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f CONSEJO NACIONAL DE EDUCACION
Prcsdellfc Prof ALFREDO NATALlO FERNANDEZ Vicepresidente Prof ESTHER ABELLEY RA DE FRANCHI Vocal Praf ESTER TESLER DE CORTI Vocol Dra ROSA GLEZER
Vocul Prof HERIBERTO AURELlO BARGIELA Voml Dr HUGO TORIJA Secretario General PraL ANGEL GOMEZ Prowcefaria Prof MARTHA MOUNUEVO
Superl Cm Pedug Prof CRISTINA ELVIRA FRITZSCHE
1
o OiexclKbZ3iexcl ----r 1- IG J-lt
--3111 S
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~~
El Consejo Nacional de Educacioacuten se complace en hacer llegar a sus docentes el presente trabajo
En esta segunda parte de la publicacioacuten de Geometriacutea se completan los conocimientos baacutesicos de la materia que todo docente debe poseer en su formacioacuten profesional para desempeshyntildearse en el nivel primario
Aunque ya se manifestoacute en la primera parte se reitera en eacutesta que el mismo estaacute dirigido por 511 nivel a los maestros y no a los alumnos
Tambieacuten hallaraacuten los maestros en este trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetuacutelo encontrando en las uacuteltimas hojas las respuesshytas a los ejercicios propuestos
-------
9
l SUPERFICIE 1 - FIGURAS EQUICOMPUESTAS
BA
1 2
3 4
2 4 1
~ 3
la figura A puede separarse en los triaacutengulos 1 2 34
Con la unioacuten de estos triaacutengulos puede fonnarse un rectaacutengulo B
A Y B son figuras equiacutecompuestas porque resultan de la unioacuten del mismo nuacutemero de poliacutegonos respectishyvamente congruentes sin puntos interiores comunes
2 RrIACION DE EQUIVALENCIA SUPERFICIE R es equicompuesta con
es una relacioacuten que clasifica los elementos de un conjunto F de figuras
F
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CiI -- T oC I ~ I ___ iI
~~p r
bull
1 bull t
- ~ I I I I
O LJ7 Y
o~ ~$
10 11
En F se produce unll particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de
equivalencia que define una superficie Las figuras que pertenecen a una misma clase son
equivalentes en cuanto a su superficie
Las figuras equicompuestas llamadas tambieacuten equivalentes tienen la misma superficie
En una clase de equivalencia si se conoce el valor de la superficie de una figura se conoce tambieacuten eacutel de la superficie de todos los demaacutes poliacutegonos de la
misma 3 _ COMPARACION INTUITIVA DE SUPERFICIE DE
FIGURAS Dadas las figuras A Y B
31 Si A B
~ ~ Se pueden descomponer en el mismo nuacutemeshy
ro de poliacutegonos respectivamente congruentes
Son figuras equivalentes Se indica A= B
luegO Supo A ~ Sup B
Las figuras congruentes tienen la misma
superficiacutee
Si A f B pueden presentarse entre otros los siexclguien tes casos
al
BA
Para comparar la superficie de A con la superficie de n se puede calcar B y superponer sobre A En este caso la figura A queda sepashyrada en dos partes la cubierta por B y la que no estaacute cubierta por B Resulta B congruente con una parte propia de A
A Se dice Supo de A gt Sup de B
o bien Sup de B lt Sup de A
AA I1-_-
Si se superponen las figuras A y B ninguna de ellas contiene totalmente a la otra
Se corta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
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21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
~t ~
5
f CONSEJO NACIONAL DE EDUCACION
Prcsdellfc Prof ALFREDO NATALlO FERNANDEZ Vicepresidente Prof ESTHER ABELLEY RA DE FRANCHI Vocal Praf ESTER TESLER DE CORTI Vocol Dra ROSA GLEZER
Vocul Prof HERIBERTO AURELlO BARGIELA Voml Dr HUGO TORIJA Secretario General PraL ANGEL GOMEZ Prowcefaria Prof MARTHA MOUNUEVO
Superl Cm Pedug Prof CRISTINA ELVIRA FRITZSCHE
1
o OiexclKbZ3iexcl ----r 1- IG J-lt
--3111 S
I t f -J
~~
El Consejo Nacional de Educacioacuten se complace en hacer llegar a sus docentes el presente trabajo
En esta segunda parte de la publicacioacuten de Geometriacutea se completan los conocimientos baacutesicos de la materia que todo docente debe poseer en su formacioacuten profesional para desempeshyntildearse en el nivel primario
Aunque ya se manifestoacute en la primera parte se reitera en eacutesta que el mismo estaacute dirigido por 511 nivel a los maestros y no a los alumnos
Tambieacuten hallaraacuten los maestros en este trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetuacutelo encontrando en las uacuteltimas hojas las respuesshytas a los ejercicios propuestos
-------
9
l SUPERFICIE 1 - FIGURAS EQUICOMPUESTAS
BA
1 2
3 4
2 4 1
~ 3
la figura A puede separarse en los triaacutengulos 1 2 34
Con la unioacuten de estos triaacutengulos puede fonnarse un rectaacutengulo B
A Y B son figuras equiacutecompuestas porque resultan de la unioacuten del mismo nuacutemero de poliacutegonos respectishyvamente congruentes sin puntos interiores comunes
2 RrIACION DE EQUIVALENCIA SUPERFICIE R es equicompuesta con
es una relacioacuten que clasifica los elementos de un conjunto F de figuras
F
~ n~ltgt
CiI -- T oC I ~ I ___ iI
~~p r
bull
1 bull t
- ~ I I I I
O LJ7 Y
o~ ~$
10 11
En F se produce unll particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de
equivalencia que define una superficie Las figuras que pertenecen a una misma clase son
equivalentes en cuanto a su superficie
Las figuras equicompuestas llamadas tambieacuten equivalentes tienen la misma superficie
En una clase de equivalencia si se conoce el valor de la superficie de una figura se conoce tambieacuten eacutel de la superficie de todos los demaacutes poliacutegonos de la
misma 3 _ COMPARACION INTUITIVA DE SUPERFICIE DE
FIGURAS Dadas las figuras A Y B
31 Si A B
~ ~ Se pueden descomponer en el mismo nuacutemeshy
ro de poliacutegonos respectivamente congruentes
Son figuras equivalentes Se indica A= B
luegO Supo A ~ Sup B
Las figuras congruentes tienen la misma
superficiacutee
Si A f B pueden presentarse entre otros los siexclguien tes casos
al
BA
Para comparar la superficie de A con la superficie de n se puede calcar B y superponer sobre A En este caso la figura A queda sepashyrada en dos partes la cubierta por B y la que no estaacute cubierta por B Resulta B congruente con una parte propia de A
A Se dice Supo de A gt Sup de B
o bien Sup de B lt Sup de A
AA I1-_-
Si se superponen las figuras A y B ninguna de ellas contiene totalmente a la otra
Se corta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
i
iexcliexcl
)gt
(1 a ltgt - D
11 e]
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~
c
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21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
~~
El Consejo Nacional de Educacioacuten se complace en hacer llegar a sus docentes el presente trabajo
En esta segunda parte de la publicacioacuten de Geometriacutea se completan los conocimientos baacutesicos de la materia que todo docente debe poseer en su formacioacuten profesional para desempeshyntildearse en el nivel primario
Aunque ya se manifestoacute en la primera parte se reitera en eacutesta que el mismo estaacute dirigido por 511 nivel a los maestros y no a los alumnos
Tambieacuten hallaraacuten los maestros en este trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetuacutelo encontrando en las uacuteltimas hojas las respuesshytas a los ejercicios propuestos
-------
9
l SUPERFICIE 1 - FIGURAS EQUICOMPUESTAS
BA
1 2
3 4
2 4 1
~ 3
la figura A puede separarse en los triaacutengulos 1 2 34
Con la unioacuten de estos triaacutengulos puede fonnarse un rectaacutengulo B
A Y B son figuras equiacutecompuestas porque resultan de la unioacuten del mismo nuacutemero de poliacutegonos respectishyvamente congruentes sin puntos interiores comunes
2 RrIACION DE EQUIVALENCIA SUPERFICIE R es equicompuesta con
es una relacioacuten que clasifica los elementos de un conjunto F de figuras
F
~ n~ltgt
CiI -- T oC I ~ I ___ iI
~~p r
bull
1 bull t
- ~ I I I I
O LJ7 Y
o~ ~$
10 11
En F se produce unll particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de
equivalencia que define una superficie Las figuras que pertenecen a una misma clase son
equivalentes en cuanto a su superficie
Las figuras equicompuestas llamadas tambieacuten equivalentes tienen la misma superficie
En una clase de equivalencia si se conoce el valor de la superficie de una figura se conoce tambieacuten eacutel de la superficie de todos los demaacutes poliacutegonos de la
misma 3 _ COMPARACION INTUITIVA DE SUPERFICIE DE
FIGURAS Dadas las figuras A Y B
31 Si A B
~ ~ Se pueden descomponer en el mismo nuacutemeshy
ro de poliacutegonos respectivamente congruentes
Son figuras equivalentes Se indica A= B
luegO Supo A ~ Sup B
Las figuras congruentes tienen la misma
superficiacutee
Si A f B pueden presentarse entre otros los siexclguien tes casos
al
BA
