Caderno Atividades RJ Matematica_EM_v3

MATEMÁTICA

REORIENTAÇÃO CURRICULAR

Materiais Didáticos

Ensino Médio - Volume III

REORIENTAÇÃO CURRICULAR - EQUIPE UFRJ

Direção GeralProfª. Angela Rocha Doutora em Matemática – Instituto de Matemática da UFRJ

Coordenação GeralProfª. Maria Cristina Rigoni CostaDoutora em Língua Portuguesa – Faculdade de Letras da UFRJ

Coordenação de MatemáticaElizabeth BelfortInstituto de Matemática da UFRJ. Mestre em Matemática - UFRJ; PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres; Licenciada em Matemática - UFRJ

Professores OrientadoresAna Lúcia Gravato Bordeaux Rego, SEE e Projeto FundãoMestre em Educação Matemática - USU, Licenciada em Matemática

Cláudia Segadas Vianna, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto FundãoMestre em Ensino da Matemática - UNESP- Rio Claro, PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres.

Denise Fellipe da Rocha, SME/ RJ, Colégio Brigadeiro Newton Braga e Projeto Fundão Especialização para Professores de Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática

Elizabeth Ogliari, SEE e Projeto FundãoEspecialização em Treinamento e Desenvolvimento de Recursos Humanos, Mestranda em Ensino de Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática - UFRJ.

Elizabeth Pastor Garnier, SEE, Fundação Técnico Educacional Souza Marques (FTESM) e P. FundãoMestre em Ciências Pedagógicas - ISEP, Especialização em Aprendizagem em Matemática - UERJ, Licenciada em Matemática e em Física

Fernando Celso Villar Marinho, Colégio de Aplicação da UFRJMestre em Matemática - UFRJ, Licenciado em Matemática - UFRJ.

Francisco Mattos, Colégio de Aplicação da UERJMestre em Matemática Aplicada - UFRJ e Doutorando em Sistemas - COPPE-UFRJ.

Gilda Maria Quitete Portela, SME/RJ e Projeto FundãoLicenciada em Física - UFRJ.

Jacqueline Bernardo Pereira Oliveira, Centro Universitário de Barra Mansa (UBM) e Projeto FundãoMestre em Matemática - UFRJ, Licenciada em Matemática - UFF.

João Paulo Gioseffi Vassallo, SEE, Fundação Educacional de Volta Redonda e Projeto FundãoEspecialista em Educação Matemática- UBM, Licenciado em Matemática.

Lilian Nasser, CETIQT/SENAI, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto FundãoMestre em Matemática - UFRJ; PhD em Educação Matemática - Universidade de Londres. Licenciada e Bacharel em Matemática.

Lúcia Arruda de Albuquerque Tinoco, Instituto de Matemática da UFRJ e Projeto Fundão.Mestre em Matemática - UFRJ. Licenciada e Bacharel em Matemática.

Luiz Carlos Guimarães, , Instituto de Matemática da UFRJPhD em Matemática - Universidade de Southampton, Bacharel em Matemática.

Luiz Otávio Teixeira Mendes Langlois, Instituto de Matemática da UFRJMestre em Estatística - UFRJ, Engenharia - UFRJ.

Maria Concetta Centola, SEE (C.E. Infante Dom Henrique) e Colégio São Vicente de PauloEspecialista em Educação Matemática - PUC - Rio, Licenciada em Matemática.

Maria Palmira da Costa Silva, SME/RJ, C.E. Taciel Cylleno e Projeto FundãoLicenciada e Bacharel em Matemática - UFRJ; Especializações: Matemática - UFRJ e em Informática Aplicada à Educação - UERJ.

Rita Maria Cardoso Meirelles, Colégio de Aplicação da UFRJ Licenciada em Matemática - UFRJ.

Ulicio Pinto Júnior, SEE (C.E. José Martins da Costa), SME/RJ e Colégio São Vicente de Paulo Especialista em Ensino de Matemática - UFRJ, Mestrando em Ensino de Matemática - UFRJ. Licenciado em Matemática.

Victor Giraldo, Instituto de Matemática da UFRJMestre em Matemática Aplicada - UFRJ, PhD em Sistemas - COPPE - UFRJ. Bacharel em Matemática.

Wanda Medeiros Pacheco Ferreira, CEFET - RJ, CECIERJEspecialista em Educação Matemática- USU - GEPEM, Licenciada em Matemática.

Wandira Maria C. Moreira, SEE (C.E. Antônio Prado Júnior); CECIERJ.Especialista em Educação Matemática- USU - GEPEM, Licenciada em Matemática.

Professores AutoresAbel Adonato da Fonseca CIEP 286 - Murilo Portugal, Barra do PiraíAdriana Maria Rabha Lima C.E. Conde Pereira Carneiro, Angra dos ReisAdriana Ramos da Cunha CIEP 355 - Roquete Pinto, QueimadosAdriane R. Almeida C.E. Rio Grande do Sul, Volta RedondaAilton José Maria C.E. Antônio Dias Lima, Angra dos ReisAlessandra Serrado Neves C.E. Canadá, Nova FriburgoAlexandre Carvalho da Hora E.E.E.S. Roberto Burle-Marx, Rio de JaneiroAlmir José da Silva C.E. Iracema Leite Nader, Barra MansaAna Alice Maciel C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoAna Patrícia de Paula Matos CIEP 295 - Prof.ª Glória Roussin Guedes Pinto, Volta Redonda e C.E. Olavo Bilac, ResendeAndréa Cristina Costa de Freitas CIEP 388 - Lasar Segall, Belford RoxoAntonio Lopes de Oliveira Filho C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoArcilene Aguiar dos Santos C.E. 20 de Julho, Arraial do CaboArithana Cardoso Ribeiro de Assis C.E. 20 de Julho e CIEP 147 - Cetílio Barros Pessoa, Arraial do CaboAquiles Afonso da Silveira C.E. Célio Barbosa Anchite, PinheiralAurea Regina dos Santos CIEP 117 - Carlos Drumond de Andrade, Nova IguaçuBianca Cardoso Soares C.E. Elisiário Matta, MaricáCarlos Cezar do Nascimento E.E. Francisco José do NascimentoCarmem Valéria de Souza S. Dutra C.E. 20 de Julho, Arraial do CaboCésar Augusto Gomes de Morais Coutinho CIEP 089 - Graciliano RamosCláudio Antonio Portilho C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoCláudio Henrique da Costa Pereira CIEP 258 - Astrogildo Pereira, SaquaremaDalva Helena Rangel Lima C.E. Elvídio CostaDeyse Cristina de Moura CIEP 344 - Adoniran Barbosa, QueimadosDilma Seixas Menezes C.E. Barão de MacaúbasDorcas da Rocha Oliveira C.E. Guanabara, Volta RedondaDurlan Andrade Gonçalves C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoEdilaine Aguiar Lemos C.E. Etelvina Alves da Silva, ItaperunaEliana Barbosa de Freitas Soraggi C.E. José de Lannes Dantas BrandãoEliane Cristina da Cunha Oliveira C.E. Prof. Antônio Maria Teixeira Filho, Rio de Janeiro Elizabeth de Oliveira Torres Lima C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoErnani Iodalgiro da Costa Lima C.E. Lia Márcia Gonçalves Panaro, Duque de CaxiasFatima Cristina Ayrola de Carvalho C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova Friburgo

Flávia Lima de Souza C.E. Barão do Rio Bonito, Barra do Piraí e CIEP 298 - Manoel Duarte, Rio das FlôresGerusa Elena Fort Pinheiro C.E. Barão do Rio Bonito, Barra do Piraí e C.E. Theodorico Fonseca, ValençaGeny de Paula Pinheiro E.E. Prof.ª Norma Toop Uruguay Helena Espínola de Guzzi Zaú C.E Cel. Antônio Peçanha e C.E. Prof. Kopke, Três Rios Irineu Vieira do Nascimento E.E. Hilton GamaJanilce Guimarães da Silva Alvarenga CIEP 117 - Carlos Drumond de Andrade, Nova IguaçuJefferson Santoro Instituto de Educação Rangel Pestana, Nova Iguaçu Jocilene Aparecida Machareth Reguine C.E. Prof. Aurélio Duarte, CarmoJoelson Conceição da Silva C.E. Januário de Toledo Pizza, São Sebastião do AltoJorge Claudio Ribeiro Martins C.E. Presidente Castelo Branco, MesquitaJuberte Andrade C.E. Santos Dumont, Volta RedondaKenia Costa Gregório C.E. Lions Clube - ItaperunaJorge José da Silveira C.E. Sem Francisco Gallotti, Rio de JaneiroKatiuscia Rangel de Paula CIEP 495 - Guignard, Angra dos ReisLeandro Mendonça do Nascimento CIEP 320 - Ercília Antônia da Silva, Duque de CaxiasLeila Pires Muniz C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoLeir Pires Muniz C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoLenilson Duarte C.E. Prof. José Medeiros de Camargo, ResendeLúcia Helena Ferreira da Silva C.E. Prof. Aragão Gomes, MendesLucimar Neves C.E. Prof. Aragão Gomes, MendesLuzia de Cássia Espindola Machado C.E. Presidente Roosevelt, Volta Redonda Luzia Ribeiro da Silva Longobuco CIEP 099 - Dr. Boulevard Gomes de Assumpção, Nova Iguaçu Luzilaine Aguiar Lemos CIEP 467 Henriett Amado, Itaperuna, RJMaelí Vieira Rosa de Souza C.E. Capitão Oswaldo Ornellas, São GonçaloMagali Alves Martins CES - Casa do Marinheiro, Rio de JaneiroMagda de Oliveira Bittencourt Azeredo C.E. José Carlos Boaretto, MacucoMagna Almeida de Souza C.E. Rio Grande do Norte, Volta RedondaMárcia Cristina Garin Borges E.E. Prof. Alfredo Balthazar da Silveira Márcio da Silva de Lima CIEP 418 - Antônio Carlos Bernardes - MussumMaria Conceição Barroso C.E. Barão do Rio Branco, Rio BonitoMaria da Conceição Machado de Carvalho C.E. Chile, Rio de JaneiroMaria de Fátima dos Santos Guedes CIEP 286 - Murilo Portugal, Barra do PiraíMaria de Fátima Portella E.E. Maurício de Abreu, Sapucaia

Maria de Nazaré Landeira Feijó C.E. José Carlos Boaretto, MacucoMaria Idenir Barrozo C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova FriburgoMaria Inez de Souza Maciel Cardoso C.E. Prof.ª Zélia dos Santos Côrtes, Nova FriburgoMaria Luiza Brito Borges C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoMarineri Vieira dos Reis CIEP 435 - Hélio Pellegrino, Rio de JaneiroMarize Barros de Andrade CIEP 169 - Maria Augusta CorrêaMasileila Caldas da Silva C.E. Vila Bela, MesquitaMauricio de Oliveira Horta Barbosa C.E. José de Lannes Dantas BrandãoMoanice do Couto Kropf C.E. Prof. Aurélio Duarte, Carmo, RJMônica Balduino de Abreu C.E. Brigadeiro Schorcht, Rio de JaneiroMônica da Silva Reis Colégio Venezuela, Rio de Janeiro Naira Cristina Vieira Lemos C.E. Prof. Fernando Antônio Raja Gabaglia, Rio de JaneiroNélio Souza Oliveira C.E. Lions Clube de Paraíba do Sul, Paraíba do SulPaulo César Dos Santos C.E. República Italiana, Porto Real Renata Balmant CIEP 485 - Prof. João Baptista de Barros, Barra MansaRita Elaine Carvalho Goulart C.E. Lions Clube - Itaperuna, RJRosana Marta Guimarães Etienne CIEP 016 - Abílio Henriques Correia, São João de MeritiRosangela Silva de Miranda C.E. Quintino Bocaiúva, Cachoeira de MacacúRosania Machado Monteiro C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoRoseleana Sanches Cunha de Morais E.E.E.S. Dr. Cócio Barcelos, Rio de JaneiroRosilaine Machado de Andrade Silva CIEP 310 - Alice Aiex, Barra do PiraíRozâna Martins Leonardo C.E. Melchíades PicançoSandra Meira de Sousa C.E. Honório Lima, Angra dos ReisSandra Rosária Salgado Medeiros CIEP 274 - Maria Amélia Daflon Ferro, São Sebastião do AltoSandra Taveira Monnerat E.E. Prof.ª Alda Bernardo dos SantosSérgio Santos de Oliveira E.E. Pedro Jacintho TeixeiraSimone Leão Santos E.E.E.S. Conde Afonso Celso, Rio de JaneiroSolange Aparecida Damasco Marins C.E. Desembargador José Augusto C. da Rocha Júnior, Rio BonitoSymone Cerbino Salgado Temperini CIEP 274 - Maria Amélia Daflon Ferro, São Sebastião do AltoSolange Santos da Silva CIEP 207 - Gilson Amado, JaperiSuzana Silva Santos C.E. Nephtalina Carvalho Ávila, Rio das FlôresTamara Sandra Guimarães Vedolin Centro de Ensino Supletivo - CESIGO, Rio de Janeiro Tânia Regina Aguiar C.E. Dr. Artur Vargas, Angra dos ReisTatiana Jardim Serra de Souza E.E.E.S. Berlim, Rio de Janeiro Terezinha Silvestre C.E. José de Lannes Dantas Brandão

Thereza Christina da Silva Cabral C.E. Compositor Manacéia José de Andrade , Rio de JaneiroVera Lúcia da Silva C.E. Alfredo Pujol, Rio ClaroVera Lúcia Rocha de Carvalho Motta C.E. Armando Gonçalves Vicente Chaves Alonso CIEP 207 - Gilson Amado, JaperiWilson Bispo dos Santos C.E. Ver. Percy Batista Crispim, Nova IguaçuZenite Fraga C.E. José de Lannes Dantas Brandão

Capa

Duplo Design http://www.duplodesign.com.br

Diagramação

Aline Santiago Ferreira Duplo Design - http://www.duplodesign.com.brMarcelo Mazzini Coelho Teixeira Duplo Design - http://www.duplodesign.com.brThomás Baptista Oliveira Cavalcanti tipostudio - http://www.tipostudio.com.br

Prezados (as) Professores (as)

Visando promover a melhoria da qualidade do ensino, a Secretaria de Estado de Educação do Rio de Janeiro realizou, ao longo de 2005, em parceria com a UFRJ, curso para os professores docentes de diferentes disciplinas onde foram apropriados os conceitos e diretrizes propostos na Reorientação Curricular. A partir de subsídios teóricos, os professores produziram materiais de práticas pedagógicas para utilização em sala de aula que integram este fascículo.

O produto elaborado pelos próprios professores da Rede consiste em materiais orientadores para que cada disciplina possa trabalhar a nova proposta curricular, no dia a dia da sala de aula. Pode ser considerado um roteiro com sugestões para que os professores regentes, de todas as escolas, possam trabalhar a sua disciplina com os diferentes recursos disponibilizados na escola. O material produzido representa a consolidação da proposta de Reorientação Curricular, amadurecida durante dois anos (2004-2005), na perspectiva da relação teoria-prática.

Cabe ressaltar que a Reorientação Curricular é uma proposta que ganha contornos diferentes face à contextualização de cada escola. Assim apresentamos, nestes volumes, sugestões que serão redimensionadas de acordo com os valores e práticas de cada docente.

Esta ação objetiva propiciar a implementação de um currículo que, em sintonia com as novas demandas sociais, busque o enfrentamento da complexidade que caracteriza este novo século. Nesta perspectiva, é necessário envolver toda escola no importante trabalho de construção de práticas pedagógicas voltadas para a formação de alunos cidadãos, compromissados com a ordem democrática.

Certos de que cada um imprimirá a sua marca pessoal, esperamos estar contribuindo para que os docentes busquem novos horizontes e consolidem novos saberes e expressamos os agradecimentos da SEE/RJ aos professores da rede pública estadual de ensino do Rio de Janeiro e a todo corpo docente da UFRJ envolvidos neste projeto.

