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Cálculo de Parâmetros de Cabos Subterrâneos para
Redes de Distribuição
Norberto dos Santos Nunes
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Doutor Gil Domingos Marques
Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira
Co-Orientador: Prof. Doutor Pedro Manuel Santos de Carvalho
Vogais: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Setembro de 2007
i
Agradecimentos
O autor deseja agradecer aos Professores Marcelino Ferreira e Pedro Carvalho,
responsáveis pela orientação científica do trabalho desenvolvido, e especialmente
ao Professor Pedro Carvalho, toda a confiança e empenho sempre manifestados.
A disponibilidade e apoio evidenciados constituíram factores de motivação
importantes para o sucesso do trabalho realizado.
O autor deseja expressar o seu profundo agradecimento ao Engenheiro Carlos
Santos, da EDP, e em especial à Professora Eduarda Pedro, pelo apoio e
disponibilidade sempre evidenciados.
O autor deseja também deixar uma palavra de apreço ao colega Hussein Umarji,
com quem debateu, por diversas vezes, ao longo do trabalho os seus pontos de
vista, agradecendo o apoio e amizade manifestadas.
Por último, o autor deseja ainda agradecer à sua família, namorada e amigos por
todo o apoio dado ao longo do curso, apoio esse que se revelou fundamental para
a concretização dos seus objectivos.
ii
Resumo
A tese apresentada é sobre o cálculo de parâmetros de cabos subterrâneos em
redes de distribuição de energia eléctrica. Uma das formas de se efectuar, tanto o
transporte como a distribuição de energia, é precisamente através do uso de
cabos subterrâneos.
Desta forma, o objectivo principal do trabalho é desenvolver uma ferramenta
informática que permita realizar o cálculo dos parâmetros de cabos subterrâneos.
Os parâmetros referidos são a resistência, a indutância e a capacidade eléctrica.
A ferramenta de cálculo desenvolvida permite, mediante um conjunto de factores
que envolvem qualquer cabo subterrâneo, obter os parâmetros característicos
desse mesmo cabo. Verifica-se o impacto que os diversos factores que rodeiam
um cabo subterrâneo têm nos parâmetros do mesmo. Compara-se os resultados
obtidos com outros programas informáticos de elevado reconhecimento e
fiabilidade, nomeadamente o Cable Constants do ATP/EMTP – Electromagnetic
Transients Program, bem como com os catálogos disponibilizados por fabricantes.
Por último realiza-se a análise em frequência dos parâmetros característicos dos
cabos. Analisa-se também a variação dos parâmetros de cabos subterrâneos na
frequência, em função das características de instalação dos mesmos, tais como a
ligação de terra do cabo e a ligação entre bainhas em sistema trifásicos de cabos
subterrâneos.
Concluiu-se que os resultados obtidos são muitos próximos dos valores
fornecidos, tanto pela aplicação de cálculo disponível no EMTP, como nos
catálogos disponibilizados por fabricantes.
iii
Palavras-chave
Redes de Distribuição de Energia Eléctrica
Cabos Subterrâneos
Cálculo de Parâmetros
Resistência e Capacidade Eléctrica
Indutância
Análise em Frequência
iv
Abstract
The Thesis presented is about the calculation parameters for underground cables
on power systems of distribution networks. One of the ways in which both transport
and power distribution can be made is precisely through the use of underground
cables.
Therefore, the main aim of this project is to develop an informatics tool, which
allows us to calculate parameters for underground cables. The referred parameters
are resistance, inductance and electrical capacity.
The developed calculation tool allows us to achieve the characteristics parameters,
according to a number of factors which involve any underground cable, and
therefore achieve the characteristic parameters for this cable. We verified the
impact of several factors that involve the cable in it’s own parameters.
In it we compare the results obtained with other informatics programs that have
high recognition and reliability, namely the cable constants from ATP/EMTP –
Electromagnetic Transients program, as well as with catalogues available from
manufactures.
Finally, we carried out the analysis of the characteristic parameters of an
underground cable in function of frequency. The work also analyses the variation
of parameters according to the installation characteristics of the cables, such as
the ground connection of the cable, and the connection between the sheaths on
tree phase systems of underground cables.
