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Derivadas de Estabilidade:Adimensionalização
João Oliveira
Departamento de Engenharia Mecânica,Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial
Instituto Superior Técnico
Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial
Versão de 7 de Dezembro de 2010
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 1 / 35
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 2 / 35
Objectivo
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 3 / 35
Objectivo
Necessidade relacionar derivadas de estabilidadedimensionais e adimensionais
ñ As equações do movimento (para pequenasperturbações) foram escritas na forma dimensional.
ñ Logo, usam as derivadas de estabilidade na formadimensional.
ñ Mas as derivadas são obtidas muitas vezes na formaadimensional (por exemplo, são obtidas por testes demodelos em túnel de vento).
ñ Portanto, é necessário relacionar as derivadas deestabilidade dimensionais e adimensionais.
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 4 / 35
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 5 / 35
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas longitudinaisAs forças e momentos longitudinais correspondente apequenas perturbações são dados por:
∆X = Xu∆u+Xww +Xww +Xqq +∆Xc∆Z = Zu∆u+ Zww + Zww + Zqq +∆Zc∆M = Mu∆u+Mww +Mww +Mqq +∆Zc
Xu =∂X∂u
Xw =∂X∂w
Xq =∂X∂q≈ 0 Xw =
∂X∂w
≈ 0
Zu =∂Z∂u
Zw =∂Z∂w
Zq =∂Z∂q
Zw =∂Z∂w
Mu =∂M∂u
Mw =∂M∂w
Mq =∂M∂q
Mw =∂M∂w
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 6 / 35
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas lateraisAs forças e momentos laterais correspondente à pequenaperturbação são dados por:
∆Y = Yvv + Ypp + Yrr +∆Yc∆L = Lvv + Lpp + Lrr +∆Lc∆N = Nvv +Npp +Nrr +∆Nc
Yv =∂Y∂v
Yp =∂Y∂p
Yr =∂Y∂r
Lv =∂L∂v
Lp =∂L∂p
Lr =∂L∂r
Nv =∂N∂v
Np =∂N∂p
Nr =∂N∂r
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 7 / 35
Derivadas de Estabilidade Adimensionais
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 8 / 35
Derivadas de Estabilidade Adimensionais Adimensionalização das variáveis dinâmicas
Adimensionalização das variáveis dinâmicas
(Caso de pequenas perturbações)
u = uu0
v = vu0
w = wu0
q = q2u0c
p = p2u0b
r = r2u0b
ˆα = α2u0c
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 9 / 35
Derivadas de Estabilidade Adimensionais Adimensionalização das variáveis dinâmicas
Coeficientes adimensionais longitudinais
Movimento longitudinal
Cx =X
12ρV2S
Cz =Z
12ρV2S
Cm =M
12ρV2Sc
Movimento lateral
Cy =Y
12ρV2S
Cl =L
12ρV2Sb
Cn =N
12ρV2Sb
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 10 / 35
Derivadas de Estabilidade Adimensionais Adimensionalização das variáveis dinâmicas
Derivadas adimensionais longitudinais
Cx = Cxuu+ Cxαα+ Cxq q + Cxα ˆα
Cz = Czuu+ Czαα+ Czq q + Czα ˆα
Cm = Cmuu+ Cmαα+ Cmq q + Cmαˆα
Cxu =∂Cx∂u
Cxα =∂Cx∂α
Cxq =∂Cx∂q
Cxα =∂Cx∂ ˆα
Czu =∂Cz∂u
Czα =∂Cz∂α
Czq =∂Cx∂q
Czα =∂Cz∂ ˆα
Cmu =∂Cm∂u
Cmα =∂Cm∂α
Cmq =∂Cm∂q
Cmα =∂Cm∂ ˆα
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 11 / 35
Derivadas de Estabilidade Adimensionais Adimensionalização das variáveis dinâmicas
Derivadas adimensionais laterais
Cy = Cyββ+ Cyp p + Cyr rCl = Clββ+ Clp p + Clr rCn = Cnββ+ Cnp p + Cnr r
Cyβ =∂Cy∂β
Cyp =∂Cy∂p
Cyr =∂Cy∂r
Clβ =∂Cl∂β
Clp =∂Cl∂p
Clr =∂Cl∂r
Cnβ =∂Cn∂β
Cnp =∂Cn∂p
Cnr =∂Cn∂r
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 12 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 13 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Força segundo z
Z = 12ρV2SCz
Note-se que velocidade da aeronave é dada por:
V2 = u2 + v2 +w2
e, por outro lado,
u = u0 +∆uv0 = 0
w0 = 0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 14 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a u
Zu ≡(∂Z∂u
)0︸ ︷︷ ︸
estado estacionário
No estado estacionário, u = u0, v = 0 e w = 0. Logo
Zu ≡(∂Z∂u
)0= ∂∂u
[12ρV 2SCz
]0
=[∂∂u
(12ρV 2S
)]0(Cz)0 +
(12ρV 2S
)0
(∂Cz∂u
)0
= 12ρ(2u0)S (Cz)0 +
12ρu2
0S(∂Cz∂u
)0
= ρu0S (Cz)0 +12ρu2
0S(∂Cz∂u
)0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 15 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a u (2)
No estado estacionário: Z0 = −mg cosθ0. Logo:
(Cz)0 =Z0
12ρSu
20
= −mg cosθ012ρSu
20
= −CW0 cosθ0.
