norma) do mdulo complexo ( ) cresce com o aumento

na frequncia de carregamento e decresce com o aumento da temperatura e ficou conhecida

no Brasil e nos Estados Unidos como mdulo dinmico, apesar de no representar uma

grandeza ligada inrcia. Essa grandeza descreve o comportamento dos materiais

viscoelsticos lineares em conjunto com o ngulo de fase ( ), que tambm dependente da

frequncia de carregamento e da temperatura.

Deve-se ressaltar que, a baixas temperaturas, o comportamento dos materiais

viscoelsticos lineares homogneos tende elasticidade, o que em termos de ngulo de fase

significaria . Alternativamente, a altas temperaturas, o comportamento tende

(6)

(7)

(8)

15

viscosidade, ou seja, . Isto vale, por exemplo, para os ligantes asflticos. A temperatura

em que esses comportamentos ocorrem depende fortemente do material analisado. No caso

das misturas asflticas, que um material compsito (portanto, heterogneo), o

intertravamento dos agregados impede que o mesmo ocorra. Nesse caso, o ngulo de fase no

apresenta tendncia monotnica. Geralmente, na faixa de resultados a frequncias mais baixas

e temperaturas mais altas, a defasagem aumenta com a frequncia de carregamento, enquanto

que a frequncias mais altas e temperaturas mais baixas o inverso ocorre. Isto foi verificado

por diversos autores na literatura, podendo-se citar como exemplos os trabalhos de Clyne et

al. (2003) e de Flintsch et al. (2005). Esse fenmeno pode ser explicado pelo fato de o

comportamento elstico ( ) dos agregados influenciar mais a resposta do material

quando o ligante asfltico est menos rgido, isto , a baixas frequncias e a altas temperaturas

(Flintsch et al., 2007). Ou seja, a baixas frequncias, a diminuio da frequncia leva a uma

resposta mais elstica: o ngulo de fase diminui.

Em geral, os valores dos parmetros da srie de Prony so selecionados de forma

a ajustar dados experimentais de propriedades viscoelsticas lineares. Tais dados podem ser

obtidos em experimentos conduzidos no domnio do tempo, como o mdulo de relaxao

(Equao 1) e a funo fluncia (Equao 2), ou no domnio da frequncia, como o mdulo de

estocagem (Equao 7) ou o mdulo de perda (Equao 8), sendo os procedimentos anlogos.

Neste trabalho, ser apresentado o ajuste aos resultados experimentais de mdulo de

estocagem, utilizando a srie de Prony representada pela Equao 1.

Schapery (1962) introduziu o Mtodo da Colocao para obteno dos parmetros

das sries de Prony utilizando-se sistemas lineares. No Mtodo da Colocao, apenas alguns

pontos experimentais obtidos so utilizados no ajuste. As constantes de tempo (tempos de

relaxao ou de retardao, a depender do modelo utilizado) so escolhidas dentre os pontos

obtidos experimentalmente. As mesmas devem ser alocadas nas mesmas posies que alguns

dos tempos experimentados. Ou seja, as constantes de tempo do modelo so co-alocadas

com os tempos experimentados escolhidos. A constante de rigidez (conhecida como

mdulo de longo termo) tambm deve ter seu valor preestabelecido, sendo normalmente

assumido como o menor valor de mdulo encontrado experimentalmente. No caso do ensaio

de relaxao, por exemplo, a constante assume o valor do patamar final (tempo tendendo para

o infinito) da curva de mdulo de relaxao (Souza e Soares, 2007). No ensaio de mdulo de

16

estocagem, corresponde ao patamar inicial (frequncia de carregamento tendendo para

zero).

Impostos e os tempos de relaxao, calcula-se o valor do mdulo associado a

cada constante de tempo para que o modelo (Equao 1) preveja exatamente o mesmo

resultado de rigidez que o obtido experimentalmente. A simplicidade do Mtodo da

Colocao sua principal vantagem dentre os mtodos de ajuste de sries de Prony. Porm,

apenas se pode levar em conta o mesmo nmero de pontos experimentais que se utiliza de

elementos na srie de Prony (entre 2 e cerca de 15 elementos). A no utilizao de todos os

pontos obtidos experimentalmente e a subjetividade de sua escolha interferem nos resultados

previstos pelo modelo, o que torna esse mtodo obsoleto, apesar de o mesmo ainda guardar

grande valor didtico. Vale ressaltar que possvel que se escolha um conjunto de constantes

de tempo que leve a constantes de rigidez associadas negativas. Tal resultado no desejvel,

pois o modelo perde em sentido fsico, dado que alguns elementos do modelo tendero a se

comprimir quando tracionados. Isto pode ser evitado modificando-se a escolha das constantes

de rigidez at que se obtenham constantes estritamente positivas e um ajuste visualmente

bom.

De maneira a se levarem em conta todos os pontos obtidos experimentalmente,

pode-se elaborar um processo de minimizao de quadrados. Partindo-se, por exemplo, da

Equao 7, que descreve o mdulo de estocagem utilizando o modelo de Maxwell

generalizado, e assumindo valores pr-estabelecidos para as constantes de tempo, escreve-se a

funo custo, a minimizar, como sendo

.

Pode-se mostrar que a derivada da funo custo em relao s constantes de rigidez leva

Equao 9 quando igualada a zero (condio necessria de otimizao). Assim como no

Mtodo da Colocao, o valor do mdulo de longo termo ( ) deve ser preestabelecido,

sendo normalmente assumido como o menor valor de rigidez encontrado experimentalmente.

