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Caderno de AtividadesEstatística

Disciplina Administração

Coordenação do CursoFernando Conter Cardoso

AutorMarcio Luis Carreira

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© 2012 Anhanguera PublicaçõesProibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012.

Como citar esse documento:

CARREIRA, Marcio Luis. Estatística

Valinhos, p. 1-85, 2012.

Disponível em: www.anhanguera.com

Acesso em: 01 fev. 2012

Chanceler

Ana Maria Costa de Sousa

Reitora

Leocádia Aglaé Petry Leme

Pró-Reitor Administrativo

Antonio Fonseca de Carvalho

Pró-Reitor de Graduação

Eduardo de Oliveira Elias

Pró-Reitor de Extensão

Ivo Arcangêlo Vedrúsculo Busato

Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação

Luciana Paes de Andrade

Diretor Geral de EAD

José Manuel Moran

Diretora de Desenvolvimento de EAD

Thais Costa de Sousa

Gerente Acadêmico de EAD

Fábio Cardoso

Coordenadora Pedagógica de EAD

Adriana Aparecida de Lima Terçariol

Coordenadora de Controle Didático-Pedagógico EAD

Geise Cristina Lubas Grilo

Diretor da Anhanguera Publicações

Luiz Renato Ribeiro Ferreira

Núcleo de Produção de Conteúdo e Inovações Tecnológicas

Diretora

Carina Maria Terra Alves

Gerente de Produção

Rodolfo Pinelli

Coordenadora de Processos Acadêmicos

Juliana Alves

Coordenadora de Ambiente Virtual

Lusana Verissimo

Coordenador de Operações

Marcio Olivério

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Glossárioza b

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Leitura Obrigatória

Agora é a sua vez

Vídeos

Links Importantes

Ver Resposta

Finalizando

Referências

Início

Legenda de Ícones

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Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principal motivo do seu crescimento.

Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações e programas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino, pesquisa de iniciação científica e extensão.

Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências do mundo em constante transformação.

Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentos no corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nas metodologias e nos Programas Institucionais, tais como:

· Programa de Iniciação Científica (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para o desenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores.

· Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudos para docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado.

· Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preços acessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores.

· Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal, psicopedagógica e financeira aos alunos.

· Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social, permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneficiando a comunidade no acesso aos bens educacionais e culturais.

A fim de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenham sucesso no mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suas instituições. As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundem os valores da Anhanguera.

Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidade em todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distância da Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadores habilitados na área pedagógica com a mesma finalidade: aliar os melhores recursos tecnológicos e educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para o desenvolvimento pessoal e profissional de nossos alunos.

A todos bons estudos!

Prof. Antonio Carbonari NettoPresidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional

Nossa Missão, Nossos Valores

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Sobre o Caderno de AtividadesCaro (a) aluno (a),

O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividades digitalizado. Isso significa que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos links de sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você também poderá imprimi-lo.

Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lo na aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientando seus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos das aulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempo e dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor-tutor a distância.

Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal e profissional.

Um ótimo semestre letivo para você!

José Manuel Moran

Diretor-Geral de EADUniversidade Anhanguera – Uniderp

Thais Sousa

Diretora de Desenvolvimento de EAD Universidade Anhanguera – Uniderp

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Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Assim, para que você faça um bom estudo, siga atentamente os passos seguintes:

1. Leia o material didático referente a cada aula.

2. Assista às aulas na sua unidade e depois disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem para você; (sugestão: Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem).

3. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro.

4. Participe dos Encontros Presenciais e tire suas dúvidas com o tutor local.

5. Após concluir o conteúdo dessa aula, acesse a sua ATPS e verifique a etapa que deverá ser realizada.

Caro Aluno,Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro “Guia de Implementação

de Marketing de Relacionamento e CRM, do autor Roberto Madruga, editora Atlas

2010, Livro-Texto 390.

Roteiro de Estudo

Prof. Marcio Luis Carreira Estatística

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Estatística Descritiva

Tema 1

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Conteúdo

Nesta aula, você estudará:

• Aimportânciadaestatística.

• Osconceitosdevariáveis,populaçãoeamostra.

• Asfasesdométodoestatístico.

Habilidades

Aofinal,vocêdeverásercapazderesponderasseguintesquestões:

• Oqueéumapopulaçãoeumaamostradeumestudo?

• Comoselecionardadosqualitativosequantitativos?

• Qualaimportânciadoestudodaestatística?

• Quaisastécnicasdeamostragem?

Conteúdos e Habilidades

AULA 1

Assista às aulas nos polos presenciais e também às disponíveis no Ambiente Virtual de

Aprendizagem para você.


Estatística Descritiva

Durante os estudos do tema 1, você encontrara as definições iniciais sobre o estudo e importância da estatística. Após definir uma população de estudo é possível extrair amostras dessa população para estudo, assim consegue-se, dentro de padrões da estatística, reduzir custos com a pesquisa e obter resultados pertinentes à população utilizando-se a amostra. De acordo com as variáveis utilizadas para estudo, poderá separá-las distintamente entre qualitativas, que demonstram um atributo, como exemplo, sexo, etnia, e quantitativas, que demonstram números, como exemplo, renda de uma família, filhos.

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Com esses dados separados e seguindo as fases do método estatístico, a estatística descritiva é a primeira a ser utilizada para uma análise mais simplificada. A partir dos dados obtidos na amostra é possível extrair uma média que serve como parâmetro para os demais resultados. Esses dados poderão ser trabalhados de forma agrupada (comumente utilizada), ou não agrupada (para pequenas amostras). Independente do tratamento a ser utilizado (agrupada ou não), a estatística descritiva poderá ser utilizada para observar qual valor mais frequente na amostra, e qual será a posição que separa a amostra em exatamente duas partes iguais, para que seja possível trabalhar com essas partes em separado, optando por uma decisão mais focada, por exemplo.

Entretanto, você percebe outro fator de importância no estudo da estatística descritiva, e, novamente dentro do método estatístico é a apresentação dos dados coletados. Essa apresentação normalmente é feita por meio de tabelas e/ou gráficos. Assim, quando um noticiário na mídia apresenta uma reportagem sobre o consumo das famílias brasileiras, geralmente é elaborado um gráfico para demonstrar a evolução do consumo, baseando-se em dados anteriores, ou ainda separado por categoria, como por exemplo: alimentação, bens de consumo duráveis (geladeira, fogão), veículos. Os gráficos proporcionam uma melhor visualização da situação, e esteticamente melhor apresentável que uma tabela. Imagine este mesmo gráfico do consumo das famílias brasileiras sendo apresentado em forma de tabelas nos grandes telejornais.

A estatística descritiva também auxilia no processo de decisões, por meio da análise das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e pela variabilidade. Assim, quando se fala de um conjunto de dados, a referência é a população ou a amostra. Se o objetivo é a inferência estatística, serão utilizadas medidas descritivas numéricas da amostra para fazer inferência sobre as medições correspondentes a população. A análise dessas medidas descritivas será quanto a tendência central e a sua variabilidade (dispersão dos dados).

A mais conhecida e melhor compreendida medida de tendência central é a média aritmética, ou simplesmente média, de um conjunto de dados. A média aritmética de um conjunto de dados quantitativos é a soma das medições dividida pelo número de medições contidas no conjunto de dados.

A mediana divide o conjunto de dados em duas partes iguais (50% - 50%), em algumas situações pode ser uma melhor medida de tendência central do que a média sendo de muito valor quando se está descrevendo grandes conjuntos de dados. Especificamente, a mediana é menos sensível do que a média em medições extremamente grandes ou pequenas. A mediana, portanto, é o número do meio quando as medidas são organizadas em ordem ascendente (ou descendente).

Uma terceira medida de tendência central é a moda de um grupo de medições. A moda é medição que

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ocorre com mais frequência no conjunto de dados. Para dados agrupados, a moda é o valor que mais aparece, isso aparentemente pode causar alguma indecisão sobre o valor da moda. Porém, o que deve ser lembrado é da definição “valor que mais aparece”, assim pode-se definir qual é a classe modal (classe com maior frequência de observações) e em seguida utilizar-se da equação de Czuber para determinar a moda para dados agrupados.

Medidas de tendência central proporcionam apenas uma descrição parcial de conjunto de dados quantitativos. A descrição é incompleta sem uma medida de variabilidade, ou dispersão, do conjunto de dados. Conhecer a variabilidade dos dados juntamente com seu centro pode ajudar a visualizar o formato do conjunto de dados, assim como seus extremos.

Uma medida de variabilidade bem simples é a amplitude, ou seja, a diferença entre os valores extremos de dados (maior valor – menor valor). Porém, as medidas de variabilidade mais utilizadas são: a variância e o desvio padrão. A variância da amostra de n medições é igual a soma dos desvios da média ao quadrado, dividido por (n – 1). Na variância quando é utilizado a potência 2 (ao quadrado) é para evitar números negativos, uma vez que os desvios da média nada mais é do que um ponto da amostra subtraído o valor da média, que dependendo do valor poderá ser negativo, mas quando se “eleva” ao quadrado, o efeito do sinal negativo não aparecerá. Já o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

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Questão 01(PROVÃO, 2001 – Economia) Para fazer inferência sobre a média de rendimen-tos da população brasileira, é possível se basear em uma amostra aleatória fornecida pelos resul-tados de uma pesquisa, tomando a média arit-mética dos valores observados nessa amostra. Se estiver interessado em diminuir o tamanho de um intervalo de confiança para esta estimativa da média, sem a tornar viesada, uma saída pos-sível seria:a) Descartar da amostra as observações relati-

vas aos trabalhadores que estão no primeiro quartil da distribuição de rendimentos.

b) Descartar da amostra as observações rela-tivas aos trabalhadores que estão no último quartil da distribuição de rendimentos.

c) Descartar da amostra as observações relati-vas aos trabalhadores que estão no primeiro e último quartis da distribuição de rendimentos.

d) Aumentar o tamanho da amostra.e) Aumentar o nível de confiabilidade desejado

para o intervalo (por exemplo, 90% para 95%).

Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão 02As fases do método estatístico são:a) Coleta de dados, crítica dos dados, apuração

dos dados, apresentação dos dados e análise dos resultados.

b) Apuração dos dados, coleta dos dados, apre-sentação dos dados, crítica dos dados e aná-lise dos resultados.

c) Crítica dos dados, coleta dos dados, apuração

Agora é a sua vezINSTRUÇÕESDesenvolva as atividades objetivas, procu-rando localizar as respostas a partir do Li-vro-Texto e de outros livros de apoio dispo-níveis em sua biblioteca.As respostas devem ser apresentadas em textos claros, objetivos e específicos a cada proposta. Tenha sempre em mãos calcula-doras para desenvolver os cálculos quan-do necessário. Não se esqueça do processo matemático, ou seja, desenvolver o cálculo linha a linha. Não pule etapas, pois um sim-ples cálculo pode fazer diferença em sua resposta. Para padronização, utilize 4 (qua-tro) casas decimais após a vírgula.

Ponto de PartidaEm uma visita familiar (com seus pais, avós, tios) de final de semana, anote quantos in-tegrantes há na família. Separe os dados qualitativos e monte um gráfico que conte-nha quantos do sexo masculino e quantos do sexo feminino. Depois anote os dados referentes aos pesos de cada um, não im-portando aqui a separação entre sexo mas-culino/feminino. Em seguida, tabule os da-dos (coloque que tabela), mas não utilize dados agrupados. Faça o cálculo da média dos pesos de sua família. Qual o peso mais encontrado? Discuta os resultados com seus familiares.

Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu!

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Questão 04A técnica para recolher amostras ao acaso, tanto quanto possível, é chamada:a)Variávelcontínua.b)Variáveldiscreta.c)Amostragem.d)Amostragemestratificada.e)Amostragemtendenciosa.


Questão 05AogivadeGaltonéumgráficoquerepresen-ta:a) Uma distribuição de frequência é formada

por um conjunto de retângulos justapos-tos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal.

b)Umadistribuiçãodefrequênciasimples.c)Umintervalodeclasse.d) Uma amostra aleatóriae)Umadistribuiçãodefrequênciacumulativa.


Questão 06O departamento de recursos humanos de uma empresa precisa recrutar internamente, com a finalidade de criar um novo departa-mento, que será intitulado de departamento de inteligência. Para isso será preciso quetodos os departamentos façam uma amostra estratificadaem10%deseuquadrode fun-

dos dados, apresentação dos dados e análise dos resultados.

d) Coleta de dados, apresentação de dados e análise dos resultados.

e) Coleta de dados e análise dos resultados ape-nas.


Questão 03Sobreadistribuiçãodefrequência.I. É uma tabela quemostra classes ou inter-

valos de entrada de dados com um número totaldeentradasemcadaclasse.

II. Para determinar o número de classes emuma distribuição de frequência, utiliza-se a regra de Sturges, em que: i (número de clas-ses)=1+3,3xlogn.naqualnéonúmerototaldedados.

III.Afrequênciasimplesdeumaclasseéonú-mero de observações encontradas na amos-traquepertenceaointervalocalculado.

IV.Afrequênciasimplesacumuladaaoseufi-nal tem que ter como resultado o mesmo númerodeobservaçõesdopontomédio.

Está(ão)correta(s)a(s)afirmativa(s):a)Iapenas.b)IVapenas.c)IIIapenas.d)I,II,IIIapenas.e)I,IIapenas.


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Questão 08Com base no exercício anterior, calcule a mé-diaparadadosagrupadosenãoagrupados.


Questão 09Para dados agrupados e utilizando-se da regradeCzuber,calculeamoda.Equaléamodaparadadosnãoagrupados?