Claudio Mendonça

Secretário de Estado de Educação

SUMÁRIO

17 Apresentação

19 1a Série do Ensino Médio

21 Construção de um cesto por dobradura Cláudio Antonio Portilho, Antonio Lopes de Oliveira Filho, Moanice do Couto Kropf, Jocilene Aparecida Machareth Reguine

32 Progressão Aritmética Ana Alice Maciel, Elizabeth de Oliveira Torres Lima, Maria Luiza Brito Borges, Rosania Machado Monteiro, Solange Aparecida Damasco Marins

37 As seqüências e um menino prodígio Jefferson Santoro, Jorge Claudio Ribeiro Martins, Adriana Ramos da Cunha

47 Conceitos de função, com atividades em criptografia Eliana Barbosa de Freitas Soraggi, Mauricio de Oliveira Horta Barbosa, Terezinha Silvestre, Zenite Fraga

55 Gráficos e tabelas Masileila Caldas da Silva, Wilson Bispo dos Santos

59 Imposto de renda - contextualizando o estudo de funções Andréa Cristina Costa de Freitas, Solange Santos da Silva, Vicente Chaves Alonso, Jéferson Santoro

64 Celular: uma ligação pensada Flávia Lima de Souza, Gerusa Elena Fort Pinheiro, Maria de Fátima dos Santos Guedes, Rosilaine Machado de Andrade Silva, Suzana Silva Santos

69 Dominó das funções Ana Patrícia de Paula Matos, Luzia de Cássia Espindola Machado, Nélio Souza Oliveira, Paulo César Dos Santos, Renata Balmant

73 Análise gráfica da função do 1º grau Alessandra Serrado Neves, Ernani Iodalgiro da Costa Lima, Leandro Mendonça do Nascimento, Rosana Marta Guimarães Etienne

83 Função Polinomial do 2º Grau Eliane Cristina da Cunha Oliveira, Magali Alves Martins, Naira Cristina Vieira Lemos, Simone Leão Santos, Tamara Sandra Guimarães Vedolin

88 Ensino de Funções Inversas no Ensino Médio Mônica da Silva Reis

92 Referências Bibliográficas

Apresentação 17

Matemática - Volume III

APRESENTAÇÃO

Em nosso estado, professores atuando em diferentes escolas convivem com realidades diversas. Nossos municípios apresentam níveis de desenvolvimento econômico–social diferenciados. Sob esta ótica, o desafi o de implementar programas de estudo em Matemática adequados a cada clientela, a partir de um documento de orientação curricular único, não é pequeno! Este documento visa divulgar uma seleção das sugestões didáticas desenvolvidas por professores em atividade, contribuindo para esta implementação.

O trabalho aqui apresentado é fruto do esforço, em atividade de formação continuada, de professores de Matemática da rede estadual de ensino do estado do Rio de Janeiro. Ele demonstra que foi muito bem aproveitada a oportunidade de trocar experiências e debater possíveis práticas em sala de aula, sob a luz do documento de reorientação curricular e de suas propostas, que necessitavam ser melhor assimiladas e discutidas pelos docentes. Estes trabalhos exigiram dos profi ssionais não apenas uma profunda refl exão sobre a realidade de suas escolas, mas também o interesse em aprimorar seus conhecimentos e em discutir suas práticas. Na leitura de cada uma das sugestões didáticas apresentadas, se percebe a dedicação dos professores, que buscaram meios práticos de implementar as diretrizes do documento de Reorientação Curricular em suas salas de aula, em suas escolas e para seus alunos.

O curso de formação continuada ocorreu durante o segundo semestre de 2005, em pólos próximos às localidades de trabalho dos professores (Cabo Frio, Campos, Caxias, Niterói, Nova Friburgo, Nova Iguaçu, Rio de Janeiro e Volta Redonda). Como parte integrante de suas atividades nesse curso, os professores de Matemática da rede estadual produziram sugestões didáticas que privilegiam todas as séries contempladas no documento de Reorientação. Eles optaram, quase sempre, pelo trabalho em grupo, permitindo assim uma ampla troca de experiências. Em todas as sugestões didáticas apresentadas, é marcante a postura de buscar uma aprendizagem ativa, com ampla participação dos estudantes, fugindo do modelo do professor transmissor de conhecimentos para alunos apáticos.

Nesta compilação, os trabalhos não são apresentados em um formato único, pois buscamos, na medida do possível, nos manter próximos dos textos originais dos autores. No entanto, foi necessário estabelecer critérios mínimos para a seleção de trabalhos, que incluíram: (a) uma proposta de trabalho para os alunos bastante clara e com objetivos bem defi nidos deveria ser apresentada; (b) a proposta para os alunos deveria ser acompanhada de sugestões metodológicas para sua aplicação pelo professor; e (c) quando pertinente, o trabalho deveria conter as soluções das atividades propostas aos alunos. Uma vez atendidos esses critérios, os

textos selecionados sofreram revisão e editoração, buscando integrá-los em um todo coerente. Em duas ocasiões, optamos por propor uma redação única para pares de trabalhos similares, apresentados por grupos diferentes de professores (nesses casos, os dois grupos constam como autores da proposta).

Buscou-se, ainda, respeitar os diferentes contextos para os quais os trabalhos foram elaborados, com a certeza de que a diversidade das propostas será de grande utilidade para a refl exão sobre a necessidade de, em cada caso, fazer escolhas e de adequar o documento curricular em programas de estudo. Assim sendo, recomendamos aos professores de Matemática da rede a leitura de todas as atividades propostas no documento, independentemente da modalidade de ensino ou série em que atuam. Devido à própria natureza do documento de Reorientação Curricular e às diferentes realidades escolares, a mesma atividade pode vir a ser utilizada em mais de uma série (e ainda em cursos voltados para jovens e adultos), cabendo ao professor que irá aplicá-la a decisão do melhor momento para sua utilização.

Esperamos que todos os professores de Matemática da rede estadual, tendo ou não participado do momento de formação continuada que gerou este documento, possam utilizar diversas das sugestões didáticas elaboradas por seus colegas, enriquecendo-as com sua própria prática. Esperamos que estas sejam fonte de aprimoramento profi ssional e que gerem novas refl exões sobre a importância da prática didática, contribuindo para uma escola comprometida com interesses e necessidades da população e mais adequada aos anseios e necessidades de seus alunos.

Elizabeth Belfort Ana Lúcia Gravato Bordeaux Rego

Cláudia Segadas ViannaDenise Fellipe da Rocha

Elizabeth OgliariElizabeth Pastor Garnier

Fernando Celso Villar Marinho Francisco Mattos

Gilda Maria Quitete PortelaJacqueline Bernardo Pereira Oliveira

João Paulo Gioseffi VassalloLilian Nasser

Lúcia Arruda de Albuquerque TinocoLuiz Carlos Guimarães

Luiz Otávio Teixeira Mendes LangloisMaria Concetta Centola

Maria Palmira da Costa SilvaRita Maria Cardoso Meirelles

Ulicio Pinto JúniorVictor Giraldo

Wanda Medeiros Pacheco FerreiraWandira Maria C. Moreira

1a SÉRIE

Janeiro de 2006

MATEMÁTICA

Ensino Médio - Volume III

Construção de um cesto por dobradura 21


CONSTRUÇÃO DE UM CESTO POR DOBRADURA

ApresentaçãoEste exercício de “Origami” é apresentado aos alunos não só como um exercício de dobradura em si, mas também com o intuito de mostrar a aplicação de conceitos e resultados matemáticas na prática. Procuramos destacar que, para reforçar o pensamento geométrico, deve-se usar a visualização e a prática, atingindo o abstrato a partir de experiências concretas.

Nas situações que apresentamos, as relações dos conceitos, dos resultados, com a verifi cação do efeito na própria fi gura, darão oportunidade ao aluno de enfrentar novos desafi os geométricos trabalhando em grupo, o que possibilita questionamentos, discussões, sugestões e o levantamento de soluções.

Procuramos mostrar as diversas etapas da construção do cesto por meio de fi guras, aprimorando também a compreensão dessa forma de representação simbólica. Esta atividade aborda vários conceitos geométricos na construção do cesto: classifi cação dos triângulos, semelhança de triângulos, altura e bissetriz em um triângulo, o teorema de Pitágoras e as relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo. Esta atividade torna o estudo desses conceitos e resultados mais interessante, prazeroso, despertando a atenção dos alunos por meio da prática desenvolvida.

É importante observar e analisar a montagem do cesto pelo aluno, mesmo que seja em grupo, considerando o seu desenvolvimento em cada passo da atividade em conjunto com as respectivas relações feitas com a geometria.

Objetivo principal do trabalho Aplicar conceitos geométricos em situação de construção de um origami é o principal objetivo desta atividade.

Séries para as quais o trabalho está direcionado Esta atividade está proposta para a 1ª série do ensino médio, exatamente por ser este o momento de aprofundar e complementar os conhecimentos de geometria plana. No entanto, ela pode ser adaptada para outros momentos da aprendizagem de Geometria no Ensino Fundamental por meio de seleção das questões propostas aos alunos.

22 Ensino Médio

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE Por meio desta atividade, os alunos irão aplicar e rever: classifi cação dos triângulos quanto à medida de seus lados; classifi cação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos; congruência de triângulos; altura e bissetriz do triângulo; semelhança de triângulos Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo; relações trigonométricas no triângulo retângulo.

• Semelhança de triângulos deve ser ligada ao conceito de proporcionalidade. Assim, no 2º passo da construção do cesto, fi ca provado que os valores da razão trigonométrica não dependem do tamanho do triângulo.

• O Teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas no triângulo retângulo são usadas para desenvolver o raciocínio do aluno, mostrando que a simples constatação visual poderá ser confi rmada a partir das propriedades das fi guras formadas nas diferentes etapas da construção do cesto.

Objetivos específicos a serem alcançados Podemos relacionar como objetivos específi cos:

- Identifi car triângulos semelhantes.

- Reconhecer que os lados homólogos de dois triângulos semelhantes são proporcionais.

- Identifi car a razão de semelhança de dois triângulos semelhantes.

- Identifi car a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.

- Aplicar as relações métricas em triângulos retângulos.

- Calcular a altura de um triângulo aplicando as relações métricas no triângulo retângulo.

- Aplicar o cálculo da medida da diagonal e do lado de um quadrado usando o teorema de Pitágoras.

- Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo.

- Aplicar as relações trigonométricas no triangulo retângulo.

Número de aulas previstas Estão previstas 4 aulas para o desenvolvimento do trabalho em sala de aula, e de 4 a 8 horas para o trabalho extra-classe.

Sugestão de organização da turma Sugerimos que a turma seja organizada em grupos de 2 a 4 alunos, dependendo do número de alunos na sala de aula, já que a presença do professor será indispensável para o bom desenvolvimento dos trabalhos.



Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor A cada passo desenvolvido, o professor deverá:

- Verifi car situações em que medidas e geometria estão relacionadas.

- Reforçar, a cada momento, a diferença entre valores calculados teoricamente e valores obtidos por meio da experimentação, já que estes últimos envolvem sempre pequenos erros de arredondamento e possíveis imprecisões de construção e medida.

- Comprovar, em conjunto com os alunos, os resultados encontrados, como o cálculo da diagonal do quadrado, a medida da altura do triângulo, o valor da hipotenusa do triangulo retângulo, entre outros, utilizando material didático como régua, esquadro e transferidor, conferindo os resultados, estabelecendo uma relação direta entre as fórmulas matemáticas com a prática.

- Reconhecer que os problemas trabalhados com as fórmulas geométricas deverão ter o apoio das operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

- Partindo das atividades propostas, retornar a cada tópico trabalhado, introduzindo novas situações para aprimorar e solidifi car o aprendizado do aluno.

Sugestão de avaliação do trabalho Como avaliação, é importante observar e analisar a montagem do cesto pelo aluno, bem como a resolução das atividades propostas durante a construção. Para facilitar a avaliação do trabalho realizado pelo aluno, tanto na construção do cesto como na resolução das atividades, sugerimos que ela se faça passo a passo, como mostraremos a seguir, no gabarito da folha de atividades. Nele, as respostas esperadas estão em negrito, junto aos itens, e a solução é apresentada logo a seguir.

24 Ensino Médio

GABARITOExercício: Transformar uma folha de papel quadrada em um cesto usando dobradura, resolvendo, em conjunto, as atividades propostas em cada passo da sua construção.

Material utilizado: Uma folha de papel quadrada de 20 cm de lado.

Instruções: Leia os passos com bastante atenção e mãos à obra!

1º Passo: Dobrar o quadrado em uma de suas diagonais

Solução:

A fi gura à esquerda é um quadrado, no qual vamos considerar:

l = medida do lado do quadrado;

d = medida da diagonal do quadrado.

No triângulo retângulo à esquerda, aplicamos o teorema de Pitágoras:

• Como d = diagonal e l = catetos, podemos escrever:

d2 = l2 + l2 ⇒ d2 = 2l2 ⇒ d = 2 2l d = l 2

• Resolvendo o item (a), temos que, como l = 20 cm:

d = l 2 d = 20 2 cm

• Substituindo 2 por 1,4, teremos: d = 20 . 1,4, ou seja

d = 28 cm (aproximadamente)

O aluno poderá comprovar essa aproximação ao medir a diagonal da folha dobrada com uma régua (lembre a eles que pequenas variações nesse valor são devidas a erros de construção e aproximação, sempre presentes em atividades concretas).

l =20

a) Com o auxílio de uma régua, meça a diagonal desse quadrado (utilizando, se necessário, uma casa decimal).

28 cm aproximadamente

b)Utilizando o teorema de Pitágoras e comparando as medidas encontradas, o que você pode concluir? As medidas encontradas são aproximadamente iguais. (Adote: 2 = 1,4)



2º Passo: Dobre o triângulo unindo os seus dois lados iguais

a) Com o auxílio da régua, meça a altura relativa à hipotenusa (linha mais clara) do 1º triângulo.

14,1 cm

b) Encontre a medida dessa altura utilizando o teorema de Pitágoras.

Resolução abaixo, com valor 14 cm, aproximadamente.

A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um ângulo de 90º com esse lado. Na fi gura à esquerda, a altura relativa à hipotenusa está desenhada, facilitando sua localização. Na dobradura de papel, após a dobra (fi gura à direita), ela fi cará evidente ao retornar à posição inicial desse item.

Então, resolvendo pelo teorema de Pitágoras, teremos:

l2 = h2 + d2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ 202 = h2 + 10 2

2

( ) ⇒ h2 = 400 – 200 ⇒ h = 200 ⇒

h = 10 2 cm ou, substituindo 2 por 1,4, obtemos:

h = 10 . 1,4 ⇒ h = 14 cm (aproximadamente)

c) Verifi que se esses dois triângulos são semelhantes Sim

Há várias soluções possíveis para esta verifi cação. Por exemplo:

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos respectivamente congruentes: como temos dois triângulos retângulos isósceles, cada um deles terá exatamente um ângulo reto e dois ângulos de 45o cada. Assim, eles são semelhantes.

Outra possibilidade é pedir que os alunos calculem a razão de semelhança entre os dois triângulos. Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro. Assim temos:

2010 2

2010 2

20 220

= = = k

k k= ⇒ =20

10 222

2. e

k k= ⇒ =20 2

202

Razão de semelhança: k = 2 , ou k = 1,4 (aproximadamente)

26 Ensino Médio

3º Passo: Abra o papel totalmente

Verifi que que as diagonais de um quadrado se encontram no ponto médio das mesmas.

Observe as estratégias utilizadas pelos alunos para verifi car que o ponto de encontro é ponto médio. A idéia de que a dobra sobre uma das diagonais faz com que os extremos da outra se sobreponham mostra claramente a idéia do ponto médio. No entanto, muitos alunos irão realizar medições com a régua.

Nesses casos, é possível que encontrem pequenas discrepâncias nas medidas de cada uma das metades do segmento. O professor deve aproveitar, mais uma vez, para enfatizar a diferença entre o resultado teórico e o que é obtido por uso de materiais concretos, sempre sujeito a erros experimentais.

4º Passo: Una os quatro vértices do quadrado até o ponto médio das diagonais.

a) Determine a medida da hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra. Sugestão: a medida dos catetos do triângulo é igual à metade do lado do quadrado original.

a2= b2 + c 2 ⇒ a2= 102 + 102 ⇒ a2= 100 + 100 ⇒ a2 = 200

a = 200 ⇒ a = 10 2 cm ou, substituindo 2 por 1,4, temos:

a = 14 cm

b) Com o auxílio de uma régua, meça o lado do quadrado formado após a última dobra. Compare o resultado encontrado com o da medida da hipotenusa do triângulo da atividade anterior. a = 14 cm, aproximadamente

Observação: O cálculo da medida da hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra é muito mais simples de ser feito se os alunos observarem que a medida de seus catetos é igual à metade da medida do lado do quadrado original (20cm), ou seja, 10 cm.

