CA2COD1: COD CONTROLE DIGITAL - joinville.udesc.br · ... BISHOP, Robert H. Sistemas de controle modernos. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 724 p. NISE, Norman S. Engenharia de

CA2COD1: COD

CONTROLE DIGITAL

Profa. Mariana Cavalca

Currículo Resumido • Curso Técnico em Eletro-Eletrônica – ETEP (São José dos Campos - SP)

• Iniciação científica (estatística)

• Estágio – Empresa ITA júnior: microcontroladores.

• Engenharia de Controle e Automação – Unifei (Itajubá – SP)

• Monitoria de Física

• Iniciação científica e Trabalho de Diploma (PDI e Visão Computacional)

• Estágio – Citech – Sistemas Supervisórios, CLP, Banco de Dados

• Mestrado e Doutorado em Engenharia Eletrônica e Computação na área de Sistemas e

Controle – ITA (São José dos Campos - SP)

• Cargo de Professor Adjunto na UDESC desde Setembro de 2011. Membro do Grupo de

Controle do DEE.

• Principais áreas de Interesse: Teoria de Controle, Controle Preditivo, Controle Tolerante a

Falhas, Estimação Paramétrica, Desenvolvimento de Plantas Didáticas.

COD – Plano de Ensino Resumido

1. Análise de Sistemas em Tempo Discreto no Plano z;

2. Análise de Sistemas a Dados Amostrados no Plano z;

3. Controladores Digitais baseados em Controladores

Analógicos;

4. Projeto de Controladores Digitais no Plano z;

5. Projeto no Espaço de Estados;

6. Introdução ao Controle Ótimo de Sistemas.

COD – Livros Base PRINCIPAL

HEMERLY, Elder Moreira. Controle por computador de sistemas dinâmicos. 2. ed.

São Paulo: Blucher, 2000. 249 p.

OGATA, Katsuhiko. Discrete-time control systems. 2nd ed. New Jersey: Prentice-Hall,

1995. 745 p.

KIRK, Donald E. Optimal control theory: an introduction. Mineola, NY: Dover

Publications, 1970. 452 p.

COMPLEMENTAR

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio de Janeiro: Prentice

Hall do Brasil, 1982. 929

DORF, Richard C; BISHOP, Robert H. Sistemas de controle modernos. 11. ed. Rio de

Janeiro: LTC, 2011. 724 p.

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC,

2012. 745 p

OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W. Discrete-time signal processing. 3rd ed.

New Jersey: Pearson, 2010. 1108 p.

PETERSEN, Kaare B.; PEDERSEN, Michael S. The Matrix Cookbook. Versão: 15 de

Novembro de 2012. Disponível em:

http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf.

Acessado em: 30/01/2015.

COD - Avisos

Site (Plano de Ensino, Recados, Notas, Material de Aulas, Listas de Exercícios):

http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/marianasantos/

Verifique o site regularmente!!!

Notas: Laboratório (25%, ver cronograma de datas no site!) +

Revisão de Notas: Até antes da próxima avaliação.

• Aproximações pré-exame: 69=70, 68 depende, <=67 Exame!

• Aproximações pós-exame: 48=49=50, 46 e 47 depende, <=45 Reprovado!

Pontualidade e Frequência

Para ser aprovado precisa de mínimo 75% de 90 horas/aula = 68 presenças!

Primeira Avaliação (25%) 24/03/2015

Segunda Avaliação (25%) 05/05/2015

Trabalho Final (25%) 30/06/2015

Exame Final 07/07/2015

http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/marianasantos/

CONTROLE DIGITAL Introdução aos Sistemas de Controle: Revisão

Baseado e Retirados de:

MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. São Paulo: Pearson, 2011. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1982. 929


1ºSem/2015

O que é controlar?

Capítulo 1: Introdução • Primeiro trabalho significativo: controlador de velocidade de

James Watt; • Década de 1940: Métodos baseados no diagrama de Bode

(resposta em frequência); • Década de 1950: Lugar das raízes; • 1960-1980: controle ótimo, controle adaptativo • 1980-hoje: controle robusto, controle baseado em

inteligência computacional, controle tolerante a falhas, etc...