Para comparar la superficie de A con la superficie de n se puede calcar B y superponer sobre A En este caso la figura A queda sepashyrada en dos partes la cubierta por B y la que no estaacute cubierta por B Resulta B congruente con una parte propia de A
A Se dice Supo de A gt Sup de B
o bien Sup de B lt Sup de A
AA I1-_-
Si se superponen las figuras A y B ninguna de ellas contiene totalmente a la otra
Se corta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
i
iexcliexcl
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(1 a ltgt - D
11 e]
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L-_
_
~
1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
-------
9
l SUPERFICIE 1 - FIGURAS EQUICOMPUESTAS
BA
1 2
3 4
2 4 1
~ 3
la figura A puede separarse en los triaacutengulos 1 2 34
Con la unioacuten de estos triaacutengulos puede fonnarse un rectaacutengulo B
A Y B son figuras equiacutecompuestas porque resultan de la unioacuten del mismo nuacutemero de poliacutegonos respectishyvamente congruentes sin puntos interiores comunes
2 RrIACION DE EQUIVALENCIA SUPERFICIE R es equicompuesta con
es una relacioacuten que clasifica los elementos de un conjunto F de figuras
F
~ n~ltgt
CiI -- T oC I ~ I ___ iI
~~p r
bull
1 bull t
- ~ I I I I
O LJ7 Y
o~ ~$
10 11
En F se produce unll particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de
equivalencia que define una superficie Las figuras que pertenecen a una misma clase son
equivalentes en cuanto a su superficie
Las figuras equicompuestas llamadas tambieacuten equivalentes tienen la misma superficie
En una clase de equivalencia si se conoce el valor de la superficie de una figura se conoce tambieacuten eacutel de la superficie de todos los demaacutes poliacutegonos de la
misma 3 _ COMPARACION INTUITIVA DE SUPERFICIE DE
FIGURAS Dadas las figuras A Y B
31 Si A B
~ ~ Se pueden descomponer en el mismo nuacutemeshy
ro de poliacutegonos respectivamente congruentes
Son figuras equivalentes Se indica A= B
luegO Supo A ~ Sup B
Las figuras congruentes tienen la misma
superficiacutee
Si A f B pueden presentarse entre otros los siexclguien tes casos
al
BA
Para comparar la superficie de A con la superficie de n se puede calcar B y superponer sobre A En este caso la figura A queda sepashyrada en dos partes la cubierta por B y la que no estaacute cubierta por B Resulta B congruente con una parte propia de A
A Se dice Supo de A gt Sup de B
o bien Sup de B lt Sup de A
AA I1-_-
Si se superponen las figuras A y B ninguna de ellas contiene totalmente a la otra
Se corta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
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(1 a ltgt - D
11 e]
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a ro
mbo
ide
b x
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e =
d X
d
L-_
_
~
1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
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i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
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Vogt ~Jhd10 r X h
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1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
10 11
En F se produce unll particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de
equivalencia que define una superficie Las figuras que pertenecen a una misma clase son
equivalentes en cuanto a su superficie
Las figuras equicompuestas llamadas tambieacuten equivalentes tienen la misma superficie
En una clase de equivalencia si se conoce el valor de la superficie de una figura se conoce tambieacuten eacutel de la superficie de todos los demaacutes poliacutegonos de la
misma 3 _ COMPARACION INTUITIVA DE SUPERFICIE DE
FIGURAS Dadas las figuras A Y B
31 Si A B
~ ~ Se pueden descomponer en el mismo nuacutemeshy
ro de poliacutegonos respectivamente congruentes
Son figuras equivalentes Se indica A= B
luegO Supo A ~ Sup B
Las figuras congruentes tienen la misma
superficiacutee
Si A f B pueden presentarse entre otros los siexclguien tes casos
al
BA
Para comparar la superficie de A con la superficie de n se puede calcar B y superponer sobre A En este caso la figura A queda sepashyrada en dos partes la cubierta por B y la que no estaacute cubierta por B Resulta B congruente con una parte propia de A
A Se dice Supo de A gt Sup de B
o bien Sup de B lt Sup de A
AA I1-_-
Si se superponen las figuras A y B ninguna de ellas contiene totalmente a la otra
Se corta la parte sobrante de la figura B y se adapta a la figura A
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
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1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
---
- --
12
13
A shy - shy- - shyshy -shyshy
-I--7--n == - --shy
Se repite la situacioacuten del casO anterior
Sup Agt Sup B Sup B lt Sup A
4- CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA LA EQUishyVALENCIA ENTRE 41 - Dos paralelogramos
Dados dos paralelogramos de bases Y alluras respectiacutevamente congruentes
iexcl
I - Il 113 S I IH - f HSH
iquest B
B
al superponer uno sobre olro se observa que
2 AL--1-7 1 2 I1 IVI I I -- shy
paralelogramo (B H) Y paralelogramo (B 1-1) son figuras cquicompuestas
Por lo tanto parale (B H) paraleL (B H)
Dos paralelogramos son equivalentes si sus bases y alturas son respectivamente conshygruentes
r b In e PqC7CJcJ ~ - --rl -- - -T - -~7 ahcct alpd Bmqd
I ~ iexcl imiddot )
-~-- -- - ~--
a el
42 - Un triaacutengulo y un paralelogramo Dados un triaacutengulo y un papalelogramo de
alturas congruentes y tal que la base del parashylelogramo sea- congruente con la mitad de la base del triaacutengulo
0 H tI- riexclH7I
B s 2S H ~-
iL 1 __~ t___J
B B
se puede superponer al triaacutengulo un paraleloshygramo equivalente al dado de base y altura respectivamente congruentes a B y H
1~17
~ A
Se observa 1~2
triaacuteng lB11) Y parale (B H) son figuras equicompuestas
Por lo tanto
triaacuteng (B H) para le (B I)
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
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1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
14
U n triaacutengulo Y un papalelogramo de al tushyrdS congruentes son equivalentes si la base del paralelogramo es congruen te con la mitad de la base del triaacutengulo
43- Dos triaacutengulos Dados dos triaacutengulos de bases y alturas respecshytivamente congruentes
d H~H - APH Belt B shy
H
e L I_~-I L __
a B m B n
Se construye t1
Tal que
H Helt H H B~ B~ 2 BU
r B s
a A lacd =rstu =gt acd omnp A 71
Hlup rstu)
Si dos triaacutengulos tienen bases y alturas respectivamente congruentes son equivalenshy
tes
Ii III
1e
44 Un triaacutengulo y un trapecio Dados un triaacutengulo y un trapecio de alturas
congruentes y tal que la base del triaacutengulo sea igual a la suma de las bases del trapecio
B
ti == H )1 ~ )1 + 13 ~ ffi
B B
se puede dividir cada una de las figuras en dos (iexcliaacutengulos de la siguiente manera
~ B i =r1por ser triaacutengulos
2~ ~ de bases y alturas I shybull bull I t t
2 J 2=2 I respec lvamen e m ___ j J congruentes
BHBH B
Por lo tanto
triaacuteng (B H) ~ trapecio (B BH H)
Un triaacutengulo y un trapecio de alturas congruentes son equivalentes si la base del triaacutengulo es igual a la suma de las bases del trapecio
m d p-- --- br = be + i o 6 A
abcd =bnh ~ bdr~k e rb
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
t---L--I
j
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(1 a ltgt - D
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d
L-_
_
~
1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
16 17
5 - MEDIDA DE LA SUPERFICIE AREA Como en el caso de la medida de la longitud el
primer paso es la eleccioacuten de una unidad Con suficientes figuras congruentes con la unidad
elegida colocadas de manerd que encajen sin supershyponerse se puede cubrir cualquier figura ya sea exacshytamente o no Ejemplos
Se puede usar una cuadriacutecula para calcular la meshydida de la superfiCie de una figura superponieacutendola a ella El nuacutemero que resulte de contar las regiones unitarias es la medida de la superficie estimada o aacuterea
por exceso 30por defecto 22
iexcl Cuanto maacutes pequentildea es la unidad elegida maacutes
aproximada es la medida estimada I La misma figura puede ser medida con distintas unidades
AO F B F
O----- 1---+
Med Supo FA = 24 Med Supo Fa = 6
F bull ~ K J
Med Supo Fc = 12
La superficie es la misma no depende de la unidad La medida de la superficie es un nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida y que se llama aacuterea
51 - Area del rectaacutengulo Si con varios cuadrados unidad convenienteshy
mente dispuestos se forma un rectaacutengulo el nuacutemero de cuadrados utilizados es la medida de la superficie del rectaacutengulo o aacuterea del misshymo
