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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO-UFERSA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS VEGETAIS-DCV DISCIPLINA: Estatística PROFESSORA: Jailma Suerda Silva de Lima UFERSA MOSSORÓ-RN 2012

Caderno de Exercícios - 2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO-UFERSA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS VEGETAIS-DCV

DISCIPLINA: Estatística PROFESSORA: Jailma Suerda Silva de Lima

UFERSA MOSSORÓ-RN

2012

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Estudar sempre vale a pena. Desistir jamais Jesus te ama!

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1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1.1. Introdução 1.2. Coleta, organização e apresentação de dados 1.3. Medidas de posição 1.4 .Medidas de dispersão

2. CONJUNTOS E PROBABILIDADES 2.1. Conjuntos e Subconjuntos 2.2. Operações com conjuntos 2.3. Espaço amostral 2.4. Probabilidade e suas leis 2.5. Probabilidade condicional

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 3.1. Variáveis Aleatórias (conceitos) 3.2. Distribuições Discretas de Probabilidades 3.3. Funções de Distribuição para Variáveis Aleatórias Discretas 3.4. Distribuições de Probabilidades Contínua. 3.5. Funções de Distribuições para Variáveis Aleatórias Contínuas. 3.6. Esperança Matemática

4. DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE

4.1. Distribuição binomial 4.2. Distribuição de Poisson 4.3. Distribuição Normal 4.4. Distribuição Qui-quadrado 4.5. Distribuição t de Student

5. TEORIA DA AMOSTRAGEM

5.1. Introdução 5.2. Amostragem probabilística

Amostragem casual simples Amostragem sistemática Amostragem estratificada

5.3. Amostragem não probabilística Amostragem a esmo ou sem norma Amostragem intencionais 6. TEORIA DE ESTIMAÇÃO

6.1. Introdução 6.2. Estimativa por ponto e por intervalo 6.3. Estimando a média em grandes e pequenas amostras 6.4. Estimando a diferença entre duas médias em grandes e pequenas amostras

7. TESTES DE HIPÓTESES

7.1. Hipótese estatística 7.2. Erros do tipo I e II 7.3. Testes unilaterais e bilaterais 7.4. Testes referentes a médias

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7.5. Teste de ajustamento de distribuição teóricas 7.6.Testes de independência

8. REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO

8.1. Ajustamento de curvas 8.2. Estimação dos parâmetros 8.3. Provas para os parâmetros da Equação de Regressão 8.4. Coeficiente de Correlação 8.5. Os perigos da Extrapolação

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RESISTA

Resista um pouco mais, mesmo que as feridas latejam e que sua coragem esteja

cochilando.

Resista mais um minuto e será fácil resistir aos demais.

Resista mais um instante, mesmo que a derrota seja um imã, mesmo que a desilusão

caminhe em sua direção.

Resista mais um pouco, mesmo que os invejosos digam para você parar, mesmo que

sua esperança esteja no fim.

Resista mais um momento, mesmo que você não possa avistar ainda linha de chegada.

Mesmo que as inseguranças brinquem de roda a sua volta.

Resista um pouco mais, mesmo que a sua vida esteja sendo pesada como a consciência

dos insensatos e você se sinta indefeso como um pássaro de asas quebradas.

Resista, porque o ultimo instante da madrugada e sempre aquele que puxa a manha

pelo braço e essa manha bonita, ensolarada, sem algemas, nascera para você em breve, desde

que você resista.

Resista, porque estamos sentados na arquibancada do tempo, torcendo ansiosos para

que você vença e ganhe de deus o troféu que você merece: A FELICIDADE.

(Everton Luis da Silva)

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Atividade em classe - Estatística Descritiva

Questão 1. Marque a alternativa correta.

1. População ou universo é:

a) Um conjunto de pessoas;

b) Um conjunto de pessoas com pelo menos uma característica em comum;

c) Um conjunto de pessoas com uma característica comum;

d) Um conjunto de elementos quaisquer;

2. Uma parte da população retirada para analisá-la denomina-se:

a) Universo

b) Dados brutos

c) Amostra

d) Pedaço

3. A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas

características de um grupo, sem tirar conclusões sobre um grupo maior denomina-se:

a) Estatística da população;

b) Estatística de Amostra;

c) Estatística Inferencial;

d) Estatística Descritiva.

4. Diga qual tipo de variável estamos trabalhando nos casos abaixo:

a) Nº de inscrições no seguro social. ______________________

b) Cor dos olhos. ______________________

c) Escolaridade. ______________________

d) Peso médio dos Recém Nascidos. ______________________

e) Altitude acima do nível do mar. ______________________

f) Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de um

serviço ______________________

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Questão 2. Num estudo feito numa escola, recolheram-se dados referentes às seguintes variáveis:

(A) idade (E) tempo gasto diariamente no estudo

(B) ano de escolaridade (F) distância de casa à escola (C) sexo (G) local de estudo (D) nota na disciplina de Matemática (H) número de irmãos

a) Das variáveis indicadas, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas? b) Das variáveis quantitativas, diz quais são contínuas.

Questão 3. Relacione corretamente cada uma das situações expostas na coluna à esquerda

com a numeração correspondente à variável estatística associada à mesma, apresenta à

direita.

( ) Nº de alunos aprovados em informática

em 2007.1 no curso de Administração à

distância;

1. Qualitativa nominal

( ) Média final obtida pelo aluno na disciplina

Matemática I;

2. Qualitativa ordinal

( ) Intenção de voto para prefeito (candidato

em quem pretende votar);

3. Quantitativa discreta

( ) Nível de escolaridade dos adolescentes

internos no CEDUC;

4. Quantitativa contínua

( ) Estado civil dos alunos do curso de

Administração à distância;

A seqüência correta é:

a) 3; 4; 2; 1; 2

b) 3; 4; 1; 1; 2

c) 4; 3; 1; 2; 1

d) 3; 4; 1; 2; 1

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Questão 4. De acordo com os dados divulgados pelo MEC, as taxas de alfabetização em sete

importantes municípios do RN, Natal, Parnamirim, Mossoró, Caicó, Paus dos Ferros, Ceará

Mirim e Macaíba, foram em 2000, respectivamente, igual a: 88, 86, 81, 79, 76, 69 e 70.

Quando apresentados em uma tabela ou um gráfico os dados citados constituem uma série

estatística. Que tipo de série é essa?

a) Geográfica

b) Especificativa

c) Temporal

d) Distribuição de freqüência

e) Mista

Questão 5. Qual o tipo de Série estatística visto abaixo?.

1) Tabela 01 - População brasileira no período de 1940 a 1970.

Anos População 1940 41.236.315 1950 51.944.397 1960 70.119.071 1970 93.139.037

Fonte: Livro de Estatística R:______________________

2) Tabela 02 – Região de origem de universitários. São Paulo, 2000.

Região F f% Urbana 240 12

Suburbana 1400 70 Rural 360 18 Total 2000 100

Fonte: Livro de Estatística R:______________________

3) Tabela 03 – Entrevistados segundo a distribuição ocupacional. Natal, 2001. Distribuição ocupacional Nº de

Entrevistados Artesanato 52 Gerencial 29 Serviços Burocráticos 34 Trabalho Não Qualificado 65 Total 180 Fonte: Livro de Estatística R:______________________

4) Tabela 04 – Número de alunos em uma exposição de pintura segundo sexo e o tipo de arte preferida. São Paulo, 2000.

Sexo

Tipo de arte Arte Clássica Arte

Moderna Masculino 80 70 Feminino 20 30 Fonte: Livro de Estatística ______________________

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Exercício de Fixação - Estatística Descritiva

Assunto: Notação sigma (Técnicas de somatório) Referência: Willian Steveson. Estatística Aplicada a Administração

Questão 1. Escreva em notação sigma:

a) x1 + x2+ x3+ ... + xn

b) (x1 + x2+ x3+ ... + xn)²

c) x1 + x2+ x3+ x4 + x5 + x3 + x7

d) [( O1 – Oe1)²/Oe1] + [( O2 – Oe2)²/Oe2] + [( O3 – Oe3)²/Oe3] + [( O4 – Oe4)²/Oe4]

Questão 2. Seja os conjuntos de dados a seguir: X = {2, 4, 4, 3, 2} e Y = {1, 2, 3, 6, 7}.

