VIBRAÇÕES DE CASCAS CILÍNDRICAS DELGADAS CONTEIWO FLUIDO

FERNANDO LU IS FORTUNY GASS ER

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

Pós-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO

DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M,Sc,) EM ENGENHARIA CIVIL

APROVADA POR:

P F RONALD CARVALHO (PRESIDENTE)

~ B~,w

RIO DE JANEIRO, kJ - BRASIL OUTUBRO DE 1987

i i

FORTUNY GASSER, FERNANDO LUIS

Vibrações de cascas cilíndricas delgadas contendo

(Rio de Janeiro) 1987.

xiv, 124 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia

1 9 8 7)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.

1. Dinâmica I. COPPE/UFRJ II. Título (serie)

flui do

Civil,

i i i

A mis padres y hermanos.

A la memoria del Nato MÕnico

(1958-1986) que fue um gran

amigo y buena gente.

i V

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Ronaldo Carvalho Batista pela amizade, orienta­

çao e incentivo brindados em todos os momentos.

Ao chefe do Laboratõrio de Estruturas, Prof. Ney Roitman,

pela amizade, interesse demonstrado e valiosa colaboração na

realização dos ensaios experimentais.

Ao Prof. Paulo Batista Gonçalves por sua solicitude e

auxilio na obtenção de resultados teõricos pertinentes ao seu

trabalho de tese de D.Se.

Aos funcionários do Laboratõrio de Estruturas, especial­

mente ao Sr. João Pinto pela construção e montagem do modelo ex

perimental, e também ao Flávio e Carlos pelo auxilio durante os

ensaios.

Aos colegas do Laboratõrio de Estruturas pela amizade e

apoio inestimável.

A meus pais, irmãos e sobrinhos, pelo apoio e

sempre demonstrados.

carinho

Ao Laboratõrio de Estruturas Navais pelo empréstimo de

diversos equipamentos.

A todos os colegas e professores que direta ou indireta-

V

mente contribuiram para a elaboração deste trabalho.

A Eneida, Regina e Mãrio pela confecção tipogrãfica e

gráfica deste trabalho.

A CAPES/MEC pelo apoio financeiro.

vi

Resumo da Tese Apresentada ã COPPE/UFRJ como parte dos requisi-

tos necessãrios para a obtenção do grau de Mestre em

(M.Sc.)

Ciências

VIBRAÇÕES DE CASCAS CILTNDRICAS DELGADAS CONTENDO FLUIDO

Fernando Luís Fortuny Gasser

Outubro, 1987

Orientador: Ronaldo Carvalho Batista

Programa: Engenharia Civil

Apresenta-se neste trabalho um resumo dos principais re-

sultados teõricos e experimentais da interação dinâmica entre

uma casca cilindrica delgada e fluido interno, resultante de

forte acoplamento entre modos de vibração. Ênfase ê dada aos

resultados experimentais que têm confirmado resultados teõricos

recentes sobre a interação fluido-casca delgada [6,7]. A anãli

se, discussão e comparação desses resultados são

ao longo do texto.

apresentados

Vi i

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial

fulfillment of the requirements for the degree of Master of

Science (M.Sc.)

VIBRATION OF THIN CYLINDRICAL SHELLS WITH INTERNAL FLUID

Fernando Luís Fortuny Gasser

October, 1987

Chairman: Ronaldo Carvalho Batista

Department: Civil Engineering

The main theoretical and experimental results for the

dynamic interaction occuring between f1 uid and thin cyl indrical

shells, which result from a strong coupling among the vibration

modes, are presented herein.

Emphasis is given to the used experimental techniques

and obtained test results which have corroborated recently

reported theoretical results [6,7] on the fluid-thin shell

interactive problem. Through out the text these results are

analysed and comparisons are made.

CAPITULO I - INTRODUÇ~O

I .1. Descrição do Problema

I.2. Escopo do Trabalho

Vi i i

IrmICE

CAPITULO II - MODELO TEÕRICO

II.1. Introdução

II.2. Equações de Movimento

II.2.1. Equações de movimento para vibrações livres

no ar da casca, com extremos

apoiados

II.2.2. Equação de movimento do fluido

II.3. Interação Fluido-Estrutura

simplesmente

II.3.1. Equações de movimento para vibrações "livres"

da casca com extremos apoiados contendo flui-

do em repouso

II.3.2. Equações de movimento para vibrações "livres''

da casca contendo fluido em repouso sob a con

2

5

5

6

6

1 1

14

1 6

dição de extremos engastados 18

II.4. Equações de Movimento para Resposta em Frequincia

sob impacto lateral da casca cilindrica contendo

Fluido em Repouso 19

ix

CAPITULO III - RESULTADOS DA ANALISE TEÕRICA

III.1. Resultados em Termos de Frequência para o Caso

da Casca com Extremos Simplesmente Apoiados

III.2. Resultados em Termos de Frequência para o Caso

da Casca com Extremos Engastados

III.3. Comentários sobre o Fenômeno de Acoplamento Mo

dal

CAPITULO IV - MODELO EXPERIMENTAL

IV .1. Introdução

IV.2. Construção do Modelo

IV.3. Condições de Apoio

IV.4. Montagem do Ensaio

IV.5. Instrumentação

IV.6. Descrição dos Ensaios

IV.7. Sistema de Aquisição e Anâlise de Dados

CAPITULO V - RESULTADOS DA ANALISE EXPERIMENTAL

CAPITULO VI - ANALISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS TEÕRI

COS E EXPERIMENTAIS

VI .1. Resultados para a Casca Simplesmente Apoiada, Vi

21

21

28

31

32

32

33

36

42

47

49

49

55

74

brando no Ar 75

VI.2. Resultados para a Casca Engastada Vibrando no Ar 79

VI.3. Resultados para a Casca Simplesmente Apoiada Con

tendo Fluido 84

VI.4. Resultados para a Casca Engastada Contendo Fluido 87

VI.5. Anâlise Paramétrica 97

CAPITULO VII - CONSIDERAÇÕES FINAIS 1 1 3

X

REFERtNCIAS BIBLIOGRAFICAS

ANEXO A - SOLUÇAO DAS EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO PELO

MtTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

1 1 6

1 1 8

Xi

NOMENCLATURA

Letras Maiüsculas

A,B - constantes arbitrãrias

[A] - matriz de rigidez

Aij - coeficientes da matriz de rigidez

Aci - acelerômetro

C - coeficiente de rigidez de membrana

D coeficiente de rigidez i flexão

E - mõdulo de Young de elasticidade longitudinal

F(t) - força excitadora axial

F(w) - função resultante da aplicação da transformação de

Fourier

H - altura do nTvel de fluido

In,Kn - funções modificadas de Bessel de ordem n

[IJ - matriz identidade

L - comprimento da casca

Xi i

L* - função de Lagrange

Lij - operadores diferenciais

[MJ - matriz de massa

M .. 1 J

- coeficientes da matriz de massa normalizados

M .. 1 J

- momentos fletores

N .. 1 J

- esforços internos

p - carga axial

p ( ) - mõdulo bâsico de massa

R - raio da casca

s ( ) mõdulo bâsico de rigidez

T - energia cinêtica

U,V,Y - amplitude de deslocamentos

U.,V.,W. - deslocamentos (em diferenças finitas) 1 1 1

V - energia potencial

Z - numero de Batdorf

Letras Minúsculas

f(t) - força excitadora radial

f ( w) - função de f r e quê n c ia

h - espessura

m - numero de semi-ondas longitudinais

n - numero de ondas circunferenciais

Xi i i

n ,n 8 - esforços adimensionalizados X o o

p - pressao radial uniforme

Pe - força pontual excitadora radial

Pr - pressao irradiada pelo fluido

q(t) - função temporal

r - eixo coordenado radial

t - tempo

t 0 ,t 1 - tempo inicial e final

~ 0 .~ 1 - campos de deslocamentos

u,v,w - deslocamentos

x - eixo coordenado longitudinal

Letras Gregas

s,ç,y - constantes adimensionais

À - parãmetro de carga

ó - variação

ó( - vetor de deslocamento

0( ) - função delta de Dirac

{~} - vetor de amplitudes de deslocamentos

- parãmetro de massa de fluido adicionada

e

s .. 1 J

V

w

<P

xiv

- densidade do fluido

- densidade da casca

- eixo coordenado circunferencial

- deformação espec1fica

- mudança de curvatura

- coeficiente de Poisson

- parãmetro de frequência

- frequência angular

- função potencial de velocidade

Operadores

V2( ; V•V( ) - operador de Laplace

F{ } - transformação de Fourier

CAPITULO I

INTRODUCAO

1.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

A variada gama de aplicações nas industrias naval, aero­

espacial, petroquimica, e nuclear e ern estruturas 066-1.,ho11.e., fa­

zem das cascas cilindricas delgadas, elementos estruturais ex­

tensivamente utilizados, sendo particularmente indicadas para

suportar cargas axiais e pressões radiais.

Em muitas destas aplicações, tem-se que a casca cilindri

case encontra em contato parcial ou total com um meio fluido

de alta densidade (liquido).

A presença do fluido tem uma grande influência no compoi

tamento estático e principalmente no comportamento dinâmico des

te tipo de cascas delgadas.

As frequências naturais de vibração de uma casca conten­

do um fluido de alta densidade são bastante inferiores ãs fre­

quências naturais de uma casca vibrando no ar. Esta diferença

2

e função das caracteristicas fisicas e geométricas da casca e

do fluido.

A solução do problema de interação fluido-estrutura de­

formável exige a consideração da pressão resistente do fluido,

que tradicionalmente tem sido considerada como proporcional a

aceleração do sólido sendo tomada como uma massa adicional a

massa do sólido deformável, provocando, portanto, um aumento da

inercia do sistema. Deve-se enfatizar que o sucesso dessa for­

ma de ataque ao problema fisico depende obviamente da consistê~

eia da formulação matemática empregada no tratamento do fenôme­

no de interação fluido-estrutura, no qual a estrutura deve ser

considerada como sendo localraente flexivel (isto e, casca del­

gada).

A análise teõrica deste fenômeno de interação dinâmica

entre fluido e casca cilindrica delgada contida em trabalho cien

ti fico recentemente apresentado, [ 6], tem utilizado uma formu­

lação matemática consistente que leva em conta a não-linearida­

de envolvida no problema, destacando-se ai a consideração do

acoplamento não-linear entre vários modos de vibração da casca

durante a resposta dinâmica.

1.2. ESCOPO DO TRABALHO

O principal objetivo deste trabalho de tese e o da inves

tigação experimental do parâmetro de massa de fluido adicionada

expresso por esta formulação teórica [ 6 J.

3

Adianta-se aqui que a comprovaçao experimental dos resul

tados teõricos, obtida com sucesso através de modelagem física

cuidadosa, possibilitará a extensão da análise da interação di­

nâmica entre fluido e estrutura delgada para geometrias mais

complexas, atravês de formulações teõrico-numêricas de

potencial em aplicações práticas, como o mêtodo dos

finitos.

grande

elementos

Para tais fins foram construidos modelos experimentais

de cascas cilíndricas delgadas nos quais foram simuladas as con

<lições de extremos simplesmente apoiados e de extremos engasta­

dos, para serem ensaiados em vibração ''livre'', contendo ou nao

fluido.

Os resultados experimentais desses ensaios, j un tamente

com os resultados teõricos obtidos são apresentados, analisados

e comparado~ levando a algumas conclusões e observações impor­

tantes.

No Capitulo II apresenta-se o modelo teõrico usando, um

resumo do desenvolvimento teõrico e as principais equações uti­

lizadas e, no Capitulo III, são sumarizados os principais resul

tados obtidos atravês da análise teõrica.

Jã no Capitulo IV apresenta-se o modelo experimental o

qual e ilustrado atravês de fotos e figuras explicativas. Alem

disso, apresenta-se em detalhes o projeto, fabricação e instru­

mentação desse modelo, descrevendo-se tambêm os sistemas de aqu~

sição e interpretação dos sinais dinâmicos com o intuito de pe~

mitir uma transparência da precisão das medições realizadas.

Os resultados obtidos nos ensaios do modelo experimental

4

para algumas condições de nivel de fluido e apoios extremos sao

mostrados no Capitulo V, através de espectros de frequencia e

das respostas dinâmicas no tempo.

No Capitulo VI sao analisados e comparados os resultados

teõricos e experimentais obtidos para o modelo com as caracte­

risticas da casca ensaiada e tambem neste capitulo e feito um

estudo paramétrico para melhor aclarar o comportamento dinâmico

das cascas cilindricas delgadas com outras geometrias contendo

fluidos de diversas densidades em niveis distintos.

As conclusões e considerações finais, junto com algumas

sugestões, são apresentadas no Capitulo VII, onde e ressaltado o

aspecto mais relevante do trabalho: a comprovaçao da ocorren­

cia de forte acoplamento modal, que não tem sido considerado em

anãl ises anteriores a da referencia [ 6 J e, conseqüentemente, a

comprovaçao experimental do novo parâmetro de massa de fluido

adicionada.

5

CAPITULO II

MODELO TEORICO

11.1, INTRODUÇÃO

Primeiramente, apresenta-se a formu1ação matemãtica usa­

da para o estudo da casca ci1indrica circu1ar sob a condição de

extremos simp1esmente apoiados, e posteriormente a formu1ação

para o caso da casca com extremos engastados, que foram desen­

vo1vidas de forma independente.

Na primeira formu1ação, o caso de casca com apoios sim­

p1es sob carga de impacto, e parte de desenvo1vimento teõrico

apresentado na forma de Seminãrio de DSc. ao PEC da COPPE/UFRJ

por Pau1o Batista Gonçalves.

A segunda, para o caso de engaste, e parte da presente

contribuição ã anãlise de vibrações de cascas delgadas em meio

f1uido.

No final deste capitu1o, sao apresentados os principais

resultados teõricos obtidos da anãlise de cascas com as caracte

6

r1sticas f1sicas e geomêtricas do modelo experimental ensaiado.

11.2. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

11.2.1. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES LIVRES NO AR DA

CASCA~ COM EXTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS

As equaçoes de movimento da casca podem ser deduzidas di

retamente do princ1pio de HAMILTON [ 1 J

L*; V - T (II.1)

onde V e a energia potencial, T, a energia cinêtica e L*, a fun

ção de Lagrange.

[ 2 J

No estudo que segue sao adotadas as seguintes hipõteses

1 - A casca ê delgada.

2 - Efeitos devidos a forças de inêrcia a rotação sao des

prezíveis.

3 - O amortecimento e excluído na anãlise de

livres.

vibrações

4 - Os deslocamentos sao pequenos de modo que e vãlida a

teoria elãstica linear.

Considere-se uma casca cil,ndrica delgada de comprimento

L, espessura h e raio da superf,cie mêdia R, constitu,da de ma-

7

+

L H

(o) 1 1 R R

N~ M:..

1 1'" ...

.. :p I N~

----- ,;1 ;* -::r :+ o(w)

~Nxe N~

lNx ! .... (b)

fit (ll -1 l - Geometria, sistu.ca de coor•n•d• da c•sco e di­r~ positivas • dlsktcaffleftto e ruuttoat. dl esforços internoe

8

terial elãstico, homogêneo e isõtropo de densidade Pc·

u, v e w os deslocamentos, respectivamente, na direção

Sendo

axial,

circunferencial e radial, como mostrado na figura (11.1) tem-se

que a energia cinêtica pode ser expressa na forma

T =- P 2 c f

l f21T h º º (ü2 + v2 + w2l R de dx

e a energia interna de deformação, estabelecendo as

(11.2)

relações

constitutivas adequadas e integrando ao longo da espessura, na

forma

1 f L f2n V = - (N .. e. 2 o o lJ lJ

(11.3)

onde o primeiro termo sob a integral corresponde a energia de

membrana e o segundo, a energia de flexão.

Sendo o material isõtropo, os esforços N .. e M .. sao da-1 J l J

dos por:

N12 = C(1-v) s12 = N21 M12 = 0(1-v) X12 = M21

(11.4)

onde vê o coeficiente de Poisson, C(= Eh/(1-v 2)), a rigidez de

membrana, D(= Eh 3 /12(1-v 2)), a rigidez ã flexão e E, o

de elasticidade longitudinal.

mõdulo

Adotando-se a teoria de Donnell para cascas abatidas, as

deformações especificas, sij' e as mudanças de curvatura, xij,

sao: [2]

9

= u ,X W XX

'

R (v

8 + w)

' R2 ( w ee l

'

=- Xxe = -R- w ,xe 2

(II.5)

Substituindo-se (II.5) e (II.4) em (II.3) e, a seguir,

substituindo-se (II.3) e (II.2) em (II.1) e empregando as têc-

nicas usuais do cãlculo variacional [ 1], tem-se as

equaçoes de equil1brio em termos dos deslocamentos

R2 u ,xx +

R ( 1-v)

2

( 1-v)

2 u,ee + R

u ,x e + v 'ee + R2

h2

( 1+v)

2

(1-v)

2

V 8 + R V W X = y2 U ,X '

V,xx + W ,8 = y2 V

seguintes

(II.6a)

(II.6b)

R v u,x + v,e + w + --- [R w,xxxx + 2 R2 w,xxee + w,eeee] = Y2 w 12 R2

(II.6c)

onde

y2 = p c R 2 ( 1 - v 2 ) / E

Considerando-se que a casca ê simplesmente apoiada em

ambos os bordos (w = w xx = u x = v = O em x = O e x = L), tem-' '

se que os deslocamentos, cuja forma geral ê dada por

ó (x , e , t ) = g (x , e ) • f ( t ) (II.7)

1 O

podem ser representados pelas funções

(. mnx ,\ iwt u(x,e,t) = lJ ,cos -L- cos n~e

v(x,e,t) = V (sen _m_~_ sen ne) eiwt (II.la)

( mnx V w(x,e,t) = W sen -- cos ne eiwt

L

iwt - - - - -onde e e a resposta tempor~ a excitaçao, w e a frequencia an

gular, m ê o numero de semiondas longitudinais e n, o numero de

ondas circunferenciais, que descrevem cada um dos modos de vi­

bração livre.

Substituindo-se (II.la) em (II.6), obtêm-se um problema

de autovalor da forma

([A] - íl' [!]) G} • (O) (11.8)

onde [IJ e a matriz identidade e íl 2 e o parâmetro de frequên­

cia dado por

1; 2 Íp (1-v2) l

íl = w R L_c __ E ___ J

A equaçao caracteristica de

(II.9)

DET i A - íl 2 I i = O (II.8a)

fornece para cada configuração modal (m,n) três raizes reais

1 1

positivas que correspondem ãs frequências associadas aos dois

movimentos tangenciais (u e v) e ao movimento radial (w). Para

cascas delgadas a menor frequência corresponde ao deslocamento

radial e as outras duas frequências, aos movimentos circunferen­

cial e longitudinal.

11,2.2. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DO FLUIDO

Para o movimento irrotacional de um fluido

não-viscoso e incompresslvel, o potencial de

q,(r,e,x ,t) satisfaz a equação de Laplace [ 3 J

'v2 <P = o

Newtoniano,

velocidade

(II.10)

Para pequenas amplitudes de excitação externa e de vibra

çao da casca cillndrica, a qual se constitui como fonte excita­

dora do fluido nela contido, como ilustrado na figura (II.1),

tem-se que a solução da equação (II.10) ê da forma

q,(r,e,x,t) = q,(r,e,x) eiwt (II.11)

onde q, deve ser uma função harmônica, e satisfazer as condi-

çoes de contorno:

1 - Na base da casca (x=O), a velocidade do fluido na di

reçao vertical ê zero

(r,e,O,t) = O (Il.12)

2 - A velocidade radial da casca e do fluido adjacente a

superficie da casca e a mesma

ar (r,e,x,t)I =

r=R

1 2

aw

at (e,x,t) (II.13)

No presente estudo considera-se que as pequenas amplitu­

des radiais de vibração da parede da casca não excitam perturb~

çoes da superficie do fluido em repouso no interior da casca.