loLejemplo con J2 Clladrados congruentes con ~ formamos diferentes rectaacutengulos
A B ~ u unid de superficie II 1I II I JI+H I I ~1 1 L ll~ 1-1-+ u unid de longitud
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21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
i
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(1 a ltgt - D
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1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
1
21
53 - Atea de las figuras circulares
CORONA CIRCULAR
Area = u 2 _ lff2
Area = 11 (r2 _ rZ)
---
f SEGMENTO CIRCULAR CIRCULO TRAPECIO CIRCULAR
Area 1 == Area Cet aob Arca aob
Area U Ama seel aolgt d + Area aob
1113 QAreal 3iO
Mea 11 --+ ___ lIrZ o3iO o
360
bull
Ar 110 (2 2)ea=360 f -f
middotmiddotmiddotmiddot2~IIr 0Area= 360
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
C
22 23
6 - TEOREMA DE PITAGORAS
61 - Raiacutez cuadrada r-A-r-e-a-d-e-l-cu-a-d-ra-d-o-=-~Z---
AreadeC ~= 25 51 = 25
Medida del lado 5
Decimos que 5 es la raiacutez cuadrada de 25 porque 5 = 2S (teacutengase en cuenta que se
trabaja con nuacutemeros naturales)
Notacioacuten yJ3= S porque 5 = 25
La medida del lado del cuadrado es la raiacutez cuadrada de su aacuterea
Medida del lado del O = Jaacuterea
62 - Dado un triaacutengulo rectaacutengulo se puede construir un cuadrado sobre cada uno de sus lados
Los cuadrados A BC ) Y C tienen por lados
respectivamente a cada uno de los catetos y la
A hipotenusa del triaacutengushylo
B
63 - a) b)
Si se dibujan en A cuatro pueden ser ubicados de maneshytriaacutengulos congruentes de ra tal que con B se cubra acuerdo a la siguiente figura totalmente el cuadrado C
fA
I---lB B
Las figuras A U B (formada por los cuadrados que tieshynen por lados los catetos del triaacutengulo rectaacutengulo)
y e (formada por el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa del cuadrado)
I son equicompuestas y por lo tanto equivalentes por su superficie
El cuadrado construido sobre la hipoteshynusa es equivalente a la unioacuten de los cuashydrados construidos sobre cada uno de los catetos
64 Dados los triaacutengulos rectaacutengulos 1 y Il tales que - Medida de los catetos de 1 3 y 4 respectivashymente iacute
medida de los catetos de ll S y 12 respectishyvamente construimos
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
24 2S
EJERCICIOS DE APLICACION
1 Recortar los triaacutengulos y formar figuras equicompuacuteestas lt
con el rectaacutengulo K w1
Resulta 2 Dada la siguiente figura obtener otras dos de igual aacuterea
AreaA AreaB ArenCAreaA AreaB ArenC 2 ~~~ ~~ ~
169 = 144 + 2525 = 16 + 9
2-En todo triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrashy
do de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos
a = b +e
4 3 al Hallar el aacuterea de cada una de las figuras resultantes de
las siguientes operaciones
iexclo) IUIl 20 ) In 11 30 ) I 11enusa
e los espectlv05 catetos
Esta comprobacioacuten permite conocer la meshydida de un lado de un triaacutengulo rectaacutengulo conociendo la medida de los otros dos
a2 = b +c a=Jel +b =a - e b =Jal
- eb
e
= a2 - e=al _ bb
b) Comparar el aacuterea de 1 U II con el aacuterea de I + aacuterea de n
4 - lIallar el aacuterea de la figura sombreada
a) Con respecto a la unidad O b) Con respecto a la unidad D el Con respecto a la unidad ~
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
27
_ Calcular la medida de 2 en los siguientes casos
~ 10
6 _ Determinar el aacuterea de las siguientes figuras sombreadas
b)
al 2
d=6
e)
7
7 - al Un rectaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 9 m de lado Si el ancho es de 3 m icuaacutel es ellano
b) Un triaacutengulo es equivalente a un cuadrado de 81 m Si la base del triaacutengulo es congruente con el lado del eua drado iquestcuaacutel es la longitud de su altura
8 al Un triaacutengulo y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen la misma altura iquestCoacutemo es la base del triaacutengulo con res-Dceto a la del rectaacutengulo bull
b l Un trapecio y un rectaacutengulo son equivalentes y tienen misma altura iquestQueacute condicioacuten cumplen las bases del trashypecio
e) la altura de un rectaacutengulo tiene la misma longitud que una de las diagonales de un rombo La longitud de la base es la mitad de la longitud de la otra diagonal iexclCoacutemo son las superficies de estas figuras
d) Un rectaacutengulo y un paralelogramo tienen la misma base y la longitud de la altura del paralelogramo es la mitad de la del rectaacutengulo iquestQueacute reladoacuten guarda el aacuterea del rectaacutengulo con respecto a la del paralelogramo
l - SEMEJANZA
1 - SEGMENTOS PROPORCIONALES 11 - Segmentos correspondientes
Dadas varias rectas paralelas cortadas por dos transversales se llaman segmentos correspondientes a los comprendidos entre las mismas paralelas
M Na
diaacutemetro 10
ABCDat A
B b b iexcl y ab segmentos12
be y bc correspondientes e e cd yedC D d
5
d
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
28
12 Propiedades de los segmentos correspondienles enshytre paralelas
Si tres deg maacutes paralelas son cortadas por dos deg maacutes transversales a segmentos congruentes sobre una de las tran~Versales corresponden segmentos congruentes en cada una de las otras
A la a AIIBIICIID
Si ab be cd~b ee e c - - -- rb bc c d
=gt - -- ---nD Id d d___ abn ~ b~c ~ e d
- Aplicaciones a) Divisioacuten de un segmento en partes conshy
gruentesLa claacutesica divisioacuten de un segmento en partes
congruentes se fundamenta en la propilltiad enunciada ejemplo _
Dividir aben 5 partes congruentes
Procedimiento Se traza
-110 ap tal que ab y- ap
20 en ap a partir del origen segmentos consecutivos
ac cd l de ef fg
30 gba i_~ 1 Aacute iOn f b 40 ce 11 dd 11 ce 11 fr 11 gb
29
Resulta
I a2 Cd l iexclre l ei l ntildel I b) La paralela a un lado de un triaacutengulo trazada
por el punto medio de uno de los otros dos lashydos corta al tercero en su punto medio Ejemplo
a bullabe
m punto medio de ab
mp 11 ac ResultaL 2~ ~c I p punto medio de be
e) La paralela a las bases de un trapecio trazada por el punto medio de uno de los lados oblishycuos corta al otro lado en su punto medio Ejemplo
3 d trapecio abcd m pu~o medio de ab
m S mp 11 ad 1 beT Resulta
b e I p punto medio de cd
13 -- Bases medias
a) Bases medias de un cuadrilaacutetero Son cada uno de los segmentos dcteiminados
por los puntos medios de los pares de lados opuestos
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
31
b) Bases medias de un triaacutengulo Son cada uno de los segmentos determinados
por los puntos medios de un par de lados a Ejemplo a a
mp base media corresponshydiente a bc
pro base media corresp-onshydiente a ab
e
b b mr base media
corresponshydiente a ac
e) Propiedades de las bases medros de los
19) paralelogramos
d c
mi -f iquest1 7iexcl a b a
mn base media corresponde a ab Qcd
48I
En todo paralelogramo cada base media es paralela al par de lados correspondientes y congruente con ellos Por lo tanto
La longitud de una base media es igual a la longitud de cada una de las bases roshyrrespondientes
2Q) triaacutengulos Cada base media de un triaacutengulo es parashy
lela al lado correspondiente y congruente con su mitad Por lo tanto
La longitud ele cada base media de un triaacutengulo es igual a la mitad de la longishytud del lado correspondiente
Justificacioacuten e s -
--- mn base media de abc
I correspondiente a ab m( gtn r punto medio de ab 1
_ t7 I mn = ar base media arse
a ( -- b -------~---- r I mn= tab
39) trapecios La base media de un trapecio corresponshy
diente a [as bases es paralela a ellas y su lonshygitud es igual a la semisuma de las longitudes de las m isma~
I ar=B+BB e A
d fin base media de ard lt n mnar
m mn=iacutelL
- I ~ - B + B r mn- 2
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
32
14 - Razoacuten entre segmentos La razoacuten de dos segmentos es la razoacuten entre sus
medidas tornadas respecto a una misma unidad
razoacuten entre Ji y B ~ ~~
i =~
razoacuten entre ey TI ~ ~ e k =1
D 2
15 Proporcioacuten entre segmentos Dados en un cierto orden cuatro segmentos A B
C y D tal que la razoacuten entre los dos primeros es igual a la razoacuten entre los dos uacuteltimos se dice que dichos segmentos son proporcionales
~ B
iexcli~
33
2 - SEMEJANZA DE POLIGONOS La semejanza es una correspondencia biuniacutevoca enshy
tre los veacutertices de dos poliacutegonos convexos o entre los veacutertices de un solo poliacutegono convexo con ellos misshymos tal que los lados correspondientes son proporshycionales y los aacutengulos correspondientes son conshygruentes
d
e
a f
c g
Resulta
h Si
a ~ e b f e g d h
ab = h =w = da ef fg gh he
a ~ e b i f ~ ~~ d h