E também:(∂Cz∂u
)0=(∂u∂u
)0
(∂Cz∂u
)0=(∂ uu0
∂u
)0
(∂Cz∂u
)0= 1u0Czu .
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 16 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a u (3)
Finalmente, substituímos
(Cz)0 = −CW0 cosθ0 e(∂Cz∂u
)0= 1u0CZu
na equação Zu = ρu0S (Cz)0 +12ρu2
0S(∂Cz∂u
)0,
obtendo
Zu = −ρu0S cosθ0CW0 +12ρSu0Czu
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 17 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a w
Zw ≡(∂Z∂w
)0︸ ︷︷ ︸
estado estacionário
No estado estacionário, u = u0, v = v0 = 0 e w = w0 = 0. Logo
Zw ≡(∂Z∂w
)0= ∂∂w
[12ρV 2SCz
]0
=[∂∂w
(12ρV 2S
)]0(Cz)0 +
(12ρV 2S
)0
(∂Cz∂w
)0
= 12ρ(2w0︸︷︷︸
=0
)S (Cz)0 +12ρu2
0S(∂Cz∂w
)0
= 12ρu2
0S(∂Cz∂w
)0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 18 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a w (2)
Note-se que(∂Cz∂w
)0=(∂w∂w
)0
(∂Cz∂w
)0=(∂ wu0
∂w
)0
(∂Cz∂w
)0= 1u0
(∂Cz∂w
)0.
Por outro lado, w = α para pequenas perturbações.
Logo(∂Cz∂w
)0≡ Czα .
Zw =12ρSu0Czα
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 19 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a w
Zw ≡(∂Z∂w
)0︸ ︷︷ ︸
estado estacionário
Zw ≡(∂Z∂w
)0= ∂∂w
[12ρV 2SCz
]0
=[∂∂w
(12ρV 2S
)]0(Cz)0 +
(12ρV 2S
)0
(∂Cz∂w
)0
= 0+ 12ρu2
0S(∂Cz∂w
)0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 20 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a w (2)
Para pequenas perturbações: w = wu0= αx ⇒ w = u0αx
Por outro lado: ˆαx =αx2u0c
Logo(∂Cz∂w
)0= 1u0
(∂Cz∂α
)0= 1u0
c2u0
(∂Cz∂ ˆα
)0= c
2u20Cz ˆα
Zw =14ρScCzα
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 21 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a q
Zq ≡(∂Z∂q
)0︸ ︷︷ ︸
estado estacionário
Zq ≡(∂Z∂q
)0
= ∂∂q
[12ρV 2SCz
]0
=[∂∂q
(12ρV 2S
)]0
(Cz)0 +(
12ρV 2S
)0
(∂Cz∂q
)0
= 0+ 12ρu2
0S(∂Cz∂q
)0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 22 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo z
Derivada relativamente a q (2)
Mas: q = q2u0c
Logo
(∂Cz∂q
)0
= c2u0
(∂Cz∂q
)0
= c2u2
0Czq
Zq =14ρu0ScCzq
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 23 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo x
Derivadas da força segundo x
Procede-se de forma idêntica ao caso anterior, mas com
X = 12ρV2SCx
Note-se que agora
X0 =mg sinθ0 ⇒ Cx0 = CW0 sinθ0
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 24 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo x
Derivada relativamente a u
Xu ≡(∂X∂u
)0= ∂∂u
[12ρV 2S Cx
]0
=[∂∂u
(12ρV 2S
)]0(Cx)0 +
(12ρV 2S
)0
(∂Cx∂u
)0
= ρu0S (Cx)0 +12ρu2
0S(∂Cx∂u
)0
Agora Cx0 = CW0 sinθ0 e também:
(∂Cx∂u
)0=(∂u∂u
)0
(∂Cx∂u
)0=(∂ uu0
∂u
)0
(∂Cx∂u
)0= 1u0Cxu .