We have concluded that the results obtained are very close to the values
presented both by Cable Constants of ATP/EMTP and in catalogues made
available by manufactures.
v
Key Words
Power Systems of Distribution Networks
Underground cables
Parameters Calculation
Electrical Resistance and Capacity
Inductance
Frequency Analysis
vi
Índice
Capítulo 1 Introdução....................................................................................
1.1 Enquadramento............................................................................
1.2 Motivação.....................................................................................
1.3 Organização do Texto..................................................................
Capítulo 2 Metodologia do Cálculo de Parâmetros.......................................
2.1 Introdução....................................................................................
2.2 Metodologia ……..........................................................................
2.3 Generalização para um Sistema de três Cabos Subterrâneos....
2.4 Efeito de Proximidade..................................................................
Capítulo 3 Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas.
3.1 Introdução....................................................................................
3.2 Redução do Sistema Matricial.....................................................
3.2.1 Eliminação dos condutores ligados à terra.......................
3.2.2 Eliminação dos condutores agrupados por fase...............
3.2.3 Transformação do sistema em componentes simétricas..
3.3 Ligações entre Bainhas: cross bonding.......................................
Capítulo 4 Análise e Comparação dos Resultados Obtidos..........................
4.1 Estrutura Abreviada do Programa de Cálculo..............................
4.2 Análise dos Resultados Obtidos..................................................
4.2.1 Exemplo de cálculo dos parâmetros aplicado a um caso
particular............................................................................
4.2.2 Influência dos materiais.....................................................
4.2.3 Influência da temperatura.................................................
4.2.4Influência do tipo de solo e da profundidade de
enterramento dos cabos....................................................
4.2.5 Influência da distância de separação................................
4.3 Comparação de Resultados com Programas Reconhecidos.......
1
2
3
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28
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29
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34
36
43
44
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52
54
55
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vii
4.4 Comparação de Resultados com Catálogos................................
Capítulo 5 Análise em Frequência.................................................................
5.1 Introdução....................................................................................
5.2 Análise em Frequência dos Parâmetros......................................
5.3 Ligação à terra.............................................................................
5.4 Ligação entre Bainhas: cross bonding.........................................
Capítulo 6 Conclusão....................................................................................
6.1 Conclusões Principais..................................................................
6.2 Outras Conclusões: abordagens futuras......................................
Referências Bibliográficas..................................................................
65
69
70
71
73
75
77
78
79
81
viii
Lista de Figuras
Fig. 1 Corte transversal de um cabo subterrâneo unipolar (single-
core cable)..................................................................................
Fig. 2 Condutor tubular de raio interior q e raio exterior r.....................
Fig. 3 Sistema de 3 cabos subterrâneos unipolares semelhantes,
dispostos em esteira e espaçados de igual distância, com
representação dos loops de corrente que se fecham pela
terra............................................................................................
Fig. 4 Ilustração de 2 cabos subterrâneos denominados por cabos i
e k, enterrados a uma profundidade h e y, respectivamente, e
separados por uma distância x...................................................
Fig. 5 Ilustração da transformação de um sistema inicial de 2
condutores por cada uma das fases a’, b’ e c’ do sistema, para
um sistema de apenas 1 condutor (equivalente) por cada fase
Fig. 6 Ilustração do método de cross bonding onde as bainhas estão
ligadas à terra em ambos os extremos.......................................
Fig. 7 Ligação entre bainhas................................................................
Fig. 8 Circuito equivalente representado em termos de parâmetros
concentrados..............................................................................
Fig. 9 Variação da resistência com a temperatura...............................
Fig. 10 Tipos de geometria do sistema de cabo.....................................
10
13
22
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31
37
39
40
53
56
ix
Fig. 11 Comparação das componentes directa e inversa da
resistência de um sistema de cabos disposto em Esteira e em
Triângulo.....................................................................................
Fig. 12 Comparação das componentes directa e inversa da indutância
de um sistema de cabos dispostos em Esteira e em
Triângulo.....................................................................................
