CLCULO DAS DIAGONAIS Denominamos polgono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma regio. Os polgonos precisam ser figuras fechadas. Observe:

Os polgonos possuem os seguintes elementos: vrtices, lados, ngulos internos, ngulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o nmero de diagonais de um polgono qualquer. Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vrtice ao outro. O nmero de diagonais de um polgono proporcional ao nmero de lados.

Note que na figura A temos quatro vrtices, ento traamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vrtice. Mas observe que a diagonal PR a mesma RP, e a diagonal SQ a mesma QS, ento sempre dividiremos o nmero de diagonais por 2. Para clculos envolvendo o nmero de diagonais, utilizamos a seguinte frmula:

A frmula n indica o nmero de lados e n 3 determina o nmero de diagonais que partem de um nico vrtice e a diviso por dois elimina a duplicidade d e diagonais ocorridas em um polgono.

Exemplo Determine o nmero de diagonais de um polgono com: a) 8 lados (octgono)

O octgono possui 20 diagonais. b) 12 lados (dodecgono)

O dodecgono possui 54 diagonais. c) 20 lados (icosgono)

O nmero de diagonais de um icosgono igual a 170. d) 3 lados (tringulo)

O tringulo o nico polgono que no possui diagonais.

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TRINGULO RETNGULOTringulo retngulo todo tringulo que tem um ngulo reto. O tringulo ABC retngulo em A e seus elementos so:

a: hipotenusa

b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projees ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relaes mtricas Para um tringulo retngulo ABC podemos estabelecer algumas relaes entre as medidas de seus elementos: - O quadrado de um cateto igual ao produto da hipotenusa pela projeo desse cateto sobre a hipotenusa. b = a.n c = a.m - O produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa. b.c = a.h - O quadrado da altura igual ao produto das projees dos catetos sobre a hipotenusa. h = m.n - O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos. a = b + c Essa relao conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITGORAS. Exemplo: Neste tringulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a = b + c b.c = a.h c = a.m b = a.n

a = 6 + 8 8.6 = 10.h 6 = 10.m 8 = 10.n

a = 100

a = 10

h = 48/10 = 4,8 m = 36/10 = 3,6 n = 64/10 = 6,4

Determine os valores literais indicados nas figuras: a)

13 = 12 + x 169 = 144 + x x = 25 x=5 b)

5.12 = 13.y y = 60/13

c)

d)

Determine a altura de um tringulo eqiltero de lado l.

Determine x nas figuras.

a)

O tringulo ABC eqiltero.

b)

O tringulo ABC eqiltero.

c)

Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

Razes trigonomtricas Considere um tringulo retngulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ngulo agudo: razo entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa do tringulo.

sen = e/a

sen = o/a

- Cosseno do ngulo agudo: razo entre o cateto adjacente ao ngulo e a hipotenusa do tringulo. cos = o/a cos = e/a - Tangente do ngulo agudo: razo entre o cateto oposto ao ngulo e o cateto adjacente. tg = e/o tg = o/e Observe: sen = cos, sen = cos e tg = 1/tg, sempre + = 90 Exemplo:

sen = 3/5 = 0,6 cos = 4/5 = 0,8 tg = 3/4 = 0,75 ngulos notveis

sen = 4/5 = 0,8 cos = 3/5 = 0,6 tg = 4/3 = 1,333....

Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ngulos. Esses ngulos chamados de notveis, so: 30, 45 e 60. A partir das definies de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ngulos notveis. Considere um tringulo eqiltero de lado l. Traando a altura AM, obtemos o tringulo retngulo AMC de ngulos agudos iguais a 30 e 60. Aplicando as razes trigonomtricas ao tringulo AMC temos:

Para obter as razes trigonomtricas do ngulo de 45, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois tringulos retngulos issceles. No tringulo ABD, temos:

Observao: sen45 = cos45

Resumindo temos a tabela:

Exerccios resolvidos: 1) Calcule o permetro do tringulo retngulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC igual a 10 m e cos = 3/5

Soluo:

2) Calcule a altura de um tringulo eqiltero que tem 10 cm de lado.

Soluo:

3) A altura de um tringulo eqiltero mede 4 cm. Calcule: a) A medida do lado do tringulo b) A rea do tringulo

4) Calcule x indicado na figura

Soluo:

Soluo:

6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com essa parede um ngulo de 60. Qual o comprimento da escada em metros?

Soluo:

7) Na figura indicada calcule AB.

Soluo:

8) Observe na figura os trs quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a rea do quadrado 1 36cm e a rea do quadrado 2 100cm, qual , em centmetros quadrados, a rea do quadrado 3 ?

A2 = A1 + A3 100 = 36 + A2 A2 = 100 36 = 64cm 9)As razes da equao x - 14x + 48 = 0 expressam em centmetros as medidas dos catetos de um tringulo retngulo. Determine a medida da hipotenusa e o permetro desse tringulo.

10) Sabe-se que, em qualquer tringulo retngulo, a medida da mediana relativa hipotenusa igual metade da medida da hipotenusa. Se um tringulo retngulo tem catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representao decimal da medida da mediana relativa a hipotenusa nesse tringulo.

11) Um quadrado e um tringulo eqiltero tm o mesmo permetro. Sendo h a medida da altura do tringulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razo h/d.