BALAN ÇO INTEGRAL DE MASSA - feis.unesp.br · Equação da continuidade Aplicação do conceito de conservação de massa a uma região de interesse qualquer – e não num sistema

-- CAPCAPÍÍTULO 5 TULO 5 --

BALANBALANÇÇO INTEGRAL DE MASSAO INTEGRAL DE MASSA

Disciplina: 1081 - Fenômenos de Transportes I

Professor: Tsunao Matsumoto

Campus de Ilha Solteira

� Equação da continuidadeAplicação do conceito de conservação de massa a uma região de interesse qualquer – e não num sistema.

� Conservação da massaVolume de Controle: porção definida do espaço onde se dá o escoamento, com quantidade de massa que pode variar.

Sistema: parcela definida e constante de massa.

Variação da Massa = Massa que entra – Massa que sai

BALANÇO INTEGRAL DE MASSA

≠

MsMem −=∆

� Taxa de entrada em relação ao tempo = fluxo

� Exemplo: Reservatório com fluxos diferentes de entrada e saída de massa. O reservatório constitui então o Volume de Controle. Ao final de um intervalo de tempo ∆t, haveráuma variação da massa armazenada:

Fe

Fs

∆ mAe As

∆

∆

∆

m Me Ms

Me Fe t

Ms Fs t

= −

=

=


� Exemplo: Gerenciamento de reservatórios de geração de energia. Necessidade de manter um contínuo controle do volume represado, para enfrentar as épocas sem chuvas, controlar as cheias e obter um rendimento ótimo de turbinas. Logicamente é impossível coletar a água dos rios na entrada e na saída para determinar seu volume, mas há meios de saber as vazões (fluxos de volume) determinando, por exemplo, as velocidades. Para esses casos o problema fica ligado a um intervalo de tempo:

t

Ms

t

Me

t

m

∆−

∆=

∆

∆ Os termos do segundo membro são quantidades de massa por unidade de tempo, ou Fluxos de Massa.


� Quando as velocidades não variam no tempo ∆t, o balanço é fornecido pelas equações:

� No caso de fluxos variáveis, é necessário usar um valor instantâneo, obtido pelo limite da variação da massa quando ∆t tende a zero.

sQeQsFeFt

mMM ρ−ρ=−=

∆

∆ssseee AVAV

t

mρ−ρ=

∆

∆

sFeFdt

dmMM −=

A taxa de variação da massa é igual ao saldo dos fluxos de entrada e saída


�No exemplo da usina hidrelétrica e em muitos casos da prática a massa específica não varia. Esse é o caso dos chamados escoamentos incompressíveis. Para ρ constante, o balanço de massas fica equivalente a um balanço de volumes:

�Quando os valores da vazão variam no tempo, pode-se usar o mesmo raciocínio, mas escrevendo a fórmula com valores instantâneos.

A taxa de variação do volume é igual àdiferença de vazões de entrada e saída

se QQt

Vol

t

mρ−ρ=

∆

∆ρ=

∆∆

se QQt

Vol−=

∆∆

ssee AVAVdt

dVol−=


�Nesse caso, cada pequeno intervalo de tempo traz uma variação diferencial no volume. A variação total num dado tempo finito é o somatório das variações diferenciais ao longo do intervalo de tempo considerado.

�A aproximação torna-se mais fina à medida que decresce o intervalo de tempo considerado. A equação só étotalmente exata no limite, para δt→0 tem-se então:


∆ ∆Vol Vol Q Q t n t to t

to

t

ii

n

e si

n

≈ = − = −= =∑ ∑1 1

( ) ; ( ) /δ δ

�Se for conveniente lidar com a massa, a equação fica:


∫∑ =

∞∆=∆

=→∂

t

ti

it

t

to

dVolVollimVol01

0

A variação de volume éa integral no tempo do balanço de fluxos∫ −=∆

t

tse dt)QQ(Vol

0

∫ ∫−=∆t

t

t

tssee dtQdtQm

0 0

ρρ

�Misturas homogêneas – balanço de grandeza extensiva N

�Normalmente a água em escoamento não é pura

�Mas os Fluxos responsáveis pelas quantidades Ne e Ns da grandeza extensiva dependem do fluxo de massa e das concentrações. Pode-se dizer então que:


∆ ∆ ∆ ∆N N N N F t F te s N e N s= − → = −, ,

F F N Q t

F F N Q t

N e e e e e e e

N s s Ms s s s s

M,

,

= → =

= → =

η η ρ

η η ρ

∆

∆

se )Q()Q(t

Nρη−ρη=

∆∆

Exemplo 1: Considere um recipiente com 100 litros de água à temperatura de 20°C, recebendo 1 L/s de água a 80°C e com uma vazão de saída de 1L/s a 20°C. Calcule a variação da quantidade de calor armazenada em um minuto e a temperatura na caixa ao final deste período.