O aluno, ao medir o lado do quadrado formado após a última dobra (fi gura à direita) com uma régua, encontrará uma aproximação dessa medida. Espera-se que, a esta altura da atividade, ele já tenha compreendido que haverá pequenas discrepâncias entre respostas obtidas por medições. No entanto, todos devem encontrar valores próximos a 14 cm.



5º Passo: Vire o verso do quadrado formado e una seus quatro vértices até o centro do mesmo.

a) Utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, descubra a medida da hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra. Sugestão: as medidas dos catetos são iguais à metade dos lados do quadrado anterior (4º passo).

Resolvendo pelo seno, teremos:

sen 45º = cat ophip. .

⇒ sen 45º = ba

ou, resolvendo pelo cosseno:

cos 45º = cat adjhip. .

⇒ cos 45º = ca

⇒ 22

5 2 10= ⇒ =hip

hip cm

b) Com o auxílio da régua, meça o lado do quadrado formado após a última dobra e compare com o resultado encontrado com o da medida da hipotenusa do triângulo da atividade anterior. Os alunos devem encontrar 10 cm, aproximadamente.

6º Passo: Dobrar os quatros triângulos encontrados no quadrado formado, unindo cada um de seus vértices livre até o ponto médio de cada lado do quadrado.

Obs.: Para melhor entendimento das instruções, ampliaremos o quadrado anterior.

⇒ = ⇒ =2

25 2 10hip

hip cm

28 Ensino Médio

7º Passo: Vire o verso do quadrado e dobre os quatro quadrados encontrados no quadrado maior, unindo cada um de seus vértices livre até cada um de seus vértices opostos.

a) Com o auxílio de uma régua, meça a hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra. Os alunos devem encontrar 7 cm, aproximadamente.

b) Qual a mediada do lado do menor quadrado formado após a última dobra? Sugestão: A medida dos catetos do triângulo é igual à metade do lado do quadrado encontrado no 5º passo.

a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 52+52

a2 = 25 + 25 ⇒ a = 50 ⇒ a= 5 2 cm, ou a = 7,0 cm

8º Passo: Pegar com as mãos dois triângulos opostos dois a dois, dobrá-los e fl exioná-los para frente, conforme mostram as ilustrações abaixo:

Obs.: Estas fi guras estão ampliadas na folha de questões, no anexo a seguir.



ROTEIRO DO ALUNO

Exercício: Transformar uma folha de papel quadrada em um cesto usando dobradura, resolvendo em conjunto as atividades propostas em cada passo da sua construção.

Material utilizado: Uma folha de papel quadrada de 20 cm de lado.

Instruções: Leia os passos com bastante atenção e mãos à obra!

Passos

1º Passo: Dobrar o quadrado em uma de suas diagonais

a) Com o auxílio de uma régua, meça a diagonal desse quadrado (utilizando se necessário, uma casa decimal).

b)Utilizando o teorema de Pitágoras e comparando as medidas encontradas, o que você pode concluir?

(Adote: 2 = 1,4)

2º Passo: Dobre o triângulo unindo os seus dois lados iguais

a) Com o auxílio da régua, meça a altura relativa à hipotenusa (linha mais clara) do 1º triângulo.

b) Encontre a medida dessa altura utilizando o teorema de Pitágoras

c)Verifi que se os dois triângulos da fi gura são semelhantes.

3º Passo: Abra o papel totalmente

Verifi que que as diagonais de um quadrado se encontram no ponto médio das mesmas.

30 Ensino Médio

4º Passo: Una os quatro vértices do quadrado até o ponto médio das diagonais.

a) Determine a medida da hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra. Sugestão: A medida dos catetos do triângulo é igual à metade do lado do quadrado original.

b) Com o auxílio de uma régua, meça o lado do quadrado formado após a última dobra. Compare o resultado encontrado com o da medida da hipotenusa do triângulo da atividade anterior.

5º Passo: Vire o verso do quadrado formado e una seus quatro vértices até o centro do mesmo.

a) Utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, descubra a medida da hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra. Sugestão: as medidas dos catetos são iguais à metade dos lados do quadrado anterior (4º passo).

b) Com o auxílio da régua, meça o lado do quadrado formado após a última dobra e compare com o resultado encontrado com o da medida da hipotenusa do triângulo da atividade anterior.

6º Passo: Dobrar os quatros triângulos encontrados no quadrado formado, unindo cada um de seus vértices livre (por fora) até o ponto médio de cada lado do quadrado.

Obs.: Para melhor entendimento das instruções, ampliaremos o quadrado anterior.



7º Passo: Vire o verso do quadrado, e dobre os quatro quadrados encontrados no quadrado maior, unindo, para dentro, cada um de seus vértices livre até cada um de seus vértices opostos.

a) Com o auxílio de uma régua, meça a hipotenusa do triângulo formado após a 1ª dobra.

b) Qual a mediada do lado do menor quadrado formado após a última dobra? Sugestão: a medida dos catetos do triângulo é igual à metade do lado do quadrado encontrado no 5º passo.

8º Passo: Pegar com as mãos dois triângulos opostos dois a dois, dobrá-los e fl exioná-los para frente, conforme mostram as ilustrações abaixo:

32 Ensino Médio

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

ApresentaçãoO trabalho escolhido pelo grupo foi sobre progressão aritmética, com o intuito de dar um enfoque diferente ao conteúdo e mostrar uma maneira mais criativa, prazerosa de ensinar e aprender matemática, com aplicabilidade no cotidiano, principalmente na resolução de problemas, o que possibilita aos alunos observar concretamente o que está sendo estudado.

Objetivo geral do trabalhoDesenvolver nos alunos a capacidade de comunicar-se em várias linguagens, investigar e elaborar problemas, tomar decisões, fazer hipóteses, trabalhar solidária e cooperativamente, adquirindo e aperfeiçoando conhecimentos.

Objetivos específicos a serem alcançados- Verifi car regularidades em uma seqüência.

- Reconhecer uma progressão aritmética como um tipo de seqüência que possui uma propriedade especial.

- Determinar a fórmula para o cálculo do termo geral da P.A.

Série para a qual o trabalho está direcionado1ª série do Ensino Médio

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEEProgressão aritmética será o conteúdo a ser trabalhado de uma maneira diferente, porque geralmente é enfocado de forma abstrata, não permitindo que os alunos tenham oportunidade de descobrir e chegar a conclusões.

Progressões aritméticas 33


Número de aulas previstasSugere-se que o trabalho seja realizado em 6 aulas.

Sugestão de organização da turma para o desenvolvimento do trabalhoO professor dividirá a turma em grupos e entregará tabelas, deixando os alunos fazerem descobertas. O professor usará tabelas numeradas de 1 a 100 e tabelas vazadas que apresentam seqüências numéricas com regularidades e outras sem regularidades. Sob a orientação do professor, na realização da atividade, os alunos identifi carão as seqüências regulares e irregulares, registrando as descobertas feitas e possíveis mudanças, assim como a fórmula geral da progressão aritmética. O professor despertará no aluno comentários sobre o assunto trabalhado e estes formularão situações-problema que associem as tarefas cotidianas com progressão aritmética apresentada.

Sugestão de avaliação do trabalho A avaliação do trabalho realizado será feita com base no interesse, participação, formulação e resolução das situações-problema de cada grupo.

Dificuldades encontradas pelos alunos na aplicação piloto Durante a aplicação piloto, observou-se que, quando foi apresentada a atividade dos palitos, a maioria dos alunos achou uma atividade de fácil resolução, conseguindo resolvê-la por meio da soma e da multiplicação. Um aluno concluiu que bastava multiplicar por 3 e somar 1 que acharia o resultado com maior facilidade. Pedimos que ele explicasse para a turma; ele foi ao quadro e mostrou como fez .

Alguns alunos tiveram difi culdades na resolução da atividade dos palitos quando os valores se tornaram altos, pois eles achavam que teriam que fi car muito tempo somando, e não perceberam que podiam resolver a questão de outra forma.

Seqüência Pedagógica e Atividades

Atividade 1

Após dividir a turma em grupos, o professor distribui tabelas numeradas de 1 a 100 e tabelas vazadas, que permitirão observar situações com ou sem regularidades. Permitir que os alunos façam descobertas, sobrepondo uma tabela vazada (recortar os espaços nos quais se vê X ) de diversas seqüências ( 2 em 2, 3 em 3- como no exemplo abaixo, ...).

34 Ensino Médio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60

1 2 3 5 8 6 7 4 9 1011 12 13 15 18 16 17 14 19 2021 22 23 25 28 26 27 24 29 3031 32 33 35 38 36 37 34 39 4041 42 43 45 48 46 47 44 49 5051 52 53 55 58 56 57 54 59 60

X X XX X X

X X X XX X X

X X XX X X X

X X X

Enquanto os alunos manuseiam as tabelas, o professor faz perguntas, tais como:

De que se trata esse material?

O que acontece quando eu coloco a tabela vazada sobre a numerada?

O que você descobriu?

Como posso chamar essa descoberta?

O professor deve registrar essas descobertas no quadro de giz, identifi cando seqüências e pedir aos alunos exemplos de outros tipos de seqüências vistas no dia-a-dia. Em seguida, discutir que existem seqüências com regularidades e sem regularidades e que a P.A. é uma seqüência com uma regularidade especial e que permite, conhecendo alguns termos, calcular qualquer outro. Apresentar a idéia de razão1.

1 Na aplicação piloto, a descoberta da razão foi feita por um aluno com difi culdades na matéria, que disse que era muito fácil, bastava “diminuir o anterior, que assim eu ia descobrir.”

Progressões aritméticas 35


Por meio das tabelas, o professor pode explorar os outros termos da progressão, como:

( 2,5,8,11,14 ) r ⇒ 8 – 3 = 3

a1 = a1 + 0 r a1 = 2

a2 = a2 + 1r a2 = 2 + 3

a3 = a1 + 2r a3 = 2 + 6

a4 = a1 + 3r a4 = 2 + 9

a5 = a1 + 4r a5 = 2 + 12

O professor pode fazer perguntas, tais como:

Vocês sabem me dizer quantos termos tem essa seqüência?

Qual é o último termo?

Como descobriu que o a5 = a1 + 4r?

Discutir com os alunos que, desse modo, podemos descobrir todos os termos de uma progressão aritmética2

Atividade 2

Apresentada em anexo, para que o professor possa fotocopiar para seus alunos.

Caso seja necessário, permitir a utilização de palitos para a realização da atividade no concreto.

2 No piloto, observou-se que os alunos entenderam com clareza. Quando foi aplicada a atividade 2, com palitos, os alunos conseguiram chegar às respostas com facilidade e até formar uma expressão algébrica.

36 Ensino Médio

ROTEIRO DO ALUNO

I) Com palitos de fósforo, construa um quadrado.

a) Quantos palitos você usou? _________

b) Continue a formar outros quadrados, como na fi gura:

c) Ao formar 4 quadrados, quantos palitos você usou?

d) E se você formar cinco?

e) E se formar dez?

f) E se formar 65?

g) Se alguém quiser saber quantos palitos serão usados para formar um n qualquer de quadrados, você saberia escrever uma expressão para ajudá-lo?

h) Descubra agora quantos palitos são necessários para formar 58 quadrados?

i) Tenho 85 palitos, quantos quadrados posso formar? E tendo 168?

j) Para qualquer número ímpar p de palitos, é possível encontrar n? Experimente alguns números?

As seqüências e um menino prodígio 37


AS SEQÜÊNCIAS E UM MENINO PRODÍGIO

Apresentação A atividade proposta neste trabalho foi desenvolvida com intuito de ser aplicada em turmas do 1º ano do Ensino Médio, o que não inviabiliza sua aplicação em turmas do Curso Normal, e mesmo do Ensino Fundamental (testamos o material também com alunos de 6a série). A atividade tem um enfoque histórico, porque acreditamos que o “fazer histórico” está ligado diretamente à “construção de conceitos”, tão necessários à desmistifi cação da matemática como ciência não aplicada.

O material didático é de fácil elaboração, e de baixo custo. Busca-se, ainda, incentivar o aluno a ler.

Atividade Levar nossos alunos a generalizar a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) fi nita é o objetivo explícito deste trabalho, mas a escolha do material didático (cartões) visa tornar mais prazerosa essa busca pelos padrões e regularidades das seqüências dadas. Durante o processo de busca, os alunos terão a oportunidade de manipular as opções existentes, pois anotar os números no papel simplesmente os “imobiliza” e cria um obstáculo para o aluno perceber as diversas possibilidades de soluções (somas) do problema.

Procuramos, desta forma, cumprir o objetivo de aplicarmos um problema em que a investigação matemática esteja presente na resolução e faça parte dela, visando dar um caráter diferente a um problema extremamente convencional.

Objetivo principal do trabalho• Estabelecer a fórmula geral para cálculo da soma dos termos de uma P.A. fi nita, utilizando as “n” possibilidades de se somar dois números de uma seqüência fi nita de números naturais.

• Levar o aluno a generalizar para o cálculo da soma dos termos de qualquer progressão aritmética fi nita.

38 Ensino Médio

Material a ser confeccionadoCartões numerados em quantidade par, cada um contendo um número de uma seqüência de naturais consecutivos (ver anexo)

Séries para as quais o trabalho está direcionado A atividade pode ser desenvolvida tanto no 1º ano do Ensino Médio, quanto no 1º ano do Curso Normal.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE A atividade envolve o conceito de seqüência e explora a regularidade das progressões aritméticas. Busca ainda dar ao estudo das seqüências um contexto histórico, como propõe a Reorientação Curricular, ao recriar os procedimentos padrões utilizados por Gauss, aos 10 anos de idade, para fazer a soma dos números naturais de 1 a 100, atividade proposta pelo seu professor Herman Butner.

Número de aulas previstas A atividade requer duas aulas de 50 minutos.

Sugestão de organização da turmaA turma deve ser organizada de acordo com a disponibilidade de cartões, mas não com grupos com mais de 4 alunos.

Sugestão de texto para leitura

UM GÊNIO DE MENINO

Era uma manhã de 1787, o Professor Herman Butner, de pé, solene, as mãos na cintura, correu, ameaçador, o olhar pela sala. Quarenta e dois meninos, em silêncio, aguardavam a tarefa que seria imposta pelo respeitável mestre.

- Tomem as lousas - ordenou o professor com a habitual rispidez - e façam o seguinte...e façam...hesitou um instante.

Qual seria o exercício da classe com que ele, o temido e enérgico “herr professor”, iria dar início aos trabalhos da turma? Na sua opinião, o melhor sistema de educar a mocidade era pelo terror, e o único meio de se obter a disciplina devia inspirar se na violência e no castigo. Todo ideal do educador devia resumir se na consecução de uma disciplina cega e ilimitada. Só um povo rigidamente disciplinado faria da Alemanha uma potência invencível capaz de escravizar o mundo sob o comando de sua autoridade.

Decorrido rápido instante, o professor, depois de acariciar lentamente, com a mão direita, a barba ruiva e opulenta que lhe adornava o rosto pálido, retomou severo:



- ... e façam o seguinte: escrevam todos os números inteiros de 1 até 100 e calculem, sem errar, a soma de todos esses números, isto é, desde 1 até 100.

E repetiu:

- Prestem bem atenção. Quero a soma de todos os números (1, 2, 3, 4, 5, etc.) até 100! Ouviram? Vamos. Comecem!

Toda a classe pôs se a trabalhar. Eram meninos do curso primário da Escola Santa Catarina, em Brunswick. O mais velho pouco excedia dos doze anos e o mais moço não completara ainda dez.

O Professor Butner, com olhar repreensivo, observava a turma. Sentia intensa alegria ao atentar na passividade com que os pequeninos o obedeciam. Notou que a classe trabalhava com afinco; surpreendeu se, porém, ao reparar que um dos alunos, garoto de dez anos, no máximo, pousara a lousa sobre a carteira e olhava distraído para os mapas da Prússia que forravam a parede.

- O senhor aí! - gritou Butner enfurecido, apontando para o menino. - O senhor aí! Por que não trabalha? Vamos. Faça a soma que mandei!

E varou o com os olhos que fuzilavam.

Respondeu o menino, muito humilde, com um fio de voz:

- Já calculei, senhor professor!

Como assim! berrou o mestraço, com uma agitação imprevista e colérica. - Já calculou a soma de todos os números de 1 até 100? Traga aqui o resultado. Quero ver!

- Aqui está! - disse.

Butner olhou para a lousa. Nela não havia cálculos, nem contas. Apenas um número que devia exprimir o resultado: 5.050!