Ji =11 poliacuteg abed ~ poliacuteg efgh - 2 Se IceB 1 Se lee~A=k A es~ B poliacuteg abcd semejante poliacuteg efgh B TI Corno ees a D
e ~ =1 [ I D 2 J~
D Si en el siguiente conjunto de figuras se aplica la relacioacuten es semejante a se obtiene una partishycioacuten
Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de La igualdad entre las razonez y f- se llama B D equivalencia
proporcioacuten i 1 JoIi
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
bull bull
bull bull
34 35
rJ 1-1shy
2 1
b Jeacuteto un triaacutengulo se puede obtener otro semeshy
Jante trazando una recta paralela a uno de SUs lados Ejemplo
bullDado abe y intildentilde ao pueden presentarse las
siguientes situaciones a) bl n el
e eshy
Las figuras que pertenecen a una misma clase de equivalencia tienen la misma forma
_
I I
a 1 b I
I I blt8gt ~
a m n a
b
en todas resulta Semeiacuteanza de triaacutengulos a) Dados dos triaacutengulos abe y abc
a men - abe
a - Criterios de semejanza de triaacutengulos
e I ordm) Si dos triaacutengulos tienen dos pares de ladosgtc 1 homoacutelogos proporcionales y los aacutengulos comshyb prendidos entre ellos congruentes entonces
b I son semejantes epor definicioacuten es Iabe abc
si m )de df bull bull a ltr a aE aacute _ ~ abe - def
ab = lltlb b a~d a~b bc
b b 6 f
e C e e~ C b ea I
L
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
36 n
De acuerdo con este criterio resulta que EjemploDos triaacutengulos rectaacutengulos son semejantes si Dado el poliacutegono abede sus catetos son proporcionales
a 20) Si dos triaacutengulos tienen dos aacutengulos respectishy a primer veacutertice
vamente congruentes entonces son semejanshy b ab primer lado tes
e e ac primera diagonal
aSoacutedl bull I =gt abc ~ def bSoacutee
df1all b b) Para obtener un poliacutegono semejante al abcde se
procede asiacute - Se determina un punto cualquiera del primer
Resulta asiacute que lado ab Dos triaacutengulos rectaacutengulos con un aacutengulo agudo congruente son semejantes
a
- Se traza 3Q) Si dos triaacutengulos tienen sus lados homoacutelogos b iexclO) mpbce proporcionales entonces son semejantes e 2deg) pq I eacuted
30 ) qr de o llll ca bull bull =gt abe ~ def
de fd c d b d e
a Resulta L l
o 0 ampqr ~ abede
Jus tiacuteicacioacuten22 Obtencioacuten de un poliacutegono semejante a otro dado Siacutea) Dado un poliacutegono se pueden ordenar sus veacutershy - - tices a partir de uno cualquiera de ellos Detershy mp I bc map ~ bac
minado el primer veacutertice quedan ordenados sus bull bull pq cd =gt paB - qd 1~ poibull mpq - pollblados y las diagonales que concurren a dicho qr ere qar -daeveacutertice
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
38 39
3 ~ ESCALAS La semejanza de poliacutegonos se aplica en la construcshy
cioacuten de planos y mapas ya que estos son figuras semejantes a los objetos reales
La razoacuten de semejanza se llama escala Por ejemplo si en una habitacioacuten el largo (1) e~
4 m y en el plano se representa con un segmento (s) de 4 cm la escala correspondiente se obtiene asl
-L
I
Expresados ambos en la misma unidad resulta
--L =_1 400 100
Reciacuteprocamente en la misma escala un segmento de 25 cm representaraacute otro real de 250 cm o 250 m porque
-L - 2aacute x 25 100 = 250100 - x
En algunos mapas la escala se representa graacuteficashymente Ejemplo
lPI74$Jj 1 1 k m O 50 100 200
Para calcular la distancia real entre dos ciudades A y B separadas por 4 cm en un mapa dibujado en la escala anterior se procederaacute asiacute
~-4 x 4 50SO - x x = 200
La distancia entre A y B es de 200 km
EJERCICIOS DE APLIeuroACION 9 ~ Indicar los pares de conjuntos cuyos elementos pueden
ser medidas de lados de triaacutengulos semejantes
A = t 23 4 e = 18 16 12 B = 9 12 201 D = 3 4 6
~ ~ A o
10 - Si abc 2C abc iquestes abe - abc iquestpor queacute A bull
11 - Sentildealar en cuaacuteles de estos casos resulta abe ~ abc
- - shyalabe ab ~9cm be =6cm cd = 12cm -~ -- - shyagtbc ab~ 3 cm bc = 2 cm cd 4 cm
b) abc triaacutengulo rectaacutengulo oacute = 60deg shy
abe triaacutengulo rectaacutengulo b = 60deg
- - shyc)abc ab = 8 cm be = 7 cm cd =4cm -- -- -shyabc ab = 4 cm bc~ 7 cm cd = 6 cm
12 - iquestSon semejantes estos triaacutengulos
ti o A oabe iexclj = 40 b =60 bull o bull
abc e = 80 b = 60deg
13 - Dado el conjunto F de figuras
o
Aplicar la relacioacuten es semejante an a) Hacer el diagrama vinculando los pares ordenados b) Escribir los subconjuntos de la particioacuten
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
41
~
17 - Datos14 Representar un segmento de 25 cm seguacuten la escala iexcllO
15 En un mapa la distancia de la ciudad M hasta la ciacuteudad S es de 20 cm iquestCuaacutel es la distancia real si la escala corresshypondiente es 110000001
16 - A B Y e representan eacutelevaciones terrestres D y E profundidades marinas iquestCuaacutentos metros corresponden a cada una seguacuten la escala 11000001
B
Antildeo NO de habitantes
1910 500000
1920 750000
1930 1250000
1940 1625000
1950 2250000
1960 30bOOOO shy
y A
e 3000HOO
nivel del mar
2000000
f E 1000)00
D
1910 1920 1930 1940 1950 1960
Representar los datos de la tabla de crecimiento demoshygraacutefico b) Dibujar la curva dc crecimien too e) Indicar la escala utilizada en el eje y
x
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
43 42
18 - Representar eacuten un graacutefico de barras en el orden dado el aacuterea aproximada de cada una de las siguientes provincias
Buenos Aires 300000 km Mendoza 150000 km JuiacuteuY 50000 km Santa Cruz 200000 km
100000 km
Escala = 50000 km
111 - ANGULOS DIEDROS y POLIEDROS
L - ANGULOS DIEDROS 11 - Definiciones
Se exponen a continuacioacuten distintos criterios para definir aacutengulos diedros a) Dos planos secantes determinan en el espacio
cuatro regiones cada una de las cuales recibe el nombre de aacutengulo diedro convexo o simpleshymente diedro
~
oc
11
~
111
1shyniexcliexcl=R regiones 1 I1 1Il IV diedros
IV
b) Dados dos planos oc y fJ secan tes en R y un punto p que no pertenece a ellos 1ordm) Se llama diedro af3 convexo o simplemente
diedro af3 a la iacutellcfgtcccioacuten de los scmiespashycios determinados por a y fJ que contiene a p
p
sle (a p) nsc (iexclj p) = d afJ
Notacioacuten
~ iacutearista R~ d 0
lcaras slp oc slp (3
o bien
~ ~ d Jiabcarista ab
caras sir (ab e) sp (ab h)
22) Se llama diedro af3 coacutenCavo a la unioacuten de los semiespacios detenninados por C( y fJ que contienen al punto p
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
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Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
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Ed Troque l - Bs Aires
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Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
44
sic (Olt p) u se laquo(3 p) ~ d t0 coacutencavo
e) Se llama aacutengulo diedro a la unioacuten de dos semishyplanos de borde comuacuten
d abch = sp (be a) U sp (be h)
r
De acuerdo con esta definicioacuten el diedro estaacute formado solamente por los puntos de las Caras El d abh separa a los puntos del espacio en dos regiones abiertas una coacutencava y otra conshyvexa
m e d a1iCh m E regioacuten convexa o interior red abh r E regioacuten coacutencava o exterior
La unioacuten del d ~ con cada una de las reshygiones anteriores conduce a la nocioacuten de diedro expresada en b)
d a~h U regioacuten interior =diedro convexo
d ~11 U regioacuten ex terior =diedro coacutencavo
1 ~~
4oacute
1 2 lJiedro llano
Un aacutenlUlo diedro es llano si sus caras son semishyplanos opuestos
diedros ( d ti) lue contiene a p llanos l d aacute)3quc no contiene a p i l
bull p
)l Un diedro llano es un semiespacio
1 3 - Seccioacuten de un diedro I Todo plano que corta a la arista de un diedroI determina con las caras del mismo un aacutengulo plano
I
llamado seccioacuten del diedro
~ seccioacuten d tiJ
iexclnA= al rnolt~~ r n 3= ac
J
Si r es perpendicular 3 la arista A ahl e~ lat seccioacuten nonnal del diedro
Al ~ Ala)r Alac
A A bac see normal d cxfl
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
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~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
47
T 46
Para obtener la seccioacuten normal de un diedro basta trazar en cada cara la perpendicular a la arista en un mismo punto
La medida de un diedro es la medida de su seccioacuten normal
med d 6f= medo b~
14 -- Congruencia de diedros Dos diedros son congruentes si sus secciones norshy
11 males son congruentes
15 - Diedros consecutivos 111 Dos diedros son consecutivos cuanao tienen solashyiexcl I 1 mente una cara comuacuten
d ~ nd tr = 3 (cara comuacuten) A d ap Y d ~1 consecutivos
16 - Diedros adyacenles Dos diedros consecutivos son adyacentes si las cashyras no comunes son semiplanos opuestos