Questão 10Faça uma análise dos resultados obtidos, se você fosse o gerente dessa agência, qual se-riaoseuplanejamentoparaopróximoano?


cionários para a criação do novo departamen-to.Deacordocomosdadosaseguir,pede-se:a) o número a ser liberado de funcionários de cada departamento existente; b) o número de funcionáriosdonovodepartamento.Departamento FuncionáriosRecursos Humanos 7Marketing e vendas 35Financeiro 17Produção 41

Atenção:Asquestõesde7a10devemserres-pondidasbaseadasnoenunciadoaseguir.

Uma agência bancária pesquisou entre seus clientesosvaloresemprestadosporeles.As-simpara uma amostra de 40 clientes obtive-ram os seguintes dados (todos em R$):

800 1350 2000 1750 1100 750 500 3500 900 1500

2200 2500 1600 1450 1400 1200 1000 1000 950 3300

3000 2350 1800 1750 1650 1600 2000 2100 3100 3000

2000 1500 700 600 750 1100 2100 1800 1900 3650


Questão 07Responda: a) Pela regra de Sturges, calcule o número de

classes.b) Monte a tabela de distribuição de frequên-

ciasparaosdadosacima.(Dica:montenasequência 4 número de classes; interva-lo; frequência simples; frequência simples relativa; frequência acumulada; frequência acumulada relativa; ponto médio; produto dafrequênciasimplescomopontomédio).

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Você quer saber mais sobre esse assunto? Então:

• Acesse o site: IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/>. Acesso em: 26 jul. 2012. Verifique as metodologias das pesquisas realizadas por eles.

• Leia o artigo: PETERNELLI, Luiz Alexandre. Estatística Descritiva. Disponível em: <http://www.each.usp.br/rvicente/Paternelli_Cap2.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012.O autor explica a estatística descritiva dividida em duas áreas: estatística indutiva e descritiva.

• Leia o artigo: GUEDES, Terezinha Aparecida; ACORSI, Clédina Regina Lonardan. Estatística Descritiva. Disponível em: <http://www.tecnicodepetroleo.ufpr.br/apostilas/matematica/estatistica_descritiva.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012. O artigo faz a introdução da estatística e mostra exemplos da estatística descritiva

Nesse tema, você viu que a estatística está presente em todos os setores, nas empresas, no governo, em saúde. A amostra é uma parte da população a ser estudada e por meio dos dados obtidos pela amostra, sendo possível desenvolver gráficos e análises de resultados para futuros planejamentos. Assim, você percebeu que a estatística é de grande importância para análises descritivas de diversos processos e preocupações práticas de instituições.

LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS everificaraetapaquedeveráserrealizada.Bonsestudos!

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Probabilidade

Tema 2

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Conteúdos e HabilidadesConteúdo


• Oconceitodeprobabilidade.

• Aaplicaçãodaprobabilidadenosnegócios.

• Aimportânciadousodaspropabilidades.

Habilidades


• Comoutilizaraprobabilidadecomoestimadordevalor?

• Comoépossívelminimizarosriscoscausadoseminvestimentos,negócios,vendas?

• Qualaimportânciadoestudodaprobabilidade?

• Comoocorreasdistribuiçõesdeprobabilidade?

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AULA 2

Assista às aulas nos polos presenciais e também às disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem para você.

Probabilidade

Apenas a estatística descritiva não basta para análise detalhada, é preciso criar estimativas para eventos futuros, e é nesse momento que o estudo de probabilidade se faz necessário. É a probabilidade, um percentual de chance, que um determinado evento pode ocorrer, por exemplo, aos administradores financeiros, qual a probabilidade das ações de sua empresa atingir o preço de R$ 100,00 até o fim do ano? A probabilidade está presente em todos os setores da empresa produção, qualidade, financeiro e principalmente, o comercial. Qual a probabilidade de um vendedor não atingir a sua cota diária? Sabe-se que o planejamento da empresa está ligado diretamente ao volume de vendas, pois assim é garantido o lucro ao final do ano.

Um experimento é um ato ou processo de observação que leva a um único resultado que não pode ser previsto. Com isso, um espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os seus pontos amostrais, que, por sua vez, é o resultado mais básico de um experimento. A probabilidade de um ponto amostral é um número de 0 a 1, incluindo-os, que mensura a possibilidade de que o resultado vá ocorrer quando o experimento for realizado. Assim sendo, esse número é normalmente tomado como a frequência relativa de ocorrência de um ponto amostral em uma longa sequência de repetições do experimento. Portanto, qualquer que seja a forma de atribuição de probabilidades para pontos amostrais, essas probabilidades devem obedecer a duas regras, seja pi representando a probabilidade do ponto amostral i, então, a) todas as probabilidades dos pontos amostrais devem estar entre 0 e 1 (isto é, 0 ≤ pi ≤ 1); b) as probabilidades de todos os pontos amostrais dentro de um espaço amostral devem somar 1 (isto é, ∑pi = 1).

Atribuir probabilidades a pontos amostrais é fácil para alguns experimentos, como exemplo, se o experimento for lançar uma moeda regular e obter sua face, a designação de sua probabilidade nada mais é que 0,5 para os dois pontos amostrais, ou seja, 50% para cara; 50% para coroa. Entretanto, existem muitos experimentos cujas probabilidades são mais difíceis de atribuir.

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Ainda que as probabilidades de pontos amostrais frequentemente interessem por si só, normalmente as probabilidades de conjuntos de pontos amostrais é que são importantes, para isso é preciso definir quais os pontos amostrais que pertencerão ao evento, e, na sequência, seja testado cada ponto amostral no espaço amostral.

Com isso, a probabilidade de um evento A é calculado somando-se as probabilidades dos pontos amostrais no espaço amostral de A. Voltando ao exemplo do lançamento de uma moeda, agora pode descrever da seguinte forma:

P(A) = n(A) ÷ n(S), em que,

P(A): é a probabilidade de ocorrer o evento A.n(A): é o número exato da resposta desejada.n(S): é o número de respostas possíveis.

Assim se o evento A for “tirar cara”:E = tirar cara 4 n(A) = 1O espaço amostral seria:S = {cara, coroa} 4 n(S) = 2

Com isso, a equação ficaria:

P(A) = 1 ÷ 2 = 0,5 ou 50%.

Isso demonstrou a atribuição de 0,5 para a probabilidade do lançamento de uma moeda.No entanto, pode-se acrescentar outros eventos ao estudo de probabilidade.

Uma delas são os eventos complementares. O complemento de um evento A é o evento que não ocorre, isto é, o evento que consiste em todos os pontos amostrais que não estão no evento A.

Outro evento é o mutuamente exclusivo, no qual dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de A e B é igual à soma das probabilidades de A e B.

Eventos independentes são aqueles em que, ao realizar um evento, não irá interferir no outro evento a ser realizado. Assim, utilizando-se da multiplicação de probabilidades você encontrará o resultado para os eventos independentes.Quando você dispõe de conhecimentos adicionais que podem afetar as chances do resultado de um

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experimento, de modo que necessite alterar a probabilidade de interesse, uma probabilidade que reflete esse conhecimento adicional é chamada de probabilidade condicional do evento. Entretanto, para calcular a probabilidade condicional de que o evento A ocorra, dado que o evento B ocorra, divida a probabilidade de que A e B ocorram pela probabilidade de B ocorra, mas para isso, deve-se supor que a probabilidade de B não pode ser 0 (zero), isso se deve pelo fato da divisão por zero “não existir”.

Por isso, a probabilidade é o reverso da estatística, você usará a informação da população para inferir a natureza provável da amostra. Já a estatística descritiva, as conclusões sobre a população, serão feitas por meio da informação de uma amostra.

A estatística descritiva e a probabilidade são assuntos iniciais desse tema.

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de universidades e conceitos.Universidades Conceitos

A B CX 0,20 0,10 0,00Y 0,25 0,10 0,05Z 0,15 0,10 0,05

Tal tabela mostra, por exemplo, que 20% do total dos alunos que fizeram o exame eram da univer-sidade X e tiveram o conceito A; 5% eram da uni-versidade Y e tiveram o conceito C, e assim por diante. Sabendo-se que um estudante qualquer teve conceito A, a probabilidade que ele tenha estudado na universidade X é:a) 1/3.b) 1/4.c) 1/5.d) 2/3.e) 2/5.


Questão 02(BACEN, 2006 - Analista) O número de automó-veis modelos k vendidos diariamente em uma concessionária de veículos é uma variável alea-tória discreta (X) com a seguinte distribuição de probabilidades:

X 0 1 2 3P(x) m n n m

O preço unitário de venda desse modelo é de R$ 20.000,00 e somente 20% dos dias tem-se ven-das superiores a duas unidades. Se num deter-minado dia a receita de vendas referente a esse modelo for positiva, a probabilidade dela ser infe-rior a R$ 60.000,00 é de:a) 60%.


Ponto de PartidaUtilizando-se de um dado (esse deve ser não viciado), calcule a probabilidade de ao lançá-lo uma vez e obter o número 6. Em se-guida, lance dois dados ao mesmo tempo e calcule a probabilidade de ocorrer o número 6 e o número 1 na jogada.


Questão 01(PROVÃO, 2001 – Economia) Estudantes de três universidade diferentes, X, Y e Z, fazem um exa-me em que os resultados são medidos pelos con-ceitos A, B e C. A tabela abaixo mostra as distri-buições de frequências relativas das combinações

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c) 40%.d) 50%.e) 60%.


Questão 05A probabilidade do clube campeão brasileiro de 2012 não ser paulista é:a) 40%.b) 50%.c) 60%.d) 70%.e) 80%.


Questão 06Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter 2 no primeiro e 6 no segundo dado.


Questão 07No lançamento de um dado, qual a probabilidade se obter 2 ou 6.


b) 75%.c) 80%.d) 87,5%.e) 90%.


Questão 03Sobre eventos independentes de probabilidade:I. É quando a realização de um ou a não realiza-

ção de um dos eventos não afeta a probabilida-de da realização do outro e vice-versa.

II. A probabilidade é igual ao produto das probabi-lidades de realização dos dois eventos.

III. A probabilidade é igual soma das probabilida-des de realização dos dois eventos

IV. Os resultados dependem um do outro.Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):a) I apenas.b) IV apenas.c) III apenas.d) I, II, III apenas.e) I, II apenas.


Questão 04O Campeonato Brasileiro de Futebol 2012 será disputado na forma de pontos corridos, ou seja, não há separação em grupos e todos jogarão con-tra todos. A probabilidade de um clube paulista ser o campeão brasileiro de 2012 será de:a) 20%.b) 30%.

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Questão 08Qual a probabilidade de sair uma bola verde, onde constam 3 azuis, 5 vermelhas e 2 verdes em uma mesma urna.


Questão 09Em um jogo de cartas, com baralho não viciado, qual a probabilidade se sair uma carta do naipe de copas.


Questão 10Em um jogo de cartas, com baralho não viciado, qual a probabilidade se sair uma carta do naipe de copas e que seja Reis.


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Quer saber mais sobre esse assunto? Então:


Leia a dissertação de mestrado: RIBEIRO, Silvério Domingos. As pesquisas sobre o ensino da estatística e da probabilidade no período de 2000 a 2008: uma pesquisa a partir do banco de teses da CAPES. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/silverio_domingos_ribeiro.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012. Esse trabalho teve como objetivo fazer um levantamento da produção acadêmica que consta no banco de teses da Capes, relacionados com a problemática do ensino da estatística e da probabilidade.

Leia o livro: STEIN, Carlos Efrain; LOESCH; Claudio. Estatística Descritiva e Teoria das probabilidades. 2 ed. Edifurb. Este livro foi elaborado a partir de notas de aulas das disciplinas lecionadas pelos autores ao longo dos semestres em vários cursos de graduação. A obra pretende contribuir significativamente como material didático no auxílio do ensino da Estatística em sala de aula.

Nesse tema, você viu que o estudo da probabilidade é essencial para redução de riscos. É por meio da probabilidade que as empresas estimam suas vendas no mês, o lucro desejável, profissionais da área da saúde estimam a necessidade de doadores para um determinado tipo sanguíneo. Não se pode confundir a probabilidade com incertezas, sendo que estas não existem mensuração matemática. Você pôde observar como exemplo, o grande tema atual devido o ocorrido no Japão (março/2011), pode-se ocorrer um terremoto de grandes proporções no Brasil? Isso não se pode determinar pelo método probabilístico, ou seja, é uma incerteza de ocorrência.

Caro aluno, agora que o conteúdo desta aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS everificaraetapaquedeveráserrealizada.Bonsestudos!

LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

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Distribuições Discretas de Probabilidade

Tema 3

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Conteúdos e HabilidadesConteúdo


• Variáveisaleatórias,discretasecontínuas.

• Adistribuiçãobinômia.

• Média,variânciaedesviopadrão.

Habilidades


• Quaisasdiferençasentrevariáveisaleatórias,discretasecontínuas?

• Dequeformaépossívelestabelecerumadistribuiçãodiscretadeprobabilidade?

• Comodescobriramédia,variânciaedesviopadrãodeumadistribuiçãodiscretadeprobabilidade?

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AULA 3

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Distribuições Discretas de Probabilidade

Você viu que uma variável aleatória é aquela cujos valores são determinados ao acaso, ou seja, não estão sob o controle do observador (pesquisador). Assim, para uma variável aleatória discreta, todos os possíveis valores da variável aleatória podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes.

Tal como utilizado para conjuntos de dados de amostras e populações, é frequentemente útil descrever uma distribuição de probabilidade em termos de sua média e de sua variância. Nesse caso, a média é chamada de valor esperado da distribuição de probabilidade. O valor esperado de uma variável aleatória discreta X, é denotado por E(X), é a média ponderada de todos os valores possíveis da variável aleatória com os respectivos valores de probabilidade tomados como pesos. Com isso, como a soma dos pesos (probabilidade) é sempre igual a 1, a fórmula da média ponderada pode ser simplificada. O valor esperado de uma distribuição discreta de probabilidade é: E(X) = ∑ X P(X).

