Betão II - Instituto Superior Técnico

8/16/2019 Betão II - Instituto Superior Técnico

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ESTRUTURAS DE BETÃO II

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

Coordenação: António Costa

Ano Lectivo 2014/2015


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ÍNDICE

1. ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS.................................................................................................... 1

1.1. I NTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1

1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO ........................................................................................... 3 1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão .............................................................................. ....................... 3 1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão ........................................................ ............................................. 4

1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO ................................................................ ............. 5 1.3.1. Armaduras de pré-esforço .......................................................... ............................................. 5 1.3.2. Ancoragens de pré-esforço ......................................................... ............................................. 9 1.3.3. Bainhas de pré-esforço.................................................... ...................................................... 10 1.3.4. Sistemas de Injecção ............................................................................................................. 10

1.4. EFEITO DOPRÉ-ESFORÇO ............................................................................................................... 10 1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço................... 12 1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente de estruturas debetão armado e de betão pré-esforçado ................................................................................................. 13

1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO ....................................................... .. 16

1.5.1. Pré-dimensionamento da secção ........................................................... ................................ 16 1.5.2. Traçado do cabo ................................................................................................................... 16 1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço ............................... 16 1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil ............................................................... 17

1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS ........................................................ .. 18 1.6.1. Força máxima de tensionamento .......................................................................................... 18 1.6.2. Perdas de pré-esforço ................................................................................................ ........... 18 1.6.3. Definição dos cabos ......................................................... ..................................................... 19

1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS ................................................................ .......... 26 1.7.1. Equação da parábola ................................................................. ........................................... 26 1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos ....................................... 26 1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto ............................ 27

1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO ................................................................ ...................... 27

1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos cabos simultaneamente nas duas extremidades) ............................................................... ................................ 27 1.8.2. Acções exercidas sobre o betão........................................................................ ..................... 27 1.8.3. Determinação das cargas equivalentes ............................................................ ..................... 28

1.9. VERIFICAÇÃO DASEGURANÇA AOSESTADOSLIMITEÚLTIMOS ..................................................... 35 1.9.1. Estado limite último de flexão ............................................................... ................................ 35 1.9.2. Estado limite último de esforço transverso ........................................................................... 37

1.10. PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS COM SECÇÃO VARIÁVEL ................................................................ ........... 43 1.10.1. Consideração do efeito do pré-esforço ................................................................................. 43

1.11. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS .......................................................... 44 1.12. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO ............................................................................................................... 52

1.12.1. Perdas por Atrito .............................................................. ..................................................... 52 1.12.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos) ................................................................ . 53

1.12.3. Perdas por deformação instantânea do betão ............................................................. .......... 54 1.12.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço .................................................. 54 1.12.5. Perdas por retracção do betão .............................................................. ................................ 59 1.12.6. Perdas por fluência do betão ................................................................................................ 59 1.12.7. Perdas por relaxação da armadura ................................................................ ...................... 59

1.13. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS ...................................................... .. 62 1.13.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betão ........................................................... 62 1.13.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens .................................... 63

2. INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO ....................... 72

2.1. CLASSIFICAÇÃO DE LAJES ............................................................................................................... 72 2.1.1. Tipo de Apoio ........................................................................................................................ 72 2.1.2. Constituição .......................................................................................................................... 73 2.1.3. Modo de flexão dominante ......................................................... ........................................... 73 2.1.4. Modo de fabrico ............................................................... ..................................................... 73

2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................ 73 2.3. VERIFICAÇÃO DASEGURANÇA ....................................................................................................... 74


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INSTITUTOSUPERIORTÉCNICO – Ano lectivo 2014/2015 Estruturas de Betão II

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1. ELEMENTOS PRÉ-ESFOR ÇA DOS

1.1. INTRODUÇÃO

O pré-esforço é uma tecnologia que permite introduzir numa estrutura um estado de

tensão e deformação por meio de cabos de aço de alta resistência que possibilita ocontrolo do seu comportamento no que se refere à fendilhação e à deformação.

Como é sabido o menor desempenho das estruturas de betão relativamente aocomportamento em serviço resulta, em grande parte, da fraca resistência do betão àtracção. Portanto se, em serviço, as tensões de tracção no betão forem controladas anível reduzido o desempenho das estruturas melhorará substancialmente.

Os efeitos do pré-esforço podem ser entendidos recorrendo aos exemplos a seguir

apresentados que traduzem o comportamento de vigas submetidas à acção de cargasverticais no vão.

A actuação das cargas gera na viga um estado de tensão indicado na figura. Na zonainferior as tensões de tracção originam a fendilhação do betão e a consequente perda derigidez da viga e aumento das flechas.

compressão

tracção

Este comportamento pode ser melhorado se for introduzida uma força de compressãoque vai originar uma redução das tensões de tracção e, consequentemente, uma menorfendilhação e perda de rigidez da viga.

Essa força de compressão pode ser conseguida por meio de um cabo de aço tensionadoque transmite a força de tensionamento ao betão nas extremidades da viga.

A figura seguinte ilustra o efeito da força de compressão introduzida no betão por cabo depré-esforço colocado segundo o eixo da viga. O estado de tensão associado a esta forçade compressão é, portanto, uniforme.


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compressão

tracção

efeito do pré-esforço

P

P

P

O cabo de aço pode ter diferentes posicionamentos na secção da viga e diferentegeometria os quais têm consequências ao nível do comportamento da viga conforme

ilustrado na figura seguinte onde se representam as tensões na secção de meio vãodevidas ao pré-esforço P e à carga actuante q.

esforço axial centrado

esforço axial com excentricidade

esforço axial e transversal

No primeiro caso, em que o cabo está centrado na secção, o pré-esforço necessário paraanular a tensão de tracção provocada pela carga q é elevado, conduzindo a um estadode tensão resultante com elevadas tensões de compressão na fibra superior.

No segundo caso, com um cabo recto localizado junto à face inferior da viga, o estado detensão introduzido pelo pré-esforço é mais eficiente para contrariar as tensõesprovocadas pela carga q e as tensões resultantes são mais baixas. Neste caso importa

salientar que o pré-esforço introduz um estado de deformação contrário ao da carga qpelo que se consegue controlar melhor a deformação da viga.


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No terceiro caso a forma do cabo faz com que, para além do esforço axial do pré-esforço,seja introduzida na viga uma carga distribuída com sentido contrário ao da carga exteriorq. Com este traçado, para além dos efeitos referidos no caso anterior, existe também oefeito de contrariar o esforço transverso provocado pela carga q. Refira-se que esta carga

distribuída no vão (carga equivalente ao pré-esforço no vão) gera efeitos, iguais mas desinal contrário, ao de um carregamento uniforme. Por exemplo, se esta carga equivalentefor igual à carga exterior q a flecha da viga é nula.

A definição do valor do pré-esforço a introduzir na estrutura depende do objectivo que sepretende atingir: controlo da fendilhação, controlo da deformação ou ambos.

Em geral, pretende-se que em serviço o nível das tensões de tracção na secção seja nuloou muito reduzido. Este nível de tensões é também condicionado por questões de

durabilidade pois os aços de alta resistência, por estarem fortemente tensionados, sãomuito sensíveis à corrosão pelo que se deve evitar a formação de fendas ou, caso estasvenham a ocorrer, a sua abertura deve ser muito reduzida.

Importa ainda referir que a utilização e a exploração total dos aços de alta resistência nacapacidade resistente dos elementos estruturais só é viável se for introduzida umaextensão inicial na armadura. Caso contrário não só a tensão resistente da armaduradificilmente seria atingida por destruição prematura da aderência, como o comportamentoem serviço não seria aceitável devido à elevada abertura de fendas induzida pelas muitoaltas extensões na armadura.

VANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DO PRÉ-ESFORÇO

Vencer vãos maiores

Maiores esbeltezas para vãos equivalentes

Diminuição do peso próprio

Melhoria do comportamento em serviço

Utilização racional dos betões e aços de alta resistência

1.2. TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO

1.2.1. Pré-esforço por pré-tensão

As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão;

A transferência de força é realizada por aderência;

É realizado em fábrica (tensão aplicada contra cofragens ou contra maciços deamarração).


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Neste sistema de pré-esforço os cabos são rectos.

1.2.2. Pré-esforço por pós-tensão

As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a resistêncianecessária;

A transferência de força é realizada quer nas extremidades, através de

dispositivos mecânicos de fixação das armaduras (ancoragens), quer ao longodas armaduras após a injecção das bainhas.

Nos sistemas de pós-tensão o cabo de pré-esforço pode ter uma geometria curva a qual

é mais adequada para vigas contínuas.Nos sistemas de pós-tensão aderentes as bainhas dos cabos são injectadas com caldade cimento.

Na figura seguinte apresentam-se os principais componentes do sistema de pré-esforçoaderente.


