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Caderno de Resumos
Sao Jose do Rio PretoOutubro de 2013
3
PALESTRAS
f(x) = x ..................................................................................................................................................................................................................... 7
Marcelo Viana – IMPA
Maximização em Geometria e Analise ....................................................................................................................................................... 7
Djairo Guedes Figueiredo – IMECC – UNICAMP
A dimensão de uma ferradura....................................................................................................................................................................... 7
Marcus Augusto Bronzi – UFU – MG
Sobre o uso de simulação computacional de ambiente empresarial ........................................................................................... 7
Rogério Rodrigues – EMBRAER
A fórmula de Euler para poliedros. Aplicações inusitadas e um pouco de história .............................................................. 8
João Sampaio – UFSCAR
Cálculo Diferencial e Integral: um pouco de sua história e a discussão sobre o pioneirismo de sua descoberta .... 8
Sérgio Nobre – UNESP – Rio Claro
O problema de formação de singularidade para as equações de Euler incompressíveis ................................................... 8
Helena Lopes – UFRJ – RJ
Modelagem estocástica e quantificação de incertezas ....................................................................................................................... 9
Rubens Sampaio – PUC – RJ
Scalar Autonomous Second Order Ordinary Differential Equations ........................................................................................... 9
Clodoaldo Ragazzo – IME – USP
Cônicas Planas ...................................................................................................................................................................................................... 9
Roberto Bedregal – UFPB – PB
Uma Metodologia para Verificação de Programas ............................................................................................................................... 10
Homero Ghioti –FACIP – UFU
3x+1 (ou (3x+1)/2) ......................................................................................................................................................................................... 10
Lorenzo Días – PUC – RJ
Sobre teoremas tipo Borsuk-Ulam recentes ........................................................................................................................................... 11
Pedro Pergher – UFSCAR
A Libertação da Geometria ............................................................................................................................................................................. 11
Edson Donizete de Carvalho – UNESP – Ilha Solteira
Professor, quanto é raiz de -1?...................................................................................................................................................................... 11
Krerley Oliveira – UFAL – AL
Multidimensional Projection and its Application in Interactive High-dimensional data Visualization ....................... 12
Luiz Gustavo Nonato – ICMC-USP
Um pouco sobre funções Gevrey .................................................................................................................................................................. 12
Paulo Dattori – ICMC-USP
Reticulados e Códigos Introdução aos conceitos de reticulados e códigos corretores de erros e suas aplicações à
transmissão de sinais e esquemas criptográficos. ............................................................................................................................... 12
Sueli Irene Rodrigues Costa – IMECC – UNICAMP
4
Código Genético, Sequências de DNA e Códigos Corretores de Erros na Modelagem do Sistema de Informação
Biológico ................................................................................................................................................................................................................. 13
Reginaldo Palazzo Júnior – FEEC-UNICAMP
Critérios de parada em problemas de Programação matemática, Constraint qualifications , importância nos
algoritmos .............................................................................................................................................................................................................. 13
Roberto Andreani – IMECC – UNICAMP
Abelhas, grupos não abelianos e tabuleiros ............................................................................................................................................ 14
Eduardo Tengan – ICMC – USP
Metodologia Científica e a Proposta Metodológica de Romberg ................................................................................................... 14
Lourdes Onuchic – UNESP – Rio Claro
Modelagem Matemática Aplicada ao Mercado Financeiro ............................................................................................................... 14
João Luíz Chela – Mackenzie – São Paulo
Solução Numérica da Equação de Poisson utilizando Diferenças Finitas Generalizadas ................................................... 15
Antonio Castelo Filho – ICMC – USP
5
APRESENTAÇÕES ORAIS
Estrutura local de algumas curvas e superfícies via desdobramentos ....................................................................................... 16
Alex Paulo Francisco
Relação entre Reticulados e Códigos Corretores de Erros ............................................................................................................... 17
Ana Cláudia Machado Mendonça Chagas
Um teorema do tipo Borsuk-Ulam para superfícies ............................................................................................................................ 18
Ana Maria Mathias Morita
Uma demonstração do Teorema da Separação de Jordan ................................................................................................................ 19
Bruno Caldeira Carlotti de Souza
Introdução aos métodos bootstrap ............................................................................................................................................................. 20
Edmar José Alves
Uma condição suficiente para controlabilidade de sistemas com retardo finito ................................................................... 21
Fernando Gomes de Andrade
O Teorema da convergência dominada de Lebesgue ......................................................................................................................... 22
Giane Casari Rampasso
A ideia da Homotopia, Homologia e a relação entre \pi_1 e H_1 ................................................................................................... 23
Jessica Cristina Rossinati Rodrigues da Costa
Semigrupos de operadores lineares limitados ...................................................................................................................................... 24
Laura Rezzieri Gambera
O uso de jogos no ensino dos números racionais ................................................................................................................................. 25
Mayara Fernanda Lopes Barussi
Um estudo sobre envelopes e contorno aparente de superfícies em \R^{3} .......................................................................... 26
Pedro Benedini Riul
Simetria e Grupos de Papel de Parede ...................................................................................................................................................... 27
Rafaella de Souza Martins
A aleatoriedade da bolsa de valores ........................................................................................................................................................... 28
Ricardo Felipe Ferreira
Códigos Cíclicos via Transformada de Fourier sobre corpos finitos ........................................................................................... 29
Robson Ricardo de Araujo
Matemática com tecnologia ao alcance de todos: o ensino com o uso de softwares educacionais ................................ 30
Sérgio Henrique de Sousa
Vibrações mecânicas ......................................................................................................................................................................................... 31
Yagor Romano Carvalho
6
PAINÉIS
Caracterização de Sistemas Lineares Bidimensionais de EDO's Homogêneas........................................................................ 32
Ana Livia Rodero
O ensino da Matemática: uma experiência com jogos matemáticos ............................................................................................ 33
Angélica Aline Ribeiro, Denise V.M. Taino, Gabriela C. Da Silva.
Comportamento dos Sistemas Lineares no Plano ................................................................................................................................ 34
Antonio Cesar Mialich Junior
Uma visão histórica sobre a educação de surdos: Do impensante grego à luta pelo direito a escola bilíngue ......... 35
Ariane Silva Rabelo
Uma resolução do Problema da Braquistócrona através do Cálculo Variacional .................................................................. 37
Caroline de Arruda Signorini
Utilizando o software Geogebra na prática escolar: experiências no ensino de polígonos, áreas e coordenadas
cartesianas ............................................................................................................................................................................................................. 38
Dasiane Camila Pedretti Toledo Lúlio
Os projetos do PET-Matemática de Rio Claro ........................................................................................................................................ 39
Diego Marques Mesquita e Jacqueline Domingues
Uma Introdução à Teoria das Curvas Planas e Aplicações ............................................................................................................... 40
Eduardo dos Santos Teixeira
Números Construtíveis e o Problema da Duplicação do Cubo ....................................................................................................... 41
Fabíola Peixoto Cintra
Obtenção de superfícies através de pontos regulares ........................................................................................................................ 42
Gabriele Albano Barrera, Mayara Bras Antunes.
Níveis de Álgebras de Quatérnios sobre K((t)) ..................................................................................................................................... 43
Hellen Monção de Carvalho
Corpos ciclotômicos e o último teorema de Fermat ............................................................................................................................ 44
João Paulo Lindquist Figueredo
O Método de Cholesky e as Rotações de Givens: Aplicação na Resolução de Sistemas Lineares .................................... 45
José Eduardo Marinho da Silva
Grupo fundamental do círculo ...................................................................................................................................................................... 46
Mirela Cristina Marini
Difeomorfismo Dinamicamente Coerente ............................................................................................................................................... 47
Oyran Silva Rayzaro
O teorema da classificação de Arnold ........................................................................................................................................................ 48
Rafaela Soares de Carvalho
Segmentação de impressões digitais latentes e aplicações nas ciências forenses e criminalísticas ............................. 49
Rodrigo Colnago Contreras
Ensino-aprendizagem de certos conteúdos de Matemática básica com recursos tecnológicos e material didático..................... 50
Rodrigo dos Santos Bononi
7
f(x) = x
Marcelo Viana – IMPA
Resumo: Utilizaremos o problema da resolução de equações como fio condutor
numa digressão pela Matemática, suas disciplinas e sua história, visando também
realçar a sua notável unidade.
Maximização em Geometria e Analise
Djairo Guedes Figueiredo – IMECC – UNICAMP
A dimensão de uma ferradura
Marcus Augusto Bronzi – UFU – MG
Sobre o uso de simulação computacional de ambiente
empresarial.
Rogério Rodrigues – EMBRAER
Resumo: O desenvolvimento das técnicas de simulação computacional têm
acompanhado a evolução da informática e hoje em dia sua utilização permite a
resolução de uma grande quantidade de problemas práticos. Dentre os desafios
para o uso desta tecnologia, a habilidade de explorar o paralelismo das atividades e
a eficiência do controle de configuração são fundamentais para o sucesso da
atividade. Nesta apresentação serão discutidos aspectos relevantes da
infraestrutura computacional e da gestão de processos a fim de aumentar a
efetividade da simulação computacional em ambiente empresarial.
8
A fórmula de Euler para poliedros. Aplicações inusitadas e um
pouco de história
João Sampaio – UFSCAR
Resumo: A fórmula de Euler para poliedros diz que em um poliedro convexo com V
vértices, A arestas e F faces, tem-se sempre V - A + F = 2. Este resultado tem
obviamente aplicações geométricas, uma delas sendo a demonstração de que
existem no máximo 5 poliedros regulares. Mas a fórmula também tem aplicações
inusitadas (insuspeitas a princípio) em diversos problemas de natureza
combinatória. Nesta palestra, o tema e os problemas selecionados serão
apresentados de modo acessível até a alunos do ensino médio. Mostraremos
alguns resultados matemáticos (e aplicações) que podem ser deduzidos através de
demonstrações elementares e intuitivas. Será feita também uma pequena
exposição de elementos históricos do tema, tentando-se elucidar uma controvérsia
sobre a autoria da descoberta da fórmula: é creditada a Euler a descoberta da
fórmula no século XVIII, mas historiadores questionam se não teria sido Descartes
o primeiro a descobri-la.
Cálculo Diferencial e Integral: um pouco de sua história e a
discussão sobre o pioneirismo de sua descoberta.
Sérgio Nobre – UNESP – Rio Claro
Resumo: Nesta conferência serão apresentados elementos históricos que
culminaram com o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral na segunda metade
do século XVII, as contribuições de seus principais protagonistas Isaac Newton e
Gottfried Wilhelm Leibniz e a batalha travada entre ambos acerca do pioneirismo
da descoberta.
O problema de formação de singularidade para as equações de
Euler incompressíveis
Helena Lopes – UFRJ – RJ
Resumo: Nesta palestra discutiremos o problema de formação de singularidade,
em tempo finito, para as equações de Euler incompressíveis. Examinaremos a
natureza da dificuldade e faremos um tour pelos principais progressos atingidos.
9
Modelagem estocástica e quantificação de incertezas.