Fig. 13 Parâmetros do sistema de cabos subterrâneos.........................
Fig. 14 Resultados obtidos usando o EMTP..........................................
Fig. 15 Catálogo disponibilizado pela ABB, para vários cabos
unipolares de diversas secções com tensão nominal 60 KV.....
Fig. 16 Comparação dos valores da capacidade com os dados
relativos ao catálogo para vários valores de secção..................
Fig. 17 Comparação dos valores da indutância para as disposições
em esteira e triângulo com do dados do catálogo para varias
secções.......................................................................................
Fig. 18 Valores da componente directa da resistência em função da
variação da frequência...............................................................
Fig. 19 Valores da componente directa da indutância em função da
variação da frequência...............................................................
Fig. 20 Variação na frequência da resistência para diferentes tipos de
ligação à terra.............................................................................
Fig. 21 Variação na frequência da indutância para diferentes tipos de
ligação à terra.............................................................................
57
58
60
63
66
67
68
71
72
73
74
x
Fig. 22 Variação na frequência do valor da resistência para as
situações a) bainhas interligadas em cross bonding, b)
ausência de ligação entre as bainhas........................................
Fig. 23 Variação na frequência do valor da indutância para as
situações a) bainhas interligadas em cross bonding, b)
ausência de ligação entre as bainhas........................................
75
76
xi
Lista de Tabelas
Tabela 4.1.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema.....................
Tabela 4.1.2 Dados relativos à disposição geométrica do sistema de cabos,
considerando um referencial fixado no cabo 1...........................
Tabela 4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos em
componentes simétricas.............................................................
Tabela 4.3 Características de vários tipos de materiais...............................
Tabela 4.4.1 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos
relativos a vários condutores metálicos......................................
Tabela 4.4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos
relativos a vários isolamentos.....................................................
Tabela 4.5 Valores de condutividade e resistência para várias
temperaturas de operação..........................................................
Tabela 4.6 Parâmetros do sistema para vários valores de resistividade do
solo.............................................................................................
Tabela 4.7 Parâmetros do sistema para diversos valores de profundidade
de enterramento.........................................................................
Tabela 4.8.1 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em esteira.............
Tabela 4.8.2 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em triângulo..........
Tabela 4.9.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema.....................
48
49
49
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51
51
53
54
55
56
57
62
xii
Tabela 4.9.2 Dados relativos à disposição geométrica do sistema de cabos,
considerando um referencial fixado no cabo 1...........................
Tabela 4.10 Resultados obtidos com a ferramenta de cálculo usando os
valores de cabos indicados na Fig. 13.......................................
62
67
- 1 -
____________________________
Capítulo 1 ____________________________
Introdução
Neste capítulo é apresentada uma introdução ao problema do cálculo de
parâmetros em redes de distribuição de energia eléctrica. Efectua-se a
contextualização do referido problema e descreve-se as principais dificuldades
inerentes ao tema que irá ser alvo de um estudo detalhado. Apresenta-se a
abordagem efectuada inicialmente, e salienta-se qual o caminho que foi seguido
posteriormente. Procura-se também evidenciar o contributo do estudo para
futuras abordagens ao tema e descreve-se a forma como o texto da tese está
estruturado e organizado pelos vários capítulos que o compõem.