A utilização da fórmula pode ser mais visível com a sua aplicação. Por exemplo, supondo que a possível demanda (procura) por um produto em um mês seja: 3; 5; 7; 8. As probabilidades para que essa demanda aconteça é 0,2; 0,35; 0,25; 0,2 respectivamente. Assim o valor esperado da demanda do produto no mês seria: E(X) = (3 x 0,2) + (5 x 0,35) + (7 x 0,25) + (8 x 0,2) 4 5,70. Observe que a soma das probabilidades é igual a 1. Mas o que significa o valor esperado de 5,70? Na verdade, não se pode vender 5,70 de um produto, com isso deve-se arredondar para 6 unidades demandadas. A utilização do valor esperado servirá como guia ao departamento de vendas para o cumprimento de metas ao final do mês. Pode ser utilizado também como planejamento para o próximo período também.

Já a variância de uma variável aleatória X, denotada por Var (X), é calculada em relação ao valor esperado, E(X), como a média da distribuição de probabilidade. Ou seja:Var (X) = ∑[X – E(X)]² P(X)

Um passo a passo para o cálculo da variância pode ser observado na tabela 1, a seguir.


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Tabela 1 – Cálculo da variância de uma variável aleatória discreta.

Demanda (X)

Probabili-dade P(X)

X – E(X) [X – E(X)]² [X – E(X)]² x P(X)

3 0,2 3 – 5,70 = - 2,70

(-2,70)² = 7,29

7,29 x 0,2= 1,46

5 0,35 5 – 5,70 = - 0,70

(-0,70)² = 0,49

0,49 x 0,35 = 0,17

7 0,25 7 – 5,70 = 1,30

(1,30)² = 1,69

1,69 x 0,25 = 0,42

8 0,2 8 – 5,70 = 2,30

(2,30)² = 5,29

5,29 x 0,2 = 1,06

Total 3,11 Tabela 1 – Cálculo da variância de uma variável aleatória discreta.

A variância, portanto, para o exemplo da demanda de um produto é de 3,11. Isso representa a variabilidade da demanda, se extrair a raiz quadrada, obter-se-á o desvio padrão para a demanda. Outra distribuição de probabilidade para variável aleatória discreta é a distribuição binomial.

A distribuição binômia é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem for do tipo Bernoulli. Um processo de Bernoulli é um processo de amostragem no qual: a) em cada tentativa existem dois resultados possíveis mutuamente exclusivos. Eles são chamados de sucesso e fracasso; b) as séries de tentativas, ou observações, são constituídas de eventos independentes; c) a probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece constante de tentativa para tentativa.

A distribuição binomial pode ser utilizada para determinar a probabilidade de se obter um dado número de sucessos em um processo de Bernoulli. Três valores são necessários: número de sucessos (X); o número de tentativas, ou observações (n); e a probabilidade de sucesso em cada tentativa (p).

A distribuição de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. Tal processo, chamado de processo de Poisson, é similar ao processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou observações fixadas. Para esse caso, apenas um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número de sucessos em um processo, que é o número médio de sucessos para a específica dimensão de tempo ou espaço de interesse. Este número médio é geralmente representado pela letra grega “lambda” (λ).

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Como você pode observar, as características da variável aleatória de Poisson são, em geral, difíceis de verificar para exemplos práticos. Como em todos os modelos de probabilidades, o teste real de adequação de modelo de Poisson é se ele proporciona uma aproximação razoável da realidade, isto é, se os dados empíricos o suportam. Para o cálculo da distribuição de Poisson será facilitado se fornecido Tabelas Estatísticas, como a encontrada no apêndice B do Livro-Texto – tabela 3 – distribuição de Poisson.

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creta deve estar entre 0 e 1.c) A soma de todas as probabilidades tem de ser

igual a 1.d) É incontável de resultados possíveis, repre-

sentado por um intervalo sobre o eixo.e) A distribuição de probabilidade discreta enu-

mera cada valor que a variável aleatória pode assumir ao lado de sua probabilidade.


Questão 02Assinale a alternativa correta:I. Uma distribuição binomial é baseada no pro-

cesso de Bernoulli.II. A distribuição binomial em cada tentativa exis-

tem dois resultados possíveis independentes.III. As séries de tentativas, ou observações, são

constituídas de eventos mutuamente exclusi-vos.

IV. A probabilidade de sucesso permanece cons-tante de tentativa para tentativa.

As afirmativas acima estão corretas:a) I, II apenas.b) II e III apenas.c) I, IV apenas.d) III, IV apenas.e) Todas estão corretas.


Questão 03

Agora é a sua vezINSTRUÇÕESDesenvolva as atividades objetivas, procu-rando localizar as respostas a partir do Li-vro-Texto e de outros livros de apoio dispo-níveis em sua biblioteca.

As respostas devem ser apresentadas em textos claros, objetivos e específicos a cada proposta. Tenha sempre em mãos calcula-doras para desenvolver os cálculos quan-do necessário. Não se esqueça do processo matemático, ou seja, desenvolver o cálculo linha a linha. Não pule etapas, pois um sim-ples cálculo pode fazer diferença em sua resposta. Para padronização, utilize 4 (qua-tro) casas decimais após a vírgula.

Ponto de PartidaVisitando um hipermercado, ou uma con-cessionária de automóveis a probabilidade de que um cliente aleatoriamente fazer uma compra é de 0,15. Se um vendedor atender 6 presumíveis clientes, qual será probabili-dade que ele faça 4 vendas?


Questão 01É incorreto dizer que uma variável aleatória dis-creta possui a característica:a) É contável com resultados possíveis que pos-

sam ser enumerados.b) A probabilidade de cada valor da variável dis-

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que:I. A média (ou número esperado) de eventos

em cada unidade é denotada pela letra grega “lambda” – λ.

II. O experimento consiste em contar o núme-ro de vezes que certo evento ocorre durante uma dada unidade de tempo.

III. A probabilidade de que um evento ocorra em uma dada unidade de tempo é a mesma para todas as unidades.

IV. O número de eventos que ocorre em uma unidade de tempo é independente do número que ocorre em qualquer outra unidade mutua-mente excludente.

Está(ao) correta(s):a) Apenas I.b) Apenas II.c) Apenas III.d) Apenas IV.e) Todas corretas.


Atenção: Para as questões 6 a 10 considerar o enunciado a seguir.

Devido às altas taxas de juros, uma empresa informa que 40% de suas contas a receber de outras empresas comerciais se encontram venci-das. Se um analista financeiro escolhe aleatoria-mente uma amostra de cinco contas, determinar a sua probabilidade de acordo com a distribuição binomial

Questão 06Caso nenhuma das contas estejam vencidas.

Você trabalha em uma seguradora e a venda de uma apólice de seguros de um ano é $ 10.000,00 com um prêmio anual de $ 290,00. Tabelas atua-riais mostram que a probabilidade de morte duran-te o próximo ano para uma pessoa da idade, sexo, nível de saúde, do seu cliente é 0,001. Qual o ga-nho esperado (quantidade de dinheiro feito pela empresa) para uma apólice desse tipo?a) $ 290,00.b) $ 9.710,00.c) $ 280,00.d) $ 10.000,00.e) $ 570,00.


Questão 04Considere que x seja igual ao número de peças defeituosas em 5 tentativas. Então, x é uma vari-ável aleatória binomial com p, a probabilidade de que uma única peça seja defeituosa é igual a 0,1. A probabilidade de que 3 peças sejam defeituosas em 5 tentativas será:a) 0,81%.b) 0,08%.c) 1,00%.d) 8,00%.e) 8,10%.


Questão 05Sobre a distribuição de Poisson é correto afirmar

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Questão 07Exatamente duas contas estejam vencidas


Questão 08A maioria das contas estejam vencidas.


Questão 09Exatamente uma conta esteja vencida.


Questão 10Se você fosse o analista financeiro da empresa continuaria utilizando essa técnica para avaliar a inadimplência da empresa. Justifique.


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Leia o artigo: SCHEIN, Diana; LIMA, Milton Luiz Paiva. Uma metodologia para o dimensionamento de frota de rebocadores em terminais portuários: uma aplicação ao porto do Rio Grande. Disponível em: <http://www.podesenvolvimento.org.br/inicio/index.php?journal=podesenvolvimento&page=article&op=view&path[]=47>. Acesso em: 26 jul. 2012. Nesse trabalho é aplicada uma metodologia para encontrar o número adequado de rebocadores para atender ao Porto do Rio Grande.

Leia a dissertação de mestrado: RIBEIRO, Silvério Domingos. As pesquisas sobre o ensino da estatística e da probabilidade no período de 2000 a 2008: uma pesquisa a partir do banco de teses da CAPES. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/silverio_domingos_ribeiro.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012. Esse trabalho teve como objetivo fazer um levantamento da produção acadêmica que consta no banco de teses da Capes.

Leia: LANDÍN, Pedro R.; SÁNCHEZ, Ernesto. Niveles de razonamiento probabilístico de estudiantes de bachillerato frente a tareas de distribuición binomial. Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/4842/3703> Acesso em: 26 jul. 2012.Neste artigo os autores apresentam uma hierarquia de raciocínios utilizados para avaliar as respostas de alunos do ensino médio a um questionário contendo tarefas relacionadas com a distribuição binomial.

Nesse tema, você viu que o estudo de variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidades. Sendo que a mais utilizada é a distribuição de probabilidade por atribuição (para cada valor), e assim encontra-se o valor esperado, a distribuição binomial seguindo o modelo de amostra proposto por Bernoulli e a distribuição de Poisson. Portanto, você observou a aplicação dessas teorias na prática do cotidiano com exemplos reais utilizados por empresas em seus mais diversos departamentos e setore


LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

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ícones:

Distribuição Normal de Probabilidade

Tema 4

za b

d

l

m

khg f

pc

ji

or iln

stu

x w

x yi

qe


Conteúdo


• Adistribuiçãonormaldasprobabilidades.

• Adistribuiçãocontínuadasprobabilidades.

• Autilizaçãodasvariáveisaleatóriascontínuas.

Habilidades


• Comocalcularumadistribuiçãonormaldeprobabilidade?

• Dequeformaépossívelestimaráreassobacurvanormal?

• Comocompreenderautilizaçãodevariáveisaleatóriascontínuas?

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AULA 4

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Distribuição Normal de Probabilidade

Durante os estudos do tema 4, você encontrará as definições sobre o estudo e importância das distribuições discretas de probabilidade para variáveis contínuas, sendo a mais utilizada a distribuição normal de probabilidade. Utilizando-se da função densidade de probabilidade seria necessário uma série de cálculos para integrar áreas sob curvas de probabilidade. Porém, essas integrações (cálculo de integrais) se tornam desnecessárias, uma vez que foram desenvolvidas tabelas de probabilidades para tais distribuições contínuas.

A distribuição normal de probabilidade é uma distribuição contínua que é simétrica e mesocúrtica, ou seja, a curva de sino não é nem achatada e nem pontiaguda, em termos de valores observados.

Além disso, a distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões distintas: a) as medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem essa distribuição; b) probabilidades normais podem ser usadas frequentemente como aproximações de outras distribuições de probabilidades, como por exemplo, distribuições binomial e Poisson; c) as distribuições de estatísticas da amostra, tais como a média e a proporção frequentemente, seguem a distribuição normal independentemente da distribuição da população.

Para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade somente pode ser determinado para um intervalo de valores da variável. A altura da função densidade, ou curva de probabilidade, para uma variável normalmente distribuída é dada por:

( )²2 ²1( )

2

X

f X eµ

σ

πσ

−−

=

Em que ∏ é a constante 3,1416 e, e é a constante 2,7183 (expoente natural); μ é a média da população e σ é o desvio padrão da distribuição. Porém, as tabelas de probabilidades da normal são


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baseadas em uma distribuição particular: a distribuição normal padronizada. Esta é a distribuição de probabilidade com média = 0 (zero) e desvio padrão = 1. Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuído pode ser convertido em valores normais padronizados z.

Xz µσ−

=

A tabela 4 do apêndice B do Livro-Texto mostra as probabilidades da distribuição normal padronizada.Assim, gestores de empresas podem se utilizar da distribuição normal de probabilidade para determinação de metas, ou criar padrões para seus produtos ou serviços. Por exemplo, o departamento de recursos humanos está estudando mudanças na política salarial da empresa. Em sua pesquisa descobriu que a média salarial é de $ 2000,00 com desvio padrão de $ 200. A probabilidade que um funcionário tenha um salário entre $ 2000,00 e $ 2500,00 é definido da seguinte maneira:

2500 2000 2,50200

z −= = +

Observe que pela definição da distribuição normal padronizada, primeiro o valor a ser estudado ($ 2500) subtrai a média ($ 2000) e seu resultado é dividido pelo desvio padrão.

Pela tabela 4 do Livro-Texto z (2,50) – deve-se encontrar o valor da tabela z (2,5) na primeira coluna. Depois verificar na horizontal o valor que completa o valor de z, nesse caso 0,00. Uma vez que o resultado de z é igual 2,50. Fazendo a intersecção entre linha e coluna (linha 2,5 e coluna 0,00) o valor correspondente será de 0,9938. Observe a pintura da figura (gráfico acima dos valores da tabela) e verá que a parte pintada corresponde do lado negativo ao positivo (pelos números naturais), assim a probabilidade de encontrar um funcionário com salário entre $ 2000 e $ 2500 será: 0,9938 – 0,5= 0,4938, ou seja, 49,38%. Por que esse último cálculo? Mais uma vez é por causa da representatividade, em outras bibliografias pode ser encontrada a parte pintada partindo da média (mais comum nas bibliografias), nesse caso verá que o resultado já é obtido automaticamente.