Fe

Fs

Ae As

Dados:ρ(80°C)= 971,8 kg/m3

ρ(20°C) = 998,2 kg/m3

c = 4,180 kJ/kg°C

Exemplo 1: SOLUÇÃO:A grandeza extensiva considerada é a quantidade de calor: N = m.c.(T-T0). A variação da quantidade de calor no período é dada por:

�Mas também pode-se expressar a variação por meio dos Fluxos:

�Entretanto, os fluxos podem ser expressos em função dos fluxos de massa,


)()( tNttNNNN InicialFinal −∆+=−=∆

tFtFNNN sesaiuentrou ∆−∆=−=∆

VATTcFTTcVAF NN )()(; 00 −=⇒−== ρηηρ

Substituindo os valores numéricos tem-se:

Conhecendo a quantidade de calor aduzida, o cálculo da variação da temperatura depende da quantidade de massa no reservatório. A massa final é obtida pelo balanço de massas:


Nkg

m

kJ

kg CC

l

s

m

ls kJ

Nkg

m

kJ

kg CC

l

s

m

ls kJ

N kJ

e

s

= =

= =

=

971 8 4 18 80 1 0 001 60 19 498

998 2 4 18 20 1 0 001 60 5 007

14 491

3

3

3

3

, ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .

, ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) .

.

o

o

o

o

∆

∆ ∆ ∆

∆

∆

m m m m F F t

m kg

m m m kg

e s e s

f i

x x

= − ⇒ = −

= − = −

= + =

( )

( , , , , ) ,

,

971 8 0 001 998 2 0 001 60 1 584

98 416

Portanto, a temperatura ao final de um minuto será de:

�A solução partiu da premissa que a água no reservatório permanece a 20 °C durante todo o tempo. Evidentemente a resposta carrega certo erro, derivado dessa hipótese. Entretanto, o erro tende a diminuir com o intervalo de tempo considerado no cálculo.


∆ ∆ ∆N mc T TkJ

kgkJ

kg C

C= ⇒ = =14491

98 416 4 18

35 2

, ,

,

o

o

55,2 °°°°C

Exemplo 2: Resolver novamente o exemplo anterior, supondo fluxo de saída 0,5L/s, e adotando um intervalo de tempo de 20s. Os demais dados permanecem constantes.

�SOLUÇÃO:A massa final do reservatório será diferente. Inicialmente, portanto, é preciso calcular a variação da massa na caixa:

A variação da quantidade de calor armazenada é calculada

como no exemplo anterior:


JkNNN se 56658346499 =−=−=∆

kgm

tQQtDDmmm sseeseIniFim

45,920)0005,02,998001,08,971(

)()(

=⋅−⋅=∆

∆−=∆−=−=∆ ρρ

Essa quantidade de calor, acrescentada à massa final da caixa, permite calcular o acréscimo de temperatura:

Portanto, mantidos os fluxos por 20 segundos, a temperatura da caixa será de 32,4°°°°C, e a massa armazenada será de 109,3 kg.


C

Ckg

Jkkg

m

kgm

JkT o

o

4,12

18,4)45,92,9981,0(

5665

3

3

=+

=∆

� EEquação integral do balanço de massa

Num escoamento, um sistema pode mudar de forma, acompanhando o escoamento, mas sempre contém a mesma massa. Um volume de controle usualmente é fixo, podendo variar a massa em seu interior.


Volume de Controle

L.C.

Superfície de Controle

Todas as equações de balanços usam como base um volume de controle.

LEMBRANDO QUE...

VOLUME DE CONTROLE

≠ SISTEMA

Região fixa no espaço. A massa sempre pode

mudar, pois o conceito éligado a uma porção definida do espaço.

Quantidade definida de massa. Num

escoamento, um sistema pode mudar de

forma, mas sempre contém a mesma

massa.

� Balanço

Imaginar volume de controle (V.C) com fluxos que entram e saem por várias seções de entrada e saída.