Introdução
- 2 -
1.1 Enquadramento
As redes de distribuição de energia eléctrica têm como finalidade disponibilizar e
fornecer energia eléctrica às instalações consumidoras. Os cabos subterrâneos
são elementos que fazem parte de qualquer rede de distribuição, assumindo-se
como um dos elementos mais importantes das mesmas na distribuição
energética. Um cabo subterrâneo pode assumir várias formas e constituições. No
contexto das redes de distribuição, um cabo tem tipicamente uma secção circular,
sendo constituído por diversas camadas condutoras, separadas entre si por
camadas isolantes. Geralmente, cada um dos cabos é composto por um núcleo e
uma bainha, separados entre si e da terra por elementos com propriedades
isolantes. Em determinadas aplicações, um cabo subterrâneo pode ter na sua
constituição, além dos elementos já citados, uma armadura exterior e uma outra
camada isolante a separar a bainha da armadura. É importante salientar que o (1)
núcleo, (2) a bainha e (3) a armadura são tipicamente elementos com
propriedades condutoras, embora as bainhas e armaduras possam também ter
propriedades simultaneamente condutoras e isolantes. O núcleo é o elemento
mais importante no cabo pois, é nele que circula a maior parte da corrente que
percorre o cabo subterrâneo. A bainha é um elemento, cuja função essencial é a
protecção eléctrica do cabo, enquanto que a armadura, caso exista, serve quase
exclusivamente para protecção mecânica do mesmo. Os restantes elementos
servem para isolar o campo eléctrico proveniente de cada um dos condutores à
superfície dos mesmos, procurando confinar a corrente nos referidos elementos.
A abordagem tomada inicialmente foi direccionar o presente estudo às redes de
distribuição mas, devido ao facto de existir uma grande diversidade de cabos
subterrâneos, achou-se por bem estender o estudo às redes de transporte de
energia eléctrica. Desta forma, considera-se no presente texto, para efeitos de
cálculo, que os cabos têm uma armadura na sua constituição. Relativamente à
forma da secção de cada cabo subterrâneo, achou-se conveniente restringir o
estudo realizado aos cabos unipolares de forma circular. Esta abordagem deve-se
essencialmente ao facto de cada vez mais os cabos instalados apresentarem o
referido formato. Um outro aspecto considerado, é o facto de toda a metodologia
de cálculo e inclusivamente os exemplos referidos no presente texto, se
Introdução
- 3 -
reportarem a sistemas trifásicos de cabos subterrâneos. A razão desta
abordagem é motivada pelo facto da quase exclusividade dos sistemas de cabos
incorporados nas redes de distribuição serem trifásicos.
1.2 Motivação
O objectivo principal do trabalho detalhado no presente texto, trata-se em primeira
instância de desenvolver uma ferramenta que permita realizar o cálculo dos
parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos, de forma simples e concisa,
permitindo uma fácil comparação dos resultados obtidos com outras ferramentas
existentes. Posteriormente, e caso os resultados sejam satisfatórios, pretende-se
aplicar toda a metodologia e algoritmos usados na aplicação desenvolvida, em
aplicações informáticas profissionais de análise de redes eléctricas. Em relação
ao teste e validação dos resultados obtidos, procura-se primeiramente, compará-
los com aplicações de cálculo informáticas de elevada fiabilidade. De entre os
vários programas informáticos existentes e disponibilizados gratuitamente, apenas
se encontrou uma aplicação fiável e com resultados credíveis. A aplicação em
questão é o programa EMTP - Electromagnetic Transients Program [7].
Posteriormente, efectua-se a comparação dos resultados obtidos com os dados
relativos a parâmetros de cabos, fornecidos por fabricantes conhecidos e com
grande experiência. A comparação é realizada em relação a um conjunto de
cabos pertencentes aos catálogos da ABB e que são usados pela EDP na sua
actividade corrente. Relativamente à metodologia de cálculo desenvolvida,
efectua-se todo um tratamento matemático, levando em consideração múltiplos
aspectos que envolvem o cálculo, e que têm influência nos parâmetros
característicos de um cabo ou de um sistema de cabos subterrâneos. Aspectos
como (1) a frequência, (2) a ligação à terra e (3) a ligação entre bainhas, no caso
de sistemas trifásicos, são estudados mais pormenorizadamente num capítulo
dedicado exclusivamente à análise do impacto destas grandezas nos parâmetros
dos cabos subterrâneos. Fenómenos como os efeitos pelicular e de proximidade,
bem como as elevadas perdas energéticas impostas por correntes que circulam
nas bainhas, são justificação para a saliência dada aos referidos aspectos.