Controle

Clássico

Controle

Moderno

Conceitos Necessários

1. Modelagem e Função de Transferência

2. Lógica de Diagramas de Bloco

3. Resposta de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem

4. Critério de Routh

5. Erros Estacionários

6. Lugar das Raízes (LR)

7. Projeto de Controladores pelo Método do LR

8. Diagrama de Bode e de Nyquist

9. Modelagem no Espaço de Estados

10. Controlabilidade e Observabilidade

11. Alocação de polos e Observador de estados

Modelagem e Função de Transferência Função de Transferência:

Exemplo:

Modelagem e Função de Transferência

Integral de Convolução:

Resposta ao Impulso:

(Função Peso do Sistema)

Lógica de Diagramas de Bloco

Diagrama em Blocos:

Malha Fechada:

Sistema de Primeira Ordem

Tempo de

Acomodação: 3T

(5%) ou 4T (2%)

Tempo de Subida:

2,2T

Sistema de Segunda Ordem


• Sub – Amortecido

Mp em % !!!


-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inary

Axis

Wn

ξWn

Wd

β

Critério de Routh

• Consideremos um sistema genérico de ordem 𝑛 com o polinômio característico na seguinte forma:

• A condição preliminar para se aplicar o critério de Routh impõe que todos os coeficientes 𝑎𝑖 para 𝑖 = 0, 1, 2,…𝑛 sejam:

• Não nulos, e;

• Ou todos positivos;

• Ou todos negativos.

• Caso contrário o sistema é instável.

Critério de Routh

• Atendida a condição preliminar, montamos a seguinte

tabela:

Lugar das Raízes (LR) e Projeto pelo LR

𝐺 𝑠 =1

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

Diagrama de Bode

• Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma

das formas de caracterizar sinais no domínio da

frequência.

Hendrik Wade Bode (1905-1982)

Sistema estável, linear e invariante no tempo

• Sendo 𝐺(𝑠) a função de transferência de um sistema

qualquer, pela transformada de Laplace temos:

𝑥 𝑡 = Xsen ω𝑡 → ℒ(𝑥 𝑡 ) → 𝑋 𝑠 =𝜔𝑋

𝑠2 + 𝜔2

𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)→ 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝐺 𝑠

𝜔𝑋

𝑠2 + 𝜔2

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠𝜔𝑋

𝑠 − 𝑗𝜔 𝑠 + 𝑗𝜔

𝑌(𝑠) =𝐴

𝑠 + 𝑎+

𝐵

𝑠 + 𝑏+ ⋯ +

𝐶1

𝑠 − 𝑗𝜔+

𝐶2

𝑠 + 𝑗𝜔

𝑌 𝑠 = 𝑌𝐿 𝑠 + 𝑌𝐹 𝑠 → ℒ−1(𝑌 𝑠 ) → 𝑦 𝑡 = 𝑦𝐿 𝑡 + 𝑦𝐹 𝑡

Função Senoidal de Transferência

• Como estamos interessados apenas na resposta em regime

permanente, ou seja, apenas na resposta forçada, temos:

𝑌𝐹 𝑠 =𝐶1

𝑠 − 𝑗𝜔+

𝐶2

𝑠 + 𝑗𝜔

𝐶1 = 𝑌(𝑠)(𝑠 − 𝑗𝜔) 𝑠=𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)𝜔𝑋

𝑠 + 𝑗𝜔𝑠=𝑗𝜔

=𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔)

𝐶2 = 𝑌(𝑠)(𝑠 + 𝑗𝜔) 𝑠=−𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)𝜔𝑋

𝑠 − 𝑗𝜔𝑠=−𝑗𝜔

=𝑋

2𝑗𝐺(−𝑗𝜔)


• Visto que 𝐺(𝑗𝜔) é um elemento complexo, podemos escrever:

𝐶1 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒𝑗𝜙 𝐶2 =

𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒−𝑗𝜙

𝑌𝐹 𝑠 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔)

𝑒𝑗𝜙

𝑠 − 𝑗𝜔+

𝑒−𝑗𝜙

𝑠 + 𝑗𝜔

• Retornando ao domínio do tempo:

𝑦𝐹 𝑡 =𝑋

2𝑗𝐺(𝑗𝜔) 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) + 𝑒−𝑗(𝜔𝑡+𝜙)

𝑦𝐹 𝑡 = 𝑋 𝐺(𝑗𝜔) sen(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑌 = 𝑋 𝐺(𝑗𝜔) 𝜃 = 𝜙



Diagrama de Bode de funções de transferências básicas

• Função de transferência constante:


• Função de transferência com um polo/zero na origem

• Função com um polo real fora da origem 𝐺 𝑠 =𝑎

𝑠+𝑎=

1

𝜏𝑠+1,

𝑎 > 0.


• Função com um zero real fora da origem 𝐺 𝑠 =𝑠+𝑏

𝑏, 𝑏 > 0.


• Função com um polo e um zero 𝐺 𝑠 =1+𝑠

𝑏

1+𝑠𝑎 =

1+𝑠40

1+𝑠10

,

𝑎, 𝑏 > 0. . .