Ex: Problema de reservatório com todas as entradas em uma só seção e todas as saídas também em uma só.


F ∆ M

Área de Entrada

M,e

FM,s

Área Lateral

Área de Saída

∆ t

V.C.

� Balanço

Sabe-se que o balanço de massa pode ser expresso por:

Também,que os fluxos podem ser expressos pela integral vista anteriormente. Mas, para substituir sem erro na equação do balanço, é necessário estudar o sinal algébrico oculto que a integral possui.


F FM

tM E M S, ,− =

∆

∆

�Se for conveniente lidar com a massa, a equação fica:


∫∑ =

∞∆=∆

=→∂

t

ti

it

t

to

dVolVollimVol01

0

A variação de volume éa integral no tempo do balanço de fluxos∫ −=∆

t

tse dt)QQ(Vol

0

∫ ∫−=∆t

t

t

tssee dtQdtQm

0 0

ρρ

� Balanço

Sabe-se que o balanço de massa pode ser expresso por:

Também,que os fluxos podem ser expressos pela integral vista anteriormente. Mas, para substituir sem erro na equação do balanço, é necessário estudar o sinal algébrico oculto que a integral possui. O sinal éconseqüência do produto escalar da velocidade e área, devido à convenção de sentido para o vetor normal. Veja o esquema a seguir:


F FM

tM E M S, ,− =

∆

∆

O sinal é conseqüência do produto escalar da velocidade e área, devido à convenção de sentido para o vetor normal. Veja o esquema a seguir:

Outro resultado interessante da integral deve-se ao fato de que ao longo da superfície de controle existem apenas áreas de entrada, de saída ou áreas laterais. Uma área lateral é aquela onde não há fluxo de entrada ou saída.


L.C.

Superfície de Controle

VdA

dAdA

V

V

Áreas de Saída

Sinal positivo

Áreas Laterais

Valor nulo

Áreas de Entrada

Sinal negativo

�Nesses casos, como a superfície é impermeável, o vetor velocidade sempre fica perpendicular ao vetor área, fazendo com que o produto escalar seja nulo. �Com as propriedades da integral, pode-se escrever então que:

onde os limites AE e AS nas integrais referem-se às áreas de entrada e saída, respectivamente.�Utilizando então a notação geral de fluxos de entrada e saída a idéia física do balanço fica:


→→

∫−= dAVFAEEM ., ρ

→→

∫= dAVFASSM ., ρ

t

M

F

dAV

F

dAV

SM

AS

EM

AE ∆∆

=→→

−→→

− ∫∫4342143421

,,

.. ρρ

�Pode-se agora levar as integrais para o segundo membro, e também acrescentar um termo nulo, sem alterar o balanço:

�Somando-se todos os limites de integração numa mesma integral, pode-se escrever:


0...

,,

=∆∆

+++ ∫∫∫→→→→

−

→→

T

MdAV

F

dAV

F

dAV

NULO

AL

SM

AS

EM

AE 434214342143421ρρρ

0. =∆∆

+→→

∫ ++ t

MdAV

SC

ALASAEρ

43421

Válida se os Fluxos permanecerem constantes durante o tempo ∆t considerado

�Integral feita com valores instantâneos da velocidade.

�Se a velocidade variar com o tempo, o balanço feito deixa de ser válido. Para que a idéia fique exata é preciso pensar na variação de massa que ocorre em um tempo ∆t muito pequeno. Somente nesse caso o fluxo instantâneo é igual ao médio, mesmo nos regimes transientes.

�Escrevendo então o balanço para o caso do limite de ∆t→0, tem-se:


0=+⋅ρ→→

∫ dt

dMdAV

SC

Valores instantâneos.

Vale para transientes

� Equacionamento do termo dM / dt

Cálculo da massa contida no V.C. (massa específica uniforme ao longo de todo o volume)

� Entretanto, é possível num caso geral que a massa específica varie ao longo do V.C.. Basta, por exemplo, que varie a temperatura do fluido. Cada ponto do fluido tem ρ diferente.

COMO AVALIAR A MASSA???


M Vol= ρ onde Vol é o volume total

�Uma aproximação razoável para a massa M nesse caso pode ser obtida se dividir o volume total em vários pequenos volumes ∆Vol. A massa M fica então:

�Esse processo, no limite, leva à massa como resultado de uma integração. A integral corresponde ao somatório das massa de infinitos volumes diferenciais dVol:

�O limite de integração V.C. indica que o somatório deve incluir todo o volume de controle.