Introdução
- 4 -
Procura-se também através do estudo efectuado, perceber qual a variabilidade
dos parâmetros dos cabos subterrâneos em função de diversos aspectos
relacionados com os mesmos. Procede-se à exemplificação de casos concretos,
analisando a influência de aspectos, tais como (1) materiais constituintes dos
cabos, (2) tipo de solo, (3) profundidade de enterramento, (4) temperatura dos
cabos e (5) disposição geométrica do sistema.
1.3 Organização do texto
O texto da tese está organizado em seis capítulos. Os capítulos 2 e 3 são
destinados à descrição dos algoritmos usados e da metodologia de cálculo
seguida. O capítulo 4 prende-se com a análise da influência que os vários
aspectos, directamente relacionados com os cabos subterrâneos, têm nos seus
parâmetros. O capítulo 5 destina-se à análise na frequência dos parâmetros de
sistemas de cabos subterrâneos. O capítulo 6 conclui a tese.
De seguida, apresenta-se uma descrição mais detalhada do conteúdo de cada
capítulo.
No capítulo 2 é apresentada uma descrição da metodologia usada no âmbito da
temática do cálculo de parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. O
problema é abordado num contexto de engenharia, embora também sejam
estudadas situações de natureza mais teórica. Relativamente ao método e aos
algoritmos usados, procura-se dar relevo à sua concepção em detrimento da
componente de programação que os envolve. São também tomadas em
consideração algumas situações que influenciam consideravelmente os
resultados finais e as conclusões que daí possam advir.
No capítulo 3 é abordada a descrição do sistema em coordenadas simétricas
pois, no caso concreto de um sistema trifásico, ao conseguir-se calcular os
parâmetros e descrevê-los separadamente em relação às fases do referido
sistema, não se obtém informação de grande relevância. Transforma-se então o
sistema em cada uma das suas fases numa notação relativa às suas
Introdução
- 5 -
componentes directa, inversa e homopolar. Para realizar a transformação,
efectua-se a redução do sistema inicial mediante as condições de ligação à terra
do mesmo. A redução do sistema nas referidas componentes obedece a
determinados algoritmos que são explicitados detalhadamente. Outro aspecto que
assume especial relevância é a forma de ligação entre as bainhas, que pode
trazer vantagens sobretudo ao nível do equilíbrio do sistema trifásico de
correntes. A forma de ligação usada é designada por cross bonding e é também
alvo de uma análise detalhada.
No capítulo 4 descreve-se o cálculo de parâmetros de um sistema de cabos
subterrâneos como um processo onde intervêm diversos aspectos que
influenciam significativamente os resultados do mesmo. Neste contexto, é
extremamente importante que se adquira uma certa sensibilidade na análise dos
resultados em si, como também da variabilidade dos mesmos em função da
alteração de certos aspectos que envolvem o referido cálculo. Desta forma,
procura-se perceber qual a variação dos parâmetros consoante o tipo de
condições que rodeiam todo o procedimento. Outro aspecto importante é o teste e
comparação dos resultados obtidos. A comparação é primeiramente efectuada
em relação a programas de elevado reconhecimento e fiabilidade.
Posteriormente, é também realizada a comparação com dados reais, recorrendo a
catálogos fornecidos por fabricantes.
No capítulo 5 procura-se estudar o efeito que a variação da frequência provoca
nos parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. Outro aspecto com grande
relevância é a ligação à terra do sistema, que assume importância não apenas na
protecção dos cabos e das pessoas que circulam em seu redor, mas também pelo
forte impacto provocado nos parâmetros do sistema. Faz-se referência a um
aspecto que ocorre em sistema trifásicos que é a ligação entre bainhas dos cabos
subterrâneos. Esta situação assume especial importância na protecção dos
equipamentos e nas perdas que ocorrem no sistema, manifestando também
bastante influência nos parâmetros que o caracterizam.
No capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões que têm por base o
trabalho de investigação desenvolvido sobre a problemática do cálculo de
Introdução
- 6 -
parâmetros de cabos subterrâneos em redes de distribuição. Discute-se os
resultados que se obtiveram, tomando em consideração vários aspectos que têm
grande influência no contexto pretendido. Aponta-se alguns aspectos ainda não
muito esclarecidos, segundo os quais pode ser desenvolvido um trabalho de
investigação mais intenso, e que no contexto da problemática abordada no texto
da tese assumem especial interesse e importância.