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 25 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo x
Derivada relativamente a u (2)
Substituindo
(Cz)0 = CW0 sinθ0 e(∂Cx∂u
)0= 1u0Cxu
em Xu = ρu0S (Cx)0 +12ρu2
0S(∂Cx∂u
)0, obtém-se
Xu = ρu0S sinθ0 CW0 +12ρSu0 Cxu
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 26 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas da força segundo x
Outras derivadas
Para as outras derivadas procede-se exactamente comopara o caso das derivadas da força segundo z, obtendo-se:
Xw =12ρSu0Cxα
Xw =14ρScCxα
Xq =14ρu0ScCxq
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 27 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Longitudinais Derivadas do momento de picada
Derivadas do momento de picada
Neste caso
M = 12ρV2ScCm
Por outro lado M0 = 0⇒ (Cm)estado estacionário = 0. Logo:
Mu =12ρSu0cCmu
Mw =12ρSu0cCmα
Mq =14ρSu0c2Cmq
Mw =14ρSc2Cmα
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 28 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais
Sumário
Objectivo
Derivadas de Estabilidade Dimensionais
Derivadas de Estabilidade AdimensionaisAdimensionalização das variáveis dinâmicas
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LongitudinaisDerivadas da força segundo zDerivadas da força segundo xDerivadas do momento de picada
Relação entre Derivadas Dimensionais e Adimensionais LateraisDerivadas do momento de rolamentoDerivadas do momento de guinadaDerivadas da força lateral
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 29 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de rolamento
Momento de rolamento
L = 12ρV2Sb Cl
No estado estacionário: L0 = 0⇒ Cl0 = 0,
e também v0 = 0 e p0 = r0 = 0.
Por outro lado, para pequenas perturbações:
β = arcsinvV≈ vu0= v
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 30 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de rolamento
Derivada em ordem a v
Lv ≡(∂L∂v
)0= ∂∂v
[12ρV 2SbCl
]0
=[∂∂v
(12ρV 2Sb
)]0Cl0 +
(12ρV 2Sb
)0
(∂Cl∂v
)0
= 0+ 12ρu2
0Sb(∂Cl∂v
)0
Por outro lado,(∂Cl∂v
)0=(∂v∂v
)0
(∂Cl∂v
)0= 1u0Clβ .
Lv =12ρu0Sb Clβ
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 31 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de rolamento
Derivada em ordem a p
Lp ≡(∂L∂p
)0
=[∂∂p
(12ρV 2Sb
)]0
Cl0 +(
12ρV 2Sb
)0
(∂Cl∂p
)0
= 0+ 12ρu2
0Sb(∂Cl∂p
)0
Por outro lado, como p = p2u0
b
:
(∂Cl∂p
)0
=(∂p∂p
)0
(∂Cl∂p
)0
= b2u0
Clp .
Lp =14ρu0Sb2 Clp
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 32 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de rolamento
Derivada em ordem a r
Lr ≡(∂L∂r
)0=[∂∂r
(12ρV 2Sb
)]0Cl0 +
(12ρV 2Sb
)0
(∂Cl∂r
)0
= 0+ 12ρu2
0Sb(∂Cl∂r
)0
Por outro lado, como r = r2u0
b
:
(∂Cl∂r
)0=(∂r∂r
)0
(∂Cl∂r
)0= b
2u0Clr .
Lr =14ρu0Sb2 Clr
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 33 / 35
Derivadas Dimensionais e Adimensionais Laterais Derivadas do momento de guinada
Derivadas do momento de guinada
O momento de guinada é: N = 12ρV
2Sb Cn.De novo, no estado estacionário N0 = 0⇒ Cn0 = 0.
De forma análoga ao caso do momento de rolamento,obtém-se
Nv =12ρu0Sb Cnβ
Np =14ρu0Sb2 Cnp
Nr =14ρu0Sb2 Cnr
João Oliveira (ACMAA, IST) Derivadas de Estabilidade Estabilidade de Voo 34 / 35