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Bainha

Fios ou cordões

Calda de cimento

Cabo de pré - esforçoSecção A-A

1.3. COMPONENTES DE UM SISTEMA DE PRÉ-ESFORÇO

1.3.1. Armaduras de pré-esforço

As armaduras de pré-esforço são constituídas por aço de alta resistência, e podem ter as

seguintes formas: fios Diâmetros usuais: 3 mm, 4 mm, 5 mm e 6 mm

cordões (compostos por 7 fios)

Designação

Secçãonominal

[cm2]

Diâmetro[mm]

0.5” 0.987 12.7

0.6”N 1.4 15.2

0.6”S 1.5 15.7

varões Diâmetros usuais: 25 mm a 36 mm

(podem ser lisos ou roscados)

Os cordões são compostos por fios, sendo os mais correntes os cordões de 7 fios obtidos

por 6 fios enrolados em torno de um fio central recto.

A

A


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Na figura seguinte apresentam-se diagramas tensão-deformação de fios, cordões evarões de pré-esforço e comparam-se com os diagramas de varões de aço corrente.

Verifica-se que a resistência dos aços de pré-esforço é significativamente superior à dosaços correntes. Esta elevada resistência é conseguida à custa de um maior teor emcarbono, de processos de tratamento térmico e, também, no caso dos fios, por umprocesso de trefilagem.

A composição do aço e o processo de fabrico dos fios de pré-esforço penalizam a suacapacidade de deformação constatando-se que a sua ductilidade é significativamenteinferior à dos varões de aço laminados a quente.

Varões


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varão de pré-esforço 32 mm

7

Uma vez que os aços de resistência mais elevada não apresentam patamar de cedência,a tensão de cedência é caracterizada pelo valor característico da tensão limiteconvencional de proporcionalidade a 0,1%, f p0,1k.

No quadro seguinte apresentam-se algumas características de aços de alta resistênciacorrentemente utilizados em armaduras de pré-esforço:


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f p0,1k [Mpa] f pk [Mpa] Ep [Gpa]

fios e cordões 1670 1860 195 10

varões 835 1030 170

O diagrama idealizado e de cálculo para os aços de pré-esforço é o definido na figuraseguinte.

Os aços de pré-esforço devem garantir um valor mínimo da extensão à força máxima uk de 3,5%.

A norma prEN 10138 define as propriedades e requisitos dos aços de pré-esforço. Adesignação dos aços de pré-esforço segundo esta norma é a seguinte: Y f pk

Exemplo: Y 1860 – aço de pré-esforço com valor nominal da tensão de rotura à tracçãoigual a 1860 MPa

Em Portugal os requisitos relativos às características das armaduras de pré-esforço sãodefinidos nas Especificações LNEC: E452 (fios); E453 (cordões); E459 (varões).

Cabo de pré-esforço: conjunto de cordões (agrupados no interior de uma bainha)

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos “ standard ” dos sistemas de pré-esforço (número de cordões que preenchem na totalidade uma ancoragem).


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1.3.2. Ancoragens de pré-esforço

ActivasPermitem o tensionamento

Passivas

Ficam embebidas no betão

De continuidade(acoplamentos)

Parte passiva, parte activa


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1.3.3. Bainhas de pré-esforço

Metálicas

Plásticas

As bainhas plásticas apresentam a vantagem de serem resistente à corrosão pelo que asua utilização em ambientes muito agressivos deverá ser equacionada.

1.3.4. Sistemas de Injecção Materiais rígidos (ex: calda de cimento)

Materiais flexíveis (ex: graxas ou ceras)

cera

bainha plástica cordão

1.4. EFEITO DOPRÉ-ESFORÇO

O pré-esforço é, por definição, uma deformação imposta. Deste modo, a sua aplicaçãoem estruturas isostáticas não introduz esforços adicionais.

Embora o pré-esforço não introduza esforços em estruturas isostáticas surgem tensõesnas secções dos elementos: tensões no betão e nas armaduras e tensões no cabo depré-esforço. Essas tensões são autoequilibradas e, portanto, têm resultante nula.

O mesmo não se passa nas estruturas hiperestáticas, situação em que as deformaçõesestão restringidas. Nestes casos surgem esforços associados ao pré-esforço resultantesdas forças que se desenvolvem nos apoio e que restringem a livre deformação doelemento.

Para ilustrar o efeito do pré-esforço considere-se a seguinte viga pré-esforçada:


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pp

Apresentam-se em seguida os diagramas de extensões na secção transversal indicada(secção de vão onde o cabo de pré-esforço tem excentricidade máxima), para asseguintes situações:

A – acção do pré-esforço isolado

B – acção das cargas mobilizadas na aplicação do pré-esforço (peso próprio)

C – situação após a aplicação do pré-esforço

eP 0

+

-

A

P0

+

B

-

+

+ Mpp = -

C

+P0

Como se verifica, o estado de deformação induzido pelo pré-esforço é contrário aoestado de deformação provocado pelo peso próprio.

Partindo de uma situação em que a viga está apoiada numa cofragem, a aplicação dopré-esforço irá originar uma deformação para cima da viga (diagrama A). Nessa altura émobilizado o peso próprio da viga (diagrama B). O diagrama de deformação final Cresulta da sobreposição dos diagramas A e B.

O estado de tensão numa viga pré-esforçada é caracterizado pelos diagramas da figuraseguinte em que P é o pré-esforço aplicado e M é o momento das cargas exteriores.

(-)

P M

P / A

+

(+)

(-)

P x e

(-)

(+)

M

+ e

diagramas de tensões

diagramas de extensões


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As tensões actuantes nas fibras inferior e superior são:

inf = -P A -

P ewinf +

Mwinf

sup = - P A + P ewsup - Mwsup

1.4.1. Razão da utilização de aços de alta resistência para aplicação do pré-esforço

Considere o tirante de betão pré-esforçado, cuja secção transversal se apresenta.

0.50

0.50

Materiais:C25/30 ( = 2.5)

A400NR

A1600/1800

Para os dois tipos de aço indicados e admitindo que se pretende aplicar uma força depré-esforço P0’ = 3000 kN,calcule a área de aço necessária, bem como a força que ficaráinstalada a longo prazo, considerando o efeito da fluência do betão.

1. Determinação da área de aço necessária

P0' = 0.75 f pk As As =P0'

0.75 f pk

Armadura ordinária: As = 30000.75 400 103 104 = 100 cm2

Armadura de alta resistência: As =3000

0.75 1800 103 104 = 22.2 cm2

2. Cálculo da perda de tensão nas armaduras, por efeito da fluência do betão

(i) Cálculo do encurtamento instantâneo do betão devida à aplicação do pré-esforço

c(t0) =P

Ac = 3000

0.5 0.5= 12000 kN/m2 = 12 MPa c(t0) = c

Ec = 12

31 103

= 0.39 ‰

(ii) Determinação do encurtamento devido à fluência

c(t,t0) = cc(t,t0) = c(t0) = 2.5 0.39 = 0.975 ‰

(iii) Perda de tensão nas armaduras

s = c(t,t0) Es = 0.975 10-3 200 106 = 195 MPa

3. Cálculo da força de pré-esforço a longo prazo

Armadura ordinária: P = s As = 195 103 100 10-4 = 1950 kN P =1050 kN

Armadura de alta resistência: P = 195 103 22.2 10-4 = 432.9 kN P = 2567 kN


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Como de pode verificar a perda da força de pré-esforço nas armaduras correntes é muitoelevada o que inviabiliza a sua utilização como armaduras de pré-esforço.

1.4.2. Comparação entre o comportamento em serviço e capacidade resistente deestruturas de betão armado e de betão pré-esforçado

Considere o tirante de betão, cuja secção transversal está representada na figura, e osseguintes casos:

Caso 1 – tirante de betão armado (armadura ordinária)

Caso 2 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 500 kN)

Caso 3 – tirante de betão pré-esforçado (aço de alta resistência e P = 1000 kN)

0.40

0.40

Materiais:C25/30

A400NR

A1600/1800

Para um esforço normal de dimensionamento N sd = 1395 kN, calcule a área de armaduranecessária para verificar o estado limite último de tracção. Para cada solução calcule oesforço normal de fendilhação do tirante (Ncr ).

Caso 1

(i) Determinação da área de armadura necessária

As =Nsd f yd =

1395348 103 10

-4 = 40 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr )

Ncr = Ah f ctm = (Ac + As) f ctm =

0.42 + 20031 40 10

-4 2.6 103 = 483.1 kN

Caso 2


Ap =Nsd f pyd =

13951600 103 / 1.15 10

-4 = 10 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr )

Ncr Ah -

P Ac = f ctm Ncr = Ah f ctm + P

Ah Ac

Ncr =

0.42 + 20031 10 10

-4 2.6 103 + 500 0.42 + 20031 10 10-4

0.42 = 952.9 kN


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Caso 3


Ap =Nsd f pyd =

13951600 103 / 1.15 10

-4 = 10 cm2

(ii) Cálculo do esforço normal de fendilhação do tirante (Ncr ).