Rubens Sampaio – PUC – RJ
Resumo: In the modeling of dynamical systems, uncertainties are present and they
must be taken into account to improve the prediction of the models. Some
strategies have been used to model uncertainties and the aim of this work is to
discuss two of those strategies and to compare them. This will be done using the
simplest model possible: a two d.o.f. (degrees of freedom) dynamical system. A
simple system is used because it is very helpful to assure a better understanding
and, consequently, comparison of the strategies. The first strategy (called
parametric strategy) consists in taking each spring stiffness as uncertain and a
random variable is associated to each of them. The second strategy (called
nonparametric strategy) is more general and considers the whole stiffness matrix
as uncertain, and associates a random matrix to it. In both cases, the probability
density functions either of the random parameters or of the random matrix are
deduced from the Maximum Entropy Principle using only the available
information. With this example, some important results can be discussed, which
cannot be assessed when complex structures are used, as have been done so far in
the literature. One important element for the comparison of the two strategies is
the analysis of the samples spaces and the discussion of how compare them.
Scalar Autonomous Second Order Ordinary Differential
Equations
Clodoaldo Ragazzo – IME – USP
Resumo: This talk is about equations of the form u' = v, v' = F(u, v) where (u, v) ∈
R2 and F is an infinitely differentiable function. Its main theorem states that if F(u,
−v) = F(u, v) then, under some additional conditions, there exists an infinitely
differentiable change of variables (u, v) → (x, y) onto R2 such that in the new
variables the equation becomes x' = y, y' = g(x).
Cônicas Planas
Roberto Bedregal – UFPB – PB
Resumo: Nesta palestra pretendo abordar os seguintes problemas enumerativos:
quantas cônicas passam por p pontos e são tangentes a r retas? Quantas cônicas
são tangentes a 5 cônicas em posição geral?
10
Uma Metodologia para Verificação de Programas
Computacionais e Soluções Numéricas em Dinâmica dos
Fluidos Computacional
Homero Ghioti – FACIP – UFU
Resumo: As equações diferenciais em geral são importante ferramenta na
modelagem de problemas físicos. No entanto, essa aplicação matemática nem
sempre é passível de solução exata, sendo necessário o uso de métodos numéricos
para simulações numéricas. Para isso deve-se utilizar/desenvolver um Programa
Computacional de modo a resolver as equações do modelo matemático e obter
desejável aproximação à solução exata. Para garantir confiança de que erros de
programação são desprezíveis no processo de construção e controle dos erros
numéricos presentes na solução numérica, pode-se realizar eficientes teste de
verificação de código e de solução numérica, quesito fundamental que compõe o
processo de Verificação e Validação (V&V). Nesta palestra serão apresentados
conceitos de Verificação e Validação, além de algumas aplicações de Testes de
Verificação utilizando um programa Computacional de alta ordem de precisão em
Dinâmica dos Fluidos Computacional.
3x+1 (ou (3x+1)/2)
Lorenzo Días – PUC – RJ
Resumo: Escolhemos um número ímpar $n$, o multiplicamos por $3$ e somamos
$1$. Obtemos o número par $3n+1$. Dividimos este número por dois
sucessivamente até obter novamente um número ímpar. Então aplicamos o
algoritmo anterior a este novo número ímpar. A questão é a seguinte: se
continuamos repetindo esta operação alguma vez obteremos o número $1$? De
fato é conjeturado que isso sempre acontece (esta conjetura tem diversos nomes).
Este problema aparente inofensivo contém um sistema dinâmico muito
interessante. Discutiremos este problema e aproveitaremos para apresentar
algumas noções de sistemas dinâmicos.
11
Sobre teoremas tipo Borsuk-Ulam recentes
Pedro Pergher – UFSCAR
Resumo: A ideia seria dar uma retrospectiva de vários resultados recentes
concernentes ao famoso teorema de Karol Borsuk e Stanislaw Ulam, o qual
menciona fisicamente que para qualquer distribuição continua de temperatura e
pressão definida na superfície terrestre, sempre existem dois pontos antípodas na
superfície terrestre nos quais o par de valores dados pela temperatura e pressão é
o mesmo.
A Libertação da Geometria.
Edson Donizete de Carvalho – UNESP – Ilha Solteira
Resumo: Nesta palestra, iremos abordar um dos desenvolvimentos mais marcantes
e revolucinários da matemática que foi a criação das geometrias não-euclidianas,
conhecido por Libertação da Geometria, o que proporcionou a criação de outros
sistemas geométricos, até então, acreditava-se em uma única geometria, a
geometria euclidiana. Também, apresentaremos, as geometrias não euclidiana
sobe um enfoque tanto histórico, filosófico quanto matemático e algumas
aplicações.
Professor, quanto é raiz de -1?
Krerley Oliveira – UFAL – AL
Resumo: Nesta palestra iremos discutir um problema bastante comum que
encontramos em salas de aula: como introduzir os números complexos?
Surpreendentemente, veremos que as definições correntes usadas erroneamente
por alguns professores, nos levam a conclusões absurdas, como -1=1. Iremos
motivar também o uso desses números, discutindo um pouco de suas aplicações na
Matemática e (se o tempo permitir) fora dela.
12
Multidimensional Projection and its Application in Interactive
High-dimensional data Visualization
Luiz Gustavo Nonato – ICMC – USP
Resumo: Interactive visualization has become a central component of most
massive data analysis and exploration systems. However, enabling simple, intuitive
and effective interactive visual resources is not a straightforward task, mainly
when dealing with complex high-dimensional data. In this talk we will present
recent advances we have obtained towards visualizing and interacting with large
high dimensional data sets. Much of our research relies on multidimensional
projection methods designed to map high-dimensional instances of data onto low-
dimensional visual spaces. The flexibility and usefulness of our methodology will
be demonstrated in a variety of applications, including interactive summarization
of document collection, image colorization, vector field visualization, music playlist
construction, and visualization of web search results. Challenges and future
directions of this stimulating research field will also be discussed.
Um pouco sobre funções Gevrey.
Paulo Dattori – ICMC – USP
Resumo: Nos cursos de graduação usualmente estudamos funções bem regulares, a
saber, funções C^\infty e funções analíticas (denotadas por C^w). Sabemos que
C^w está estritamente contido em C^\infty. Nesta palestra vamos chamar a
atenção para classes intermediárias de funções, isto é, classes que contém
estritamente C^w e estão estritamente contidas em C^\infty. Tais classes são
conhecidas como classes das funções s-Gevrey e denotadas por G^s, para cada s>1.
Reticulados e Códigos Introdução aos conceitos de reticulados
e códigos corretores de erros e suas aplicações à transmissão
de sinais e esquemas criptográficos.
Sueli Irene Rodrigues Costa – IMECC – UNICAMP
13
Código Genético, Sequências de DNA e Códigos Corretores de
Erros na Modelagem do Sistema de Informação Biológico
Reginaldo Palazzo – FEEC – UNICAMP
Resumo: Códigos corretores de erros são utilizados em sistemas de comunicação
tanto na transmissão como no armazenamento da informação com o objetivo de
prover um alto grau de confiabilidade. Em sistemas biológicos o armazenamento
da informação se verifica no DNA e a transmissão no RNA mensageiro através da
utilização do código genético. A semelhança existente entre o dogma central da
biologia molecular e o modelo básico de um sistema de comunicação fica
evidenciada através da interpretação anterior. Dessa semelhança surge um modelo
matemático apropriado para se realizar a análise de um sistema de transmissão de
informação biológico através do modelo de um sistema de transmissão digital. Na
primeira parte desta palestra consideraremos os elementos básicos de Teoria da
Informação, Codificação e Comunicação na descrição do modelo matemático de
identificação de sequências de DNA. Na segunda parte apresentaremos e
discutiremos os resultados decorrentes desse modelo em relação à identificação de
sequencias associadas a gene, genoma, proteínas, etc.
Critérios de parada em problemas de Programação
matemática, Constraint qualifications, importância nos
algoritmos.
Roberto Andreani – IMECC – UNICAMP
Resumo: Apresentamos uma visão geométrica das condições de otimalidade no
problemas de programação matemática. A partir deste enfoque analisamos
diferentes constraint qualifications, clássicas e outras recentemente apresentadas
na literatura, estas constraint qualifications são necessárias para a existência das
condições KKT, critério de parada usado na maioria dos algoritmos para a
resolução do problema de programação matemática. Associamos estas novas
constraint qualifications com a convergencia de algoritmos clássicos e como esta
podem ser usadas para modificar e melhorar estes algoritmos. Palavras chaves:
Programação matemática, Condição KKT, constraint qualification, Lagrangianos
aumentados .
14
Abelhas, grupos não abelianos e tabuleiros.
Eduardo Tengan – ICMC – USP
Resumo: Nesta palestra, veremos como um problema em Combinatória, o de
recobrimento de tabuleiros, pode ser abordado utilizando técnicas algébrico-
geométricas, devidas a Conway e Lagarias.
Metodologia Científica e a Proposta Metodológica de Romberg
Lourdes Onuchic – UNESP – Rio Claro
Resumo: Proponho-me a falar sobre Metodologia Científica, também conhecida
como metodologia de pesquisa científica ou metodologia do trabalho científico,
como uma metodologia da construção do conhecimento. Essa metodologia,
segundo Santos (1999, 2007), possibilita aos estudantes e profissionais,
especialmente àqueles em formação ou formados em nível superior, uma geração
de autonomia intelectual. Ao lado dessas ideias proponho-me a apresentar a
proposta metodológica de Thomas A. Romberg que fala sobre as atividades que os
pesquisadores desenvolvem ao longo de sua pesquisa. Romberg diz que as
atividades envolvidas em fazer pesquisa incorporam mais características de uma
arte do que de uma disciplina puramente técnica. Esse autor apresenta 10 (dez)
atividades distribuídas em três blocos: o primeiro situando ideias sobre um
particular problema no trabalho de outros envolvidos e decidir o que investigar. Os
outros dois blocos envolvem a tomada de decisões sobre que tipo de evidências
coletar e como deve ser feito. Palavras-chave: Metodologia Científica; Autonomia
intelectual; Metodologia de Romberg.
Modelagem Matemática Aplicada ao Mercado Financeiro.
João Luíz Chela – Mackenzie – São Paulo
15
Solução Numérica da Equação de Poisson utilizando Diferenças
Finitas Generalizadas
Antonio Castelo Filho – ICMC – USP
Resumo: Nesta palestra vamos introduzir uma técnica de diferenças finitas que
pode ser aplicada para um conjunto de dados sem estrutura ("meshless"). Na
aproximação da Equação de Poisson utilizamos um estêncil virtual tradicional de
diferenças finitas e nos pontos virtuais (pontos que não dadas as informações)
utiliza-se uma técnica de aproximação (polinomial ou não) que seja dada por uma
média dos pontos reais em uma vizinhança deste ponto virtual. O conjunto de
pontos reais obtido a partir do estêncil virtual é chamado de estêncil real. Pode-se
mostrar que para aproximações polinomiais completas, os coeficientes obtidos por
esta técnica é invariante por transformações afins o que é importante porque os
coeficientes de estêncils reais obtidos a partir da aplicação de uma transformação
afim são os mesmos. Também é possível obter estes coeficientes de forma que a
matriz resultante da discretização da Equação de Poisson é não simétrica, mas
diagonal dominante que implica na estabilidade do método. Esta técnica está sendo
empregada como parte de um projeto de simulação de escoamentos multifásicos
aplicados ao processo de refino de petróleo.