M Vol

i

n

≈=∑ ρ ∆1

Quanto menor o ∆Vol,melhor a aproximação!

∫∑ ρ=∆ρ∞

==→ VC

dVol)Vol(limM i

n

i

ii 1

� Equação final

Colocando todas as considerações em conjunto, chega-se àequação geral do balanço de massa, em sua forma integral:

� O segundo membro do balanço global de massa pode ser considerado como uma declaração válida, em relação à massa, para qualquer sistema, da seguinte forma:


∫∫ =ρ∂

∂+ρ

→→

VCSCdVol

tdA.V 0

BALANÇO GLOBAL DE MASSA!


0=SISTEMA

td

dM

�O primeiro termo seria essa relação, ou seja, a variação da massa no tempo, numa forma válida para um Volume de Controle. A equação abaixo deriva diretamente da definição de Cálculo, com M significando a massa do Volume de Controle, e o índice, o tempo em que ela é considerada.

t

MMlim

t

M ttt

tVC∆

−=

∂

∂ ∆+

∆ →0

� Relação Sistema – Volume de Controle Imagine um escoamento, visualizado esquematicamente na

figura por meio de suas linhas de corrente. Existe um Volume de Controle qualquer, que contém inicialmente em seu interior uma massa que constitui o Sistema sob análise:

Decorrido um certo intervalo de tempo ∆t, o Sistema terá se deslocado devido ao escoamento, enquanto que o V.C. permanece fixo no espaço.


tempo t tempo t + t∆

V.C. = Sistema V.C. permanece fixo

Sistema deslocou-se

1 2 3

(a) (b)


[ ] ttMMM

S)( 21

+= [ ] ) tttt MMMS ∆+∆+ +=

23(

[ ] [ ]t

MMMM

t

MM

dt

dM ttt

t

ttt

t

SS

S ∆

+−+=

∆

−= ∆+

∆

∆+

∆ →→

)()(limlim

2123

00

�O volume 1 corresponde ao volume de fluido que entrou pela área de entrada do V.C. devido ao escoamento. Assim, parte da massa do sistema que antes estava no V.C. foi afastada pelo fluxo que entra no V.C.

tFM E,M ∆=1


�Da mesma forma, ao acompanhar o escoamento, o sistema teve parte de sua massa atravessando a área de saída, constituindo o volume 3. Portanto, o fluxo de massa na saída do V.C. pode ser usado para calcular a massa M3.

�Esses resultados serão usados para simplificar o limite da última equação, após um rearranjo de termos para separar M1 e M3.

tFM SM , ∆=3


=∆

−+−= ∆+

∆ →t

MM)M()M(

limdt

dM ttt

tS

1322

0

t

t)FF()M()M(lim

dt

dM E,MS,Mttt

tS ∆

∆−+−=

∆+

∆ →

22

0

:

�É fácil perceber que o termo com os fluxos não depende do limite considerado. Assim, a derivada da massa no sistema fica com dois termos, sendo que apenas um é um limite para ∆t→0:

E,MS,M FFt

)M()M(lim

dt

dM ttt

tS

−+∆

−= ∆+

∆ →

22

0


�O próximo passo é verificar que quanto menor o tempo, menor é o volume que vai entrar e sair do V.C. devido ao escoamento. Isto implica que no limite o volume 2 tende para o próprio Volume de Controle, de forma que é possível escrever a Relação Sistema - Volume de Controle para a massa da seguinte forma:

dM

dt

M

tF F

S VCM S M E= + −

∂∂ , ,

RELAÇÃOSISTEMA -VOLUME

DE CONTROLE

Com ela, uma lei que valia apenas para uma quantidade fixa de Massa passa a ser válida também para uma determinada Região do Espaço!

BALANÇO INTEGRAL DE MASSA – EXERCÍCIOS

1. Na operação de uma hidrelétrica ocorreram durante um dia as seguintes vazões médias: Qrio = 1.500 m3/s, Qturbinas = 600 m3/s. Qual a variação de volume armazenado no período de 24 horas?

2. Uma hidrelétrica tem um lago alimentado por dois afluentes, e 6 turbinas. As vazões afluentes observadas no dia foram de Q1 = 600 m3/s e Q2 = 120 m3/s. Cada turbina operou com vazão de 100 m3/s, mas 2 turbinas ficaram ligadas apenas 6 horas. Qual a variação do volume do lago?