Era lá possível que um menino de dez anos, em poucos minutos, calculasse urna soma de cem parcelas? O total indicado não passava, certamente, de um número qualquer indicado, ao acaso, pela preguiça de um displicente.

A atitude daquele menino assumia, aos olhos do exaltado professor, as proporções de um verdadeiro insulto. Com um safanão violento segurou o estudantezinho por um braço, empurrou o para junto da mesa e gritou lhe com indizível rancor:

- Fique aí, de pé! Já!

E tomando do pesado e temível chicote, que pendia de um prego junto à porta, acrescentou com decisão de rancor:

- Com este azorrague vou curar essa “maniazinha” de querer pilheriar com coisas sérias. Está ouvindo? Se este resultado que leio aqui - cinco mil e cinqüenta -, dado por palpite, estiver errado, o senhor será castigado sem piedade!

O tratamento de “senhor”, dado a uma criança sob a ameaça do açoite, já era uma afronta. E o mestraço tinha tremores na voz.

O menino muito pálido, com os braços caídos ao longo do corpo, ficou de pé com a cabeça inclinada sobre o peito, aguardando o prometido castigo.

40 Ensino Médio

A classe, já habituada àqueles atos de selvageria, continuou a trabalhar.

Decorridos cerca de 30 minutos, a soma proposta fora calculada por vários alunos. Veio o primeiro e exibiu o resultado ao mestre. Lá estava, em algarismos bem claros, o resultado:

- 5.050!

Logo, a seguir, apresentou outro a conta acabada:

- 5.050!

E, na lousa de um terceiro, reconhecido como hábil no cálculo surgia também, gritante, o mesmo número: - 5.050!

Ao ver a concordância daqueles resultados, o Professor Butner ficou um instante aturdido; voltou se, afinal, para o pequenino calculista que aguardava as aviltantes chibatadas e interpelou o muito sério:

- É espantoso! O seu resultado está certo! Sim. . . não há dúvida. É isso mesmo ... Está certo! Como obteve, tão depressa, a soma de todos os números de 1 até 100?

.................................................................................................................................

Ao ouvir uma explicação tão simples e tão clara para aquele problema que os outros levaram um longo tempo para fazer, o Professor Butner compreendeu que tinha diante de si, naquele pequeno de dez anos, um verdadeiro gênio da Matemática, e sentiu pesar lhe sobre a consciência o crime hediondo que havia praticado, humilhando o injusta e brutalmente diante dos colegas.

Butner, arrebatado, tomou o menino pela mão e levou o, no mesmo instante, ao gabinete do diretor.

Ao vê lo aparecer trazendo o estudante, o velho diretor abriu num riso o largo rosto emoldurado de fartas suíças:

- Que é isso, senhor professor? Que falta cometeu esse menino? Por que o traz, assim, e já tão cedo, à minha presença?

- Meu bom diretor - retorquiu o Professor Butner emocionado. - Há um engano de vossa parte. Nesse momento não é o professor que traz o aluno ao diretor; mas sim o aluno é quem traz o professor à presença do diretor.

E depois de relatar, com todas as minúcias, tudo que ocorrera pouco antes na classe, concluiu:

- Este menino trouxe me à vossa presença, sr. diretor, para comunicar vos que ele nada mais tem a aprender comigo. Eu, sim, é que muita coisa terei que aprender com ele.

- E como se chama esse menino?

Acudiu logo Butner, muito sério:

- Atentai, diretor, no nome deste menino. Dentro de alguns anos esse nome será motivo de verdadeiro orgulho para o mundo: Carl Frederick Gauss!



ExploraçãoSe vocês gostaram dessa história, perceberam que foi omitida a solução que o menino deu ao problema. Vamos tentar encontrá-la?

1) Manuseando os cartões, dados pelo professor, com números naturais de 1 a 4:

a)Formar pares de cartões e some os números que aparecem em cada par, anotando os resultados. Somar todos os resultados obtidos. Refazer as operações anteriores, alterando os pares formados de todas as maneiras possíveis. Considere que o par (1 + 2) é o mesmo que (2 + 1).

b) Existe uma maneira de somar os cartões dois a dois e obter para cada par o mesmo resultado? Qual?

2)Agora, com os cartões numerados de 1 a 6, repetir os itens a e b acima.

3) Fazer o mesmo com as séries de cartões com os números:a) 2, 4, 6, 8 ,10, 12.b) 11, 13, 15, 17, 19, 21.

4)Existe, nos casos estudados, alguma coincidência (regularidade) quando temos pares cuja soma dá o mesmo resultado? Qual?

5) A partir das observações feitas podemos concluir o quê?

6) É possível então resolvermos o problema da soma de todos os números de 1 a 100 em poucos minutos? De que forma?

7) Podemos formular uma regra geral para a soma de números naturais em seqüência fi nita? Qual seria?

Observações1. Essa história foi adaptado do livro “A Matemática na Lenda e na História” de Malba Tahan (1974 – p. 81 a 85).

2) Para a escrita da fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma PA fi nita, a maioria dos autores matemáticos tem uma notação própria, a saber:

Sn : soma dos termosa1 : primeiro termoan : termo geraln : número de termosr : razão

42 Ensino Médio

3) Carl Frederick Gauss (1777-1855) nasceu em Brunswick, Alemanha, sendo seus pais pessoas bastante simples e pobres. Porém, desde muito cedo, ele se revelou uma notável criança prodígio. Cursou a Universidade de Göttingen (1795 a 1798), custeado pelo duque Ferdinand de Brunswick, que se impressionara com sua brilhante inteligência. Aos 21 anos de idade, dispensado do exame habitual, obteve o doutorado na Universidade de Helmstädt. Em 1807, foi nomeado professor de Astronomia e diretor do observatório astronômico de Göttingen. Foi um dos maiores gênios matemáticos do século XVIII – e um dos mais produtivos.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor Deve-se estipular, com alguma fl exibilidade, 50 minutos para a organização dos grupos, manipulação dos cartões e devidas anotações. E 50 minutos para discussão e generalização da atividade.

No caso da manipulação de seis cartões, as possibilidades são muitas. Assim sendo, para que o tempo não se esgote antes que os alunos cheguem às conclusões, é necessário que se interrompa o trabalho, assim que algum grupo encontre a solução em que todos os pares têm a mesma soma.

Se nenhum dos alunos identifi car que a soma dos pares dos números extremos é igual à soma dos pares de números eqüidistantes em relação aos extremos, procurar orientá-los a essa descoberta destacando os valores encontrados, inclusive se estiverem em anotações de alunos diferentes.

Havendo tempo, explorar situações com número de cartões ímpar, onde aparecerá o termo médio, cujo dobro será igual à soma dos extremos.

Há de se ter o cuidado de que fi que bem claro para os alunos que a fórmula obtida só se aplica se a seqüência de números a ser somada for uma P.A.

Dependendo das condições para a leitura do texto, esta poderá ser silenciosa, em partes (cada aluno lendo um trecho indicado pelo professor), ou feita pelo professor.

Sugestão sobre avaliaçãoSobretudo deve-se avaliar a participação e o interesse dos alunos em encontrar uma resposta.

1º exemplo de respostas e comentários (1º ano do Curso Normal)

1-a)

(1 + 2) + (3 + 4) = 3 + 7 = 10

(1 + 3) + (2 + 4) = 4 + 6 = 10

(1 + 4) + (3 + 2) = 5 + 5 = 10

(4 + 3) + (2 + 1) = 7 + 3 = 10



Após a apresentação das respostas, alguns alunos perceberam o uso das propriedades associativa e comutativa da adição.

1 + 2 + 3 + 4 = 10

= (1 + 2) + 3 + 4

= (3 + 3) + 4

= 6 + 4

= 10

Alguns alunos tiveram difi culdades de interpretação quanto à maneira de usar os cartões e não formaram pares, procurando resolver o problema de outras maneiras.

1-b) Utilizando a seqüência de 1 a 4, não houve difi culdades para identifi car o caso em que as somas dos pares eram as mesmas.

2-a)

1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 = 21

(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = 3 + 7 + 11

(1 + 3) + (4 + 5) + (6 + 2) = 4 + 9 + 8

(1 + 4) + (5 + 2) + (3 + 6) = 5 + 7 + 9

(1 + 5) + (6 + 4) + (3 + 2) = 6 + 10 + 5

(1 + 6) + (5 + 3) + (4 + 2) = 7 + 8 + 6

2-b) Foi necessário que se ampliasse o número de respostas, pois como pode se observar na solução anterior (2-a) alguns alunos não conseguiram identifi car o caso em que as somas dos pares eram as mesmas, levando-os a afi rmar que essa possibilidade não existia.

3-a)

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 =

= (2 + 12) + (4 +10) + (6 + 8) =

= 14 + 14 + 14

3-b)

11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 =

= (11 + 21) + (13 +19) + (15 + 17) =

= 32 + 32 + 32

Alguns alunos, nesta etapa da atividade, já procuravam transformar a soma da parcelas iguais em uma multiplicação.

3 x 14

3 x 32

44 Ensino Médio

4) Sim, o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com o anti-penúltimo.

Observação: Apesar de a linguagem ser informal, nesta etapa os alunos demonstram a compreensão sobre a existência de um caso em que a soma dos pares é sempre a mesma.

5) Concluímos que, somando de “fora” para “dentro”, formamos parcelas iguais que podem se transformar em multiplicação.... Nesta etapa as conclusões dos alunos são perfeitas, mas falta ainda a formalização.

6) Sim. Da forma que somemos (1 + 100), (2 + 99), (3 + 98)... e assim por diante, e no fi nal multiplicar 50 x 101 que é o que dá em cada parcela = 5050

Sim, 101 x 50

Alguns alunos já descobriram a forma de fazer a soma de 1 a 100 sem nenhuma formalização.

7) Sim.

Soma = (primeiro + último) x total de números 2

Sn = (a1 + an) . n2

Para a formalização fi nal foi necessário o professor intervir, pois o recurso auxiliar para formalização dado na observação 2 da atividade, em que se indica a nomenclatura utilizada na maioria dos livros, não foi lida com atenção pelos alunos.

Comentários sobre as dificuldadesHouve uma difi culdade inicial em convencer todos os alunos a lerem o texto e que foi vencida pela própria forma interessante e instigante na qual ele foi escrito.

2º exemplo de respostas e comentários (6ª série do ensino fundamental).

O trabalho de pesquisa foi desenvolvido em grupos de 4 alunos

l a)

(1 + 2) + (3 + 4) = 3 + 7 = 10

(1 + 3) + (2 + 4) = 4 + 6 = 10

(1 + 4) + (3 + 2) = 5 + 5 = 10

Os alunos apresentaram, inicialmente, difi culdades para entender o que estava sendo pedido pelo enunciado do problema.

l b) (1 + 4) + (3 + 2) = 5 + 5 = 10



Utilizando a seqüência de 1 a 4, não houve difi culdades para identifi car o caso em que as somas dos pares eram as mesmas.

2 a) e 2 b) Neste momento, alguns grupos tiveram grande difi culdade para encontrar os pares com somas iguais. Segundo eles, a quantidade de números aumentou e isso fez com que eles fi cassem um pouco perdidos.

3 a) e b) Nesta etapa os grupos começaram a concluir que: “é só pegar o primeiro número e somar com o último, o penúltimo com o segundo...” e assim por diante. Alguns grupos relataram que isso só foi possível porque, desta vez, eles enxergaram escrito no papel (copiaram no papel os números que apareciam nos cartões), o que facilitou a criação de uma ordem (1º com o último, 2º com o penúltimo,...).

4 e 5) Foram respondidas com facilidade por causa da descoberta anterior.

6) Nem todos os grupos conseguiram resolver o problema; os que conseguiram, se basearam no fato mencionado anteriormente nos problemas 3, 4 e 5. Perceberam também que não bastava apenas formar pares iguais, era necessário multiplicar a soma pelo número de pares.

7) Não conseguiram criar a fórmula para o cálculo, apesar de terem respondido à pergunta anterior, ou seja, eles conseguiram entender a prática, porém, a formalização só foi possível com a intervenção do professor.

Comentários sobre as dificuldades

Houve uma difi culdade inicial para que os alunos conseguissem entender o enunciado da primeira questão e uma grande difi culdade, que já era de se esperar para alunos de sexta série, quanto à generalização da soma dos termos de uma PA fi nita.

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ANEXO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25

Conceitos de função com atividades em criptografia 47


CONCEITOS DE FUNÇÃO, COM ATIVIDADES EM CRIPTOGRAFIA .

Apresentação A nossa proposta é trabalhar conceitos associados ao de função (domínio, imagem, função inversa), tendo como motivação aplicações práticas em criptografi a, com atividades no computador relacionadas com a área.

Descrição da atividade1. Os alunos deverão ser informados sobre criptografi a: sua conceituação, aspectos históricos e utilizações. Isso pode ser feito a partir da leitura de um texto (há uma sugestão nesta proposta) e de uma pesquisa complementar. Se possível, os alunos devem pensar em questões referentes ao assunto para serem discutidas e apresentadas em um debate posterior.

2. Atividade prática usando o conceito de criptografi a. Os alunos se dividem em grupos para desenvolverem esta atividade. A atividade consiste na resolução de códigos.

3. Nesta atividade os alunos deverão criar seus próprios códigos para enviar mensagens para outros grupos da turma.

4. Se possível na escola, nesta atividade, os alunos trabalharão com o computador usando uma planilha eletrônica.

Objetivo principal do trabalhoEste trabalho visa o uso prático da criptografi a para introduzir conceitos de funções, assim como outros conceitos relacionados, como domínio, imagem, contradomínio e função inversa.

Séries para as quais o trabalho está direcionado O trabalho está direcionado principalmente a alunos do 1º ano do Ensino Médio.

48 Ensino Médio

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE Álgebra; algoritmo da divisão; operações elementares sobre conjuntos; conhecimentos básicos de informática (planilha eletrônica).

Conforme a direção sugerida na Reorientação Curricular, o trabalho procura apresentar ao aluno a idéia de função de forma intuitiva, antes da simbologia e da linguagem matemática.

Objetivos específicos a serem alcançados Levar o aluno a diferenciar relações que representam funções de outras que não o são; entender o conceito de função inversa e identifi car domínio, contradomínio e imagem de funções.

Número de aulas previstas6 aulas

Sugestão de organização da turma A turma pode ser organizada em grupos pequenos e, depois, num grupão para fechamento das atividades, quando seus resultados devem ser apresentados para o restante da turma. Os grupos devem interagir entre si trocando mensagens codifi cadas de acordo com o roteiro das atividades.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor Na primeira atividade em que o professor trabalha com um texto informativo, foi sugerido um texto de trabalho. Mas o professor pode substituir este texto por outro que ache mais pertinente ou adequado a sua turma. Além disso, o professor deve sugerir aos alunos que ampliem as informações do texto com pesquisas complementares. Nesse ponto pode ser feita uma articulação com a área de História para que se pesquisem aspectos históricos do uso da criptografi a, como, por exemplo, seu uso em tempos de guerra mencionado no texto.

Para o professor, sugerimos um prévio conhecimento sobre criptografi a, informações sobre o excel, ou outra planilha eletrônica disponível e a resolução prévia das atividades.

Sugestão de avaliação do trabalho Na avaliação, o professor deverá acompanhar o desenvolvimento dos trabalhos em sala de aula através de observações e registros, e verifi cando o interesse pelo assunto.

A apresentação dos trabalhos que foram montados com códigos e a relação dos mesmos com o conceito de função podem fazer parte da avaliação.



Nas atividades, há espaço para que os alunos desenvolvam seus próprios códigos. Apresentações para a turma como um todo podem ser montadas explicando o código criado, assim como exemplos trabalhados pelo grupo. Nesta apresentação, os alunos já deverão utilizar a notação matemática para representar as funções que foram utilizadas nos trabalhos de codifi cação. Podem também, na apresentação, destacar aspectos que mais gostaram e que acharam mais interessantes nos trabalhos realizados.

Sugestão de texto para leituraUma função é uma regra ou lei que nos diz como duas ou mais quantidades variam entre si. Já no século XIII, os filósofos escolásticos – que seguiam a escola de Aristóteles – discutiam a quantificação de formas variáveis. Entre tais formas, eles estudavam a velocidade de objetos móveis e a variação da temperatura de ponto para ponto de um sólido aquecido.

No século XIV, Oresme – teólogo e matemático francês – tem a brilhante idéia de traçar uma figura ou gráfico das grandezas que variam. Esta foi, talvez, a primeira sugestão do que hoje é chamado de representação gráfica de uma função.