ESTRUTURA LOCAL DE ALGUMAS CURVAS ESUPERFÍCIES VIA DESDOBRAMENTOS
ALEX PAULO FRANCISCOLUCIANA DE FÁTIMA MARTINS
Nosso objetivo, nesse trabalho, é apresentar alguns conceitos e resulta-dos da Teoria de Desdobramentos, a �m de aplicá-los no estudo da estruturalocal de alguns subconjuntos do espaço Euclidiano, como curvas e superfícies.
Dada F : R × Rr, (t0, x0) → R suave, podemos ver F como uma famíliaa r-parâmetros de funções Fx : R, t0 → R, a qual é chamada de um desdo-bramento de Fx0(t) = F (t, x0) = f(t), f é dita função desdobrada.
Um resultado central da Teoria de Desdobramentos é a existência de umdesdobramento p-versal da função real ±tk+1, o qual é dado por ±tk+1 +xk−1t
k−1 + ...+ x2t2 + x1t.
O principal resultado de nosso estudo é o que diz que dado a dimensão rdo espaço de parâmetros e o tipo de singularidade Ak da função desdobrada,se o desdobramento F for p-versal ou versal, então os conjuntos bifurcação esingular ou discriminante e zero de F , respectivamente, são únicos, a menosde difeomor�smos.
Logo, para estudarmos a estrutura local de qualquer subconjunto do es-paço Euclidiano, basta encontrar um desdobramento p-versal (respectiva-mente versal) cujo conjunto bifurcação (respectivamente, discriminante) é oconjunto que queremos estudar. Dessa forma, encontrando a dimensão doespaço de parâmetros e as condições para a função desdobrada ter singula-ridade de certo tipo Ak, obtemos que o conjunto em questão é localmentedifeomorfo a uma das formas normais, que apresentaremos neste trabalho.
Dessa forma, obtemos várias aplicações, das quais apresentamos a da evo-luta e da superfície de paralelas de uma curva plana.
Referências
[1] Bruce, J. W. and Giblin, P. J. Curves and Singularities: a geometrical introduction
to singularity theory. 2nd. ed. Cambridge University Press, 1992.
(Alex Paulo Francisco) UNESP-IBILCE - Bolsista (CAPES)E-mail address: alexpf [email protected]
(Luciana de Fátima Martins) UNESP-IBILCE - OrientadorE-mail address: [email protected]
16
RELAÇÃO ENTRE RETICULADOS E CÓDIGOSCORRETORES DE ERROS
ANA CLÁUDIA MACHADO MENDONÇA CHAGAS
No ano de 1900 em Paris, David Hilbert propôs 23 problemas matemáti-cos. O 18o problema é o problema de empacotamento esférico. Este problemaconsistia em dispor esferas no espaço n-dimensional, de modo que elas ocu-pem a maior fração desse espaço e se interceptem em no máximo um ponto.Os empacotametos esféricos em que os centros das esferas formam um sub-grupo discreto do Rn são chamados empacotamentos reticulados. Em 1948,Claude Elwood Shannon publicou um artigo relacionando empacotamentosesféricos e códigos corretores de erros. A partir desta época o estudo dereticulados teve um grande crescimento.
Um dos parâmetros mais importantes dos reticulados é a densidade deempacotamento. Um empacotamento reticulado que possui alta densidadede empacotamento está relacionado com códigos que possuem alta correcãode erros.
Este trabalho tem o intuito de divulgar como se dá esta relação. Para esteestudo a melhor referência é [1], onde é feito construções de empacotamen-tos reticulados com densidade de empacotamento alta com base em códigoscorretores de erros em dimensões menores que 29.
Referências
[1] Conway, J. H., Sloane, N. J. A., Sphere packings, lattices and groups, Springer-Verlag,New-York, 1999.
[2] Hefez A., Villela M.L.T, Códigos Corretores de Erros, Rio de Janeiro, IMPA, 2002.[3] Milies, C. P., Introdução à Teoria dos Códigos Corretores de Erros, SBM, 2009.[4] Shannon, C. E., A Mathematical Theory of Communications, Bell System Technical
Journal, vol. 27, pp. 379-423 and 623-656, July and October, 1948.
(Ana Cláudia Machado Mendonça Chagas)Universidade Estadual Paulista/IBILCE- Bolsista (FAPESP- Processo 2011/19973-3)
E-mail address: [email protected]
17
UM TEOREMA DO TIPO BORSUK-ULAM PARA
SUPERFÍCIES
ANA MARIA MATHIAS MORITAMARIA GORETE CARREIRA ANDRADE
O Teorema de Borsuk-Ulam foi primeiramente conjecturado pelo ma-temático S. Ulam e foi posteriormente provado pelo matemático K. Bor-suk, em 1933. Ele a�rma o seguinte: Dada qualquer aplicação contínua
f : Sn −→ Rn, existe um ponto x ∈ Sn tal que f(x) = f(−x). Desde asua publicação, têm sido apresentadas diferentes demonstrações, generali-zações e aplicações deste famoso teorema. Algumas generalizações consis-tem em substituir o domínio (Sn, A), onde A é a involução antipodal, poroutros pares (X,T ) de involuções livres, ou o contra-domínio Rn por espa-ços topológicos mais gerais Y . Nesse caso, dizemos que a Propriedade deBorsuk-Ulam (PBU) é válida para ((X,T );Y ) se dada uma aplicação contí-nua f : X −→ Y , existe um ponto x ∈ X tal que f(x) = f(T (x)).
Neste trabalho apresentamos o seguinte resultado, que está contido em[1]: Se S é uma superfície fechada orientável com característica de Euler
congruente a 2 mod 4 e T é uma Z2-ação livre sobre S, então a PBU é
válida para a tripla ((S, T );R2).Este trabalho é parte de nossa dissertação de mestrado.
Referências
[1] Gonçalves, D. L. The Borsuk-Ulam theorem for surfaces, Quaestiones Mathematicae,29:1, p.117-123, 2006.
[2] Massey, W. S. Algebraic Topology: An Introduction, Springer-Verlag, 1967.[3] Munkres, J. R. Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, 1984.[4] Zieschang, H.; Vogt, E.; Coldewey, H. D. Surfaces and Planar Discontinuous Groups,
Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1980.
(Ana Maria Mathias Morita) IBILCE/UNESP - Bolsista (CAPES)E-mail address: [email protected]
(Maria Gorete Carreira Andrade) IBILCE/UNESP - OrientadoraE-mail address: [email protected]
18
UMA DEMONSTRAÇÃO DOTEOREMA DA SEPARAÇÃO DE JORDAN
BRUNO CALDEIRA CARLOTTI DE SOUZAMARIA GORETE CARREIRA ANDRADE
O Teorema da Separação de Jordan a�rma algo que geométricamente crí-vel: �uma curva simples fechada em S2 (ou no plano) o separa em pelo menosduas componentes conexas�. Este resultado é de fundametal importânciapara a demonstração do Teorema a Curva de Jordan, que foi originalmenteconjecturado por Camile Jordan em 1892. Várias demonstrações incorretasforam publicadas, inclusive uma pelo próprio Jordan. Em 1905, Oswald Ve-blen publicou uma demonstração correta. Neste trabalho, apresentaremosuma prova baseada em [1], do Teorema da Separação de Jordan utilizandoferramentas e Topologia Algébrica e algum conhecimento de Topologia Geral.
Referências
[1] Munkres, J. R.; Topology: Second Edition, Prentice Hall Inc., 335-356, 2000.[2] Croom, F. H.; Basic Concepts of Algebraic Topology, G.T.M. 87 Springer-Verlag,New York, 1982.
(Bruno Caldeira Carlotti de Souza) Graduando em Matemática - Bolsista- PET-
MEC-SESu - Ibilce - Unesp - São José do Rio Preto - SP
E-mail address: [email protected]
(Maria Gorete Carreira Andrade) Orientadora - Ibilce - Unesp - São José do
Rio Preto - SP
E-mail address: [email protected]
19
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS BOOTSTRAP
EDMAR J. ALVESSELENE LOIBEL
Na inferência estatística, em geral calcula-se o desvio-padrão de estima-dores para obter-se estimativas por intervalos para os parâmetros, �xandoum coe�ciente de con�ança. Na maioria dos casos há a necessidade de uti-lizar resultados assintóticos para o cálculo destes intervalos, por exemploa normalidade assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança, [2].Muitas vezes as amostras utilizadas não são do tamanho su�ciente para ouso destes resultados. Como consequência disto podemos obter intervalosmuito amplos e, em alguns casos, em que há maior complexidade do modelo,o intervalo pode estar fora do domínio do parâmetro. Uma alternativa paraesses casos é utilizar as técnicas de reamostragem da qual se destacam osmétodos de bootstrap.
Os métodos de bootstrap foram introduzidas por Efron e Tibshiraniem 1979 com o objetivo de obter informações sobre características da dis-tribuição de alguma variável aleatória, que não são facilmente obtidas pormétodos analíticos usuais [3]. Neste trabalho apresenta-se os diferentes mé-todos de cálculos dos intervalos de con�ança utilizando os métodos bootstrap
na forma paramétrica e não paramétrica. Tais métodos são: o intervalo decon�ança bootstrap padrão-z, o intervalo de con�ança bootstrap-t, o intervalode con�ança bootstrap percentil, o intervalo de con�ança bootstrap BCPB e ointervalo de con�ança BCa. Encontra-se os intervalos de con�ança bootstrap
utilizando o software Matlab e os códigos obtidos por Borkowski, 2013, [1].
Referências
[1] Borkowski, J. Notas de curso, disponível emwww.math.montana.edu/vjobo/st431/index.html, 2013.
[2] Bickel, P. J. and Doksum, K. A. Mathematical Statistics - Basic Ideas and SelectedTopics, 1977.
[3] Efron, B. and Tibshirani, R. An Introduction to the bootstrap. Chapman and Hall,New York,1983.
(Edmar J. Alves) Depto. de Matemática, IGCE, UNESP, Rio Claro.
E-mail address: [email protected]
(Selene Loibel) Depto. de Estatística, Matemática Aplicada e Computação,
IGCE, UNESP, Rio Claro.
E-mail address: [email protected]
20
UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE PARACONTROLABILIDADE DE SISTEMAS COM RETARDO
FINITO
FERNANDO GOMES DE ANDRADEANDRÉA CRISTINA PROKOPCZIK ARITA
Neste trabalho apresentamos uma condição su�ciente, estabelecida em[1], para a controlabilidade aproximada em um intervalo [0, τ ] de sistemasdescritos por
x′(t) = Ax(t) + L(t)(xt) +Bu(t), t ≥ 0,(1)
x0 = ϕ ∈ C,(2)
com x(t) ∈ X, u(t) ∈ U , X e U espaços de Hilbert e xt : [−r, 0] → X ahistória de x(·) no ponto t, isto é, xt(θ) = x(t+ θ), θ ∈ [−r, 0]. Além disso,A é o gerador in�nitesimal de um C0-semigrupo T (t)t≥0 em X, veja [2],L : [0,∞) → L((C,X);X) é fortemente contínua, sendo C = C([−r, 0];X),e B : U → X é uma aplicação linear contínua.
Referências
[1] Arita, A.C.P., Controlabilidade e estabilização de sistemas de controle hereditários
distribuídos linares a tempo-variando, Tese de doutorado,. 2009.[2] Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Di�erential
Equations, New York: Springer-Verlag, 1983.