Alêm disso, as frequências naturais de vibração da casca delga­

da são muito mais elevadas que as das ondas de superficie.

Sendo os deslocamentos da casca periÕdicos com respeito

a x e e (veja equação (II.7a)), o movimento do fluido pode ser

tomado como periÕdico com respeito a essas coordenadas. Tem-se

pois que

mTIX cos ne eiwt (II.14) ~(r,e,x,t) = ~(r) sen

L

Esta forma adotada para o potencial de velocidade impli-

cana existência de uma superficie livre em x=H (veja figura

II.1) e velocida.de axial nula em x=O, o que concorda com as con

dições de contorno adotadas [ 2 ].

Substituindo-se (II.14) em (II.10), verifica-se que a

solução na forma

~ ( r) = A I n ( m TI r / L ) + B Kn ( m TI r / L ) (II.15)

satisfaz a equaçao diferencial, onde ln e Kn sao as funções mo­

dificadas de Bessel de ordem n [ 4 J e A e B são constantes arbi

trãrias que podem ser determinadas atravês das condições de con

torno.

1 3

Para resolver o problema de interação devem ser emprega­

dos mêtodos aproximados, devido ã descontinuidade do fluido em

X=H.

Observa-se que, dependendo das caracteristicas do fluido

e das frequências, pode-se ter diversas soluções para a ampli­

tude cp(r).

Para a classe de problemas tratados no presente trabalho

(cascas cilindricas contendo fluido) considera-se apenas a solu

çao (II.15).

Considerando fluido interno, Kn e singular em r=O, e

(11.15) se reduz a

cp(r)=Aln (II.16)

e desta forma, substituindo-se (11.16) em (11.14),

mTTX cos ne eiwt (r :â R) (11.17) <P = A ln sen

L

A constante A e obtida empregando-se a condição de comp~

tibilidade (11.13), que fornece a partir de (11.17) e (11.7a)

i w vi A = (11.18)

I ' n

onde

I ' d!n

n dr r=R

(11.19)

Determinada a função potencial <P, pode-se, usando-se o

14

teorema de BERNOULLI [ 3 J, obter a pressao irradiada, Pr [ 2 J.

Em virtude de (II.13) e (II.la), tem-se que esta pressão

e dada por

- 2 iwt ( ) Pr = W PF w e f w sen ~~ cos ne L

mrrx (II.20)

A função f(w), usando-se as fórmulas de derivação e re­

corrência para funções de BESSEL [ 4 J, ê dada por:

f(w) (II.21)

onde

S = m rr R/ L

11.3. lNTERACÃO FLUIDO-ESTRUTURA

Seja uma casca cilíndrica delgada simplesmente apoiada

contendo um fluido Newtoniano, não-viscoso, irrotacional, em r~

pouso [ 2 J, [ 3 J e [ 5 J. A casca estã submetida a uma pressao

radial uniforme, p, e a uma carga axial, P. Considerando-,se,

por simplicidade e por ser uma hipótese razoãvel nos casos pra­

ticos, um estado inicial de membrana, tem-se que a casca estã

submetida a uma distribuição de esforços axiais e circunferen­

ciais dados por

p

2 rrR (11.22) N = xo

1 5

que serao considerados positivos quando de tração.

Os esforços de membrana podem ser adimensionalizados com

a introdução de um parãmetro de carga À de tal modo que os tor­

ne compativeis com o sistema (11.6)

(11.23)

onde À= p R/Eh e ç(= P/2rrR 2 p) e uma constante adimensional que

relaciona nxo e n80 sendo que, para o caso de pressão hidrostá­

tica uniforme, tem-se Ç=1/2.

O campo de deslocamentos da casca consiste em um campo de

deslocamentos axissimetricos relativo ao carregamento estático Uo e

um campo de deslocamentos adicional U1 resultante da excitação harmônica

{ U o } T = { - \ ( v- ç) , O , À ( 1 - v ç ) }

( 1 I. 24)

{ul} T = {u V W} 1 , 1 , 1

Substituindo-se o campo de deslocamentos~º + ~1 em

(11.5) e a seguir, aplicando-se o principio de Hamilton (11.1)

chega-se ãs equações finais de equilibrio dinâmico da casca sob

tensões iniciais vibrando em um meio fluido.

a 2 [, o

J (L .. - y2 ) u = o (II.25) 1 J at 2

+

onde Pr e a pressao irradiada (11.20) devida a excitação da cas

ca, Pe e a força pontual excitadora na direção radial e Lij os

operadores diferenciais que dependem da teoria de cascas adota

da. Neste trabalho são usadas as expressões lineares da teoria

1 6

de Donnel l para cascas abatidas [ 2 J.

l 1.3.1, EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES "LIVRES" DA CASCA

COM EXTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS CONTENDO FLUIDO EM

REPOUSO

Substituindo-se (II.20) e (II.la) no sistema (II.25), e

considerando Pe=O, tem-se as equações de movimento finais do

problema de vibração livre considerando-se o acoplamento flui­

do-casca esbelta. Essas equações podem ser convenientemente es

critas na forma matricial

([A] - íl 2 [M]) {6} = {O}

onde

{6}T = {U, V, W}

os coeficientes de rigidez sao:

( 1-v)

2 n2 A12 =

( 1 +v)

2

A13 = - v S A22 = n2 + ( 1-v)

2

h2

(II.26)

A33 = 1 + --- (S 2+n2

) + <j,(n 2+ç S2 ) 12R2

e os coeficientes de massa normalizados dados por

M .. = O l J

para i ,, j

1 7

(11.27)

A solução nao trivial deste problema de auto-valor forne

ce as frequências naturais e modos de vibração normalizados.

Verifica-se que a influência da pressao Pr aparece no

termo M33 em consonãncia com o fato de, sendo o fluido não-vis­

coso e irrotacional, haver apenas ondas de expansão [ 3 ]. A

quantidade ç em M33 reflete o aumento de inercia com a conse­

qüente redução de frequência em virtude da presença do fluido.

Este parãmetro ç ê dado para cascas em contato parcial com fluido, por

[ 5 J

ç = (~)(~) [~ -pc h L

sen 2 m : H/L j f(w) (11.28)

2 m

Cor.siderando o fluido incompressivel e atravês de uma

aproximação assintõtica, tem-se que [ 2 J e [ 3 J

f(w) = (11.29) n

Desta forma, o parãmetro ç fica

ç = (~) (~)(~) [~ c

sen 2mTI H/L J (11.30)

e pode ser chamado de "massa adicionada adimensional" ou de "mas

sa adicionada" de fluido. Quando H=L em (11.30), tem-se a solu

ção exata obtida a partir de (11.20) e compativel com (11.27).

18

11.3.2, EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES "LIVRES" DA CASCA

CONTENDO FLUIDO EM REPOUSO SOB A CONDIÇÃO DE EXTREMOS

ENGASTADOS

A partir das equaçoes de equilíbrio em termos dos deslo­

camentos apresentadas nas equações (II.6), foi adotado um campo

de deslocamentos aproximado da forma

u = Ux • se n n e c os w t

v = Vx • cos ne cos wt

w = Wx sen ne cos wt

onde

Ux = U(x), Vx = V(x) e Wx = W(x)

Substituindo o campo de deslocamentos adotados

nas equações (II.6),

( 1-v) ( 1 +V)

R2 Ux - n2 Ux - R n Vx + R v Wx = - y2 w2 .. ,XX 2 2 ,X ,x

( 1-v) (1-v) R n Ux - n2 Vx + R2 Vx + n Wx = _ Y2 w2 V

2 ,x 2 ,xx X

h'

(II.31)

(11.31)

Ux

(II.32a)

(I1.32b)

R v Ux - n Vx + Wx + --- [R Wx - 2 R2 n2 Wx + n4 Wx] = ,X 12R2 ,xxxx ,XX

= - y 2 w2 Wx + p r R2 (1-v2

)

Eh (II.32c)

19

O ultimo termo da equaçao (II.31c) define o efeito da

pressão irradiada pelo fluido, que foi especificada na equaçao

(II.20), que neste caso adota a forma

sen 2 m 1T

(II.33) 2 m 1T

No Anexo A apresenta-se a forma de resolução do sistema

de equações, usando o mêtodo das diferenciais finitas, e a es­

trategia computacional adotada.

O sistema apresentado nas equaçoes (II.32) forma um pr~

blema de autovalor do mesmo tipo que o descrito atravês da equ~

ção (II.26).

II,4. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA RESPOSTA EM fREQU~NCIA SOB

IMPACTO LATERAL DA CASCA CILÍNDRICA CONTENDO FLUIDO EM

REPOUSO

A resolução do problema de autovalor enunciado na

equaçao (II.26) fornece as frequências naturais e as formas mo­

dais de vibração associadas a cada frequência.

Uma vez determinados os modos de vibração Umn(x,e),

Vmn(x,8) e Wmn(x,e) correspondentes a uma frequência natüral

wmn' a solução para o problema de vibrações forçadas em termos

dos modos normais ê da forma [ 7 J

20

u = l l Umn q(t) cos(S x/R) cos ne m n

v = I 1 Vmn q(t) sen(S x/R) sen ne m n

w = L L wmn q(t) sen(S x/R) cos ne m n

(II.34)

Nesta situação, o parãmetro Peda equaçao (II.25) ê dif!

rente de zero e representa a força radial excitadora. Esta for

ça excitadora de impacto ê representada de maneira aproximada

utilizando-se o a de Dirac, como:

pe(x,e,t) = a(t,) ô(x1l ô(8 1) (II.35)

Deve-se salientar aqui a consideração do acoplamento mo­

dal na formulação do problema expresso pelas equaçoes (II.33).

Assim, a pressão irradiada (II.20), passa a ser escrita na for­

ma [ 8 J:

. t m1Tl< I 1 Wmn pf w2 e

1w sen -- cos ne

m n L (II.36)

Substituindo-se as expressoes (II.34), (II.35) e (II.36)

em (II.25), e aplicando-se Galerkin com relação ãs coordenadas

espaciais, obtêm-se um sistema de mxn equações diferenciais or­

dinãrias no tempo que são resolvidas por meio da transformação

de Fourier que ê definida por [ 9 J

F {f(x)} = F(w) -iwt e dx (II.37)

Desta maneira sao obtidas as amplitudes de deslocamento

para cada valor dado de frequência.

2 1

CAPÍTULO III

RESULTADOS DA ANÁLISE TEÓRICA

Apresentam-se neste capitulo os resultados teôricos obt~

dos para a casca sob a condição de extremos simplesmente apoi~

dos e de extremos engastados; também são apresentados comentã­

rios acerca do fenômeno de acoplamento modal.

III.l, RESULTADOS EM TERMOS DE FREQUÊNCIA PARA O CASO DA CASCA

COM ExTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS

As figuras (IIl.1), (111.2), (IIl.3) e (11!.4) mostram o

comportamento da casca cilindrica delgada com parâmetros fisi­

cos e geomêtricos definidos no Capitulo IV, com extremos sim­

plesmente apoiados, para diversos valores da relação altura do

nivel do fluido sobre comprimento da casca (H/L), em espectros

de frequência vs modos de vibração. Para a obtenção desteses­

pectros foi usada a equação (11.26).

A influência do numero de semi-ondas longitudinais, m,

nas frequências naturais da casca com extremos simplesmente

22

20

IB

16 -o o ..... X 14

N 12 .e:

< 10 H Ll z w ::, e CI w (I: lJ... 6

4

2

o 1

' ' ' . \ : . . . . . . ........... '·\·:·' .... ··!··, ... ·.·· .... ' <··· .... ·i ....... ;, ....... ;. ....... ;....... . ...... !· ..........••• ,;, ••••••• :, •• ' ••.. i ....•. ·.• •••••. ,:, •••••• -:- •••••••

\ · , : m~n. i;em -onjjas lorigit0di~ais\ .(\,. ... i ...... \ ....... ~---··-·; ....... j. ...... r ...... ( ............. /....... .. · -------~-------1---···-~---···-~-t \\ 1 I ', 1 - : t . : 1 1 1 \

··:······\·······,······s· ····>·······!······:······:······· -- m=1 ····:······:-·····-:-·······>·······!·······!······· :\ : ' : : : :

........ · ........ · .......... , .. '., .•... ·.········'·····,, ----· m=2 : , . : : \ . . """\"" '"!'''''''~·-······!········ .... ; ........ ; ........ : ........ ; ....... ; ······~········

. ! 1 \L . 1 ',/ : . - - m=3 . . = . . : /

..... ,.~---·· .. 1········1·······~··,\···:·······i·······f'·-.:..-··~---· .. ··:·······-~---····(·······~·-······1········~·-·····1···· .. -: .. ··· ''!''';'?"'''~~·

·······]········: ....... L ..... j .... >~,~<··!·······\····· 1 ·"-~ ~ 1· ···i·······j········!-···· ·L·~··;;·~··r·;f~-~~<~ ... . ....... { ....... : ....... ; ........ ;..... . .... ~.1-~ .. ~ .. i ....... ~- ...... ·!·· ...... ; ... ~ .. ; ... ~. ~ ... -~ .. r .. ~ .. ~ .... : ... J~.~-:.'; ....... +···· .. ·~ ...... .

1 't~.. : 1 1 : . , . 1 1 ....... ~· ...... ·!· ....... i ...... ~- ...... -~ ...... -~ ....... i .... ~-:r ;-:,. ... ~·.::::: l·.:.·.: ·_; i ~·~e.+:". -:.~.-:r... . ·~ ....... i ...... -1· ...... ·!· ...•.. -~ ...... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......• :·· .•.•. ·:· •••..•. :···· ..• :····. ·:-·· •.•• ·: ••••••. :· .....• :· ...... ·:·. . : •..•... ~- .••.•. ·:· ..•..• '7 •.•••.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .. "' ... ; ....... ; ...... "i• ...... ,; .. " .. ••:, ...... :, ..... '. i• ••.••• ,;, ' ..... ,:, ....... ; ....... , ...... ,:, ...... ,;, ...... ,: ........ ; ....... i· ....... :, ...... .; ....... . . . .

3 5 7 9 li 13 15 17 19

n. ondas circunferenciais. n

FIG.III.1. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/h=300

H/L=O.O

N N

16

15

14

13

12

o li o .....

~ 10

~ 9 N

.:S 8

<( ...... 7 u z w 6 :::::, C!J w a: 5

u.. 4

3

2

1

o 1

••••••• j ••••••• ; ••••••• ; •• ' ••• -~ •••• ' •• : •••••••• ; •••••• -~ ••••••• : ••••••• ;, •••• - •• : ••••••• -:- • ' •••• ,: •••••••• : ••••••• ,: ••••••• ; ••••••• i ••••••• ~ ••••••• ; •••••••

....... : ....... : ....... : ...... .l ...... .:. .. m..'.".h: ... \e.rni -oh d as J,tjrig.tt.LJd) ílé3}!> ... l ...... : ....... [ ....... : ...... . , , : : , : , : rn= 1 , , : :

...... '?,.· ..... ; ...... ·:··. ····: ... .... , ...... ·: ....... , . . . . . . . .. , ....... : ...... ··:- ..... ·!· ...... :· ...... ; .... .

: ' ' ' : : ' ' m=2 ' ' ' ' ' ' · ..... :-· . "~······:·······:······-:·······'·······;-····· ···-:-······'.·······-:-····· '.······i······:·······:·······:-······ ' : : ' : : . . : . : : : : : : : .. ,, ... , ....... , ..... ,: ....... , ....... ; ....... , ....... , ...... - - m=3 ... , ....... : ........ , ....... ; ....... : ....... , ....... , ....... , ...... .

',: : ~ : : : : . ' . : : : : : : : : ..... --~,- ..... i· ...... ; .. ">.,i_ •• -: •••••• ·:' ••••• '.; •••••• -~ ••••• -:---· ••• :-- ••• ·--:---·· •• :- •• ·---~- •••••• ·=· ...... ~-.' .. '. :-- . ' ... : ...... -~ ..... --:---·· ..

....... i. -~\,~l- ...... ; .... -~~-, ... i ........ i ....... 1 ....... J ...... r ..... --1-- ...... i ... ----~---- .... i .. --. --r. -... -~- ...... , ...... -~ ....... ; .. ;;.

....... ; ....... ;~-,:-···; ....... ; ..... ~( ...... ; ....... ~ ...... } ...... ~ ........ / ........ 1 ....... ~ ........ t ...... \ ...... ; ....... ; ....... I ... .,Y'.t.~ ... -:

. . . . . . . . . . . . .............. :· .. . . • ...... ·: .....• ·:· .. ' .. ' ·t-- ... --~--· -·. ·:· ..... -~···· ... ·:· ...... ,; .. ,. ~- .... '' ·:·' ..... ~- ...... :· ..... -~-· ........... ·: ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ........................ . . . . . . .

--~ ...... ·: ...... -~ ...... -:· ...... ,.. . . ·:· ..... ·-:·-- .. . . . . ...... ·;· ...... -: ....... '. . ' . ' ' ' . ~ . ' . . . . . . ...... : - . -... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .•.......•.... ' .•..... ; ......• ; .....•• ; ....... ; .•..•. -~ ••••••• ; •••••• ', •••••••. ; ....... -:- .••.•. , ........ ; ...•.... ; ...... ; .•.•... i ............•• j ••••••• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . .

3 5 7 9 li 13 15 ! 7 19 n. ondas circunferenciais, n

FIG.III.2. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO H/L=0.5 ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/h=300

14 . . . m=:n. semi;..ondas circunffirentiai:s

13 . . . . . . . .

·······,········,········:·······,········,·······,·······,·······:····~-----,······,·······,·······,········,········,·······:·······:·······

12

li

1 ! : 1 1 ; 1 1 --rn=1 : 1 1 i ! 1 ... .:,,:,:. :· ' ..... ·:' .... '·: ............... ·; ....... : .. ' .... : ....... :· . . . . ..... : ....... : ....... :· -..... ·:- ...... ·: ....... : ....... : ...... . ~ = : : : : : ------ m=2 : : : · : : : .... ~- . ·'-: ... ; ......• '~ ... ' .•. ; ... ' .... ; ... -.... ; ....... i ....... ~-. . . . ..... ! ....... ! ....... ~- ...... ·:· ...... -~ ....... ) ....... ! ...... .

o 10

. . . . . . . . . ':. . : : : : : : :

" - - - m=3 ' ' ' ' ' ' ' ....... ; ........ , ... , ... , ....... : ........ , ...... ·: ....... : ....... ,.... . ... ··: ....... :· ...... , ..... ···:········: ...... ·: ...... ·:· ..... . o ..... X 9

' ,: : : : : : : : ', . . ~ . : . . . . : : : : : : : .... "~ :· ...... ·; ....... : .. ' ... : ....... ·: ....... : ....... : ....... :· ...... :· ...... ·: ....... : ....... :· ...... ·:· ....... : ....... : ....... : ....... : ....... :· ...... .

~ e N

5 7

< H u 6 z UJ =:, 5 CI UJ a: 4 lJ...