A idéia de Oresme foi aprofundada mais tarde, no século XVII, com Fermat e Descartes, que definiram um sistema de coordenadas no plano, estabeleceram a correspondência entre uma equação f(x,y) = 0 e a curva plana, consistindo de todos os pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem à equação dada e introduziram a noção de variável.

Um dos problemas encarados como um passatempo até poucos anos atrás, e que se tornou de importância crucial atualmente, é o de transmitir mensagens codificadas ou, em termos técnicos, criptografar mensagens. Este problema surge e revela toda a sua importância quando é necessário enviar, por meio de uma rede de computadores, dados sigilosos: saldos e senhas bancárias, informações pessoais, número de cartão de crédito etc. É preciso criar então meios seguros de transmitir esses dados de modo que somente pessoas autorizadas tenham acesso a eles.

Podem ser citados casos de quebra de segurança e privacidade em sistemas de informação por computador. Por exemplo, em 1987, a Volkswagem AG, na Alemanha Ocidental, sofreu uma perda de 259 milhões de dólares que tinham sido “mascarados” por alterações de programas e fitas magnéticas de computador. Em 1986, um funcionário de uma corretora em Denver, nos EUA, por meio de simples mudança de algumas letras no computador, foi capaz de multiplicar por dez os preços das ações da Loren Industries.

No Brasil, as fraudes com computadores talvez já se tenham tornado uma rotina. As vítimas é que não gostam de divulgar, embora procurem informar-se sobre todos os métodos de proteção e segurança modernos.

A maneira mais segura de ter uma garantia de que informações transmitidas não serão copiadas, modificadas ou falsificadas é o uso de criptografia.

Criptografia, como dito anteriormente, consiste em codificar informações, usando-se uma chave, antes que estas sejam transmitidas, e em decodificá-las, após a recepção. O processo de codificação nada mais é do que uma transformação completa dos

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dados, de tal modo que uma pessoa desautorizada (que não conheça a chave usada na transformação) não possa obter a informação original a partir do código. Desta maneira, mesmo que uma pessoa desautorizada consiga obter uma cópia das informações, elas estarão codificadas e serão ininteligíveis e, portanto, inúteis para esta pessoa.

Atualmente, a Criptografia é aplicada em várias áreas. Podemos citar, por exemplo:

- Recursos humanos: auditoria eletrônica e lacre de arquivos de pessoal e pagamentos.- Compras e vendas: autenticação de ordens eletrônicas de pagamento.- Jurídico: transmissão digital e custódia de contratos.- Automação de escritórios: autenticação e privacidade de informação.

Atividade 1Rex e Diná estão passando maus momentos. Resolveram andar por lugares muito desertos e acabaram topando com um monstro de arrepiar os cabelos. Decifre depressa a mensagem que eles mandaram para você:

42-45-57 30-3 9-45-42-57-15-21-63-27-39-45-57- 12-15-57-48-27-57-60-3-54 45-39-45-42-57-60-54-45 45 48-54-45-6-36-15-39-3 15 51-63-15 15-36-15 48-54-45-39-15-60-15-63 48-54-45-9-63-54-3-54 45-63-60-54-3 48-15-57-45-3 48-3-54-3 3-60-45-54-39-15-42-60-3-54 42-3-45 45-36-24-15 3-21-45-54-3 39-3-57 15 39-15-36-24-45-54 36-27-21-3-54 45-57 39-45-60-45-54-15-57 48-45-54-51-63-15 45 6-27-9-24-45 15-57-60-3 6-15-39 3-60-54-3-57 12-15 66-45-9-15!

Observação: Os alunos deverão ter difi culdades em utilizar apenas a letra “a” como chave do código (letra mais freqüente em textos em português). O professor pode oferecer uma pista: o começo quer dizer: Nós já conseguimos despistar.

Resposta: Nós já conseguimos despistar o monstro. O problema é que ele prometeu procurar outra pessoa para atormentar. Não olhe agora, mas é melhor ligar os motores porque o bicho está bem atrás de você!

Nesta atividade a correspondência utilizada entre as letras e os números é uma função?

Atividade 2O primeiro passo para que seja criado um código seguro é estabelecer, de alguma maneira pré-determinada, uma correspondência entre letras e números. Existem muitas formas de se defi nir tal correspondência. Um exemplo simples é o da tabela abaixo.

Letras a b c d e ,,, v x z

Números 1 2 3 4 5 21 22 23

Esta tabela defi ne uma correspondência que associa a cada letra do nosso alfabeto um único número natural entre 1 e 23.



1) Por essa correspondência, qual letra está associada ao número 15?

2) Qual número corresponde à letra x?

3) Você é capaz de estabelecer uma correspondência que associe as letras do alfabeto aos números naturais diferentes desta?

4) A correspondência utilizada na sua tabela e na tabela apresentada são exemplos de funções?

É claro que, para transmissão de mensagens, não se pode usar um código tão simples assim. O sigilo dos dados não estaria garantido, porque seria muito fácil descobrir a chave do código e, então, decodifi car a mensagem. Por isso, em geral, depois dessa primeira etapa, em que se faz corresponder letras a números de maneira simples, os números obtidos são ainda operados algebricamente usando-se regras conhecidas somente pelo receptor e pelo transmissor da mensagem.

5) Suponha que, ao número obtido usando-se a tabela anterior, seja somado 4 unidades e o resultado multiplicado por 3. Após esta segunda etapa, qual seria o novo número associado à letra x?

6) Quantas funções precisamos para codifi car uma mensagem neste último processo?

7) Qual o domínio da primeira função?

8) Qual sua imagem?

9) Qual o domínio da segunda função?

10) Qual sua imagem?

11) Você é capaz de usar a notação de função para representar a segunda função utilizada?

12) Agora, você é capaz de descobrir qual letra corresponderia ao número 42?

13) Quantas funções você usou para chegar à letra?

14) Qual o domínio da primeira função?


16) Qual o domínio da segunda função?


18) Você é capaz de usar a notação de função para representar a primeira função que você utilizou?

19) Que nome damos a essa função que volta do número 42 para sua letra correspondente?

20) Use agora o código estabelecido acima para “transmitir” a palavra mar.

52 Ensino Médio

21) Vamos brincar um pouco agora. Você deverá preparar uma mensagem em código para enviar a um outro grupo e receberá uma mensagem que deve ser decodifi cada com o código estabelecido. Use sua criatividade.

Atividade 3Era assombroso! O alto comando espanhol não conseguia entender o que estava acontecendo. Pudera! França e Espanha estavam em guerra, e, como em qualquer guerra que se preze, os oponentes escreviam suas mensagens em códigos secretos, para que o inimigo não descobrisse seus planos. No entanto, bastava um mensageiro espanhol ser preso pelos franceses para os planos militares espanhóis serem imediatamente descobertos e neutralizados.

Nenhum homem poderia decifrar esses códigos secretos tão rapidamente, a menos que, pensavam os espanhóis, os franceses tivessem um pacto com o demônio!

O “demônio” era um súdito francês, François Viète, nascido em 1540. Na realidade, ele não era um matemático por profi ssão. Advogado, foi conselheiro do rei da França, Henrique IV, durante a guerra entre este país e a Espanha. Era através da Matemática, e não da magia negra, que Viète decifrava os códigos secretos. Para ele, decifrar códigos era o mesmo que resolver equações. Veja uma tabela de codifi cação:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9A B C D E F G H I JL M N O P Q R S T UV X Z

Para decifrar uma mensagem secreta como 40103 = 47402730 substituímos os números por letras, até selecionar aquelas que formam palavras. Assim:

4 0 1 0 3 = 4 7 4 0 2 7 3 0

e a b a d é e h e a c h d a

p l m l o p s p l n s o l

v x v

A mensagem decifrada é Pablo é espanhol.

Tente você agora. Usando a tabela abaixo, tente decifrar a mensagem.

7351793 = 1491401273

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9A E I O U B C D F GH J L M M P Q R S TV X Z



Agora responda:

1) As tabelas usadas que associam os números às letras representam funções? Por quê?

2) E se fi zermos uma correspondência das letras com os números? Por quê?

3) Caso algum dos dois anteriores seja uma função, quais seriam o domínio e a imagem?

4) Vamos relaxar um pouco agora. Usando uma das tabelas ou outra que você prefi ra, crie uma mensagem codifi cada para transmitir para outro grupo. Não se esqueça de enviar também a tabela para que o grupo possa decodifi cá-la. Seu grupo receberá também uma mensagem para ser decodifi cada.

Atividade 4Nesta atividade, a turma utilizará recursos de computação para tornar a codifi cação e decodifi cação de mensagens mais rápida.

Pode ser utilizada uma planilha eletrônica com o Excel ou outro software.

O próprio computador já tem uma função que associa a cada letra um número. No Excel, por exemplo, a função carcat(número) produz a letra associada a um determinado número de 97 a 122, em seqüência de a a z. A função inversa é dada por código(“letra”). Por exemplo, colocando em uma célula = código(“a”), nesta célula aparecerá o número 97.

Uma idéia para um projeto simples é criar uma planilha em que, em uma linha, entrariam os números de 97 a 122 ordenados de modo a formar uma mensagem, e, na linha seguinte, a função caract decodifi caria a mensagem imediatamente. O mesmo processo pode ser feito para codifi car a mensagem usando a função código.

Uma outra idéia, com uma função mais elaborada, seria usar a Cifra de César para a codifi cação. Fixa-se um número entre 1 e 26, como chave. Estabelece-se uma função entre os símbolos (letras) pela tabela:

Letras a b c d e ,,, v w x y z

Números 1 2 3 4 5 22 23 24 25 26

Substitui-se um símbolo na mensagem recebida, correspondente ao número m por esta tabela, pelo símbolo correspondente ao número c, também entre 1 e 26, dado por c (m+t)mod 27, o que signifi ca que c é o resto da divisão de (m+t) por 27 ou seja, será também um número entre 1 e 26.

Por exemplo, usando t=12, a letra x seria trocada pela letra i pois x corresponde a 24. 24+12 = 36, 36 mod 27 = 9 e ao número 9 corresponde a letra i.

O número t é chamado chave e pode ser modifi cado para gerar diferentes codifi cações.

Tente usando a chave t=12 decodifi car a mensagem xghc t ovftvc

54 Ensino Médio

Vamos chamar f a função que associa as letras aos números pela tabela acima, g a função inversa de f e h a função cujo domínio é {1,2,...., 26} e a imagem é {1,2,...., 26}, tal que h(x) = (x+12) mod 27.

Como você representaria a seqüência que leva x em i.

F(x) = 24 → h(24) = 9 → g(9) = i

Para a letra seguinte da mensagem teríamos:

F(x) = 7 → h(7) =19 → g(19) = s

Faça as seqüências para as outras letras da mensagem.

Usando o computador com uma planilha eletrônica, podemos colocar em uma linha a mensagem a ser codifi cada. Em cada célula dessa linha, fi caria uma letra. Na linha seguinte teríamos o resultado da aplicação da função F sobre a letra. Se usarmos a correspondência do computador, podemos usar a função código (“letra”), que retornará um número de 97 a 122. Subtraímos desse número o número 96 e obtemos, assim, o valor correspondente de nossa tabela. Por exemplo, se tivermos a letra a, faremos código(“a”) = 97. Subtraímos 96 e obtemos 1, que é o correspondente de a na tabela. Na linha seguinte, pegamos esse resultado e aplicamos a função h. Ao resultado de h somamos 97 e aplicamos a função g que no computador é dada por caract( número) e voltamos assim à letra decodifi cada.

O Excel tem também uma função que retorna o resto da divisão de um número por outro. Esta função é mod(dividendo, divisor).

A codifi cação consiste no processo inverso. Usamos f, depois aplicamos uma função h’, onde o que muda em relação a h é que a chave que usamos para codifi car será dada pela subtração de 27-t, sendo t a chave para decodifi car. No nosso caso a chave para codifi car seria 27-12 = 15.

Ao completar o projeto, utilize sua aplicação para trocar mensagens com outros grupos. Não esqueça de fornecer a eles a aplicação para a decodifi cação. Quem sabe você não pode enviar mensagens em código por e-mail para alguém que possua sua aplicação?

Gráficos e tabelas 55


GRÁFICOS E TABELAS

ApresentaçãoEsta proposta de atividade foi elaborada para ser aplicada a uma turma da 1ª série do Ensino Médio, conforme o documento Reorientação Curricular no Campo da Informação. No entanto, foi também utilizada para a 2ª série Ensino Médio, permitindo uma oportunidade de rever temas de estatística, em especial para aqueles alunos que, por algum motivo, não foram apresentados a esses conteúdos.

As atividades exploram uma conta de energia elétrica, sendo criadas atividades que enfatizem gráfi cos, tabelas, médias e operações numéricas.

Objetivos do trabalho Ler e interpretar os dados de um gráfi co ou tabela e realizar operações numéricas utilizando uma conta de energia elétrica.

Série para qual o trabalho está sendo direcionado1a e 2a séries do Ensino Médio. Para alunos da 2ª série que não tiveram oportunidade, por algum motivo, de tomar conhecimento do tema.

Conteúdos Matemáticos associados e suas ligações com o Documento de Reorientação Curricular da SEECampo da Informação: tema – Estatística: gráfi cos e tabelas e tabelas de freqüência e campo numérico-aritmético.

Números de aulas previstas Em sala de aula, em duas aulas.

Sugestões de organização da turma para o desenvolvimento do trabalho Organizar a turma em grupos de quatro a cinco alunos.

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Sugestões para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor da turmaAs cópias das contas devem ser tiradas sem qualquer identifi cação para evitar constrangimentos.

Sugestões de avaliação do trabalho realizado Através da dinâmica do trabalho realizado, observamos que as atividades desenvolvidas despertaram nos grupos sentimentos de satisfação, interesse, bem como maior atração na realização das operações matemáticas envolvidas.

Pré- requisitos para o desenvolvimento• As quatro operações com os conjuntos dos números Racionais.

• Unidades de medida de energia elétrica, o kWh.

• Porcentagem.

• Plano cartesiano: coordenadas de um ponto no gráfi co de barras, de linhas, colunas e pontos.

• Média aritmética.

EnunciadoObserve a seguinte conta de energia elétrica. Construa uma tabela com as médias de consumo diário dos meses no ano de 2005.

ComentáriosOs alunos verifi caram o número de dias em cada mês e observaram, em suas contas, o consumo médio. A partir daí, utilizando o algoritmo da divisão, encontraram, com duas casas decimais, a média do consumo diário. Daí, cada aluno construiu sua tabela relacionando o consumo diário ao mês correspondente, diferenciando o mês de maior e menor consumo, concluindo que não poderia afi rmar que a média diária seria a mesma dia-a-dia, ou seja, que isto era uma aproximação, porque podem ocorrer dias com menor ou maior consumo de energia.

Havendo multa por dias de atraso, usaram os algoritmos da multiplicação e da subtração para encontrar a diferença de valor após o vencimento. Durante a atividade, apresentaram difi culdades sobre os conceitos de média aritmética e porcentagem, e sobre como efetuar a divisão com casas decimais.

Utilizando uma edição de jornal (no caso da aplicação, utilizamos “O Globo”), os alunos puderam verifi car os diferentes tipos de gráfi cos utilizados na mídia e que, em uma só reportagem, poderia haver tabelas e vários tipos de gráfi cos.

Gráficos e tabelas 57


Material UtilizadoConta de energia elétrica de vários meses de 2005.

Jornal “O Globo” edição de 06/11/2005.

Observação: O número de residentes não é informado na conta, e o professor deve acrescentar este dado em pelo menos duas contas diferentes, para comparação. Ao utilizar a folha de atividades apresentada a seguir, o professor deve completar os meses a serem utilizados como limite nos itens (c) e (g).