Obtenha:

a) ∑=

4

1j

Xj

b) ∑=

5

1j

Yj

c) ∑=

4

1

²j

X

d)∑=

4

1

²j

Y

e) ∑=

5

1

²4j

jX

f) ∑=

5

1j

XjYj

g) ∑=

+5

1

)23(j

YjXj

h) ∑∑==

+1

4

1

² jj

jyXjYj

Assunto: Regras de arredondamento Questão 3.

Regras de arredondamento (uma casa decimal após a vírgula), conforme resolução 886/66 da

Fundação IBGE.

a) 2,38 = ____ b) 24,65=____ c) 0,351=____ d) 4,24 =____ e) 328,35=____ f) 2,97 =____

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g) 6,829=____ h) 5,550=____ i) 89,99 =____ j) 24,66 =____

PS: Quando o algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer; Quando o algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer; Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: - Se ao 5 seguir qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. Ex: 2,352= 2,4; 25,6501= 25,7. - Se for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Ex: 24,75= 24,8; 24,65= 24,6.

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Assunto: Tipos de gráficos

Questão 4: Qual a aplicação e exemplifique os seguintes tipos de gráficos, segundo a

variável:

a) Gráfico em Colunas ou em Barras;

b) Gráficos em Setores;

c) Gráfico em Curvas ou Linear;

d) Histograma e polígono de frequência

Assunto: Unidade I- Estatística Descritiva - Conceitos

Questão 5: Classifique as variáveis abaixo como: discretas, contínuas, nominais e

ordinais.

a) o número de automóveis de uma cidade;

b) o tempo de espera dos clientes em uma fila de banco;

c) o estado civil dos mossoroenses;

d) o número de lâmpadas de uma residência;

e) as idades em anos completos dos operários de uma fábrica;

f) os pesos das crianças das escolas de primeiro grau;

g) a velocidade em km/h de um avião;

h) o número de estudantes matriculados nas universidades federais em 1996;

i) O nível de instrução dos chefes de setores das empresas do ramo da

construção civil;

j) Sexo das crianças de uma escola.

k) Números de inscrição do INSS.

l) Código de endereçamento postal.

Questão 6. Defina:

a) O que é Estatística? Dê três definições;

b) Distribuição de freqüências;

c) Variável e seus tipos;

d) Dados brutos e Rol;

e) Amplitude total;

f) Intervalo de classe; freqüência absoluta e freqüência acumulada;

g) Histograma e polígono de freqüência.

Questão 7. Responda

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a) Quais as principais razões de amostragem?

b) Dê exemplos em que a Estatística é útil?

Questão 8. Considere uma variável X discreta representando o número de filhos de

casais, em uma amostra de 50 famílias extraídos do registro de uma escola.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 5 5 5 1 1 1

1 1 1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

- Construa uma distribuição de freqüência para esses dados;

- Calcule as freqüências simples acumuladas crescentes e decrescentes;

- Calcule as freqüências relativas;

- Construa um gráfico para a distribuição de freqüência;

- Construa o polígono de freqüência acumulada.

Questão 9. No quadro de freqüências abaixo, relativo às notas dos estudantes da

disciplina de estatística, complete os espaços vazios.

Classes fi fr fr% fa ↑ fa ↓ fr%↑ Fr%↓

0 |----- 2 3

2 |----- 4 20

4 |----- 6 8

6 |----- 8 10

8 |----- 10

Σ 30 - - - -

Questão 10. A distribuição abaixo representa a idade dos alunos do primeiro grau de

uma determinada escola.

Idade Número de alunos

4 – 6 10

6 – 8 15

8 – 10 27

10 – 12 20

12 – 14 5

Soma 77

- Calcule as freqüências acumuladas crescentes e decrescentes;

- Calcule as freqüências relativas;

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- Construa o histograma e o polígono de freqüência;

- Construa o polígono de freqüência acumulada.

Questão 11. Trinta estudantes foram submetidos a um exame de estatística obtendo

as seguintes notas:

93 98 72 84 88 90

78 80 89 94 95 77

81 75 72 76 70 76

83 99 73 83 87 91

83 92 90 92 77 86

86 74 87 81 98 94

- Construa uma distribuição de freqüência por classe e calcule as freqüências relativas

(simples e acumulada);

- Construa o histograma e o polígono de freqüência;

- Construa o polígono de freqüência acumulada.

Questão 12. Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre o meios de transporte utilizado diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram registados no seguinte gráfico:

Construa uma tabela com a frequência relativa de cada um dos transportes.

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Questão 13. Raquel fez um inquérito para a disciplina de Estudo Acompanhado sobre quantas horas os colegas estudavam por dia. Obteve o histograma seguinte:

a) Quantas classes formou a Raquel? b) Com que amplitude? c) Em que intervalo se encontra a resposta mais frequente? d) Qual a percentagem de alunos que estuda no máximo 6 horas? e) Há alunos que estudam mais do que meio dia? f) Construa o respectivo polígono de frequências.

Questão 14. A Ana resolveu perguntar aos seus amigos e colegas qual era a estação do ano que eles preferiam. Após 180 questionários e a organização dos dados, obteve um gráfico circular. Os números correspondem à amplitude dos ângulos ao centro.

a) Qual foi a percentagem de pessoas que responderam que gostavam mais da Primavera?

b) Quantos responderam que gostavam mais do Inverno? c) Qual foi a moda? A quantas pessoas corresponde? d) Qual foi a estação menos escolhida?

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Questão 15. Fez-se um inquérito a um grupo de jovens sobre as idas ao cinema no último mês e os resultados estão sintetizados no seguinte gráfico:

Pede-se:

a) Construa uma tabela de frequências absolutas, relativas, relativas em percentagem e relativas acumuladas em percentagem.

b) Qual a percentagem de jovens que foi, no máximo, duas vezes ao cinema? c) Indique a moda. d) Calcule: a mediana e os quartis.

Questão 16. Os dados abaixo referem-se às rendas (em 1.000 reais) de 50 funcionários de uma empresa metalúrgica, do estado X, em 2007.

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

3 3 3 4 4 4 4 4 4 5

5 5 6 6 6 7 8 8 8 8

9 9 9 10 10 10 10 11 11 12

13 13 13 14 14 14 15 15 15 15

Com base nesses dados responda o que se pede:

a) Construir uma tabela de freqüências em classes e calcular as freqüências simples

relativas (%) e acumuladas f↓ e f↑;

b) Calcule a renda média, mediana e modal;

c) Quantos funcionários recebem menos que R$5.000?

d) Qual o percentual de funcionários com renda inferior a R$9.000?

e) Quantos funcionários recebem R$ 5.000 ou mais?

f) Qual o percentual de funcionários com renda igual ou superior a R$11.000?

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Questão 17. Todas as respostas das questões que envolvam cálculos somente serão

consideradas com a apresentação dos mesmos. Utilize 4 casas decimais em seus cálculos.

Considere a tabela que se segue:

Distribuição do tempo de espera na fila do caixa “preferencial”, em uma amostra de 25

clientes atendidos em 26 de Outubro de 2010, entre 11:00 e 13:00, no Banco Dinheiro Vivo,

agência Central, em Tibaúna.

Tempo (min) Nº de clientes (fi) (xi) fr% fa ↓ xifi

9 |----- 11 3

11 |----- 13 4

13 |----- 15 6

15 |----- 17 8

17 |----- 19 4

Σ 25

Com relação a esses dados, pede-se:

a) Complete as colunas: ponto médio (xi) e freqüência acumulada “abaixo de” (f↓ ).

b) Responda: Quantos clientes esperam menos de 15 minutos na fila?

c) O tempo de espera que corresponde à moda bruta é de 16 minutos. O que significa esse

resultado no contexto dessa distribuição, associada ao tempo de espera de clientes

preferenciais?

d) Calcule o tempo mediano de espera e responda o que significa o valor encontrado para a

mediana, no contexto dessa questão.

