Prof. Michael

Parte 1Modelagem de Sistemas Dinâmicos

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SISTEMAS DE CONTROLE – SIC

Professor Dr. Michael Klug

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Introdução ‐ MODELOS

• No estudo de sistemas de controle devemos ser capazesde obter uma representação matemática da dinâmica de umsistema visando analisar o seu comportamento ao longo dotempo.

Modelagem caixa branca

Identificação de sistemas

Um modelo matemático é uma abstraçãomatemática de um processo real

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Introdução ‐ MODELOS• O conjunto de equações matemáticas (modelo) quedescrevem um processo é sempre uma aproximação docomportamento real de um sistema.

Não incorpora todas as características do processo real.Aproximações mais utilizadas:1. Desprezar pequenos efeitos (reduzir o numero de variáveis)2. Reduzir sinais externos (efeitos do ambiente)3. Utilizar parâmetros concentrados (distribuição concentrada)4. Linearização

Compromisso entre complexidade do modelo, precisão e aaplicação para a qual o modelo se destina (e.g., simulação ouprojeto de controladores).

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Modelo Físico

• Os modelos podem envolver os mais diversos processos(físicos, químicos, biológicos, econômico, etc).

• Nesta disciplina: Mecânicos Elétricos Fluídicos Térmicos

• Considerando: Lineares e Invariantes no Tempo (Sistemas LIT) Parâmetros Concentrados Determinísticos

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Função de Transferência

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• Função de Transferência: G(s)

X(s) – Transformada de Laplace da entrada Y(s) – Transformada de Laplace da saída

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Função de Transferência – em Matlab

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Sistemas Mecânicos• As leis fundamentais que governam os sistemas

mecânicos são as leis de Newton Sistemas mecânicos de Translação Sistemas mecânicos de Rotação

• Elemento de Inércia (Massa)

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S.M. – Elementos de Translação (ΣF=ma)

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• Elemento de Amortecimento (Amortecedor)

• Elemento de Elasticidade (Mola)

S.M. – Elementos de Translação (ΣF=ma)

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 1: Obtenha a equação diferencial que

representa o sistema mecânico abaixo

Diagrama de Corpo Livre

Então:

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 2: Obtenha a equação diferencial que

representa o sistema mecânico abaixo

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 3: Modelo de suspensão de um veículo

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 4: Acelerômetro MecânicoUtilizado para medir a aceleração de um trenó foguete de teste. Otrenó de teste manobra sobre um trilho guia a uma pequena distânciaδ. O acelerômetro fornece uma medida da aceleração a(t) do trenó,uma vez que a posição y da massa M com relação a carcaça doacelerômetro é proporcional a aceleração da carcaça (e do trenó).Projetar um acelerômetro com resposta dinâmica apropriada, y(t)=qa(t)(q sendo um constante).

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Sistemas Mecânicos

como ou

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Sistemas MecânicosEscolhem-se os coeficientes:e as CIsPara uma entrada em degrau:

sendo Q(s)=P/s, onde P é a magnitude do degrau, tem-se:

Em FPs:

Portanto:

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Sistemas MecânicosPara P=3:

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S.M. – Elementos de Rotação (ΣT=Jα)

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S.M. – Elementos de Rotação (ΣT=Jα)

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 5: Obtenha a equação diferencial que

representa o sistema mecânico abaixo

Função de Transferência:

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 6: Obtenha a equação diferencial que

representa o sistema mecânico abaixo

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Engrenagens Ideais

Relações:

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Sistemas Mecânicos• Exemplo 7: Obtenha a equação diferencial que

representa o sistema mecânico abaixo

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Sistemas Elétricos• Leis de Kirchoff• Lei de Ohm

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Sistemas Elétricos ‐ Elementos• Resistor:

• Capacitor:

• Indutor:

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Sistemas Elétricos• Exemplo 8: Obtenha as funções de transferência (Eo/Ei)

dos circuitos RLC abaixo:

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Analogia – Elétrica x Mecânica

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Analogia – Elétrica x Mecânica

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Analogia – Elétrica x Mecânica

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Sistemas Fluídicos• Sistemas com fluxo e acúmulo de líquidos

sendo: V(t) o volume no interior do reservatórioΔV(t) a variação de volumeΔt o intervalo de tempofi(t) e fo(t) as vazões de entrada e saída

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Sistemas FluídicosDividindo os dois lados da igualdade por Δt e fazendo o limite para Δt➜0, tem-se (equação de conservação do volume)

Para reservatórios com seção transversal constante:

No equilíbrio:

fo(t)=? Fluxo turbulento, laminar?

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Sistemas FluídicosResumindo (caso mais simples – modelo para pequenos sinais):

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Sistemas Fluídicos

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Sistemas Fluídicos

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Sistemas Fluídicos

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Sistemas Térmicos

Considera-se:Fluído com calor específico cVazão f(t) é a mesma na entrada e na saída (volume cte)Líquidos sem mudança de fase e desprezando os

componentes de energia cinética e potencial

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Sistemas TérmicosPelo balanço de energia (princípio de conservação):

Para a massa m de líquido dentro do vaso, a energia é dada por (calorimetria):

Para a massa de líquido em movimento:

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Sistemas TérmicosA taxa de calor “qe” perdido pelas paredes depende da resistência térmica “R” das paredes e da diferença de temperatura:

Então,

Como “Tr” e “m” são constantes, o modelo final resulta em:

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Linearização

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•Expansão em Série de Taylor em torno do ponto de operação;•Eliminação dos termos de mais alta ordem;

Considere y=f(x), e o ponto de operação , , então:

Desprezando os termos de maior ordem:

Com e tem-se:

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Linearização

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•Para funções de várias variáveis – QUADRO;

Exercícios:

1) Determine a equação linearizada para (sobre o ponto x=2):

2) Linearize a equação não linear

na região definida por 8<x<10 e 2<y<4

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Linearização – Desafio

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PENDULO INVERTIDO SOBRE UM CARRO:

Modelar matematicamente o sistema, linearizar para oponto (Theta=Pi), e obter a função de transferência(Considerar Theta como saída e F como entrada)

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• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. Editora Prentice Hall, 5 Edição;

• MAYA, Paulo Alvaro, LEONARDI, Fabrizio. Controle Essencial. Editora Prentice Hall.

• Nise, Norman. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC.

REFERÊNCIAS

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