I
17 - Diedro recto
Si dos diedros adyacentes son congruentes caiexclla uno de ellos es un diedro recto
~
d oiexclfl Y d fly adyacentes A 7 =gt d oiexclfl y d (h
-L
V _ d ~ d fly rectos
I A
La seccioacuten normal de un diedro recto es un aacutengulo recto
18 Diedros opuestos por la arista Dos diedros son opuestos por la arista si las caras de uno son semiolanos opuestos a las caras del otro
O Y 8 semiplanos opuestos
lyY fr A Al d 01l Y d Y5 opuestos por r las aristas
d cry Y d 18 J
I
Ad CIfj Y d 1Yr consecutivos lIf y r sp opuestos
d a y d adyacentes
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
A
48
LI _______4911
li i 2 - ANGULOS POLIEDROS 22 Suma de las caras de un poliedro
La suma de las caras de un aacutengnlo poliedro es 2 l - Definicioncs I menor que 3600
a) Se llama aacutengulo poliedro convexo o simpleshyIH Ejemplo El lt1 allcdemente aacutengulo poliedro a cada una de las regioshyl 1nes del espacio detenninadas por trcs o mls
planos que se intersecan mutuamente Si se trata de tres planos se obtiene un aacutengulo avb + b~c + c~d + dve + eva lt 3600
ttriedro convexo o simplemen te triedro
VIl _ IV - CUERPOS GEOMETRrcOS lo I(i1 anfJnf l Toda figura del espacio limitada por poliacutegonos es un
poliedro Cada uno de los poliacutegonos es una cara delII ra I IV poliedroIV regiones l 11 IIl IV Vo r-- Toda figura del espacio limitada por superficies curvas VI VII VIIl o superficies curvas y planas es un cuerpo redondo ~ En el conjunto universal C de los cuerpos geomeacutetricos
VI--iexcl )~ aacutengulos triedros se produce la siguiente particioacuten VUI e JI
IJl
b) Se llama aacutengulo poliedro a la interseccioacuten de
tres o maacutes diedros eu yas aristas son sem iexclrreetas
v no copIanares de origen comuacuten
R
QeacuteJ G [7 ltJ(5
p
1 -iexcl -i ~ -+ -1gt () iquest=gt va VD VC~ vd ve no coplanares ~ O d t n dt n d ~ ndtn d t ~ aacuteng poliedro
Notacioacuten ~ bcde Se lee aacutengulo poliedro de veacutertice v C9 ~ LV (jJ
y anstas abcde
veacutertice v RUP~C AAAAA C = iexclcuerpos geomeacutetricos 1
v abcde caras avb bvc cvd dve eva R ~ cUerpos redondos Rnp=4gt~ ~ lo 4 AdlCdros da d b d c d d d e P = poliedros 1
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
50
1 shy
11
a l
piro v abcd V abed aacutengulo poliedro
a n v abed poliacuteg bed
POLIEDROS
- Piraacutemides a) 12) Se llama piraacutemide al poliedro en que una de
sus caras es un poliacutegono cualquiera y las demaacutes son triaacutengulos que concurren en un veacutertice
v
bull
I I
le--shy
Notacioacuten pir v abcde
base poliacuteg abcde
caras b lIlt A el
avb bvc cvd dve evaIateraIes d veacutertice v
aristas ----shyva vbvc vdve Iatera1es
aristas de la base ab bc cd de eab
2ordm) Dada un aacutengulo poliedro y un plano que seccione a todas sus caras se llama piraacutemide al conjunto de puntos del aacutengulo poliedro situados en el semiespaciacuteo que contiene el
v verIlee
b) De acuerdo al poliacutegono de la base las piraacutemides reciben el nombre de triangulares cuadrangushylares pentagonales elc
c) Altura de la piraacutemide Segmen to de peroendicu lar trazado desde el
veacutertice al plano que incluye a la base a v v
a
yo altura
d) Piraacutemide regular Una piraacutemide es regular cuando su base es un
poliacutegono regular centro de la base
v
e a
b
y el pie de la altura es el
pir v abcde base poliacuteg regular abcde centro de a base o
altura vo caras lateraes
io A 1gt 11 A
avb bvc cvd dve eva aristas laterales
va ~vb ~vc~vd ~ve apotema vm
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
52
- Apotema de la piraacutemide regular es la altura de una cualquiera de las caras laterales de la piraacutemide regularshy
- Tetraedro_ Piraacutemide triangular cuyas caras laterales y
base Son triaacutengulos equilaacuteteros_
a
piro a bcd tetraedro ti amp C ti
dab bac cad dbc
cmiddot
12 - Prisma
a Se llama prisma al poliedro que tiene dos caras congruentes situadas en planos paralelos y las demaacutes son paralelogramos
e
h Notacioacuten a ~ prisma abedef
bull A
bases abe 2gt def caras latcmles
lt amp = bCll coct adfe
veacutertices a b e d e f[ ~ shy
aristas laterales a~ be ctd~e ariacuteslas de las bases lb be ac de er fd
b) Un prisma es triangular cuadrangular pentagoshynal etc seguacuten que sus bases sean respectivashymente triaacutengulos cuadrados pentaacutegonos etc
e Un prisma es recto u ublicuo seguacuten que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a los planos de las bases
H
fllt ~~ shy -Prisma recto PrismA oblicuo
d)Altura del prisma_o Segmento de perpendicular comprendido enshy
tre los planos de las bases En un prisma recto cualquiera de las aristas
laterales puede ser considerada como altura
e Prisma regular Prisma recto cuyas bases son poliacutegonos regushy
lares
I
I I
bullIIl J-- shy 0~~~ s B
B hexaacutegono regulars triaacuteng equilaacutetero B cuadrado
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
bull bull
-------
bull bull
54 551 29) Elemelltos opuestos del paralelepiacutepedo f) Paralelepiacutepedos
)~r=------shy I
Paralelep (pedos bases paralelogramos
B
- ----shy
B
B y B paralelogramos
Paralelepiacutepedos rectaacutengulos bases rectaacutemmlos
iquest7 Paralelepiacutepedos rectos rectaacutengulos caras laterales rectaacutengulos
h g I
)f
e bull bull d --- --(
a b-Aristas opuestas Veacutertices opuestos Caras opuestas no estaacuten incluidas no pertenecen a no tienen pun- en la m i5ma carala misma cara tos comunes
--ae y cgc7 CT a y g by habfe y dcgh bf Y dh
e y e d y f ab Y hgcT cT
aehd y bfgc ad y iexclg
39) Diagollales de un paralelepiacutepedo Cada par de veacutertices opuestos determina una diagonal
h g
~l
I7 Cubo
I caras cuadrados
I 4
~~ _- fl----Lr 7 ~ tY rl7
A ~ (e
ag bh ce M ~t~
m diagonales I
~---~ e
a o ~
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
~
56 -----_---~ - Propiedades
I Las diagonales de Un paralelepiacutepedo se cortan mutuamcn te en partes congruenshytes
ag nbhnceiacuteldf= m arn~mg
bm mh cm~ffie
am mf
11 - Las diagonales de Un paralelepiacutepedo recshyto rectaacutengulo son congmentes
El cuadrado de la longi tud de Una diagonal de un paralelepipedo recto recshytaacutengUlo es igual a la suma de los cuashydrados de las longitudes de tres aristas que concurren en un veacuterticebull
2 2L- shy d -a d = a + b2 + c2 Ic - shy
b d) Plano diagonal
Cada par de aristas opuestas determinan un plano diagonal
e f ~
h g
tC bche plano diagonal
i- ~- - 1- - -)C
a b
13 Nuacutemero de veacutertices y aristas de un poliedro Relashycioacuten de Eu)er En todo poliedro la suma del nuacutemero de caras y
el nuacutemero I de veacutertices es igual a la suma del nuacuteme ro de aristas y dos
e NO de caras v NO de veacutertices A NO de aristas
r C+V=A+2
I
I
----~ --
I
el~ ~
Poliedro Caras Veacutertices Aristas
a) 6 8 12
b) 6 6 10
cl I 10 16 24
C+V=A+2
6+8=12+2
6+6=10+2
10+16=24+2
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
58
2 CUERPOS REDONDOS
2 L Cilindro
al Cuerpo redondo que tiele dos carIS piexclralelas congruentes llamadas bases limiacutetadas por curvas simples ccrriexcldas La scpcrficic Cliiexclva es la cara latera 1
IQ) 29)
B
HG
Bases J B 11 ll I 39iexcl B ~ B
generatriz (j H altura H
Generatriz Segmtnto dll recta ti la cara lashyteral comprendido entre s b1iSlS Altura Segmento de perpeiexcldicul1ir comprenshydido entre los planos de las base
b) Un cilindro es recto I fig ~91 U oblicuo (rig l y 3ordm) seguacuten que la generatriZ sea perpelldicular II oblicua a los planos de las bases
Base HNotacioacuten Cire (o r)
Ejemiddot 00 CiL leo r) HJ
- -Ir
~
Ciacutelind ro circular oblicuo
el L1lindro circlllar las bases son ciacuterculos -
o
Cilindro circular recto
Generacioacuten de lin cililldro recto circular Un cilindro circular recto e puede considerar generado por la rotacioacuten de un rectuacutengulo alrededor de uno de sus Indos
abed rectll1gulo
ad eje de rotacioacuten
cb genera la superfide IHterul del cilindro
ah genera un ciacuterculo base del cilindro
22 - Cono iexcl) Cuerpo redondo fOffilado por una superficie curshy
va y una superncie plana (base) limitada pOf una curva simple La superficie curva estaacute fOfmada por segmentos cuyos extremos son un punlo (veacutertice) no pershyteneciente al plano de la base y cada lino de los puntos de la curva simple
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
---------------------60
v B base v veacutertic
altura (segmento de perpendicular desde el vertiee al plano a)
b) Cono circular b biexclj-t es tln Ciacutenlllo
Iiacute) 1 22)
BilSe Cire lo r)
vo eje (segmente) detershyminado por el veacutertice y el centro de In base)
COila circuhlr r~do