Questão 18. Considere a tabela:

Distribuição do saldo médio da poupança, em salário mínimo, numa amostra de 25

clientes do BB, agência Guarapé, em junho de 2008.

Saldo médio na poupança

(em salário mínimo)

Nº de clientes

(fi)

3,5 |----- 4,5 2

4,5 |----- 5,5 3

5,5 |----- 6,5 6

6,5 |----- 7,5 7

7,5 |----- 8,5 10

8,5 |----- 9,5 4

Σ 25

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A partir dessa informação, calcule as medidas de estatísticas necessárias para responder

ao que se pede:

Considerando os resultados de seus cálculos, e adotando a classificação: “V” como verdadeira e

“F” como falsa, classifique as afirmações I; II; III; IV e V que se seguem:

I) a média é 7,0 s.m.; a moda bruta é igual a 7,5 s.m. e a mediana é 7,2 s.m.

II) a mediana é 7,2 s.m. e a moda bruta é igual a 10,0 s.m. a média é 7,0 s.m.

III) a média é 7,0 s.m.; 18 clientes têm saldo médio menor que 7,5 s.m. e a moda bruta é igual

a 10,0 s.m.

IV) a mediana é 7,2 s.m.; e a moda bruta é igual a 8 s.m. a média é 7,0 s.m.

V) a média é 7,0 s.m. 18 clientes têm saldo médio menor que 7,5 s.m. e a moda bruta é igual a

8,0 s.m.

Marque a respectiva seguência correta de sua classificação dentre as alternativas:

a) F; V; F; V; F

b) V; F; F; V; V

c) F; F; F; V; V

d) V; F; V; F; V

Questão 19. Os dados sobre percentagem de desemprego (total) no município de São Paulo,

no período de jan. 92 a dez. 95 foram os seguintes. Pede-se:

10,6 12,3 13,6 14,5 15,0 15,1 15,1 15,0 14,6 14,5 13,6 13,5 13,4 14,0 14,6 14,7 15,0 14,4 13,7 12,9 12,7 12,1 12,1 12,1 13,1 13,2 14,2 14,1 14,3 14,0 13,5 13,3 12,8 12,8 11,9 11,5 11,1 11,7 12,0 12,6 12,6 12,2 12,2 12,1 12,9 12,8 13,1 12,6 12,4 12,9 13,8 14,8 15,0 15,2 14,8 14,6 13,6 13,6 13,6 13,5

a) Rol crescente dos dados;

b) Distribuição de freqüências;

c) Freqüência acumulada crescente e decrescente;

d) Média aritmética, mediana e moda;

Questão 20. Para os dados da questão 16, pede-se: a) Histograma de freqüência, ogiva de

Galton crescente e decrescente; b) Média, Mediana e moda.

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Questão 21. Uma amostra do comprimento (em milímetros) de um lote de determinada peça

forneceu a seguinte distribuição:

Tabela 1-Distribuição de freqüência do comprimento de um lote de 100 peças.

Comprimento (mm) Fi De 80 até 85 1 De 85 até 90 3 De 90 até 95 9 De 95 até 100 42 De 100 até 105 34 De 105 até 110 5 De 110 até 115 4 De 115 até 120 2

Total 100 FONTE: Departamento de Controle de Qualidade.

A especificação para esse tipo de peça exige que o comprimento médio esteja

compreendido entre 98 e 102 mm, que o coeficiente de variação seja inferior a 20%. As

exigências estão sendo cumpridas no presente caso?

Questão 22. Determinar a mediana das distribuições abaixo:

a) X = 9; 11; 14; 15; 17; 19; 23; 28.

b) Y = 2; 5; 7; 10; 13; 17; 20.

Questão 23. Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos

em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27,

25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 27, 24, 26,

30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

Questão 24. Seja a média aritmética = n

xn

ii∑

=1 e a variância S2 = 1

)( 22

−∑∑

n

n

xx i

i

. Dado o

conjunto de dados x = {2, 4, 5, 6, 1, 8}, calcule a sua média e variância.

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Questão 25. Os dados abaixo referem-se ao comprimento de crianças ao nascer. Calcule a

média aritmética, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e erro padrão da média.

46; 47; 51; 46; 50; 50; 52; 49; 48; 51; 49; 52; 48; 74; 49;

Questão 26. Em determinada escola foram aplicados teste a dois grupos ( I e II) de alunos.

Qual dos dois possui menor dispersão?

Grupo I 8 7 6 6 9 10 8 10 Grupo II 6 6 8 9 9 7 5 6

Questão 27. Com os dados da distribuição de freqüência abaixo, calcular a média, variância,

desvio padrão e coeficiente de variação.

Classe fi 0 – 5 5 5 – 10 7 10 – 15 11 15 – 20 15 20 – 25 18 25 – 30 13 30 – 35 9 35 – 40 5

∑ 83

Questão 28. O coeficiente de variação de uma distribuição é 0,083% e o desvio padrão é de

2,49 centímetros. Determine a média dessa distribuição.

Questão 29. Com os dados das questões 9, 10 e 11, calcule as medidas de posição e de

dispersão.

Questão 30. Em uma avaliação para seleção de monitores da disciplina de Estatística, a

pontuação dos seis concorrentes foi a seguinte; 20; 40; 55; 70; 82; 60. Podemos afirmar que a

pontuação mediana em relação a esses candidatos é:

a) 65 b) 57,5 c) 72 d) 62,5

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Questão 31. Em uma pesquisa sobre a qualidade de vida, uma das questões se referia ao tipo

de esporte praticado pelo entrevistado. Na análise desses dados qual a medida estatística

apropriada que devemos utilizar se quisermos destacar o esporte de maior preferência. Escolher

uma das respostas.

a) Qualquer uma das medidas de posição.

b) Mediana

c) Moda

d) Média

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Atividade em classe- Estatística Descritiva –

Medidas de posição/dispersão

Data de entrega-Medidas de posição: ____/____/___

Data de entrega-Medidas de dispersão: ____/____/___

Questão 1. Calcule para cada caso abaixo a respectiva média, mediana e moda.

a) 7, 8, 9, 12, 14

b) Xi Fi 3 2 4 5 7 8 8 4 12 3 ∑ 22

c)

Classes Fi 68-72 8 72-76 20 76-80 35 80-84 40 ∑ 103

Questão 2. Uma amostra da população de milho da variedade A (em Kg), em dez parcelas

estão apresentadas a seguir. Pede-se:

25 26 20 23 21 25 31 28 27 24

a) média aritmética, mediana e moda;

b) Cheque que ∑−

=−n

i

xxi1

0)(

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Exercício Geral- Estatística Descritiva- Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Pede-se: 1 – Diferencie estatística descritiva e inferencial. 2 – Defina dados contínuos e discretos, nominal e ordinal e dê exemplos. 3 – Defina população e amostra. Cite exemplos. 4 – Defina conjunto e subconjunto. 5 – Defina espaço amostral e evento. 6 – Diferencie probabilidade e chance. Questão 2 – De acordo com a amostra dada A (número de defeitos de um produto uma linha de produção), com n = 50. Pede-se:

X = (5, 8, 0, 4, 6, 10, 9, 6, 2, 2, 6, 8, 9, 9, 7, 6, 5, 4, 0, 1, 0, 1, 1, 3, 4, 3, 3, 9, 9, 8, 6, 6, 5, 4,

7, 9. 10, 8, 10, 10, 5, 1, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 5, 5).

a - Complete a tabela de uma distribuição simples: Xi fa fr fr% fa ↓ fa ↑ frac ↓ frac ↑ 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 Total

b – Represente os dados na forma de gráficos de barra para fa. c – Calcule as medidas de posição e de dispersão. Questão 3 – Foram realizadas 40 observações em propriedades produtoras de melão no RN e obteve-se a seguinte produtividade em t ha-1. 20,4 15,6 26,1 24,4 20,3 16,5 25,5 25,4 34,6 35,6

22,2 23,4 24,4 25,4 21,3 27,5 18,9 30,1 33,3 32,3

30,2 32,7 25,6 26,6 30,5 30,9 34,3 36,0 14,0 25,0

24,5 23,0 25,9 28,5 33,6 38,0 21,4 24,7 26,5 28,0

a – Construa uma tabela de distribuição de freqüências em classe contendo as freqüências absoluta, relativa e percentual. b – Construa o histograma e polígono das freqüências absolutas dos dados da amostra.