3

t'?Fiil>FT~E I T T ! I I T EliiiJ~-.. ···1"·······; ....... l.~>,,<~)·······1·······!-··~·T·~·~-··:···~··L·c;:·0·-·t~.t;~>-<<~ .. :.······-:-······· .. · · ... = ..... · · +· · · · ···~ · · · .... 1 · · · .. · · -I:-·~-.i·,.:l·~ · · · ··i· · · · · · · 1· · · · · · · + · · · · · · + ..... ··i · · · · · · · {·· · ·:._];· ... .--::-:; .... · . ---· --~- ....... :. · · · · · · · ....... ~- ..... L .. .. ) ....... i ........ ; ....... ) .. ~-~.:t::-.-;~~--.. l~UJ~-l ... --; .. ~.-:~:t~-~ ... '. . ----) ....... ; ....... i- ...... ~- ....... 1 ..... ---. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ....... ~- ...... ·:- ...... ·: . . .. : ....... ';' ....... : ....... : ....... :· ...... ~· ...... ':' . . . . : ....... :· ...... -:· ...... ·: ....... : ....... : ....... ~ ....... ·:· ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . ..•••••••••• ,,,ou,,, .••.••..••...........•.......•....••••.......••.•••.. - ................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o : : : : : : : : : : : : : : : : :

3 5 7 9 11 13 15 17 19

n. ondas circunferenciais, n

FIG.III.3. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO - H/L=0.75

ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES -R/H=300 -

o o ..... X

N .e

<( H u z UJ ::i e, UJ a: I.J..

12

li

10

9

B

7

B

5

4

3

2

1

;m=Q. $eml-ohda~ l~n~it0diriai$ . . . . . . ...... ·:· ...... : ...... ·: ...... : ...... ·:· ...... : ...... ·:· . . . ...... ~ ...... ·:·. . . . ·:· ...... ~ ...... ·:· ...... : ...... ·:· .... ' ·:· ..... . : : : : : : , -- m=1 : , , , : : : . . . . . . . . . . . . . . ... "'··.:.,:· .... \· ······:·· .... :· .... ··:··· ... ·:· ..... ,. . . .... ·: ...... ; ...... ·; .... ··:· ..... -; ...... : ...... '. ...... , ..... . : , , : , : , ----- m=2 , , : , , ,

....... ; ..... ~ •••••• : ....... ;... : : ...... :.. • •.••• ; ••.••• , ....... ~ •••••• ; ••••••• : •••.••• i ...... ~ ....... ; ••••••

>,) ...... J ... >~ ..... : .... ·.·.·.r.·.·.·.·.·.·.r ...... [ ..... ~ .. ~ .. --,.m·~·~., ....... L ..... : ....... J ....... : ..... ) .. ..... L ..... l.. .... L ..... ,, : : ' : : : : : : : : : : : : : : .

............................ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ·:· ......•...... ~-. ·····~· .... -~·······:- ······:.... . .. ···:·· .... ·:· ...... ! ...... ~- ..... ·:: ..... ·:··. ····:·· .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

••..••..•... -:· ...•.. ; ...•.. ,:, .. - .. -i .••••• ,:, ••••• •t •••••. ; .•.•.. ,: ••••••• i •..... <· ..... -i. ' .... ,; ....... ; ••••••• ;, ..... ,: ....... {• ..... -:- ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . o +--t--i----1---i---1----1.---t---t---1----1r--t---t---!-""""1r---t---t---1----1.---'

1 3 5 7 9 li 13 15 17 19 n. ondas circunferenciais, n

FIG.III.4. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO H/L=1.0 ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/H=300 -

N

"'

26

apoiados, pode ser verificada atravês das citadas figuras. Ob-

serva-se que a menor frequência natural da casca ocorre para

m=1, ou seja, para uma semi-onda longitudinal, e que a medida

que n cresce, os valores das frequências tendem a um valor co­

mum para qualquer m, jã que para modos de vibração altos (n

grande), o comportamento dinãmico da casca ê dominado por ener­

gia de flexão. Verifica-se tambêm a grande influência do flui­

do para qualquer valor de m.

t apresentada na figura (111.5), através de um espectro

de frequência vs modos de vibração, a variação da frequência,

calculada a partir da equação (11.25), com o numero de ondas

circunferenciais, n, para uma semi-onda longitudinal (m=1), e

distintos valores da relação H/L (0,0, 0,50, 0,75 e 1 ,0). Para

os quatro casos, verifica-se que a frequência decresce com n

atê atingir um minimo para um dado n, passando novamente a cres

cera medida que n cresce. Pode-se observar o fato do aumento

da divergência entre os valores de frequências com o acrêscimo

do numero de ondas circunferenciais, n, a partir do valor de n

correspondente ãs frequências naturais. Esta divergência ê de­

vida ã influência do parãmetro de massa de fluido adicionada,

que ê diretamente proporcional a H/L e inversamente proporcio­

nal ao numero de ondas circunferenciais, n, como pode ser visto

na equação (11.30).

Observa-se nessa figura (111.5), que tanto para a casca

no ar (H/L=O,O) quanto para aquelas contendo fluido (H/L~O), as

frequências atingem um valor minimo (frequências naturais) para

o mesmo valor de n. Isto indica que a energia interna de àefo~

mação elãstica ê praticamente idêntica nos quatro casos de H/L.

Pode-se concluir que o decrêscimo acentuado das frequências com

-o o ..... X

N .e

<( H Ll z UJ ::::, e, UJ a: LI..

22

20

18

16

14

12

10

B

6

4

2

o 1

:m=~. s~mi-~ndJs lbng tudinais . . . .

·\ .. :·······:········!······· [" .... .: ........ ' -- H/L=1. 00 ····:·······]"···· :·······:·····)······:······-;·······:· .. ···· ... :\·!, .. .... ·!, .... ··+, ...... -f, ...... ·:,·· .. . . . . . ... : ....... , ....... : ....... : ....... ;. ...... J ....... ; ..... ··! ...... .

. . . . . ----- H/L=O. 75 i : i i i i i :

······i·····t·······:········1·····)........ - - -H/L=O. 50 :::1::::::::t:::::::l:::::::!::::::::t::::::J:::::::!:::::::l::: ::: ·······:·\·r .. ····;·······;······r······ -. ·- H/L=O. 00. .

·······f ··· .. \t······t ·· t·· ···: .. ·· ·t·······\······1 ······1 ······:- ·· .. 1. ·····r·· .. :-···· T ... ·: ... 1 · r i;·. ...... i······ \···:······ Ó······:······:······:······1······1······:······1······:······1······1······:····· 1 y· :······

: ··\1······ )· .. ····:-·······[ ·······[ ······{······] : ···T·····i··· ··] ····:b;;-L+····J;·/··

:'.:J. -~>~1.~'h[IJ••••••[L[_ r.• ~f t[E~I:f ·;r-:• -: . . . . . . . . ·······:······:······: --~~~~~~~···=-~· ·······t·····r·····1······r·····r·····1····1······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . .

3 5 7 9 11 13 n. ondas circunferenciais. n

15 17 19

FIG.III.5. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO - m=1 -ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/H=300 -

28

o aumento de H/L ê explicado pelo aumento acentuado da energia

cinêtica do sistema fluido-estrutura, que ê traduzido pelo acrê~

cimo do valor do parâmetros (veja equação (II.30)).de massa de

fluido adicionada, sem um aumento correspondente da energia po­

tencial do sistema. Sempre que isto ocorre em um sistema dinâ­

mico conservativo hã um decrêscimo nas frequências naturais.

111.2, RESULTADOS EM TERMOS DE FREQUÊNCIA PARA O CASO DA CASCA

COM ExTREMOS ENGASTADOS

Na figura (III.6), para a casca com extremos engastados,

verifica-se um comportamento das frequências naturais, para va­

ries valores da relação H/L, similar ao detectado para o caso

de extremos simplesmente apoiados (vide figura (III.5)). Ova­

lor minimo das frequências ocorre tambêm para o mesmo valor de

n, devido ao acrêscimo da energia cinêtica do sistema pela pre­

sença do fluido (parâmetros de massa de fluido adicionada) sem

um aumento correspondente da energia potencial. Nota-se tambêm

o aumento da divergência entre os valores de frequência doses­

pectros (para valores de H/L iguais a 0,0, 0,5, 0,75 e 1 ,O) com

o acrêscimo do numero de ondas circunferenciais, n. Isto ê de­

vido ã influência do parâmetro s, que ê diretamente proporcio­

nal a H/L e inversamente proporcional a n.

Cabe destacar que o estudo da casca sob a condição de ex

tremos engastados foi feito a partir da equação II.32, como in­

dicado no Anexo A.

16

15 semi ondas 1 on g i_tjLJ~_i-~ c1_if ..... , ........ , ....... : ....... , ....... , ....... . . . . . . . . ..... .. , ....... , ....... , ....... :. !".".".ni.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

13

H/L 1 00 . . . . . . .

-- = · ··:-····:····· .. r·· .. ··1·······:·······,·······(· .. l········

H/L O 75 ....................................................................... . ----- = . : : : : : : : : . . . . . . .

. . . . . . . . . . . ·····:·······:·······:·······:·······-:·· . . . . . . \ ··! ....... i--· .... ;. ...... ("· .. -:-

o 12 o

li ..... ~

10

N 9 5

B <(

7 H u z 6 Ll.J ::J

5 c:,J Ll.J a: 4 lJ..

3

2

: ::::·\: ::1::::: r:::: :: r:::::: 1: ~-: :~~:,~: ~~ :::::::::::::::::r::::::r::::::J::::::1::::::r:::::;-:

i?til 11 i I i I t Ek:fEÉJi: -iF~r~ct_~_l_:_:_: ___ ._·:_·~-"_:_:_:_: ___ :_:_t_:_:_:_:_:_:_.:_r_:_: __ tt:Gr:t.::;?rJt••••••• ·······i·······i·······•···· ~ , .. ; ....... ,:,,,,,,,,; ....... :,. ....... j,,,,,,,1,,, ............ ; ...... .

. . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . 1 ·· ···· ·i··· · · ··r · · ···· 1· · · ·-··r · · · ·· ·y·· · · · ·-r···· · · r · ·····-r· · · · · · T · · · · · ·T ·······:··· ·· · ·} ·······r·· · · · · · i · · · · · · ·1 · · · · · · -~ · ·· ····r ·· · · · · · o . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4 6 8 !O 12 14 16 18 20 n. ondas e ircun ferenc ia is, n

FIG.III.ô. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO m=1 ANALISE TEORICA - ENGASTE - R/H=300 -

N <.O

1 8 -1 • • .. z -1

1 -e • E

J ! • t l

,,

-• . .,._ .i=-P. --- o -. e

~ -- .. - . ,::.

"' ----"'

30

B --

400

.. ---

'jij -. -

- õi • -. - "'

---. .. -~ • .: -

F,.q f l (Nc)

( ... )- YI .. T ...

-... --•- ... . ·- ..... ~ ·,,;- - .. ,,._ .. --

700

C ID0~-----200-t-------t-----+------SD-t-----~IOO

1111 e- thtido ( olteia) F~ (Nzl

Fi9 .Dl 7 - E..-cttes teóricoa clit -,Htllde • •••sillla-lM••••• a tNqulacio.

3 1

111.3, COMENTÁRIOS SOBRE O FENÔMENO DE ACOPLAMENTO MODAL

Observa-se nos espectros de frequência vs modos de vibra

çao apresentados atravês das figuras (III.1 atê 111.6), a forma

abatida das curvas na região de menores valores de frequência.

Essa caracteristica evidencia a possivel ocorrência de acopl~

mento entre uma certa quantidade de modos de vibração envolvi­

dos numa faixa estreita de frequências.

Nota-se tambêm que a presença do fluido faz com que os

espectros sejam ainda mais abatidos, aumentando desta forma a

possibilidade da ocorrência do acoplamento entre modos de vibra

çao.

Isto pode ser melhor ilustrado atravês da observação das

figuras (111.7a) e (111.7b), que mostram espectros de amplitude

de deslocamentos vs frequência, obtidos a partir das equaçoes

(Il.25), (11.34), (11.35) e (II.36), para o caso da casca com

extremos simplesmente apoiados sob impacto lateral pontual

(x=L/2; 8=n) especificado atravês da equação (11.35), para dois

valores da relação H/L (0,0 e 1 ,O).

Uma anãlise mais ampla de todos esses resultados, assim

como uma análise paramêtrica do problema, serã feita mais adian

te no Capitulo VI ã luz de comparações com observações e resul­

tados experimentais.

32

CAPÍTULO IV

MODELO EXPERIMENTAL

IV.l. INTRODUÇÃO

O modelo experimental da casca cilindrica foi projetado

em função das relações raio sobre espessura, R/h, e comprimento

sobre raio, L/R, sendo que foram escolhidos os valores R/h = 300

e L/R - 1,4 satisfazendo a condição de casca delgada.

As dimensões geométricas deste modelo sao mostradas na

figura (IV.1).

Os ensaios dinãmicos da casca foram realizados sob as

seguintes condições:

a - vibrações da cascà sem fluido;

b - vibrações da casca com fluido interno em

niveis;

distintos

c - vibrações da casca sem fluido sob açao de uma pequa­

na carga vertical,

33

todas para as condições de extremos simplesmente apoiados ou en

gastados.

IV.2. CONSTRUÇÃO DO MODELO

O modelo foi construido em aço inox, conformando-se uma

chapa de mm de espessura, de 1885 mm de comprimento e 430 mm

de largura (vide figura (IV.1)).

Foram praticados furos de 3 mm de diâmetro (segundo indl

cado na figura (IV.2)) para permitir o preenchimento adequado,

com material vedante, das ligações dos extremos da casca com as

placas circulares de fechamento.

Uma vez conformada, a chapa foi soldada mediante um pro­

cesso com resfriamento de gâs argõnio.

Esta costura soldada foi bem acabada, evitando-se a for­

maçao do cordão de solda para não enrijecer longitudinalmente o

cilindro. A solda foi executada no laborat6rio do PEM - COPPE/

UFRJ.

O modelo se completa com 2 chapas circulares, de aço, de

15,9 mm de espessura, nas quais foram torneadas ranhuras, mos­

tradas em detalhe na figura IV.3, com as quais se reproduziram

aproximadamente as condições de apoio te6ricas da casca estuda­

da.

L

Dimensões em milímetros

~

34

•

h -~

1

Ver fig. IV - 3

\ '

1

R, 300.0

R' 320.0

•

\ 1

1 1

Fig. IV - 1 _ Geometria e· dimensões do modela experimental.

o. o; ~,

B..., 300 h

L 1.4 -= R

•

•

35

30.0-ttt-30.0 A furos 16 3.0 mm.

o <D

. . . . . . . . -...... -....... . . . . . . . . . . . . . . ......... ...........

·o ci "' <t

. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .• . . . . . .............................

1 1

C> 1D

1885

,2.1,107 2 Dimensões em E 11/m

milímetros Y, 0.3

.f' , O. 785 2 4

ti. s /m

Fig. IV. 2 - Detalhe da chapa de aço inox usada para a construção do modelo.

'

,

5.0

1 ~Tompo c;"''M PI,.,;,

-M-1

1 o . ,ri

1 ~

o ~ ,ri

"'

1

-

/ a, ..,

i 1

R, 297.0

1 1

R, 299.0 'e::~ Cilíndrica

1 Casca

R, 300.0 1

" . R' 3_9_1.0

1 R a 303.0 11 - -1 Dimensões em - 1 mi IÍmetr~s

1 R, 320.0

1 1

Fig. IV. 3 - Detalhe da ranhura torneada nos tampas circulares para apoio da casca.

36

IV.3. CONDIÇÕES DE APOIO

Foram realizados 2 tipos de apoios para o modelo:

- extremos simplesmente apoiados;

- extremos engastados.

A condição de simplesmente apoiada foi obtida introduzin

do os bordos da casca nas ranhuras (descrita5 no item IV.2 e

mostradas na figura IV.2) embebidas de silicone, o que tambem

permitiu a vedação do cilindro (ver figura IV.4 e foto IV.1).

Para conseguir a condição de engaste nos bordos da cas­

ca, foi usada resina epõxica, sendo que para garantir um perfel

to nivelamento e ajuste concentrico das tampas com o eixo do c!

lindro durante o endurecimento da resina, foi construida a es­

trutura em perfis (mostradas nas fotos IV.2 e IV.~) que consta­

va de parafusos niveladores e um sistema de prumos de madeira.

Para garantir o engaste perfeito entre a casca e tampas

de fechamento, formas circulares foram coladas ao longo das ra­

nharas• (ver figura IV.5), conseguindo-se assim uma maior supe!

ficie de contato entre cilindro e resina. Alem disso, essa

maior superficie de contato permitiu uma transferincia de ten­

s&es axiais - oriundas do carregamento vertical sobre a .tampa

realizado por macaco hidrãulico - mais uniforme ao longo dos

bor~os extremos da casca. Observa-se que esta transferincia de

tens&es axiais i realizada por tens&es de cisalhamento longitu­

dinal entre a parede da casca e a resina endurecida (vide fo­

to IV.4).'

1

37

Casca

Tampa Circular

='to mm Silicone-

Fig :az: 4 - Detalhe da ligação tampa-casca para a condição de extremos simplesmente apoiados

Resina EpÓxica

m:.;~~4"h,Ç,;L,/,ç,jl-- Formas de Fórmica

25 mm

Fig :rsr 5 - Detalhe da ligação tampa - casca para a condicão · de extremos engastados.

38

Foto IV.1 - Detalhe da ligação casca-tampa circu lar me ­

diante sil i cone

39

Foto IV .2 - Deta l he da estrutura para nivelamento e ajus ­te concêntrico das · tampas com o ei xo do cilin dro durante o endurecimento da resina

40

Foto IV. 3 - Montagem do mode1o experimental para conse­guir a condição de engaste

41

Foto IV . 4 - Oeta1he da 1igação casca-tampa circu1ar mediante res i na epôx ica

42

IV.4. MONTAGEM DO ENSAIO

O esquema de montagem do modelo para os ensaios e ilus­

trado na foto (IV. 5), e figura (IV.6), e a montagem geral e apr!

sentada na foto IV.6.

Destaca-se a utilizaçio de aparelhos de apoio de borra­

cha sobre a tampa de aço superior e sob a tampa inferior do mo­

delo, com o objetivo de isolar o sistema de vibrações espurias

e de qualquer interaçio com o ambiente.

Para os ensaios com fluido interno, foi instalado um tu­

bo transparente vertical para mediçio do nivel de igua conforme

pode ser visto na foto (IV.7). ·

Ainda foi usado um bloco de concreto armado, sobre o

qual foi montado todo o sistema, permitindo uma melhor observa­

çao visual durante o ensaio.

Cabe destacar que todo o conjunto foi perfeitamente ni-

velado.

4 3

Foto IV. 5 - Detalhe da montagem do modelo para os en-saios e instrumentação com acelerômetros

'!\ ' ..

=

1

·:: 1 00 1

o o

r-2.- Lauadro de Reação /=

-,:

' . --- Macaco Hidráulico .

- ,::_ -..

~ /_Placa de aço

/ /

' Placa de borracha

Nivel D1aoua ___ .

-~ _ Modelo

'1r _Placa de borracha ({ ,' / / / / /1>1/ n -Base de madeira

. . -Bloco de Concreto Armado .

~-

- /_Placa de reação ( tf 'h 1 "

/ / / / / / / / / . , / , , / /////; / , / , . , / , , / , / / / / / / / /

Fio. IV - 6 _ Montagem do modelo para os ensaios

45

Foto IV.6 - Vista geral da montagem para os ensaios

46

Foto IV. 7 - Vista do modelo e detalhe do tubo de medição do nivel de fluido

47

IV.5. INSTRUMENTAÇÃO

Para registrar a resposta dinimica no tempo nos ensaios

realizados, foram usados tris micro-ace1er6metros, dispostos ao

longo da circunferincia da seçio media, (ver figura IV.7 e foto

IV.5) igualmente espaçados num comprimento equivalente a uma

semi-onda do modo clãssic~ de vibração associado ã primeira fre

quincia natural da casca cilindrica com a geometrta· usada, de

forma d~ garantir a medição ventres dos modos de vibração.