e) Un COIlO cirndar l~S recto (fig 2ordm) u oblicuo I fig I Q) seguacuten que el eje sea perpendicular u oblicuo la base
Geflerucioacuten de lll C0l10 cirfular recIo Un cono circular recto se puede gellerar por
v b roliexcluioacutel1 de un triuumlngulo flct~ingllJo que alrededor de uno de sus catetos
bull voc rectuacutengulo
cateto vo eje de rotacioacuten
cateto oc gener el ciacuterculo base
hipotenusa ve genera la superfi shycie lateral
[0110 CIlTuiacutetr
oblicuo
23 Esfera
) Superficie esfeacuterica Se llama superficie esfeacuterica de centro o y
radio r 1 conjunto de los puntos del espacio cuya distancia a o es igual a r
Notacioacuten Supo esf(o r)
~~~~ Se lee Superficie esfeacuterica de
r - -1 ----- o ~I centro () y radio r o
dio aJ = r ~ a Sup esf(o rJc dio b) lt r =gt b E regioacuten interior dloe) gt r =gt e f regioacuten exterior
b) Itera Se Il11a esfera de centro () y radio r al
conjunto de los puntos del espacio cuya distanshycia iexcll () es menor o igual que r
Olra f(YIna de defiuir (staacutea Se IIa11la lsfcra al conjunto union de los
tic Ii superficie esfeacuterica con los puntos de la regioacuten l1Iacute(rioL
r) e Supo 0 r) V regioacuten interior
el fe y diaacutemetro Eiacutee Es la rectl que piexclsa por el centro
oc la esfera o de la superficie esfeacuterica
I o E E E eje
En Supo esf(o r) = la bj
abo diiIacutemelro de la esfem y de la superficie esfeacuterica
~
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
62
12)
(
d) Posiciones relativas de una superficie esfeacuterica y un plano
Dados una superficie esfeacuterica y Un plano ciexcl el espacio pueden presentarse las siguientes situashyciones
r supo csf( o r) na ~ ltpgt a exteriorI 1 I I I
---Se verifica1shyo
d(o 0) gt r
2deg)
Supo esf(J r) niexcliexcl ~iexclb (ltangente
Se verifica dio (l) = r
Supo esL(o r) nY~C(o r)secaflle -------~
32) ~ - llt r Y Se verifica
o 4~r Y)--- ~ r
( determina cn la slIperficie esfeacuterica dos casquetes ejeacuteshyricos
Si o E( C(o r) circunferencia maacutexima En este caso los casquetes se llaman hemisferios
_ Seccioacuten de un plano secante COIl la esfera La IIllersecCIacuteoacutel1 de un plano secante con los puntos de la esfera es tll1 ciacuterculo
o --===-----shy~~- gt
n esf(o r) Ciacuterc(o r) n C5f(O r) = Ciacuterc(o r)
I Ciacuterculo J -~------- ---shycirculo maacuteximo
determmu en la esfera dos segmentos esteshyricos Si o E los segmentos se llaman semiesferas
Segmento bibaacutesicoZona esfeacuterica Parte de la esfera comprenshyParte de la superficie esfeacuterica dida entre dos seccionescomprendida entre dos seccioshyparalelasnes paralelas
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
- -
64
----~-_
- Huso y eutla esfeacutericos
Iluso elteacuterleo Parte de 1 superficie esfeacuterica comprendida entre las caras de un diedro cuya arista es cje
GIJla esfeacuterica Parte de la esfera comprenshydida entre las caras de un diedro cuya arista es eje
r) teneracioacutell de una esfera Una esfera se puede iexcl(ellerar por la rotacioacuten de 111) semiciacuterculo que gira alrededor del diuumlmctro
b
semiciacuterc (o r) ab diaacutemetro
e5L(0 r)
3 POLIEDROS REGULARES~~ Poliedro regular es todo poliedro cuyas caras son
poliacutegonos regulares y en cada uno de los veacutertiacuteces concurre el mL~mo nuacutemero de caras
31 Existencia de los poliacutegonos regulares Teniendo en cuen ta que la sum a de los aacutengulos de un poliedro es menor que 360middot se pueden analizar las posibilidades de existencia de los poliedros reshygulares
POLIEDRO
NO en cada
CARAS
NO deSuma de los aacutengulos NombrePoacuteliacutegono
D caras
3
del poliedro veacutertice
tetraedro3 X 60 = 180middot 4 octaedro4 4 X 60middot = 240middot 8 icosaedrc5 5 X 60deg = 300middot 20 no existe6
D --
cubo o 6 X 60 = 360middot
63 X 90deg = 270middot hexaedro no existe
3 4 X 90middot = 3604
O dodeshy
123 X O8middot = 32403 caedro 4 4 X OSo = 4320 no existe
O -_no existe 3 X 120middot = 360middot3
Por lo tunto los uacutenicos poliedros regulares que existen son los siguientes
__ t - ~J_-I rYJcopyW
cubo dodecaedrotetraedro octaedro icosaedro
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
bullbullbull
66
32 Aplicacioacuten de la foacutermula de Euler a p~liedro regulares
[ C+V=A+__-
Poliedro
tetraedro
C
4 1
V
4
C+V=A+2
4+ 4= 6+~
cubo
octaedro
dodecaedro
icosaedro
8 ()
120
20 12
8+6=12+2
12 + o = 30 + 2
J 20 + 12 = 30 + 2
33 Poliedros duales Es el par de poliedros regular en que el nuacuteshy
mero de caras de lino es el nuacutemero de veacutertices del otro
rubo o4tacdro dodecaedro kosedro
Observacioacuten El nuacutemero de veacutertices de los poliedros regushy
lares estaacute dado por la siguIacuteente foacutennula
Ndeg de caro X N0 de lados de la afa
Ndeg de Cilfa$ que iexclonCUrfC1l I1 dJ1 veacutertice
Ejemplo DodeelCdro
N() d 12 X lt Oe vertlces = 3
EJERCICIOS DE APLlCACION
19 _ En el conjunto P~ j poliedros rqlulres 1 aplkm la reshy
lacioacuten l S R = ~tenc el mismo nuacutemero de ari~tltls que
H
al Ujbujar el diagrama de Venl1 b) Escribiacuter el conjunto de pares ordedos el Enumerar las propiedades que cumple la relacioacuten d) En caso de producirse una pariiacuteciacuteoacutel1 el P escribir los
subconjuntos que determina 20- Escribir el nombre del poliacutegono que determina la seccioacuten
producida al unir los punID sialados en C[I1a lino de los
siguientes cubo (unir el orden alfabeacutetico)
d a e
i a l 1lt1
Ve b
f( be e b 4ordm3ordm1~ ~ordm
f
b- shy burd Vc cmiddot bbull c
7ordm6ordmSordm AREA UE POLIEDROS y CUERPOS REDONDOS
V En general Area de cuerpos geomeacutetricos Suma tic 11 aacutereas de sus
caras
lI1IlI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
68
En el caso de ciertos cuerpos (prismas cilindros piraacuteshymides y conos) se debe distinguir entre
aacuterea lateral suma de las areas de las caras laterales y aacuterea total suma del aacuterea lateral y las aacutereas de las
bases
l - AREA DEL PRISMA RECTO 11- El aacuterea lateral de un prisma recto es igual a de
un rectaacutengulo cuyas dimensiones son P (periacutemetro de la base) y h (medida de la altura del prisma)
Dicho rectaacutengulo se llama desarrollo de la supershyficie lateral y es resultado de aplicar sobre el plano las caras laterales rectangulares unidas por sas arisshytas comu Iles
p periacutemetro de la base h medida de la altura
1 A la = P h
h
B iexcliexclrea de la base-- -~ J
A total = P h + 2B
1 2 - Prisma recto regular
A total = P h + 2 P 28 aB medida de la apotema de la base
A total = P h + P aB
A total = P (h + aB)
Observacioacuten Prisma oblicuo hay que tener
altura del prisma no es congruente
de las aristas laterales
presente que la con la longitud
c-7Ia H altura del prisma rectoI
I H aI I)--1- la
1 H altura del prisma oblicuo H H f= aa
a J
A la = suma de las uacutereas de las caras laterales
13 - Area del cubo
2 medida de la arista
1 __ _
A lal = p ~ A total = 421 + 22-A la = 4 2 2~
1 rA total = 6~ J A lato = 42
~___IIIIIIIacute
1
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
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Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
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La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
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oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
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S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
70
~ AREA DEL CILINDRO RECTO
El desarrollo de la superficie latcnd de U11 ilshydro recto es un rectimguro cuyas diacutemtiexcl)sione~ SOn l (longitud de la ciullfercnda de iexcldio r) y g (medida de la generatriz)
- G~1lTrg iexcl1 )
gg A total 2lTr iexcl + 1rr2
Jbull - - j
-j A [Otal ~ 2lTr (g + r) ---
J 1T r --J
3- AREA DE LA PRAMIDE RECTA REGULAR
liquestiexcls caras Iiexcltemfs on trjiexcljng1l1o~ uumloacutesce1es lOl1shy
gflllJlles de dtllriexcl y bJse fespectivmnlotL lOngnrel res con 1 apotema y eacutel ludo de la Jiexclsc de la piraacutemide
tlr - medid-1 de b apokma b -+ medida del lado de B
b ltpA laL ~ 4 ~ 4 b -+ Iu
L J =p~ JAi dL )
l A total =JLY + B
Pero corno hJ base es un poliacutegono rcgubl1
~ Il = JLJlJiexcl2
y A total =~ +JLJlJiexcl ~
PA total = --- iexclp +
Area de la piraacutemide 110 regular
A laL = ~llIna de la ir~i de la lara latcrak-
A total = A lateral + B
4 AREA DEL CONO RECTO El desarrollo del cono ]ecto cinllJr Lmiddot- uiexcl ~eCl0r
circular de radIO g (medioacutea de la generatri1) Y de longitud dd afCO igual a 1 longitud C(n nmiddot
g A iexclar = _r g
~~ 11 I A laL ~ 1TF g 1
A total = lTr g + lTr
- A total = 1rr (g + r)
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
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La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