Ncr =

0.42 + 20031 10 10

-4 2.6 103 + 1000 0.42 + 20031 10 10

-4 0.42 = 1473.1 kN

Conclusão: A capacidade resistente do tirante é igual nos três casos. No que se refere àfendilhação, verifica-se um melhor comportamento dos tirantes pré-esforçadosrelativamente ao tirante de betão armado, e em particular no caso 3 em que a força de

pré-esforço é maior.

Os aços de pré-esforço por apresentarem elevada resistência permitem também umapormenorização de armaduras mais compacta o que pode influenciar a geometria doselementos como ilustrado na figura seguinte.

Vigas em betão pré-esforçado e em betão armado com igual resistência à flexão

Nas figuras seguintes compara-se o comportamento de uma viga de betão armado e deuma viga de betão pré-esforçado sujeita à flexão com a mesma capacidade última.


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Diagrama momento-curvatura

Diagrama carga deslocamento


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Tensões no betão e nas armaduras

1.5. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE UM ELEMENTO PRÉ-ESFORÇADO

1.5.1. Pré-dimensionamento da secção

A altura de uma viga pré-esforçada pode ser estimada a partir da relação h L15 a 20

Refira-se que esta estimativa é da ordem de 1.5 a 2 vezes superior ao corrente para umaviga de betão armado, devido ao melhor controlo das deformações e facilidade depormenorização de armaduras, como atrás já referido.

1.5.2. Traçado do cabo

A escolha do traçado dos cabos deve ser feita com base no diagrama de esforços dascargas permanentes. Em geral o cabo de pré-esforço deve estar situado na zonatraccionada das secções ao longo da viga.

1.5.3. Princípios base para a definição do traçado dos cabos de pré-esforço

0.35L a 0.5L

L

0.05L a 0.15L

1.5 Ø bainha

1.5 Ø bainha


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Traçados simples: troços rectos ou troços parabólicos (2º grau)

Aproveitar a excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos (ver nota)

Recomenda-se que nas extremidades as ancoragens não se afastem

significativamente da zona central da secção O traçado do cabo (ou resultante dos cabos) deverá cruzar o centro de gravidade da

secção numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes (massó de uma forma qualitativa)

Devem respeitar-se as restrições de ordem prática da construção e os limitescorrespondentes às dimensões das ancoragens e resistência do betão, necessáriospara resistir às forças de ancoragem

Notas:

i) A excentricidade máxima dos cabos depende do recobrimento a adoptar para asbainhas dos cabos de pré-esforço, deve ter em consideração que em vigas, o

recobrimento mínimo das bainhas é : c min = min ( bainha; 8 cm);

ii) o ponto de inflexão do traçado está sobre a recta que une os pontos deexcentricidade máxima;

iii) O raio de curvatura dos cabos deve ser superior ao raio mínimo que,

simplificadamente pode ser obtido pela expressão R min [m]= 3 Fpk (onde Fpk representa a força última em MN).

1.5.4. Pré-dimensionamento da força de pré-esforço útil

O valor da força útil de pré-esforço pode ser estimado através dos seguintes critérios:

Critério do balanceamento das cargas

qeq (0.8 a 0.9) qcqp

ou, de uma forma mais rigorosa,

Critério da limitação da deformação

pe = (0.8 a 0.9) cqp, tal que no final total = (1 + ) ( cqp – pe) admissível

com admissível L

500 aL

1000 (dependente da utilização da obra)

Critério da limitação da fendilhação

EC2 – parágrafo 7.3.1(5): Estados Limites de Fendilhação a considerar


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Tabela 7.1N Valores recomendados para w máx (mm)

Classe deexposição

Elementos de betão armado ou pré-esforçado (p.e. não aderente)

Elementos de betão pré-esforçado(p.e. aderente)

Comb. quase-permanente de acções Combinação frequente de acções

X0, XC1 0.4 0.2

XC2, XC3, XC4

0.3

0.2(1)

XD1, XD2,XS1, XS2, XS3

Descompressão

(1) Deverá também verificar-se a descompressão para a combinação quase-permanente de acções

A segurança em relação ao estado limite de descompressão considera-se satisfeita se, nassecções do elemento, a totalidade dos cabos de pré-esforço se situar no interior da zonacomprimida e a uma distância de, pelo menos, 0.025 m ou 0.10 m relativamente à zonatraccionada, para estruturas de edifícios ou pontes, respectivamente.

Na prática, será preferível assegurar que nas secções do elemento não existem tracçõesao nível da fibra extrema que ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por efeitodos esforços actuantes, com exclusão do pré-esforço.

1.6. VALOR DA FORÇA DE PRÉ-ESFORÇO. DEFINIÇÃO DOS CABOS 1.6.1. Força máxima de tensionamento

De acordo com o EC2, a força máxima a aplicar num cabo de pré-esforço é dada pelaseguinte expressão

Pmáx = Ap p,máx

onde,

p,máx = min (0.8 f pk; 0.9 f p0,1k) e representa a tensão máxima a aplicar aos cordõesna altura da aplicação do pré-esforço.

Após a transmissão da força para a ancoragem as tensões admissíveis são as seguintes:

p,máx = min (0.75 f pk; 0.85 f p0,1k)

1.6.2. Perdas de pré-esforço

Perdas instantâneas (8% – 15%)

Pós-tensão

Perdas por atrito


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Perdas por reentrada de cabos

Perdas por deformação instantânea do betão

Pré-tensão

Relaxação da armadura até à betonagem

Escorregamento nas zonas de amarração

Deformação instantânea do betão

Perdas diferidas (12% – 15%)

Perdas por retracção do betão

Perdas por fluência do betão

Perdas por relaxação da armadura

P0’ (força de tensionamento) 8% – 15%

P0 12% – 15%

P

P0 – força de pré-esforço após perdas imediatas

P – força de pré-esforço útil ou a tempo infinito

1.6.3. Definição dos cabos

Realizado o pré-dimensionamento da força útil de pré-esforço é possível estimar oscabos a adoptar assumindo valores correntes das perdas de pré-esforço.

Este cálculo tem interesse, por exemplo, para aferir se as dimensões adoptadas para assecções são suficientes para conduzir a uma pormenorização adequada das armaduras depré-esforço.

Supondo que para um determinado traçado de cabo se assumia na secção condicionantepara as perdas diferidas um valor de 14% e para as perdas imediatas um valor de 10%, ovalor da força de tensionamento dos cabos seria o seguinte:

P0 =P

0.86

P0’ =P0 0.9

Considerando que os cabos eram tensionados a 75% da força de rotura, a área dearmadura de pré-esforço necessária e o número de cordões seria:

P0' = 0.75 F

pk A

p = P0'

0.75 1860 103


24/213


20

nº de cordões = Ap Acordão

Por questões de economia, há vantagem em utilizar os cabos standard dos sistemas depré-esforço.


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21

EXERCÍCIOPE1

Considere a viga indicada na figura seguinte.

e 1 = 0.15 e 2 = 0.38 e 5e 3 e 4 = -0.22 e 6 = -0.10

8.00 8.00 4.00 1.00 4.00

Parábola Parábola ParábolaParábola Recta

A B C D

Secção Transversal da Viga:

1.50

0.20

0.50

0.20

0.30

0.80

0.53

0.37

Propriedades geométricas da secção:

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m4

Materiais:C30/37

A400NR

A1670/1860 (baixa relaxação)

Considere que a viga se encontra submetida às seguintes acções:

Q

q

pp + rcp

- Cargas permanentes ( g = 1.35): pp = 15.25 kN/m; rcp = 14.75 kN/m

- sobrecargas ( q = 1.5; 1 = 0.6; 2 = 0.4): q = 20 kN/m e Q = 100 kN

Nota: q e Q actuam em simultâneo

a) Determine o diagrama de tensões na secção B para a combinação de acções quasepermanentes e para uma força de pré-esforço de 1000 kN.


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22

b) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a descompressão para acombinação quase permanentes de acções, nas secções B e C?

c) Qual o valor de P que seria necessário para garantir a condição c < f ctk para

combinação frequente de acções nas secções B e C?d) Determine as equações que definem o traçado do cabo representado na figura.

e) Represente as cargas equivalentes do pré-esforço para uma força de pré-esforço de1000 kN.

f) Qual o valor de P que seria necessário para contrariar 80% de deformação máximapara a combinação de acções quase-permanentes?

g) Defina que tipo de cabo adopta e qual a força de puxe. Admita: P = 0.86 P0 e

P0 = 0.90 P’0. Admita que os cabos são tensionados a 0.75 f pk.

h) Calcule a área de armadura ordinária longitudinal de modo a garantir a segurança emrelação ao estado limite último de flexão.

i) Calcule a área de armadura transversal.

j) Calcule o valor das perdas instantâneas (atrito, reentrada de cunhas e deformaçãoinstantânea do betão) e o alongamento previsto dos cabos.

l) Calcule as perdas diferidas (fluência e retracção do betão, e relaxação dasarmaduras).

m) Verifique a segurança na zona das ancoragens.