Resposta: a) At:24; K:6,0; c:4.

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Questão 4 – Calcule a média, mediana e moda da amostra: (26, 25, 23, 34, 31, 26, 26, 20, 35, 30, 24,30).

Resposta: Média:27,5; Md:26; Mo: 26. Questão 5 - Calcule a média, mediana e moda da distribuição de freqüência em classes abaixo: Intervalo de classes fa

15,5 – 25,5 6 25,5 – 35,5 10 35,5 – 45,5 18 45,5 – 55,5 8 55,5 – 65,5 5

Resposta: Média:39,65; Md:39,7; Mo: 39,9.

Questão 6 – Os dados seguintes referem-se a uma amostra de n = 10. (10, 8, 12, 9, 15, 6, 7, 5, 12, 10). Calcule a amplitude, variância, desvio padrão, desvio padrão da média e coeficiente de variação. Questão 7 - Calcule a amplitude, variância e desvio padrão da distribuição em classes de freqüências.

Classes fi xi xifi xi2fi 20 – 25 5 25 – 30 6 30 – 35 15 35 – 40 8 40 – 45 4 45 – 50 2 Total 40

Resposta: At: ; S²: ; S:

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Regras de Probabilidade

1. Complementar de A

• P(A’) = 1 – P(A).

2. P(A ou B)

Eventos dependentes

• P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Eventos mutuamente excludentes ]

• P(A∪ B) = P(A) + P(B)

3. P(A e B)

• P(A∩B) = P(B\A) . P(A)

• P(A∩B) = P(A\B) . P(B) (Eventos dependentes)

• P(A∩B) = P(A). P(B) - (Eventos independentes)

Espaço amostral do lançamento de um dado

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

S= (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

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Cartas de um baralho com 52 cartas Naipes

Paus Ouros Espada Copas

K (Rei) K K K

Q (Dama) Q Q Q

J (Valete) J J J

10 10 10 10

9 9 9 9

8 8 8 8

7 7 7 7

6 6 6 6

5 5 5 5

4 4 4 4

3 3 3 3

2 2 2 2

A A A A

Obs.: Três figuras em cada naipe (rei, dama e valete). Um às em cada naipe.,

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Exercício Geral- Estatística Descritiva- Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Lançando-se um dado, qual a probabilidade de ocorrer o ponto 4 ou um ponto

ímpar?

S = {1, 2, 3, 4, 5,6}

R=3

2

Questão 2. Retirando-se, aleatoriamente, uma carta de um baralho, qual a probabilidade de

ocorrer “figura” e “espada”?

R=52

3

Questão 3. Um experimento aleatório consiste em retirar ao acaso 3 cartas de um baralho

com 52 cartas. Qual é a probabilidade de saírem duas figuras e um ás?

R=5525

3

Questão 4. Num baralho de 52 cartas, colocados numa urna, uma carta é escolhida

aleatoriamente, qual é a probabilidade de se obter 1 carta de ouro, ou 1 carta de paus.

R=2

1

Questão 5. Num baralho de 52 cartas, colocados numa urna, uma carta é escolhida

casualmente, qual é a probabilidade de se obter 1 áz ou uma carta de espada na retirada

dessa carta?

R=52

16

Questão 6. Um baralho de 52 cartas tira-se uma carta ao acaso. Qual a probabilidade de ser ouros ou figura a carta tirada?

R=52

22

Questão 7. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sete pontos?

R=6

1

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Questão 8. No mesmo baralho, do exemplo anterior. Qual é a probabilidade de se tirar 2 figuras ou 2 azes?

R=221

12

Questão 10. Uma caixa contém 4 bolas pretas e 2 bolas brancas. Retirando-se, ao acaso, duas

bolas sem reposição, qual a probabilidade de ambas serem pretas?

R=5

2

Questão 11. No lançamento de 3 moedas, qual a probabilidade de ocorrer duas “caras” e uma

“coroa”?

R=8

3

Questão 12. Considere o lançamento de dois dados (Hexaedro). Considere os eventos: A:

Soma dos números obtidos iguais a 9 e B: número do primeiro dado maior ou igual a 4.

Enumere os elementos de A e B. Obtenha A∪B, A∩B e Ac. Obtenha as probabilidades dos

eventos.

a) P(A∪ B) =19/36

b) P(A∩B) = 54

1

c) P(Ac)= 32/36

Questão 13. Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao

acaso, qual é a probabilidade de ambas terem olhos azuis? Calcule também a probabilidade de

nenhuma ter olhos azuis.

a) P(A) =45

3 ; b) Se temos 10 alunas e 3 tem olhos azuis significa que 7 não tem. P(B) =15

7

Questão 14. Um casal tem dois filhos. Qual é a probabilidade de: (a) O primogênito ser

homem? (b) Os dois filhos serem homens? (c) Pelo menos um dos filhos ser homem?

a)2

1 ; b)4

1; c)

4

3

Questão 15. Numa escola fez-se uma enquête com duas perguntas: Gosta de matemática?

Gosta de Estatística? Os resultados obtidos foram: 86 respostas sim à primeira pergunta; 75

respostas sim à segunda; 23 respostas sim às duas perguntas e 42 respostas não às duas

perguntas. Pede-se:

a) Quantos alunos foram entrevistados?

b) Sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele

tenha respondido sim à primeira pergunta?

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c) Sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele

tenha respondido sim à primeira pergunta e não à segunda pergunta?

1. Gosta de Matemática= 63 + 23 = 86 alunos

2. Gosta de Estatística = 52 + 23 = 75 alunos

a) 42 + 63 + 52 + 23 = 180 alunos foram entrevistados

b) P(A)= 90

43

180

86

)(

)(ou

Sn

An =

c) P(A\B)= 180

63

)(

B)-n(A =Un

Questão 16. Um grupo de 100 clientes de um certo banco foi classificado por sexo e tipo de aplicação. A tabela abaixo mostra essa classificação: Sexo Poupança ações Total Masculino 5 55 60 Feminino 30 10 40 Total 35 65 100 Se escolhermos uma pessoa desse grupo aleatoriamente. Calcular: a) a probabilidade de ser do sexo masculino; b) a probabilidade de ser do sexo feminino e aplicar poupança; c) a probabilidade de ser do sexo masculino ou aplicar em ações; d) a probabilidade de ser do sexo masculino, sabendo-se que a pessoa escolhida aplica em ações; e) a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo-se que a pessoa escolhida aplica em poupança; Questão 17. Os clientes da empresa “X” S.A. podem pagar suas contas por ano ou por biênio. A empresa aceita três formas de pagamento: cartão de crédito, cheque ou dinheiro. A tabela a seguir mostra a movimentação de pagamentos segundo o número de clientes. Nº de clientes Pagamentos Total

Cartão Cheque Dinheiro Por ano 15 52 10 77 Por biênio 18 108 20 146 Total 33 160 30 223

Fonte:Silver 2000. Sejam P(A) “pagar com cartão” e P(B) “pagar por biênio”. Selecionado um cliente ao acaso, calcule a probabilidade de que: a) Ele pague com cartão ou por biênio; b) Ele pague com cartão e por biênio.

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Questão 18. A secretaria de tributação do município de Sapucaia realizou uma pesquisa com uma amostra aleatória de 1200 imóveis residenciais, para ter uma idéia acerca da situação em relação ao cadastro de imóveis residenciais no centro da cidade. A tabela abaixo mostra os resultados dessa pesquisa: Tipos de imóveis Situação do imóvel Total

Regular Irregular “A” acima de 90 m² 250 150 400 “B” entre 50 e 90 m² 162 238 400 “C” menos de 50 m² 80 320 400

Total 492 708 1200 Se um imóvel dessa amostra é escolhido ao acaso, calcule o que se pede nos itens abaixo: a) a probabilidade desse imóvel estar irregular; b) a probabilidade desse imóvel ser do tipo “C” ou estar irregular; c) a probabilidade desse imóvel estar irregular sabendo que ele é do tipo “C”.