Compete agora analisar o resultado encontrado. Como já fora definido, a distribuição de probabilidade normal necessita de um intervalo de dados, nesse caso salários entre $ 2000 e $ 2500. Assim, note que a probabilidade de aleatoriamente um funcionário tenha salário entre este intervalo é de 49,38%, portanto, o departamento de recursos humanos poderá determinar mais alguns estudos e com seus resultados determinar a nova política salarial. Atualmente as grandes empresas utilizam da remuneração por produtividade e esse estudo é importante para definição dos pesos que servirão para multiplicar o salário de seus funcionários. A faixa em que tiver a menor concentração salarial poderá receber um tratamento diferenciado para igualar ou melhorar o salário.

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Como já mencionado anteriormente, a distribuição normal pode ser utilizada para aproximações da distribuição binomial. Assim quando, a variável aleatória binomial discreta pode assumir um grande número de valores, o cálculo de suas probabilidades pode se tornar entediante. Quando n da distribuição binomial for grande, uma distribuição de probabilidade normal pode ser utilizada para proporcionar uma boa aproximação. Basta utilizar as tabelas de distribuição binomial e distribuição normal padronizada, no entanto deve-se observar à média e o desvio padrão da distribuição binomial para uso no cálculo.

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desvio padrão de 1,5 horas. A probabilidade de que o celular dure entre 8 e 12 horas entre as cargas será:a) 81,64%.b) 18,36%.c) 90,82%.d) 9,18%.e) 50,00%.


Questão 02A probabilidade de que um ponto x qualquer, dentro de uma distribuição normal de probabili-dade esteja do lado direito da curva de sino será:a) 50%.b) 100%.c) 25%.d) 75%.e) 0%.


Questão 03Sobre distribuição normal de probabilidade ava-lie as afirmativas abaixo:I. É a distribuição utilizada para variável contínua.II. Sua curva é chamada de curva de GAUSS.III. Sua curva é assimétrica em torno da média e

tem formato de sino.IV. A curva normal à medida que se afasta da mé-

dia ela toca no eixo x.Está(ao) correta(s).a) I apenas.


Ponto de PartidaVisitando um hipermercado com seus ami-gos ou familiares, faça a média do gasto com as compras realizadas pelas pessoas. Em seguida, calcule o desvio padrão, para isso volte ao capítulo 2. Em seguida crie fai-xas para a percepção da probabilidade de ocorrência dos valores utilizados. No final de suas análises, poderá observar como os grandes supermercados determinam suas políticas promocionais.


Questão 01O tempo x entre cargas de um telefone celular seja normalmente distribuído com média de 10 horas e

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Atenção: As questões de 6 a 10 devem ser res-pondidas de acordo com enunciado a seguir.

O processo de engarrafamento de refrigerantes de uma companhia foi ajustado para que uma média de 1000 ml de refrigerante seja colocada em cada garrafa. É claro que nem todas as gar-rafas têm precisamente 1000 ml devido a fontes aleatórias de variabilidade. O desvio padrão lí-quido é de 25 ml, e sabe-se que a distribuição de seus “mls” segue uma distribuição normal.

Questão 06Calcular a probabilidade de que uma garrafa aleatoriamente escolhida contenha entre 1000 e 1050 ml de refrigerante.


Questão 07Qual a probabilidade de que uma garrafa de refri-gerante esteja entre 985 e 1002 ml?


Questão 08Qual a probabilidade de que uma garrafa conte-nha entre 950 ml e 1020 ml?

b) II apenas.c) I e II apenas.d) II e III apenas.e) Todas estão corretas.


Questão 04Em uma linha de produção, um determinado pro-duto possui uma especificação que segue uma distribuição normal. A média do produto é 2 mm e seu desvio padrão 0,2 mm. A probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado esteja entre 2 mm e 2,4 mm será:a) 47,72%.b) 48,93%.c) 50,00%.d) 52,28%.e) 97,72%.


Questão 05A função matemática da distribuição normal de probabilidade é:a) Exponencial.b) Linear.c) Logaritma.d) Identidade.e) Densidade.


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Questão 09Qual a probabilidade de uma garrafa de refrige-rante contenha entre 990 e 1000 ml?


Questão 10Faça uma síntese baseada nos exercícios anterio-res. Se você fosse o gerente de produção dessa empresa, qual seria uma decisão imediata a ser tomada para melhorar o processo de engarrafa-mento?


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LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO


Leia o artigo: DANFÁ, Sadjo et al. Distribuição espacial de valores prováveis de precipitação pluvial para períodos quinzenais, em Guiné-Bissau. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rbeaa/v15n1/a10v15n01.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012. O artigo fala sobre a utilização da distribuição normal reduzida (padronizada – valor de z), em que no artigo ele é demonstrado para diversas culturas, ou seja z já foi calculado. Análise de risco de otimização de recursos hídricos e retorno financeiro em nível de fazenda.

Leia o artigo: SILVA, Vicente P. R. da et al. Análise da pluviosidade e dias chuvosos na região Nordeste do Brasil. Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_pdf&pid=S1415-43662011000200004&lng=en&nrm=iso&tlng=pt> Acesso em: 26 jul. 2012. Artigo que mostrará alguns tratamentos estatísticos utilizados até o momento.

Nesse tema, você viu o estudo de variáveis aleatórias contínuas e suas distribuições de probabilidades. Assim, você pôde concluir que a distribuição normal pode assumir qualquer valor dentro dos limites estabelecidos, por isso, na maioria das pesquisas realizadas, a distribuição de probabilidade normal é a mais utilizada. Nesse contexto, você verificou que basta utilizar as tabelas de distribuição binomial e distribuição normal padronizada para uso no cálculo.


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ícones:

IntervalosdeConfiança

Tema 5

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Conteúdo


• Oconceitoeaplicaçãodeintervalosdeconfiança.

• Aobtençãodeestimativas.

• Otamanhoexigidodaamostraparaestimativas.

Habilidades


• Comoobterumaestimativapontualeumerromáximodaestimativa?

• Dequeformaconstruireinterpretarintervalosdeconfiançaparaamédiapopulacional?

• Comoépossíveldeterminarotamanhomínimoexigidodaamostranaestimativadamédiapopulacionalμ?

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AULA 5


IntervalosdeConfiança

Os intervalos de confiança para amédia são tipicamente construídos com o estimador nãotendencioso,estandoamédianocentrodointervalo.Assim,aoconsiderartodosospossíveisestimadoresnãotendenciososdealgumparâmetro,aquelequeapresentaramenorvariânciaéchamadodeestimadormaiseficiente.

Porém,atémesmooestimadornãotendenciosomaiseficientedificilmenteestimaráoparâmetropopulacional exatamente. Mesmo sendo verdadeiro que a acurácia aumente com amostrasmaiores, ainda não haverá razão para que uma estimativa pontual obtida em uma dada amostra seja exatamente igual ao parâmetro populacional a ser estimado. Talvez este seja umpontoimportanteparaasdesconfiançasdaspesquisasrealizadasemépocadeeleições.Hámuitassituações nas quais é preferível determinar um intervalo dentro do qual esperaríamos encontrar ovalordoparâmetro.Talintervaloéchamadodeestimativaintervalar.

Paraumestimadorintervalar(ouintervalodeconfiança)énecessáriodeterminarumcoeficientede confiança, com issoo coeficiente de confiançanadamais é que a probabilidadequeumintervalodeconfiançaselecionadoaleatoriamenteincluaoparâmetrodapopulação–istoé,afreqüênciarelativacomaqualintervalosconstruídosdeformasimilarincluirãooparâmetrodapopulaçãoquandooestimadorforusadorepetidamenteumgrandenúmerodevezes.Oníveldeconfiançaéocoeficientedeconfiançaexpressoempercentual.

Ascondiçõesrequeridasparaumintervalodeconfiançaválidodeamostragrandeparaamédiapopulacional(μ);a)umaamostraaleatóriaéselecionadadapopulaçãoalvo,b)otamanhondaamostraégrande(istoé,n≥30;devidoaoteoremadolimitecentral,essacondiçãogarantequeadistribuiçãoamostraldex’sejaaproximadamentenormal.Alémdisso,parangrande,sseráumbomestimadordeσ).Emqueséodesviopadrãodaamostraeσodesviopadrãodapopulação.O intervalodeconfiançade(1–α)%deumaamostragrandeparaμédadopelaequação,a


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seguir:

/2 /2xx z x znα ασσ± = ±

emquezα/2éovalorzcomumaáreaα/2àsuadireitaeσx=σ/√n.Oparâmetroσéodesviopadrãodapopulaçãoamostradaenéotamanhodaamostra.

Dessa forma consegue-se observar a distinção entre os objetivos das estimativas pontuais e deestimativaspor intervalosdeconfiança.Aprimeira forneceumnúmeroúnicoextraídodeum conjunto de dados experimentais, e a última fornece um intervalo, conforme os dados experimentaisquesejam razoáveisparaoparâmetro;ouseja, 100(1–α)%de tais intervaloscompreendamoparâmetro.Noentanto,essasduasabordagensparaestimaçãoestãorelacionadasentresi.Arelaçãocomuméadistribuiçãoamostraldeumestimadorpontual.Assim,comovistonaequaçãoacima,apartedaequaçãoqueσ/√néchamadodeerro-padrãodeumestimadorqueéseudesviopadrão.

Aequaçãodoerropadrão,portanto,podeserescritadaseguintemaneira:x±zα/2e.p.(x),onde“e.p” é o erro padrão. Vale ressaltar, o ponto importante é que a amplitude do intervalo deconfiançaparaµdependedaqualidadedoestimadorpontualpormeiodeseuerropadrão.Ointervalodeconfiançanãoémelhor(emtermosdeamplitude)doqueaqualidadedaestimativapontual,nestecasopormeiodeseuerropadrãoestimado.

Asestimativaspontuaise intervalardamédiafornecemboasinformaçõessobreoparâmetrodesconhecidoµdeumadistribuiçãonormal,oudeumadistribuiçãonãonormaldaqualumagrandeamostraéretirada.Àsvezes,alémdamedidapopulacional,opesquisadorpodetambémestar interessado em prever o possível valor de uma observação futura. Essa estimativa échamadadeintervalodepredição.

Para obtenção de um intervalo de predição, deve-se assumir que uma amostra aleatória venha deumapopulaçãonormalcommédiaµdesconhecidaevariânciaσ²conhecida.UmestimadorpontualnaturaldeumanovaobservaçãoéX.AvariânciadeXéσ²/n.Entretanto,parapreverumanovaobservação,éprecisoconsiderarnãosomenteavariaçãodevidaàestimativadamédia(X),mastambémavariaçãodeumaobservaçãofutura.Assimointervalodeprediçãopodeserencontrado pela equação:

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X–zα/2σ√1+1/n<x0<x+zα/2σ√1+1/n

Em que: x0–éaobservaçãofutura.zα/2–éovalordezquedeixaumaáreaα/2àdireita.

O intervalo de predição fornece uma boa estimativa da localização de uma observação futura, oqueébastantediferentedaestimativadovalordamédiaamostral.Nota-se,portanto,queavariaçãodestaprediçãoéasomadavariaçãodevidoàestimativadamédiacomavariaçãodeumaúnicaobservação.Adistribuiçãotdestudentéamelhoraserutilizada.

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Questão 01Um estimador de qualidade imparcial é:a) Média amostral.b) Média populacional.c) Variância.d) Desvio padrão.e) Erro padrão.


Questão 02Em um esquema em que se toma a amostra ale-atória simples de tamanho 160 de uma popula-ção de 1600 indivíduos encontram-se os valores X = 20 (média) e σ² = 16 para a variância. Assi-nale a opção que corresponde à estimativa não viezada da variância.a) 0,07.b) 0,08.c) 0,09.d) 0,10.e) 0,15.


Questão 03A concentração média de iodo recuperado de uma amostra de medições desse material em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por mililitro. O valor do intervalo de confiança de 95% para a média de concentração de iodo, com desvio pa-drão da população igual a 0,3.

Agora é a sua vezINSTRUÇÕESDesenvolva as atividades objetivas, procu-rando localizar as respostas a partir do Li-vro-Texto e de outros livros de apoio dispo-níveis em sua biblioteca.

As respostas devem ser apresentadas em textos claros, objetivos e específicos a cada proposta. Tenha sempre em mãos calcula-doras para desenvolver os cálculos quan-do necessário. Não se esqueça do processo matemático, ou seja, desenvolver o cálculo linha a linha. Não pule etapas, pois um sim-ples cálculo pode fazer diferença em sua resposta. Para padronização, utilize 4 (qua-tro) casas decimais após a vírgula.

Ponto de PartidaUm aparelho de telefone celular possui um desvio padrão de sua vida útil conhecido e é igual a σ = 500, mas a média da vida útil é desconhecida. Suponha que a vida útil dos aparelhos celulares tenham uma distribui-ção aproximadamente normal. Para uma amostra de n = 15, a média da vida útil é X = 2900 horas de operação. Construa um intervalo de confiança de 95% para estimar a média da população.


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Atenção: Para as questões 6, 7 e 8 utilize o enun-ciado a seguir:

Um analista financeiro obtém dados de uma amostra de 600 consumidores de um total de 1000 que adquiriram uma determinada oferta. Os 600 consumidores gastaram, nesse supermerca-do, uma média de X = $ 37,49 com um desvio pa-drão s = $ 7,89. Para um intervalo de confiança de 95%, estimar:

Questão 06O valor médio de compras para todos os 1000 consumidores.


Questão 07O valor total das compras dos 1000 consumidores


Questão 08O valor médio de compras para todos os 1000 consumidores, mas para um intervalo de confian-ça de 99%.


Questão 09

a) 2,50 a 2,70. b 2,60 a 2,80.c) 2,50 a 2,80.d) 2,50 a 2,60.e) 2,60 a 2,70.


Questão 04Com referência a questão anterior, o intervalo de confiança para 99% será:a) 2,40 a 2,80.b) 2,47 a 2,73.c) 2,47 a 2,60.d) 2,60 a 2,73.e) 2,60 a 2,80.