3. Em um período de cheias uma hidrelétrica operou com as seguintes vazões afluentes: Rio A: Q1 = 1.300 m3/s; Rio B: Q2 = 700 m3/s. As vazões efluentes são fluxos turbinados para produção de energia e fluxos vertidos, que escoam pelos vertedores. A usina possui 8 máquinas e 6 vertedores de superfície. A configuração de operação foi a seguinte: Vazão turbinada - 4 máquinas com 100 m3/s durante 24 horas ; 2 máquinas com 180 m3/s durante 2 horas; Vazão vertida - 6 vertedores operando continuamente com 200 m3/s cada um. Calcule a variação do volume armazenado em 24 horas.


4. A figura mostra um esquema de chaminé de equilíbrio. As chaminés de equilíbrio são utilizadas na prática para atenuar as variações de pressão que podem ocorrer durante transientes em tubulações de alimentação de bombas e turbinas. No instante considerado, a velocidade no tubo de alimentação da turbina é 0,5m/s a montante da chaminé e de 2,5m/s a jusante da mesma. Calcule a vazão fornecida e a velocidade instantânea de abaixamento do nível d'água na chaminé.

ChaminéReservatório

Turbina

D = 3m

D = 1m


5. Um tanque cilíndrico possui uma área de base igual a 1m2. A água escoa por um orifício de 50 mm de diâmetro, segundo a figura. A vazão que escoa em m3/sé dada por Q = 2,7Ah

5,0m

a) Calcular o nível da água apos 1 minuto.b) Quanto tempo leva para escoar 2 m3 do tanque?c) Repetir o item (a) usando integração. numérica, com ∆t = 20s.d) Repetir o item (a) usando solução numérica, com ∆t = 5s.e) Quanto tempo leva para escoar 1 m3 do tanque?


6. Para obter permissão legal para operar, uma indústria comprometeu-se a lançar no máximo 4 L/s de efluentes com uma concentração máxima de cianetos igual a 4 mg/L. Uma associação de defesa ambiental desconfia do cumprimento da lei pela indústria, mas uma comissão de vistoria formada para investigar o problema não foi bem recebida pela empresa. Em conseqüência, você foi consultado para reunir dados para amparar uma ação legal contra a indústria. Sua equipe fez medições da seção e velocidade do rio a montante da indústria suspeita, e das concentrações de cianeto acima e a jusante do ponto de lançamento, obtendo os seguintes dados:

MONTANTE: V = 0,6m/s, A = 6,3m2, CCN = 0,0000mg/LJUSANTE : CCN = 0,0031mg/L

Determinar se há base legal para processar a indústria.


7. Um meio para determinar a vazão de rios consiste na injeção de substâncias traçadoras, como sais ou corantes. Numa determinação de vazão em um córrego foram lançados 2L/s de água com uma concentração de corante fluorescente igual a 5g/L. Numa seção a jusante, após a completa mistura do traçador, retirou-se uma amostra da água, obtendo-se uma concentração de corante de 0,2g/L. Qual a vazão do córrego?


8. Uma represa forma um reservatório de 5x107m3 de capacidade. O lago recebe a contribuição de dois rios, com as seguintes vazões e concentrações médias de sedimentos:

Rio A: Q = 12 m3/s; Csedimentos = 10g/L. Rio B: Q = 3 m3/s; Csedimentos = 18g/L.

Sabendo que na saída a concentração de sedimentos é2g/L, e que a massa específica dos sedimentos é ρsed

= 2,65 g/cm3, determinar qual o tempo de vida estimado para o reservatório.


9. O duto da figura tem seção transversal quadrada com 0,1m de lado e descarrega água por quatro fendas de 0,01m por 1m localizadas em nas faces laterais de uma derivação. Sabendo que o regime é permanente, que o duto da derivação é fechado em sua extremidade inferior e com base nas velocidades nas faces dadas na figura, pede-se:

a) vazões nas faces 1 e 3.b) módulo e sentido da velocidade média na seção b

0.01m

1.0m Z

0.1m

0.1mVa = 8 m/s Velocidades:

X

Y

V1

V3

V2

V4

V1 = V2 = 4 - 2Z

V3 = V4 = 2 - Z

Seção

Vb

a b


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