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23

RESOLUÇÃO DOEXERCÍCIOPE1

ALÍNEA A)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanentes

pcqp = cp + 2 sc = 15.25 + 14.75 + 0.4 20 = 38 kN/m

Qcpq = 2 Q = 0.4 100 = 40 kN

p cqp

Qcqp

R 1 R 2

20.00 5.00

DEV

[kN]

DMF

[kNm] 8.00

(+)

1554.0

(-)

675.0

(+) (+)

(-)

346.3

413.8

230.040.0

MC = 0 – R1 20 + 38 20 10 – 40 5 – 38 5 2.5 = 0 R1 = 346.3 kN

R2 = 38 (20 + 5) + 40 – 346.3 = 643.8 kN

2. Cálculo das tensões na secção B

(i) Características geométricas da secção B

0.37

0.530.38

1.50

G

A = 0.61 m2

I = 0.0524 m2

winf =I

vinf =0.0524

0.53 = 0.09886m3

wsup =I

vsup =0.0524

0.37 = 0.1416m3


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24

(ii) Diagramas de tensões na secção B devidas à cqp e ao pré-esforço

(-)

P

Mcqp

P / A

+

(+)

(-)

P x e

(-)

(+)

Mcqp

+

inf = -P A -

P ewinf +

Mcqp winf = -

10000.61 -

1000 0.380.09886 +

1554 0.09886 = 10.2MPa

sup = -P A +

P ewsup -

Mcqp wsup = -

10000.61 +

1000 0.380.1416 -

15540.1416 = - 9.9MPa

ALÍNEA B)

1. Secção B

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

MB

P

(-)

MB P x e

inf < 0 -P A -

P ew +

MB w < 0 -

P 0.61 -

P 0.380.09886 +

1554 0.09886 < 0

P > 2866.8 kN

2. Secção C

MC (-) + +

(+)

P

(-)

MC P x eP / A

(+)(-)

sup < 0 -P A -

P ew +

MC w < 0 -

P 0.61 -

P 0.220.1416 +

675 0.1416 < 0

P > 1492.9 kN

P > 2866.8 kN


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25

ALÍNEA C)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções frequente

pfr = cp + 1 sc = 15.25 + 14.75 + 0.6 20 = 42 kN/m

Qfr = 1 Q = 0.6 100 = 60 kN

p fr

20.00

DMF[kNm] 8.00

1686.0

(+)

R 1

825.0

(-)

5.00

R 2

Q fr

MB = 0 – R1 20 + 42 20 10 – 60 5 – 42 5 2.5 = 0 R1 = 378.8 kN

R2 = 42 (20 + 5) + 60 – 378.8 = 731.3 kN

2. Secção B

inf < f ctk -P A -

P ew +

MB w < f ctk -

P 0.61 -

P 0.380.09886 +

16860.09886 < 2 10

3

P > 2745.6 kN

3. Secção C

sup < f ctk -P A -

P ew +

MC w < f ctk -

P 0.61 -

P 0.220.1416 +

8250.01416 < 2 10

3

P > 1198.3 kN

P > 2745.6 kN


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26

1.7. CARACTERÍSTICAS DOS TRAÇADOS PARABÓLICOS

1.7.1. Equação da parábola

Equação geral da parábola: y = ax 2 + bx + c

(para determinar os parâmetros a, b e c é necessário conhecer 3 pontos)

x1 x3 x2

y1y2y3

Caso se utilize um referencial local:

1) x

y

y = ax 2 + c

(y’ (0) = 0 b = 0)

2)

x

y

y = ax 2

(y’ (0) = 0 b = 0 e y (0) = 0 c = 0)

Determinação do parâmetro a

f

f

L/2L/2

tg = 2fL/2 =4fL

i) y’ (L/2) = 2a L/2 = tg a = 4fL2 ou

ii) y (L/2) = f a

L

2

2

= f a = 4f

L2

Determinação da curvatura da parábola

1R = y" (x) = 2a =

8fL2

1.7.2. Determinação do ponto de inflexão entre dois troços parabólicos

e 1f 1

L1 L2

e 2f 2


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27

O ponto de inflexão do traçado encontra-se na linha que une os extremos. Deste modo,

f 1 L1 =

e1 + e2 L1 + L2 f 1 =

L1 L1 + L2 (e1 + e2) e f 2 = (e2 + e1) – f 1

1.7.3. Determinação do ponto de concordância troço parabólico – troço recto

L1

f f

e

L2

tg = e - f

L1 = e + f

L2 (e – f) L2 = (e + f) L1 e L2 – f L2 = e L1 + f L1

f L1 + f L2 = e L2 – e L1 f (L1 + L2) = e (L2 – L1) f =e (L2 - L1)

L1 + L2

1.8. CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO

A acção do pré-esforço pode ser simulada através de cargas – cargas equivalentes de pré-esforço.

1.8.1. Acções exercidas sobre o cabo (situação em que se aplica a tensão nos

cabos simultaneamente nas duas extremidades)

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas, exercidas pelo betão.

1.8.2. Acções exercidas sobre o betão

Forças nas ancoragens;

Forças radiais e tangenciais uniformemente distribuídas iguais e directamenteopostas às que o betão exerce sobre o cabo.


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28

1.8.3. Determinação das cargas equivalentes

1.8.3.1. Zona das ancoragens

P P

P tg

P ee

Nota: tg sen e cos 1

1.8.3.2. Traçado parabólico

Considere-se o seguinte troço infinitesimal de cabo de pré-esforço, e as acções que obetão exerce sobre este,

R

P+dPP

d

q* ds

ds

d /2

ds = R d d ds =1R

P d 2 + (P + dP)d 2 = q* ds

P d = q* ds q* = P d ds ou q* =PR

Notas:

- ângulo muito pequeno sen d 2 d 2

tg d 2 e cos

d 2 1;

- consideram-se desprezáveis as componentes horizontais das forças de desvio.Para um cabo com o traçado parabólico ilustrado,

f

f

L/2 L/2

tg = d 2 =2 fL/2 =

4 fL d =

8 fL (1)

ds L (2)

A partir de (1) e (2), obtém-se

d ds =

8 fL

2 q* =

8 f PL

2


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29

1.8.3.3. Traçado poligonal

L1

f Q*

Q*q*

s

tg = fL1

Q* = P tg = P fL1

q* = Q* / s

Nas figuras seguintes apresentam-se as cargas e os esforços equivalentes para doistraçados de cabo diferentes.


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30

Cabo com traçado parabólico

Cabo com traçado rectilíneo

O pré-esforço introduz no elemento um conjunto de esforços em cada secção designadospor esforços isostáticos definidos da seguinte forma:

Esforçosequivalentes


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31

N = - P

M = - P e

V = - P tg

Ilustra-se seguidamente um exemplo interessante que mostra as potencialidades do pré-esforço e o modo como o engenheiro pode explorar essas potencialidades para controlaro comportamento estrutural.

No exemplo mostra-se uma forma de anular a flexão, esforço transverso e torçãoinduzidos por uma carga exterior na extremidade de uma consola com as forçasequivalentes ao pré-esforço.

A resultante dos esforços é apenas o esforço axial com valor igual a 2P

P.tg = Q

y

xP

P e

P tg

P

G

e


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32

RESOLUÇÃO DOEXERCÍCIOPE1 (CONTINUAÇÃO)

ALÍNEA D)

8.008.00

Parábola 1

e 2 = 0.38

Parábola 3

4.00

Parábola 2 RectaParábola 4

4.001.00

e 4 = -0.22 e 6 = -0.10e 1 = 0.15

(i) Parábola 1

8.00

0.23x

y

y = ax2

y(8) = 0.23 a 82

= 0.23 a = 3.59375 10-3

y(x) = 3.59375 10 -3 x 2

(ii) Parábola 2

1. Determinação das coordenadas do ponto de inflexão

12.00

0.6

8.00x

128 =

0.6x x = 0.4

2. Determinação da equação da parábola

8.00

x

y

0.4

y = ax2

y (8) = 0.4 a = 6.25 10-3

y (x) = 6.25 10 -3 x 2

(iii) Parábola 3

x

y4.00

0.2

y = ax2

y (4) = 0.2 a = 0.0125

y (x) = 0.0125 x 2


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33

(iv) Parábola 4 e troço recto

x

yx

y 1.00 4.000.12

1. Determinação das coordenadas do ponto de concordância

f f

1.0

y’ (1) = tg = 2 f

tg = 0.12 + f5

2 f = 0.12 + f5 10 f = 0.12 + f f = 0.01333 m

2. Determinação das equações da parábola e do troço recto

Parábola 4: y (1) = 0.01333 y (x) = 0.01333 x 2

Troço recto: y = mx + b = 2 0.01333 x y (x) = 0.02667 x

ALÍNEA E)

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas (considerando P = 1000kN)

q = 8 f P L2

Parábola f (m) L (m) q (kN/m)