A Equao 9 representa o sistema linear cuja soluo a srie de Prony ajustada aos dados

experimentais de mdulo de estocagem (domnio da frequncia) a partir do Mtodo dos

Mnimos Quadrados Linearizado e envolve todos os M pontos experimentais

obtidos. A varivel muda (ndice) representa as linhas do sistema linear a solucionar e varia

de 1 a (nmero de termos da srie de Prony).

17

Silva (2009) apresenta equaes lineares anlogas Equao 9, utilizadas para o

ajuste das sries de Prony no domnio do tempo. A grande vantagem do Mtodo dos Mnimos

Quadrados Linearizado manter a simplicidade do Mtodo da Colocao, mas utilizando

quantos pontos experimentais se desejar, podendo-se utilizar todos eles. Alm disso, o desvio

residual pode ser utilizado como indicador da aderncia do modelo aos dados

experimentais. Porm, assim como no Mtodo da Colocao, as constantes de tempo tm seus

valores preestabelecidos, que podem modificar as solues obtidas pela Equao 9. Porm, no

caso de as constantes serem todas positivas, a predio do valor de rigidez usando-se

constantes obtidas a partir de escolhas diferentes de constantes de tempo geralmente

semelhante. Dado que o valor da rigidez e do ngulo de fase a dadas frequncia e temperatura

de carregamento definem o comportamento viscoelstico linear, e no as constantes isoladas

da srie de Prony, pode-se dizer que os resultados obtidos usando o Mtodo dos Mnimos

Quadrados Linearizado so suficientes para a modelagem do comportamento viscoelstico

linear. Devem-se escolher as constantes de tempo de modo que as constantes de rigidez

retornadas pela Equao 9 sejam todas positivas. Algumas regras prticas facilitam esse

processo:

Escolher um valor prximo ao menor valor experimental encontrado de

mdulo (ou o maior de complacncia) para a constante de rigidez

independente;

Posicionar as constantes de tempo distantes uma dcada1 logartmica

entre si (diferena de pelo menos uma unidade entre as ordens de

grandeza de dois valores consecutivos);

Deixar de utilizar, no mximo a primeira e a ltima dcadas logartmicas

em que se obtiveram dados experimentais;

Utilizar o mximo nmero de elementos possvel que no retorne

constantes de rigidez negativa;

Caso ainda se encontrem constantes negativas, pode-se transladar

logaritmicamente as constantes de tempo, dentro do espectro de

resultados experimentais, multiplicando-se todos os valores anteriormente

1 Uma dcada logartmica no se refere a um perodo de dez anos, mas a uma diferena de uma ordem de

grandeza entre dois resultados matemticos. Isso significa que um resultado cerca de dez vezes o outro.

(9)

18

utilizados por uma constante de valor entre 0,5 (translao para a

esquerda) e 1,5 (translao para a direita);

Se ainda houver valores negativos, pode-se reduzir a quantidade de

elementos viscoelsticos;

Se nenhuma das medidas acima levar obteno de constantes positivas,

provavelmente os dados experimentais apresentam inconsistncia ou

excessivo rudo. No caso de rudo, a literatura apresenta mtodos de pr-

suavizao dos dados, geralmente baseados em modelos de funes

genricas (como as leis de potncia) para posterior ajuste das sries de

Prony. Para o acesso aos mtodos de pr-suavizao, recomenda-se a

leitura de Park e Kim (2001) e Sousa e Soares (2007).

necessrio verificar visualmente o ajuste realizado, com auxlio de

grficos, de modo a avaliar a representatividade do modelo com relao

aos dados experimentais. Isso se deve ao fato de, algumas vezes, modelos

muito bem aderidos (R prximo a 1) visivelmente no representarem os

dados ajustados. No haver problemas no espectro onde h pontos

experimentais (regio onde o modelo interpolou os dados e onde

calculada a aderncia, por meio de medidas como o R). Porm, o modelo

matemtico predir resultados fora do espectro dos ensaios

(extrapolao), onde deve ser verificado se a tendncia indicada tem

sentido fsico. Ainda assim, ressalva-se que, mesmo obtendo um bom

ajuste do modelo, deve-se evitar utiliz-lo para extrapolaes, tentando-se

ater a informaes dentro do espectro experimental (interpolao).

Silva (2009) sugeriu o desenvolvimento de um algoritmo automtico para

pesquisa do melhor conjunto de constantes de tempo a selecionar, baseado em algoritmos

genticos, de maneira a eliminar a subjetividade na escolha das constantes de tempo. Outros

trabalhos apresentam mtodos numricos de ajuste de sries de Prony diretamente aos dados

de mdulo dinmico, em vez de utilizar o mdulo de estocagem (Hammoum et al., 2009).

Apesar disso, diante de sua simplicidade e sua eficcia, o Mtodo dos Mnimos Quadrados

Linearizado foi o mais utilizado no presente trabalho para ajustes de sries de Prony

diretamente sobre os resultados experimentais.

19

Alm das sries de Prony, apresenta-se brevemente o modelo 2S2P1D, que utiliza

elementos de resposta parablica na sua constituio (Equao 3). Antes da introduo da

equao que descreve o modelo, deve-se interpretar a resposta do elemento parablico, de

maneira a se permitir a melhor interpretao dos resultados do modelo 2S2P1D. A Figura 3

ilustra a resposta do elemento parablico, cuja representao esquemtica um amortecedor

cortado por uma seta inclinada.