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Atividades em classe - Variáveis aleatórias e Distribuição de probabilidade

Questão 1. Suponha-se que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre vendas de

refrigeradores:

Xi P(xi) Número vendido Freqüência relativa

0 0,20 1 0,30 2 0,30 3 0,15 4 0,05 Σ 1,00

Calcule a esperança de venda dos refrigeradores.

Resposta: E(X) = 1,55 refrigerador será vendido

Questão 2. Se jogarmos um dado equilibrado, qual o valor esperado numa jogada?

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} E(x)=ΣxiP(xi)=?

Lados dos dados P(xi) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Σ 1,00

Resposta:E(X)=3,5

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Questão 3. Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar R$25000 e

0,60 de probabilidade de perder R$15000 num investimento. Seu ganho esperado é:

Resposta: E(X) = R$1000

Questão 4. Um empreiteiro faz as seguintes estimativas.

Prazo de execução Probabilidade 10 dias 0,30 15 dias 0,20 20 dias 0,50

Σ 1,00 Calcule o prazo esperado para a execução da obra, de acordo com essas estimativas.

Resposta: E(X) =

Questão 5. Dez por cento dos carros num parque de carros usados têm bateria

defeituosa. Se há 82 carros no lote, qual o número esperado de carros com bateria

defeituosa?

Resposta: E(X) = 8,2 carros com bateria defeituosa

Questão 6. Uma confeitaria estabeleceu um registro de vendas para certo tipo de

bolo. Determine o número esperado de bolos encomendados. Determine a variância,

desvio padrão e coeficiente de variação.

Número de bolos/dia Fr 0 0,02 1 0,07 2 0,09 3 0,12 4 0,20 5 0,20 6 0,18 7 0,10 8 0,01 9 0,01 Σ 1,00

Resposta: E(X) =

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Questão 7. O número de acidentes no trecho X da Rodoviária Y no período da noite,

em dias de chuva, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de

probabilidade:

Nº de acidentes Freqüência 0 22 1 5 2 2 3 1 Σ 30

Pede-se:

- Em um dia, a probabilidade de:

a) não ocorrer acidente.

b) ocorrer um acidente.

c) ocorrer dois acidentes

d)ocorrer três acidentes

- A média dos acidentes

- A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos acidentes.

Resposta: a) b) c) d) Média: S²: S: e CV(%):

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Exercício Geral- Variáveis aleatórias e Distribuição de probabilidade –

Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Defina variável aleatória (V. A), variável aleatória discreta (V. A. D.),

variável aleatória contínua (V. A. C.) e descreve diversos exemplos na sua área de

estudo (Administração, Ciências Contábeis e Bacharelado em ciência e tecnologia).

Questão 2. Identifique as seguintes variáveis aleatórias como discreta ou contínuas:

a) O número de acidentes de automóveis em cada ano de uma cidade;

b) A quantidade de leite produzida por vaca;

c) O número de ovos postos por mês por uma galinha;

d) Quantidade de dinheiro (roubado) aguardando reclamação, em uma delegacia;

e) Número de pacientes esperando atendimento em uma sala de emergência de

um hospital público;

f) Total de gols feitos em um jogo de futebol;

g) Total de reclamações recebidas por uma companhia de seguros durante,

durante um dia;

h) Sua pressão sanguínea.

i) A resistência de um determinado tipo de concreto

j) O comprimento de 100 peixes Tilápias capturados em um açude.

Questão 3. Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos.

Encontre a probabilidade P e de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100.

Questão 4. Seja X o número de pontos que aparece na jogada de um dado não-

viciado.

a) encontre a distribuição de probabilidade de x;

b) calcule P(1< x< 4)

Questão 5. O número de acidentes no trecho X da Rodoviária Y no período da noite,

em dias de chuva, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de

probabilidade:

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P(X=x) = k. (3-x). (4-x), x= 0, 1, 2, 3 (k constante)

a) encontre o valor de k;

b) qual a probabilidade de nenhum acidente naquele trecho e naquele período?;

c) qual a probabilidade de pelo menos um acidente;

d) qual a probabilidade de uma acidente no máximo.

Questão 6. O quadro a seguir fornece o número de avarias apresentadas por 28 computadores antes de completar seis meses de trabalho e as probabilidades respectivas. Encontre o valor esperado (média de avarias por máquina durante o período analisado), a variância e o desvio padrão. X=x 0 1 2 3 4 5 6

P(X=x)

28

2

28

4

28

6

28

10

28

3

28

2

28

1

Questão 7. Seja X a variável aleatória do exercício 3 (número de avarias apresentadas

por 28 computadores) e defina-se Y=2X, como sendo o custo para concerto de X

avarias. Pede-se:

a) Custo médio b) P(Y≤4).

Questão 8. A função de densidade de probabilidade de uma V.A. X é dada por:

<≤≤=

0,0

60,)(

2

x

xkxxf

Encontre:

a) O valor de K

b) P(X>2)

c) P(0<X≤4).

Resposta: a)____ b)____ c)____ d) Média:_____ S²:_____ S:_____ e CV(%):_____

Questão 9. O tempo de espera por caminhoneiro para desembarque de carga do

produto Z em uma indústria é uma variável aleatória com f.d.p. dada por:

<<

=contráriocaso

horasemmedidaxkxxf

,0

,40,)(

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a) Calcule o tempo médio que cada caminhoneiro fica na fila de espera.

b) Calcule a variância e o desvio padrão.

Resposta: a) Média: ____ b) S²:____ e S:_____

Questão 10. O tempo de reação de um determinado elemento químico é uma

variável aleatória x com a seguinte função de densidade de probabilidade:

≤≤≤≤

=contráriocaso

xcx

xcx

xf

,0

32²,

21²,

)(

Determine:

a) A constante c;

b) P(x>2)

c) P(1<x<2

3 )

Resposta: a)___ b)____ e c)_____

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Atividade em classe - Distribuição Binomial.

Questão 1. Lançando-se 5 vezes uma moeda, qual a probabilidade de se obter “cara”

4 vezes? R:

P(x=4)=5/32

Questão 2. Retirando-se, com reposição, 3 cartas de um baralho, qual a probabilidade

de se obter 2 cartas vermelhas?

Questão 3. Numa família com 5 filhos, qual a probabilidade de:

- não haver homens? - qual a probabilidade de haver dois homens?

Questão 4. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas

por ela emitidas são pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a

probabilidade de:

a) Nenhuma ser paga com atraso.

b) No máximo 2 serem pagas com atraso.

c) Mais de três serem pagas com atraso.

Questão 5. Sabendo-se que 4% das peças produzidas por certa máquina são

defeituosas. Em um lote de 10 peças, calcular a probabilidade de:

a) Exatamente duas serem defeituosas;

b) Menos de 2 serem defeituosas;

c) Qual a média e o desvio padrão do número de peças defeituosas?

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Atividade em classe - Distribuição de Poisson

Questão 1. Numa lâmina verificou-se que existiam em média 2,5 bactérias/cm2. A

lâmina foi subdividida em 300 quadrados de 1cm2. Em quantos destes quadrados

vocês espera encontrar no máximo 1 bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar

mais de 3 bactérias por centímetro quadrado?

Questão 2. Na revisão tipográfica de um livro achou-se em média 1,5 erros por

página. Das 800 páginas do livro, estimar quantas não precisam ser modificadas por

não apresentarem erros.

Questão 3. O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central segue uma

distribuição de Poisson com média 6 por minuto.

a) Qual a probabilidade de nenhuma chamada chegar a central em um minuto?

b) Duas ou mais chamadas chegarem?

Questão 4. A carga de tráfego é uma fator relevante no planejamento de um sistema

de pavimentação. Os veículos chegam a determinado ponto do pavimento, de maneira

aleatória ao longo do tempo. Um engenheiro fez as observações abaixo a intervalos de

1 minuto. Os dados estão apresentados na tabela abaixo.