1 0.23 16 7.2

2 0.4 16 12.5

3 0.2 8.0 25.0

4 0.0133 2.0 26.6

2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

Extremidade Esquerda

tg = y’ (8) = 2 3.59375 10-3 8 = 0.0575

P tg = 57.5 kN

P e = 1000 0.15 = 150.0 kNm

Extremidade Direita

tg = y’ (1) = 0.02667


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34

P tg = 26.7 kN

P e = 1000 0.10 = 100.0 kNm

1.008.00

26.6 kN/m

8.00

25.0 kN/m

12.5 kN/m7.2 kN/m

4.00 4.00

57.5 kN

1000 kN

150.0 kNm1000 kN

26.7 kN

100.0 kNm

Repare-se que o somatório das cargas verticais é nulo

Feq = - 57.5 + 7.2 8 + 12.5 8 - 25.0 4 - 26.6 1 + 26.7 0

ALÍNEA F)

1. Determinação da flecha elástica na viga para a combinação de acções quase-permanentes

Através de tabelas de flechas elásticas de vigas contínuas, a deformação a meio vão dotramo apoiado é dada por:

= 1EI5pL4 384 +

L2 16 ( )M1 + M2

onde M1 e M2 representam os momentos flectores nas extremidades do tramo e entram

na expressão com o sinal de acordo com a convenção da resistência de materiais.Deste modo,

= 133 106 0.05245 38 204

384 +202 16 ( )0 - 675.0 = 0.036 m

2. Determinação da flecha elástica na viga para o efeito do pré-esforço

A flecha elástica para o efeito de pré-esforço pode ser obtida considerando a actuação

das cargas equivalentes ao pré-esforço na viga. Deste modo, para P = 1000 kN (cargas

equivalentes calculadas na alínea anterior), obteve-se a seguinte deformada:

= 0.010 m

3. Determinação da força útil de pré-esforço necessária para contrariar 80% dadeformação máxima para a combinação de acções quase-permanentes

pe = 0.8

cqp = 0.8 0.036 = 0.029 m

P = 1000 0.029/0.010 = 2900 kN


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35

1.9. VERIFICAÇÃO DASEGURANÇA AOSESTADOS LIMITEÚLTIMOS

1.9.1. Estado limite último de flexão

1.9.1.1. Pré-esforço do lado da resistência

Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = g Mg + q Mq

x

Msd

LN

Ap

A s

Fp

F s

0.8x

0.85f cdFc

b

Fc = 0.85 f cd 0.8 x b

Fp = Ap f pd = Ap f p0,1k 1.15

Fs = As f yd

Através das equações de equilíbrio,

(i) Equilíbrio de momentos ( M As = Msd x = ...)

Forças exteriores: Msd

Forças interiores: M As = Fc (ds – 0.4x) - Fp (ds - dp)

(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0 Fc = Fp + Fs As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) f pd = p =P Ap

1.9.1.2. Pré-esforço do lado da acção

Pelo método do diagrama rectangular simplificado,

Msd = g Mg + q Mq + Mpe

b

Fc0.85f cd

0.8x

F s

Fp

A s A p

LN

Msd

x

e

P

Fc = 0.85 f cd 0.8 x b

Fp = Ap (f pd - p) = Ap

f pd - P Ap

Fs = As f yd


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36

Através das equações de equilíbrio,

(i) Equilíbrio de momentos ( M As)

Forças exteriores: M As = Msd + P (ds - h/2)

Forças interiores: M As = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp)

Msd + P (ds - h/2) = Fc (ds - 0.4x) - Fp (ds - dp) x = ...

(ii) Equilíbrio de forças ( F = P Fc = Fp + Fs + P As = ...)

Nota: No caso do cabo ser não aderente (monocordão, p.ex.) (f pd - p) = 0 Fp = 0

Determinada a posição da linha neutra (x), é necessário definir o diagrama de extensõesna rotura e verificar se as tensões nas armaduras ordinárias e de pré-esforço são as de

cálculo.

A s Ap

LN

b

x

c

s

p0p

p = p + p0, com p0 =P

Ap Ep

Se algum cabo não atingir a tensão de cálculo f pd, será necessário adoptar um métodoiterativo (método geral)

As Ap

LN

b

x

p ( p0 + p)

M

c

s

p0p

c ( c)

s ( s)

N

Por exemplo, determina-se x tal que N 0. Então M = MRd.


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1.9.2. Estado limite último de esforço transverso

O efeito do pré-esforço na resistência ao esforço transverso da viga é traduzido pela

componente vertical da força do cabo conforme esquematizado na figura seguinte.

Em geral, considera-se o pré-esforço do lado da acção. A verificação da segurança érealizada de acordo com o seguinte formato.

VRd VSd - P tg

(i) Cálculo da armadura transversal: Asw s =VSd - P tg z cotg f yd

(ii) Verificação da tensão de compressão: c =Vsd - P tg

z bw sen cos 0.6 1 -f ck

250 f cd

(iii) Consideração do efeito do esforço transverso nas armaduras longitudinais (no apoio

As f yd (Vsd - P tg ) cotg 1

Notas:

Para elementos comprimidos (caso de elementos pré-esforçados) 22 a 26 ;

Caso o somatório do diâmetro das bainhas de pré-esforço existentes numdeterminado nível seja superior a 1/8 da largura da secção a esse nível, deveconsiderar-se a largura a esse nível reduzida de metade da soma dos diâmetrosdas bainhas.

Bainhas metálicas injectadas:

bw,nom = bw – 0.5 Ø

Bainhas não injectadas, bainhas plásticas injectadas e armaduras não aderentes:

bw,nom = bw – 1.2 Ø

Estes requisitos resultam do efeito do cabo na redução da resistência à compressão daalma. A figura seguinte ilustra o esmagamento da alma de uma viga ao longo do cabo depré-esforço por acção do esforço transverso.


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39

RESOLUÇÃO DOEXERCÍCIOPE1 (CONT.)

ALÍNEA G)

P = 2866.8 kN (valor resultante da verificação da descompressão)

P0 =P

0.86 =2866.8

0.86 = 3333.5 kN

P0’ = P0 0.9 =

3333.50.9 = 3703.9 kN

P0' = 0.75 Fpk Ap =P0'

0.75 1860 103 104 = 26.6 cm2

nº de cordões = Ap Acordão

= 26.61.4 = 19 cordões 2 cabos de 10 cordões de 0.6"

P0’ = 10 2 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 3906 kN

ALÍNEAH)

psd = 1.35 (15.25 + 14.75) + 1.5 20 = 70.5 kN/m

Qsd = 100 1.5 = 150 kN

20.00

R 15.00

R 2

150

70.5

C A

MC = 0 - R1 20 + 70.5 25 7.5 – 150 5 = 0 R1 = 623.4 kN

MB = 2731.5 kNm

Secção B

1. Cálculo da armadura de flexão pelo método do diagrama rectangular

Hipótese: LN no banzo da secção

F s

Fp

Fc0.85f cd0.8x

Msd

1.50

LN


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40

Fp = Ap f p0,1k 1.15 = 28 10

-4 16701.15 103 = 4066.1 kN

Fs = As f yd = As 348 103

Fc = 1.5 0.8x 0.85 20 103

= 20400x(i) Equilíbrio de momentos ( M As = Msd)

Fc (0.85 - 0.4x) - Fp 0.10 = Msd 20400x (0.85 - 0.4x) = 2731.5 + 4066.1 0.10 x = 0.20 m

Fc = 20400 0.20 = 4080 kN

(ii) Equilíbrio de forças ( F = 0)

Fc – Fp – Fs = 0 4080 – 4066.1 – As 348 103

= 0 As = 0.4 cm2

(iii) Verificação da hipótese de cedência das armaduras

LN

p p0

s

c

0.20

Hipótese: c = 3.5‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras ordinárias

s 0.85 - 0.20 =

3.5‰0.20 s = 11.4‰

Determinação da extensão ao nível das armaduras de pré-esforço

p 0.75 - 0.20 =

3.5‰0.20 p = 9.6‰

p0 =P

Ap Ep =3050

28 10-4 195 106 = 5.6‰

p = p0 + p = 15.2‰ > pyd =f pyd Ep =

1670 / 1.15195 103 = 7.4‰

2. Cálculo da armadura pelas tabelas de flexão simples (método aproximado)

Hipótese: deq dp = 0.75 m

= Msd b d2 f cd = 2731.51.5 0.752 20 103 = 0.162 = 0.181 ; As,tot = 117.3 cm2


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42

1. Cálculo da armadura transversal

Asw s =

Vsd z cotg f yd =

376.81.64 348 103 10

4 = 6.6 cm2/m

2. Verificação da tensão de compressão nas bielas inclinadas

c =Vsd

z bw sen cos =376.8

0.9 0.85 0.26 sen 25 cos 25 = 4946 kN/m2 4.9 MPa

0.6 1 - f ck 250 f cd = 0.6 1 -30250 20 10

3 = 10560 kN/m2 = 10.6MPa

3. Cálculo da armadura longitudinal no apoio de extremidade

As f yd = V cotg 1 As =Vsd cotg 1

f yd

=458.6 cotg 37

348 103

104 = 17.6 cm2

cotg 1 =

b2 +

z2 cotg

z = 0.5bz + 0.5 cotg

b = 0.4 cotg 1 = 0.5 x 0.4/(0.9x0.85) + 0.5 x 2 =1.333 (1 = 37º)


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48/213


44

e1 e2

P e2

PP e1

P

P

P e2

P tg q = P / R

P

P e1

ou

2)

xG2 xG1

xG2 - xG1

P(x G2 - x G1 ) P(x G2 - x G1 )

1.11. EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO EM ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Os esforços hiperestáticos em elementos pré-esforçados surgem devido ao facto daestrutura estar impedida de se deformar livremente.