- 7 -
___________________________
Capítulo 2 ____________________________
Metodologia do Cálculo de Parâmetros
Neste capítulo é apresentada uma descrição da metodologia usada no âmbito da
temática do cálculo de parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. O
problema é abordado num contexto de engenharia, embora também sejam
estudadas situações de natureza mais teórica. Relativamente ao método e aos
algoritmos usados, procura-se dar relevo à sua concepção em detrimento da
componente de programação que os envolve. São também tomadas em
consideração algumas situações que influenciam consideravelmente os
resultados finais e as conclusões que daí possam advir.
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 8 -
2.1 Introdução
Existe uma grande diversidade de cabos subterrâneos que diferem sobretudo na
(1) constituição, (2) forma e (3) materiais que constituem as diversas estruturas
que os compõem [1]. Em relação à forma, assume-se para efeitos de cálculo, que
os cabos usados têm secção circular e formato cilíndrico. Esta simplificação deve-
se essencialmente a duas motivações que são: uma maior simplicidade de cálculo
e o facto de em termos práticos, a maior parte dos cabos usados ser de formato
cilíndrico. Relativamente à constituição dos cabos, é de salientar que a grande
diferenciação existente, se centra sobretudo no facto de estes possuírem ou não
armadura. Para aplicações usadas ao nível da distribuição de energia os cabos
usados raramente têm armadura, tornando mais fácil o acesso e manuseamento
dos mesmos [5]. A existência de armadura, verifica-se sobretudo quando estão
envolvidas potências muito elevadas, como acontece para os sistemas em redes
de transporte de energia. A metodologia usada prevê as duas situações referidas,
embora toda a metodologia que irá ser apresentada posteriormente, seja
efectuada considerando a existência de armadura. A implementação é mais
complexa mas, a análise torna-se mais global.
Outro aspecto que assume grande relevância é a forma de ligação à terra das (1)
armaduras e sobretudo das (2) bainhas [1]. Para o método usado assume-se que
no caso de um elemento estar ligado à terra, a ligação é realizada nos terminais
do mesmo, de forma a existir uma diferença de potencial nula entre as
extremidades. Desta forma, será possível usar várias configurações de ligações à
terra, consoante o tipo de constituição dos cabos, bem como o tipo de sistema de
cabos existente. No caso, em que o sistema de cabos constitui um sistema
trifásico, considera-se que as bainhas dos cabos estão ligadas entre si em
determinados pontos. A localização destes pontos obedece à regra em que se
divide um cabo de um determinado comprimento em troços finitos, que por sua
vez são divididos em subtroços com um terço deste comprimento. Na metodologia
implementada considera-se para as bainhas, uma ligação à terra que obedece ao
método designado de cross bonding [3].
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 9 -
2.2 Metodologia
Um cabo subterrâneo é uma estrutura constituída por vários elementos com
diferentes finalidades e por isso também com diferentes propriedades
electromagnéticas. Os elementos que constituem o cabo têm propriedades (1)
condutoras, (2) semicondutoras e (3) isolantes. Na formulação que será realizada
considera-se que os cabos subterrâneos são elementos unipolares, ou seja, cada
cabo do sistema tem um único núcleo na sua constituição. Admitindo que um
cabo tenha uma armadura incorporada na sua estrutura, identificam-se três
elementos condutores onde poderá ocorrer circulação de correntes, embora
apenas o núcleo do cabo seja um condutor por excelência [1].
Exemplo:
Considera-se o cabo subterrâneo representado na Fig. 1, constituído por três
possíveis superfícies onde existe circulação de correntes (1) núcleo, (2) bainha e
(3) armadura. Estas superfícies condutoras estão separadas entre si e da terra
respectivamente por superfícies isoladoras, nas quais se destacam (1) isolador
interior, (2) isolador intermédio e (3) isolador exterior. Perante a referida
constituição, estabelecer-se-ão tensões induzidas entre as várias superfícies
condutoras, que caso estejam correctamente ligadas à terra, irão originar vários
loops de corrente entre as referidas superfícies. Desta forma, origina-se o
estabelecimento de malhas de corrente no (1) núcleo com retorno pela bainha, (2)
na bainha com retorno pela armadura e (3) na armadura com retorno pela terra
[2].