Figura 3. Interpretao da resposta de um amortecedor parablico (adaptado de Woldekidan,

2011)

Percebe-se que, a depender do valor da constante m (potncia do tempo), o

amortecedor parablico pode representar um amortecedor linear ( ), uma mola linear

( ) ou um elemento viscoelstico linear, onde o seu ngulo de fase depende apenas de m

( ). Isso torna o elemento parablico bastante verstil.

O modelo 2S2P1D pode ser esquematizado como apresentado na Figura 4. Nesse

modelo, uma mola associada em paralelo a um conjunto de uma mola, um amortecedor

linear e dois amortecedores parablicos, ligados em srie.

Figura 4. Modelo analgico genrico 2S2P1D

20

No modelo 2S2P1D, assim como no de Maxwell generalizado, E corresponde ao

valor do mdulo dinmico quando a frequncia tende a zero. Enquanto isso, E0 corresponde

ao valor do mdulo quando a frequncia tende a infinito. Ou seja, E0 guarda relao com a

soma dos mdulos de todas as molas do modelo de Maxwell generalizado. Posteriormente,

outras interpretaes dos parmetros desse modelo sero apresentadas. No momento, ater-se-

principal equao que obtida a partir dele, representando o mdulo complexo. Ela obtida

assumindo-se que os tempos de relaxao de todos os amortecedores so iguais, diferindo

entre si pelas suas potncias (valores entre zero, equivalente a uma mola, e um, equivalente a

um amortecedor linear), e pode ser representada pela Equao 10.

A Equao 10 representa, obviamente, um nmero complexo (presena do

nmero complexo i). A norma deste nmero complexo representa o valor do mdulo

dinmico. A constante adimensional, assim como as constantes h e k, que representam as

potncias da lei de potncia do amortecedor. Finalmente, a constante , tambm

adimensional, est relacionada viscosidade do amortecedor linear ( ). As

sete constantes presentes na Equao 10 definem inteiramente o comportamento viscoelstico

linear das misturas asflticas (Olard e Di Benedetto, 2003). A Figura 5 representa uma

interpretao das constantes do modelo 2S2P1D com auxlio do diagrama que relaciona o

mdulo de estocagem (eixo x) e o mdulo de perda (eixo y) (Plano, ou Diagrama Cole &

Cole).

(10)

21

Figura 5. Interpretao fsica do resultado matemtico do modelo analgico genrico

2S2P1D (adaptado de Olard e Di Benedetto, 2003)

As interpretaes mais simples envolvem as potncias e os mdulos do modelo

2S2P1D. Percebe-se que as potncias dos amortecedores parablicos esto diretamente

ligadas aos ngulos do incio ao fim do grfico, enquanto os mdulos esto diretamente

ligados posio, no eixo x, em que o grfico inicia e finda. Ainda assim, cada uma das sete

constantes tem um efeito perifrico em toda a curva, o que dificulta a utilizao de mtodos

de otimizao computacional para pesquisa automtica das constantes que minimizam o erro

de previso do modelo. De acordo com Komba et al. (2012), regresses no lineares podem

ser utilizadas para obteno das constantes. Porm, comumente elas so escolhidas

manualmente, com auxlio da interpretao dos efeitos de cada uma delas, de maneira a

ajustar os dados experimentais. Apesar disso, costuma-se obter resultados com boa aderncia

aos dados experimentais (Olard e Di Benedetto, 2003; Di Benedetto et al., 2004, 2007b;

Komba et al., 2012). Adiciona-se que, para a modificao da temperatura de referncia cujos

resultados sero previstos pelo modelo 2S2P1D, apenas a constante de tempo modificada,

representando o princpio de superposio tempo temperatura, que ser abordado

posteriormente.

Deve-se ressaltar que o modelo viscoelstico linear se restringe ao comportamento

do material quando solicitado at determinado nvel de tenses (ou deformaes). Para

misturas asflticas, comumente considerado que o material apresenta comportamento linear

enquanto a deformao no ultrapassar 150 (Zhang et al., 2012).

22

Para que o comportamento de um material, elstico ou viscoelstico, seja

considerado linear, este deve obedecer a dois princpios: homogeneidade (ou

proporcionalidade) e superposio, sendo este ltimo o princpio da superposio de

Boltzmann (Boltzmann, 1874). As Equaes 11a e 11b representam os dois princpios,

respectivamente.

onde : deformao; : tenso; : tempo absoluto; e : tempo de incio da aplicao das tenses e ,

respectivamente; e

: constante

De acordo com Schapery (1974), o princpio de homogeneidade

automaticamente atendido para qualquer valor racional de c desde que o princpio de

superposio seja satisfeito. O contrrio no verdadeiro.

Se uma das equaes acima no for satisfeita, o comportamento mecnico do

material ser dito no-linear. Deve-se reforar, mais uma vez, que tais condies so

satisfeitas em muitos problemas tericos, mas no devem ser assumidas em alguns casos reais

(Soares e Souza, 2002). Nesse caso, uma modelagem incluindo a no linearidade do problema

deve ser conduzida, seja ela de natureza geomtrica (grandes deformaes) (Souza, 2012) ou

fsica (material apresentando lei constitutiva no linear causada por dano, por exemplo)

(Daniel e Kim, 2002). Daniel e Kim (2002) apresentaram um modelo de dano para materiais

asflticos incluindo a dependncia da temperatura e da frequncia de carregamento, baseando-

se na Teoria do Potencial de Trabalho de Schapery (1975). Foram utilizadas duas variveis de

estado ajustadas a resultados experimentais para representar o modo como o dano evolui no

material durante o carregamento. A curva de dano, que relaciona as duas variveis de estado,

assumida como sendo uma propriedade do material. Deve-se ressaltar que para a utilizao

de modelos mais sofisticados, como os de Daniel e Kim (2002) ou de Souza (2012),

necessria a prvia modelagem do comportamento na zona linear, portanto, utilizando

modelos lineares como aqueles apresentados no presente trabalho. Reitera-se, ento, a

necessidade de um software de ajuste de propriedades viscoelsticas lineares que facilite essa

atividade.