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3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
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l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
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S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
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Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
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Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
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RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
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9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
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f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
~----_
n
5 -- AREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
En general para el poliedro regular de il ciquestlras
I A =aacuterea de una cara n
6 - AREA DE LA SUPERFIClE ESFERlCA Sean
lJ 2r r -
Si se cubren la Superficie lateral del cilindro y In superficie esfeacuterica Con una capa de revestimiento plaacutestico de espesor uniforme se comprobarl que se utiliza la misma CillHida) de rnMeriiexcllL
Por Jo tanto
Supo lato cilindro = tlp (~sfeacuterica
= A lal filiadro A sfera
iquest1ff h 21ff 2r
LA esfera 4nr
Xl
+ + I iltltD(4 iexcl~ tid 11 shy 11 iexcl11 iexcl o
o
ltlt
x 8 e c ll n N2~ u _E o 2~ e ~ -1 l S ltlt1-lo
ot ~ VliS -1 - ~ -ro ~-c8 ~ ltgtex _ - Olt ~ ~ eI-c t- E ~ ~ 1 iexcl ~
~ -ltJ shyti) ~ lt~~ (])1
1 -lt
~Cltl ~ +
J+ ~cc
~I ilt ~ iexcliexcl 1lt ~ I~ 111I 1I n11 iexcl11 iexcl
reg El oo 2l 8 -- 0J)ltlt ~
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
74
EJERCICIOS DE APLlCACION
2Lmiddot Una pirilmidc recta tiene por base un cuadrado de 12 cm de lado Calcular el aacuterea lateral y tOlal sabiendo que la apotema es 56 del lado de la base
22 Un prisma recto tiene por base un rombo en el que una de sus diagonales es314 de la otra y la suma de ambas es 14 cm Cakular la supcrfkie total sabiendo que la lonshygitud de la altura es igual al semiperiacutemctro de la base
23 - Comprobar que en un cono en que g 2r LI iexclrea laleral es igual al doble del itrea de la base
24 a) El radio de una superfide esfeacuterica E es d dobk del radio de otra E~ Expresar la razoacuten entre sus uacutereas
b) Idem si el radio de E eS tres veces el de E 25 - Completar el cuadro con las longitudes y ltireas corresshy
pondientes al cubo
Long arista iexcl Sup cara Supo laL Supo tolal
A 5 cm --shy
IB 36 dm I C i M cm
ID I 54 mL_-shy - -
26 Se debe pintar un cobertizo dc forl11a de hemisferio
Si para pintar eacutel piso ~l
empican 17 litros Je pintura iexclcuaacutentos middotlitros se necesitaruacuten- -_shy pm cubrir el lxtcrior dd cobertizo
vI _ COMPARAClON DE VOLUMENES
l _ CUERPOS EQUICOMPUESTOS
z=7l B
1
I _JI
3
L- V
El cuerpO A puede separarse en los priacutesma 1 2 3
Con la unioacuten de estos prisma pllcJc formarse
otro poliedro IlA Y 11 son pOliedros cquicompucstos ponluC son
unioacuten dd mismo nuacutemero de poliedro Congruentes dos J dos teniendO In COl1lllB solamente Iuras o
pa tLs dc caras
RELACION DE EQUIVALENCIA VOLUMEN R ~ es cqUlcolllpuesto con es una rc1ashy
ciacuteoacuten que claifica los clementos de un conjunto e de
A
-
3
gt Iacute
iexcliexcliexcl
cuerpos ---
C
bull~
~ ~ 1I t __
--r I - - iexcl- shy
I
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
76
En e se produce una particioacuten Cada subconjunto es una clase de equivalencia que
define un volumen Los cuerpos que pertenecen a una clase son equishy
valentes en cuanto a su volumen
Los cuerpos equicompuestos llamados tambieacuten equivalentes tienen el mismo volumen
En una cIase de equivalencia si se conoce el valor del volumen de un cuerpo se conoce tambieacuten el del volumen de todos los demaacutes cuerpos de la misma
3 COMPROBACION lNTUlTlV A DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Se construyen dos cuerpos huecos y se llena uno de ellos con arena si al volcarse el contenido en d otro eacuteste queda completamente lleno sin desborshyuacutearse entonces son equivalentes iexcl)Or su volumen
4 MEDIDA DEL VOLUMEN
Como en el caso de la longitud y la superficie el primer paso es b eleccioacuten de la unidad
El volumen del mismo poliedro puede ser medido con distintas unidades
Dado P hueco y A B Y ( com o un idalles
QA
e Bp ~C
bull ~ TI
Si para llenar P se necesitan 4 A 2 B Y 8 e decimos
I~~AEE=Vt=V
Vol l 4 Vol A
Med Vol PA = 4
me VoL P ~ 2 Vol B
Med Vol PB = 2
6)c
Vol P = 8 Vol e
Med Vol Pe 8
El volumen del paralelepiacutepedo P siempre es el
mismo no depende de la unidad La medida de su volumen es el nuacutemero que variacutea
de acuerdo con la unidad elegida
I
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
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1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
78
5 - CALCULO DEL VOLUMEN
51 - Volumen del paralelepiacutepedo
Con varios cubos unjdJo convenientemente diyshypuestos se pueden formar paralelep-pedos el nuacutemero de cubos uWizados es la medida del vo lumen del paralelepiacutepedo
Por ejemplo con 12 cubos congruentes con eacuteiJ A
tD UJ
uniacutedad de Vol B
o U unidad de Sup
J---iexcl LJ unidad de Long
En ambo~ casos fa cura del cubo unidad funshycIOna como unJdad de sliperfici~ y 1lt1 arista como unidad de longitud
En el caso A
-~~ veces 2 cubos ~ ITJY (~X2) iexcl-1bull (VJ
Veces ~ cubos (2 X 2 j
1 Vlll~ cubo
le X 21 )
---~ (2
NOde ti
medo anho X
X
X
21
NO de U 111tL largo
x x x
3
NO de LJ 1l1td alto
12
NOdc l4
-= medo vol
Ndeg de U -----
x NO lt1 U --shy
NO de U --
uacuterea blse X Il1cd iexcliexcllima medo voL
La medida del volumen del papalclcpiacuteiexclwJo es igual al producto de la mcdjdiexcliexcl~ dc sus tns dimensiones lumada con respecto 1 la n~isma unidaltl o bien al producto lid [iexclfea de la base por la mcdid de la altura
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
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BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
--
~
s~ Iu~ de (111 cueo-p
~ $o cuuiexclm)cJ oJ~ I) hu ecol de m IJ lJ ldqiplc P ltI~ (iexcl Isr$ c ~iQh Ja y lr UJa NIIiexcliexclm(Ir
H)Ic~f[ en P~ ~I IkJl ~ P con en -11raquo ~
rn eacuteJ V)I = V I iexclgtiexclaiexclkppltgtJoPIn
Yo P$rr Aro~ B X h
hu w~~ ruhaigtl lt5 ~~hda pa 01 pm ltlbJcul)
i ~l ~lt] u ale mfs - ~1~~~~~~~~~~1
La lt11051 bull oJJl pr ob~ c(gtn rtaJ1Zw ron el pota lel~lraquop erl o y tI p TLiexcln lJ P xI~ hace ~ cor un gtma y un ehndro
[h ee H ~iexcliexclo
oacuteJ C f
Yo ~ LllJldro ~a ~
v I iold ~r~BXh
Vogt ~Jhd10 r X h
r=-- shy
bull
_--shy
1 cu bo j n ple )epipo(io Il-Il 1I ~ 1Vol ub VltgtI pald pipeltlQ ~~ LDYo c~bo ~~~D Xh
S Slt Ilna IIr~ KI ~Q ~rmiddot IU ) U~II d r 3Vogt clbo= ~X ~)(~ SO n~cegt ar pe la nraquoltjcon 3 middotltr~ pI )I~)t
3 Vu l paamlde = Vol pnsmVol cubo i
Vol p auKk ~ Vol pnsm[fj Vol = ~ ~LV pLl lmde ~ are
- iexcl PIT~m cqu tv~ knl~- ~I~ra~~(~~~~~ f~~i~ e ~ ~ ~
bulliexclF5 I Mea Il 11
~~ tlJ t
bullih edd~ alluraIB ~ I
I ~ m odld aldo e
o 6Q
6 l lrmgta comptobaeon rulJ~lda ron ~J pn$llU y J piexclrampshySI st lt)Q gtlUruyen modelogt ut senll~4fcn hnoJrv y oono de LlIde I~ pu~d ha cOn el ltJuld o ~ el CQ no
r clf~riexcl r CO no h cilll1ro ba lC congruCJll r tal que
l a D
-Oacute e 2 e n t H
y Lnl rod uce el OO no dmlro d el cII nd ro eurov oe l pa clo Illt ltlub Gln ello l es B
3 Vol rono ~ VQJ clIndroL yoL Imaacutero - Vol O1l0 I
S l na lt u~ Ue gta iexcl~ m Le (ern st u~J~a O ezpI(1() V oo~o ~ ~ V~dro lo ou pa Qlpkl l ngtcnla r- -
Vol C(l J10 3 i rca f
Vol cmItUacuteCf e 0 ) [ ciexcldroo VJ ooiacute~ e e9
Yo no(o = r ~ r Vo l conll ~ t lO
Vo l reriexcl ~r 30lt Vol lP Jesrea _ r) - 1 ~r
Vol c r~fiexcl1 c1 ~ ~r
I
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EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
83
EJERCICIOS DE APLlCACION
27 - Construir en (iexcliexclrtulina los poliedros que es taacuten indicados en el pa rale lepiacutepedo y formar cuerpos equivalente s
28 -- Dado un pri sma hcxlgonal de 4 cm de lado 276 cm de apotema y 10 cm de alto ca lcular e l largo e l ancho y la altura de un parale lepiacutepedo equ ivalente
29 - iquestQueacute re lacioacute n hay entre e l volum en de b piraacutem id e y e l volurn cn del parele lep ipedogt
3
5 JO - Completar e l cuadro CIL1NDROS
radio de bl si al tura volum~n la base
10 cm 2dm
7850 cm 785 cm
I c5ltgt 111 5111
1m 282600 dm -- shy - shy -- shy
84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
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Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