(Fernando Gomes de Andrade) Unesp - IBILCE - Bolsista (CAPES)E-mail address: [email protected]
(Andréa Cristina Prokopczik Arita) Unesp - IBILCE - OrientadoraE-mail address: [email protected]
21
O TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMINADA DE
LEBESGUE
GIANE CASARI RAMPASSOANDRÉA CRISTINA PROKOPCZYK ARITA
Neste trabalho apresentamos o Teorema da convergência dominada de
Lebesgue, um dos resultados fundamentais da teoria da medida, pois garante
a integrabilidade de uma função real mensurável.
Para enunciarmos este resultado precisamos de alguns conceitos iniciais,
como por exemplo, o conceito de medida, funções mensuráveis e integráveis
e o conceito de uma propriedade válida "quase sempre".
Dessa forma, temos os conceitos necessários para enunciar o Teorema da
convergência dominada de Lebesgue: Seja (fn) uma sequência de funções
integráveis que converge quase sempre para uma função real mensurável f .Se existe uma função integrável g tal que |fn| ≤ g para todo n natural, então
f é integrável e∫fdµ = lim
∫fndµ.
Este resultado pode ser aplicado, por exemplo, para provarmos que o
espaço Lp das funções p integráveis é um espaço completo.
Referências
[1] Bartle, R.G. The elements of integration, New York: John Wiley & Sons, 1966.[2] Barra, G. Measure theory and integration, Great Britain: Ellis Horwood series in
mathematics and applications, 1981.
(Author 1) UNESP - Ibilce - Bolsista CAPES
E-mail address: [email protected]
(Author 2) UNESP - Ibilce
E-mail address: [email protected]
22
A IDEIA DA HOMOTOPIA, HOMOLOGIA E A RELAÇÃOENTRE π1 E H1
JESSICA CRISTINA ROSSINATI RODRIGUES DA COSTAMARIA GORETE CARREIRA ANDRADE
A Topologia Algébrica pode ser de�nida como sendo o estudo de téc-nicas para a formação de imagens algébricas de espaços topológicos. Namaioria das vezes essas imagens são grupos e as aplicações contínuas entreespaços topológicos são projeções de homomor�smo entre os grupos. Umdos functores mais simples e importantes da topologia algébrica é o grupofundamental, denotado por π1(X,x0), que cria uma imagem algébrica doslaços no espaço X com ponto base x0 ∈ X, usando a ideia de homotopiade caminhos. Quando o espaço é conexo por caminhos este grupo é de-notado simplesmente por π1(X). O grupo fundamental π1(X,x0) é usadoespecialmente quando se estuda os espaços de baixa dimensão. Em vistadisso, precisamos de uma ferramenta para lidar com espaços de alta dimen-são. Analogamente, existem grupos de dimensão superior a π1(X,x0), osgrupos de homotopia πn(X,x0), mas em geral, eles são extremamente difícilde calcular. Felizmente, há uma alternativa mais computável para grupos dehomotopia: os grupos de homologia Hn(X). Neste trabalho, antes de dar asde�nições formais, apresentamos uma ideia intuitiva do grupo fundamental edos grupos de homologia. O grupo fundamental de um espaço X será de�nidode modo que seus elementos são laços (caminhos fechados)em X começandoe terminando em um ponto base x0 �xo. Mas, dois desses laços são consi-derados como o mesmo elemento do grupo fundamental se um laço poderser deformado continuamente no outro sobre espaço X. A motivação originalpara a de�nição de grupos de homologia é a observação de que os espaçostopológicos distinguem-se pelos seus "buracos"n- dimensionais. Os gruposde homologia pode ser de�nido utilizando aplicações contínuas φ : In → Xchamado n-simplexo singular. Depois de apresentar a ideia intuitiva, po-demos formalizar as de�nições e resultados sobre esses grupos e apresentaralguns exemplos e aplicações. Nós terminamos o trabalho apresentando umteorema, devido à Hurewicz, que se refere aos grupos π1(X,x0) e H1(X).
Referências
[1] Hatcher, Allen; Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.[2] Vick, James W.; Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology, Academic
Press, 1973.
(Author 1) IBILCE/Unesp - Bolsista FapespE-mail address: jessica−[email protected]
(Author 2) IBILCE/Unesp-OrientadoraE-mail address: [email protected]
23
SEMIGRUPOS DE OPERADORES LINEARES LIMITADOS
LAURA REZZIERI GAMBERA †ANDRÉA CRISTINA PROKOPCZYK ARITA ‡
Neste trabalho apresentamos uma introdução à teoria de semigrupos
de operadores lineares limitados. Para isso, vamos de�nir uma família de
transformações lineares limitadas que satisfaz certas propriedades e assim,
de�nir semigrupos e suas propriedades. Os semigrupos estão associados a
um operador linear, que é seu gerador in�nitesimal.
Além disso, vamos enunciar o Teorema de Hille-Yosida, que nos garante
quando um operador linear é o gerador in�nitesimal de um semigrupo.
O estudo da teoria de semigrupos se aplica no estudo de equações diferen-
ciais.
Referências
[1] McBride, A. C.: Semigroups of linear operators: an introduction. Pitman researchnotes in mathematics series, New York, 1987.
[2] Pazy, A.: Semigroups of linear operators and applications to partial di�erential equa-
tions. Applied Mathematical Science vol. 44, Springer-Verlag, New York, 1983.
(†) Unesp - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas - BolsistaPET/MEC
E-mail address: [email protected]
(‡) Unesp - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas - Departa-mento de Matemática - Orientador
E-mail address: [email protected]
24
O USO DE JOGOS NO ENSINO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
MAYARA FERNANDA LOPES BARUSSITAMARA ROSSE CANDIDO
FLÁVIA SOUZA MACHADO DA SILVA
Junto ao Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID-CAPES 2009) é desenvolvido um trabalho na Escola Municipal Paul PercyHarris de São José do Rio Preto-SP, possibilitando aos estagiários bolsistas,por meio das atividades desenvolvidas, aperfeiçoarem a sua formação, viven-ciar o cotidiano da escola e contribuir no processo de ensino-aprendizagemda disciplina de Matemática. O objetivo deste trabalho é apresentar umadentre as atividades desenvolvidas em sala de aula e os resultados obtidos,com os alunos do sétimo ano da escola citada anteriormente. Tendo em vistamelhorar o desempenho e motivar os mesmos a aprenderem alguns conteú-dos sobre os números racionais foram aplicados três jogos na perspectiva daResolução de Problemas. Os jogos utilizados foram o dominó das frações, odesa�o das frações e o jogo dos pontinhos. O intuito do primeiro foi a rela-ção entre as várias maneiras de representação dos números racionais positivos(na forma fracionária, na língua materna e a relação parte/todo por meio deuma �gura). O segundo e o terceiro jogo foram utilizados de forma adaptada,com a inclusão de números racionais negativos, tendo como objetivo veri�-car o aprendizado dos alunos com relação à comparação e as operações deadição e de subtração de números racionais. Durante a aplicação dos jogosforam propostas situações problemas que auxiliaram o professor a identi�caro raciocínio utilizado e a veri�car a aprendizagem.
Referências
[1] BORIN, J. Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as aulas de mate-
mática. 6a ed. São Paulo: IME - USP, 2007.[2] BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1998.[3] POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.[4] YEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade - 7o ano. São
Paulo: Editora atual, 2009.
(Mayara Fernanda Lopes Barussi) UNESP/IBILCE - Bolsista (CAPES-PIBID)E-mail address: [email protected]
(Tamara Rosse Candido) UNESP/IBILCE - Bolsista (CAPES-PIBID)E-mail address: [email protected]
(Flávia Souza Machado da Silva) UNESP/IBILCE - OrientadorE-mail address: [email protected]
25
UM ESTUDO SOBRE ENVELOPES E CONTORNO
APARENTE DE SUPERFÍCIES EM R3
PEDRO BENEDINI RIULLUCIANA DE FÁTIMA MARTINS
Neste trabalho estudamos o conjunto chamado de envelope, ou discrimi-
nante, de uma família de aplicações suaves F : R×Rr → R. Em particular,
para r = 2, estudamos a relação entre o envelope e a geometria do contorno
aparente de uma superfície regular M = F−1(0), onde 0 é um valor regular
de F .
Também estamos interessados na estrutura local dos envelopes. Seja Σ ⊂R × Rr o conjunto constituído de pontos críticos da projeção π : M → Rr
dada por π(t, x) = x. Um interessante resultado que será apresentado é
que o envelope de F é a projeção de π(Σ), sendo Σ, sobre uma condição,
localmente uma r − 1 variedade parametrizada em R×Rr, tal como π(Σ) é
em Rr.
Além disso, estudamos exemplos nos quais encontramos pontos regulares
e pontos de regressão de envelopes.
Referências
[1] Bruce, J. W., Giblin, P.J. Curves and Singularities, a geometrical introduction to
singularity theory, Cambridge University Press, 1992.
(Author 1) UNESP-IBILCE - Bolsista CAPES
E-mail address: [email protected]
(Author 2) UNESP-IBILCE - Orientadora
E-mail address: [email protected]
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SIMETRIA E GRUPOS DE PAPEL DE PAREDE
RAFAELLA DE SOUZA MARTINSERMÍNIA DE LOURDES CAMPELLO FANTI
FLÁVIA SOUZA MACHADO SILVA
Para a maioria das pessoas, a ideia de simetria está relacionada com arte,
natureza e beleza e pode ser observada, frequentemente, no cotidiano: no
corpo humano, nas imagens em um espelho, nas asas de uma borboleta,
nas pétalas de uma �or ou em uma concha do mar. Intuitivamente uma
�gura plana é simétrica se podemos dividi-la em partes de tal modo que as
partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepos-
tas. Embora seja simples reconhecer simetrias intuitivamente, tratar deste
assunto em termos matemáticos é um pouco mais difícil. Nos dedicamos
neste trabalho ao estudo das simetrias no plano, mas a teoria de simetria se
generaliza para outras dimensões. Podemos estabelecer uma conexão entre
simetria e álgebra dada pelos �grupos de simetrias�. As belas obras de arte
de Escher ilustram muito bem os diferentes aspectos dos grupos de simetrias.
Associar grupos a �guras planas simétricas é útil na classi�cação das mes-
mas. Pode-se mostrar que existem 7 grupos de �tas e 17 grupos de papel de
parede, também conhecidos como grupos planos, a menos de isomor�smos.
Um limitante para o número de grupos de papel de parede pode ser obtido
utilizando cohomologia de grupos.
Referências
[1] BROWN, K. S. Cohomology of Groups, Queen Mary College Math. Notes, Londres,1976.
[2] GERÔNIMO, J. R.;FRANCO, V. S. Simetrias no Plano - Uma abordagem geométrica
e algébrica Maringá- PR, 2002.[3] SCHWARZENBERGER, R. L. E. The 17 plane symmetry groups. M. Gazete 58, p.
123-131, 1974.