(11a)

(11b)

23

4.2. Ensaios de Rigidez

Para a anlise elstica de pavimentos em aplicaes prticas, o parmetro de

rigidez mais utilizado no Brasil conhecido como Mdulo de Resilincia (MR), enquanto em

outros pases se utiliza o mdulo dinmico |E*|. Para anlises envolvendo viscoelasticidade

linear, necessria a utilizao do mdulo dinmico, que, no Brasil, praticamente restrita ao

meio acadmico. A seguir apresentada uma breve reviso sobre os ensaios de rigidez usados

no Brasil (MR) e em outros pases (|E*|).

4.1.1 Ttulo adicionado para resolver problema de numerao do editor de texto

4.2.1 Mdulo de Resilincia (MR)

O ensaio de MR padronizado no Brasil pelo DNER-ME 133/94, tendo sido este

mtodo recentemente revisto pela Comisso de Asfalto do Instituto Brasileiro de Petrleo,

Gs e Biocombustveis (IBP) (ABNT NBR 16018:2011). Entre os procedimentos

internacionais citam-se: AASHTO TP31-94; NCHRP 1-28 (1996); NCHRP 1-28A (2003). No

ensaio, os deslocamentos considerados so aqueles recuperveis e eles podem ser bastante

diferentes a depender da definio adotada a partir de cada norma. O deslocamento

recupervel assume o valor da diferena entre o pico do pulso de deslocamento e o valor de

deslocamento dito no recupervel. A definio deste ltimo varia entre as normas e provoca

variaes no resultado de MR. Ainda durante esta Reviso, ser apresentada uma discusso

sobre a definio de deformao resiliente. O valor do MR definido como a relao entre o

pico de tenso de trao e a deformao resiliente de trao calculada a partir dos resultados

(pulsos de fora e de deslocamento) e da geometria do ensaio. Alm disso, durante o pulso de

carregamento, desenvolvem-se deformaes viscoelsticas que predominam sobre as

deformaes elsticas (Soares e Souza 2003; Theisen et al., 2007) e que so parcialmente

contabilizadas como deformaes elsticas. Ressalta-se que muitos programas

computacionais de anlise estrutural de pavimentos consideram que o MR trata apenas de

deformaes elsticas. De qualquer forma, vrios fatores estimulam a continuao do uso

desse parmetro de ensaio como propriedade do material, em particular das misturas

asflticas. Dentre eles, podem-se citar a existncia de um banco de dados de MR para

diferentes materiais usados em pavimentao no Brasil, a maior disponibilidade dos

equipamentos requeridos nesse ensaio em relao a outros mais sofisticados, alm do fato de

24

que o tamanho da amostra necessria ao ensaio de mdulo dinmico maior. A fim de mitigar

esta dificuldade, Kim et al. (2004) props a obteno do mdulo dinmico a partir de ensaios

de compresso diametral (geometria de ensaio semelhante do ensaio de mdulo de

resilincia). Ressalta-se que a interpretao terica de ensaios de compresso diametral

bastante complexa, pois envolve distribuies de tenso e deformao no homogneas e cuja

soluo baseada em uma srie de hipteses que no necessariamente so atendidas. Essas

hipteses sero retomadas na seo 4.5.

4.2.2 Mdulo Dinmico (|E*|)

Desde a dcada de 1960 o ensaio de mdulo dinmico vem sendo investigado

como substituto do ensaio de MR. Ele definido como a razo entre o pico de tenso e o de

deformao, em estado estacionrio (permanente), durante um carregamento harmnico. As

definies matemticas foram discutidas anteriormente, no item 3.1. A possibilidade de

contabilizar os efeitos da temperatura e do tempo de carregamento nas propriedades dos

materiais asflticos faz com que este parmetro venha sendo usado preferencialmente em

outros pases. Caractersticas viscoelsticas lineares podem ser obtidas por meio deste ensaio

que consiste basicamente na aplicao de um carregamento de compresso axial senoidal em

Corpos de Prova (CPs) cilndricos, sendo medidos os deslocamentos verticais

correspondentes. Duas normas norte-americanas podem ser usadas para a realizao do

ensaio: AASHTO TP 62:2003 e ASTM D 3497-79:2003. A realizao em vrias temperaturas

e frequncias, juntamente com o princpio da superposio tempo-temperatura possibilitam a

construo de curvas mestras, importante instrumento na caracterizao de misturas asflticas

para o dimensionamento e a anlise de pavimentos (Medeiros, 2006). De posse das curvas

mestras, modelos viscoelsticos lineares podem ser ajustados aos dados experimentais (Lee e

Kim, 1998; Park e Kim, 1998; Daniel e Kim, 2002; Soares e Souza, 2002; Silva, 2009),

tornando possvel a simulao de diferentes carregamentos assim como a estimativa da

resposta de deformao do material. Para os materiais puramente elsticos, os picos de tenso

(0) e de deformao (0) coincidem no mesmo instante de tempo. Devido natureza

viscoelstica, as misturas asflticas apresentam uma defasagem entre os sinais da tenso

aplicada e da deformao medida, representada pelo ngulo de fase ().