Estes aceler6metros foram colados ã superficie da casca

na direção radial, permitindo assim medições de componentes de

acelerações transversais ã parede do modelo.

Deve-se tambem salientar que componentes verticais e cir

cunferenciais de aceleração foram analisadas com instrumentação

das tampas de fechamento. Esta instrumentação permitiu uma ava

liação das faixas de frequincia relativas aos movimentos de cor

po rigido da casca sobre o apoio de borracha e tambem aquelas

relativas a vibrações das pr6prias tampas.

Pode-se adiantar jã nessa seção que essas faixas de fre­

quincia são distintas das da casca, não mascarando portanto a

interpretação dos resultados.

48

Acl Ac2 Ac3 f

L/2[--'-==·\::::::l::·==,========:!:::::::============::::S.---~~ ~ i !

1 40 Impactas c/peteleca

Ace lerôme tros

Kyowa

Capacidade 100 g

.. '\

' , \

Fig .m 7 - Instrumentação com acelerômetros e direções dos impactos localizados.

1

49

IV.6. DESCRIÇÃO DOS ENSAIOS

Os ensaios foram realizados, para a casca vibrando sem

fluido e com fluido interno, com preenchimento parcial ou total,

e com pequeno carregamento axial.

A casca foi ensaiada sob a condição de extremos simples­

mente apoiados e extremos engastados.

A vibração foi causada, ou por impactos sucessivos na P!

rede lateral da casca dados com o dedo ("petelecos") em região

diametralmente oposta ã posição dos acelerômetros, ou·no centro

da tampa superior, dados com um martelo, como mostrado na figu­

ra IV . 7 .

IV.7. SISTEMA DE AQUISIÇÃO E ANÁLISE DE DADOS

Durante a aplicação dos impactos sucessivos (descritos no

item IV.6), os sinais dos aceler·ômetros, depois de amplificados.e

filtrados, foram gravados simultaneamente, utilizando-se um gr!

vador de quatro canais. Isto i ilustrado no esquema A da figu­

ra IV.8, que, tambim,.no seu esquema B, apresenta a ticni.ca pa­

ra a determinação das principais frequincias naturais (relati­

va.s a modos globais).

O sinal de aceleração no tempo foi obtido atravis de um

registrador grâfico de 3 canais.

Os equipamentos utilizados sao mostrados tambim nas fo­

tos IV.à, IV.9, IV.10 e IV.11.

'

50

ESQUEMA A - Gravação dos sinais dos acelerômetros nos ensaios de vibração livre.

PRÉ-AMPLIFICADOR t----o FILTRO Acl AC t------< · PASSA- BAIXA o o o (6 CANAIS) (G CANAIS) Ac2 r--'

• • GRAVADOR DE , FITA CASSETE

(+CANAIS)

ESQUEMA B - Análise e~pectrol poro.determinação dos freqUenc1os naturais.

GRAVADOR DE i-. ANALISADOR - MICRO-COMPUTADOR FITA CASSETE , DE ESPECTROS

HP-85 (4 CANAIS) ~ (2 CANAIS) -.

. .. J. p p L L o o T T T T E E

" R 'R '---

FI G.IV.8:Esquemas dos equipamentos utilizados poro gravação e análise dos sinais dos áceterõmetros nos ensaios de vibrações livres.

Foto IV. 8 - Analisador de espectro usado na interpreta ­ção dos resultados experimentais

52

Foto IV.9 - Vista do computador e plotter usados na ana-1 ise dos resultados experimentais

53

Foto IV . 10 - Vista geral da montagem para os ensaios onde pode-se observar parte dos equipamentos usa­dos (amplificador, gravador e osciloscõpio)

54

Fo t o IV . 11 - Registrador gráfico

55

CAPITULO V

RESULTADOS DA ANÁLISE EXPERIMENTAL

As figuras (V.1a) e (V.1b) mostram, respectivamente, pa­

ra a casca em vibração livre sem fluido e cheia d'ãgua, respos­

tas tipicas de aceleração radial no tempo.

A figura (V.2), por sua vez, mostra para a casca sob a

condição de extremos simplesmente apoiados e sem fluido interno

(tendo sido excitada com "petelecos"), o espectro de frequência

obtido pela aplicação automãtica da transformação rãpida de

Fourier ao sinal de aceleração no tempo dos três acelerômetros

com os quais foi instrumentada. Pode-se observar que os espec­

tros destes acelerômetros têm forma e valores idênticos; fenôme

no este que ficou evidenciado em todos os ensaios realizados.

Da mesma forma, os espectros de frequência resultantes

dos ensaios com excitação mediante impacto com martelo no cen­

tro da tampa superior, foram tambêm idênticos aos anteriormente

descritos. Por esta razão serão mostrados, para todos os en­

saios, somente os resultados obtidos da anãlise do acelerômetro

2 (vide figura IV.7) correspondentes a excitações mediante im­

pactos laterais com petelecos.

7.9

O>

> O.O e ~

"' ú ...

-7.9 Ac.3

(a) Sem fluido

4.6

0 O.O

> e ~

"' ú -4.6 ...

Ac.3

( b) Com fluido

56

1------1 l/ 500 seg

t------1 1

-seg 500

Fi9 V - 1 _ Resposta de aceleração x tempo

Casca com extremos simplesmente apoiados

tempo (seg)

tempo (seg)

S7

41.3~--~-----"'-~--~--~--~-----,------,-----.---,---,

20.7

o

41.3

M N

:I:

' -(\J OI :ll 20.7 ..... 5 -u

e o o e:

,a, :,

~8 ... -G)

-o

"' o ... -() 25. \li

G) Q.

"' w

w :t 6 Hz

(a)

w! 6 Hz

( b)

w!6Hz

Ac 2

Ac l

Ac 3

· Frequência (Hz) ·~

~ Q

Fig V 2- Espectros e~perimentais de frequência Apoios simples _sem fluido_ impacto lateral H/L = O.O

58

~ A.figura (V.3) mostra o espectro jã ilust~ado na figur~

(V.2a) em forma ampliada.

Pode-se observar através da figura (V.4) o espectro de

frequéncia para o caso da casca cheia d'ãgua, com extr~mbs sitl=

plesmente apoiados. · :'. ·

Os ensaios realizados sob a condição de extremos engast~

dos, estão ilustrados através dos espectros apresentados atra­

vés das figuras (V.5), (V.6), (V.7) e (V.8) mostrando, respect__!__

vamente, o caso de casca vibrando sem fluido, com ãgua atê a

metade, com 3/4 partes de ãgua e com preenchimento total de

agua.

Ji a figura (V.9) mostra o comportamento da casca com e~

tremas simplesmente apoiados, através de um espectro de frequé~

eia, para~ caso de vibração com uma flambagem local (mostrada

na foto V.1) produzida por uma concentração de tensões na zona

de apoio inferfor devido sob a ·aplicação de uma pequena carga com o me

canismo mostrado na figura (IV.6). Pode-se observar neste. es­

pectro, ao ser comparado com o da figura (V,.3), que a flambagem

local não altera as caracterTsticas dinãmicas da casca, fato jã

comprovado para pequenas imperfeições geométricas. Este fenôme

no serã abordado mais adiante no Capitulo VII.

Os espectros de frequência x modos de vibração mostrados

nas figuras (V.10), (V.11), (V.12), (V.13), (V.14) e (V.15) fo­

ram obtidos a partir de comparações com os resultados teôricos,

considerando-se a proximidade dos valores de frequências, jã

que resulta praticamente impossTvel reconhecer expe~imentalmen­

te os modos de vibração da casca.

Uma anãlise mais profunda destes resultados sera feita..f

-N :e ......

t\J o :ll ..... E u

LI

" u e:

<CD g. CD ... -~ o ... ....

41.3,----t-----,1------,----t--~-+----+----t-----+-----1---~

20.7

Ao 2

w:!:6Hz

"' <D

"'

o m "'

o "' "'

<D

"' <D

<D

"' <D

u CD Q. ,n

LIJ o.o -l-.c=:c::::!.~::::'.:__ ____ --j_---+-----<f-----+------=::::::::.....-______ -1 600 700 200 300 400 500

Frequência ( Hz)

Fig 1Z" 3 -, Espectro e?.<perimental de frequência - casca simplesmente apoiada H / L = 0.00 - Impacto la tera 1

'-" <.O

M N J: .....

(\j OI a,

"' .... E o

w o o e

•a> :::, tT a, ... -a, -e,

o ... -o a, Q.. .,,

LI.J

41.3 ,-----t-----t-----+-----+-----+----f----1----+-----+----~

Ac 2

w ± 6 Hz

20.7

"' a,

"'

... '° "'

a, a,

"'

"' "' ... o '° ...

"' a, ... o "' '°

o+-----t-------1----1----1----+----+----t----1-----+-----100 200 300 400 500 600

Frequência {Hz)

Fig !l.' 4 - Espectro experimental de frequência - casca simplesmente apoiada

H/L = 1.00 - Impacto lateral

"' o

n N :e

' C\lc,

Q)

"' ' E u

LI

e ·e:; e ,a, ::, C" Q) ... .... Q) -e o <l ... -o Q) Q.

"' w

200;~----+-----1-----+-----+----1----+----+-----1-----+-----

Ac 2

w '!6 Hz

103

.. m "'

o ~ ..

"' ..... "' ... ..

"' o "'

"' "' "'

o-l--=::::::'.+----+----+----+--___:~---1----1----t-700 300 400 500 600

Fig 'l2" 5 - Espect,ro e~perimental de frequência - casca engastada H/L = O.O - Impacto lateral

o ,__ ,__

Frequência (Hz)

r, N

:i:: ...... ....

t\l CII Q)

"' ...... E o -u

Q) 't,

o ... -o Q) Q. .,

Lú

39

o

Ac 2 w :! 8 Hz

N Q) 13 ... ... Q)

g o N "' "' "' "' ...

N Q) N o Q)

N N "' "' "' Q)

co "' N "' ,_ co "' "' N

"' "' "' ,_

... "' "' Q) N "'

2 ~

o 200 400 600 800

Frequància

Fig lZ' 6 - Espectro experimental de frequência - casca engastada

H/ L = 0.5 - Impacto lateral

Q) N O')

1000

(H z)

0-,

N

..... N :e ...... -N e, Q) ... ...... E e, -u

o e, e

•a> ::, l:T Q) ... -Q)

'O

o ... -e, Q) Q. ...

LLJ

103

Ac 2 w ! 6Hz

ie ... <D ... "'

ie 52 "'

<D

"' "' <D ;;;

re "' <D "' ... o,

~ <D "' o "' ... o ... o <D "' o

"' "' ... o "' "' "' <D

"' "'

o 150 250 350 450 550

Fig 1Z" 7 - Espectro experimental de frequência - casca engastada H/L=0.75 - Impacto lateral.

"' o <D

o o <D

... ... <D

a, w

o "' "'

850 Fre quênc la (Ht)

.., N

::t:

' (\J

e, (1) ., ' 6 --w

e <.> e

• (1) ::, C" (1) ... -(1) -e

o ... -o (1) o. ., w

Ac 2

w ! 6 Hz

52

o ~

... <D N

a, o "'

o a, o ... "' "'

... ~ N

N ... m ... "'

<D m ...

N

"' .,

a, • U) .,

U)

m .,

o -+----i-----t-----+----t-----+-----t----+-------lf------+----1 150 250 350 450 550 650

Frequência ( Hz}

Fig 12: 8 - Espectro experimental de frequência- casca engastada

H/L = 1.0 - Impacto l,ateral.

~

N :e ...... ~

(\J

l ..... E o

LI

.!:! o e:

UI) ::, O" CD .. ,._

~

2 -o CD Q.

"' ILI

103 ~-----l-----+-----+----+----+----+-----+-----1-----1-----,

52

N a, N

.,. o "'

.,. "' "'

o ;?

.,. CD .,.

CD .,. "'

CD

"' "'

CD N

"'

.,. o ...

o-1----+----+----t-~~-1-----1------11-------l-----+-----+------, 250 350 450 550 650 750

Frequência ( Hz)

Fig ll 9 - Espectro ~~perimental de frequência - casca engastada

H/L = 0.00 - Impacto la tera 1 #- flambagem local #

o, u,

66

Foto V.1 - F1ambagem loca1 devida a concentração de ten­

sões no apoio sob a aplicação de uma pequena carga axia1

10 -.--~~~~~~~~--r-~~~~~~~~~~~~---.-~~~~~~---------,

j I m=n.semi-ondas longitudinais! 9 - ........ , ........ : ........ , ........ , ........ , ........ ; ........ :.... 11 m= 1 exper im. -f ··· ··+······· ······+······'.·········(·······

: : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . · ' ' ' ' ' ' <> m=2 · ·

8 _ ········!········l········/········j-·······/········f ········/···· exper 1m. -\········(······· ········?·······!·······+······ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7 - ........ ~ ........ ( ........ ~ ........ ~ ........ ~ ........ ~ ........ ; ........ ~ ........ ; ........ ; ........ :, ........ ~ ........ ; ................ ~ ....... ; ........ ~ ...... . o : : : : : : : : : : : : : : : : ..... X

N .s:::

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : <Z> : D : : :

6 - ........ ; ........ : ....... ; ........ ; ........ j ........ ; ........ j ........ ; ........ j ........ f ........ , ........ ; ....... , ................ , ....... ; ......... , ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : ~ : : Ili : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

< 5 - ········:······--:-···············:-······/·····t·····/······:·······:········t················i··· ···t-······· ·······{·····)·······-:······· H : : : : : : : ; : : : : : : : :

~ 4 - ...... .,: ........ :. ....... L ..... ). ...... ,: ....... L ..... .1 ..... .) ..... -) ....... ~ ....... L ...... t ... .. ) ....... ....... .[.. ... ) ........ .; ...... . UJ • • . • . . • . . . . . • • • . ::i : : : a : : : : 111 : : : : , : : ~ . . . . . . . . . . . . . . . ~ 3 - ........ : ........ j ........ : ........ : ....... , ....... ~·······~·······~········i········f ········: ........ ; ........ ; ........ : ....... {·······j········-f ·······

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - ········:········:········:········'········:········:········'········:········:········'········:········,········,········'········,·······'·········,······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t - ........ : ........ ; ........ : ........ : ........ : ........ : ........ ; ........ :,,, .. , .. : ........ ;- ........ ~ ........ : ........ ;- ........ ; ........ ;- ....... ~ ......... ;- ...... .

o ---.-. --;.,--,.---..-,-..;.,--,.---..-,--.,--,.-----;.., --;.,--.---.--.,--',.-----;-, -2 4 6 B 10 12 U 16 18 20

n. ondas circunferenciais. n FIG.V.10. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - APOIO SIMPLES - H/L=O.O - R/h=300

a -.--~-~~~~--~ .. --.--------------,--~-~ .. -~-~-~--, m=n.semi-ondas longitudinais

pontos experimentais a m=1

7 - ·••··••· ....... ···•• .. :-·······:···· ··r··· .. ··:~~-~--,1 : ~=~ 1.---~--4.·················=··························=········

. . . . o : : : : . : . . : . o 6 - ............... ·······:········:········:-········:-·······:········:·······-:········-:········:········:········:-·······-:········:········:-·······-:········~········ .... : : : : : : : : : : : : : : : ; ~ . . . . .. . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .:; + : : ~ : : : : : : : : 9 . 1111 : E. 5 - ................ ·······!······"!'"""''':'········:········-:········!· .... ,.,; ........ ~ ........ !········~········:-········:········!·"·"·"':········-:········!········

: : : : : : : : : : : ~ : + : : . . . . . 6 . . . . . . . . . . < : : : : : : : : : ~ : : 1111 : : H • . . . • . . . • • • . .

§i! 4 - ...................... :.· ....... t ........ .-.: ....... i. ........ i ......... :.· ....... i ......... ? ........ ? ........ J ........ , ....... i .......•....... , ....... j. ....... ]. ...... . w . . . . . . . . . . . . . . . . :::, : : : : : : : : : : : : : : : : C?t • . . . • • . • • • • • . . •

li! : : : + : : : : : : : ~ : : : : Lr.. : : : : : : : : : : : : : :

3 - .............••. ·······~········!········~········i·······+·······i········(········~········!·······+······•········\········~········~·······~········i········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : + + : • : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 - •··•••· ............... ? ....... ; ...... + .... ·+· .. ··+······/ .. ·····j""""~······f "".) ........ ; ....... i······+ .... ·+··· .. +······i·· ..... . : ·~::: l!I::: 1::::: . . . à à à : : : . . . . . . .

t - ....................... ; ........ ; ........ ~ ........ ; ........ ~ ........ ; ....... ~ ........ ~ ........ ; ........ ; ........ ~ ....... ~ ........ ; ........ ~·-·····~········!········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o --1---.,--....-,----,,r-----.,--r-,-,r-----.,--r-,-r--,--,,----r,--r-,----<,r----r,--...-,-r--,--,,----r,--1 t 3 5 7 9 tt ~ ~ D ~

n.ondas circunferenciais n FIG. V. 11. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODO's DE VIBRACAO

ANALISE EXPERIMENTAL - APOIO SIMPLES - H/L=1.0 - R/h=300

"' 00

m=n.semi-ondas longitudinais • m=1 experimental

11 - ········ ........ :- ....... ~ ............. ---,----,--.,..-~-----,----,----,-----i••••····:"·······~········~········:-······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10· - ................ ~·······~········~··· .. ···~······ .. 1 .... ,,,,~---····i········;········~·······~········~········i········~·-·····1········1········ ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

õ . : . : : : . : : : . : : : • o 9 - ........ ·······-~········:·······-~- .. , .... :········:········:·······!········:·······-~········=········~········:········!·······~········:··· .. ··· ....... . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : .: : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - ...............•....... : ........ ; ........ ; ........ , .. ······:·······; ........ , ........ , ........ , ........ , ........ , ........ , ................ ; ............... .

,-, : : : : : : : : : : : : : : : N : : : ; : : : : : : : : : : : .e. . . . . . . . . . . . . . . .

1 - ................ \ ...... ) ........ j.. .... ) ...... ) ........ '. ....... ). ....... : ........ '. ...... ..j. ....... L ....... : ....... , ...... ) ........ j. ............. .. ~ : ~ : : : : : : : : : ó : : : u . . . . . . . . . . . . . . . Z 6 - ................ ;. ........ ; ........................... ; ........ ;. ................ ; ........ ~ ........ ; ........ , ........ ; ........ ; ....... ~ ....................... .. UJ : : : : : : : : : l!I : : : : ~ . . . . . . . . . . . . . .

~ 5 - ................ ~_: ...... ) ......... , ......... i ......... i ......... t ........ ~ ......... i_ ...... ) ........ o ........ l ......... i ......... t ........ ~.: ........ i_ ............... .

~ . . . . . . . . . . . . . . . u.. : : : ó : : : : IIÍI : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . .

4 - ................ r ....... '( ...... 1 ....... t ...... ~ .... ··;·· .... ·~······r······'f'· ...... (······(·· .... ( ...... 1 .. -· .. ·1""···· .. 1· .. ····· ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 - ................ , ....... , ........ , ........ , ........ , ........ , ....... , ........ : ........ : ........ : ........ , ........ : ........ : ....... , ........ , ............... .