(Rafaella de Souza Martins) UNESP-IBILCE - Bolsista CAPES
E-mail address: [email protected]
(Ermínia de Lourdes Campello Fanti) UNESP-IBILCE - Orientador
E-mail address: [email protected]
(Flávia Souza Machado Silva) UNESP-IBILCE - Co-orientador
E-mail address: [email protected]
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A ALEATORIEDADE DA BOLSA DE VALORES
RICARDO FELIPE FERREIRADORIVAL LEÃO PINTO JÚNIOR
É comum na natureza encontrarmos fenômenos que são afetados por per-turbações aleatórias, na área �nanceira, por exemplo, não temos conheci-mento sobre a valorização de um ativo (ações, commodities), prever o seucomportamento é uma característica de grande interesse entre importantesempresas e pessoas ao redor do mundo. Neste contexto, é que surgem asEquações Diferenciais Estocásticas (EDEs), cuja própria teoria vem sendoimpulsionada pelas pesquisas realizadas nesta área.
Em 1997, Black e Scholes e, de forma independente, Merton publicaramdois trabalhos sobre a preci�cação de opções (opções de compra e opçõesde venda), que lhe renderam o Prêmio Nobel em Economia, desde então omodelo de Black e Scholes modi�cou a maneira como o mundo olhava paraos derivativos �nanceiros (operações �nanceiras que têm por referência umativo qualquer), as dinâmicas de mercado mudaram e novos contratos deopções foram criados e a partir de então, foi possível calcular rapidamente opreço de um derivativo �nanceiro através de uma fórmula matemática.
É neste sentido que este trabalho foi estruturado, vamos expôr a históriado Mercado Futuro no Brasil e no mundo, iremos apresentar o modelo deBlack e Scholes e as técnicas matemáticas utilizadas para realizar a corretaprevisão da volatilidade dos ativos além de explorar o caráter aleatório dasações na bolsa de valores.
Referências
[1] Bermin, H.P. (2002). A general approach to hedging options: Applications to Barrierand partial Barrier options. Math. Finance. 12, 3,199− 218.
[2] Oksendal, B. Stochastics Di�erential Equations, Springer, sexta edição, 2003.
(Author 1) ICMC/USP - Bolsista (CNPq)E-mail address: [email protected]
(Author 2) ICMC/USP - OrientadorE-mail address: [email protected]
1
CÓDIGOS CÍCLICOS VIA TRANSFORMADA DE FOURIER
SOBRE CORPOS FINITOS
ROBSON RICARDO DE ARAUJOANTONIO APARECIDO DE ANDRADE
A Transformada de Fourier é bem conhecida por ser aplicável ao trata-mento de Equações Diferenciais Parciais. Neste caso, tal transformada éde�nida em corpos de característica zero. De maneira similar, também épossível de�nir Transformada de Fourier para corpos �nitos. Assim, essa es-trutura matemática torna-se útil na teoria dos Códigos Corretores de Erros.Resultados similares sobre Transformada de Fourier para corpos de caracte-rística zero podem ser obtidos para corpos �nitos, tais como o importanteTeorema da Convolução.
A teoria dos Códigos Corretores de Erros iniciou-se em meados do séculoXX a partir dos trabalhos de Claude Shannon e é indispensável atualmentena transmissão e conservação de dados. Um dos mais simples e interessantestipos de códigos é o código cíclico. Usualmente, trata-se de código cíclicoapenas utilizando ferramentas da teoria dos corpos �nitos, Álgebra Lineare polinômios. No entanto, é possível de�nir e estudar códigos cíclicos pormeio da Transformada de Fourier, o que fornece novos modos de codi�car edecodi�car esses códigos.
No presente trabalho, apresentamos inicialmente o conceito de Transfor-mada de Fourier para corpos �nitos e apresentamos os resultados básicosdesta teoria. Como aplicação, fazendo uso dessa ferramenta de�nimos có-digos cíclicos espectralmente e apresentamos uma maneira de codi�car edecodi�car tais códigos via a Transformada de Fourier.
Referências
[1] R.E. Blahut Theory and Practice of Error Control Codes, Addison-Wesley, PublishingCompany, London1984.
[2] F.J. MacWilliams, N.J.A. Sloane The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland, 1988.
(Autor) Ibilce/Unesp - Bolsista PIC-ME/CNPqE-mail address: [email protected]
(Orientador) Departamento de Matemática - Ibilce/UnespE-mail address: [email protected]
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MATEMÁTICA COM TECNOLOGIA AO ALCANCE DE
TODOS: O ENSINO COM O USO DE SOFTWARES
EDUCACIONAIS
SÉRGIO HENRIQUE DE SOUSAROSEMARA PERPETUA LOPES
ELOI FEITOSA
O Físicanimada é um grupo interdisciplinar, que desenvolve projetos deensino, extensão universitária e iniciação à docência, prioritariamente emFísica e Matemática. O trabalho realizado em seu interior consiste em tor-nar inovadora a Matemática oferecida de forma tradicional na escola básica,utilizando recursos da Internet para esse �m. Um de seus objetivos é pos-sibilitar aprendizagem a alunos que têm di�culdade em Matemática. Ado-tando as tecnologias digitais como ferramentas mediadoras (COLL; MAURI;ONRUBIA, 2010), busca contribuir para democratizar esse conhecimento,tornando-o acessível àqueles que frequentam a escola pública. Seu diferen-cial está não apenas em oferecer materiais digitais de cunho pedagógico, masem mediar a relação entre esses e a escola pública, priorizando o professor queensina Matemática no Fundamental I. Na escola, promove aulas interativascom alunos em fase de alfabetização matemática; na universidade, propiciaformação, por meio de palestras, minicursos, o�cinas pedagógicas e demaiseventos congêneres, estendidos, prioritariamente, a professores e futuros pro-fessores. De suas ações, destacam-se a produção, seleção e disponibilizaçãogratuita de material multimídia na web, em blogs como o Matemática Mirim,aqui focalizado, acessível em <http://matematicamirim.blogspot.com.br/>,criado em 2010. Nele, encontram-se applets (softwares de classi�cação va-riada), jogos, vídeos, e-books, dentre outros, direcionados ao ensino da Ma-temática nos primeiros anos escolares, em áreas de estudo como Númerose Operações, Geometria, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informa-ção, organizados em abas (gadgets). A relevância de sua proposta está emcontribuir para evitar que, em pleno século XXI, na dita Idade Mídia, aMatemática se mantenha como fator de exclusão social.
Referências
[1] COLL, C.; MAURI, T.; ONRUBIA, J. LaTeX: A incorporaçõo das tecnologias da
informaçõo e da comunicaçõo na educaçõo. Porto Alegre: Artmed,p. 67-93, 2010.
(Author 1)Bacharelado em Matemática Pura/IBILCE/UNESP-Bolsista (PROEX/UNESP)E-mail address: [email protected]
(Author 2) Pós-Graduação em Educação/Doutorado/FCT/UNESPE-mail address: [email protected]
(Author 3) Departamento de Física/IBILCE/UNESP - OrientadorE-mail address: [email protected]
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VIBRAÇÕES MECÂNICAS
YAGOR ROMANO CARVALHO
Existem processos físicos que podem ser modelados por equações linearescom coe�cientes constantes, logo essas são muito úteis.
Neste trabalho iremos estudar a aplicação das equações diferenciais line-ares com coe�cientes constantes nos campos de vibrações mecânicas. Comoexemplo temos: objeto preso numa mola, amortecedor de um carro, dentreoutros.
Considere um objeto de massa m pendurado numa das extremidades poruma bola vertical de comprimento l.
Existem duas forças atuando sobre o ponto no qual a mola está presa noobjeto. Uma força é a força gravitacional e a outra é a força exercida pelamola.
A força gravitacional P puxa a mola para baixo e tem módulo igual a mg,e que g é a aceleração da gravidade.
A força exercida pela mola �Fs� puxa o objeto para cima e é dada pelaLei de Hooke, logo Fs = −kL.
Como o objeto está em equilíbrio segue que as duas forças se anulam emmódulo.
Em um problema dinâmico estamos interessados no estudo do movimentodo objeto. Neste trabalho vamos estudar o movimento causado por umdeslocamento inicial, mas existe também o caso do movimento ser causadopor uma força externa.
Denotemos por s(t) o deslocamento medido positivamente no sentido parabaixo a partir de sua posição de equilíbrio no instante t.
Deste modo existe uma relação entre s(t) e as forças que agem sobre oobjeto. Pela 2Âa Lei de Newton:
(1) f(t) = ms′′(t)
onde s′′ é a aceleração do objeto e f é a força resultante do sistema.Observe que s e f são funções do tempo.
Referências
[1] Boyce, W. F.; Diprima, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de va-
lores de contorno. Ed. Guanabara Dois, 1979.
(Yagor Romano Carvalho) UNESP/IBILCE - Bolsista (FAPESP)E-mail address: [email protected]
(Claudio Aguinaldo Buzii) UNESP/IBILCE - Orientador
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CARACTERIZAÇÃO DE SISTEMAS LINEARESBIDIMENSIONAIS DE EDO'S HOMOGÊNEA
ANA LIVIA RODEROWEBER FLÁVIO PEREIRA
A teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos é uma teoria muito rica, bela e
extensa. Neste trabalho, discutimos alguns resultados a respeito dos sistemas
lineares bidimensionais de equações diferenciais ordinárias.
Apresentaremos o Teorema de Picard e a classi�cação topológica dos re-
tratos de fase desses sistemas. Esta classi�cação será feita analisando os
valores próprios da matriz de sistemas lineares homogêneos, isto é, sistemas
do tipo
X ′ = AX, com A =
(a11 a12a21 a22
)e det(A) 6= 0.
Referências
[1] SOTOMAYOR, J., LaTeX: Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Eu-clides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H., COSTA, R. C. F., LaTeX: Álgebra Lineare Aplicações, Editora Atual, São Paulo, 1995.
(Author 1) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas - UNESP -
Campus de São José do Rio Preto - Bolsista PET
E-mail address: [email protected]
(Author 2) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas - UNESP -
Campus de São José do Rio Preto - Orientador
E-mail address: [email protected]
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O ENSINO DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA COM
JOGOS MATEMÁTICOS
ANGÉLICA ALINE RIBEIRODENISE VALERIA MARIA TAINOGABRIELA CORREIA DA SILVARITA DE CÁSSIA PAVANI LAMAS
FLÁVIA SOUZA MACHADO DA SILVA
Neste trabalho apresentaremos alguns dos jogos matemáticos que foraminseridos nas aulas de matemática da Escola Municipal Paul Percy Harrisde São José do Rio Preto-SP, junto ao Programa Institucional de Bolsa eIniciação à Docência (PIBID - Capes 2009), assim como os resultados ob-tidos. O intuito de se trabalhar com jogos é aumentar o desempenho dosalunos visto que eles compreendem que o conhecimento matemático é neces-sário para ganhar o jogo e são motivados a aprender um novo conceito ourever conceitos anteriormente desenvolvidos. Para os alunos do 6o ano foiaplicado o jogo "Baralho das Frações� que tem como objetivos: �xar con-ceitos relativos às frações; identi�car diferentes representações dos númerosracionais e desenvolver estratégias de cálculo. Os jogos "Cordeiros e Tigres�e "Termômetro Maluco� foram utilizados com os alunos do 8o ano. O pri-meiro, com o intuito de procurar alternativas para motivar a aprendizagemdos alunos e ajudá-los a desenvolver autonomia, organização, concentração,atenção, raciocínio lógico e promover a interação com o meio de convívio.O jogo "Termômetro Maluco� foi utilizado para avaliar o aprendizado dosalunos a respeito dos números inteiros no que se refere às operações de adiçãoe subtração, elemento oposto e potenciação de números inteiros. Todos osjogos foram aplicados na perspectiva da resolução de problemas.