Tabela 1. Distribuição de freqüência do número de veículos por minuto

Nº de veículos/ 1 minuto Freqüência (Número de observações)

0 18 1 32 2 28 3 20 4 13

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5 7 6 0 7 1 8 1 >9 0 Total 120

Fonte: Dados de pesquisa.

Sabendo-se que a taxa de 5 veículos por minuto é o nível crítico de carga de

tráfego naquele local, determinar a probabilidade desse nível ser atingindo ou

ultrapassado.

Questão 5. Caminhões chegam a um depósito a razão de 2,8 caminhões por hora.

Determine a probabilidade de chegarem três ou mais caminhões:

a) Num período de 30 minutos;

b) Num período de 1 hora;

c) Num período de 2 horas.

Atividade em classe - Aproximação da Distribuição Binomial através da

Distribuição de Poisson

Questão 1. A probabilidade de uma determinada marca de arado de disco agrícola

apresentar defeitos nos seus discos é 0,012. Ao se examinar ao acaso um lote de 80

arados, qual a probabilidade de não haver nenhum defeito (a) pelo menos um

defeituoso (b)?

a) A probabilidade procurada é

P (x = 0) = 38% 0,380676 (0,988) (0,988) . (0,012) . 0

80 800-800 ≅==

Como n é grande e P é pequeno neste caso, a aproximação de Poisson dá, µ = λ =

80. 0,012 = 0,96

P(x = 0) = %383828928,00!

e . (0,96) -0,960

≅=

Resultado este muito próximo da resposta exata.

b) P(x ≥ 1) = 1 – [P (x = 0)] = 1 – 0,380676 = 0,619324 ≅ 62%

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P(x ≥ 1) = 1 – 0,3828928 = 0,617107114 ≅ 61,71% ≅ 6

Questão 2. Estima-se em 0,01 a probabilidade de vender uma apólice de seguro a

pessoas que respondem a um determinado anúncio. Com base nessa informação, se

400 pessoas respondem ao anúncio, qual é a probabilidade de que:

a) exatamente 1 compre a apólice;

b) pelo menos 1 compre a apólice;

c) no máximo 2 comprem a apólice.

Questão 3. Em um cruzamento de tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofrer

um acidente é 0,002. Sabendo-se que das 16 às 18 horas passam aproximadamente

1.000 carros no cruzamento, qual a probabilidade de que dois ou mais acidentes

ocorram naquele período.

Atividade em classe - Distribuição Normal

Questão 1. Calcule as seguintes probabilidades?

a) P(0 ≤ Z ≤ 1,44)

b) P(-0,85 ≤ Z ≤ 0)

c) P(Z ≥ 1,93)

d) P(Z ≤ 1,93)

e) P(0,72 ≤ Z ≤ 1,89)

f) P(-0,85 ≤ Z ≤ 2)

g) P(Z < -0,66)

h) P(Z < 0,60)

Questão 2. As alturas dos alunos da turma de Engenharia são normalmente

distribuídas com média 1,60 e desvio padrão 0,30. Encontre a probabilidade de um

aluno medir:

a) entre 1,50 m e 1,80 m; b) mais de 1,75 m; c) menos de 1,48 m d) qual deve ser a média mínima para escolhermos 10% dos mais altos?

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Questão 3. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média

100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao

teste ter notas entre:

a) entre 85 e 115 b) maior que 120 c) maior que 100 d) maior que 80

Questão 4. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuído com média

65,3kg e desvio padrão 5,5kg. Determine o número de estudantes que pesam:

a) entre 60 e 70 kg; b) mais que 63,2 kg;

c) menos que 68 kg;

Questão 5. X é uma variável aleatória contínua, tal que X∼N’(12, 25). Qual a

probabilidade de uma observação ao acaso:

a) ser menor que -3 b) cair entre -1 e 15?

Exercício Geral - Distribuições Especiais de Probabilidade

Binomial, Poisson e Normal

Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Segue-se a distribuição de probabilidade da variável aleatória x.

x f(x)

20 0,20

25 0,15

30 0,25

35 0,40

a. Essa distribuição de probabilidade é válida? R: f(x)>0; Σf(x)=1 b. Qual a probabilidade de x ser igual a 30? R: P(x=30)= 0,25 c. Qual a probabilidade de x ser igual ou menor a 25? R: P(x≤30)= 0,35 d. Qual a probabilidade de x ser maior que 30? R: P(x>30)= 0,45

Fonte: Anderson et al., 2008. Estatística Aplicada à Administração e Economia. Pag.175; exerc.07

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Questão 2. Um serviço voluntário de ambulâncias atende de 0 a 5 chamadas de serviço em determinado dia. A distribuição de probabilidade correspondente ao número de chamadas de serviço é apresentada a seguir:

Número de chamadas de serviço

Probabilidade

0 0,10 1 0,15 2 0,30 3 0,20 4 0,15 5 0,10

a. Qual é o número esperado de chamadas de serviço? b. Qual é a variância no número de chamadas de serviço? Qual o desvio padrão?

Fonte: Anderson et al., 2008. Estatística Aplicada à Administração e Economia. Pag.179; exerc.17

Questão 3. A Empresa Equilibrada S.A. vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão anotados na tabela a seguir:

Produto A B C Lucro unitário (US$) 15 20 10 Probabilidade de venda (%)

20 30 50

Pede-se: a) O lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão. R: µ=US$14; δ=US$4,36 b) O lucro total esperado num mês em que foram vendidas 5000 unidades. E(x)=US$=70.000,00

Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e Probabilidade. Pag.xxx; exerc.xx

Questão 4. A Loteria Ligeirinha distribui prêmios entre seus clientes da forma seguinte:

400 prêmios de US$ 100; 50 prêmios de US$ 200; 10 prêmios de US$ 400;

Admitindo-se, em certo concurso, sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por bilhete? R: E(x)=µ=US$5,40

Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e Probabilidade. Pag.132; exerc.07

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Questão 5. Uma fábrica de automóveis deve enviar peças pesadas de seu equipamento para sua fábrica de montagem na cidade de Marimbá. Sabe-se que: • As peças podem ser enviadas por via aérea ou via marítima; • O custo por via aérea é geralmente mais alto, porém há a possibilidade de haver greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peças a Marimbá. A matriz de custo, expressa em US$, é dada por:

Decisão Com greve Sem greve

Enviar por avião (Ea) 2.000 2.000

Enviar por navio (En) 6.000 1.000

a) Se a probabilidade de acontecer uma greve é estimada em 40%, qual a

tomada de decisão que minimizaria os custos esperados? R: Ea(x)=2.000<En(x)=3.000. Ir de avião

b) Até que valor de probabilidade de greve ainda é mais vantajoso o envio por

via aérea? R: p=0,20 Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e Probabilidade. Pag.133; exerc.08

Questão 6. Determine a distribuição de probabilidade de meninos e meninas em famílias com três filhos, admitindo iguais as probabilidades de nascimentos de menino e menina. Esboce um gráfico de distribuição. R:

X 0 1 2 3

P(x) em (%)

12,5 37,5 37,5 12,5

Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e

Probabilidade. Pag.149; exerc.09

Questão 7. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 P(x=3) = 5/16 Questão 8. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos. Questão 9. Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda. Questão 10. Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. Questão 11. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A : a- ganhar dois ou três jogos; b- ganhar pelo menos um jogo;

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Questão 12. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros ? Questão 13. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?