Exemplos

1) Considere-se a seguinte viga pré-esforçada.

Caso não existisse o apoio central ( sistema base ), a deformada da viga seria a abaixoilustrada.


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45

Devido ao facto do deslocamento vertical a meio da viga estar restringido surgemreacções verticais ( reacções hiperestáticas ), correspondendo a do apoio central à forçaque seria necessário aplicar nesse ponto para que o deslocamento fosse nulo.

Apresentam-se em seguida o diagrama de esforço transverso e momentos flectoreshiperstáticos, bem como o diagrama de momentos flectores isostáticos.

DEV hip(+)

DMF hip

(+)

(-)

DMF isost

(-)

P e

2) Para um traçado dos cabos de pré-esforço parabólico, o raciocínio é semelhante.

Deformada no sistema base

Deformada real

Reacções hiperestáticas


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46

Diagramas de esforços hiperestáticos

DMF hip

(+)

DEV hip(+)

(-)

Diagramas de esforços isostáticos

DMF isost

(-)P e

(-)(+)

DEV isost(+)

(-)(-)

(+)

P tg

Os esforços hiperestáticos deverão ser considerados não só no cálculo de tensõesnormais devidas ao pré-esforço, mas também para a verificação da segurança aosestados limites últimos de flexão e esforço transverso.


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48

RESOLUÇÃO DOEXERCÍCIOPE2

ALÍNEA A)

e = 0.188 m

Parábola 1 Parábola 2 Parábola 3

e = 0.352 me = 0.10 m

7.005.00 2.00

1. Cálculo das cargas equivalentes uniformemente distribuídas

q = 8 f P L2

Parábola f (m) L (m) q (kN/m)

1 0.252 10.0 0.0202

2 0.420 14.0 0.0171

3 0.120 4.0 0.060

Determinação da coordenada do ponto de inflexão entre as parábolas 2 e 3

0.352 + 0.1887 + 2 =

x7 x = 0.42 m

2. Cálculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

P tg = 4 fL P =4 0.252

10 P = 0.1008 P

P e = P 0.10

7.000.10 P

P

5.00

0.1008 P 0.0202 P

2.00

0.0171 P

0.060 P


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49

ALÍNEA B)

1. Determinação dos esforços para a combinação de acções quase-permanente

(i) Diagramas de esforços para uma carga p

(+)

5.00

A

B

13.75 p

24.5 p

(-)

(+)

p

14.00 14.00

(ii) Momentos flectores para a combinação de acções quase-permanente

pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m

Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm

2. Verificação da descompressão

(i) Características geométricas da secção transversal

0.482

0.318

0.80

0.40

1.00

A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m2

winf =I

vinf =0.0200.482 = 0.0415 m

3

wsup =I

vsup =0.0200.318 = 0.063 m

3

(ii) Secção A

M A

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

(-)

M A

P

Mpe

inf = -P A -

Mpe winf +

M A winf < 0 -

P 0.44 -

0.293 P 0.0415 +

583 0.0415 < 0 P > 1505.2 kN


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52

1.12. PERDAS DE PRÉ-ESFORÇO

1.12.1. Perdas por Atrito

d /2

P q* ds

d

P+dP

q* ds = P d

ds

(Fa = N)

q* ds = P d

Por equilíbrio de forças horizontais,

P - P - dP – P d = 0 dP = – P d dPP = – d

P0'

P0 1P dP = 0 - d Log P0 - Log P0' = - LogP0 P0' = –

P0 P0' = e- P 0 = P 0 ’ e-

Para uma secção genérica à distância x da extremidade de tensionamento,

P0 (x) = P0’ e- ( +kx)

onde,

representa o coeficiente de atrito (usualmente toma valores entre 0.18 e 0.20);

representa a soma dos ângulos de desvio;

k representa o desvio angular parasita (valor máximo 0.01 m -1; geralmente 0.004 a0.005m-1), que tem em consideração eventuais desvios no posicionamento doscabos de pré-esforço.

Esta expressão também pode aparecer com a forma,

P0 (x) = P0’ e-( + k’x) (neste caso k’ = k e representa o coeficiente de atrito em recta)


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53

1.12.2. Perdas por reentrada das cunhas (ou dos cabos)

P

P 0 '

P 0(x)

x

P

L

L – comprimento de reentrada das cunhas ( 6mm)

– comprimento até onde se faz sentir as perdas por reentrada das cunhas

Admitindo que o diagrama de perdas por atrito é aproximadamente linear (cabo comcurvatura aproximadamente constante),

L = 0

dx = 0 Ep dx =

1 Ep Ap 0 P dx Adiagrama = L Ep Ap

P 2 = L Ep Ap

(1)

ComoP2 = p P = 2 p

(2)

onde p representa a perda de pré-esforço por atrito, por metro (declive do diagrama)

Substituindo (2) em (1) obtém-se,

2 p 2 = L Ep Ap =

L Ep Ap p

1.12.2.1. Casos particulares

(i) Cabo sem perdas por atrito, (em pré-esforço exterior, p.ex.)

x

P

P 0'

P

L E p Ap

L

P L = L Ep Ap

P = L Ep ApL

L – comprimento do cabo


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54

(ii) Se > L (verifica-se em cabos muito curtos, sendo nesse caso a perda de pré-esforçomais condicionante)

P

P 0'

P

L x

p L

L E p Ap

P L –p L L= L Ep Ap

P = LL Ep Ap + p L

L – comprimento do cabo

1.12.3. Perdas por deformação instantânea do betão

A perda de força de pré-esforço média por deformação instantânea (ou elástica) do

betão, em cada cabo, pode ser calculada através da seguinte expressão:

Pel = Ap Ep j c(t)

Ecm(t)

onde,

Ecm(t) representa o módulo de elasticidade do betão à data da aplicação do pré-esforço;

j = (n-1) / 2n , onde n representa o nº de cabos de pré-esforço idênticos,tensionados sucessivamente, existentes na mesma secção transversal;

c(t) representa a variação de tensão no betão, ao nível do centro de gravidadedos cabos de pré-esforço, devida ao efeito do pré-esforço (após perdas por atrito ereentrada das cunhas) e de outras acções permanentes actuantes.

1.12.4. Cálculo do alongamento teórico dos cabos de pré-esforço

L = 0 L dz =

0

L P Ap Ep dz =1

Ap Ep 0 L P dz

P após atrito[kN]

P 0'

L x m

P após at. (L)

L P0' + Papós atrito (L)2 Ap Ep L

Este valor permite um controlo eficaz, em obra, da tensão instalada nos cabos.


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56

2. Cálculo das perdas por reentrada das cunhas

(i) Determinação do comprimento de reentrada das cunhas ( )

1ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 5 10 15 20 25

Força de pré-esforço ao longo do cabo, após perdas por atrito

x = 8.0m p = 3906 - 3836.78 = 8.66 kN/m

= L Ep Ap p =0.006 195 106 20 1.4 10-4

8.66 = 19.4 m

2ª Iteração

3000

3200

3400

3600

3800

4000

0 5 10 15 20 25

x = 20.0m p = 3906 - 365120 = 12.75 kN/m (admitindo que a perda por atrito é

aproximadamente linear)

= 0.006 195 106 20 1.4 10-4

12.75 = 16.03 m

(ii) Determinação das perdas por reentrada das cunhas

P = 2p = 2 12.75 16.03 = 408.8 kN

408.8

0 8 16.0316

204.80.8

408.8x =

16.038.03 x = 204.8 kN

408.8x = 16.030.03 x = 0.8 kN


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ALÍNEA C)

1. Cálculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0’ e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)

7.00

Parábola 2

5.00

Parábola 1

e = 0.10 m e = 0.352 m

2.00

Par. 3

e = 0.188 m

Par. 3 Parábola 2 Parábola 1

7.00 5.002.00

1 2 3 4 5 6 7

Cálculo da força de tensionamento

P0’ = 14 1.4 10-4 0.75 1860 103 = 2734.2 kN

Cálculo dos ângulos de desvio

(i) Parábola 1

1 tan 1 =4fL =

4 0.25210 = 0.101

(ii) Parábola 2

2 =4fL =

4 0.4214 = 0.120

Secçãox

(m) (rad)Papós atrito

(kN)

1 0 0 2734.2

2 5.0 0.101 2668.8

3 12.0 0.221 2591.0

4 14.0 0.341 2525.5

5 12.0 0.221 2591.0

6 5.0 0.101 2668.8

7 0 0 2734.2


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59

1.12.5. Perdas por retracção do betão

= Ep cs P

Ap = Ep cs P = – E p A p cs

cs – extensão de retracção do betão ( 3.0 10-4)1.12.6. Perdas por fluência do betão

c = c c Ecm

= Ep c P

Ap =Ep c c

Ecm P = – A p E p c c

E cm

c – tensão ao nível do cabo de pré-esforço, devido às cargas permanentes e ao efeito

do pré-esforço (considerando a força de pré-esforço após perdas imediatas).