2 -+---.-,--.--,--,,---,.,--....-,---,,r----.,--..--,-r--,--.,---,.,--....-,---,,.----,,--,-,--.--,--,,r----t 2 4 6 B ~ 12 14 16 18 20

n. ondas circunferenciais. n FIG.V.12. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO

ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=O.O - R/h=300

s~---------~--------------..---------------. m=n.semi-ondas circunferenciais . . . a m=1 experimental .

e - ·······-r·······~········~········+········~········!········~·········~········~········~········t········!········+········~·-······!········~········~·······"• : : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : : : : : ó . . . . : : : . . . . . : : . .

- 1 - ········f·······r········;·········;········~········r········1········?········;········;········1········~·········(·········~········1········~········~········ § 1 1 j 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 i : >< • : : : : : : : : : : • : : 11!1 .

- B - ········~········1········~·········~········1········;········~·········~········~········~········\········;·········1·········~········'.········;·········!········ . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : 1111 : : : : : : : : : : : : : : : : : . : : : : : : : : : : : : : :

<( 5

- i·······r·······i········r·······-r········r ········~········r·······-r········f ·······-r········i········~········r·······~········i········i········r······· t-t . . . . . . . . . . . . . . . . . u . : : : : : : : : : : : : : : : : z â : : : : : : : : : : : â : : : : UJ 4 - ········:········:········:·········:·········!········:·········:·········:·········:········~········:········:·········:·········:·········:········:········~········ ~ : 111 : : ) ) ) ) ) ) i 111 ) ) ) : : CI: : : : : : : : : : o : : : : : u_ 3 - ········f ·······1········~········'.········1········j········j········t········\·······~·······1········1········t·······t········:········1········1········

: : i;I . : : : 11!1 : : : : : : : :

: : : : ~ ó o ó : : : : : : : : : 2 - ········-:········:········-:·········:-········:········:········-::·········:-········~········:········:········:········,::·········:-········:········:········-:········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i -t---.-,· --;;---.-,· --.-,·--.;-,·--+,·--;.;--+;---.;---;;---;;e---;.---.-,·--,;-,·--+,·---;.;---;.;--;

2 4 6 B iO 12 14 16 iB 20

n. ondas e ircun f erenc ia is. n FIG.V.13.ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO

ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=0.50 - R/h=300

o o

e -.----~-~-~---........ ----------::---,..,---,--,.,-~-~-~-~--. j I m=n. semi-ondas long i tud ina is : : 11 m=i experimenta 1 ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 - ········y·······?·······-~········r········~·-······1········-r·······-r········1········1········y·······-r·······-~·-······1········f·······~········r·······11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . -. . . - - . - . . . - . . - . - -: : : : : : : : : : : : : : : : : - . . . . . . . . . . - - - . . .

B - --••• -• -~. -••• --• -~ .•••..• -~ •••.•.• -~ ••••••• ·\-. --• ---~- -. --••• ·!· ...... --~ -...... -~ -....... ~ ........ ~- ..... --·~ ....... -~ ........ ~- ....... ~- -----. -~· --..... ,. -----.. ! 1 1 ! 1 1 1 1 ! 1 ! 1 1 1 1 ! 1 : : : : : : : : : : : : : : : ÍI : : : : : : : : : : : : : : : : : -X s - ........ ~ ......... ~ ........ : ........ ~ ........ ; ........ ; ........ ~ ......... ~ ........ : ........ : ........ ~ ......... ~ ........ : ........ : ........ ; ........ ; ........ L ....... . : : : : : : : : : : : : : : " : : . . . . . . . . . . . . . . . . .

N : : : : : : : : : : : : : : : : :

E 4 - ....•.•. J ......... i ....... ) ........ i ........ } ........ ~ ........ ~ ......... t ........ / ........ ~ ........ r ........ ~ ....... ) ....... ~ ........ ~ ........ ~ ........ ( ....... . <( 1~ : ( : : : : : : ( : : : IÍI ( : : : H . . . . . . . . . . . . . . . . LI : : : : : : : : : : : : : : : : :

r5 3 - ........ ~ ...... ) ........ : ........ [ ..... .) ...... ..] ....... ) ......... \ ...... ..: ........ : ........ ;.. ..... .i;i ...... ..; ........ / ....... .j ........ ] ........ ;.. ...... . 15 : .. : : : : : : : : • : : : : : : w : . li : : : : : : : . : : : : : :

E 2 - ········;··· .. ···-f ········f ·······~······~ .. ·····i······-l-······~·······~······~·······}········;·······)········:········;········:········j-········

1 1 ~ i . 1 I : 1 1 i 1 1 1 1 1 ! : : : : . : : : : : : : : : : : :

1 - ········1········t········i·······t········~········i········t········~·······-~·-······~·-······i········-t········~········1········1········1········1·········

1 ! ! 1 1 ! 1 ! ! 1 ~ ! ! 1 1 1 : 0 +--,}i----í}--;.}--;.;--.;. ,' --.;. ,' --i-,' --i-,' --,i-' --,;i-----,i'----í,---íi---Í1=--.... ,'--.;. ,' --.;...... ,-4

2 4 6 e w ~ ~ ~ ~ 20 n. ondas e ircunferenc ia is, n

FIG.V.14. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=0.75 - R/h=300

. -,----,----,---,------,,----,-------------,---,------,-----,---,---,---, m=n.semi-ondas longitudinais

• m=1 experimental 1 - ········\········~········!········?········!·········~········~·······~·········~·······~········~········~········~········~········!········~········:········

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : .. : : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- B - ..•.••.• ; •.••• ,,,!,,, ••••. ; •..•.••. ; •....... ~ •....•.. ; ...•.••• ~., ..•• ,!,,, ...... ~ ....... 7 ....... ~ ........ ; ........ ~ ........ ; ........ ; ........ ~ ........ ; ....... . o : : : : : : : : : : : : : : : : a o : : : : : : : : : : : : : : : : : ~ : : : : : : : : : : : : : : : : : X : : : : : : : : : : : : : : : 11111 :

B - ·••··•••J··•••·•·!••••··•·!••••••••~••••••·•:•••••••••~····•·••:-•••••••-:•••••••••:!>•••••••·:•••••···~····••••!••••••••~••••••••!••••••••!••••••••~••••••••1•••••••• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N : : : : : : : : : : : : : : á : : .e : : : : : : : : : : : : : : : : .__. ; : : : : : : : : : : ; : : . . .

• - ········:········:-·······:········,······ .. i········r········i·······j·········,·······j········'.········,········'.·······.-·······:········,········,········ <(

H 1. l!I u . . . z 3 - ••..••• a ....... i ........ ; ........ ~ ........ : ......... i ........ : ......... : ......... ~ ........ : ........ ~ .......•....... ~ ........ ; ........ j ..•.••.• ~ •.•••.•. j ....... . UJ : : : : : : : : : : : : : : : : :

f!l : • : : : : : : : : • : : : : : : UJ . . . . . . . . . . . . . . a: : . Ili : : : : : : Ili : : : : : : : LL. 2 - ········:········:········:·······•·······:-········:········:-·······-:·······•·······-:········:········:········-:········!········:········:········:········

: : : : ••iii•::::::::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t. - ········:········:········:········:········:········:········:·······:·········:·······:········:········:········:········:········:·······":········:· .. ••••• . . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • -+---.;--+;--..-,· ---,;,---;.;--+;--..-,· --;--,· --,;'------,;--+ ,· --..-·, --,;-· ---,;'---;-;--;-; --..-,· ---t

• 4 8 1 W ~ ~ d ~ 20

n. ondas e ircun ferenc ia is, n FIG.V.15. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=1.0 - R/h=300

73

no Capitulo VI, onde serao comparados aos resultados

através da análise teõrica realizada.

obtidos

74

CAPÍTULO VI

ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

TEóRICOS E EXPERH18ffAIS

Pode ser notada, nos sinais experimentais de aceleraçio

vs tempo ilustrados nas figuras (V.1a) e (V.1b), a diversidade

de modos de vibraçio envolvidos na resposta dinãmica, indicando

a ocorrência de acoplamento modal, fenômeno que se torna eviden

te pela quantidade e proximidade de picos de banda estreita de

frequência, nos espectros experimentais apresentados nas figu­

ras ( V . 2 ) e ( V . 3 ) .

A análise e comparaçao teôrico-experimental desses e ou­

tros resultados ê feita a seguir para a casca com a geometria e

caracteristicas fisicas do modelo experimental apresentado no

Capitulo IV.

75

Vl.l. RESULTADOS PARA A CASCA SIMPLESMENTE APOIADA~ VIBRANDO

NO AR

t notãvel a proximidade entre valores das frequências n~

turais te6ricas e experimentais, indicada pela comparação entre

picos dos espectros ilustrados nas figuras (VI.1 ), para o caso

da casca vibrando no ar, sob a condição de extremos simplesmen­

te apoiados.

Deve-se enfatizar que a boa comparaçao entre esses resul

tados ê devida, principalmente, i formulação te6rica adotada.

Esta formulação, apresentada no Capitulo II, permitiu a

identificação dos modos de vibração associados is frequências

naturais, pois leva em conta o acoplamento modal resultante.

Esta identificação modal seria impraticãvel atravês da simples

utilização dos resultados clãssicos encontrados na · :1 iteratura

têcnica, os quais não levam em conta o acoplamento entre modos

de vibração.

A correlação favorãvel entre os valores experimentais e

te6ricos, indica ainda uma simulação experimental adequada da

condição de apoio simples nos extremos da casca.

Atravês da figura (VI. 2), pode-se observar a concordãn­

cia entre valores te6ricos e experimentais, em um espectro de

frequência vs modos de vibração, onde os valores te6ricos foram

representados por linhas continuas e os val0res ,exper~mentais

por simbol os. A concordância entre ambos o,s, .estudos~podem ser vis­

ta tambêm atravês da tabela VI.1, que indica ainda os modos de

vibração associados is frequências.

o (.) e:

fQ) ::,

ª" -Q) "C

e õ Q) Q.

"' LLJ

8 -e: Q)

E 8 o 8l

"C

Q) "C

Q)

"C ::, -Q.

E <t

318

290 278

(A) Experimental

-m a>_ .... ~ --_ ,_ - - -co -

200 300 (8) Teórico

339

"

76

:!62 478

418

390

400 500

550

626

600

Frequência ( H z)

656

700

Fig 1ZT l - Espectros de frequência - Vibrações da casca sem fluido estremos simplesmente apoiados.

~

o o ..... ~

~

N

.:S <( H u z UJ => CI UJ a: LI...

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

o

\ "",.. ;., " " ....... ······ ........................................ .

\ ----- m=i teorice ., ...... ,.~ .... ;... ... ....... ....... ....... ....... - - · m=2 teor ico \ 1 \ ;

··\····~·····~~········~ ......................... . \ i \ .

.. ~: .... :.~ .. : .......................... .

~- m=3 teorice b. m=1 experim.

X m=2 experim.

\ 1 1 , 1 \: \: ....... ~ ....... : ........ : ........ ~ ........................... . ······\······r·····\······r····· :....... ....... : : : : :\ : : \ : : ....... ~ ....... : ........ : ........ ~ .............. ······· ...... .

·. ·. ·. ·. ·. ·. ·. ·_: ·. ·. ·.:.,: . .-. -.:'. ·. ·. ·. ·. · ..... [. ·. ·. \. ·. ·.~. :_ .... ·. ·. ·. ·. ·. :. ·. ·. ·. ·. ·. · .. _i. ·. ·. ·. ·. ·. ·. ! i . 1

.. .. . ...... ; ....... ; . ' ...... ; ........ ; ........................... . ' . . ' . : : : : \: ' . ': : : : : : / .. \, . . . . . . ~ ..... ... ....... .: ....... s. ....... ; ....... ~ ....... !-., ...... ; ....... .: ........ ~.... : ........ : ........ ~....... ....... ....... ....... . .•...• ~ ... ..<,"._.r, ..... .

! f >L.f ! 't,r~I~L~L~I~f ;1;;r1~f ~f j ·······r······i······:·······:·····~*~·~~1~~~1~~~1~·~·~i~:·~*~-"t·····-:·······:·······(······:-······:·······1·······:·······

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ···············-········-·······························-························"········································-········ .. ······················· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 5 7 9 11 13

n. ondas circunferenciais. n 15 17 19

FIG.VI.2. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL

APOIO SIMPLES - H/L=O.O

78

Tabela VI .1 - Comparação teõrica-experimental e modos de

vibração - Casca simplesmente apoiada -

H/L = O.O

Frequência [Hz] Modo

Teõrico Experim. ( m, n )

283 278 ( 1 , 8 )

292 290 ( 1 , 9 )

306 ( 1 , 7 ) 318

322 (1,10)

367 (1,11) 362

369 ( 1 , 6 )

424 418 (1,12)

486 ( 1 , 5 ) 478

489 (1.13)

561 (1,14) 550

566 (2.11)

608 (2,13) 626

640 (1,15)

79

VI.2. RESULTADOS PARA A CASCA ENGASTADA VIBRANDO NO AR

A condição de extremos engastados teve tambêm uma simula

çao experimental adequada. Pode-se concluir isto atravês da

comparação entre os valores teõricos e experimentais ilustrados

na figura (VI.3), e especificados atravês da tabela (Vl.2).

Novamente, conclui-se que a formulação teõrica adotada,

com a. consideração de acoplamento modal, permitiu a identifica­

çao modal e conseqüente correlação entre os resultados experi­

mentais e teõricos.

Na figura (VI.4) faz-se uma comparaçao entre resultados

teõricos e experimentais da casca no ar sob condição de extre­

mos simplesmente apoiados e engastados, atravês de espectros de

frequência vs modos de vibração. Nestes espectros e possivel

notar que os valores minimos de frequência dos dois espectros

ocorrem para valores diferentes do numero de ondas circunferen­

ciais, devido ã influência das condições de apoio. t possivel

comprovar ainda que a medida que n cresce, os valores de fre­

quências da casca engastada e simplesmente apoiada, tendem rap~

damente a um mesmo valor. Este fenômeno ê devido ao fato de

ser dominante a energia de flexão, para valores de n superioresao

correspondente ã frequência natural.

Cabe lembrar que um dos parâmetros que influencia o com

portamento dinâmico da casca, ê a variação da relação L/R. Um

estudo da influência deste parâmetro sera feito mais adiante,

com a anãlise dos resultados obtidos.

o o -><

~

N .e

<t H u z lJ.J ::::J CI lJ.J a: LL

12

11

10

9

B

7

6 ............................................................................... : ......... ; ........ ; ......... ~ .............. .. . .

5 ,,,.,,,,,;.,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,

4 .............. . .

-- teorico + experimental

2 -+----.---,---,-~-.---.---,---r---,---,---,----,----r--;---;----,----r--;-----;

2 4 6 B 10 12 14 n. ondas circunferenciais.

FIG.VI.3. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL

16 1B 20 n

- ENGASTE - H/L=O.O

o:, o

81

Tabela IV.2 - Comparação teõrica-experimental e modos de

vibração. Casca engastada - H/L = O.O

Frequên4:ia [Hz] Modo

Teõrico Experim. ( m, n )

373 366 ( 1 , 9 )

379 370 (1,10)

393 394 ( 1 , 8 )

405 41 O (1,11)

441 442 ( 1 , 7 )

449 450 (1,12)

505 506 (1,13)

522 526 ( 1 , 6 )

571 570 (1,14)

643 634 ( 1 , 5 )

646 654 (1,15)

728 720 (1,16)

81 7 (1,17) 800

818 ( 1 , 4 )

91 3 928 (1,18)

16

15

14

13

12 o o 11 -X

10

N 9 .e ~

B <( H 7 u z w 6 :::, e, w CC

5 LL

4

3

2

1

o

___ _;_ _ _;_ _ __; __ .;__ _ __;_ _ _;_ _ _;_~..... . .. . . . . . . ....................................... . m:1 ----- tear ica

engaste .. •'· ........ ~- ...... . . . . . experimental . . . ... ··············~·"'''"········· . . . . . .

--tearica ..... ··>·······<·········-:········ , : : , apoio simples

\: : : ....... \ ....... ·: ...... ··!· .... ·..._ _________ t_e_x_p_e_r_1_· m_e_n_t_a_l~

: \ : : ' : : . . . . . . : . ........ ,l,,,, ......................................................... ,-,,,, .................................. ............... .

1 \ 1 : . 1 1 1 1 ; . 1 ........ ·:"' . ·\· ,: .... -.. ···:· ....... ,; ........ '! ........ ~ ......... ! ........ ~- .. ' .... ·:· ....... -~ ..... ""!""' .................... .

........ r .... -~i\ ..... .. ( ....... -~ ........ i ........ ( ........ ; ........ ~- .... ----~ ..... --) ........ ; .... -............. ----.. . ' . ' .

. ..... \""'"'

: : ... : : . ........ ~ ........ : .... ~,,.: ......... ~ ..... ) ........ ~ ......... \ ....... ) ......... ~ ........ ~ ........ )......... ........ .... . ......... ~ ........ ~ ....... .

! ! à, 1 ! '. ! i 1 l l . 1 l ... · · ... ·1· ... · · "'!' · .... · ·~··"-..:~· "( .. · · · .. ~ · · · · · · · · ~ .. · · · · · · ·\" · · · · · ·~· .. · · · · · t ...... .. t · .. · · · · · 1 · · · · ..... :.."" · .. : .. · .. · · · 1· · · .... ··)""' .. · · 1·· · · · · · · ........ ~ ......... ~ ....... 1 ...... ~.~:-.,c, ..... ; ........ ~ ......... ; ........ { ........ 1 ......... ; ...... ,:.: .... :~ .... ; ........ ; ........ r ........ i ......... { ...... . ........ L. ..... .l ........ L ..... .L ... ~~.17>.-i~~:·~J~·~~~á:·s··-4~~-~.: .~~~ ... : ......... [ ....... L ....... L .. ..... l ........ !. ...... .

: : ; . : . ; . ' : : : : ........ .: ......... ; .... '' '. ~ ......... ; ........ ' ..... , ......... : ......... ; ... '.''';'' ...... -~ ........ ; ........ ~ ................... , ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ·:·· ...... ·~ ....... ·~·· ..... ··~· ....... :·· ...... ~- .... . .. ~-·--· -·. ·:· ....... ·~ ....... ·:· ....... -~ ........ : ........ ·:· ....... ·:········· ~·· ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ..... ~· ........................ . . . . . . . . . . . . .

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais, n

FIG.VI.4. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS H/L=O.O COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES

o:, N

., "C

i UI w

l! ai E e 8 :

"111

CI)

"C

CI)

"C ~ -a. E

<(

83

~---------·---------------

w!l.2Hz

(A) Experimental

100

"'· -

(B) Teorice

? -.

w! 6 Hz

214

"' N

,n -.

346

-"'

.. ) - Vide Tabs.

402

462 520

(. .. ) - Vide Tabs.

"' - ~ --in- .. a,

O) .- ,..._ ,,., ......

.;.r-.- N --~ -

Frequência (Hz)

Fig 'lZl .S - Espectros de frequência- vibrações do casco com flui do. Extremos simplesmente apoiados.

84

Vl.3, RESULTADOS PARA A CASCA SIMPLESMENTE APOIADA CONTENDO

FLUIDO

O fenômeno de acoplamento modal, mencionado anteriormen­

te, e mais forte e evidente com a presença de fluido.

Foi visto no Capitulo III que o aumento da energia cinê­

tica do sistema (que na formulaçã~ teôrica adotada ê traduzido

atravês do acrêscimo do parãmetro ~ de massa de fluido adiciona

da) implica na redução dos valores das frequências naturais.

Esta redução torna os espectros mais abatidos, envolvendo uma

quantidade maior de modos de vibração em faixas estreitas de

frequência, indicando a ocorrência de acoplamento modal.