58 Ensino Médio

ROTEIRO DO ALUNO

a) Faça a relação entre o número de moradores da residência e o consumo de energia em kWh (Quilowatts hora).

b) Qual foi a média diária do consumo de energia elétrica nos meses de março e julho de 2005?

c) Faça um gráfi co da média diária de consumo de energia elétrica dos meses de _____________ de ______ a ________________ de ________.

d) Em que mês houve o maior consumo de energia? E o menor?

e) Em que mês houve o maior consumo diário médio de energia? E o menor?

f) O consumo médio diário é o mesmo do dia-a-dia? O que faz a média do consumo diário variar?

g) Com os dados da conta, calcule a média de consumo anual desta conta nos meses de _____________ de ______ a ________________ de ________.

h) Qual o valor do ICMS, se alíquota fosse de 20%?

i) Qual é a alíquota de encargo de capacidade emergencial?

j) A conta de luz tem uma data de vencimento. Houve atraso no pagamento? Em caso afi rmativo, de quantos dias? Quanto se pagou de multa?

k) Se o atraso no pagamento fosse de dez dias, qual seria o valor a ser pago?

l) Verifi car nos jornais os vários tipos de gráfi cos utilizados e comentar, oralmente, sobre o poder de visualização desses gráfi cos.

m) Por que a utilização do gráfi co de setores?

n) Discuta com o grupo um gráfi co selecionado e exponha o que entendeu sobre a forma cartesiana.

Imposto de Renda - Contextualizando o Estudo de Funções 59


IMPOSTO DE RENDA - CONTEXTUALIZANDO O ESTUDO DE FUNÇÕES

Apresentação Na prática pedagógica, percebeu-se que alguns alunos apresentam grande difi culdade em assimilar o conceito de funções. O estudo das funções tem como objetivo o domínio das linguagens, análise, interpretação e descrição de diversos fenômenos naturais e sociais. O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus eixos temáticos, bem como em outras áreas do conhecimento.

Baseando-se nessa compreensão, a proposta aqui apresentada visa trazer, de forma concreta, uma maneira mais interessante e prazerosa de explorar o conceito de funções, com a fi nalidade de melhorar a assimilação dos conteúdos envolvidos na mesma. A aplicação piloto sugere que, por meio desta atividade, o professor pode explorar vários conteúdos matemáticos utilizando a resolução de problemas e fazendo com que o aluno relacione grandezas variáveis, gráfi cos, tabelas e fórmulas, todos intimamente relacionados ao conceito de função.

Objetivos do trabalhoDesenvolver no aluno o conceito de função de forma bem clara e, através do processo de resolução de problemas, analisar tabela e gráfi co, utilizando conhecimentos assimilados anteriormente como porcentagem.

Séries para as quais o trabalho está direcionado A atividade poderá ser desenvolvida no 1º ano do Ensino Médio e ainda na 8º série do Ensino Fundamental.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE • A idéia e o conceito matemático de função

• Leitura, análise de tabela e gráfi co

• Porcentagem

60 Ensino Médio

Número de aulas previstasDois a três tempos de aula, além de pesquisa extra de alguns modelos de declarações, após ou antes da atividade.

Sugestão de organização da turma A turma poderá se organizar de acordo com a disponibilidade da sala e número de alunos. Individual ou grupos de três ou quatro alunos.

Sugestões para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professorVerifi car se os alunos dominam o conteúdo porcentagem, antes de iniciar a atividade proposta.

Solicitar algumas declarações feitas desse ano-calendário, com o cuidado de que a parte da identifi cação do contribuinte não seja mostrada.

Deve-se estipular, com alguma fl exibilidade, um tempo para apresentar algumas declarações feitas nesse ano-calendário.

Deve-se, também, evitar grupos extensos de trabalho como forma de dar oportunidade para todos participarem da atividade proposta.

Atividades propostas

Introdução

Quando nos deparamos com uma obra pública realizada (praça, estradas, hospitais, vias etc.) não temos consciência de que essa obra só é possível porque o governo arrecada impostos da população.

Um desses impostos é o assunto que iremos abordar na atividade proposta. O imposto de renda - é um imposto que incide sobre salários, poupanças, aluguéis recebidos, ou seja, qualquer tipo de rendimento que a pessoa possa receber.

O imposto de renda tem uma característica proporcional à renda do contribuinte, ou seja, quem recebe pouco ou não paga nada (fi ca isento) ou paga menos; quem recebe mais paga mais; daí a necessidade de se conhecer o percentual do imposto (alíquota) e da parcela a deduzir para cada faixa de renda do contribuinte (a pessoa que paga imposto).

Atividade

A tabela abaixo mostra como deveria ser calculado o imposto de renda (pessoa física) na declaração de ajuste anual do exercício de 2000, ano-calendário de 1999.



BASE DE CÁLCULO ALÍQUOTA PARCELA A DEDUZIRAté R$ 10.800,00 Isento --------De R$ 10.800,01 a R$ 21.600,00

15% R$ 1.620,00

Acima de R$ 21.600,00 27,5% R$ 4.320,00

Para calcular o imposto devido, basta aplicar a alíquota sobre o total de rendimentos recebidos no ano-calendário pelo contribuinte, e subtrair o valor da dedução correspondente.

I- Agora, observe a tabela acima e responda:

a) Qual seria o imposto devido por uma pessoa que teve, durante o ano de 1999, um rendimento de R$ 10.800,00?

b) E de quem teve um rendimento de R$ 16.800,00?

c) E de quem teve um rendimento de R$ 21.600,00?

d) E de quem teve um rendimento de R$ 24.000,00?

e) Você saberia representar a fórmula algébrica que expressa essa função?

II - Observe o gráfi co abaixo, que mostra a alíquota em função da renda.

Gráfi co

Agora responda:

a) Quais as grandezas relacionadas no gráfi co?

b) De acordo com o gráfi co, em que faixa de renda a pessoa estaria isenta?

c) Se a pessoa teve um rendimento anual de R$ 12.800,00, qual seria a sua alíquota?

d) A partir de que renda a alíquota não aumenta mais?

62 Ensino Médio

Sugestões de avaliação do trabalhoObservar o interesse do aluno, sua participação e seu desempenho durante a atividade. Verifi car se a atividade proposta foi interessante e signifi cativa para os alunos.

Exemplos, respostas e comentários sobre as dificuldades encontradas pelos alunosAtividade aplicada no 3º ano do Curso de Formação de Professores. As alunas trabalharam em dupla.

I-a) 10.800,00 : 100 x 10 = 10% = 1.080,00

5% = 540,00

15% = 1.620,00

R: O imposto não será cobrado, pois a renda é inferior a R$ 1.620,00.

Uma dupla não percebeu que se tratava de um valor isento de imposto e tentaram calculá-lo. Na tentativa, acabaram percebendo que a parcela a deduzir da 2a faixa era exatamente 15% do limite da 1a faixa. Observe-se ainda a difi culdade de expressar o pensamento de forma correta.

I-b) 16.800 : 100 = 168 168 X 15 = 2520 2520 – 1620 = 900

16.800 ------- 100 100x = 16.800 . 15 2520 – 1620 = 900 x ------- 15 100x = 252000 x = 252000 / 100 x = 2520

Uma dupla utilizou conceitos de regra de três para desenvolver a solução, diferentemente das outras alunas que apenas aplicaram o conceito de porcentagem como produto de um quociente de divisor 100.

I-c) 21.600 : 100 = 216

216 X 15 = 3240

3240 – 1620 = 1620

21.600 ------ 100 100x = 21.600 . 15 3240 – 1620 = 1620 x ------ 15 100x = 324000 x = 324000 / 100

x = 3240

As alunas não encontraram difi culdades para resolver esta questão.



I-d) 24.000 : 100 = 240 240 X 27,5 = 6600 6600 – 4320 = 2280

24.000 ------ 100 100x = 24000 . 27,5 6600 – 1620 = 2280 x ------27,5 100x = 660000 x = 660000 / 100 x = 6600

I-e) [ ( rendimento : 100 ) . alíquota ] – (parcela a deduzir)

Uma dupla interpretou bem os cálculos, organizando-os em uma expressão, mas, como as outras duplas, não percebeu que uma única expressão algébrica não daria conta de representar o problema, que estaria dividido em partes, devido à condição de serem três faixas para o cálculo do imposto de renda e de, para cada faixa, haver uma expressão distinta da outra, principalmente devido ao domínio estar dividido em três intervalos distintos.

II-a) Nenhuma aluna conseguiu perceber quais seriam as grandezas envolvidas no problema.

II-b) 10.800,00

Algumas alunas não perceberam que se tratava de um intervalo, e não de um valor, havendo necessidade de uma breve discussão sobre a interpretação da questão.

II-c) Não houve dúvidas com relação a esta questão.

II-d) Devido à discussão feita a respeito do enunciado da questão II-b, não houve dúvidas com relação a esta questão.

64 Ensino Médio

CELULAR: UMA LIGAÇÃO PENSADA

ApresentaçãoComo vivemos em um mundo que passa por inúmeras transformações tecnológicas e o telefone celular tem sido o aparelho de uso mais freqüente entre nossos alunos, nos sentimos motivados em elaborar uma atividade que envolvesse o tema funções associado ao uso de celular, acreditando que “aprender é, principalmente, um ato social, no sentido que aprendemos de e com os outros envolvidos na busca de conhecimento e signifi cados comuns” (Reorientação Curricular, 2005, p. 20).

Somos professores do Ensino Médio e percebemos que problemas que envolvam aplicação de funções devem ser explorados em sala de aula em diversos momentos, tendo em vista o fato de freqüentemente nos depararmos com situações que exigem uma análise de variáveis e de suas relações para a tomada de uma decisão.

Sabendo que a formação integral de um cidadão ativo e crítico depende de sua integração com o mundo, exigindo que o mesmo faça escolhas cuidadosas, desenvolvemos este trabalho. Nosso objetivo é verifi car até que ponto nosso aluno é capaz de tomar uma decisão racional, demonstrando o que adquiriu em relação às noções básicas para a construção do conceito de função sua capacidade para representar funções sob as formas algébrica e gráfi ca e de decisão a partir dessas representações.

Objetivo principal do trabalhoEste trabalho visa contribuir para o uso do conceito de função, numa situação cotidiana envolvendo o uso do celular e a economia fi nanceira.

Séries para as quais o trabalho está direcionado Este trabalho foi elaborado pensando nos estudantes do 1º ano do Ensino Médio, porém acreditamos que pode ser aplicado a partir da 8ª série do Ensino Fundamental.

Celular: uma ligação pensada 65


Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE Os conteúdos programáticos associados ao trabalho foram, de acordo com o documento de reorientação curricular: funções do 1º grau (campo algébrico-simbólico), equações do 1º grau, números decimais (campo algébrico-simbólico) e construção de gráfi cos (campos algébrico-simbólico e informação)

Número de aulas previstas 4 aulas de 50 minutos.

Sugestões para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor• Por ser uma atividade com muitos cálculos, sugerimos o uso de calculadora, para que o enfoque seja na refl exão e no desenvolvimento do poder de decisão ao invés dos procedimentos. Sugerimos, ainda, que os alunos trabalhem em duplas.

• Cada estudante deve receber uma cópia da folha de atividades e o professor deve orientá-lo a executar as atividades na ordem apresentada.

• A atividade poderá ser recolhida e corrigida pelo professor, e o resultado deve ser apresentado aos estudantes ou, alternativamente, o professor pode promover um “fecho” para a atividade com uma ampla discussão em sala, destacando os pontos de maior relevância (neste caso, a correção será feita com a participação dos estudantes).

• Sugerimos que a atividade seja avaliada pelos estudantes.

• Um aprimoramento interessante pode ser apresentar a estatística da atividade corrigida para a turma e construir, com os estudantes, o gráfi co de seu desempenho.

Comentários sobre a Aplicação PilotoEsta atividade foi aplicada em 3 turmas de 1º ano do Ensino Médio, em novembro de 2005. O trabalho foi realizado em duplas. A clientela total foi de 83 estudantes, na faixa etária de 15 a 25 anos.

Cada dupla recebeu uma cópia da atividade. Por meio da discussão das informações sobre as operadoras, buscamos levar os estudantes a perceber a relação existente entre o valor pago e o número de minutos utilizados em ligações, construindo tabelas e gráfi cos que retratavam de forma concreta essa relação de dependência.

Com raras exceções, os alunos demonstraram interesse na execução das questões, e mostraram dúvidas e difi culdades para escrever a expressão geral. Houve cooperação, com alunos monitores se prontifi cando a ajudar os colegas.

66 Ensino Médio

O quadro demonstrativo abaixo, em percentual, resume as respostas dos estudantes às questões propostas:

Questões Acertos Erros Em brancoletra a 84 % 16 % 0 %letra b 82 % 14 % 4 %letra c 72 % 21 % 1 %letra d 75 % 24 % 1 %letra e 66 % 29 % 5 %

Abaixo, transcrevemos algumas opiniões expressas pelos alunos após a atividade:

• Gostei, porque nos desperta para os desafi os da vida. (Alessandro)

• Tem que raciocinar bem e fazer as contas certinhas. (Vinícius)

• Requer muito raciocínio. (Edilaine)

• Uma oportunidade de testarmos nossos conhecimentos. No começo parecia ser muito difícil, mas depois vimos que não era um bicho de sete cabeças. Foi legal! (Jackson)

• Trabalhoso, mas deu para entender. (Daise)

• Este trabalho queimou o meu cérebro. (Juciane)

• Complicado e trabalhoso, mas, com concentração, fi ca fácil. (Bruno)

• Difícil, mas se esforçando dá para concluir a maior parte. (Bruna)

• Não gostei muito, tem muita conta e hoje não estava com cabeça. “Foi mal” professora! (Júnior)

Celular: uma ligação pensada 67


ROTEIRO DO ALUNO

Celular: uma ligação pensada

Eduardo quer comprar um celular e está analisando as propostas de quatro operadoras do mercado. Decidiu que escolherá o celular da operadora que tiver o plano pós-pago mais econômico para ele, que faz, em média, 80 minutos em ligações por mês.

Observações

•Todos os planos têm uma franquia, que é um valor fi xo que se paga por mês, e esta franquia dá direito a uma determinada quantidade fi xa de minutos (minutos inclusos). Se você ultrapassar este valor, você paga os minutos excedentes (adicionais).

• A tabela abaixo resume o resultado de uma pesquisa de mercado feita em outubro de 2005, analisando folders, visitando lojas autorizadas, por contato telefônico e pela Internet.

Operadora Franquia (R$) Minutos inclusos Preço por minuto adicional (R$)

Oi 39,80 40 0,99Tim 34,00 30 0,88Vivo 47,90 45 0,90Claro 35,00 36 0,97

a) Calcule o valor, em reais, que Eduardo pagaria, em cada uma das propostas acima descritas, por 80 minutos de ligações e assinale a melhor, ou seja, a mais econômica.

Oi ____________________________ Vivo _________________________________

Tim ___________________________ Claro _________________________________

b) Preencha a tabela abaixo com os valores a serem pagos de acordo com a quantidade de minutos indicada. Na última linha de cada tabela, você escreverá a expressão que representa o custo de um número n qualquer de ligações.

Oi Tim Vivo ClaroMinutos

de ligaçãoCusto Minutos



de ligaçãoCusto

30 30 30 3050 50 50 5070 70 70 7090 90 90 90110 110 110 110n n n n

68 Ensino Médio

c) A partir dos dados acima, construa o gráfi co de custos para cada operadora;

d) Se Eduardo precisar fazer 110 minutos em ligações no mês, a situação muda? Outra proposta, diferente da indicada na letra a, se torna mais vantajosa ?

e) No mês de dezembro, Eduardo está mais folgado no seu orçamento, e pode gastar em torno de R$ 90,00 em ligações. Quantos minutos ele poderá falar, segundo cada proposta?

Oi ⇒ ______ minutos

Tim ⇒ ______ minutos

Vivo ⇒ ______ minutos

Claro ⇒ ______ minutos

Dominó das funções 69


DOMINÓ DAS FUNÇÕES

ApresentaçãoElaboramos um jogo dominó das funções para alunos do ensino médio, explorando funções do 1º grau de forma lúdica. Busca-se despertar o interesse, a curiosidade e a vontade de realizar corretamente uma tarefa.

Nosso interesse pelo tema funções do 1º grau se deve ao fato de ser um assunto amplo e de grandes aplicações no cotidiano.

ROTEIRO DO ALUNO

Utilizando um dominó como o apresentado no modelo em anexo recortado em cartolina, jogar uma adaptação do jogo de dominó.

Regras• Jogar em grupos de 2 á 4 alunos (grupos de 4 de preferência).

• As peças serão distribuídas para os alunos e cada aluno receberá 7 peças.

• O jogo ocorrerá no sentido anti-horário.

• Para iniciar o jogo, cada aluno jogará um dado e aquele que obtiver o maior ponto iniciará o jogo. Se houver empate, eles sorteiam novamente entre eles.

• As peças deverão fi car voltadas para o aluno de maneira que o adversário não as veja.

• Os alunos poderão usar folha de papel para rascunho.