Referências
[1] BORIN, J. Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as aulas de mate-
mática. 6a ed. São Paulo: IME - USP, 2007.[2] DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática,
1991.
(Angélica Aline Ribeiro) UNESP/IBILCE - Bolsista (CAPES-PIBID)E-mail address: [email protected]
(Denise Valeria Maria Taino) UNESP/IBILCE - Bolsista (CAPES-PIBID)E-mail address: [email protected]
(Gabriela Correia da Silva) UNESP/IBILCE - Bolsista (CAPES-PIBID)E-mail address: [email protected]
(Rita de Cássia Pavani Lamas) UNESP/IBILCEE-mail address: [email protected]
(Flávia Souza Machado da Silva) UNESP/IBILCE - OrientadorE-mail address: [email protected]
33
COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS LINEARES NO
PLANO
ANTONIO CESAR MIALICH JUNIOR 1
Neste trabalho, consideramos os sistemas lineares autônomos no plano
dados por X = AX onde A =
(a bc d
), com a, b, c, d ∈ R. A partir do
tr (A) (traço de A) e do det(A) (determinante de A) é possível encontrar osautovalores associados à solução trivial do sistema. Assim, para cada pontono plano traço-determinante conseguimos determinar o comportamento dassoluções, exceto para os casos que [tr(A)]2 = 4det(A).
Este trabalho foi orientado pela Profa. Luci Any Roberto DMAT/ IBILCE/UNESP.
Referências
[1] W. F. Boyce, R. C. Di Prima; Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. LTC, Rio de Janeiro, oitava edição, 2006.[2] R. Devaney, M. Hirsch, S. Smale; Di�erential Equations, Dynamical Systems and an
Introduction to Chaos. Elsevier Academic Press, USA, second edition, 2004.
(1) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas - Bolsista PET -MEC/SESu
E-mail address: [email protected]
34
UMA VISÃO HISTÓRICA SOBRE A EDUCAÇÃO DESURDOS: DO IMPENSANTE GREGO À LUTA PELO
DIREITO A ESCOLA BILÍNGUE
ARIANE SILVA RABELOMARCOS SERZEDELLO
Para os leigos no assunto, educação de surdos é um tema surpreendentee prodigioso. Grande parte da população brasileira não conhece a culturasurda e a luta destes indivíduos em ser reconhecidos como seres intelectual-mente capazes de se comunicar, aprender e viver de forma independente. Eisso não é recente, Moura (2000) relata que para o �lósofo grego Aristóteles(384 A.C. - 322 A.C.) o surdo era considerado não humano por não possuirlinguagem e, para ele, expressar seus pensamentos é que dava a condição dehumano ao indivíduo e, no caso do surdo, isto não seria possível por nãopossuir oralidade (fala). Em contrapartida, o também �lósofo Sócrates (469A.C. - 399 A. C.) questionava que, sem linguagem, a pessoa surda poderia,por exemplo, transmitir o que sente através de suas mãos, pés, cabeça eoutras partes do corpo. Já na idade média, a impossibilidade da fala impli-cava que surdos de famílias nobres não tivessem direito a receber fortuna e otítulo familiar, e assim surgem as primeiras iniciativas de se educar surdos,que consistia em ensina-los a ler, escrever, a rezar e estudar o cristianismo.Já no Brasil, em 1857, D. Pedro II apoia o francês Eduard Huet a fundaro primeiro instituto para surdos, introduzindo no país o ensino através dalíngua de sinais. Em, 1916, A Lei brasileira no 3.071 (código cível brasi-leiro) estabeleceu que os 'surdos-mudos' seriam considerados absolutamenteincapazes, pois não podiam exprimir suas vontades e assim como houverammudanças sociais sobre a surdez e a educação de surdos entre �lósofos da an-tiguidade e nas iniciativas de educação de surdos da Idade Média, no Brasil,também houveram mudanças em relação aos direitos da pessoa surda. Em24 de Abril de 2002, é regulamentada a Lei no 10.436 que dispões sobre aLIBRAS (Língua Brasileira de Sinais) ser um componente curricular obriga-tório nos cursos de formação de professores para o exercício do magistério,em nível médio e superior, e nos cursos de fonoaudiologia, além de regula-mentar a pro�ssão de tradutores interpretes de LIBRAS e provendo assimatendimento educacional aos surdos em idade escolar. Neste trabalho discu-timos sobre o tratamento dado aos surdos desde as civilizações antigas, asmudanças de pensamento social sobre o presente tema. Abordaremos tam-bém as lutas da comunidade surda atual na divulgação de sua cultura, desua língua (Língua de Sinais), o direito a educação e ensino, escola bilíngue,quebra dos paradigmas que envolvem sua condição e a busca e a busca de setornar um ser humano capaz de aprender, como qualquer outro.
36 ARIANE SILVA RABELO MARCOS SERZEDELLO
Referências
[1] Cavalcanti, M.A. Fundamentos da Educação dos Surdos, João Pessoa: UFPB. Dispo-nível em http://portal.virtual.ufpb.br/biblioteca-virtual/publicacoes/view/270. Úl-timo acesso em 05/09/2013.2011.
[2] Moura, M. C. O Surdo: Caminhos para uma nova identidade, Rio de Janeiro: Revin-ter 2000, 152p.
[3] Perlin, Glades, Strobel L. Fundamentos da Educação dos Surdos, Florianópilis: UFSC2006.
[4] Sacks, O. Vendo Vozes: Uma viagem ao mundo dos surdos, São Paulo: Companhiadas Letras 1998.
[5] Skiliar, C. A Surdez: um olhar sobre a diferença, Porto Alegre: Mediação 2002, 190p.
(Ariane Silva Rabelo) Unesp/IBILCEE-mail address: [email protected]
(Marcos Serzedello) Unesp/IBILCE - OrientadorE-mail address: [email protected]
UMA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DABRAQUISTÓCRONA ATRAVÉS DO CÁLCULO
VARIACIONAL
CAROLINE DE ARRUDA SIGNORINI
Os problemas de Cálculo Variacional surgiram no século XVII, tendo seu
desenvolvimento devido a matemáticos como Euler, Lagrange e Johann Ber-
noulli. Um problema típico do Cálculo Variacional é minimizar funcionais
em forma de integral sujeitos a determinadas restrições, como o problema
abaixo, sujeito a restrições de contorno:Minimizar I(y) :=
b∫aL(t, y(t), y′(t))dt
sujeito a
y ∈ Yad := { y ∈ C1[a, b] | y(a) = ya, y(b) = yb}.Neste trabalho, em especial, trataremos sobre um dos primeiros problemas
do Cálculo Variacional, o Problema da Braquistócrona: dados dois pontos
P0 e P1 em um plano vertical, deve-se encontrar a equação da curva que
descreve a trajetória percorrida no menor tempo possível por um corpo de
massa m sob a in�uência de somente seu peso.
Primeiramente, vamos apresentar uma teoria de otimalidade que nos leva
à Equação de Euler-Lagrange, cujas soluções fornecem candidatos à solução
de diversos problemas variacionais. Com isso, além de considerar conceitos
da Mecânica Clássica, é desenvolvida uma resolução do problema acima. Ao
�m, concluiremos que a solução do Problema da Braquistócrona é uma curva
parametrizada cuja imagem é uma cicloide.
Referências
[1] BAUMEISTER, J.; LEITÃO, A. Introdução à Teoria de Controle e Programação
Dinâmica, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2008.[2] KOMZSIK, L.; Applied Calculus of Variations for Engineers, CRC Press, Taylor &
Francis Group, Boca Raton, 2009.
(Caroline de Arruda Signorini) Graduanda em Matemática - Bolsista- PET-
MEC-SESu - Ibilce - Unesp - São José do Rio Preto - SP
E-mail address: [email protected]
(Valeriano Antunes de Oliveira) Orientador - Ibilce - Unesp - São José do Rio
Preto - SP
E-mail address: [email protected]
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UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA NA PRÁTICAESCOLAR: EXPERIÊNCIAS NO ENSINO DE POLÌGONOS,
ÀREAS E COORDENADAS CARTESIANAS
DASIANE C. P. TOLEDO LÚLIOERMÍNIA DE L. CAMPELLO FANTI
FABIANA R. S. C. COALHETARITA DE CÁSSIA P. LAMAS
O objetivo principal deste trabalho é apresentar (como parte do projetoPIBID da UNESP de São José do Rio Preto) algumas atividades desenvol-vidas, em 2013, no Laboratório de Informática da Escola Municipal RobertoJorge, utilizando o software GeoGebra, no estudo de certos conteúdos ma-temáticos, e os resultados obtidos. Uma delas, sobre Áreas de Polígonos,foi desenvolvida através de uma o�cina (realizada pela bolsista Dasiane e aProfa Ermínia da UNESP) para os demais bolsistas PIBID e professoras deMatemática da Escola Municipal mencionada, envolvidos no projeto. Talo�cina teve como objetivo fazer uma introdução das ferramentas do GeoGe-bra e a apresentação de uma proposta de aula, sobre o assunto referido, aser realizada com o uso do GeoGebra. A outra atividade foi desenvolvidacom as duas classes do 8o ano da escola municipal mencionada. O conteúdotrabalhado foi Plano Cartesiano e envolveu, entre outros assuntos, identi�-car pontos no plano, os quadrantes e representar certos polígonos com algunsvértices especi�cados. Todos acharam muito interessante o que foi abordado,e como foi abordado. A mesma se mostrou muito proveitosa tanto no quese refere a complementar a formação dos participantes, como para tornar aproposta mais e�caz, através da oportunidade de se "testar"a aula antes deaplicá-la com os alunos. No que se refere ao trabalho desenvolvido com o8o ano o resultado obtido foi muito positivo: os alunos mostraram grandeinteresse em trabalhar Matemática de uma forma diferente e, na correçãodos exercícios (que faziam parte dessa atividade), observou-se que o aprovei-tamento deles foi muito bom.
Referências
[1] Fanti, E.L.C.; et al. Trabalhando com informática e material concreto no ensino deáreas e perímetros. E-Livros Prograd. N.E. da UNESP (Artigos ref.a 2010). No prelo.
(Dasiane C. P. Toledo Lúlio) IBILCE - UNESP - Bolsista PIBID - CAPES
E-mail address: [email protected]
(Ermínia de L. Campello Fanti) IBILCE - UNESP - Orientador
E-mail address: [email protected]
(Fabiana R. S. C. Coalheta) E. M. Roberto Jorge - Supervisora
E-mail address: [email protected]
(Rita de Cássia P. Lamas) IBILCE - UNESP- Coordenadora
E-mail address: [email protected]
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OS PROJETOS DO PET MATEMÁTICA DE RIO CLARO
DIEGO MARQUES MESQUITA & JACQUELINE DOMINGUESO grupo PET - Matemática UNESP-RC foi fundado em 1994 e desde
então promove atividades de ensino, pesquisa e extensão; quesitos que sãoconsiderados como sendo pilares da universidade. O objetivo deste trabalhoé descrever alguns dos projetos desenvolvidos pelo grupo, entre eles:
Contadores de História: tem como finalidade incentivar a leitura delivros da literatura brasileira, resgatar o hábito de contar história e pro-porcionar aos participantes a habilidade de realizar uma exposição oral (dequalquer natureza, científica inclusive) de boa qualidade. Fazemos sessõesde histórias tanto para a comunidade acadêmica como para a comunidaderioclarense (escolas, asilos, creches, etc).