O procedimento de estabelecimento destes loops é ilustrado na figura seguinte:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 10 -
Fig.1: Corte transversal de um cabo subterrâneo unipolar (single-core cable) constituído por núcleo (C), isolamento (I), bainha metálica (S), isolamento de revestimento (B), armadura (A) e isolamento exterior (P). Retirado de [1].
Tomando em consideração o fenómeno representado na Fig. 1, pode-se
descrever o conjunto de loops ou malhas de corrente existentes entre as várias
superfícies condutoras por um sistema matricial de equações. O sistema matricial
permite descrever cada uma das tensões e correntes existentes, em função das
impedâncias e admitâncias do sistema [1]. Com o conhecimento das impedâncias
e admitâncias, entre os vários elementos constituintes de um cabo subterrâneos,
torna-se imediata a obtenção dos parâmetros do mesmo (1) resistência eléctrica,
(2) indutância magnética, (3) capacidade eléctrica e (4) condutância.
A impedância e admitância de um sistema de cabos são definidas
respectivamente a partir das seguintes equações matriciais [1]:
(2.1)
(2.2)
Em que,
(V): vector de tensões, em função de uma distância finita x, ao longo do cabo
VYdxId
IZdxVd
/
/
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 11 -
(I): vector de correntes em função, de uma distância finita x, ao longo do cabo
[Z]: matriz de impedâncias no cabo
[Y]: matriz de admitâncias no cabo
Partindo da equação dada por (2.1), obtém-se a descrição das impedâncias das
três malhas de corrente referidas anteriormente, mediante um sistema matricial de
três equações acopladas.
O sistema matricial é descrito de forma expedita por [1]:
(2.3)
Os elementos da diagonal principal da matriz de impedâncias são as impedâncias
próprias do (1) loop 1, (2) loop 2 e (3) loop 3, respectivamente, que são descritos
por [1]:
Z ’11 = Z ’núcleo_out + Z ‘núcleo/isolamento_interior + Z ‘bainha_in (2.4.1)
Z ’22 = Z ‘bainha_out + Z ‘núleo/isolamento_intermédio + Z ‘armadura_in (2.4.2)
Z ’33 = Z ‘armadura_out + Z ‘armadura/isolamento_exterior + Z ‘terra (2.4.3)
Em que,
Z ‘núcleo_out = impedância interna (por unidade de comprimento do núcleo) de um
núcleo, existindo um caminho de retorno pelo exterior do mesmo através da
bainha.
Z ‘núcleo/isolamento_interior = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)
entre o núcleo e a bainha.
Z ‘bainha_in = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma bainha de
forma tubular, existindo um caminho de retorno interno que se estabelece pelo
núcleo.
Z ‘bainha_out = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma bainha,
existindo um caminho de retorno pelo exterior da mesma através da armadura.
3
2
1
'33
'23
'23
'22
'12
'12
'11
3
2
1
0
0
I
I
I
ZZ
ZZZ
ZZ
dx
dVdx
dVdx
dV
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 12 -
Z ‘bainha/isolamento_intermédio = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)
entre a bainha e armadura.
Z ‘armadura_in = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma armadura
de forma tubular, existindo um caminho de retorno interno que se estabelece pela
bainha.
Z ‘armadura_out = impedância interna (por unidade de comprimento do núcleo) de uma
armadura, existindo um caminho de retorno pelo exterior da mesma através da
terra.
Z ‘armadura/isolamento_interior = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)
entre a armadura e a terra.
Z ‘terra = impedância do loop formado pelo condutor tubular exterior do cabo
(armadura) formando o caminho de retorno pela terra.