Isto pode ser comprovado atravês dos espectros de fre-

quência ilustrados na figura (VI.5), para a casca completamen­

te cheia de fluido (H/L=1 ,O), onde a grande quantidade de picos

envolvidos em faixas estreitas de frequência confirma a ocorren

eia do fenômeno. Tambêm nas figuras (VI.5) pode-se comparar

os resultados teõricos e experimentais para a casca cheia d'agua

sob a condição de extremos simplesmente apoiados.

A figura (Vi.&) mostr• atravês do espectro de frequência

vs modos de vibração, a boa comparação entre os resultados teõ­

ricos e experimentais. Isto pode ser observado mais claramente

atravês da tabela (VI.s), e pela forma desses espectros, que, como

comentado anteriormente neste ítem, ê mais abatida que no caso

da casca vibrando no ar.

A influência da altura do nivel de fluido (traduzido pe­

lo parãmetro H/L) nas frequências naturais da casca simplesmen-

10

9

, ' m=n. semi-ondas longitudinais : ': . . 1 . ·······,········,.;······:·······,-······· m=1 teor ico A m= exper 1m. . ... , ....... , ........ , ....... . ' ' ' ' ' ------· m=2 teor ico x m=2 exper im. 1 1 1 ' : : ' : : : : :

B

~

o 7 o -X

6 ~

N .e

5 <( H u z 4 w ::, e, w 3 a: LL

... ~-_ .. , ........ ; ...... \ ...... ;........ - - - m=3 teorico v m=3 experim. ····:·······, ........ , ....... .

'\\ l 1 ', 1 : . . : = . : . . . : : • • /

r>,L\I t<:J r I T J I I i r T T~t;iJ? .... , ...... [ ..... :t,<:-1- .. ·····[··· . f .>.~··,·;·~··L··~··l······ .. j . ·····[· ·~·-c·;··j;·~.Z~;:l-~.<~i········i·······

: : : :i:, : : : : : V- - ...... - V- : : ,,x : : : ··· · ·· ·:···· · · ··r · · ···· · :· · ·· ·· · ·:---~~,+:~ ·- ·r···· · · -r ··· ·· · ·i · · · · · ·· r·· ····-r·· · · · · · 1 • ••• • • • -r · · · ····r· · -~~-~f ~-~-- · ( · · · · · · r -· · -- ·-r · · · · · · ·i · · · ·- · ·

....... ]. ... L .... : ....... 1 ........ 1·· .~1~.>~·-~~~~·~·~·;~~~·;·~·~~l~·--~k~.~}-...... \········f ... j ........ [ ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . . . . . . . . . . . . . . ....... -·...... .. . . . . . . . .... -- ....................... ·- ....................... ·-..... . ...................... ·- ....................... -- .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . -. . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 ....... ·:· ...... ·~ ....... ! . . . . .. -:- - . . . . . . . ...... ~.... . . -:- ....... ! ....... ~· .... - - ·:· ....... ! ........ ! ...... -:• ....... •:• ....... ! ....... { ....... -:- ....... ! ...... . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . .

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

n. ondas circunferenciais. n FIG.VI.6. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES

ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL - H/L=1.0 -

(X)

U1

86

Tabela VI.3 - Comparação teõrica-experimental e modos de vibração. Casca simplesmente apoiada -H/L = 1.0

Frequenc,a [HzJ Mocto leor,co Exper,m. ( m , n )

11 8 ( 1 , 8 ) 120

1 2 O ( 1 , 7)

1 2 7 124 ( 1 , 9 )

1 36 134 ( 1 , 6 )

146 146 (1,10)

1 6 5 1 5 4 ( 1 , 5 )

1 7 3 182 (1,11)

207 (1,12) 214

21 O ( 1 , 4 )

246 (1,13)

266 254 (2,10)

267 (2,11)

290 (1,14)

300 298 ( 2 , 8)

306 (2,13)

334 ( 2 , 7) 346

340 (1,15)(2,14)

394 402 (1,16)

422 (3,12)

427 (3,11) 422

429 (2,5)(3,13)

431 (2,16)

452 450 (1,17)

469 462 ( 3 , 9)

474 482 (3,15)

51 2 (2,4)(3,16) 520

516 (1,18)

87

te apoiada foi comentada no Capitulo III com auxilio da figura

(111.5). Sendo o comportamento, sob influência de H/L similar

ao da casca com extremos engastados, a anâlise dos

serã feita na prõxima seção.

resultados

Vl.4, RESULTADOS PARA A CASCA ENGASTADA CONTENDO FLUIDO

Os resultados teõricos e experimentais do estudo do com­

portamento da casca sob a condição de extremos engastados con­

tendo fluido em repouso são apresentados atravês dos espectros

de frequência x numero de ondas circunferenciais ilustrados nas

figuras (VI.7), (VI.8) e (VI.9) para valores da relação H/L

iguais a 0,5, 0,75 e 1 ,O respectivamente.

Nota-se nestes espectros a excelente concordância entre

os valores teõricos e experimentais, o que pode ser visualizado

tambêm atravês das tabelas (Vl.4), (VI.5) e (VI.6).

Ainda para os casos de H/L iguais a 0,5, 0,75 e 1,0, mos

tra-se nas figuras (VI.1 O), (VI.11) e (Vl.12), comparações en­

tre esses ultimas resultados para casca com extremos engastados

e aqueles obtidos do estudo da casca sob a condição de extremos

simplesmente apoiados.

Dessas figuras, pode-se notar os efeitos sobre valores

de frequência natural (frequência minima) das duas condições de

extremos distintas. Observa-se qu~ embora o comportamento das

cascas seja bastante similar, principalmente no caso de modos

mais altos na direção circunferencial, a casca simplesmente

9----------------------------~

o o

B

7 ··············· ................................................ .

-;:: 6

N

.... ~ ....... : ....... .

E 5 . . . . . . . . . . . . . . ...... ; ""." .. ~ .... '.": ...

<{ 1-1 u z 4 LU =i e, LU

E 3

2

. • • • • • • • • ' ' • ' • • • • ' • ' • • 1 • • • • • • • • • • •

+ ..... ········ ........ ; ............ ---~---·····~-. . . . .

. . . . . . ..... ; ........ ~- ........ : ....... ~- ...•... ·:· ........ ~- ....... ·> . . ....... : ........ ~- ....... ·)

_ m=i teorico:

+ m=1 experini.

. . . . . . ' . . . . . . . .

. .

1--+--~~-~--i---;----;_-;-_..;..---;..--;----;_-;-_-;----;..--+--r---+------1

2 4 6 B 10 12 14 n. ondas circunferenc1ais,

FIG.VI. 7. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS -ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL

16 18 20 n ENGASTE - H/L=0.5

o:, o:,

7-------------------------------,

6 ........................ .

~

o o - 5 X

N .e

<C H u z LU :::J

4 .............................. .

CI 3 ····· w CC lL

2 ..... : ..... .. : ......... :.. . ..

- m=1 teorico t m=1 experim.

..................................................... ;. ........ ; ........................ ; ....... .

+

..... +.. ....... , ......... ; .... ····i········,· ....... , ....... ··: . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1_,_ ______ .__ __________________________ __.

2

FIG.VI.8. 4 6 8 10 . 12 14 . 16

n. ondas c1rcunterenc1a1s, n ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE

ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL

18 20

- H/L=0.75

00 <O

~

7-----------------------------~ -- m=1 teorico

+ m=1 experim. 6 ·········:········,·········:········ ........ ········ ......... ········ ........•...........................................

o o .... 5 ········ ...................... •( X

N .e

<( H Ll z LW ::i

. . . . 4 ·······"!''"''···:·"····"!········ ....... , ................ . ········)········ ................................ ········>········~· .. ······:·········

. . CI 3 LW

·········. ······-~·········:········ ......................... ········ ........ ~,., ................................... . . . . . . . . . . . a: . . . . . . . LL . . . . . . . . . . . .

2 ................... . ................ ········· ········ ·······+. ·····:·········:·········'· . .......................................... . . .

1-+--i--_.,_--,...---,--i---i----i---i----,---.---i-----i---i---i----i---i----,-~

2 4 6 s ~o 12 14 t6 n. onoas circunferencia1s

18 20

FIG.VI.9. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE - H/L= 1. O ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL

<.O a

91

Tabela VI.4 - Comparação teórica-experimental e modo de vibração. Casca engastada - H/L = 0.50

Frequência [Hz] Modo

Teórico Experim. ( m , n )

212 ( 1 , 9 )

21 4 220 ( 1 , 8 )

222 (1,10)

230 2 32 ( 1 '7)

245 (1,11) 256

257 ( 1 , 6 )

279 280 (1,12)

297 300 ( 1 , 5 )

322 324 (1,13)

347 ( 1 , 4 ) 356

372 (1,14)

411 ( 1 , 3 ) 420

429 (1,15)

482 480 ( 1 , 2 )

492 496 (1,16)

5 61 560 (1,17)

636 628 (1,18)

716 728 (1,19)

802 800 (1,20)

92

Tabela VI.5 - Comparação teõrica-experimental e modos de

vibração. Casca engastada - H/L = 0.75

Frequência [Hz] Modo

Teõrico Experim. ( m, n )

1 7 O ( 1 , 9 ) 172

1 71 ( 1 , 8 )

180 (1,10) 180

182 ( 1 , 7 )

199 (1,11) 192

2 02 ( 1 , 6 )

228 212 (1,12)

2 31 240 ( 1 , 5 )

264 (1,13) 276

269 ( 1 , 4 )

307 304 (1,14)

31 5 316 ( 1 , 3 )

355 (1,15) 364

366 ( 1 , 2 )

41 O 416 (1,16)

469 476 (1,17)

533 536 (1,18)

603 608 (1,19)

678 680 (1,20)

93

Tabela VI.6 - Comparação teórica-experimental e modos de

vibração. Casca engastada - H/L = 1.00

Frequência [Hz] Modo

Teórico Experim. ( m, n )

163 ( 1 , 9 )

1 6 4 168 ( 1 , 8 )

1 7 3 (1,10)

1 7 5 180 ( 1 , 7 )

192 (1,11) 200

1 94 ( 1 , 6 )

220 (1,12) 220

222 ( 1 , 5 )

258 ( 1 , 4 ) 264

259 (1,13)

2 96 (1,14) 304

301 ( 1 , 3 )

343 (1,15) 352

350 ( 1 , 2 )

396 392 (1,16)

455 448 (1,17)

51 7 516 (1,18)

584 584 (1,19)

657 656 (1,20)

9 ---,----,---,--..,---;===============,-----,-----,------------,

<> m=1 engaste teor. m=1 engaste exp. m=1 ap. simples teo 8 ............................... J....... _____ ;......_.......; ____ _. ________ .................................. •••••••• •••.•••

o o

7

; 6

N .e 5

<( H u r5 4 ::J e, LLJ a: I.J.. 3

2

. . . . . .. " ..... '...... • ...................... \· ....... ·> ....... ,:, ....... ,:, ....... <· ...... . . . . . . ........ ......... :,,, ..... .

, .............. . ' '

' '

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . ........................ , ......... :,,,, .. , .. : ......... : ......... ; ........ ; ........ ·········=········· ........ ; ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . ....... ~ ........ ·:· ....... ·:· ....... ·:· ........ ~ ........ ! . . . . . . . . . . . . . . . . .

...... -:·-·······

\ : : : : O' • • •••. '.o\,.. • . • • • • • •.• ' ••• ' •.•• ' •.• ' •.....•..••••.. -·....... .• • . • . . . . ... • • • . • • • .• . . •.•.. -· ...................................................... .

\: : . : : : : ...... : :

1\ : : /t/ '. '. . ' . / . . . : \ : · · ,,/ i 1 !

......... : ...... ~,.: ........................•......... ; ......... : ......... : ......... ~ ........ ; ... :,~i········•:,,,,, .... :, ........ ; ...... ,, ········ ........ ; ........ . . ,. : : : : .,/ : : : : .

: ', : : : <>.. , ~ ..... _,. / : : : : : ', : : : : , : : : : . ' . . . . . : : ''.'-... . : ... .::-... : . . ........ r ....... r ....... -r. -~~~-~~·:·~ ~· ·r ... ' ... ·t ....... ·; ~~~·~r~~~ .. ) ....... ·: ....... ~· ....... f ...... ··r ....... ·i .... '' ' ........ "l " ...... ·~ ....... .

. . .. ~----;.----~ . : : . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 -+---+---t---t--;---+--+--t----a.----a~----------1---1---1----+---l

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais, n

FIG.VI.10. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=0.50 COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES

o o ..... X

N

5

< H u z UJ ::::i CI UJ a: LL...

?~-~---------------------,-~-~-~-~-----,-~--,

m=1 engaste teor. 6 .............................. . o m=1 engaste exp. ············· ········ ········

m=1 ap. simples teo.

5 .................................. \·········~········; ........ i······":·······-~·········(········-~·-· .. ··· ............... . ·--i········!········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ......... " .......... "" .... "" ,; ........ ; ........ ; .. """ , .. " .... , .. " .... ;., ....... , ... "" .; ........ """" . """ "." ..... , ....... ,;"""" : .. """

' ' '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . ' . . . . . . . ~- . . . . .,, . \ - . . .,, . \ : : : ,, :

3 ....... ),,, . . . . . . . , . . . . \~ ............. ·········1·········:········i·······-~·-······i····· ···1·········1·········:······: · ······-~·-·······1·········!········1········~·-······

:', : . : : : : ~ ,,. .. : : : . : . : \ : . . . . . ,. : ', : 1 1 i .... ~

',: . : : : .. / : ~.. : : : : ÁS... '.

2 ......... ; ........ ;,-~"~---(········~ ······:········:········:· .. ·····:········ . ;.. ... ~--:- ·······:········:·········:··· . ' . . ;,,/ : : : 1 >-- .... : :,,/'\ : : . - . .... _ . . ........ : :

: ---~----i----~-- . .

. . ........ -: ..... ···! ....... -~· .... . . . . . . . . . . . . .

. .

1 -t---i---r----i---i---i--;-..--i--i----i---i---.----;.-......;...---i---i---r----i----1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais. n

FIG.VI.11. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=0.75 -COMPARACAO ENTRE AS CONOICDES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES

<.O u,

7 --r-----,----,---,--,-------------------r---,--:-------:---,---,...--, m=n. semi-ondas longitudinais

~~m=1 teorico apoio simples

6 ........................ ..

engaste

+ m=1 experimental

~~m=1 teorico

0 5 ........ ........ ........ . t:. m=1 experimental ........................ , .............. ..

o '--...-----,~~-~-...---~~-~-...---' -~ ..--, 4 ........ ········ ................ , ....... .: ........ ,: ......... : ........ ,: ......... ; ........ .: ......... ; ........ ~ ....... . N .e

<( H u z w ::, CI w ff: 2

. . . . . . . . . . . ······-~········r······-~·-·····-~·-······~········!······-~---······r······· ······!········~·······7·······-~---···· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : . . . : . : . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':' ....... :· ....... ·:· ....... -:·....... . . . ':' ....... ':' ....... ':' ....... ·:· ....... ·; ....... ':' ....... ·; ...... . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 ........ ·!· ....... ! ........ ·(· ....... ~- ....... •:• ....... ~- ....... ·(· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·:· ........ ; ........ -~ ...... . : : : ; : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o -+---;-· --;·--;-· --;·--;---;·--;---;·--;---;·--;-· --;·e---;-· --,----;---.-· --;-----;

2 4 6 B 10 12 14 n.ondas circunferenciais. n

FIG.VI.12. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E

16 18 20

- H/L=1. O -APOIO SIMPLES

97

apoiada apresenta um valor de frequência natural cerca de 28%

inferior ao da casca engastada para essa geometria.

Vl.5. ANÁLISE PARAMÉTRICA

A seguir, apresentam-se os resultados da análise parame-

trica realizada tanto para o caso da casca com apoios

quanto para o caso de engaste.

simples

As figuras (VI.13 atê 18) ilustram a influência da densi

dade do fluido sobre o comportamento da casca.

Foi feita uma análise para va 1 ores do parámetro pF/ Pc

iguais a O , O 9 , O , 127 e 0,173, que correspondem aos PF do êter,

agua e mercúrio, respectivamente, e ao Pc do aço. Foram esco-

lhidos êter e mercúrio por apresentar valores extremos de densi

dade de liquidos. Assim, atravês dos espectros de frequência

vs modos de vibração para uma semi-onda longitudinal (m=1) e

vários valores da relação H/L, e para as condições de casca sim

plesmente apoiada e engastada, mostrados nas figuras (VI.13 atê

VI.18), pode-se observar que a medida que a relação pF/p aumen c -

ta, os valores das frequências decrescem. t tambêm destacável

o fato do aumento da divergência entre os valores de frequên-

cias com o acréscimo do numero de ondas circunferencias, n, a

partir do valor de n correspondente às frequências naturais,

isto ê, minimas. Esta divergência e mais acentuada para o caso

da casca completamente cheia de fluido (H/L=1,0), jã que as fre

quências dependem do parâmetro de massa de fluido adicionada~.

o qual e inversamente proporcional ao numero de ondas circunfe­

renciais, n e diretamente proporcional ã relação pF/Pc·

~

N

5

<t H u z UJ :::> e, UJ a: lL

a~-----~--------------------~-~-~-~-~-~ RELACAO DENSIDADE DO FLUIDO/ DENSIDADE DA CASCA

7 ...... ; ........ !., ..... i ....... j ........ ; ........ : ........ - - • DF /DC=O. 09 .. ; ........ , ......... , ....... .; ........ i ....... ! ........ ( ........ i .... /. .. ----- DF /DC=O. 12 : : : : : : : ~ / ,

. . . . . : : . . . / : ,' .\ ...... i ....... i ....... : ........ i ........ \ ....... :. ....... : -- DF /DC=O. 17 .. \ ........ ( ...... : ....... : ........ i ..... ] ..... .. i .. f. .. .. '.~< .. .. \ : : : : : : : : : : : : : y ~

1 ·.·. : : : : : : : : : : : : /: /: . . ' . . . . . . . . . . , .

\ .. ~- .. 1 ........ t ....... \ ........ \ ....... . t ....... .t ....... l ........ 1 ........ 1 ....... ~- ....... ) ........ [ ....... J ....... l. ....... l. ...... -~ -~ ... J:~~- ... ;_ ...... . \,.\~ : 1 i : 1 : , i , 1 1 1 , /( ~:~,,,, , :

6

5

4 ··· ··\l-', ·· ·t · · ·· · · · i·· · -· -· .; ----- --f- · · -· -··i·· · ·· ·· · ~- · · · · ---\ .. -----~-- -- · -- ~- -------i- · · · · ---~ ······· -~ · · · · · >f' -~~-;r~~-· · ~ · · · · · -· -·----· -· ;_ · -· ---· 3

2 . . .... ; ...... ,.~---··--·:---····· ........ ; ......... ; ....... , ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 . . - . . - . . . . . . ....... ·: ....... ·: ....... :·· .... ··: ....... ·~······. ·:· ...... ·-:······· ·:·· ..... ·: ... ····~·· ...... :···· .. ··: ....... ·~ ...... ·-:·· ............. ·~ ....... -:· ....... :· ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

o -+---+---;----;.·--· ----· --· --+---+-. --;·,---;·'---;·---;·--,;,·----· --· --+----1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FIG.VI.13. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=i.O - APOIO SIMPLES VARIACAD DO PARAMETRO DF/DC

<.O o,

B ....,.._.,.. ___ ,,__.,..._,...._,... ____________ ..,.._..,.. ___ .,.._,..._.,...__,

~

o o

7

6

.... 5 X

N E. 4

< H u z 3 w ::::> CI w E 2

1

o

n; semi-and~s lo~g.,m-,1 ' . . '

....... , ...... -. : ....... : ....... , ....... ·,· ...... ·:. ~--0-E-N~S-.-DO~F-L_U_I_D_O ___ ~· ... + ....... , ....... \ ...... · ( · ...... + ---.... ; ;/·. , : : : : : : DENS. DA CASCA : : : ,/ / • · · · · · · DF /DC•O. 09 ETER : : : ,' : / \ : : ; ; ; : • • • I •

.. \ .... , ........ ; ....... ; ....... , ........ , ........ ;. DF/DC~0.127 AGUA ..... : ........ \ ....... ;. ...... , ....... ;,< ..... .(. ... . \ : : : : : : DF /DCcO. 173 MERCURIO : /' / :

'------,---,---,----,-~

. . . ' . . .................... ~· ................ ' ............ - . -· -.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . ' . . . . ' . . . . . . . .