• Regras de Esboço


• Regras de Esboço


• Sistemas com polos complexo conjugados


• Sistemas com polos complexo conjugados


• Sistemas de fase mínima e não-mínima: são sistemas de fase

mínima aqueles que não possuem singularidades (polos? e zeros) no

semi-plano direito (SPD) do plano s.

Zero no SPD

Polo no SPD* Não faz sentido – Instável!

Tipo do sistema x curva de módulo e de fase

• Os coeficientes de erro estático de posição, velocidade e

aceleração descrevem o comportamento em baixa

frequência de sistemas tipo 0 (sem polos na origem), tipo

1 e tipo 2, respectivamente.

• O tipo do sistema determina a inclinação da curva de

módulo em baixas frequências. Portanto, a informação

relativa à existência e amplitude do erro em regime

estacionário de um sistema de controle, para uma dada

entrada, pode ser determinada a partir da observação da

região de baixa frequência na curva de módulo do

diagrama de Bode.

Constante de erro estático de posição

• Em um sistema do tipo 0:

Constante de erro estático de velocidade


A intersecção do

seguimento inicial de -

20dB/dec com a reta de

0dB é igual a Kv.

Constante de erro estático de aceleração


A intersecção do

seguimento inicial de -

40dB/dec com a reta de

0dB é igual a raiz quadrada

de Ka.

Análise de estabilidade pelo Diagrama de Bode

• O gráfico de Bode de uma função de transferência é uma ferramenta muito

útil para análise e projeto de sistemas de controle lineares.

• Vantagem: Na ausência de um computador, o diagrama de Bode pode ser

obtido, de forma aproximada, através de suas propriedades assintóticas.

• Desvantagem: Estabilidade absoluta e relativa podem ser determinadas

através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima*.

* Fase mínima – sem polos ou zeros no semi-plano direito.

Diagrama de Nyquist

Exemplo Verifique pelo critério de estabilidade de Nyquist, se a seguinte malha de controle é estável:

3. 𝑁 = −1 e 𝑃 = 1 𝑠1,2 = −1; 0,5

4. Portanto Z = 𝑁 + 𝑃 = 0 (Estável !)

-2 -1.5 -1 -0.5 0-0.5

0

0.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Estabilidade Relativa

• Seja o seguinte sistema 𝐺 𝑠 =𝐾

𝑠 𝑠+1 (𝑠+5). O Diagrama de Nyquist e

a resposta ao degrau unitário da malha fechada com realimentação

unitária negativa para diversos valores de K são dados por:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

K=0.1

K=0.5

K=0.75

K=1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

K=0.1

K=0.5

K=0.75

K=1

Estabilidade Relativa: Margem de Ganho

• Supondo a planta estável em malha aberta (P = 0), a

margem de ganho é dada por:

• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐺 > 1, ou

seja 𝐺 𝜔𝑐 𝐻(𝜔𝑐) < 1.

𝑀𝐺 =1

𝐺 𝜔𝑐 𝐻(𝜔𝑐)

Estabilidade Relativa: Margem de Fase

• Supondo a planta estável em malha aberta (P=0), a

margem de fase é dada por:

• O sistema é estável em malha fechada se 𝑀𝐹 > 1.

𝑀𝐹 = 180 − 𝐺 𝜔𝑐′ 𝐻(𝜔𝑐′)

Estabilidade Relativa: Diagrama de Bode Vale apenas para sistema de fase mínima. Obs. Verificamos as margens no

Bode de malha aberta! As margens nos mostram estabilidade de malha

fechada!

Exemplo

• Seja a seguinte malha de controle:

a) Obter os valores das margens de fase e de ganho para K=10 a partir

do diagrama de Bode. Tal sistema é estável em malha fechada?

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 9.9 dB (at 2.5 rad/sec) , Pm = 36.7 deg (at 1.54 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Serão revisados posteriormente:

1. Modelagem no Espaço de Estados

2. Controlabilidade e Observabilidade

3. Alocação de polos e Observador de estados

Mecânica

Eletrônica

Controle

Computação

A

dapta

do d

e w

ww

.mecatr

onic

aatu

al.com

.br

CAD/CAM Eletromecânica

Circuitos de Controle

CASCD

51

Mecânica

Eletrônica

Controle

Computação Simulação

Modelagem de Sistemas

Instrumentação

Controle Digital

Engenharia de

Controle e Automação

Controle Digital

POR QUÊ?

1. Exatidão;

2. Precisão;

3. Flexibilidade;

4. Velocidade;

5. Custo.

Estrutura Básica de um Controle Digital

Exemplos

Exemplos

Exemplos

CA2COD1: COD

CONTROLE DIGITAL Bom estudo!


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