• Quando o aluno não possuir ou errar a peça de encaixe, irá comprar peças na mesa até conseguir encaixar ou até terminar as peças da mesa, passando a vez para o seguinte.

• Vence o jogo aquele que primeiro fi car sem nenhuma peça.

70 Ensino Médio

Objetivo principal do trabalhoEsta atividade tem por objetivo trabalhar o tema funções de forma lúdica, despertando assim o interesse do aluno pelo conteúdo.

Séries para as quais o trabalho está direcionado O jogo de Dominó das funções pode ser aplicado em todas as séries do ensino médio, e mesmo na oitava série do ensino fundamental, sendo utilizado sempre que o professor julgar necessário.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE Trabalhando o jogo Dominó das funções com seus alunos o professor estará explorando o conteúdo de funções do 1º grau, assim como resoluções das equações de 1º grau.

Número de aulas previstas Para a realização do jogo o professor deve utilizar, em média, 2 aulas de 50 minutos, tempo necessário para o entendimento das regras, efetivação do jogo e conclusão.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor O professor, ao observar o andamento do jogo, poderá verifi car difi culdades enfrentadas pelos alunos, concepções equivocadas sendo aplicadas (os demais parceiros reclamarão de uma jogada errada) e poderá ajudar os alunos a resolver estes problemas, ao mesmo tempo que avalia o processo de aprendizagem. Ao fi nal do jogo, o professor pode ainda solicitar aos alunos a avaliação da atividade.

Seqüência Pedagógica e AtividadesA atividade foi aplicada nas 3 séries do ensino médio. Seguem-se os principais comentários e observações.

Os alunos de todas as séries tiveram bastante difi culdade em encontrar o resultado dos zeros das funções, sendo comum entre eles os erros de cálculo. No entanto, mostraram interesse em realizar os cálculos e cooperaram com seus colegas.

Os alunos do 1º ano do ensino médio participaram, mas sentiram muita difi culdade para entender e para resolver os cálculos, sendo freqüentes os erros. Comentaram sobre o excesso e a difi culdade das contas.

Os alunos do 2º ano do ensino médio gostaram, pediram para preparar o jogo com outros conteúdos e erraram bem menos em relação aos alunos do 1º ano.

Dominó das funções 71


Os alunos do 3º ano fi zeram a atividade com muita boa vontade, também tiveram bastante interesse.

Alguns Comentários de AlunosLéo, 1º ano ensino médio:

- “Bom”

- “Porque força a pessoa usar a inteligência”.

Luana, 1º ano ensino médio:

- “Bom”

- “É bom porque a pessoa aprende brincando”.

Marcos, 1º ano ensino médio:

- “É um jeito novo de se aprender matemática”.

Aline, 1º ano ensino médio:

- “Excelente”

- “É fácil! È só ter um pouco de paciência para poder raciocinar e jogar.”

72 Ensino Médio

Modelo de dominó

Análise gráfica da função do 1º Grau 73


ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 1º GRAU1

Apresentação O trabalho proposto propõe a interação informática e matemática, através de um programa de gráfi cos – GRAPHMAT2 – que possibilita maior precisão e rapidez nas atividades e dinamiza as aulas, despertando o interesse dos alunos.

Com o apoio desse programa, os alunos podem construir e comparar vários gráfi cos em pouco tempo e modifi car os coefi cientes, observando imediatamente as mudanças de aspecto dos gráfi cos. Dessa forma, sua atenção pode se liberar de cálculos mecânicos para se focar em análises qualitativas mais profundas, relacionando as propriedades algébricas de cada reta com as características geométricas de sua representação gráfi ca. Caso a escola não disponha de laboratório computacional, esta atividade pode ser adaptada para malha quadriculada.

O objetivo desta proposta é que, juntamente com esse programa, o aluno seja estimulado a reconhecer um gráfi co da função do 1º Grau, do tipo f(x) = ax + b, com a ≠ 0, a ∈ R e b∈R , em especial, algumas relações existentes entre os coefi cientes e o gráfi co. Especifi camente, o aluno será direcionado a conhecer o coefi ciente angular e sua relação com a inclinação da reta e o coefi ciente linear e a interseção da reta com o eixo das ordenadas, além de reconhecer o decrescimento e crescimento da função do 1º Grau.

Objetivo principal do trabalhoO trabalho tem como objetivo o uso de um programa gráfi co para que o aluno conheça o gráfi co da função do 1º Grau, do tipo y = ax + b, com a ≠ 0, a ∈ R e b ∈ R e estabeleça relações entre os coefi cientes. O programa libera os alunos dos cálculos mecânicos, focando na observação das relações existentes entre os coefi cientes e o aspecto do gráfi co.

1 Este trabalho pode ser considerado como a união de dois trabalhos bastante semelhantes elaborados por professores. No entanto, apenas um deles indicava o uso do computador, o que foi mantido na redação fi nal, revista pela coordenação do curso, em conjunto com os professores responsáveis pelos grupos.2 Para maiores informações sobre o GRAPHMAT: ww.angel.fi re.com/ca/cammac ou por correio eletrônico: [email protected]

74 Ensino Médio

Séries para as quais o trabalho está direcionado A atividade está direcionada a alunos da 1ª série do Ensino Médio, mas pode ser usada na 8ª série do Ensino Fundamental, na introdução de função e, também, na 3ª série do Ensino Médio, como introdução ao Estudo da Equação Reduzida da Reta.

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE A proposta requer que o aluno tenha uma noção básica de informática, o uso do teclado (digitação) e o uso do mouse. Na área de matemática, o aluno deverá ter conhecimento em: sistema cartesiano ortogonal, coordenadas cartesianas, noção de ângulo e simetria.

O trabalho está ligado à Reorientação Curricular no campo algébrico-simbólico, na medida em que permite ao aluno perceber regularidades e explicitá-las, estabelecer relações entre grandezas variáveis e a desenvolver compreensão crítica da simbologia algébrica.

Especifi camente, mostraremos ao aluno que a função do tipo f(x) = ax + b, sendo a ≠ 0, a ∈R e b ∈ R tem o aspecto de reta e que os seus coefi cientes estão vinculados à posição da reta em relação aos eixos das abscissas e ordenadas, que o coefi ciente da variável x (a – denominado coefi ciente angular) está relacionado com a inclinação da reta, e o termo independente, (b – denominado coefi ciente linear) está relacionado com a interseção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y). Além disso, poder ser explorado o crescimento e decrescimento das funções.

Número de aulas previstas A quantidade de aulas prevista varia com o número de alunos e número de máquinas que tenha o laboratório de informática da escola, mas, em média, serão necessárias de 2 a 4 horas/aulas, não sendo necessário trabalho extra-classe.

Sugestão de organização da turma Os alunos devem ser organizados em dois por computador, podendo assim ambos terem acesso à máquina para fazerem outros exemplos, a fi m de auxiliar nas observações e conclusões; além disso, há a troca de opiniões sob pontos de vistas distintos.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor O professor deve orientar seus alunos na utilização do programa, explicar como e para que funciona, mostrar os comandos básicos que serão utilizados nesta atividade e deixar que descubram outros por conta própria. Deve acompanhar as discussões geradas pelas observações criadas pelo roteiro do aluno e direcionar as respostas para o objetivo, sem deixar de considerar as conclusões feitas pelos alunos que não são pertinentes à proposta, mas que poderão ser usadas em outro momento.



Espera-se que, por meio do roteiro, os alunos perceberão que o gráfi co de uma função do 1º Grau é uma reta (questão 1.1) ou reafi rmarão um conhecimento já adquirido anteriormente. A seguir, observarão que as funções desses gráfi cos, do tipo y = ax em que a ≠ 0, a ∈ R e b = 0, passam todas pela origem. O professor pode classifi cá-las como funções lineares.

Sobre o item 1.3, vale ressaltar que a observação que é feita pelo aluno sobre a inclinação da reta, em que, quanto maior o valor do a, coefi ciente angular, mais o gráfi co se aproxima do eixo das ordenadas, e, quanto menor o valor de a, mais o gráfi co se aproxima do eixo das abscissas, não serve para a questão 2.4, apesar do aluno ser levado a pensar que a relação pode ser a mesma. Nessa questão (2.4), observa-se que a sendo negativo a relação é inversa, quando menor o valor de a mais o gráfi co se aproxima do eixo das ordenadas e quando maior o valor de a mais o gráfi co se aproxima do eixo das abscissas. Nessas duas questões (1.3 e 2.5), o mais importante é conduzir o aluno a observar que o coefi ciente de x está diretamente relacionado com a inclinação da reta. Na 3ª série do ensino médio, esta idéia é aprofundada, por meio do estudo da tangente do ângulo formado pelo gráfi co com o eixo das abscissas, no seu sentido positivo, que será chamado de coefi ciente angular (ou declividade) da reta. O item 1.4 busca a generalização da relação observada no item acima. O aluno não deve usar o programa gráfi co para responder essa questão.

Apesar de não ser o objetivo específi co da proposta, na questão 2.2 e 2.3, podemos mostrar que o coefi ciente de x determina o crescimento ou decrescimento da função do 1º Grau, na qual a função é crescente quando o coefi ciente de x é positivo (a > 0) e é decrescente quando este é negativo (a < 0), além de trabalharmos os ângulos formados dessas retas (y = 2x e y = –2x) com o eixo das abscissas e também a simetria axial existente entres essas duas funções, em relação ao eixo y. A observação dos ângulos, novamente na 3º série do ensino médio, mostra que o módulo da tangente do ângulo formado nestes casos é o mesmo, porém com sinais diferentes.

Na questão 3, veremos a interseção do gráfi co com o eixo das ordenadas, estaremos trabalhando com funções do y = ax + b, onde a e b são números reais, e a ≠ 0, apresentando a classifi cação de função afi m para b ≠ 0. Nessas observações, é importante mostrar que o b, termo independente, determina a interseção com o eixo y, sendo denominado coefi ciente linear. Como resultado dessa atividade, queremos que o aluno seja capaz de identifi car a interseção da reta com o eixo y sem precisar recorrer ao desenho do gráfi co.

O item 3.3 revisita as conclusões sobre a interseção do gráfi co com o eixo das ordenadas, e mostra que essa interseção independente do valor do coefi ciente de x.

Na conclusão, espera-se que o aluno consiga juntar, com suas próprias palavras, todas as relações observadas no roteiro de forma coerente. A pequena redação faz com que o aluno organize seu raciocínio, porém, sempre deve ser orientado para o foco do objetivo, deixando os comentários não pertinentes à proposta para um outro momento.

No esquema abaixo, podemos estabelecer uma correspondência entre as linguagens utilizadas nos livros didáticos nos estudos de função do 1o Grau e na equação reduzida da reta:

76 Ensino Médio

A avaliação do trabalho realizado pode ser ampla: podem ser avaliados o trabalho em equipe, a socialização dos alunos, a disponibilidade de enfrentar o desafi o do uso da tecnologia. Além disso, pode-se avaliar se o aluno é capaz de estabelecer relações, com ou sem auxílio de seus colegas e de seu professor, se é capaz de desenvolver meios para responder certas questões sem o auxílio do gráfi co, usando suas próprias conclusões e, ainda, a generalização da idéia obtida no experimento para as demais funções do 1º Grau. Porém, não podemos desconsiderar os erros como etapas do processo de ensino–aprendizagem, que nos mostram como nossos alunos estão raciocinando.

Durante a aplicação piloto, após a realização da atividade e com o conhecimento adquirido dos comandos, os alunos sentiram-se à vontade para desenhar outros gráfi cos. No caso da função do 1º Grau, optaram por valores bem grandes para a e b, ou valores bem pequeno, observando o efeito no gráfi co. Ainda na função do 1º Grau, reconheceram o zero da função, na interseção com o eixo das abscissas, e também usaram o recurso de redução e ampliação do gráfi co para observar o gráfi co somente no seu lado positivo, ou no seu lado negativo. Os alunos resolveram sistema de equações lineares, utilizando o programa, viram a existência de interseção entre retas concorrentes, e em retas paralelas, que a mesma não existe. Desenharam funções de diversos graus, com a curiosidade de conhecer seus gráfi cos, e estabeleceram algumas relação entre funções de mesmo grau. Enfi m, a atividade despertou o interesse e a curiosidade dos alunos, que procuraram outras regularidades em funções e outras aplicações desta nova ferramenta.

Uma das difi culdades apresentadas por alguns alunos foi quanto ao uso do computador. Uns mostraram-se familiarizados com a máquina e outros nem tanto, mas, em pouco tempo, e com a ajuda mútua, todos estavam prontos para o desenvolvimento da atividade proposta. No decorrer da atividade, alguns alunos conseguiam fazer observações coerentes e, consequentemente, estabelecer as relações que eram nosso objetivo. Porém, outros se detinham em observações e relações não pertinentes à proposta, sendo necessária a orientação do professor. Outro fator foi a difi culdade em escrever as relações observadas, e a difi culdade de generalização para outros casos sem o uso do gráfi co.

Observação: Essa proposta de atividade pode ser realizada antes ou após do uso de lápis e papel para a construção do gráfi co da função do 1º Grau, mas não como substituição do



processo manual. É importante ressaltar que o computador nunca deve ser utilizado como único recurso, mas sim fi gurar como um item dentro de uma abordagem pedagógica ampla.

Gabarito da Folha de AtividadesAs respostas podem variar de acordo com as observações feitas pelos alunos, porém seguem as respostas mais coerentes, focando o objetivo da proposta.

1) Trace, na mesma janela gráfi ca, os gráfi cos das funções y = x ; y = 5x e y = 12

x.

1.1) O gráfi co dessas funções apresenta que forma? RETA

1.2) Todos os gráfi cos têm um ponto em comum, que ponto é esse? A ORIGEM

1.3)Observe os três gráfi cos traçados e diga que relação você notou entre as inclinações das retas e o coefi ciente de x? Se for necessário trace mais gráfi cos para ajudar, tais como,

y = 14

x, y = 3x, y = 10x e y = 18

x.

NESSES GRÁFICOS, ESPECIFICAMENTE, PERCEBE-SE QUE, QUANTO MAIOR O COEFICIENTE DE X, MAIS O GRÁFICO SE APROXIMA DO EIXO DAS ORDENADAS, E QUANTO MENOR O COEFICIENTE DE X, MAIS O GRÁFICO SE APROXIMA DO EIXO DAS ABSCISSAS.

1.4) Sem traçar os gráfi cos, como acha que seria o aspecto das funções y = 100 x e

y = 1100

x.

O GRÁFICO DE Y = 100X ESTARÁ BEM PRÓXIMO DO EIXO Y (ORDENADAS). JÁ O GRÁFICO Y = X , ESTARÁ BEM PRÓXIMO DO EIXO X ( ABSCISSAS).

Apague esses gráfi cos, usando na barra de ferramentas o comando APAGAR ECRÃ.

2) Agora, trace os gráfi cos das funções y = 2x e y = -2x.

2.1) Você acha que o menor ângulo formado por essas retas com o eixo x é o mesmo? Essas retas são simétricas em relação ao eixo y? SIM.

2.2) No gráfi co da função y = 2x, observe os valores de x; se ele cresce, o que acontece com os valores de y? OS VALORES DE Y TAMBÉM CRESCEM

2.3) No gráfi co da função y= -2x, observe os valores de x; se ele cresce, o que acontece com os valores de y? OS VALORES DE Y DESCRESCEM

2.4) Desenhe os gráfi cos das funções, y = -x; y = -5x e y = −12

x, você acha que a mesma

relação observada no item 1.3 serve para essas funções? NÃO

78 Ensino Médio

Apague os gráfi cos.

3) Trace, na mesma janela, os gráfi cos das funções y = x; y = x + 3; y = x – 4.

3.1) Em que ponto cada reta intercepta o eixo y.

Y = X NA ORIGEM

Y = X + 3 NO PONTO ( 0,3)

Y = X – 4 NO PONTO ( 0. 4)

3.2) Que relação você observa entre a interseção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e o a lei de formação dessa função. A INTERSEÇÃO DO EIXO DAS ORDENADAS É O TERMO INDEPENDENTE DA FUNÇÃO

3.3) Faça o mesmo para y = -x; y = -x + 3 e y = -x – 4 e responda as questões anteriores (terceiro grupo). AS RESPOSTAS SERÃO AS MESMAS, NOTE-SE QUE OS GRÁFICOS SERÃO DECRESCENTES.

Conclusão

Faça uma pequena redação sobre as relações observadas dos coefi cientes de x e o termo independente da função e a sua representação gráfi ca.