PET-Jr: em parceria com a Escola Estadual José Cardoso, através deencontros semanais com os alunos desenvolvemos atividades como gincanas,monitorias de matemática, Cinemat (filmes/vídeos para discussão), mágicasmatemáticas, confecções de cartazes e feira de profissões, entre outras. Espe-ramos neste projeto, por em prática o compromisso social da UniversidadePública com a comunidade. Idealizamos melhorar o desempenho escolardos beneficiários e que estes, atuem como agentes multiplicadores visandomelhorar seu ambiente escolar.
Universitário por um dia: esta atividade visa trazer alunos do ensinomédio de escolas públicas de Rio Claro para passar um dia em nosso Instituto.O objetivo é mostrar a este público que a Universidade está aberta a todose assim proporcionar uma expectativa para prestarem o vestibular. Esteprojeto é realizado em parceria com os demais cursos, promovendo troca deexperiências e integração.
Praça da Ciência: este evento é similar a uma feira de ciências, ou seja,seu programa consiste em exposições científicas, curiosidades e atividadesdos cursos da Unesp. Além de proporcionar um momento de forte interaçãocom a comunidade, esperamos que esta atividade instigue a curiosidade eatraia o interesse dos participantes em nossos cursos de graduação.
Ação Social: realizamos visitas mensais ao Centro Mãe da Saúde (umasilo localizado em Rio Claro) onde realizamos algumas atividades de entre-tenimento aos idosos. Este projeto tem como objetivo incentivar a práticado voluntariado, contudo o grupo tem um ganho convivendo com pessoasmais experientes.
Também ministramos os cursos: Introdução ao Latex, Introdução ao Ma-ple, FORTRAN, Inglês e temas da atualidade para a formação do univer-sitário. Conhecer tais recursos é de fundamental importância para seu usona graduação e contribui para uma visão mais abrangente sobre os tópicosinerentes à sociedade.
(Diego Marques Mesquita, Jacqueline Domingues) Universidade Estadual Pau-lista “Júlio de Mesquita Filho” - Campus de Rio Claro - IGCE - Bolsista doPrograma de Educação Tutorial (PET)
E-mail address: diego [email protected], jacquelinedomingues [email protected]
UMA INTRODUCÃO À TEORIA DAS CURVAS PLANAS EAPLICAÇÕES
EDUARDO DOS SANTOS TEIXEIRA
Neste trabalho estudamos alguns elementos da teoria local das curvas pla-nas. Podemos dizer que o estudo da Geometria Diferencial das curvas (ou defamília de curvas) teve seu início com o desenvolvimento do Cálculo. Umavantagem de trabalhar com curvas planas é que muitos resultados podem serapresentados de forma elementar e intuitiva. Através de métodos matemáti-cos para o cálculo de curvaturas e comprimentos de arcos, podemos modelardiversos tipos de problemas com precisão, e obter valiosas informações sobreos mesmos. Outro ponto positivo deste estudo é a interdisciplinaridade entrevários tópicos da Geometria Analítica, Cálculo Diferencial, Álgebra Linear,Geometria Plana e EDOs. Será dada ênfase, no campo das aplicações, àcurva chamada de Catenária, a qual modelo o formato de um �o suspensopelas extremidades e submetido apenas à força da gravidade.
Referências
[1] J. W. Bruce, P. Giblin Curves and Singularities, Cambridge University Press, 1992.[2] K. Tenemblat Introdução à Geometria Diferencial, Editora Universidade de Brasília,
1988.
(Eduardo dos Santos Teixeira) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exa-
tas - UNESP Campus de São José do Rio Preto - Bolsista FAPESP
E-mail address: [email protected]
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NÚMEROS CONSTRUTÍVEIS E O PROBLEMA DADUPLICAÇÃO DO CUBO
FABÍOLA PEIXOTO CINTRAJULIANA C. PRECIOSO
As construções com régua e compasso apareceram no século V a.C, épocados pitagóricos, e tiveram uma enorme importância no desenvolvimento damatemática grega. As técnicas de construção com régua e compasso só fo-ram relacionadas com teorias algébricas modernas, tais como a re- soluçãode equações e extensão de corpos, a partir dos trabalhos de Paolo Ru�ni(1765-1822), Niels Henrik Abel (1802-1829) e Évariste Galois (1911-1832).Desse relacionamento foi possível dar uma resposta a certos problemas fa-mosos, desde a grécia antiga, que �caram sem solução por mais de dois milanos. Neste trabalho abordaremos um desses problemas, conhecido como oProblema da Duplicação do Cubo.
Referências
[1] Bold, B. Famous problems of geometry, New York: Dover Publications, 1982.[2] Courant, R. e Robbins, H. Que'es la matemática?, Madrid: Aguilar, S.A. Ediciones,
1964.[3] Wagner, E. Construções Geométricas, Coleção do Professor de Matemática, SBM,
1993.[4] Pedroso, H.A. e Precioso, J.C. Construções euclidianas e o desfecho de problemas
famosos da geometria Revista Ciências Exatas e Naturais (Impresso), v. 13, p. 1-14,2011.
(Fabíola Peixoto Cintra) IBILCE-UNESP - Bolsista BAAE I
E-mail address: [email protected]
(Juliana C. Precioso) IBILCE-UNESP - Orientador
E-mail address: [email protected]
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OBTENÇÃO DE SUPERFÍCIES ATRAVÉS DE PONTOSREGULARES
GABRIELE ALBANO BARRERA E MAYARA BRAZ ANTUNESMICHELLE FERREIRA ZANCHETTA MORGADO (ORIENTADORA)
Neste trabalho mostraremos como obter superfícies através do conceito de
pontos regulares de uma aplicação. Estes pontos podem ser interpretados
geometricamente através do conceito de transversalidade entre superfícies,
que se estende naturalmente para o conceito de transversalidade de aplica-
ções.
Assim, de maneira geral, nosso objetivo é mostrar o seguinte resultado:
“ Sejam f : N → P diferenciável e Q uma superfície de P com f t Q.
Então, M = f−1(Q) é uma superfície em N com a mesma codimensão de
Q em P . Além disso, se x ∈ N é tal que f(x) = y ∈ Q, então TxM =(dxf)
−1(TyQ).�
Referências
[1] Atique, R.G. e Saia, M.J., Singularidades de germes de funções diferenciáveis,Notas Didáticas, ICMC-USP 2006.
[2] LIMA, E. L., Variedades Diferenciáveis, IMPA, 1973.
(Gabriele Albano Barrera) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas,
câmpus de São José do Rio Preto - Bolsista PICME - CNPQ
E-mail address: [email protected]
(Mayara Braz Antunes) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas,
câmpus de São José do Rio Preto - Bolsista PET
E-mail address: [email protected]
(Michelle Ferreira Zanchetta Morgado) Orientadora - Instituto de Biociências,
Letras e Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto
E-mail address: [email protected]
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NÍVEIS DE ÁLGEBRAS DE QUATÉRNIOS SOBRE K((t))
HELLEN MONÇÃO DE CARVALHO
Neste trabalho, temos por objetivo calcular o nível das álgebras de qua-
térnios que têm como corpo base o corpo de séries de potências formais
K((t)), ou seja, dada a álgebra de quatérnios D = (a, b
K((t))), determinare-
mos o menor número de parcelas necessárias para escrever −1 como soma
de quadrados de elementos de D. Para isso, usaremos o Teorema do Nível
de Ps�ter: se o nível de um corpo é �nito, então esse nível é uma potência
de dois e obteremos um resultado igualmente forte: se o nível da álgebra de
quatérnios D for �nito, então esse nível é da forma 2r ou 2r + 1.
Referências
[1] Lam, T. Y. Introduction to Quadratic Forms ober Fields, Graduate Studies in Mathe-matics, 2005.
[2] Scharlau, W. Quadratic and Hermitian Forms, Springer Verlag,1985.
(Hellen Monção de Carvalho) Ibilce- Bolsista Fapesp
E-mail address: [email protected]
(Clotizio Moreira dos Santos) Ibilce - Orientador
E-mail address: [email protected]
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CORPOS CICLOTÔMICOS E O ÚLTIMO TEOREMA DE
FERMAT
JOÃO PAULO LINDQUIST FIGUEREDOANTONIO APARECIDO DE ANDRADE
Neste trabalho, caracterizamos os corpos ciclotômicos (corpos da formaQ(ζm), onde ζm é uma raiz m-ésima primitiva da unidade). Provamosque Q(ζm) possui grau ϕ(m) = #{k ∈ {0, 1, . . . ,m − 1} | (k,m) = 1}e que seu grupo de Galois sobre Q é isomorfo a (Z/mZ)∗. Dessa forma,
{1, ζm, · · · , ζϕ(m)−1m } será uma base de Q(ζm) sobre Q, onde mostramos que
o seu discriminante divide mϕ(m). Com isso, provamos que o anel de inteirosde Q(ζm) é o anel Z[ζm].
Como uma aplicação, demonstramos o último teorema de Fermat parapotências que são primos regulares. Para isso, supomos que xp + yp = zp
possui soluções positivas e fatoramos xp + yp = zp nos seguintes fatores deZ[ζp]
(1) (x+ y)(x+ yζp)(x+ yζ2p ) . . . (x+ yζp−1p ) = zp.
Assim, chegamos à igualdade 〈x + y〉〈x + yζp〉 . . . 〈x + yζp−1p 〉 = 〈z〉p de
ideais em Z[ζp]. Agora, usando o fato de que os ideais em anéis de inteiros
se fatoram de forma única como ideais primos, segue que 〈x + yζkp 〉 = Ipk ,onde Ik é um ideal primo de Z[ζp]. Os primos regulares p são os primosque não dividem o número de classes de Z[ζp]. Para esses primos, o idealprimo Ik é principal. Com isso, cada um dos fatores da Equação (1) seráassociado a uma potência p-ésima de algum elemento de Z[ζp], o que gerauma contradição.
Referências
[1] Marcus, D. A. Number Fields. New York: Springer�Verlag, 1977. 286 p.[2] Ireland, K; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York:
Springer�Verlag, 1982. 354 p.[3] Samuel, P. (1967). Algebraic Theory of Numbers. Trad. sob direção de Allan J. Sil-
berger. Londres: William Clowes and Sons, 1975. 109 p.
(Autor 1) IBILCE - Bolsista (FAPESP)E-mail address: [email protected]
(Autor 2) IBILCE - OrientadorE-mail address: [email protected]
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O MÉTODO DE CHOLESKY E AS ROTAÇÕES DEGIVENS: APLICAÇÃO NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
LINEARES
JOSÉ EDUARDO MARINHO DA SILVAHELOISA HELENA MARINO SILVA
Neste trabalho, apresentamos o método de fatoração de Cholesky e mostra-mos sua aplicação na resolução de sistemas de equações lineares. O objetivoprincipal é analisar a e�ciência deste método na obtenção da solução de sis-temas lineares provenientes do uso de técnicas de otimização para resolverum problema de programação linear[3].