25

4.3. Construo de Curvas Mestras

A fim de se ajustarem os modelos viscoelsticos lineares aos dados dos ensaios de

rigidez obtidos a diferentes temperaturas e frequncias, necessrio, antes, que estes sejam

tratados de tal maneira a se obter uma curva nica e suave, de modo que o ajuste seja

adequado. O interesse que esses dados sejam apresentados da forma mais simples possvel,

mantendo a representatividade de suas propriedades fundamentais.

Dado um conjunto de resultados experimentais obtidos a diferentes frequncias e

temperaturas para um determinado material, definem-se as curvas isotermas como sendo o

conjunto de resultados de mdulo dinmico (ou de ngulo de fase) associados s frequncias

em que foram obtidos a uma dada temperatura. Sendo assim, para cada temperatura, obtm-se

uma isoterma. Analogamente, definem-se as curvas iscronas como sendo o conjunto de

resultados de mdulo dinmico (ou de ngulo de fase) associados s temperaturas em que

foram obtidos a uma dada frequncia. Naturalmente, para cada frequncia, obtm-se uma

iscrona. Ressalta-se que em vez da frequncia, poder-se-ia igualmente indicar o tempo de

carregamento. A Figura 6 apresenta exemplos de curvas isotermas e iscronas.

(c) Exemplo de isotermas (d) Exemplo de iscronas

Figura 6. Curvas isotermas e iscronas

Para se apresentarem os resultados experimentais da forma mais simples possvel,

em geral, duas abordagens so usualmente aplicadas:

1. Eliminar a temperatura e a frequncia de solicitao para representar os

resultados experimentais em algum dos seguintes diagramas:

26

Os espaos de Black, onde so associados pares ( , ).

Apresenta-se um exemplo de resultados no Espao de Black na Figura 7. A legenda

indica a temperatura, em C, em que o experimento que gerou o ponto foi conduzido.

Figura 7. Representao no Espao de Black

Os Planos Cole & Cole: onde so associados os mdulos de estocagem

e de perda (E1, E2). Apresenta-se na Figura 8 um exemplo de resultados no Plano Cole

& Cole. Novamente, a legenda indica a temperatura, em C, em que o experimento

que gerou o ponto foi conduzido.

Figura 8. Representao no Plano Cole & Cole

27

2. Translao das curvas isotermas ou das curvas iscronas, com base no

princpio de superposio tempo-temperatura (Construo de Curvas Mestras).

Para a translao das isotermas ou das iscronas, parte-se da constatao de

unicidade da curva no espao de Black, o que indica a ausncia de modificaes

microestruturais durante a variao de temperatura. Ento, um mesmo par de valores de

mdulo e ngulo de fase obtido para diferentes pares frequncia-temperatura. Isto pode ser

escrito matematicamente como apresenta a Equao 12.

- T e T0 sendo as temperaturas em K de ensaio e de referncia, respectivamente,

- A funo sendo da forma , para o domnio da

frequncia e para o domnio do tempo.

Num espao logartmico, a funo equivale a uma

translao horizontal de em relao funo original. Usualmente, duas leis so

utilizadas para descrever as funes de translao : a lei WLF

(William-Landel-Ferry apresentada em William et al., 1955) e a lei de Arrhenius. Elas se

baseiam no princpio de superposio tempo-temperatura e so representadas pelas Equaes

13 e 14, respectivamente:

- e sendo os coeficientes da lei WLF,

- sendo a energia de ativao de fluxo do material estudado (em kJ/mol.K) e

- sendo a constante universal dos gases perfeitos, que vale 8,314 kJ/mol.K.

Usualmente, o fator

simplesmente substitudo por uma constante ,

dada em K, tal que

. Os coeficientes C1 e C2 e H (ou ) presentes nas

(13)

(14)

(12)

28

Equaes 13 e 14 devem ser selecionados de forma a se obter a curva mestra mais suave

possvel. Apresenta-se, na Figura 9, um exemplo de curva mestra obtida com o programa

computacional ViscoAnalyse, desenvolvido pelo Laboratoire Central des Ponts et Chausses

de Nantes - Frana (LCPC-Nantes), atual Institut Franais des Sciences et Technologies des

Transports de lAmnagement et des Rseaux (IFSTTAR). As curvas apresentadas

anteriormente, assim como aquela que segue, foram construdas para um ligante asfltico puro

de penetrao 35/50. Deve-se perceber que a notao utilizada para o mdulo de estocagem

foi G, enquanto o mdulo de perda foi representado por G e o mdulo complexo por |G*|.

Usualmente, a letra G usada para representar os mdulos em solicitao de cisalhamento,

enquanto o ngulo de fase nesse modo de carregamento representado por . A complacncia

de cisalhamento normalmente representada pela letra J. As definies dessas propriedades

so anlogas s apresentadas anteriormente para a solicitao de tenso-compresso. A

legenda presente no grfico representa a temperatura, em C, em que o experimento gerador

da sequncia de pontos foi conduzido.