Questão 14. Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de determinado soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 3.000 indivíduos: a) Exatamente dois acusem reação negativa; R: µ=λ=3; P(x=2)= 0,224 b) Mais de dois indivíduos acusem reação negativa. P(x>2)= 0,5768

Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e Probabilidade. Pag.152; exerc.15

Questão 15. Os clientes chegam a uma loja a uma razão de cinco por hora. Admitindo que esse processo possa ser aproximado por um modelo de Poisson, determine a probabilidade de que durante qualquer hora: a. Não chegue nenhum cliente; R: P(x=0)= 0,006 b. Chegue mais de um cliente. R: P(x<1)= 0,9595

Fonte: Oliveira, 2008. Estatística e Probabilidade. Pag.159; exerc.25

Questão 16. Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: a) dez ou mais chamadas b) menos que nove c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas Questão 17. Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha: a) nenhum corte b) no máximo dois cortes c) pelo menos dois cortes Questão 18. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use o binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Questão 19. Na manufatura de certo artigo, é sabido que entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha: a) nenhum defeituoso b) exatamente um defeituoso c) exatamente dois defeituosos

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Questão 20. Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? Questão 21. O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiro para outro porto? b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? c) Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? Questão 22. Calcule as seguintes probabilidades?

a) P(0 ≤ Z ≤ 1) b) P(-2,55 ≤ Z ≤ 1,2) c) P(Z ≥ 1,93) d) P(Z ≤ 1,93)

Questão 23. Suponha que a pressão sanguinea em individuos com idade entre 15 e 25 anos e uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 120 mmHg e desvio padrão 8 mmHg. Calcule a probabilidade de um individuo nessa faixa etária apresentar pressão: a) entre 110 e 130 mmHg b) maior que 140 mmHg Questão 24. A duração de um certo componente eletrônico tem media 850 dias e desvio padrão 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: a) entre 700 e 1000 dias b) mais que 850 dias c) menos que 750 dias Questão 25. Suponha que a quantidade de colesterol em 100 mL de sangue tem distribuição normal com média 200 mg e desvio padrão 20 mg. Qual a probabilidade de uma pessoa apresentar entre 200 e 225 mg de colesterol por 100 mL de sangue? Qual a probabilidade de uma pessoa apresentar menos de 190 mg de colesterol? Questão 26. As alturas dos alunos da turma de Engenharia são normalmente distribuídos com média 1,6 e desvio padrão 0,30. Encontre a probabilidade de um aluno medir: a) entre 1,50 m e 1,80 m b) mais de 1,75 m c) menos de 1,48 m d) qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10% dos mais altos? Questão 27. Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para doenças crônicas seja de 50 dias, com um desvio padrão de 10 dias. Pressupondo que o tempo de permanência tem distribuição aproximadamente normal, qual e a probabilidade de um paciente permanecer no hospital: a) mais de 30 dias b) menos de 30 dias

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Questão 28. Suponha que a estatura de recém nascidos do sexo masculino e uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal de média 50 cm e desvio padrão 2,50 cm. Calcule a probabilidade de um recém nascido ter estatura: a) inferior a 48 cm b) superior a 52 cm Questão 29. “X” é uma variável aleatória contínua, tal que X∼N’(12, 25). Qual a probabilidade de uma observação ao acaso: c) ser menor que -3 d) cair entre -1 e 15? Questão 30. No último mês os valores das faturas da microempresa de informática “WEBMAIL LTDA” apresentou uma distribuição aproximadamente normal com média R$680,00 e desvio padrão R$ 16,00. Com base nesses dados calcule a probabilidade de uma fatura escolhida aleatoriamente nessa população apresentar um valor: a) Menor que R$ 680,00? b) Menor que R$ 780,00? “X “ é uma variável aleatória contínua, tal que X∼N’(12, 25). Qual a probabilidade de uma observação ao acaso:

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Exercício Geral- Teria de Amostragem- Data de entrega: ____/____/___ Questão 1. Defina os conceitos básicos em amostragem listados abaixo e dê exemplo. a) População e os seus tipos (Finita e Infinita, Real e hipotética) b) Amostra c) Censo d) Recenseamento e) Amostragem f) Amostragem com reposição g) Amostragem sem reposição h) Precisão i) Exatidão Questão 2. Quais as aplicações práticas da amostragem. Questão 3. O que significa amostra probabilística e amostra não probabilística. Questão 4. Cite exemplos dos diversos tipos de amostragem: probabilística e não probabilística. Questão 5. Quais as vantagens da amostragem em relação ao censo. Questão 6. Quais os procedimentos (etapas) a serem obedecidos num processo de levantamento por amostragem. Questão 7. Quantas amostras diferentes de 3 elementos podem ser obtidas de uma população de seis elementos, sem reposição e com reposição? Determine em cada caso, a probabilidade de obter, em uma amostragem aleatória, as diferentes amostras. Indique os elementos da população A, B, C, D, E e F. Questão 8. Em uma população em que N =6, tal que X = {1, 3, 4, 7, 8, 11}, calcular a média amostral para todas as possíveis amostras de tamanho 2. Provar que X é uma estimativa não viezada (ou não-viciada) de µ (média da população). Use o processo com e sem reposição. Questão 9. Suponha que uma companhia telefônica queria selecionar uma amostra aleatória de n = 20 assinantes (escolheu-se um número pequeno para simplificar o exercício) entre 7.000, visando estudar a atitude dos assinantes com relação aos serviços prestados por essa companhia. Se os assinantes forem numerados, a fim de serem identificados,indique que assinantes você incluiria nessa amostra. Use a tabela de números aleatórios e mostre como escolher essa amostra. Questão 10. Uma cidade pequena tem 20.000 eleitores. Use a tabela de números aleatórios para identificar os eleitores que devem ser incluídos em uma amostra de 15. Questão 11. Doze pessoas devem tomar uma vacina, segundo uma ordem aleatória. Use a tabela de números aleatórios para escolher a melhor ordem.

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Questão 12. Se uma pesquisa de um jornal é feita pedindo-se aos leitores que respondam a um questionário publicado, as respostas resultantes fornecerão uma amostra aleatória da opinião dos leitores? Justifique a resposta. Questão 13. Uma amostra aleatória da opinião pública, em uma cidade pequena, foi obtida, selecionando-se cada décima pessoa que passava pela esquina mais movimentada dessa cidade. Essa amostra tem as características de uma amostra aleatória dos cidadãos dessa cidade? Justifique a resposta. Questão 14. Determinar o número mínimo de elementos de uma amostra se desejarmos com 95% de confiança que a nossa estimativa de µ tenha um erro de no máximo 5%, sendo 2σ = 0,09. Questão 15. Foram feitas vinte medidas de tempo total gasto para a precipitação de um sal, em segundos, numa dada experiência, obtendo-se:

13 15 12 14 17 15 16 15 14 16 17 14 16 15 15 13 14 15 16 15

Sendo assim pergunta-se: esses dados são suficientes, para estimar o tempo médio gasto na precipitação com precisão de meio segundo e 95% de certeza? Caso negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessário?

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Exercício Geral- Estimação- Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Uma amostra de 36 baterias foi testada acusando vida média de 48 meses. Sabendo-se que de levantamentos anteriores, o desvio padrão da população da qual foi extraída a amostra é de 4 meses, determine um intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira média da população. Questão 2. Qual o intervalo de confiança que contará com 90 % a verdadeira média de uma população normal que resultou ∑xi = 700,8 e ∑xi2 = 23436,8 de uma amostra de 30 elementos. Questão 3. Uma amostra aleatória de 20 baterias foi testada acusando vida média de 48,2 meses e desvio padrão de 5,4 meses. Determine um intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira média da população. Questão 4. Uma amostra aleatória de 500 peças produzidas por certa uma máquina verificou-se que 30 eram defeituosas. Determine o intervalo de confiança de 90 e 95 % em torno da verdadeira proporção de peças defeituosas produzidas por essa máquina. Questão 5. Utilizando os dados do exercício 4, determine o intervalo de confiança de 90 e 95 % em torno da verdadeira proporção de peças sem defeitos produzidas por essa máquina. Questão 6. Amostras de peças de uma máquina foram retiradas de um lote em duas fábricas, onde na = 40 e nb = 50. Investigou-se a duração da vida útil das peças em que = 2500 h e = 2200 h com σa = 70 e σb = 50. Construa um intervalo de confiança para a diferença média das peças com nível de 95 % de confiança. Questão 7. Seja X1 N(µ1, σ1

2) e X2 N(µ2, σ22). Da população 1 foi extraída uma

amostra de 20 elementos obtendo-se = 45 e S1 = 2,4 e da população 2 foi extraída

uma amostra de 12 elementos obtendo-se = 38 e S2 = 2,4. Construir o intervalo de confiança ao nível de 10 % para (µ1 - µ2). Questão 8. Uma amostra aleatória do peso de 5 crianças forneceu os seguintes valores em Kg.