1.12.7. Perdas por relaxação da armadura

Em armaduras de alta resistência, as perdas a longo prazo devidas à relaxação são daordem de:

Aços de relaxação normal P < 15%

Aços de baixa relaxação P < 6%

Aços de muito baixa relaxação P = 2 a 4%

Segundo o EC2 e para efeitos da caracterização da relaxação, as armaduras de altaresistência agrupam-se em três classes:

Classe 1: aço em fio ou cordão, com relaxação normal ( 1000 = 8%)

Classe 2: aço em fio ou cordão, com baixa relaxação ( 1000 = 2.5%)

Classe 3: aço em barra ( 1000 = 4%)

O parâmetro 1000 representa a perda por relaxação às 1000 horas, de um provetetensionado a 70% da rotura e mantido a uma temperatura constante de 20 C.

A perda de tensão por relaxação pode ser calculada através das seguintes expressões,consoante a classe da armadura:

(i) Classe 1: pr = 0.8 5.39 1000 e6.7

t

1000 0.75 (1- )

pi 10-5

(ii) Classe 2: pr = 0.8 0.66 1000 e9.1

t

1000 0.75 (1- )

pi 10-5


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60

(iii) Classe 3: pr = 0.8 1.98 1000 e8

t

1000 0.75 (1- )

pi 10-5

onde,

pi representa a tensão instalada nas armaduras de pré-esforço após perdasimediatas;

t representa o tempo, em horas, para o qual se pretende calcular as perdas de pré-

esforço por relaxação (poderá considerar-se t = 500000 horas 57 anos);

= pi / f pk


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61


ALÍNEAL)

1. Perdas por retracção do betão

Considerando cs = - 3.0 10-4,

P = Ep Ap cs = 195 106 28 10-4 3.0 10-4 = 163.8 kN

2. Perdas por fluência do betão

Secção 2

Considerando c = 2.5

P = Ap Ep c c

Ecm =28 10-4 195 106 6.4 103 2.5

33 106 = 264.7 kN

Cálculo de c

8.00

281.3

15.25+14.75=30

Mcp

Mcp = 1290 kNm

Mpe = 3585.6 0.38 = 1362.5 kNm

c =Mcp v

I -P

A -Mpe v

I =1290 0.38

0.0524 -3585.60.61 -

1362.5 0.380.0524 = - 6.40 MPa

3. Perdas por relaxação das armaduras

Secção 2

Para aço em fio ou cordão com baixa relaxação, 1000 = 2.5%.

pr = 0.8 0.66 1000 e9.1

t

1000 0.75 (1- )

pi 10-5 =

= 0.8 0.66 2.5 e9.1 0.69 5000001000 0.75 (1-0.69)

1280.6 10-5 = 38.2MPa

pi =3585.6

28 10-4 = 1280.6MPa

= pi f pk =1280.61860 = 0.69

Ppr = 38.2 103 28 10-4 = 107.0 kN

Pp,r+s+c = 163.8 + 264.7 + 107.0 = 535.5 kN Psecção 2

= 3585.6 - 535.5 = 3050 kN% perdas diferidas 14.9%


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62

1.13. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA NAS ZONAS DAS ANCORAGENS

Nas zonas de vizinhança da actuação de cargas concentradas não são válidas ashipóteses da resistência de materiais para peças lineares: a força concentrada étransmitida ao betão sob a forma de tensões elevadas distribuídas na superfície da placade distribuição da carga, existindo uma zona de regularização entre a secção deaplicação da carga e aquela em que as tensões se distribuem linearmente. Nesta zona,devido à trajectória das tensões principais de compressão, surgem forças de tracção nasdirecções transversais.

Trajectórias das tensõesTracçãoCompressão

Deste modo, a verificação da segurança nas zonas das ancoragens consiste em limitaras tensões de compressão localizadas no betão e dimensionar armaduras para absorçãodas forças de tracção que surgem devido à acção da carga concentrada.

1.13.1. Verificação da segurança ao esmagamento do betãoImediatamente sob a zona de aplicação da carga concentrada surgem tensões decompressão na direcção transversal. Este facto permite aumentar o valor das tensõesadmissíveis a considerar na verificação da pressão local no betão, desde que o mesmoesteja correctamente confinado.

De acordo com o EC2 (parágrafo 6.7), o valor resistente da força concentrada, aplicadacom uma distribuição uniforme numa determinada área Ac0, pode ser determinado

através da expressão:

FRdu = Ac0 f cd Ac1 Ac0 3.0 f cd Ac0


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63

onde,

Ac0 representa a área sobre a qual se exerce directamente a força (área da placa deancoragem);

Ac1 representa a maior área homotética a A c0, contida no contorno da peça, com omesmo centro de gravidade de A c0 e cuja dimensão dos lados não pode exceder emtrês vezes a dimensão dos lados correspondentes de A c0. No caso da existência devárias forças concentradas, as áreas correspondentes às várias forças não sedevem sobrepor.

Dado que, em geral, a aplicação do pré-esforço é efectuada antes do betão atingir a

idade de 28 dias, o valor de f cd deve ser substituído por f ck,j / c, representando f ck,j o valorcaracterístico da tensão de rotura à compressão aos j dias.

1.13.2. Determinação das Armaduras de Reforço na Zona das Ancoragens

De acordo com o parágrafo 8.10.3 do EC2, a avaliação das forças de tracção que surgemdevido à aplicação de forças concentradas deve ser efectuada recorrendo a modelos deescoras e tirantes.

A armadura necessária deverá ser dimensionada considerando uma tensão máxima de300 MPa. Esta medida destina-se a garantir o controlo da fendilhação, e tem em conta adificuldade de garantir uma boa amarração.

1.13.2.1. Modelos de escoras e tirantes

Os modelos de escoras e tirantes (“strut -and-tie models”) identificam os campos detensões principais que equilibram as acções exteriores, correspondendo as escoras aoscampos de tensões de compressão e os tirantes aos de tracção.


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64

Estes modelos aplicam-se na análise e dimensionamento de zonas de descontinuidade,como é o caso das zonas de ancoragem de cabos pós-tensionados (zonas de aplicaçãode cargas localizadas).

Para a sua elaboração torna-se necessário conhecer o comportamento elástico da zonaestrutural em análise, por forma a escolher o sistema que corresponde à menor energiade deformação, ou seja, o sistema onde existem mais escoras que tirantes, sendo assimnecessária menor quantidade de armadura. Há também que entrar em linha de contacom o facto de que, por as armaduras resistirem aos esforços de tracção e,consequentemente a sua orientação corresponder à dos tirantes, esta deverá ser a maisconveniente do ponto de vista construtivo.

1.13.2.2. Caso de uma só ancoragem

Através do modelo de escoras e tirantes que se apresenta em seguida, é possível obter ovalor da força de tracção.

P/2

P/2

P/2

P/2

De acordo com o Eurocódigo 2 , a força de tracção para a qual as armaduras devem serdimensionadas, é dada pela expressão:

Ft1sd = 0.25 Fsd

1 - a0 a1 (com Fsd = p P0’ = 1.20 P0’)

onde,

a1 = 2b, sendo b a dimensão, segundo a direcção considerada, da menor distânciaentre o eixo da ancoragem e a face exterior do betão;

a0 representa a dimensão segundo a direcção considerada, da placa da ancoragem.

a0 a1

Trajectórias das tensõesTracçãoCompressão

ModeloTirantesEscoras


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1.13.2.3. Disposição das armaduras

As armaduras devem, em cada direcção, ficar contidas num prisma de aresta a 1 e serrepartidas em profundidade entre as cotas 0.1a 1 e a 1, tendo em consideração que aresultante se situa à cota 0.4a 1 e devem ser convenientemente amarradas de forma agarantir o seu funcionamento eficiente ao longo do comprimento a1.

F

0.1a 1

a 1

a 0

a 1

b

A cada nível, as armaduras devem distribuir-se numa largura igual à dimensãocorrespondente da maior área delimitada por um contorno fictício contido no contorno dapeça, com o mesmo centro de gravidade da placa da ancoragem, na direcção normal àdirecção considerada.