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EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
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Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
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Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
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84
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS DE APLICACION31 - (Queacute rdciim hily entre el volumen de los dos conos y el VOllll11Cn
1 Ejemplo
32 - Hallar el volumell del paralelepiacutepedo 2 Ejemplos
62e 6
1 b) Areacutea de 1U 11 633 a) 19) (3 Area de I + Area de ll 72
2Q) 9 72 gt 6339) 27
ldeg rlsDedo e1 la uniJad ~~ 1LVI 4 e) 164 8
10 respccto uC la midad
5 a) 6 b) 15 e) 13
d) 28506 a) 15 e) 8 L6430 respedo de la unidad b) 9 f) 69e) 43750 (aprox 438)
7 - al 27 m b) 8 m
8 al El doble b) La mitad de la suma de sus longitudes debe ser ibUa a
la longitud de la base del rectaacutengulo33 - Demostrar quc SI la longitud de un latto de un cubo es 4 veces la de otro cubo entonces la razoacuten de sus voluacuteshy e) menes es de 64 al d) El doble
2
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
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BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
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Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
--------
____
3000000
2000000
1000000
as
9 AyC 50000010- Siacute porque la congruencia implica scmejanza
11- a)yb) 12 Siacute F13 - al
b)
e)
b)
shys
U~I S -- I1 bull 4 6G~-ltt) 6 M == t ~ )4 UC) (3
L= 13
iexcl
14
~J-~ iexcl~15 - 200k01 v o (j oo N U-Iu-o gtc cc~ Cl l) -) c -= 16 A ~ 2000 m B = 3000 m C = 1500 m CA iexcl ~ - u
0= 3500m E = 2500 m
17- a)ybJ
Y
n1
t -+ tetraedro h -gt hexaedro o -+ octaedro d dodecaedro~0i i -+ icosaedro
f I 1 (L t) (11 h) (h o) (o o) (011) (d d) (d i) 0 i) (i d) I
I f I I el Reflexiva imeacutetrica Y transitiva
I f I I 1I I f
1= t bullI
f I I 11 = 1 h oI I I I I II = d iacuteI I
- shy1910 19201930 194019501960 x
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
BmUOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo J Papy
EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
Ed Compantildeiacutea Editorial Continental - Meacutexico
INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
EJERC ICIOS DE APLlCACION 83
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLlshyCACION INCLU IDOS EN ESTA PUBLlCAC10N 85
93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
l 20 shy d a e
_ A total = Ps h + 2 B A to al = m1Il+ 2[1]
12 ~iacutel b e b32 42
triaacutengulo rectaacutengulo cuadrado triaacutenguloisoacutesceles
equilaacutetero
a f
rlt~=m 11 le
A lot = 5X4 X(5~4) + 26~sectd
e lJt
b
b e A tol = 200 + 4852 62 7Q
trapecio rectaacutenguJo hexaacutegonoisoacutesceles regular
El aacuterea total del prisma en cm es 24821 shy
Alat ~~ap PB ap bull2- A total = ----r- + B iexclCalculo de ap
A ht = 12 X 4 X 10 2 A total =240 + 122 Iiquestde 12 = JO
23 - A laL cono ~ 1fT g Alat = 240 A total = 384 A lat cono = 1fr 2
A lal cono 2m v
Area lateral de la piraacutemide en cm es 240 iexclArea total de la piraacutemide en cm es 384
~ Caacutelculos auxiliares 1Q) medida de las diagonales
siexcl d = 1 =gt iexclj = I4
d + d = 14 t t ~+ I =2 4 4 4
14 X 4 7 d --=8 - co 14 74 iexcl
d 14 Xl=6 7
2Q) medida del lado
ao=ld=42
ob = 1 d = 32
Q=4-+ 3
~ =25
Q= 5
B 11 r _1
1A = 2B
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
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- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
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INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
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CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
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93B1BLlOGRAFIA
[ij~UGI9ALI
--
90
24 - a) r = 2r b) r 3r
A E 4 (2r) I I A E 4 (3r)
E 4rA A E) = 417r2
~-~4JAE - iquestiexcl LL iexcl~ qI A F -~F-
AE~41 I I
A E I ~E~9125 I A E i
long urit Sup cara Slip It Supo total A 5cm
25 cm 2 100 cm 150 cmJH 6dm 36 dm J44dm gt16 lt1m e 4cm 16 cm 64 cm- 96 cm ) 3m
9111 36 111 54 m i 26 - A circulo = ~
A hemisferio t (41Tf )
A hemisferio = 2n---------v________~ A hemisferio = 2 A ciacutereuJo
Se necesitan 2 X 1 7 ~ s
9~
28 - Ejemplo 10 cm 828 cm 4 cm
I29 - 3 30shy
radio de la base
baSt aHura volumen
10 cm 314 cm 2 dm 6280 cm
5cm 7850 cm 10cm 785 cm 3
~m 1256 111 5m 628003 m3
3dm 28gt6 dm 1m 282600 lt1m 3
I31 3
32 l () 12 gt22) gt
3S) 6
33 Vol dd cubo de lado 1 lXIXI I Vol cid cubo de lado 4 4X4X4=64
93
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EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
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Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
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para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
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CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
CAPITULO IV - Cuerpos geomeacutetricos 49 1- Poliedros 50 2 - Cuerpos redondos 58 3- Poliedros regulares 65
EJERCICIOS DE APLlCACION 67
CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
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EUDEBA - Bs Aires _ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 explo racioacute n del espacio y praacutecshy
tica de la med id a Oienes - GoJd ing
Ed Teide - Barce lona Espantildea _ Curso de Geometria Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos
Pedro [uig Adam Ed Biblioteca Matemaacuteti ca - Mad rid Espantildea
Ci clo Medio de Matemaacutetica MoJc ITIJ -- r Treja - Bosch
EU DEBA - Bs Aires - Estudios de Mate maacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profeso res de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Tduccioacuten al espantildeol - EEUU
Matemaacutetica intuitiva H OUSSJy Romero - V icente
Ed Troque l - Bs Aires
Geometriacutea Intui tiva Ne lly Vuacutezquez de Tapia - Eisa De Martina
Ed Cuart a Dimensioacuten - Bs Aires
Matemaacuteti ca I Rojo - Saacutenchez - Greco
Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica I Y 1I Ferrari -- Loacutepez Henriqucz Magarintildeos - Massa
Ed Losada - Bs Aire s Matemaacuteti ca DinalIacutelica y lJ
Va rela - Foncuberta Ed Kapelusz - iexcliexcls Aires
Algebr y Geometriacutea del f spacio - 2 Gonzaacutelez - Manci ll
Ed Kapelusz _ Bs Ai res
- Matemaacutetica 10 y 20 Caacuterdenas furriel Loacutepez Pineda y o tros
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INDICE
CA PITULO l - Superficie 9 Fmiddot 9I - Iguras equlcompuestas
2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
o bull
EJERCICIOS DE APLICAC ION bull25
CA PITU LO 11 - Semejanza bull 27 1- Segmentos proporc iona les bull bullbullbullbull bull bullbullbullbull 27bull o
2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
39EJERCICIOS DE APLICAC ION
42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
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CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
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cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
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[ij~UGI9ALI
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2 - Relacioacuten de equiva len cia superficie 9
6- T eo rema de Pitaacutegoras o bullbull bull bull bullbull22
3- Comparac ioacuten intuitiva de superficie de figuras 10 4- Cond icio nes p~ra que se cumpla la equiva lencia
entre po liacutegonos 12 5 - Medid a de la superficie aacuterea 16
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2 - S~mejanza de po liacutegonos 33 3middot- Esca las 38
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42CAPITULO 111 - Angulos diedros y poliedros 1 - Angtdos diedros 42 2- Angulos poliedros 48
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CAPITULO V - Area de poliedros y cuerpos redondos 67 1- Arca del pri sma recto 68 2 - Area iquestIel cilindro recto 70 3- Arca de la piraacutemide recta regular 70 4 - Area del cono recto 71 5- Arca de los poliedros regulares 72 6 - Arca de la superficie esfeacuterica 7 2
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cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
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EJERCICIOS DE APLlCACION 74
CAPITULO VI - Comparacioacuten de Jloluacutemenes 75 1 - Cuerpos equ icompuestos 75 2- Relacioacuten de equivalencia volum en 75 3 - Comprobacioacuten intuitiva del volumen de lo s
cuerpos 76 4 - Medida del volumen 76 5- Caacutelculo del volumen 78
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