23,0 20,5 21,3 24,5 22,0 - Determine o intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira variância e desvio padrão populacional. Questão 9. Qual o tamanho da amostra suficiente para estimar a média de uma população cujo desvio padrão é igual a 3, com 95 % de confiança e erro de 0,5.

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Questão 10. Uma amostra de 36 crianças de uma escola de 1º grau forneceu peso médio de 28,5 kg e desvio padrão de 5,2 kg. Determinar, no nível de 95%: a) Intervalo de confiança da µ. b) qual seria o tamanho da amostra para que o erro máximo de estimativa fosse de 1,2? c) qual seria o erro máximo de estimativa, se amostra fosse de 200 crianças? Interprete o resultado. Questão 11. A partir de uma amostra constituída por 81 alunos do curso de Administração à Distância da Universidade X, se obteve as seguintes estatísticas, relacionadas ao tempo semanal dedicado por esses alunos ao estudo: i) Tempo médio de estudo ( hX 8= ) ii) Desvio padrão (s=3h)

Com base nessas informações amostrais faça uma estimação para a média populacional (µ) associada ao tempo de estudo, de modo que esta estimação se realize por meio de: a) uma estimativa pontual; b) uma estimativa por intervalo, considerando um nível de confiança de 95%.

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Exercício Geral- Teste de Hipótese- Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. A experiência de muitos anos de uso de um dispositivo eletrônico, da marca A, tem mostrado que sua vida média é de 300 horas. Uma amostra de 25 dispositivos de uma nova marca B deu uma vida média de 290 horas com desvio padrão de 40 horas. Testar no nível de significância 0,10, a hipótese de que os dispositivos das duas marcas têm a mesma vida média. Questão 2. Uma amostra de 30 elementos de uma variável x normalmente distribuída forneceu: 8,32=x e s=6,5. Testar, no nível de significância 0,01, a hipótese de que

.34<µ Questão 3. Uma amostra de 20 elementos de uma variável x normalmente distribuída deu 4,53=x e s=7,5. Testar a hipótese de que 50=µ , no nível de significância 0,05. Questão 4. Uma amostra de 15 elementos de uma variável x normalmente distribuída deu: 7,28=x e s=3,8. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que

.25>µ Questão 5. Uma amostra de 50 alunos de uma escola de 1º grau apresentou 3 canhotos. Testar, no nível de significância 0,10, a hipótese de que a percentagem de alunos canhotos dessa escola é menor que 0,05 (50%). Questão 6. A fim de verificar o consumo de combustível (km/L), foram tomadas duas amostras de dois modelos de automóveis, A e B. Uma amostra de 12 automóveis do modelo A apresentou 6,7=x e s=1,3 e uma amostra de 15 automóveis do modelo B forneceu 1,8=x e s=2,4. Testar no nível 0,10, a hipótese de que não há diferença significativa de consumo de combustível entre os dois modelos de automóveis. Questão 7. Uma amostra de 16 elementos de uma variável x normalmente distribuída deu s=6. Testar, no nível de 0,05, a hipótese de que 8=σ contra a hipótese de que

8<σ . Questão 8. Uma amostra de 20 elementos de uma variável x normalmente distribuída forneceu s=4,7. Testar, no nível de 0,05, a hipótese de que .3=σ

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Exercício Geral- Regressão e Correlação-

Data de entrega: ____/____/___

Questão 1. Número de anos de atendimento ao público e número de clientes de 5

empresas de Seguro de Automóveis.

Anos de atendimento (X) 2 4 5 6 8

Número de clientes (Y) 48 56 64 60 72

Questão 2. Considere os dados abaixo referentes à venda e lucro de um determinado produto.

Observações Vendas (X) Lucros (Y) 1 201 17 2 225 20 3 305 21 4 380 23 5 560 25 6 600 24 7 685 27 8 735 27

a) Calcular o coeficiente linear e angular e determinar a equação de regressão.

b) Calcular e interpretar o coeficiente de determinação e de correlação.

c) Estimar o lucro obtido para um total de vendas de 700.

Questão 3. Relação entre horas de estudo (X) e notas de prova (Y).

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8

Horas 2 4 5 5 6 8 9 10

Nota 1 3 6 6 8 7 8 10

a) Traçar o diagrama de dispersão

b) Calcular os parâmetros da equação de regressão e o coeficiente de determinação.

c) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.

d) Interprete os resultados.

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Questão 4. Peso seco e peso úmido, em gramas, de glóbulos hepáticos em ratos.

Pede-se:

Peso seco (X) 2,0 2,2 2,0 2,2 1,9 2,3

Peso úmido (Y) 6,7 7,7 6,5 7,4 6,1 7,4

a) Diagrama de dispersão;

b) Coeficiente de correlação de Pearson;

c) Coeficiente de determinação;

d) Ajuste da reta de regressão.

Questão 5. Considere os pesos ao nascer e na desmama de 12 bezerros machos da

raça Guzerá.

Peso ao nascer (kg) X Peso na desmama (kg) Y 25,3 48,6 26,9 49,7 26,5 49,2 27,4 50,0 27,9 50,6 25,8 48,7 28,4 51,6 28,9 52,3 27,6 50,4 27,2 50,0 27,5 50,7 28,1 50,9

a) Calcular o coeficiente linear e angular

b) Determinar a equação de regressão

c) Calcular e interpretar o coeficiente de determinação.

d) Calcular e interpretar o coeficiente de correlação.

e) Estimar o peso na desmama para um peso ao nascer de 26 kg.

BIBLIOGRAFIAS RECOMENDADAS

BUSSAB, W. O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica. São Paulo: ed. ATUAL. 4.ed. 1997. 130p.

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Estudar sempre vale a pena. Desistir jamais Jesus te ama!

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BUSSAB, W. O. & MORETTIN, P. A. Estatística Básica. São Paulo: SARAIVA, 5.ed. 2003, 526P. COSTA NETO, P.L.O. Estatística. São Paulo: Edgard Blucher, 1977. 264p. FONSECA, J.S.; MARTINS, G.A. & TOLEDO, G.L. Estatística Aplicada. São Paulo: Atlas, 1985. 267p. FREUND; SIMON. Estatística Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 9.ed. 2000. 404p. HOFFMANN, R. Estatística para Economistas. São Paulo: Livraria Pioneira Editora. 1990. 238p. MEYER, P.L. Probabilidade Aplicações e Estatística. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1973. 391p. MURRAY R. SPIEGEL; JOHN SCHILLER E R. ALU SRUNIVASAN. Probabilidade e Estatística. Porto Alegre: 2. ed. Bookman, 2004. 398p. SPIEGEL, M.R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 4.ed. 2000. 580p. STELL, R.G.D. & TORRIES, J. Introduction to Statistics. New York: Mc Graw-Hill Book Campany, 1976. 387p. STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harles e Pow do Brasil, 1981.495p. THURSTONE, L.L. Noções Básicas de Estatística. São Paulo: Livraria Martins Editora, 1963. 253p.

CRONOGRAMA DAS AULAS-2012

Turma (Terça e Sexta) 1ª Avaliação 2ª Avaliação 3ª Avaliação Datas Nº de

aulas Datas Nº de

aulas Datas Nº de

aulas 28/02 2 03/04 2 15/05 2 02/03 2 10 2 18 2 06 2 13 2 22 2 09 2 17 2 25 2 13 2 20 2 05/06 2 16 2 23 2 08 2 20 2 27 2 12 2 23 2 04/05 2 15 2 27 2 08 2 19 2 30 2 11 2 22 2 Σ 20 Σ 20 Σ 20

- 1ª Avaliação: 30/03 - 2ª Avaliação: 11/05 - 3ª Avaliação: 22/06 - Reposição: 26/06 - 4ª Avaliação: 29/06

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1. Tabela da Distribuição Normal.

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2. Tabela da Distribuição t- Student.

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3. Tabela da Distribuição F- Snedecor.

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4. Tabela da Distribuição Qui-quadrado.

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