Figura 9. Exemplos de curvas mestras para o mdulo dinmico e para o ngulo de fase

29

4.4. Relao entre o ngulo de Fase e o Mdulo Dinmico

Booij e Thoone (1982) deduziram analiticamente relaes matemticas entre o

mdulo dinmico e o ngulo de fase de um material viscoelstico linear. Baseando-se numa

srie de hipteses sobre a resposta mecnica de um sistema, notadamente o princpio de

superposio de Boltzmann e o princpio da causalidade (existncia de uma relao de causa e

efeito entre o mdulo dinmico e o ngulo de fase), pode ser mostrado que o mdulo

complexo e a fluncia tm valor limitado se a frequncia tende a infinito e que suas partes

imaginria e real podem ser representadas por funes pares e mpares, respectivamente, em

relao frequncia de solicitao . Igualmente, pode-se mostrar que as partes real e

imaginria de uma funo respeitando essas condies e no apresentando singularidades no

eixo real so ligadas por relaes de Kramers-Kronig. Booij e Thoone (1982) mostraram

aproximaes para as relaes de Kramers-Kronig estabelecidas para o mdulo complexo em

cisalhamento de um material viscoelstico linear. Analogamente Equao 6, G* pode ser

decomposto em parte real (estocagem) e parte imaginria (perda), assim como ser

representado em forma exponencial ( ). As

aproximaes obtidas por Booij e Thoone (1982) so representadas pelas Equaes 15, 16 e

17 (relaes de Kramers-Kronig). Essas aproximaes se tornam exatas no caso de a funo

fluncia do material ser perfeitamente ajustada por uma lei de potncia.

A Figura 10 apresenta um exemplo de verificao das relaes de Kramers-

Kronig obtido com o programa computacional ViscoAnalyse, desenvolvido pelo Laboratrio

Central de Pontes e Pavimentos de Nantes - Frana (LCPC-Nantes). A curva foi construda

para um ligante asfltico puro de penetrao 35/50.

(15)

(16)

(17)

30

Figura 10. Verificao da validade da Equao 17

Deduo similar pode ser conduzida para o mdulo dinmico e o ngulo de fase

em tenso-compresso, chegando-se s Equaes 18, 19 e 20:

As relaes apresentadas podem se tornar muito teis em casos em que o ngulo

de fase obtido experimentalmente no confivel ou apresenta inconsistncias (valores fora

do intervalo entre 0 e 90). A Figura 11 apresenta um exemplo de verificao da validade das

relaes de Kramers-Kronig obtido para uma mistura asfltica densa, de tamanho mximo

nominal (TMN) de 9,5mm, CAP PG 70-22 com 20% de mistura reciclada (fresado).

(18)

(19)

(20)

31

Figura 11. Verificao da validade da Equao 20

Apesar das diferenas obtidas, ainda que pequenas, entre a estimativa obtida pelas

aproximaes de Booij e Thoone e os ngulos de fase medidos experimentalmente, pode-se

verificar que os mdulos de relaxao (Equao 1) obtidos com a srie de Prony ajustada ao

mdulo de estocagem usando ngulos de fase medidos ou estimados semelhante. A Figura

12 apresenta um exemplo dessa verificao. Nesse caso, o modelo constitutivo viscoelstico

linear ajustado sofre pouca alterao.

Figura 12. Comparao entre mdulos de relaxao obtidos usando ngulos de fase

experimentais ou estimados a partir de usando as relaes de Kramers-Kronig

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

n

gulo

de

fas

e m

ed

ido

()

ngulo de fase estimado ()

Booij e Thoone (1982)

Linha de igualdade

0,0E+00

2,0E+03

4,0E+03

6,0E+03

8,0E+03

1,0E+04

1,2E+04

1,4E+04

1,6E+04

1,8E+04

2,0E+04

1E-08 1E-06 1E-04 1E-02 1E+00 1E+02 1E+04 1E+06

M

du

lo d

e R

ela

xa

o (

MP

a)

Tempo reduzido (s)

E(t) - Booij e Thoone (1982)

E(t)

32

Na apresentao de resultados de propriedades transientes (variando com o

tempo) de materiais viscoelsticos, tempo reduzido denota os instante obtidos aps a

aplicao do princpio de superposio tempo-temperatura, apresentado na seo 4.3.

Percebe-se que, globalmente, as relaes de Kramers-Kronig estimam bem o ngulo de fase a

partir do mdulo dinmico tanto para os ligantes asflticos quanto para as misturas asflticas.

Assim, a utilizao dessas relaes para obteno do ngulo de fase permite o ajuste das

sries de Prony sem a utilizao de ngulos de fase obtidos experimentalmente. Para o

presente trabalho, muitos resultados de ngulo de fase no estavam disponveis ou

apresentavam inconsistncias, portanto, optou-se pela aplicao das relaes de Kramers-

Kronig para sua obteno.

4.5. Relaes entre o Mdulo de Resilincia e o Mdulo Dinmico

Apesar de o MR e o |E*| consistirem, ambos, de medidas da rigidez de misturas

asflticas, eles no representam as mesmas propriedades. Conforme j foi apresentado, o MR

geralmente obtido apenas para uma condio de temperatura e de carregamento. Sendo

assim, seu valor s pode ser considerado para aquela condio de temperatura e de

carregamento. Portanto, anlises estruturais de pavimentos considerando o MR do

revestimento devem ser interpretadas considerando apenas aquela condio de temperatura e

de tempo de carregamento e de repouso. Por esses motivos, o MR considerado uma

propriedade de ensaio. Enquanto isso, o mdulo dinmico avaliado em diferentes

frequncias e temperaturas, sendo a curva mestra construda e os modelos mecnicos

ajustados a ela. A partir dos modelos ajustados, outras propriedades podem ser obtidas a partir

de manipulaes matemticas, como mostrado durante esta reviso. Alm disso, pode-se

utilizar a Integral de Convoluo (Equao 4) para se obter a soluo de carregamentos de

qualquer formato, mantendo-se o respeito das propriedades de rigidez do material. Por esses

motivos, costuma-se tratar do mdulo dinmico como sendo uma propriedade mais prxima

de uma propriedade fundamental do material.