Questão 05De acordo com a questão 3, qual deverá ser o ta-manho da amostra para um intervalo de 95% e desvio padrão populacional = 0,3, e, que a esti-mativa para a média (µ) esteja distante por menos de 0,05.a) 100.b) 120.c) 121.d) 135.e) 139.


45

O departamento de compras da empresa XYZ deseja estimar o valor médio das compras por cliente em uma loja de perfumes no novo sho-pping da cidade. Com base em dados do outro shopping existente na cidade, o desvio padrão de tais valores de vendas é estimado em cerca de σ $ 80,00. Qual o tamanho da amostra míni-mo que deveria ter uma amostra aleatória se ele deseja estimar a média das vendas dentro de $ 25,00 e com uma confiança de 95%?


Questão 10Devido à crise econômica mundial ocorrida em 2009, muitos bancos deixaram de receber seus créditos. Uma amostra recente de 50 emprésti-mos resultou em uma média de $ 257.300,00. Assumindo um desvio padrão da população de $ 25.000,00. Se o próximo cliente necessitar de um novo empréstimo, determine um intervalo de confiança de predição de 95% para a quantia do empréstimo do cliente.


46

LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

Vocêquersabermaissobreesseassunto?Então:

Leiaoartigo:BALABAN,Geni;SILVA,GiséliaA.Pda.Prevalênciadesobrepesoeobesidadeemcriançaseadolescentes.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/jped/v77n2/v77n2a08.pdf>Acessoem:26jul.2012.Oartigodemonstraautilizaçãodeintervalosdeconfiançaparaapesquisarealizada.

Leia o artigo: FERREIRA,Marlene deCássia Trivellato;MARTURANO, EdnaMaria.Ambientefamiliar e os problemas do comportamento apresentados por crianças com baixo desempenho escolar.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/%0D/prc/v15n1/a05v15n1.pdf>Acessoem:26jul.2012.

Leiaoartigo:RIBEIRO,CarladeMatosetal.Determinaçãodoíndicedeacidezdebiodieselportitulaçãopotenciométricautilizando-sediferentesmétodos.Disponívelem:<http://200.20.213.30/handle/10926/1193>Acessoem:26jul.2012.Essetrabalhoconsistiunadeterminaçãodoíndicedeacidezdebiodieseldesoja/sebopormeiodetitulaçãopotenciométrica.

Leiaoartigo:SCHEIN,Diana;LIMA,MiltonLuizPaiva.Umametodologiaparaodimensionamentode frota de rebocadores em terminais portuários: uma aplicação ao porto do Rio Grande.Disponívelem:<http://www.podesenvolvimento.org.br/inicio/index.php?journal=podesenvolvimento&page=article&op=view&path[]=47>.Acessoem:26jul.2012.Nesse trabalho é aplicada uma metodologia para encontrar o número adequado de rebocadores paraatenderaoPortodoRioGrande.

Nesse tema, você viu que o estudo de intervalos de confiança oferece ao pesquisador uma melhor compreensão dos dados em estudo, isto se deve porque a utilização do intervalo de confiança determina, basicamente, uma faixa possível de sua resposta. Como observado, em “ampliando o conhecimento”, diversas pesquisas utilizam intervalos de confiança para justificar e validar seus estudos. Por meio de distribuição normal ou aproximadamente normal (t student) pode-se determinar um intervalo pontual ou estimado de confiança.

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ícones:

Teste de Hipótese com Uma ou Duas Amostras

Tema 6

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Conteúdo


• Ostestesdehipóteses.

• Níveisdesignificânciautilizadosnashipóteses.

• OstiposdeerrosIeII.

Habilidades


• Comoestabelecerhipótesesaosestudos(nulaealternativa)?

• ComoidentificaroserrostipoIeII?

• Dequeformaépossívelinterpretarumníveldesignificância?

• Comoanalisarquandoénecessáriousarumtesteestatísticomonooubicaudal?

48

• Dequeformaépossívelexplicarumadecisãobaseadanosresultadosdeumtesteestatístico?

AULA 6


Teste de Hipótese com Uma ou Duas Amostras

Entende-seporumahipóteseestatísticaafirmaçãoouconjecturasobreumaoumaispopulações.Emumtestedehipótese,énecessárioiniciarcomumsupostovalor(hipotético)deumparâmetrodapopulação.Depoisdecoletarumaamostraaleatória,compara-seaestatísticadaamostra,talcomoamédiaamostral(X),comoparâmetrosuposto,talcomoamédiapopulacionalhipotética(µ).Então,ouéaceitoourejeitadoovalorhipotéticocomocorreto.Ovalorhipotéticoérejeitadosomente se o resultado da amostra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótese for verdadeira.

Emgeral,oproblemaenfrentadoporpesquisadoresnãoétantoaestimativadosparâmetrospopulacionais, mas sim a formação de um procedimento com base em dados que se possa concluirsobrealgumsistemacientífico.Paraisso,háanecessidadedepostularalgo,ouseja,criarumahipótese.

Nunca se sabe com absoluta certeza se uma hipótese estatística é verdadeira ou falsa, a não ser quetodaapopulaçãosejaexaminada,oqueéinviávelnamaioriadassituações.Porisso,aoextrair uma amostra aleatória da população de interesse e usar os dados contidos nela, consegue-sefornecerevidênciaqueseapoieourefuteahipótese.Oprocedimentodedecisãodeveserfeito em consonância com a probabilidade de uma conclusão errada.A afirmação formal deumahipóteseéfrequentementeinfluenciadapelaestruturadaprobabilidadedeumaconclusãoerrônea.Assim, se o pesquisador está interessado em apoiar fortemente uma alegação, eleesperachegaràalegaçãonaformaderejeiçãodeumahipótese.

Portanto, você percebe que a primeira etapa em um teste de hipótese é a de formular hipótese


49

nulaeahipótesealternativa,comumentenoslivrosdeestatísticassãoindicadasporH0ouHnparahipótesenula;eH1ouHaparahipótesealternativa.Ahipótesenulaéovalorsupostooualegadodoparâmetrooqualécomparadocomoresultadodaamostra.Eleérejeitadosomenteseoresultadodaamostraforimprovávelsendoahipóteseconsideradaverdadeira.Ahipótesealternativaéaceitasomenteseahipótesenulaforrejeitada.

Emseguida,emumapróximaetapa(2),opesquisadordeveespecificaroníveldesignificânciaaserutilizado.Oníveldesignificânciaéopadrãoestatísticoespecificadopararejeitarahipótesenula.Assim,se for especificadoumníveldesignificânciade5%,ahipótesenulaé rejeitadasomente se o resultado da amostra for tão diferente do valor suposto ou alegado que uma diferençaigualoumaiorocorreriaporacasocomumaprobabilidademáximade0,05.

Observequeaindaexisteumaprobabilidadede0,05derejeitarahipótesenulasendoamesmaverdadeira.EsteéochamadoerrotipoI.AprobabilidadedoerrotipoIésempreigualaoníveldesignificânciautilizadocomopadrãopararejeitarahipótesenula;eleérepresentadopelaletragregaminúsculaα (“alfa”),sendoqueα,destemodo, representaoníveldesignificância.Osníveisdesignificânciamaisfrequentementeutilizadosemtestesdehipótesessãoosde5%e1%.JáumerrotipoIIéaquelequeocorrequandoahipótesenulaéaceitamesmosendofalsa.

Nesse contexto, apósespecificadoonível de significância, opesquisadordeve selecionar aestatística do teste.A estatística de teste será ou a estatística da amostra (o estimador nãotendenciosodoparâmetrosendotestado),ouumaversãomodificadadaestatísticadaamostra.Emseguida,estabeleceovalorcríticoouvalorescríticosdaestatísticadeteste.Porém,antesde tomar a decisão, o pesquisador precisa determinar o valor real da estatística de teste, por fim,comessesprocedimentosadotados, toma-seadecisão,baseadonovalorobservadodaestatísticadaamostraécomparadacomovalorcrítico(ouvalores)asestatísticadeteste.

Assituaçõespossíveisao testarumahipóteseestatística,podeserobservadonafigura1,aseguir:

H0 é verdadeira H0 é falsaNão rejeitar H0Rejeitar H0

Decisão corretaErro tipo I

Erro tipo IIDecisão correta

Figura1–Situaçõespossíveisaotestarumahipóteseestatística.

50

Para a probabilidade de se cometer um erro tipo II, denotada pela letra grega β (“beta”), éimpossíveldesercalculada,anãoserquesetenhaumahipótesealternativaespecífica.Essaé uma probabilidade alta, que indica um procedimento de teste no qual é muito provável que serárejeitada. IdealmenteseriautilizarumprocedimentodetesteparaoqualaprobabilidadedoserrostipoIeIIsejamambospequenos.Existemsituações,porexemplo,emquesedesejecometerumerrotipoII,assimàmedidaqueahipótesealternativaaproximade1,ovalordeβdiminuipara0(zero).

51

com média μ e variância σ2. O valor da estatísti-ca teste t com distribuição de Student sob a hipó-tese H0:μ =100 é de –1,7864 e sabe-se que P(t ≥1,7864) = 0,0446. Suponha que a probabilidade de erro do tipo I esteja sendo controlada em 5%.Assinale a resposta correta. a) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua H0: µ = 100.b) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua H1: µ ≠ 100.c) Como o valor probabilístico do teste é 0,0892 não há evidência para rejeitar H0: µ = 100.d) Como o valor probabilístico do teste é 0,0223 conclua H1: µ ≠ 100.e) Não se pode tirar nenhuma conclusão, pois o tamanho da amostra, a média amostral e o des-vio padrão amostral não foram dados.


Questão 02O resultado de um ensaio destinado a investigar a efetividade da vacinação de animais na pre-venção de certo tipo de doença produziu a tabela de contingência seguinte.

Vacina DoençaSim Não

Sim 14 42Não 16 28

Deseja-se testar a hipótese de que os perfis (de linha) de vacinados e não vacinados coincidem. Assinale a opção que dá o valor da contribuição da primeira célula da tabela para a estatística teste de homogeneidade do qui-quadrado.


Ponto de PartidaUm aparelho de telefone celular possui um desvio padrão de sua vida útil conhecido e é igual a σ = 500, mas a média da vida útil é desconhecida. Suponha que a vida útil dos aparelhos celulares tenham uma distribui-ção aproximadamente normal. Para uma amostra de n = 15, a média da vida útil é X = 2900 horas de operação. Construa um intervalo de confiança de 95% para estimar a média da população.


Questão 01Considere o teste da hipótese H0:μ =100 contra alternativa H1:μ ≠ 100 em uma amostra da normal

52

Assinale a opção que dá o valor da estatística F utilizada para testar a hipótese de igualdade de médias das marcas.a) 2.b) 10.c) 12.d) 20.e) 72.


Questão 05A probabilidade de cometer um erro tipo II ao custo de aumentar a probabilidade de cometer um erro tipo I, para um tamanho fixo de amostra, uma redução na probabilidade de um erro nor-malmente resulta num aumento da probabilidade de outro erro. Felizmente, a probabilidade de co-meter ambos os tipos de erros pode ser reduzida se:a) Rejeitar H0.b) Aceitar H0.c) Aceitar H1.d) Rejeitar H1.e) Aumentar o tamanho da amostra.


Questão 06Utilizando as distribuições t student. A hipótese nula formulada é de que a média da vida útil de um ar condicionado da marca X é, no

a) 0,326.b) 0,450.c) 0,400.d) 0,500.e) 0,467.


Atenção: As questões 3 e 4 referem-se ao enun-ciado seguinte.

Em um estudo controlado em que o interesse con-centra-se no desgaste de pneus testaram-se um certo número de marcas obtendo-se os resultados constantes da tabela de análise de variância dada abaixo.Fonte Graus de Li-

berdade

Soma de Qua-

dradosMarcas 3 60Erro 36 72Total (Corrigi-

do)

39 132

Questão 03Assinale a opção que dá o número de marcas de pneus estudadas.a) 2.b) 3.c) 4.d) 5.e) 12.


Questão 04

53

mínimo, de 4.200 horas. A média da vida útil para uma amostra de n = 10 é X (média) = 4.000 horas, com um desvio padrão amostral de s = 200 horas. A vida útil do ar condicionado, presume-se, segue uma distribuição normal. Teste a hipótese nula a um nível de significância de 5%.


Questão 07Um controller deseja testar a hipótese de que o valor médio de todas as contas a receber em uma empresa é $ 260.000,00, tomando para tanto uma amostra de 36 clientes (n = 36) e calculando a mé-dia amostral. Ele deseja rejeitar o valor hipotético de $ 260.000,00 somente se tal valor for contradi-tado pela média da amostra. Determine as hipóte-ses nula e alternativa.


Questão 08Para a hipótese nula da questão 7, determinar os valores críticos da média da amostra para testar a hipótese a um nível de significância de 5%. Dado que se conhece o desvio padrão dos valores das contas a receber, σ = $ 43.000,00.


Questão 09Suponha que o controller das questões 7 e 8 co-

mece com uma hipótese nula de que o valor médio de todas as contas a receber é, no míni-mo, $ 260.000,00. Dado que a média da amos-tra é $ 240.000,00, teste essa hipótese, ao nível de significância de 5%.


Questão 10O representante de um grupo comunitário in-forma, a uma pessoa que está interessada em estabelecer um centro comercial, que a renda média familiar na área é de $ 1.500,00. Supo-nha que, para o tipo de região em questão, é possível supor que a renda média familiar tem distribuição aproximadamente normal, e que se pode aceitar o desvio padrão como sendo σ = $ 200,00, com base em um estudo anterior. Para uma amostra aleatória de n = 15 famílias, a ren-da média familiar foi X (média) $ 1.400,00. Tes-tar a hipótese nula de que µ = $ 1.500,00, esta-belecendo limites críticos da média da amostra, utilizando um nível de significância de 5%.