No caso da ancoragem se encontrar fora do núcleo central da secção (ancoragemexcêntrica), além das armaduras já indicadas, deve dispor-se uma armadura junto àsuperfície do elemento, destinada a absorver na direcção em causa uma força detracção, como em baixo se ilustra

P

F t = F c2

e

Fc2

Fc1 = P

O valor da força de tracção pode ser obtido através da expressão:

Ft0sd = Fsd

e

a -16 (com Fsd = 1.20 P0’)

1.13.2.4. Caso de várias ancoragens

1.13.2.4.1. Ancoragens muito próximas

Um grupo de ancoragens muito próximas pode ser tratado considerando uma sóancoragem equivalente, sendo válidos os princípios indicados no ponto anterior. Deve no

a


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67

1.13.2.5. Aspectos particulares em estruturas pré-esforçadas

1.13.2.5.1. Ancoragens interiores

No caso de uma ancoragem interior, além das tensões transversais atrás mencionadas,

surgem tracções longitudinais atrás da ancoragem como resultado da deformação localdo betão. A resultante das tensões de tracção depende da relação entre a dimensão dazona carregada e a largura da difusão dos efeitos localizados.

Considerando uma análise elástica que assuma igual rigidez do betão atrás e à frente daancoragem, a força de tracção deveria ser, pelo menos, igual a P/2. Contudo, aexperiência mostra que a força de tracção longitudinal pode ser considerada igual a P/4pois, devido à fendilhação, a rigidez do betão atrás da ancoragem diminui, diminuindotambém a tensão instalada.

Devem pois dispor-se armaduras longitudinais centradas na placa da ancoragem com umcomprimento aproximadamente igual ao dobro da altura da secção.

CORTE LONGITUDINAL CORTE TRANSVERSAL

1.13.2.5.2. Forças de desvio

Sempre que um cabo de pré-esforço muda de direcção, são introduzidas forças radiaisno betão quando o cabo é tensionado. Estas forças radiais actuam no plano de curvatura

e têm uma intensidade igual ao quociente entre a força de pré-esforço e o raio decurvatura.


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68

Embora estas forças sejam na generalidade das situações muito úteis, podem no entantocausar diversos problemas, nomeadamente a rotura local do betão.

Nos casos em que os cabos estejam junto à face das peças e a sua curvatura provoqueforças de desvio dirigidas para o exterior é necessário dimensionar armadura transversalpara a absorção destas forças, devendo ser disposta em toda a zona em que actuem,como se indica na planta abaixo.

1.13.2.6. Disposições Construtivas

Nas zonas de aplicação de cargas localizadas deve adoptar-se uma disposição dearmaduras em várias camadas, constituídas por varões de pequeno diâmetro. Estasarmaduras devem ser bem amarradas fora da zona dos prismas em que se faz adispersão dos efeitos localizados.

A solução geralmente adoptada consiste em utilizar estribos fechados de dois ou maisramos, como se exemplifica a seguir.

PORMENOR TRANSVERSAL

eixo do cabo

armadura para resistirà força de desvio

armadura para resistirà força de desvio


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70

RESOLUÇÃO DOEXERCÍCIOPE1 (CONTINUAÇÃO)

ALÍNEA M)

Extremidade do lado esquerdo

0.37

0.30

0.23

0.30

0.38

Força de puxe: P 0’ = 10 1.4 10-4 1860 103 0.75 = 1953 kN

1. Verificação da pressão local do betão

(i) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço(considerando a geometria inicial da viga)

FRdu = 1.2 P0’ = 1.35 1953 = 2346.6 kN

FRdu = Ac0 f cd Ac1 Ac0 f cd =

FRdu Ac0 Ac1 / Ac0

= 2346.60.252 0.32 / 0.252 = 31242 kPa

f ck = 31242 1.5 = 46.9 MPa

Trata-se de um valor muito elevado pelo que se opta pelo aumento da espessura da almada viga de modo a baixar a exigência relativa a resistência do betão.

(ii) Determinação da resistência do betão necessária à data da aplicação do pré-esforço

(considerando um espessamento da alma da viga junto às extremidades)

0.33

0.38

0.190.38


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71

f cd =FRdu

Ac0 Ac1 / Ac0 = 2346.60.252 0.382 / 0.252 = 23733 kPa

f ck = 23733 1.5 = 35.6 MPa

2. Cálculo das armaduras de reforço na zona das ancoragens(i) Direcção horizontal

Ft1sd = 0.25 Fsd

1 - a0 a1 = 0.25 2346.6

1- 0.250.4 = 219.7 kN As =

247.230 = 7.32 cm

2

(ii) Direcção vertical

Tensionamento do primeiro cabo (cabo superior)

Ft1sd

= 0.25 2346.6

1- 0.25

2 0.33= 363.9 kN A

s = 363.9

30 = 12.13 cm2

Ambos os cabos tensionados

Ft1sd = 0.25 2346.6

1- 0.250.38 =200.4kN As =

200.430 = 6.68 cm

2


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73

Refira-se também que há muitas situações práticas em que as lajes nalgumas zonas seapoiam em vigas e, noutras, directamente em pilares.

2.1.2. Constituição

Monolíticas (só em betão armado)

Maciças (com espessura constante ou de variação contínua)

Aligeiradas

Nervuradas

Mistas (constituídas por betão armado, em conjunto com outro material)

Vigotas pré-esforçadas

Perfis metálicos

2.1.3. Modo de flexão dominante

Lajes “armadas numa direcção ” (comportamento predominantementeunidireccionall)

Lajes “armadas em duas direcções ” (comportamento bidireccional)

Saliente-se, como se verá adiante, que as lajes têm sempre armaduras nas duasdirecções. Esta denominação usual tem a ver, como referido, com a forma principal decomportamento.

2.1.4. Modo de fabrico

Betonadas “in situ”

Pré-fabricadas

Totalmente (exemplo: lajes alveoladas)

Parcialmente (exemplo: pré-lajes)

2.2. PRÉ-DIMENSIONAMENTO A espessura das lajes é condicionada por:


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Resistência – flexão e esforço transverso

Características de utilização – Deformabilidade, isolamento sonoro, vibrações,protecção contra incêndio, etc.

A espessura das lajes varia em função do vão. No que se refere a lajes maciças, emgeral, a sua espessura varia entre 0.12 m e 0.30 m. O valor inferior é, em geraldesaconselhável, até porque com as exigências actuais de recobrimento a sua eficiênciaà flexão é muito reduzida, como se compreende. Por outro lado, para espessuras acimados 0.30 m, o recurso a soluções aligeiradas é quase obrigatório, no sentido de aliviar opeso da solução. Excluem-se as zonas de capiteis onde o efeito do peso dessas zonasna flexão é reduzido.

2.3. VERIFICAÇÃO DASEGURANÇA

2.3.1. Estados Limites Últimos

2.3.1.1. Flexão

O funcionamento das lajes relativamente à flexão é idêntico ao das vigas. A diferençareside no facto das vigas, sendo elementos lineares, apresentarem um comportamentounidireccional, enquanto as lajes, sendo elementos bidimensionais, apresentam umcomportamento bidireccional.

Viga Laje

Numa laje, as armaduras de flexão são calculadas por metro de largura, ou seja,considerando uma secção com 1 m de base, e altura igual à da laje.

Nas lajes a ordem de grandeza dos momentos é, claramente, inferior ao das vigas, poiscomo se compreende os esforços podem-se distribuir por larguras maiores. O momento

flector reduzido ( ) nas secções mais esforçadas estará, em geral, contido no intervalo

0.10 < 0.20. Nalguns casos poderá ser mesmo inferior a 0.10, sem inconveniente.


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Relativamente ao valor superior não deverá ser ultrapassado, excluindo-se, nalgumassituações, a zona de momentos negativos sobre os apoios directos em pilares (soluçãofungiforme). Verifica-se, assim, que a ductilidade das lajes é uma característica intrínsecada solução o que, como sabemos, representa uma mais valia importante do

comportamento, com vantagens conhecidas na verificação da segurança à rotura.

2.3.1.2. Esforço Transverso

Em lajes, a transmissão de cargas para os apoios faz-se por efeito de arco e de consola ,conforme ilustrado nas figuras seguintes.

(i) Efeito de arco e consola

P

R

T

Efeito de arco

Efeito de consola

A participação relativa dos dois mecanismos na resistência ao esforço transversodepende da esbelteza da laje. Para esbeltezas baixas, ou para cargas importantes

próximas do apoio, o efeito de arco é mobilizável, mas para as situações correntes deesbeltezas mais elevadas e cargas distribuídas a participação do efeito de arco tende aser pequena como se compreende pela figura acima indicada.

T T+ T

T

VD1

1

VD2

2


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81/213


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fendilhação, por flexão, das lajes é pouco condicionante devido à pequena altura da zonatraccionada.

O controlo indirecto da fendilhação, de acordo com o EC2 , consiste, como discutido nadisciplina de Estruturas de Betão I, em :

Adopção de armadura mínima

Imposição de limites ao diâmetro máximo dos varões e/ou afastamento máximodos mesmos (Quadros 7.2 e 7.3).

Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões *s para controlo da fendilhação1

Tensão no aço 2

[MPa]

Diâmetros máximos dos varões [mm]

wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses:

c = 25 mm; f ct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0;kt = 0,42. Para as combinações de acções apropriadas

Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação 1

Tensão no aç

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Betão II - Instituto Superior Técnico