Considerando a integral de convoluo, podem-se gerar resultados simulados para

os ensaios de MR. Deve-se atentar para o fato de que o ensaio de compresso diametral gera

um estado biaxial de tenses. Portanto, utilizar os resultados de mdulo dinmico (uniaxial)

para simular o ensaio de MR implica automaticamente a adoo da hiptese de que a rigidez

33

independe do sentido do carregamento (mdulo em trao equivalente ao mdulo em

compresso). Katicha (2007) mostrou que tal hiptese no verdadeira, sendo as misturas

asflticas materiais bimodulares (mdulo em compresso diferente do mdulo de trao). No

caso das misturas asflticas, o intertravamento dos agregados faz com que o mdulo em

compresso seja maior do que o mdulo em trao. Tal fato fica mais evidente quando a

consistncia do ligante asfltico est mais baixa (altas temperaturas e longas duraes de

carregamento). Katicha (2007) verificou que, para carregamentos de durao abaixo de 10s, a

razo entre o mdulo em compresso e em trao varia de 1,2 (0,01s de carregamento) a 1,6

(10s de carregamento). Enquanto isso, para carregamentos de durao acima de 10s, a razo

cresce mais rapidamente, podendo atingir cerca de 15 para carregamentos de 1.000s de

durao.

Desconsiderando o carter bimodular das misturas asflticas, e a relevncia do

tamanho dos agregados grados em relao menor dimenso do CP (heterogeneidade),

Katicha (2007) obteve resultados simulados de MR a partir de sries de Prony ajustadas a

curvas mestras de mdulo dinmico. Foi verificado que o MR a uma dada temperatura, obtido

com pulso de carregamento de 0,1s de durao e de formato haversine, tem valor prximo ao

de |E*| na mesma temperatura e a uma frequncia de

, que equivale a uma

pulsao de

. Poder-se-ia igualmente comparar o valor de MR com o

do mdulo a uma pulsao

, que equivale a uma frequncia

.

Arajo Jnior et al. (2009) verificaram experimentalmente a relao entre o MR e

o mdulo dinmico obtido a diferentes frequncias de carregamento cclico, definidas a partir

do tempo de carregamento do ensaio de MR e de expresses empricas apresentadas na

literatura. A relao

, recomendada pelo guia de dimensionamento da AASHTO para a

obteno do MR a partir do mdulo dinmico comparada com as relaes sugeridas por

Louzili et al. (2006) (

) e por Christensen (1982) (

). Os resultados obtidos por

Arajo Jnior et al. (2009) indicaram que, para a relao do guia da AASHTO, os valores de

mdulo dinmico foram superiores aos de MR, enquanto que para as outras duas relaes,

MR e mdulo dinmico so prximos a 25C.

34

Soares e Souza (2003) obtiveram o MR na direo axial a partir de uma soluo

em elementos finitos da Equao 4. O referido trabalho utilizou uma das raras sries de Prony

disponveis na literatura, apresentada em Gibson et al. (2003). Tal srie de Prony apresenta

uma constante de rigidez negativa, que felizmente no prejudicou os resultados simulados por

Soares e Souza (2003), pois o tempo de relaxao associado ao mdulo negativo ( =

1,125.10-7

s) estava separado do tempo de carregamento no ensaio de MR (0,1s) de seis

dcadas logartmicas.

Theisen et al. (2007) tambm utilizaram a srie de Prony disponvel em Gibson et

al. (2003) para simulao de ensaios de MR. Esses autores consideraram o estado biaxial de

tenses no experimento, partindo da Equao 21, conhecida como Equao de Hondros

(Hondros, 1959) desenvolvida para um cilindro de material elstico, isotrpico e homogneo

submetido a um carregamento de compresso na direo do seu dimetro, usando um friso de

carga cuja largura guarda razo com respeito ao dimetro do CP igual a 0,125.

Nessa equao, o deslocamento entre os extremos horizontais, P a carga

aplicada, E mdulo de elasticidade do material, h a espessura do cilindro e o

coeficiente de Poisson. A Equao 21 considera o material como elstico linear e a base

para o clculo do MR (propriedade que ocupa o papel do mdulo de elasticidade na equao).

Considerando o coeficiente de Poisson e a espessura do CP constantes e sabendo que a

complacncia o inverso do mdulo de elasticidade, percebe-se que o deslocamento a

multiplicao de uma constante pelo produto entre a carga e a complacncia. O princpio de

correspondncia elstico-viscoelstico (PCEV) estabelece que a soluo de um problema de

viscoelasticidade pode ser obtida a partir da soluo elstica, desde que a geometria e as

condies de contorno sejam as mesmas (Schapery, 1967). Isso pode ser executado em se

aplicando transformadas de Laplace equao elstica. Equivalentemente, podem-se

substituir os produtos comuns entre a solicitao e a propriedade material por produtos de

convoluo entre os mesmos. Ressalta-se que, no problema de viscoelasticidade as

propriedades e as solicitaes podem variar com o tempo. Assim, a Equao de Hondros para

um meio viscoelstico transformada na Equao 22.