O método de Cholesky fatora uma matriz A no produto LLt onde L é ma-triz triangular inferior com elementos diagonais positivos e Lt sua transpostae só é aplicável se A é simétrica e positiva de�nida[1].
Se A é uma matriz não simétrica, pode ser mostrado que AtA é simétricae positiva de�nida[1], logo pode ser fatorada no produto LLt. Neste caso, Lpode ser obtida através das rotações de Givens[2] aplicadas sobre a matrizA. Mostramos, então, de um modo geral, como triangularizar uma matrizatravés de aplicações sucessivas das rotações de Givens. Fazemos tambémuma comparação da e�ciência computacional entre a obtenção do fator L,da matriz AtA, pelo método usual e pelas rotações de Givens.
Os métodos estudados foram implementados na linguagem computacionalC e testados em um conjunto de sistemas lineares. Os resultados numéri-cos obtidos da aplicação destes métodos em um problema selecionado serãoapresentados no �nal deste trabalho.
Referências
[1] Franco, N. B. Cálculo Numérico, Pearson Education do Brasil, 2006.[2] Golub, G. H. & Van Loan, C. F. Matrix Computations, Baltimore, Johns Hopkins
1996.[3] Rangel, M. S. N. O Problema do Corte Bidimensional, Dissertação de Mestrado,
IMECC-Unicamp, 1990.
(José Eduardo Marinho da Silva) IBILCE/UNESPE-mail address: [email protected]
(Heloisa Helena Marino Silva) DMAp/IBILCE/UNESP - OrientadoraE-mail address: [email protected]
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GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO
MIRELA CRISTINA MARINIÉVELIN MENEGUESSO BARBARESCO
Na Topologia Algébrica o estudo do grupo fundamental desempenha umpapel importante pois fornece métodos de redução de problemas topológi-cos para problemas puramente algébricos. O objetivo principal do grupofundamental é investigar a estrutura de um espaço topológico por meio decaminhos no espaço. Mais precisamente, dado um espaço topológico X e x0um ponto de X, associamos através de caminhos fechados em X um grupodenotado por π1(X,x0) ou π1(X) (quando o espaço for conexo por caminhos)denominado grupo fundamental de X.
Neste trabalho, apresentamos o conceito de π1(X) e algumas propriedades.Em particular, mostramos que π1(S
1) ' Z e exibimos algumas aplicaçõesdeste fato. Por exemplo, o grupo fundamental do produto cartesiano deespaços é o produto dos grupos fundamentais de cada espaço. Usando esseresultado e o fato que o toro T 2 pode ser visto como o produto cartesianode dois círculos, temos que π1(T
2) ' π1(S1 × S1) ' Z× Z.
Referências
[1] Croom, F. H. Basic Concepts of Algebraic Topology, New York: Springer Verlag,1978
[2] Munkres, J. R. Topology a �rst course, 1975[3] Lima, E. L. Grupo fundamental e espaço de recobrimento, Rio de Janeiro: IMPA
(Projeto Euclides),2006
(Mirela Cristina Marini) Graduanda em Matemática - Bolsista BAAE I - Ibilce
- Unesp - São José Do Rio Preto - SP
E-mail address: [email protected]
(Évelin Meneguesso Barbaresco) Orientadora - Ibilce - Unesp - São José Do
Rio Preto - SP
E-mail address: [email protected]
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DIFEOMORFISMO DINAMICAMENTE COERENTE
OYRAN SILVA RAYZARO
Objetivo deste trabalho é mostrar sob certas condições, quando um di-feomor�smo f sobre uma variedade M é dinamicamente coerente, ou seja,quando suas distribuições Ec, Ecs e Ecu (central, centro-estável e centro-instável) são integráveis pelas folheações W c, W cs e W cu respectivamente, ealém disso, veri�camos que estas folheações são placa expansivas.
Referências
[1] Brin, M.; On dynamical coherence, Ergodic Theory Dynamic. Systems 23 (2003),no. 2, 395-401.
[2] Brin, M., and Pesin, Y.; Partially hyperbolic dynamical systems. Math. USSR-Izv.8 (1974), 177-218.
[3] Hirsch, M., Pugh, P., Shub, M.; Invariant Manifolds, Lecture Notes in Mathema-tics, 583, Springer-Verlag, 1977.
[4] Wilkinson, A.; Stable ergodicity of the time-one map of a geodesic flow. ErgodicTheory Dynam. Systems 18 (1998), no. 6, 1545-1587.
(Oyran Silva Rayzaro) Unesp- Ibilce - Bolsista (capes)E-mail address: [email protected]
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O TEOREMA DA CLASSIFICAÇÃO DE ARNOLD
RAFAELA SOARES DE CARVALHOMICHELLE FERREIRA ZANCHETTA MORGADO (ORIENTADORA)
Neste trabalho apresentamos o Teorema de Arnold que fornece a classi�-
cação de germes simples com singularidade isolada. Os germes simples são
germes de funções analíticas que têm uma vizinhança interseccionando ape-
nas um número �nito de órbitas associadas e são classi�cados de acordo com
o tipo de singularidade, que pode ser isolada ou não isolada. Para classi�car
estes germes a cada classe de R-equivalência, será determinado um represen-
tante da classe que tem a forma mais simples possível e este representante é
chamado de forma normal.
Teorema (Teorema de Arnold): Se o germe f é simples, então f é
equivalente a:
Símbolo Forma Normal CodimensãoAk xk+1
1 + p(x2, ..., xn) k, k ≥ 1
D±1k x21x2 ± xk−1
2 + q(x3, ..., xn) k, k ≥ 4E6 x31 + x42 + q(x3, ..., xn) 6
E7 x31 + x1x32 + q(x3, ..., xn) 7
E8 x31 + x52 + q(x3, ..., xn) 8
onde p(x2, ..., xn) =
n∑i=2
±x2i e q(x3, ..., xn) = p(0, x3, ..., xn).
Referências
[1] Atique, R.G. e Saia, M.J., Singularidades de germes de funções diferenciáveis,Notas Didáticas, ICMC-USP 2006.
[2] Gibson, C.G., Singularity theory, proceedings of the European Singularities
Conferenc, Liverpool, Cambridge University Press, 1996.
(Rafaela Soares de Carvalho) Instituto de Biociências, Letras e Ciências Ex-
atas, câmpus de São José do Rio Preto - Bolsista FAPESP
E-mail address: [email protected]
(Michelle Ferreira Zanchetta Morgado) Orientadora - Instituto de Biociências,
Letras e Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto
E-mail address: [email protected]
1
SEGMENTAÇÃO DE IMPRESSÕES DIGITAIS LATENTES EAPLICAÇÕES NAS CIÊNCIAS FORENSES E
CRIMINALÍSTICAS
RODRIGO COLNAGO CONTRERASMAURÍLIO BOAVENTURA
O objetivo deste trabalho é apresentar um método de segmentação de im-pressão digital baseado no critério de Fisher e na análise da frequência dascristas e vales. A segmentação de imagens é uma etapa do pré-processamentoque tem como objetivo evidenciar certas características da imagem, nestecaso, o objetivo desta etapa é separar regiões relevantes das regiões não uti-lizadas no processo. Uma forma de extração de características dessas regiõesé dividir a imagem em pequenas partes denominadas blocos (ou janelas) dedimensões WxN e obter suas propriedades estatísticas. Uma impressão di-gital é definida por grande contraste em seus tons de cinza, ou seja, tonsclaros e tons escuros. A variância dos tons de cinza de cada bloco nos dá umbom indicativo se aquela área específica pode ser uma parte de impressãodigital ou não. Uma métrica que pode ser utilizada é a medida de Fisherque é uma função discriminante linear utilizada para medir a separabilidadede dois eventos disjuntos, neste caso, os eventos disjuntos podem ser consi-derados como sendo as intensidades de níveis de cinza (claros ou escuros).[2]Uma outra característica que pode ser utilizada para identificar uma impres-são digital é o cálculo da frequências das cristas e vales. Para calcular essafrequência é necessário que N esteja na direção da orientação preferencialdos pixels da região e W na direção normal. Assim, pode ser construído umvetor x-assinatura de tamanho W para cada uma dessas janelas de tal formaque cada elemento deste vetor seja a soma dos valores dos N pixels dispos-tos no sentido normal da janela. Se Li ∈ {1, . . . ,W}, forem os índices dosvalores picos do vetor x-assinatura então o valor da frequência da respectiva
janela é dado por f =(k − 1)∑k
i=2(Li − Li−1), onde k é o número de picos do
vetor x-assinatura.[1]
Referências
[1] Hong, L.; Jain, A.K.; Wang, Y. Fingerprint Image Enhancement: Algorithm andPerformance Evaliation, IEEE Transations on Pattern Analysis and Machine Intelli-gence, 20(8), pp. 766-789, 1998.
[2] Zheng, X.; Wang, Y.; Zhao, X. Fingerprint Image Segmentation Using Active ControlModel, Proceedings of the IEEE 4th International Conference on Image and Graphics,pp. 437-441, 2007.
(Rodrigo Colnago Contreras) IBILCE - Unesp - Bolsista FAPESPE-mail address: [email protected]
(Maurílio Boaventura) IBILCE - Unesp - OrientadorE-mail address: [email protected]
1
ENSINO-APRENDIZAGEM DE CERTOS CONTEÚDOS DE
MATEMÁTICA BÁSICA COM RECURSOS
TECNOLÓGICOS E MATERIAL DIDÁTICO
RODRIGO DOS SANTOS BONONIMAYRA RAFAELA DE CARVALHO
ERMÍNIA DE LOURDES CAMPELLO FANTI
O objetivo deste trabalho é apresentar parte do que está sendo desenvol-
vido com três classes de Ensino Fundamental, da EE Prof. Octacílio Alves
de Almeida - SJRP, dentro do projeto do Núcleo de Ensino - PROGRAD
- UNESP "Ensino-aprendizagem de certos conteúdos de Matemática básica
com recursos tecnológicos e material didático". Para o desenvolvimento do
trabalho, inicialmente tem sido feitas pesquisas em livros textos, e outros,
reuniões em grupos, e discussões. Dentre os tópicos explorados destaca-
mos: frações, polígonos, áreas e perímetros, e poliedros - relação de Euler.
Os materiais utilizados até então foram: o jogo "dominó das frações"e os
softwares GeoGebra e Poly. Os alunos têm participado ativamente das ati-
vidades, superando as expectativas, segundo os bolsistas. Essa integração
entre universidade e a escola tem sido muito positiva, tanto para os alunos
do Ensino Fundamental, como para os bolsistas do NE, futuros professores
de Matemática.
Referências
[1] Fanti, E. L. C., Kodama, H. M. Y., Necchi, M. A. Explorando Poliedros no Ensino
Médio com o Software Poly In: Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesped. São Paulo : Cultura Acadêmica, UNESP, 2011, p. 729-745.
[2] Fanti, E.L.C Utilizando o software GeoGebra no ensino de certos conteúdos matemá-
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Ensino Fundamental. São Paulo, SEE, 2009.
(Rodrigo dos Santos Bononi) IBILCE - UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino-
Prograd
E-mail address: [email protected]
(Mayra Rafaela de Carvalho) IBILCE - UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino-
Prograd
E-mail address: [email protected]
(Ermínia de Lourdes Campello Fanti) IBILCE - UNESP - Orientadora - Coor-
denadora do Projeto
E-mail address: [email protected]
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