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LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO


Leia o artigo: LANDÍN, PedroR.; SÁNCHEZ, Ernesto. Niveles de razonamiento probabilísticodeestudiantesdebachilleratofrenteatareasdedistribuiciónbinomial.Disponívelem:<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/4842/3703>Acessoem:26jul.2012.Neste artigo os autores apresentam uma hierarquia de raciocínios utilizados para avaliar as respostas de alunos do ensino médio a um questionário contendo tarefas relacionadas com a distribuiçãobinomial.

Leiaoartigo:SILVA,VicenteP.Ret.al.AnálisedapluviosidadeediaschuvososnaregiãoNordestedoBrasil.Disponívelem<http://www.scielo.br/pdf/rbeaa/v15n2/v15n02a04.pdf>.Acessoem:26.Jul.2012.Oartigomostraráalgunstratamentosestatísticosutilizadosatéomomento.

Leiaoartigo:GUARIEIRO,LílianLefolNaniet.al.Metodologiaanalíticaparaquantificaroteorde biodiesel na mistura biodiesel: diesel utilizando espectroscopia na região do infravermelho Disponívelem<http://www.scielo.br/pdf/qn/v31n2/a41v31n2.pdf>.Acessoem:26jul.2012.O artigo mostrará a metodologia do teste de hipótese, bem como o método de regressão linear aservistonotema8.

Leiaoartigo:RODRIGUES,JacksonMartinset.al.Efeitoslocaisedelargaescalanadinâmicaclimática do município de Viçosa/MG. Disponível em <http://www.seer.ufu.br/index.php/sociedadenatureza/article/viewFile/9883/pdf_21>Acessoem:26jul.2012.Oartigotraráotestedehipóteseutilizandotstudent.

Nesse tema, você viu que o teste de hipótese auxilia o pesquisador na tomada de decisão. Necessariamente é preciso lançar mão uma hipótese, e em seguida adotar o procedimento para teste estatístico de hipótese. A hipótese nula é o valor suposto do parâmetro o qual é comparado com o resultado da amostra. Ele é rejeitado somente se o resultado da amostra for improvável sendo a hipótese considerada verdadeira. Portanto, você viu que em um teste de hipótese deve-se levar em consideração um nível de significância, pois é ele que determina se a hipótese é aceita ou rejeitada.

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ícones:

Correlação e Regressão

Tema 7

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Conteúdo


• Oconceitodecorrelaçãolinear,variáveisdependenteseindependentes

• Ousodecoeficientedeumcorrelação.

• Ostiposdecorrelações.

Habilidades


• Quaisosconceitosdecorrelaçãolinear,variáveisdependenteseindependentesetiposdecorrelações?

• Comosimularumcoeficientedecorrelação?

• Comodiagnosticarumtestedehipóteseparaumcoeficientedecorrelaçãopopulacionalp.?

56

AULA 7



Otermoregressão foi introduzidoporFrancisGalton,emseuestudo inicial,Galtonverificouque,emborahouvesseumatendênciadepaisaltosteremfilhosaltosequepaisbaixosteremfilhosbaixos,aalturamédiadepaisdeumadadaalturatendiaasedeslocarou“regredir”atéumamédiadapopulaçãocomoumtodo.Assim,pode-sedizerqueaalturadosfilhosdepaisextraordinariamentealtosoubaixostendeasemoverparaaalturamédiadapopulação.AleideregressãouniversaldeGaltonfoiconfirmadaporseuamigoKarlPearson,quecoletoumaisdemilregistrosdasalturasdosmembrosdegruposdefamílias.

A moderna interpretação da regressão é, porém, bem diferente, em linhas gerais a análise de regressão ocupa-se do estudo da dependência de uma variável, a variável dependente, em relaçãoaumaoumaisvariáveis,asvariáveisexplicativas,comoobjetivodeestimare/ouprevera média (da população) ou o valor médio da dependente em termos dos valores conhecidos ou fixos(emamostragemrepetida)dasexplicativas.

Assim, o modelo estatístico de uma regressão linear simples para dados n pares de valores de duasvariáveisXi,Yi(i=1,2,3,...,n),seadmitirqueYéumafunçãolineardeX,pode-seestabelecerumaregressãolinearsimples,cujomodeloestatísticoé:Yi=α+βXi+ui.

Em que α e β são parâmetros. O coeficiente angular da reta (β) é também denominado decoeficientederegressãoeocoeficiente lineardareta(α)étambémdenominadocomotermoconstante da equação de regressão. A análise de regressão também pode ser aplicada àsrelaçõesnãolineares.Aoestabeleceromodeloderegressãolinearsimples,pressupõemque:a)arelaçãoentreXeYélinear;b)osvaloresdeXsãofixos,istoé,Xnãoéumavariávelaleatória;c)amédiadoerroénula,istoé,E(ui)=0;d)paraumdadovalordeX,avariânciadoerrouésempreσ²,denominadavariância residual, istoé:E(ui²) =σ², ouentão,E[Yi –E(Yi|Xi)]² =σ².Assim, pode-se dizer que, o erro é homocedástico ou que tem-se homocedasticia (do erro ou


57

da variável dependente); e) o erro de uma observação é não correlacionado com o erro de outra observação,istoé,E(uiuj)=0parai≠j;f)oserrostemdistribuiçãonormal.

Deve-seaindaverificar,seonúmerodeobservaçõesdisponíveisémaiordoqueonúmerodeparâmetros da equação de regressão. Para ajustar uma regressão linear simples precisa-seter,nomínimo, trêsobservações.Assim,sesódispordeduasobservações (doispontos),adeterminação da reta é um problema de geometria analítica; não é possível, nesse caso, fazer nenhumaanáliseestatística.Combasenascincopressuposições,épossíveldemonstrarqueasestimativasdosparâmetrosobtidaspelométododosmínimosquadradossãoestimativaslinearesnãotendenciosasdevariânciamínima.

Apressuposição(b)nãoé,naverdade,essencial.Jáapressuposição(c)exclui,porexemplo,aexistênciadeerrossistemáticosdemedidadavariávelY.Apressuposição(d)énecessáriaparaque se possa utilizar as distribuições de t e de F para testar hipóteses a respeito dos valores dos parâmetros ou construir intervalos de confiança. Em alguns casos, é possível justificaressapressuposiçãocombasenoteoremadolimitecentral.Esseteorema,nasuaversãomaisgeral, estabelece que a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes tem distribuição aproximadamente, normal, desde que nenhuma delas seja dominante. Apressuposição (e) geralmente não é obedecida quando é trabalhado com séries cronológicas de dados,portanto,háumaautocorrelaçãonosresíduos.

Oerro(ui)domodeloestatísticodeumaregressãolinearpodeserdevidoàinfluênciadetodasasvariáveisqueafetamavariáveldependenteequenãoforamincluídasnomodelo.Umavezque as variáveis não foram consideradas, devem ser as menos importantes, seus efeitos devem ser relativamente pequenos.Considerandoque o número de fatores que podemafetar certavariável dependente é bastante grande, e desde que seus efeitos sejam aditivos e independentes, pode-se concluir, com base no teorema do limite central, que erro residual tem distribuição aproximadamentenormal.

Portanto, a regressão e correlação estão intimamente relacionadas, porém, conceitualmente muito diferente da análise de regressão, é a análise de correlação, cujo objetivo básico é medir aintensidadeouograudeassociaçãolinearentreduasvariáveis.Ocoeficientedecorrelaçãomedeessaintensidadedaassociação(linear).Naanálisederegressãonãoestápreocupadaemprincípioemtalmedição.Emvezdisso,estimaroupreverovalormédiodeumavariávelcombasenosvaloresfixadosdeoutrasvariáveis.

Assim,valeapenamencionaralgumasdiferençasfundamentaisentreregressãoecorrelação.Na

58

análise de regressão há uma assimetria na forma como as variáveis dependentes e explicativas são tratadas. Supõe-se que a variável dependente seja estatística, aleatória ou estocástica,istoé,quetenhaumadistribuiçãodeprobabilidade.Portanto,poroutrolado,queasvariáveisexplicativastenhamfixadas(emamostragemrepetida).Naanálisedecorrelação,poroutrolado,é tratado quaisquer (duas) variáveis simetricamente; não há nenhuma distinção entre as variáveis dependenteeexplicativa.Aindaqueambasasvariáveissejamaleatórias.

59

II. A correlação linear negativa é aquela em que os pontos do diagrama é uma reta descendente.III. Uma correlação não linear é aquela em que os pontos do diagrama é uma reta ascendente e descendente.IV. O coeficiente de correlação de Pearson os li-mites de r serão sempre [0,1].a) Apenas I está correta.b) Apenas III está correta.c) I e IV estão corretas.d) II e III estão corretas.e) I e II estão corretas.


Atenção: O enunciado seguinte diz res-peito às questões 2, 3, 4 e 5.

Considere o modelo de regressão linear com t = 1,..., n, onde α e β são parâmetros desconheci-dos, os yt são observações de uma variável de-pendente Y, os xt são realizações de uma variá-vel exógena X e os erros εt são realizações não diretamente observáveis de variáveis aleatórias não correlacionadas com média nula e σ² > 0.

Questão 02No contexto da distribuição amostral do estima-dor de mínimos quadrados de β (β^), assinale a opção que não é correta.a) O valor esperado da distribuição amostral de

β^ é β.b) A variância da distribuição amostral de β^ au-

menta com σ².c) A variância da distribuição amostral de β^ dimi-


Ponto de PartidaCalcule o coeficiente de correlação e analise o resultado. Para isso, veja em sua sala de aula e aleatoriamente anote 10 valores das notas de matemática e estatística, depois que treinarem bastante façam outras corre-lações com outras disciplinas.


Questão 01Analise as proposições a seguir:I. A correlação linear positiva é aquela em que os pontos do diagrama é uma reta ascendente.

60

e) Tem pouco interesse prático se nenhuma das observações de X for exatamente nula.


Questão 05Os estimadores de mínimos quadrados α^ e β^ tendem a mostrar que tipo de comportamento quando a média das observações de X é posi-tiva?a) São independentes.b) Variam na mesma direção, pois para uma

amostra particular qualquer do modelo subes-tima-se ou superestima-se a reta de regres-são verdadeira.

c) Variam em direções opostas dado o sinal ne-gativo da covariância entre eles.

d) Variam na mesma direção se o sinal de β^ for positivo.

e) Variam na mesma direção se os sinais de α^ e β^ forem ambos positivos.


Atenção: Para as questões 6, 7, 8 e 10 utilize o enunciado a seguir:

Um dos problemas desafiadores enfrentados pela área de controle de poluição nas águas é apresentado pela indústria de couro. Os deje-tos dos curtumes são quimicamente complexos. Eles são caracterizados por altos valores de de-manda de oxigênio bioquímico, sólidos voláteis e outras medidas de poluição. Considere os dados experimentais obtidos e dispostos na tabela 1.

nui quando aumenta a variabilidade das observa-ções X em torno da média.

d) Como β^ é constante para uma amostra particular qualquer modelo de regressão, não possui uma distribuição amostral.

e) A distribuição amostral de β^ é normal se os erros forem normalmente distribuídos.


Questão 03Suponha os erros normais. Se o intervalo de con-fiança calculado para β inclui o zero pode-se con-cluir que:a) O erro médio quadrático da regressão é nulo.b) O coeficiente de determinação é nulo.c) Não existe um efeito causal de X em Y, mas pode

haver um efeito causal de Y em X.d) Y não sofre influência linear de X.e) A função de regressão passa pela origem.


Questão 04No contexto do cálculo do intervalo de confiança para α quando X=0 é um valor plausível para a re-gressão, assinale a opção correta.a) O intervalo coincide com o intervalo de previsão

para uma nova observação de Y quando X=0.b) O intervalo coincide com o intervalo para E(Y|X=0).c) Geralmente o intervalo terá limites iguais ao inter-

valo análogo calculado para β .d) O intervalo de confiança só deve ser calculado se

o intervalo para β contiver o zero.

61

metro (a).


Questão 09Indique o parâmetro (b) da regressão


Questão 10Determine a equação de Y^ estimado.


São 33 amostras de desejos quimicamente tratados em um estudo da Universidade Estadual da Virgínia.Redução de

sólidos, x

(%)

Demanda

de oxigênio

químico, y

(%)

Redução de

sólidos, x

(%)

Demanda

de oxigênio

químico, y

(%)

3 5 36 34

7 11 37 36

11 21 38 38

15 16 39 37

18 16 39 36

21 28 39 45

29 27 40 39

30 25 41 41

30 35 42 40

31 30 42 44

31 40 43 37

32 32 44 44

33 34 45 46

33 32 46 46

34 34 47 49

36 37 50 51

36 38

Questão 06Determine o coeficiente de correlação.


Questão 07O coeficiente de correlação linear é positivo, negati-vo, não linear, explique.


Questão 08Faça a análise de regressão linear – indique o parâ-

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LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO


Leiaoartigo:BALABAN,Geni;SILVA,GiséliaA.Pda.Prevalênciadesobrepesoeobesidadeemcriançaseadolescentes.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/jped/v77n2/v77n2a08.pdf>Acessoem:26jul.2012.Oartigodemonstraautilizaçãodeintervalosdeconfiançaparaapesquisarealizada.

Leiaoartigo:RIBEIRO,CarladeMatosetal.Determinaçãodoíndicedeacidezdebiodieselportitulaçãopotenciométricautilizando-sediferentesmétodos.Disponívelem:<http://200.20.213.30/handle/10926/1193>.Acessoem:26jul.2012.Essetrabalhoconsistiunadeterminaçãodoíndicedeacidezdebiodieseldesoja/sebopormeiodetitulaçãopotenciométrica.

Leia o artigo: DESSEN, Marina Campos; PAZ, Maria das Graças da. Bem-estar pessoal nasorganizações.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/ptp/v26n3/a18v26n3.pdf>Acessoem:26jul.2012.As autoras observarão a utilização da regressão linear para confrontar personalidades dentro dasorganizações.