(21)

35

Segundo Theisen et al. (2007) e as normas do ensaio de MR, o pulso de carga

solicitante de um ensaio de MR pode ser representado por uma funo haversine. A Equao

23 representa uma funo desse tipo, com pico de valor P0 e tempo de carregamento igual a tp

iniciando e terminando o tempo de carregamento com carga igual a zero. Em seguida, at se

completar o tempo de ciclo (tc) (normalmente de 1s no ensaio de MR), a carga nula.

Percebe-se que imediatamente antes do trecho no carregado a derivada de P(t) em relao ao

tempo nula. Portanto, a funo P(t) suave, podendo a integral de convoluo ser calculada

para todo o tempo de ciclo.

Substituindo a Equao 23 na Equao 21 e representando a funo fluncia

por uma srie de Prony (Equao 2), pode-se resolver a integral analiticamente. As

Equaes 24, 25 e 26 foram obtidas por Theisen et al. (2007) seguindo o procedimento

semelhante ao acima descrito.

Para :

Onde:

(23)

(24)

(25)

(22)

36

Para :

Onde 2Ri(tp) o deslocamento referente ao elemento viscoelstico i no fim do

trecho carregado (t = tp).

A partir das Equaes 24, 25 e 26, pode-se simular o resultado de deslocamento

horizontal (no dimetro mximo) que deveria ser obtido em um ensaio de compresso

diametral em material viscoelstico cuja srie de Prony conhecida, considerando que o

mesmo isotrpico, homogneo, unimodular e que a Equao de Hondros rege o mesmo

problema para um material elstico. A grosso modo, resultados de MR em compresso

diametral correspondentes a uma dada srie de Prony podem ser obtidos. Seguindo-se as

consideraes feitas pelas normas citadas anteriormente, em geral, assume-se que o

coeficiente de Poisson a 25C de 0,30. Isto representa uma grande simplificao, que facilita

muito os experimentos, no sendo necessrias medidas de deslocamento alm do

deslocamento horizontal. Porm, parece razovel sugerir que cada mistura asfltica apresente

um valor de coeficiente de Poisson diferente. Por esse motivo, encontram-se na literatura

esforos de pesquisadores em se medir coeficientes de Poisson durante experimentos (Kim et

al., 2004) e at mesmo em ajustar os resultados experimentais obtidos usando modelos

viscoelsticos lineares (Di Benedetto et al., 2007b), de maneira semelhante ao que se faz

normalmente para o mdulo dinmico. Ressalta-se que alguns dos resultados experimentais

de coeficiente de Poisson obtidos pelos trabalhos citados excedem o limite terico de 0,5

(correspondente a materiais elsticos lineares homogneos totalmente incompressveis, como

a borracha), o que Katicha (2007) comprovou atravs de modelagem numrica que pode ser

explicado pela bimodularidade dos materiais asflticos. Na Figura 13, apresenta-se um

exemplo de curva de deslocamento obtida a partir da aplicao das Equaes 24, 25 e 26,

considerando uma carga aplicada de 3kN.

(26)

37

Figura 13. Curva de deslocamento obtida a partir de uma srie de Prony conhecida, de um

ciclo de carregamento como o da Equao 23 e se aplicando as Equaes 24, 25 e 26

Obtida a curva de deslocamento simulada, assim como para uma curva obtida

experimentalmente, o MR pode ser calculado a partir da Equao 27.

Onde representa o deslocamento resiliente obtido em um ciclo de

carregamento e descanso. Sobre a definio desse deslocamento, as normas podem divergir

ou, por vezes, nem mesmo especificar. A maioria das normas atualmente em vigor considera

que resiliente o deslocamento encontrado a partir do procedimento descrito a seguir. O

mdulo obtido utilizando-se esse deslocamento conhecido como MR instantneo.

Obteno da reta tangente ao trecho descendente da curva obtida durante

o carregamento (primeiro dcimo de segundo do ciclo);

Regresso hiperblica utilizando os deslocamentos lidos entre 40% e 90%

do perodo de descanso. Obteno da reta tangente a essa hiprbole, no

ponto correspondente a 40% do tempo de descanso;

Clculo do instante correspondente ao encontro das duas retas. Esse

instante aquele em que ocorre o deslocamento resiliente;

0,00E+00

5,00E-07

1,00E-06

1,50E-06

2,00E-06

2,50E-06

3,00E-06

3,50E-06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

De

slo

cam

en

to h

ori

zon

tal (

m)

Tempo (s)

Trecho carregado

Trecho relaxado

(27)

38

Regresso hiperblica no trecho da curva que une o fim do trecho de

carregamento ao incio do trecho final (40% do perodo de descanso).

Clculo do valor de deslocamento obtido no instante em que ocorre o

deslocamento resiliente.

Porm, sob uma abordagem de viscoelasticidade linear considerando os modelos

aqui apresentados (Maxwell-Wiechert e Kelvin-Voigt), todo o deslocamento ocorrido

recupervel se o tempo tender para o infinito. Em aplicaes prticas isso no razovel,

podendo os deslocamentos recuperveis apenas em tempos muito longos serem considerados

como no recuperveis. Seria possvel, por exemplo, considerar como no recupervel apenas

o deslocamento de fato no recuperado ao fim do ciclo (1s). Isto constituiria uma segunda

definio de deslocamento resiliente.

As Figuras 14 e 15 ilustram as definies dos deslocamentos resilientes

instantneo e total apresentadas por Bernuc