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

n. ondas e ircunf erenc ia is. n FIG.VI.14. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES H/L=.75

PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO

<D <D

e-.-~----,-------------------~--------------~ ', n.semi-ondas longitudinais. m=i ;• 1

~

N E.

< H u z w

7

B

5

4

:::, 9 CJ w a: u.

2

1

' . /:; • dens.do fluido . . . . . , . \ ' . . . . . . ' ';/

\ : . : : : : : : , /.

.\"\T······r·····r·····-r······r ---~~n;,-Jdªc~;~i: eter r·····-r······r······r······(··>t>;;-·:···· ... 1 \: ' ' ' ' ---df/dc=0.127 agua : \ . . )/ .( ,: : : : : . . . . ( /. ··\·\·······[·······\········\········?·· -- df /dc=O .173 mercurio !········\······ .. ( .. ······:····/',··;;-···> ·····,········

' 1 \ I : : : : ,' Y

..... .\.\ .... i ....... ( ....... \ ........ ; ....... 1 ....... r ....... ; ........ [ ....... ). ....... / ....... .: ....... .t ....... t.~,/~r'.'..~ .r ........ : ........ ]. ...... .

....... i.~ <J~\ ... 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1 ....... 1 ........ 1 ....... .! ..... ;;4 ~:;~:.r :.~.1. ....... 1 ..... ..1 ....... 1. ...... .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; ....... ~- ...... -~ ....... -~- ...... -!- ....... ~- ....... i ..••••• -~ ••••••• ~-- •..... ; ........ ~ ..••..•. ; .••.... ~ .•...•• ~- ••••••• ; •••..•• ~- .•..... ~- •....•• . . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . .

o -+---.---.-' --,..' --.-' ----i-' ----i-' --r---i'---.'----,'---,'.---.-' --.-' --r-' --r'--,.--.'---i---1 1 3 • 1 9 11 13 15 17 19

n. ondas circunferenciais. n FIG.VI.15. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES H/L=O.

PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO

o o

8---,------------------------------r---------,

7

-o • o ..... 2$

N 5

.:5 <( H t..) •

z w ::J C!l w a: • LI..

•

2

n. semi-ondas longitudinais. m=1

dens. do fluido . . . . dens. da casca

·--df/dc=0.09 eter

....... ; ........ ~ ........ ; .... /. .. ......... : ......... ; ........ ; ............................ : ......... ~. :/ /. ,

/: / . . . , ......... , ......... , ........ , ........ , ......... , ......... , ......... ,. -- df /dc=O. 173 mercurio ....... ; ......... ;./. ..... ,~< .... .

: : : : : : : : ;.' ,r

----- df /dc=O. 127 agua

. . . . . . . . . , . : : : : : : : : /: ,,' : : : : : : : : : / :/ : : : : : : : : . - . . . . y' .. ~ :

........ . ! ........ -~ ....... -~ ........ ~- ....... T ....... -~ ....... -~ ....... -~ ....... -~ ... -.... ~ ........ ~- ....... -~ ....... -~ ........ '. ..... ;· T -. ;;'· .! ....... -~ ....... . : : : : : : : : : : : : : : / :/ . :

i i i i i i i 1 i i i i i / r / 11 i : : : : : : : : : : : : : / :,,." . : . . ,: ... ·:· ....... ·: ....... ·: ........ :· ....... :· ..... -. ·:· ....... ·: ....... ·: ....... ·: ........ :· ....... :· ....... ·:· ....... "!?" .... ~-~ -. . . . . :' ....... ·:· ....... ·: ....... .

<t~,,~ [ 11 - 1 - 1 [ x<f,~?:,,, ' ] [ . -,; ___ l~:.::-.. _ .. _:-:-_._·-~i',· _._ .... ,.l .... _ ... ·~·l .... _ ... _.~ -'': _ .. _~_._.-,..! .. _.::.t-:--<- : . . . . . .................. -...... -- - - -- ... , .. ,:······· .. :-····· .. ·~········:···· .. ··~···· .. · .. :-···"· .. :-· .. ····· . . . . . . . . . . . . . . . .

--.:. ____ .:.--- : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• • • •• t2 .. •• • • 2D

n. ondas e ircun f erenc ia is. n FIG.VI.16. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE - H/L=i.O

PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO

o

e~----------------------------.--------.

7

o 6 o ..... X

~ 5 N

.:5 <{ H u • z UJ ::i e, UJ a: 3 lL

2

n. semi-ondas longitudinais. m=1 dens do fluido dens. da casca

---df/dc=0.09 eter : . / ········!········:········!···· .. ··!· .. ·····i·"·····!········!·····.. ------ df /dc=O. 127 agua ·····!·········:········!··y····

: : : : : : : . i , . . . . . . . df/dc=0.173 mercurio . . , : : : : : : : . . . : / : / ........ r ....... i ........ ~- ....... ~- ........ i ........ r ........ i ........ r ....... ; ........ ~--...... ~- ...... -~- ....... ~- ....... ~- ....... ~-- ..... J.-~ .. -;?-< .. . . . . . . . . . . . . . . . . , . : : : : : : : : : : : : : : /; / ;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l 1 } / /(' : ........ ;, ....... : ........ .: ........ ;, ....... .: ........ : .. -..... .: ........ .: ...•.... : ........ .: ........ : ........ ~- ....... : ........ .: ..... /.. ;, .. ,,! . .. .:.. ...... ; ....... .

f 1 1 i 1 1 1 1 l 1 1 1 1 i, / /t/ : 1 : : : : : : : : : : : : : /: ,' : : : : : : : : : : : : : : : / './ . . ;

.. '.)._ -... ;. -...... i ......... ; ........ ~- ........ ; ........ i-- ...... -:- ....... ~- ....... ; ........ ~- ....... ; ........ ~- ....... iJ' ..... .,-(; ....... !• ........ : ........ '!· ...... . ': : : . : : : : : : : : /: ,, : : : :

. . .. ~ ........ -:· ....... ~ ........ -:· ....... ~· ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

: : : : : : : : : : :

1 1 1 1 1 1 ; 1 1 i 1 . . . . . . . . . . . t -+----.---,---,.....--.--~------,-------,.--,..---,----.----.---,---,.....---r---.--~r---l

2 • 6

FIG.VI.17. ESPECTRO DE

e w ~ t• ~

n. ondas circunferenciais, n FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE

te 20

- H/L=0.75 PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO

C)

N

9-,----------------------------,---r-~-~----, dens da fluida

B

~ 7 o o ..... ~

< H u

B

5

~ 4 ::i Cl w a: LL 3

2

n. semi-ondas longituc:tinais, m=1 dens. da casca / . . .

........ ; ......... = ......... ; ........ , ........ <········Í·········=····· · - - -df /dc=O. 09 e ter ..... ; ......... ; ......... ;./. .. .. : : : : : : : -------df /dc=O .127 agua : / ,/ : · : : : : c:tf/c:tc=0.173 mercurio : / : /

........ + ...... ··~ ....... -~ ........ i· ...... · 1· ....... /· ....... + ....... ·; ........ : ....... ·:··· ..... :· ....... ·: ....... ·: ........ :· ....... ~- ....... ;.. ~ ·;;.1'1~-. . .. : : : : : : : : : : : : : : : /: ,' ;

....... .; ...... .) ...... ) ........ : ....... L .... ..!, ....... L ....... f ........ j ........ j ...... ..; ......... [ ..... ) ..... . ) ..... /.(;,/:.t' .............. .

' ' ······!·········:·········:·········:········· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, ',,-L_:::t:_t_=-~-=-+-::1----: i : : ! : ! : ........ ~- ....... -:· ....... -~ ........ !· ....... ·. . . ,. . .. . . . . ... . . . . ....... ! ........ !· ....... ·:· ....... ·:· ....... •} .•••.•• • I • ••••••• ,:, ••••••• ,:- ••••••• •) •••••••• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t -+---t---t---t-------t---+---t"---t---,--,---,,---...--.-------..---r----t

2 '

FIG.VI.18.

6 B 10 12 14 IB 18

n. ondas circunferenciais, n ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE

20

H/L=0.5 PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO

o w

1 04

Ao se desenvolver a análise paramêtrica, verifica-se que

a frequência da casca no ar (íl), obtida a partir do desenvolvi­

mento do determinante da equaçao (1I.8a), ê função de quatro p~

rãmetros, a saber:

mnR/L; n; h2 /12 R2 ; (1-v)/2

Na formulação teõrica usada (teoria de Donnell para cas-

cas abatidas), pode-se calcular as frequências como função de

apenas dois parâmetros adimencionais: o parâmetro

n (L/m) n [ -n = = (VI.1)

n R n R

onde [ e o comprimento de uma semi-onda longitudinal, e o pare­

metro

z = --­R h

(VI.2)

conhecido como parâmetro de Batdorf e que engloba, juntamente

com o coeficiente de Poisson, todos os parâmetros geomêtricos

da casca.

O parâmetro nê tratado como uma variável continua, hi­

põtese válida para cascas abatidas.

Usando-se (Vl.1) e (Vl.2) pode-se escrever a expressao

para a frequência minima de cascas abatidas no ar, na forma

2 = (1+n 2) + ----­

(1+n2)2

12 z 2 (VI.3)

105

onde TI" e o parâmetro adimensional de frequência dado por

IITI wI (VI.4)

RhTI 2 JT

2 h

A partir de (VI.3) pode-se calcular o valor de n que ter

na esta expressao um minimo. Este valor e dado por

{

(12)1/2 z 1/11/2

n* = - 1 + [ 1! 2 j J (VI.5)

Substituindo-se (VI.5) em (VI.4) verifica-se que a f re-

quência minima ê função exclusiva de Z ou seja da geometria da

casca como expressa por Z. As curvas Z vs n* e z vs TI . min

sao

apresentadas nas figuras (VI .19) e (VI. 20). Observa-se que a

medida que Z cresce (a casca se torna mais longa e/ou mais del­

gada), o parâmetro TI cresce. Isto ê, para um dado R, a frequê.1:!_

eia natural w decresce quando Z cresce, jâ que w e inversamente

proporcional ao quadrado de Z o qual ê diretamente proporcional

a (R/h) e ao quadrado de (L/R).

Conhecida a geometria e n*, pode-se determinar o numero

de ondas circunferenciais n* correspondente â frequência mini­

ma.

Para o caso de presença de fluido, alêm dos parâmetros

Zen, a frequência minima ê função do parâmetros, que nao po­

de ser expresso em termos de .Z e n. Entretanto, ê possivel es­

tabelecer a relação [ 6 J

(VI.6)

Fazendo uma aproximação para cascas curtas e cascas lon-

1 O 6

26~------------------~ N ························~······································································ 22 ······················~····································································

~ ························-······································································ 1B

I* 16 e 14

························~········································································

12 ·················································· ....................... ························· 10 ························~························ .............................................. .

e ························~·-······················ .............................................. . 6 ························~············ ........ ························ ........................ .

2 ························~························ ························ ·························

0-1------------,,-..---------~ 10 10

2 1cr 10• 1cr

Numero de BATDORF, Z FIG. VI .19. VARIACAO DO PARAMETRO n* EM FUNCAO

DO PARAMETRO GEOMETRICO Z

1 ......................... , ...... . --NO AR

o ~ 0.9 ------COM FLUIDO X - o.e ......................... , ......................... , ......................... , ...................... ..

' ' ' . . . ' : : : , <t O. 7 ..................... · ... , ......................... , ........................ · ·>··· .................. ,. .. H

~ o. 6 .... ' ........ ' .. ' .. ' .. '.' i- ... ' '. '.'' .. ' '.' ..... ' '·f ... ''' .. ' ' .... ' ' .... ' .. ' ·f'.' ' .. ' .... '. >/ .. .. ~ 0.5 ·························~·························:··························~·············,~··········

CC •••••••••••••••••••..•••• i ......................... ~ ......................... ~ ......... ,~~ ........... . u.. 0.4 . . . ,

~ 0.3 ......................... ~ ......................... i ......................... t. }/.~~--·············· . ' •/

: : ... ·< ~ 0.2 ......................... , ......................... , ................ 7 ... , ........................ . UJ : : , ... "" : 8 0.1 ......................... ( ....... ~~~~-=)-;::"_i ........... i' ....................... . ... o ---------

10 102 1cr 1cf 1

FIG.VI.20. VARIACAO DOS PARAMETROS EM FUNCAO DO PARAMETRO GEOMETRICO Z

1 O 7

gas [ 6 ] ' verifica-se que elas sao iguais para n=1. Assim,

tem-se que para n<1

ílF (1 PF [ )-1/2

= + ílv

p '1T h c

(VI. 7)

e para n> 1 ,

ílF (1

PF R ~)-1/2 = +

ílv Pc h (Vl.8)

Pode-se assim para valores dados de Zen; determinar a

frequência da casca contendo fluido. Deve-se notar que nos ca­

sos de cascas curtas (Z pequeno) ou muito longas (Z grande), os

valores das frequências no ar e com fluido são aproximadamente

iguais (vide figura (VI.24)).

Esta formulação bastante simples, que dâ uma boa aproxi­

maçao para a teoria de cascas abatidas [ 6 J, pode ser usada com

vantagem no projeto estrutural. Em estudos de otimização des­

tas estruturas, quando devido ao grande numero de câlculos re­

queridos não seria indicado o uso da teoria geral, esta vanta­

gem ê mais evidente.

Deve-se, entretanto, lembrar que esta formulação estâ su

jeita ãs limitações inerentes ã teoria de cascas abatidas.

Nas figuras (VI. 21), (VI. 22), (VI. 23) e (VI. 24), mostra-

se através de espectros de frequência vs modos de vibração, a

influência do parâmetro L/R nos casos de cascas

apoiada e engastada com e sem fluido.

simplesmente

Pode-se comprovar através da observação destas figuras a

diminuição das frequências minimas e do numero de ondas circun-

11 ...... , ........ , ........ , ...... : ........ , ..... n.semi-ondas longitudinais. m= .... , ........ , ....... : ....... . . \: : : ' : : : : ;

16 ····· ·i·······!······+··\,{·······!·······i······+······-f-··· ---- L/R=O. 5 i········,········i·······i·······!········ . · · ~ · · · · -·- L/R=1 o !. ...... L ...... '. ...... L ..... ! ....... .

15 ······\·····-(······/········:· \···(······i·······<·······)···· - - - L/R=5: O : : ( ( 1

14 ·······!\····j·······i·······/·····~·····:-······i ······\···· ------ L/R=10. O i········,········:-······:·······:········

g :: : : : : : : : :1::: :\{:::::: :t::::::: i:::: :: : :t:: :~~$~~: :i::::::: :t:::: ... -:- ....... 1 .~:.~1--~. °. °.

1: .º .... .t:::::: :t::::::: :t:::::: :i::: :~~t< .. - . .;\ . . . . ~ . . . . . . . . ,/ .

: :~ :::::::;::::::::r .. :-:··1:::::::1::::::::f :::::::1:::::::f :::~t:~;;~~:!::::~:~r::::~~L~:~~;.~:p.:~r.~::r;:0t. 9 ... ....

u ífí 5 UJ a: "-

. . . . . . . . . . . . . . . . 4 ········(········i········\········i········f·······!········i········~········!········: ······(········i········\········~········?·······!········i········

: : : : : : : : . : : : : : : : : 3 .. "'~'.' ..... ··j- ...... t··· .... :······.). ······:·· .. ···j····· .. ·;·· ··t·······: .... ···j·····. ··j······ · t .. ·····:··· .... ·:· ...... :· .. ····j······ .. 2 ·······~·:.:.:··~·-·····-~·-·····(········~·-·····=··· :········;········~·······!·······~········1·······~········~·······-~·-·····!·······~········ 1 JC.~:·:..~· ~it~.:~~-:.:~t~-:.::::-: ... ::. ·=· ,':'"""~ .. =·:=":'.~.·e~.-~··~·. ·11

-~·. ~" 'J)~ .. -~··~·. ·r; -~ ... ~. 'J..!-~"~" -~"L; "~"~" ·1~-~ .. ~· .. ~.'Li.-~"~" ·1·1·~" -~"Jº .;[. ·~·. -~"l'; .~ .. ~· .J .. ;[. -~·. ·~· ·:~--~· .J .... : : : : : : : : : : ; : : o . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 e 10 12 14

n. ondas circunferenciais, n 16 18 20

FIG.VI. 21. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=O.O

C> 00

12

11 ·······:······'········,······i·······;·······:·······,······i·······;·······;.........:...-:.............;..........; ....... , ...... 0······:·······'·······

10 ..... ; ....... t.:~_t~.~.~:º.~~.f.5 ... .1[º.n.~l:.' .... ,~? .. J ....... -- L/R=O. 5 ....... ; ...... .!.. .. J.. ... J ...... .

9 õ o ..

B ~

-;:; 7 E

<

',i ( ( \ \ ( ( \ \ - L/R= 1. O ( j : \ • .....• ... .. ·!·· .... -~··· .... :, .... ··~ ....... :-······~· ••••.. :···· •• '!....... . .... .. : .. .... ,:, ...... ~·' ..... :······.

( '\ \ \ ( \ \ \ \ - - L/R=5 . O \ : : j ·······>······!·· '('''~·······!·······~·······=········:·······!·······:······· ·······~·-·····:·······!·······!·······

j : \_J j j : j j j ---- L/R=10.0 \ : i j ....... ; ....... ; ....... ~ .... ; ....... ; ...... .; ....... ~ .......•....... ;....... ·······i·······=········=·······l···:;.-·

' ' i ', i i j j j i - L/R=100. O i i i ,./ . .... 6 u

:z UJ :::, e,

5 UJ a: u.

4

3

2

. . . . . . . 1 o 1·~;;;,~J·:;__~··,,;·~;,.·1~· ··~·~=· .. bL=· ··=··±r=· ··=· .±.

1·=· ·=···:·:=·· ·=··=··,_··_·. ·_--L..· ·_· ·L··_··-···11·_·· ·_· ·1-r_··_·· ·j·:_···_··j· 1_···_· .j. ·:_··_···_··Li .. _.·_·. ·1: .. _· ·_·. ·lr_ .. ·_· ·l-:-_· .J ....

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 n. ondas circunferenciais. n

FIG VI.22 ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES - H/L=i.O PARA DIFERENTES VALORES DA RELACAD L/R

= e:, <.D

. semi-ondas longitudinais. m=1 L/R=O. 5 . . . . 2, ··',····'.··········.··········.·········.·········.·········.········ L/R--1.0 . . . . . . ... ·····:·········: ········:······ ··:··· ·····: .. ·······:········ '\: : : : : : : : : : : 22 ........ '\ ...... ; ...... ) ........ : ....... ; ........ : LL//RR:510· º. O ........ j ......... ; ........ ( ........ j ........ j. ....... j. ...... .

. ' . . . . . . . . . . . : ' : : ·. : •• / . . . . . .