Nesse tema, você viu que a regressão linear e correlação estão intimamente relacionadas, mas que a regressão linear há uma assimetria na forma como as variáveis dependentes e explicativa são tratadas. Pode-se por meio de uma regressão linear estimar uma situação por meio da equação de regressão. Nessa perspectiva, você viu que já a análise de correlação tem por objetivo básico mensurar a intensidade ou o grau de associação linear entre duas variáveis.


63

ícones:

TesteQui-QuadradoeTesteF

Tema 8

za b

d

l

m

khg f

pc

ji

or iln

stu

x w

x yi

qe


Conteúdo


• Aimportânciaeutilidadedostestesqui-quadrado.

• Adistribuiçãodefrequência.

• AsdistribuiçõesF.

Habilidades


• Comousaradistribuiçãoqui-quadradoparatestarseumadistribuiçãodefrequênciaseajustaaumadistribuiçãoalegada?

• Comoutilizarumatabeladecontingênciaparaobterfrequênciasesperadas?

• Comoutilizarotestequi-quadradoparaverificarseduasvariáveissãoindependentes?

• ComointerpretaradistribuiçãoFeusarsuatabelaparaobtervalorescríticos?

• DequeformaépossívelrealizarumtesteFdeduasamostrasparacompararduasvariâncias?

64

AULA 8



Emumtestequi-quadradoapreocupaçãoétestarumvalorhipotéticodavariânciapopulacional,de acordo com a equação a seguir:

22

20

( 1)n sXσ−

=

Dessa forma, é possível comparar frequências, obtidas em amostras, de certas categorias, com frequências esperadas baseadas, em cada caso, em hipóteses particulares. Assim, todos os procedimentos apresentados são testes de hipóteses, e, portanto, possuem relação com a análise dos resultados da amostra. As distribuições X² (qui-quadrado) podem ser utilizadas ainda em hipóteses relativas à bondade de ajustamento, à independência de duas variáveis e à diferença entre k proporções amostrais.

A hipótese nula, em testes de bondade de ajustamento, é uma condição estipulada referida ao padrão esperado de frequências em uma série de categorias. O padrão esperado pode ajustar-se à suposição de igual verossimilhança e ser uniforme, ou pode ajustar-se a distribuições de probabilidade tais como a binomial, Poisson ou Normal.

Enquanto o teste qui-quadrado é utilizado para testar as diferenças entre k proporções a análise de variância é empregada para testar as diferenças entre k médias. Uma suposição básica implícita na análise de variância é que as diversas médias amostrais são obtidas de populações normalmente distribuídas e que tem a mesma variância. Todavia, descobriu-se que o procedimento de teste não é afetado por violações na hipótese de normalidade, quando as populações são unimodais e os tamanhos das amostras são aproximadamente iguais.

Uma vez que a hipótese nula é que as médias da população são iguais, a suposição de iguais variâncias (homogeneidade da variância) também implica que o teste se relaciona com a hipótese de que as médias foram obtidas de uma mesma população. Isto porque toda população normalmente distribuída se define tendo como parâmetros a média, a variância (ou desvio padrão).

O conceito básico implícito na análise de variância foi desenvolvido por Ronald Aylmer Fisher, a distribuição F foi assim denominada justamente em sua honra.


65

A distribuição F tem grande aplicação na comparação de duas variâncias. As aplicações da distribuição F são encontradas em problemas que envolvam duas ou mais amostras. A estatística F ou distribuição F é definida pela razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado independentes, cada uma dividida por seu número de graus de liberdade. Ou seja, , em que U e V são variáveis aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Assim, como a distribuição normal de probabilidade a distribuição F também é caracterizada por uma função densidade.

No entanto, o raciocínio conceitual deve-se primeiramente, calcular a média para cada grupo de amostra e depois determinar o erro padrão da média (sx) com base somente nas diversas médias amostrais.

Operacionalmente, este é o desvio padrão dos diversos valores da média. O erro padrão da média será que pode ser utilizada para calcular a variância da população (comum) da qual forma obtida as diversas amostras. Essa estimação da variância da população chama-se quadrado médio entre grupos (QME). Em seguida, calcula-se separadamente a variância dentro de cada grupo amostral e com relação a cada média de grupo. Por conseguinte, combinam-se estes valores da variância, ponderando-os de acordo com (n – 1) para cada amostra. A estimação resultante da variância da população chama-se quadrado médio dentro dos grupos (QMD).

Sendo a hipótese nula μ1 = μ2 = μ3, ..., μk, for verdadeira, tem-se que as duas médias quadráticas obtidas são estimadores independentes e não tendenciosos da mesma variância da população σ². Todavia, se a hipótese nula for falsa, o valor esperado QME é maior do que o de QMD. Isto acontece, porque essencialmente, todas as diferenças entre as médias populacionais inflacionarão QME, enquanto QMD não será afetado.

É desta forma que chegamos à equação 1

2

//

U vFV v

= ue pode ser agora reescrita da seguinte forma:

1 2, QMEFgl glQMD

= trata-se, portanto de um teste unilateral. Se razão F se encontrar na região

de rejeição para o nível de significância especificado, então rejeita-se a hipótese de que as diversas médias amostrais foram obtidas da mesma população.

Ainda que o processo descrito acima seja útil para elucidar o enfoque teórico implícito na análise de variância, a ampliação desse procedimento para delineamentos mais complexos do que a comparação de k médias amostrais torna-se demasiadamente trabalhosa e incômoda. Até por isso, para esse procedimento é utilizado de uma tabela de distribuição F, que você pode encontrar nos livros de estatística aplicada.

66

Questão 01Assinale a opção correta.a) As variáveis aleatórias Y1 e Y2 são indepen-

dentemente distribuídas.b) As variáveis aleatórias Y3 e Y4 são indepen-

dentemente distribuídas.c) As variáveis aleatórias (Y1+Y3) e (Y2+Y4) não

tem distribuição conjunta normal bivariada.d) Os vetores (Y1,Y2) e (Y3,Y4) são independen-

temente distribuídos.e) A variável aleatória Z=(Y1)2 + (Y2)2 tem dis-

tribuição qui-quadrado com 2 graus de liber-dade.


Questão 02A variável aleatória Y se distribui como a variável

em que X tem distribuição F com dois graus de liberdade no numerador e 3 graus de liberdade no denominador.Assinale a opção que corresponde ao valor esperado de Y.a) 0,100.b) 0,500.


Ponto de PartidaUma empresa terceirizada de instalação de tv a cabo, dividiu sua região em quatro áreas. Um cliente da operadora necessita com certa urgência da instalação. A em-presa informou ao funcionário responsável pelas instalações estariam igualmente dis-tribuídas entre as quatro áreas. A empresa de tv a cabo toma uma amostra de 40 insta-lações realizadas no ano anterior, com base nos arquivos da companhia e verifica que a quantidade instalada em cada uma das qua-tro áreas , pode ser observada na tabela a seguir. Adotando que a hipótese de que as instalações estão distribuídas de maneira igual (também observada na tabela), monte a distribuição qui-quadrado.

Área Total

A B C D

Nº observado na

amostra, f0

6 12 14 8 40

Nº esperado, fe 10 10 10 10 40


67

a) 2.b) 10.c) 12.d) 20.e) 72.


Questão 05A distribuição F tem por finalidade:a) Comparar a média de amostras.b) Aceitar erro tipo II.c) Comparar a variância de duas ou mais amostras.d) Rejeitar erro tipo II.e) Aumentar o tamanho da amostra.


Questão 06Para o enunciado de “Ponto de Partida”, formule e teste a hipótese para o nível de significância de 5%.


Questão 07Quinze pessoas que participam de um programa de treinamento são colocadas, de forma aleatória, sob três diferentes tipos de ensaio, todos eles relacionados com o desenvolvimento de um nível específico de

c) 0,667.d) 0,700.e) 0,600.


Atenção: As questões 3 e 4 referem-se ao enunciado seguinte:

Em um estudo controlado no qual o interesse é concentrado no desgaste de pneus testaram-se um certo número de marcas obtendo-se os resultados constantes da tabela de análise de variância dada abaixo.

Fonte Graus de Liber-

dade

Soma de Quadrados

Marcas 3 60

Erro 36 72

Total (Corrigi-

do)

39 132

Questão 03Assinale a opção que dá o número de marcas de pneus estudadas.a) 2.b) 3.c) 4.d) 5.e) 12.


Questão 04Assinale a opção que dá o valor da estatística F utilizada para testar a hipótese de igualdade de médias das marcas.

68

Para o enunciado 7 determine o quadrado médio entre os grupos.


habilidade em pesquisa científica. Os graus obtidos no teste de conclusão da unidade instrucional são apresentados na tabela abaixo, juntamente com o grau médio de desempenho associado a cada tipo de ensino. Usar o procedimento da análise de variância (distribuição F) para testar a hipótese nula de que as três médias amostrais foram obtidas da mesma população, a um nível de significância de 5%.


Questão 08Método

de Ins-

trução

Graus de prova Total

de

graus

Média

dos

graus

A1 86 79 81 70 84 400 80

A2 90 76 88 82 89 425 85

A3 82 68 73 71 81 375 75

Determine as hipóteses para o modelo acima e calcule a média global dos 15 graus das provas.


Questão 09Para o enunciado da questão 7, determine o erro padrão da média, baseado nas três médias amostrais.


Questão 10

69

LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO


Leia o artigo: SILVA, VicenteP.R. et. al.Análise da pluviosidade e dias chuvosos na regiãoNordestedoBrasil.Disponívelem<http://www.scielo.br/pdf/rbeaa/v15n2/v15n02a04.pdf>Acessoem:26jul.2012.Artigo que mostrará alguns tratamentos estatísticos utilizados até o momento

Leiaoartigo:VASCONCELOS,EdmarSoareset.al.Agrupamentodemodelosderegressãodaanálisedeadaptabilidadeeestabilidadedegenótipos.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/pab/v45n12/v45n12a04.pdf>.Acessoem:26jul.2012.Oartigodemonstraautilizaçãoderegressãolinear,vistonotemaanterioreadistribuiçãoF.

Leroartigo:BECK,CarmemCristinaet.al.Fatoresde riscocardiovascularemadolescentesdemunicípio do sul do Brasil: prevalência e associações com variáveis sociodemográficas.Disponívelem:<http://www.scielo.br/pdf/rbepid/v14n1/04.pdf>.Acessoem:26jul.2012.Esse artigo determina a prevalência de fatores de risco cardiovasculares com variáveis sociodemográficasutilizandooprocedimentoestatísticoqui-quadrado.

Nesse tema, você viu que o teste de hipótese auxilia o pesquisador na tomada de decisão. Observou ainda que para comparar variâncias é utilizado a distribuição F e que o teste qui-quadrado é utilizado para comparar as frequências, sendo que uma frequência é a observada na amostra e a outra é a frequência esperada. Assim como conclusão, você viu que esses testes são de grande importância para pesquisadores, administradores de empresa e contabilistas (auditores).


70

BECK, C. C.; et al. Fatores de risco cardiovascular em adolescentes de município do sul do Brasil: prevalência e associações com variáveis sociodemográficas. Revista Brasileira Epidemiologia: 2011, v. 14, n. 1, p. 36-49.

BRASIL. CAPES. Disponível em: <http://www.capes.gov.br/>. Acesso em: 26 jul. 2012.

CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1998.

GUARIEIRO, L. L, N.; et al. Metodologia analítica para quantificar o teor de biodiesel na mistura de biodiesel: diesel utilizando espectroscopia na região do infravermelho. Revista Química Nova, 2008, v. 31, n. 2, p. 421-426.

IBGE. Disponível em: < http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm>. Acesso em: 26 jul. 2012

KAZMIER, L. J. Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.

LANDÍN, P. R.; SÁNCHEZ, E. Niveles de razonamiento probabilístico de estudiantes de bachillerato frente a tareas de distribuición binomial. São Paulo: Revista de Educação Matemática e Pesquisa, 2010, v. 12, n. 3, pp 598-618.

LOPES, C. E. O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/ccedes/v28n74/v28n74a05.pdf>. Acesso em: 26 jul. 2012.

RIBEIRO, S. D. As pesquisas sobre o ensino da estatística e da probabilidade no período de 2000 a 2008: uma pesquisa a partir do Banco de Teses da CAPES. São Paulo: PUCSP, 2010.

RON, L.; FARBER, B. Estatística aplicada. trad. Cyro Patarra. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2007.

RODRIGUES, J. M.; et alli. Efeitos locais e de escala na dinâmica climática no município de Viçosa. Uberlândia: Revista Sociedade e Natureza, 2010, v. 22, n. 3, p. 593-610.

REFERÊNCIAS

71

SEADE. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/>. Acesso em: 26 jul. 2012.

SILVA, V. P. R.; PEREIRA, E. R. R.; AZEVEDO, P. V.; SOUSA, F. A. S.; SOUSA, I. F. Análise da pluviosidade e dias chuvosos na região Nordeste do Brasil. Campina Grande: Revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental, v. 15, n. 2, p. 131-138, 2011.

SHEIN, D.; de LIMA, M. L. P. Uma metodologia para o dimensionamento de frota de rebocadores em terminais portuários: uma aplicação ao porto do Rio Grande. Rio de Janeiro: Revista Pesquisa Operacional para o Desenvolvimento, v. 2, n. 2, p. 119-139, mai/ago 2010.

TAVARES, B. S.; BORGES JUNIOR, J. C. F.; CORREA, M. M.; LIMA, J. R. S.; DANTAS NETO, J. Análise de risco e otimização de recursos hídricos e retorno financeiro em nível de fazenda. Campinas Grande: Revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental, v. 15, n. 4, p. 338-346, 2011.