Resposta em aberto

Espera-se que os alunos sejam capazes de apresentar suas conclusões sobre as ligações entre os coefi cientes da função do 1o Grau e a aparência de seu gráfi co.

Como construir um gráfi co usando o GRAPHMAT?

Escolhemos, como primeiro exemplo, uma função do 1º Grau:

Introduzimos sua expressão no editor de funções do Graphmat:

→

e premimos a tecla ENTER.

y = 3x + 1



O programa desenha de imediato:

Em seguida, queremos a função y = 3x – 3 na mesma janela gráfi ca, procedemos do mesmo jeito descrito acima e aparecerá.

Se, após o desenho do gráfi co, não for possível, por exemplo, ver as interseções com o eixo y.

Use as teclas: , para reduzir ou aumentar o gráfi co.

Para apagar os gráfi cos desenhados, usamos a tecla APAGAR ECRÃ , na barra de ferramentas.

80 Ensino Médio

E podemos começar tudo de novo....

Barra de Botões

Função de cada botão:

Novo Gráfi co Observações

Abre um fi cheiro com funções anteriormente guardadas

Guarda as funções que estão em memória

Imprime

Copia para a área de transferência

Desenha o gráfi co da função que está no Campo de Edição

campo onde se introduz uma equação

Pausa, durante o desenho dos gráfi cos

Desenha todas as funções

Apaga os gráfi cos das funções que estão desenhadas

Esconde a equação que está no Campo de Edição

Apaga a equação que está no Campo de edição do ecrã e da Lista de equações

Lista de Funções: lista em memória com as últimas funções introduzidas

Amplia os gráfi cos

Reduz os gráfi cos

Grelha Padrão



Coordenadas de pontos

Encontra a derivada da função que está no Campo de Edição

Encontra a tangente num ponto da função

Encontra o integral da função no intervalo escolhido

82 Ensino Médio

ROTEIRO DO ALUNO

1) Trace, na mesma janela gráfi ca, os gráfi cos das funções y = x; y = 5x e y = 12

x.

1.1) O gráfi co dessas funções apresenta que forma?

1.2) Todos os gráfi cos têm um ponto em comum, que ponto é esse?

1.3) Observe os três gráfi cos traçados e diga que relação você notou entre as inclinações das retas e o coefi ciente de x? Se você achar necessário, trace mais gráfi cos para ajudar, tais como,

y = 14

x, y = 3x, y = 10x e y = 18

x.

1.4) Sem traçar os gráfi cos, como acha que seria o aspecto das funções y = 100 x e

y = 1

100 x?

Apague os gráfi cos traçados, selecionando APAGAR ECRÃ na barra de ferramentas.

2) Agora, trace os gráfi cos das funções y = 2x e y = –2x.

2.1) Você acha que o menor ângulo formado por essas retas com o eixo x é o mesmo? Essas retas são simétricas em relação ao eixo y?

2.2) No gráfi co da função y = 2x, observe os valores de x; se eles crescem, o que acontece com os valores de y?

2.3) No gráfi co da função y= –2x, observe os valores de x; se eles crescem, o que acontece com os valores de y?

2.4) Desenhe o gráfi cos das funções, y = -x; y = -5x e y = −12

x ; você acha que a mesma relação observada no item 1.3 serve para essas funções ?

Apague os gráfi cos

3) Trace, na mesma janela, os gráfi cos das funções y = x; y = x + 3 ; y = x – 4.

3.1) Em que ponto cada reta intercepta o eixo y.

3.2) Que relação você observa entre a interseção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e a lei de formação dessa função?

3.3) Faça o mesmo para y = –x; y = –x + 3 e y = –x – 4 e responda os itens anteriores desta questão.

Conclusão

Faça uma pequena redação sobre as relações observadas entre o coefi ciente de x e o termo independente da função e a sua representação gráfi ca.

Função Polinomial do 2º Grau 83


FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

ApresentaçãoAprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, se apropriar de linguagens específi cas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação. (PCN+)

A noção de função como conceito matemático individualizado e como objeto de estudo se desenvolveu a partir do fi nal do século XVII até o século XIX. Portanto, trata-se de um conceito não muito antigo.

O estudo de funções sempre teve aplicações nas mais diversas áreas, sendo seu surgimento também motivado pela necessidade de aplicação na ciência, especialmente em questões envolvendo movimento.

Apresentamos o conceito de função baseado na relação de dependência entre duas grandezas, deixando de lado a defi nição formal de função apoiada no produto cartesiano e na relação entre dois conjuntos.

A leitura e interpretação de gráfi cos – habilidade fundamental na formação matemática do aluno – é iniciada a partir de recortes de jornais e revistas, nos quais o aluno percebe, de modo informal e intuitivo, propriedades das funções que eles representam.

De modo geral, procuramos introduzir as funções a partir de contextualizações, ou seja, situações que guardam relação com temas de nosso cotidiano.

Correlação com as diretrizes curriculares

Séries para as quais o trabalho está direcionado

1ª série do ensino médio

84 Ensino Médio

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE

Funções, função polinomial do 2º grau

Objetivo principal do trabalho

Neste roteiro, propomos uma seqüência de atividades para familiarizar os estudantes com a função polinomial do 2º grau. Mais especifi camente, visamos a exploração das seguintes propriedades de função polinomial do 2º grau:

1. Identifi car em dada situação-problema as informações ou variáveis relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la.

2. Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos para situações-problema.

3. Estabelecer relações, identifi car regularidades.

4. Analisar gráfi cos

Conhecimento prévio assumidoAs atividades propostas exigem conhecimento de equações de 2º grau, sistema cartesiano de coordenadas, conceito de função, domínio, contradomínio e conjunto imagem.

Equívocos e pré-concepçõesAlguns alunos poderão demonstrar difi culdade em resolver potências, difi culdade de localização de pontos no plano cartesiano e difi culdade na representação de valor numérico.

Recursos necessáriosSão necessários papel milimetrado, régua, calculadora e computador, este último caso a escola possua um laboratório de informática.

Sabemos que não é mais possível pensar em um ensino de Matemática que desconsidere o uso das tecnologias de informação e comunicação tanto para aumentar a efi cácia do ensino quanto para desenvolver no aluno o senso crítico, o pensamento hipo¬tético e dedutivo, a capacidade de observação, de pesquisa e estratégias de comunicação.

Nossa experiência indica que, quando usada de modo planejado, a calculadora não inibe o pensamento matemático; pelo contrário, tem efeito motivador na resolução de problemas, estimula processo de estimativa e cálculo mental, dá chance aos professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na elaboração de conceitos e na percepção de regularidades. A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem mais confi ança para trabalhar com problemas e buscar novas experiências de aprendizagem.



Do mesmo modo que a calculadora, o uso do computador na escola visa uma educação tecnológica, além de liberar o aluno de tarefas mais técnicas, auxiliar no pro¬cesso de investigação de problemas matemáticos e permitir melhor gerenciamento do tempo e das ações de ensino e aprendizagem.

Atividades a serem realizadas antes do desenvolvimento dos roteirosSugerimos que o professor faça atividades das seguintes naturezas:

• Revisão de potenciação.

• Revisão de valor numérico.

• Introdução do sistema cartesiano de coordenadas.

• Introdução do conceito de função

• Apresentação de gráfi cos com a fi nalidade de exercitar a leitura e a interpretação do mesmo.

Atividades a serem realizadas durante o desenvolvimento dos roteirosSugerimos que as atividades sejam feitas em seqüência, de modo a propiciar aos alunos o correto entendimento a que se propõem, desenvolvendo o processo investigativo. Sugerimos também que essas atividades sejam realizadas em grupos.

O professor deverá selecionar previamente um recorte de jornal ou revista em que apareça o gráfi co de uma função, analisando e interpretando esse gráfi co para extrair informações signifi cativas a seu respeito. A partir daí, o professor deve fazer com que os alunos descubram outras funções que são encontradas no seu dia-a-dia, para assim mostrar que podemos relacionar a função polinomial do 2º grau com alguns esportes.

Atividades a serem realizadas após o desenvolvimento dos roteirosSugerimos discussões sobre as atividades realizadas, incentivando os alunos a procurarem outros esportes que possam se relacionar com qualquer função. Por exemplo: ginástica olímpica feminina, atletismo e saltos ornamentais.

Explorações adicionaisAlém da exploração de situações concretas, sugerimos que o professor faça uma “parceria” com a professora de educação física e organizem atividades esportivas que dêem oportunidades aos alunos de registrarem alguns lances que façam referência às atividades trabalhadas em aula.

86 Ensino Médio

ROTEIRO DO ALUNO

Função Polinomial do 2º grau

Atividade 1: A trajetória da bola, num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h t t= − +2 6 , determine:

a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Atividade 2: Num jogo de futebol, o fotógrafo registrou um momento único, em que o jogador deu o chute que defi niu a partida e deu o título a seu time. A fotografi a saiu na capa dos jornais locais; uma equipe de TV do telejornal, usando recursos tecnológicos, realizou um “tira-teima” em que se pode apurar a velocidade da bola e, entre outras informações, que a trajetória da bola se assemelhou a uma parábola. Se considerarmos que a trajetória da bola seguiu uma função defi nida por f x x x( ) = − + −2 6 5 , determine:

a) o alcance da bola.

b) a altura máxima da bola.

Atividade 3: Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação

y x x= − + +17

87

22 , na qual os valores

de x e y são dados em metros.

Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3m de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.



Atividade 4: Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador Paulão chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e, quando começou a cair da altura máxima de 9m, sua sombra encontrava-se a 16m da linha do gol. Após o chute de Paulão, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.

A representação gráfi ca do lance em um plano cartesiano está sugerida na fi gura abaixo:

A equação da parábola era do tipo:

y x c= − +2

36

O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:

a) na baliza

b) atrás do gol

c) dentro do gol

d) antes da linha do gol

88 Ensino Médio

ENSINO DE FUNÇÕES INVERSAS NO ENSINO MÉDIO

ApresentaçãoO contexto contemporâneo da educação matemática vem sendo marcado pela crescente utilização das tecnologias informáticas. O uso destes recursos tem facilitado a apreensão do saber matemático ao permitir o desenvolvimento das habilidades de visualização, manipulação e refl exão, freqüentemente ausentes nas aulas tradicionais. Desta forma, a presente pesquisa visou desenvolver atividades explorando o conteúdo de função inversa através de exemplos do dia-dia.

Utilizamos representações gráfi cas com recurso Winplot, promovendo, dentro de uma abordagem construtivista, a facilitação da compreensão dos conceitos matemáticos abstratos expostos pelo conteúdo.

Objetivo principal do trabalhoO objetivo geral deste trabalho é fornecer ao professor de matemática uma nova alternativa didática, realizada com sucesso em turmas do ensino médio, em que os alunos são participantes ativos do processo ensino-aprendizagem e o professor mediador nesse processo.

Séries para as quais o trabalho está direcionado 1a série do ensino médio

Conteúdos matemáticos associados e ligações com o documento de reorientação curricular da SEE • Funções.

• Para a realização das tarefas propostas, é necessário que o aluno tenha conhecimento de tópicos como frações equivalentes, números decimais, funções, domínio, imagem, raízes (interceptação da função no eixo x). Assim, o professor pode introduzir a discussão dos tópicos de funções inversas e a construção de gráfi cos nas demais etapas do projeto.

• Este documento sugere ao professor que aborde os conceitos matemáticos, sempre que possível, de maneira interdiciplinar, priorizando a qualidade de ensino, ou seja, a abordagem dos conteúdos deve estar de acordo com a necessidade real do educando. Este trabalho está organizado dessa forma, podendo ser adaptado para diversas realidades.

Ensino de Funções Inversas no Ensino Médio 89


Recursos necessáriosSoftware Winplot.

Objetivos específicos a serem alcançados Espera-se que o aluno seja capaz de compreender o conceito de função inversa. O aluno poderá construir tabelas e gráfi cos, para melhor análise de seus dados, utilizando o programa Winplot, que é gratuito e está disponível para dowload na página:www.ensino.univates.br/~chaet/download.html

Número de aulas previstas Acreditamos que será necessária uma revisão dos conceitos introdutórios. Para a pesquisa, cerca de uma semana, enquanto os novos conceitos são discutidos (aproximadamente 6(seis) tempos). É importante lembrar que a abordagem dos conteúdos varia de acordo com o grau de maturidade da turma, não havendo assim, um número exato de aulas previstas.

Sugestão de organização da turma A turma pode ser dividida em grupos de 4 ou 5 componentes, tendo estes suas funções pré-estabelecidas, incluindo a construção dos gráfi cos no Winplot.

Sugestão para aplicação e acompanhamento da atividade pelo professor Sugerimos que o professor, desde o início do projeto, incentive seu aluno e o estimule sempre que realizar uma atividade, por mais simples que ela seja. É papel do professor orientar e atuar para modifi car as limitações de seu aluno, embora as compreenda. A aplicação desta atividade deve atender ao interesse do aluno ou do grupo social em que vive, para que o mesmo participe com maior entusiasmo. O professor deve apresentar às turmas sua proposta de trabalho através de um roteiro que deve ser seguido passo a passo pelos alunos.

O professor poderá avaliar o trabalho, quanto à organização, clareza e interpretação dos gráfi cos realizados e análise dos dados, assim como a participação dos componentes do grupo.

Ao fi nal da atividade 2, o professor deverá começar a traduzir em linguagem matemática as condições para que uma função seja inversível. O professor poderá perguntar o que não pode acontecer para que uma função possua inversa. A resposta esperada é: para que uma função possua inversa, ela nunca pode assumir duas ou mais vezes o mesmo valor. O professor deverá dizer que funções com essas propriedades são ditas um a um ou injetoras ou injetivas. Simbolicamente: x x f x f x1 2 1 2≠ ⇒ ( )≠ ( ) . Ou, equivalentemente: f x f x x x1 2 1 2( )= ( )⇒ = .

Na atividade 3, o professor deverá fi xar estas idéias utilizando o Winplot para traçar gráfi cos de funções polinomiais e orientando as conclusões dos alunos.

90 Ensino Médio

ROTEIRO DO ALUNO

Ensino de Funções Inversas no Ensino Médio

Atividade 1: Cultura de Bactérias

A tabela 1 tem os dados do desenvolvimento de uma cultura de bactérias, em um meio de nutrientes limitados:

N: número de bactérias (em milhares)t: tempo (em horas)

Neste caso, consideramos o número de bactérias em função do tempo: N f t= ( ) . Podemos calcular o número de bactérias correspondentes a cada instante de interesse?

E se perguntássemos de forma inversa: em que instante o número de bactérias atingiu um certo valor?

Agora, consideramos o tempo em função do número de bactérias. Essa função, chamada função inversa de f, é denotada por: t f N= −1( ) e indica o tempo necessário para o nível da população atingir um valor N.

Para determinarmos os valores de f −1 basta observar a tabela 1 de forma reversa ou, se preferir, escrevê-la como na tabela 2.

Tabela 1

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8N 100 168 259 358 445 509 550 573 586

Tabela 2

N 100 168 259 358 445 509 550 573 586t 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Atividade 2: Preço Máximo

Vamos considerar uma loja cujo preço máximo de cada produto seja R$ 1.99. Para cada um de seus produtos, foi fornecido um código numérico para identifi car o preço, como mostra a tabela abaixo:

Códigos Preço (em R$)001 a 100 0,99101 a 200 1,29201 a 300 1,59301 a 500 1,99

Ensino de Funções Inversas no Ensino Médio 91


Qual o preço dos imãs para geladeira (código 105)? E do conjunto de ferramentas (código 178)?

E se fi zéssemos a pergunta: Qual o produto que custa R$ 1.29? Esta pergunta teria uma única resposta? Na verdade, teríamos que responder cem produtos diferentes.

Assim, concluímos que podemos identifi car o preço dos produtos (p) em função de seus códigos (r), escrevendo p f r= ( ) . No entanto, o inverso, isto é identifi car os códigos dos produtos em função de seus preços não é possível. Em outras palavras, a função p f r= ( ) não admite função inversa.

Atividade 3 Funções Polinomiais

Utilizando o Winplot, trace os gráfi cos de y x n= , para diversos valores (inteiros positivos) de n. Observe os gráfi cos traçados e responda: para que valores de n a função y f x= ( ) traçada é inversível? Justifi que sua resposta.

92 Ensino Médio

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Documentos

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Documents

Caderno Atividades RJ Matematica_EM_v3