20 · \. · · · · · L R=100. o ........ J ........ L ...... L ....... : ........ !... ..... J ....... . ~ ........ r- .... 'K ...... r·· .. ··-:-· .. ····r .... ·r··· ... , , , , , i i i i i : o . . ... . . . . . . . . . . . . . .

2 : •<LI>F<[I••••LT••••••r••L LI L! TLr••t•••••••• N E u

<( 12 H u z 10 IJJ :::, e, IJJ 8 CC LL..

8

. . . 4 ········f ·······-j-········~········/········1········j········t·······-I-········?······· : ······+········~········~········~········f ·······+········j·········

...... : . . . . . . . . . . : . . . . .

jE~---1·:~'~2,~~·=· ==='~:'cJ':1= =J,=1' =J'cJ==i= =J==1= =J,LJ,=J 2 •••....• ;... ....... :. ........ : ........ : ..... , •• ;,,, .••.. :. .. ............................................................................ ~ ............................ . ____ ;_:-:_j- - ~ - ~ . 1 1 1 ~ 1 l 1 l 1 1 l o : : : : : : : : : : :

2 4 6 8 10 12 U tB tB 20

n. ondas circunferenciais, n FIG.VI.23. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=O.O

o

a~--------------~~--,--~--,-~-~__,--,----, n. semi-ondas circunferenciais. m=1

. . . . . . . . . . ~

7 ········!· ······ ·1··· ····-1··· .. ··i········f · ··· · ··l·····"-l · -· ····l····· -·f ········!·· ·· ····f ··· · -·· r·····f ··· ·· ···!······-!-·· ·· ···i··· >f : .... ----- : : : : : : : : : : : : : : / : .

º ª ·······i-··-~·:t.,-~~~-:-······+·····-1-······-1·-·····l········l ·······I·····+······-f--·····!······+··>·f<~-l--···:#···· ;! . . . ~-. . . . . . . . . ./ . /,/ .

; · ·· ··· · ··· ·· 11 ··· I ·· :t::>,"-<,,~"! :csc:=·-~<< I ·· z · i ··· · · i ·· ···· : : : : : : : : : : : : : ,.0'::

~ 4 ····----~--z__··r·····:········t·······(-·····1·······1·······(·····t·······[--····r;.·7···; ·····:---····r·····1········

~ 3

·······j-·······f ····->~~-~:c.I·~---1······:1·······.I~~:i;;:r .. ··;·· ···j········l·······j-······-f ·······j-······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ........ : ...••... ; ••••.••• ;. ..••.•• ; .•••.••• ; •••..•. ; ....••.• ; ................. ;. ..•••••••....• ; •••.•.•• ;. .•.•••• ; •• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ······-~········:········~·······1·······-~·-·····~·-····· ·····~·-······:········:········:·······-~·······:·· .... : : : : : . : : : : : : ...._ : . : . : : : : : :

---- L/R=0.5 -·- L/R=1.0 - - - L/R=5.0

------- L/R=10.0 -- L/R=100.0 : -~-~-~ : : : : : :

-~--~-=;:-~~-i--+--~--___j_·· ~-----~-----+-·. L,_--,--........-..---l .. ____ _

o . . . . . .

2 4 e e w ~ 14 ~ ~ ~

n. ondas circunferenciais, n FIG.VI.24. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=1.0

1 1 2

ferenciais correspondente a essas frequências naturais, em fun­

ção do decréscimo do parâmetro L/R.

Observa-se tambêm que para cascas 1ongas (L/R > 10) o

numero de ondas circunferenciais, n, correspondente ã frequên­

cia minima, ê igua1 a 2.

Note-se tambêm nas figuras (VI.21 atê VI.24) que fixando

o parâmetro R/H em um va1or tipico de cascas de1gadas, por exem

p1o, R/h=300, as frequências naturais obtidas para cascas cur­

tas (L/R ~ 1) e para cascas 1ongas (L/R ~ 10) tendem a va1ores

comuns a medida que o numero de ondas circunferenciais cresce,

jâ que o comportamento ê dominado pe1a energia de f1exão.

1 1 3

CAPÍTULO VII

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Foi apresentada neste trabalho, uma anãlise teórico-exp~

rimental do problema de vibrações de cascas cil1ndricas

das contendo fluido não viscoso e incompressTvel.

delg~

A análise foi feita a partir da teoria de cascas abati­

das de Donnel l, e para o estudo do problema de interação entre

fluido e estrutura deformável, foi aplicada a expressão teórica

de ''massa de fluido adicionada'', obtida para cascas cil1ndricas

delgadas por GONÇALVES [ 6 J, com a consideração do acoplamento

mo da 1 •

A análise experimental foi feita no Laboratório de Estr~

turas do PEC-COPPE/UFRJ, e aporta ã 1 iteratura técnica novos re­

sultados que se somam a alguns outros publicados anteriormente.

Entretanto, contrariamente a comparações teórico-experi­

mentais anteriores [11], os resultados obtidos na presente in­

vestigação são plenamente consistentes, como demonstrado no Ca­

p1tulo VI, para todo o campo de variação do parâmetro H/L anali

sa do.

1 1 4

Talvez, seja esta a maior contribuição do presente trab~

lho que, demonstrando a validade dos modelos teóricos analiti­

cos utilizados, possibilita a extensão da análise da interação

dinâmica fluido-estrutura delgada para geometrias mais comple­

xas, atravês de formulações teoricamente mais consistentes apll

cadas ao mêtodo dos elementos finitos.

A partir da formulação apresentada, dos resultados obti­

dos atravês da mesma, e atravês da análise experimental, podem

ser feitas algumas considerações importantes:

1 - Verifica-se, atravês da análise e comparaçao dos re­

sultados experimentais e teõricos para vibrações no ar, que os

modelos teõrico, com a consideração do acomplamento modal do

problema dinâmico, e experimental, demonstram validade e confia

bilidade. Isto ê objetivamente demonstrado atravês do estudo

do problema de interação entre fluido e estrutura. Observa-se

que o fluido tem uma grande influência nas frequências naturais

de vibração da casca. Essa influência ê expressa na formulação

teõrica atravês de uma "massa de fluido adicionada'' que e fun­

ção dos parâmetros do fluido e da casca. Verificam-se tambêm

excelentes comparações entre os resultados teõricos e experime~

tais obtidos para respostas dinâmicas sob ação de força de im­

pacto lateral na parede da casca.

2 - Conclui-se que não ê possivel se detectar flambagens

localizadas junto aos apoios extremos de uma casca cilindrica

delgada e alongada, pelo menos quando L/R>1 corno no presentem~

dela experimental, atravês de medições de frequências naturais,

jâ que ê demonstrado que estas não sofrem alterações significa­

tivas quando o fenômeno de flambagem local se apresenta.

1 1 5

Sugere-se fazer um estudo dos modos de vibração, que e

provãvel que tenham alterações perceptíveis no caso da casca com

grandes imperfeições geométricas como as causadas por uma flam­

bagem local.

3 - Sugere-se também um estudo do comportamento dinâmico

das cascas cilíndricas delgadas sob a açao de cargas axiais cre~

centes, comprovando-se experimentalmente a redução das frequên­

cias com o crescimento das tensões de compressão. Este procedi

mento possibilitaria se determinar através do comportamento di­

nâmico, a carga crítica da estrutura sem leva-la ao colapso.

~este estudo experimental deverá ser aprimorada a simulação das

condições de contorno, para conseguir uma transferência unifor­

me de tensões axiais e evitar pontos de concentração que pode­

riam levar ã flambagem local da estrutura na zona de apoios.

4 - O desenvolvimento de um estudo experimental do com­

portamento não-linear de cascas cilíndricas contendo fluido,

também ê sugerido, construindo-se um modelo experioental com

geometria e características tais que tornem este fenõmeno evi­

dente. Tal qual o presente trabalho, esta investigação experi­

mental seria uma forma de aferir a consistência dos resultados

teõricos obtidos recentemente no PEC-COPPE/UFRJ [ 6 ].

11 6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[ 1 J ELSGOLTZ, L., Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacio­

nal, MIR, 1977.

[ 2 J GONÇALVES, P.B., Vibrações Lineares de Cascas Esbeltas em

um Meio Fluido, Seminário D.Se., COPPE/UFRJ, 1985.

[ 3 J LAMB, H., Hydrodynamics, Dover Publications, 1945.

[ 4 J WATSON, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions,

Cambridge University Press, 1950.

[ 5 J GONÇALVES, P.B., Vibrações Livres de Cascas Cilindricas

Semi-Submersas, Seminário D.Se., COPPE/UFRJ, 1985.

[ 6 J , Interação Dinâmica Não-Linear entre Fuido e -----Cascas Delgadas, Tese D.Se., COPPE/UFRJ, 1987.

[ 7 J GASSER, F.L.F., BATISTA, R.C., GONÇALVES, P.B., ROITMAN,

N., Interação Dinâmica entre Fluido e Casca Cilíndrica

Delgada, Colloquia 87, Porto Alegre, 1987.

[ 8 J GONÇALVES, P.B. e BATISTA, R.C., Frequency Response of

Cylindrical Shells Partially Submerged or Filled with

Liquid, J. of Sound and Vibration, vol. 119, nQ 1, 1986.

1 1 7

[ 9 J WYLIE, C.R. and BARRET, L.C., Advanced Engineering

Mathematics, McGraw-Hill, 1982.

[10] WILKINSON, J.H., Algebraic Eingenvalue Problem, Claredon,

Oxford, 1965.

[11] LAKIS, A.A. e PAIDOUSSIS, M.P., "Free Vibration of

Cylindrical Shells Partially Filled with Liquid'',

J. Sound Vibration, vol. 19, pp. 1-15, 1971.

118

ANEXO A

SOLUÇÃO DAS EQUACÕES DE EQUILÍBRIO PELO MÉTODO DAS DIFERENCAS FINITAS

Considere-se o sistema de equaçoes de equi1ibrio (11.32).

Ap1icando o mêtodo das diferenças finitas para pontos com

espaçamento uniforme na direção x e com interva1o 6;L/N, onde N

ê o numero de pontos adotado, as equações (II.32) podem seres­

critas como:

r u. R2 L l+l

R ( 1-v)

2

- zu. 1

62

1-1 + u. j (1-v) n2

2 U. - R

1

( 1 +v)

2

[W. -W. J

+ R V _1_+_1 _2_6_1-_1_

r_ u. n L 1+1

- u. J 26 1-1 - n2 V. + R2

1

( 1-v)

2

+ n w. + y 2 w2 V. O 1 1

[ V.

n 1+1 - V. J 26 1-1 . +

(A.1a)

1+1 [

v. - 2V. + V. J 1 1-1 +

62

(A.1b)

11 9

tu. - u. j h2 R v 1+1 1-1 - n v. + w. [R(W. - 4W. + 6W. -

26 l l

12R2 1+2 l+l l

1 ( w. - 2W; + w. ) +W. )--- 2 R2 n2 l+l 1-1

l - 2 6 4 6 2

R2 (1-v 2)

+ y 2 w2 W. - p -----· w2 wi = Q 1 F Eh n

Coletando termos,

2R2

r-6-2-

R(1-v) n

46

R v

(1-v) n2

J R2

----- + y 2 w2 U1. + -- (U. - U. ) -

2 62 l+l 1-1

R(1+v)

46

Rv n (V. - v. ) + -- (w

1.+

1 - w

1. _

1) = o

l+l 1-1 26

[

R2 (1-v) (U. - U. ) + - n 2 - ----

1+1 1-1 62

R2 (1-v) +---- (V. - V. ) + n W

1. = O l+l 1-1

4W. + 1-1

+ n4 w;] +

(A.1c)

(A. 2a )

(A.2b)

(U. - U. ) - n V1.

26 l+l 1-1 ( 6aR 4aR2 n2

+ 1 + -- + ---- + a n 4 + y2 w2 -6' 6 2

aR +--

6 4

R2 (1-v 2)

Eh n

(W. +W. )=0 1+2 1-2

(A.2c)

1 2 O

e reescrevendo o sistema na forma simbÕlica,

[- A10 + M11] (U;) + [A11] (Ui+i - U;_ 1 ) + [B11] (Vi+l - Vi_1

) +

+ [C11] (Wi+l - Wi_ 1 ) = O

(A. 3a)

+ [- C2D] (Wi) = O

(A.3b)

[A31] (U. - U. ) + [- B30] (V1.) + [- C30 + M33] (W

1.) +

1+1 1-1

+ [- C31] (W. + W. ) + [C32] (W. + W. ) = O 1+1 1-1 1+2 1-2

(A.3c)

onde os coeficientes Aij, Bij e Cij sao relativos a rigidez e

os coeficientes Mii correspondem ã parte inercial do sistema.

Definido desta maneira, e possivel formar dois mõdulos

bãsicos que irão gerar as matrizes globais de rigidez e de mas­

sa do problema de antovalor como o da equaçao (11.26).

Para gerar a matriz de rigidez se define o mõdulo bâsico

5(3,13),(fig. A.1) e a geraçao da matriz de massa e feita a par­

tir do mõdulo bâsico P(3,13) (fig. A.2).

1 21

o A 11 - B 11 -e 11 -A10 o o A 11 B 11 e 11 o o o

o -A21 B21 o o -B20 -C20 A21 B21 o o o o C32 -A31 o -C31 o -B30 C30 A31 o - C31 o o C32

Fig. A.1 - MÕdulo básico de rigidez - S(3,13)

o o o o M 11 o o o o . o O, o o

o o o a o M22 o o o o o o o

o o o o o o M33 o o o o o o

Fig. A.2 - MÕdulo básico de massa - P(3,13)

Condições de contorno:

Engaste

U = V = W = W •x = O (A.4)

que em forma de diferenças finitas, fica:

u. = o

V o = o

w, = o

w = w 0+1 O - 1

(A. 5)

122

Simetria axial

Nesta situação o ponto N fica no eixo de simetria, e as

condições para este caso são:

un = o

u n-1 = - u n+1

V n-1 = vn+1

w = wn+1 n-1

w = wn+2 n-2 (A. 6)

Algoritmo de formação das matrizes globais de rigidez de

massa

O algoritmo usado gera as matrizes globais de rigidez e

de massa em banda, tomando como referência a diagonal principal,

que fica posicionada na sêtima coluna das matrizes retangulari­

za das.

Na figura (A.3), se esquematiza a formação das matrizes

em banda.

Uma vez geradas as matrizes globais, a resolução do pro-

blema de autovalor foi feita atravês do mêtodo Inve~-0e Powe~

Ite~ation com acelerador de Doolittle, cujas subrotinas sao a­

presentadas no livro Eigenvalue Algeb~aic P~oblem-0 [10] de

Wilkinson.

Com o objetivo de generalizar o programa e verificar a

convergência, foi considerado tambêm, o caso de extremo simple~

Diagonal Principal-. . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . ... . ... .. . . . . . . ... ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... : • • • • I • •!• • .• • t• · • • • • ,:, • •:• • •:• • ,:, .. :, · •:· · ·:• • •:• • ,;, · .. ) • •> .. > • •! • • • • I • • ! • • I • ~­, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... .. .......... .. ...................................... .............. ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ......... ........... .. ...................................... ..... , .......... , .. , .. , .•.

. . . . . . . . . . . . ··,··Moo,··,· ·sA$JCtJ · ,·,··,··,·· · ·,··,··,· ·,·· ··=··,··,·,· :·:.. ·· . :.-· :· · : .. ." . : .. ·:··:··~::;:: ::;::;::;::;:: ::;::;:Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... : ··: ··,·· ··,··:o:np: ., .. D ~·ir,·n;1·0· · ··:· ··,··,··;··;·· ··,··,··,·;-· •·••••• • ..... ~. •i.- ·\:)~q:):J,·\p· . ··~· ........................ " : •• j .. j.. . . . . : : . . . . . . .. ; .. ) .. j .... j .. j .. j.(.

L::::i::i::i::i:: ::j::jüi:,i1:(i·:b:i·6:~i-<i!'i: ::t::t::i:: ::i:t:U: . . . . . . . , IY~l:J:L:>:. . ~to\~~~ li:) • • . • • • • : • • I • • I • • I• • I" ,. • • • • • I • • I • • I• (, = •. : .. : •• , •• , .. , ••.. ; .. ; ..•• ; .• ; •. ;.ti. · .. ; . ·=t'!fó ... ôr·i--·o· .•... ; .. : .. :. ;. : ·.:.. i · · i· · i· · !· · · · j .. ;. · .. ;. · J41.l · : , : .. !(D~;:;:>;L·t.;.· · · · · · i · · i · ·i· j. : .. ,.,1 .. 1 .. , .. , .. ••( .. (.. ' ' ' ' . ··i·i~ , .. ; .. ; .. ; .. ; .. ; .... , . .;.+; .. ; .. . ; .. ;\'Íl'S . .. ; .. ;~;,;[t<i-r;,..i-1 .. ;.,. 3 . +.: .. : .. : .. : .... ~ .. ~-. ~ .. ~-. ~.. . ~- "~f~t \:1 . ·.>·~0:M.~=J:~!,:J .. : . !· .. l .. l .. l••i .. i•• .. ;: .. ,e .. ,............ • • i•i . . . . . . . . . . . . . . .......... . . ·: .. : .• :·. :"!' ... !·. !·. ~-. ~·. ~·. ,:•. ,:•. •:-. "='. •:, ";' .. ~. · .. ·?. '!": .. : .. :. ·! '!' .. : .. : .. ; .. : .. : .... : .. : .. ; .. ; .. ;, . .: .. .: .. .:. . ..:. .. :. .. :. .. :. .. ; .... ,; .. : .. : .. : .. :.;, . . . . . . . . . . . . . . . . ....

,••i••i·•i••i••(•• ...... , •. , ... ; •• ,: .•• ;,,,:,,,:,. • . . •• i• . . . . . . . ..... . : i : : : i ' : i : : Df.-'-:--=-;_.;....;....;· f 3' ...;.._;.....,..,'--E] : : . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..

MATRIZ GLOBAL

/

COLUNA 7

.......... ··:1.rno··,··, ·"·s:1·c. :o, ··~'~ ... , .. , P+ .. · ... ............ . .......... . ::+{dq:J::;··;As:ító:

. . . . . . . . . . . . . ·!,.ê'R·r4·. ! .. ! .... ·:·r1·;1·~ .r:i. ·-~~1.1-,,··, ~A·~~·~-1:;1·

::~q:J:t t4$~:G~: ............ ··'k.tno· .. , .. , •1i·s·,.·r"o· .. ~:",t.\J. ..• j .. ; l~ .JJ.4' . .. ............ ............

··:r.tno···:-·: •i·s:··I··r::o:. .. ;(:'ll...J: .• , .. , lH- .~ . ............ .............. . . . . . . . . . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . . . 1, .~, ,:, , .;. , ;. • i, ,O',,:,,.;,• 1, ,; , ,:, , ,:, • I

Htt:l:tt H::!::l:lti ~+:rr+++ F:++r:i:~ : : : : : : : : : : : : : : . ............ . . ............ . : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . .

MATRIZ EM BANDA FIG.A.3. ESQUEMA DE FORMACAO DAS MATRIZES EM BANDA

N w

124

mente apoiado.

Simplesmente apoiado

Nx = V = w = MX = o (A. 7)

V

Nx = u + -- (V ,e - W) = o ,X R

V = o

w = o V

MX = w + (V , e + w , e e l = o ,XX R2

(A. 8)

Substituindo o campo de deslocamentos (11.31) e aplican­

do o mêtodo das diferenças finitas, as condições (A.7) ficam:

UO+l = Uo-1

V o = o

Wo = o

w = - w 0+1 O - 1

(A. 9)