VASCONCELOS, E. S.; et alli. Agrupamento de modelos de regressão da análise de adaptabilidade e estabilidade de genótipos. Revista Pesquisa Agropecuária Brasileira. Brasília: 2010, v. 45, n. 12, p. 1357-1362.

72

GABARITO

TEMA 1Estatística Descritiva

Ponto de PartidaResposta: Isto irá depender do número de pessoas entrevistadas. Para o cálculo da média basta somar os valores apontados e dividir pelo número de observações. Já a moda é o valor que mais aparecer no apontamento feito.

Questão 1Resposta: alternativa “D”.

Questão 2Resposta: alternativa “A”.


Questão 4Resposta: alternativa “C”.

Questão 5Resposta: alternativa “E”.E

Questão 6Resposta: Departamento de Recursos Humanos = 7 x 0,1 = 0,7, como não existe 0,7 pessoa arredondar para 1 pessoa.Departamento Marketing e vendas = 35 x 0,1 = 3,5 arredondar para 4 pessoas.Departamento Financeiro = 17 x 0,1 = 1,7 arredondar para 2 pessoas.Departamento Produção = 41 x 0,1 = 4,1 arredondar para 4 pessoas.Portanto, o número de funcionários do novo departamento será de 11 pessoas. Questão 7Resposta: Cálculo da amplitude total = 3650 – 500 = 3150.Cálculo do nº de classes, segundo Sturges.i= 1 + (3,3 x log n) 1+ (3,3 x log 40) 1 + (3,3 x 1,60)

73

i = 1 + 5,29 6, 29, portanto, tem-se 6 classes.Cálculo da amplitude da classe (h) = 3150 (amplitude total) ÷ 6 (número de classes) 525.

Questão 8Resposta: Cálculo da média dados não agrupados = 60.800 (soma de todos os dados) ÷ 40 (número de dados na amostra) R$ 1.520,00.Cálculo da média dados agrupados = 68.300 (total do produto entre o ponto médio e a frequência simples de cada classe) ÷ 40 (número total de dados na amostra) R$ 1.707,50.

Questão 9Resposta: Moda para dados não agrupados = R$ 2.000,00 (basta verificar o valor que mais aparece na amostra 2.000 aparece 3 vezes).Moda, segundo Czuber:

Em que:Mo: moda.l: limite inferior da classe modal.D1: fi - fant.D2: fi - fpost.h: intervalo da classe modal.Primeiro deve-se descobrir qual é a classe modal. C, como a moda é o valor que mais aparece, então, a classe modal é a que tem mais elementos no caso a classe 3 com 11 elementos. Assim, desenvolvendo a equação ficará:

(11 8)1550 525(11 8) (11 5)

Mo x−= +

− + −31550 525

3 6Mo x= +

+

525931550 xMo +=

1550 (0,3333 525)Mo x= +1550 175Mo = +

74

1725Mo =

Portanto, a moda para dados agrupados será de R$ 1.725,00 – o que está dentro da classe modal indicando que os cálculos estão corretos.

Questão 10Resposta: Pelos dados agrupados percebe-se que o valor médio dos empréstimos são de R$ 1.707,50, com o valor que mais aparece de empréstimos são R$ 1.725,00. Sendo que apenas 8% da amostra emprestam valores acima de R$ 3.125,00, como pode ser observado na tabela de distribuição de frequência, última classe. Como gerente, o esforço deve ser para diminuir os empréstimos entre R$ 500 a R$ 1500, que representam 45% dos valores emprestados e fazer com estes valores se aproximem da média ou da moda emprestada pela agência.

TEMA 2Probabilidade

Ponto de PartidaResposta: Probabilidade de sair o número 6 = Evento (sair 6) e Respostas possíveis = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Portanto, a probabilidade de sair o número 6 é 1/6.A probabilidade de o número e o número 1 é: (1/6 multiplicado por 1/6), assim tem-se 1/36


Questão 2Resposta: alternativa “B”.

Questão 3Resposta: alternativa “E”.



Questão 6Resposta: Prob = (1/6 x 1/6) = 1/36 ou 2,78%.

75

Questão 7Resposta: Prob = 1/6 + 1/6 2/6 1/3 ou 33,33%.

Questão 8Resposta: Prob = 1/10 ou seja, 10%.

Questão 9Resposta: Em um baralho não viciado existem 52 cartas, com 4 naipes e cada um com 13 cartas. Assim, a probabilidade será de Prob. Será 13/52, ou 25%.

Questão 10Resposta: Prob = 1/52 ou 1,92%.

TEMA 3Distribuições Discretas de Probabilidade

Ponto de PartidaResposta: Utilizando a fóormula da distribuição discreta binomial, , tem-seremos:

Portanto, a probabilidade do vendedor efetuar 4 vendas será:: 0,55%.Questão 1Resposta: alternativa “D”.




76


Questão 6Resposta:

Portanto, a probabilidade será: 7,78%.

Questão 7

Portanto, a probabilidade será: 34,56%.

Questão 8Resposta: Como o analista financeiro quer saber se a maioria das contas estão em inadimplência, então, deve-se verificar a probabilidade de 3, 4, 5 ocorrências.

= 23,04%

= 7,68%

= 1,02%A probabilidade da maioria das contas estarem inadimplentes será a soma das probabilidades, portanto, 31,74%.

Questão 9Resposta:

Portanto, a probabilidade será: 25,92%

77

Questão 10Resposta: Como os números da inadimplência podem ser contabilizados, poderiam ser utilizados como estimadores, porém, poderiam utilizar uma distribuição normal

TEMA 4Distribuição Normal de Probabilidade

Ponto de PartidaResposta: Primeiro deve-se calcular a média e o desvio padrão. Em seguida, utilizando da

distribuição normal padronizada em que basta alocar os resultados na formula fórmula e consultar a tabela 4 do Livro - Texto no apêndice B.

Questão 1Resposta: A




Questão 5Resposta: alternativa “ E”

Questão 6

Resposta:

Consultando a tabela 4, apêndice B tem-seremos o valor 0,9772.Como já visto, pela característica da tabela apresentada, para encontrar a probabilidade temos deve que subtrair este valor do ponto médio da simetria, onde em que está localizada a média, esse valor de simetria é 0,5000.Com isso, a probabilidade será P(X) = 0,9772 – 0,5000= 0,4772 x 100 47,72%

Questão 7

78

Resposta:

= - 0,60, esse valor na tabela tem- seteremos 0,2743.Como o valor está aà esquerda da média e pela definição a curva é simétrica, tem-seremos: P(X) = 0,5000 – 0,2743 = 0,2257 ou 22,57%.

Observe que não há temos apenas um valor a ser calculado, portanto:

com isso a P(X) = 0,5319 – 0,5000 = 0,0319 ou 3,19%, perceba que a probabilidade final será a soma das probabilidades anteriores. P(X) = 22,57% + 3,19% 25,76%

Questão 8

Resposta:

- 2,0 na tabela como já foi vistovimos 0,0228 que resulta em 47,72%.

= - 0,40, que na tabela 0,3446P(X) = 0,5000 – 0,3446 = 0,1554 ou 15,54%

Questão 10Resposta: Para melhorar o processo, basta reduzir o desvio padrão.

TEMA 5Intervalos de Confiança

Ponto de PartidaResposta: A distribuição normal de probabilidade pode ser usada neste caso porque a população é normalmente distribuída e σ é conhecido.Assim, temos:X ± zσx = 2900 ± 1,96(σ/√n) 2900 ± 1,96(500/√15)= 2900 ± 1,96(129,10) 2770,90 a 3029,10 horas (este será o intervalo)Questão 1Resposta: alternativa “C”.

79





Questão 6

Resposta:

Questão 7Resposta: N(X ± zsx) = 1000($ 37,09 a $ 37,89) = $ 37089,45 a $ 37890,00

Questão 8Resposta: X (média) = ± zsx = $ 37,49 ± 2,58(0,2038) $ 36,96 a $ 38,02

Questão 9Resposta: n = (zσ ÷ E)² [(1,96 x 80) ÷ 25]² = (39,34)² 1548

Questão 10Resposta: a A predição pontual da quantia de empréstimo do próximo cliente é $257.300. O valor de z = 1,96, então o intervalo de 95% será: 257.300 ± (1,96)(25.000)√1 + (1/50) intervalo entre $ 207.812,43 a $ 306.787,57

TEMA 6Teste de Hipótese com Uma ou Duas Amostras

80

Ponto de PartidaResposta: Observe que 25% (0,25) corresponde a 5 pessoas vacinadas.O teste de hipótese ficaria:H0: p = 0,25H1: p > 0,25Os valores possíveis de X, de 0 a 20, são divididos em dois conjuntos: aqueles números menores ou iguais a 8 e aqueles maiores que 8. Portanto, o valor crítico é 8.Se x > 8 rejeita-semos a H0 em favor da H1.Se x ≤ 8, não se rejeitamos H0






Questão 6Resposta:H0: µ ≥ 4200 H1: µ < 4200t crítico (gl = 10 -1 = 9, α = 0,05) 1,833 (tabela 5 – PLT – monocaudal)sx = s ÷ √n = 200 ÷ √10 63,3 h

t = X - µ0 ÷ sx t = (4000 – 4200) ÷ 63,3 - 3,16Portanto, rejeita-se a hipótese nula e aceita-se a hipótese alternativa, qual seja, a de que a verdadeira média da vida útil é menor de que 4.000 horas.

Questão 7Resposta: H0: µ = $260.000,00 H1: µ ≠ $ 260.000,00

Questão 8Resposta: Hipóteses: H0: µ = $260.000,00; H1: µ ≠ $ 260.000,00Nível de significância: α = 0,05Estatística de teste: X (média) baseada em uma amostra de n = 36 e com σ = $ 43.000,00

81

X = µ0 ± zσx = 260.000,00 ± 1,96(σ ÷ √n)X = 260.000 ± 1,96(43.000 ÷ √36) $ 245.953,33 a $274.046,67Portanto, para rejeitar a hipótese nula, a média amostral deve ter um valor menor do que $ 245.953,33, ou maior do que $ 274.046,67.

Questão 9Resposta: H0: µ ≥ $ 260.000 e H1: µ < $ 260.000X = µ0 + zσx = 260.000 + (- 1,65)(7.166,67) $ 260.000 – 11.825 $ 248.175,00Uma vez que X (média) = $ 240.000, o mesmo se encontra na região de rejeição. Portanto, rejeita-se a hipótese nula e aceita-se a hipótese alternativa µ< $ 260.000.

Questão 10Resposta: H0: µ = $ 1500; H1: µ ≠ $ 1500; nível de significância (α = 0,05)X = µ0 ± zσx = µ0 ± z(σ ÷ √n) 1500 ± 1,96(200 ÷ √15) 1500 ± 101,21 $ 1398,79 a $ 1601,21.Uma vez que a média da amostra $ 1400,00 se encontra na região de aceitação da hipótese nula, não se pode rejeitar a afirmação do representante da comunidade.

TEMA 7Correlação e Regressão

Ponto de PartidaResposta: Para responder a questão utilize o esquema a seguir:

Em seguida, basta colocar na equação

2 2 2 2

( )( )[ ( ) ][ ( ) ]

i i i i

i i i i

n x y x yrn x x n y y

∑ − ∑ ∑=

∑ − ∑ ∑ − ∑Questão 1Resposta: alternativa “E”.



82



Questão 6Resposta:

2 2

33 41355 (1104 1124)[(33 41086) (1104) ] [(33 41998) (1124)

x xrx x x

−=

− −r = 1,06 ou aproximadamente 1.

Questão 7Resposta: A correlação é positiva. Existe uma relação perfeita entre as variáveis estudadas.

Questão 8Resposta: Parâmetro a

2 2( )i i i i

i i

n x y x yan x x∑ −∑ ∑

=∑ − ∑

2(33 41355) (1104 1124)

(33 41086) (1104)x xa

x−

=−

a = 0,9036

Questão 9Resposta: Parâmetro b

b aX= Υ − b = 33,9697 – 0,9036(33,4545) b = 3,7402 em que Y é média de yi e X é a média xi

Questão 10Resposta:

Y^= aX + b 0,9036X + 3,7402

TEMA 8Teste Qui-quadrado e Distribuição

Ponto de Partida

83

Resposta:

2 2 2 2 22 0( ) (6 10) (12 10) (14 10) (8 10) 40 4

10 10 10 10 10e

e

f fXf

∑ − − − − −= = + + + = =




Questão 4Resposta: alternativa “B”


Questão 6Resposta: H0: A quantidade de instalações está igualmente distribuída entre as quatro áreas. H1: A quantidade de instalações não está igualmente distribuída entre as quatro áreas.

gl = k – m – 1 4 – 0 – 1 =3X² crítico (gl = 3; α = 0,05) 7,81 (tabela distribuição F)Portanto, não pode rejeitar a hipótese nula de que as instalações estão igualmente distribuídas

entre as quatro áreas, a um nível de significância de 5%.Questão 7Resposta: H0: μ1 = μ2 = μ3 e H1: as médias não são todas mutuamente iguais.A média global dos 15 graus é: Questão 8Resposta: o O erro da média, baseado nas 3 médias amostrais é:

2( ) (80 80)² (85 80)² (75 80)² 50 5º 1 3 1 2

tx

X XsN médias∑ − − + − + −

= = = =− −

Questão 9

84

Resposta: QME = nsx² = 5(5)² = 5(25) = 125

Questão 10Resposta: a variância para cada uma das amostras.

1)́( 2

2

−−∑

=n

XXs

85

Supervisão Editorial:Barbara Monteiro Gomes de Campos Juliana Cristina e Silva

Diagramação:Diogo da Silva Pereira Botelho

Revisão Textual:Giovana Valente Ferreira

EditoraçãoEletrônica:Celso Luiz Braga de Souza FilhoGlauco Berti de OliveiraMaurício Rodrigues de Moraes

Capa: Fourmi Comunicação e Arte

FICHATÉCNICA

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