Os elementos não diagonais da matriz de impedâncias do sistema matricial dado
por (2.3) são as impedâncias mútuas estabelecidas entre os três loops de
corrente descritos na Fig. 1. As impedâncias mútuas são negativas devido ao
facto de se estabelecerem correntes de direcção oposta ao referencial
previamente designado na Fig. 1. Deste modo, formam-se duas correntes, uma
(1) contrária ao loop 1 e outra (2) contrária ao loop 2.
As impedâncias mútuas referentes ao sistema matricial descrito por (2.3) são
apresentadas de seguida:
Z ’12 =Z ’
21 = - Z ’mútua_loop1/loop2
Z ’23 =Z ’
32 = - Z ’mútua_loop2/loop3
Z ’13 = Z ’31= 0
Em que,
Z ’mútua_loop1/loop2 = impedância mútua (por unidade de comprimento) de uma bainha
tubular formada entre o loop 1 interno e o loop 2 externo.
Z ’mútua_loop2/loop3 = impedância mútua (por unidade de comprimento) de uma
armadura tubular formada entre o loop 2 interno e o loop 3 externo.
As impedâncias mútuas definidas em (2.5.3) são obviamente nulas pois, não
existe ligação física entre o loop 1 e o loop 3.
(2.5.1)
(2.5.2)
(2.5.3)
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 13 -
Relativamente aos termos presentes em (2.4.1), (2.4.2) e (2.4.3), referentes às
impedâncias dos isolamentos, são simplesmente calculados pela expressão:
q
rjZ isol
isolamento ln2
'
(2.6)
Em que,
μisol = permitividade do isolamento
r = raio exterior do isolamento
q = raio interior do isolamento
Caso o cabo não tenha na sua constituição isolamento exterior, ou seja,
isolamento entre a armadura e a terra, o termo Z ‘isolamento é nulo.
Os raios interior e exterior presentes em (2.6) têm que ser coerentes em relação
às unidades.
A representação de um condutor tubular é apresentada a seguir:
Fig. 2: Condutor tubular de raio interior (q) e raio exterior (r). Retirado de [1].
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 14 -
As impedâncias próprias e mútuas de um condutor tubular, semelhante ao
condutor da Fig. 2, dependem da frequência de operação [8,9]. Para calcular os
termos designados em (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.5.1) e (2.5.2) pode realizar-se,
em primeira análise, uma aproximação para determinadas gamas de frequências,
como sejam as altas e baixas frequências [9]. Esta possível abordagem tem logo
o inconveniente de ser uma aproximação, e apenas de se aplicar a uma restrita
gama de frequências, estando por isso sujeita a erros.
Com o recurso a funções matemáticas, denominadas funções de Bessel [1], pode
expressar-se a impedância de um condutor tubular em função da frequência. A
partir deste tipo de tratamento matemático, consegue-se realizar o cálculo da
impedância de um condutor com forma tubular, para qualquer frequência que se
pretenda.
Desta forma, efectua-se o cálculo das impedâncias internas (próprias) ou mútuas
de um condutor tubular semelhante ao da Fig. 2, recorrendo ao uso das funções
de Bessel e funções de Bessel modificadas, de tipo I e tipo II.
De acordo com [1], as expressões seguintes permitem calcular genericamente as
impedâncias próprias de um condutor tubular (Fig. 2):
Z ‘condutor_in = )()()()(2 110 rmIqmKrmKqmI
Dq
mo
(2.7)
Z ‘condutor_out = )()()()(
2 110 qmIrmKqmKrmIDr
mo
(2.8)
De acordo com [1], as impedâncias mútuas de um condutor tubular são
calculadas a partir da seguinte expressão:
Z ‘condutor_mútua =Drq
2
(2.9)
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 15 -
O parâmetro D citado em [1], que é descrito em (2.7), (2.8) e (2.9), corresponde a
uma operação algébrica que envolve funções de Bessel e funções de Bessel
modificadas de tipo I.
Este parâmetro é apresentado seguidamente:
D = )()()()( 1111 rmKqmIqmKrmI (2.10)
O parâmetro m, que é apresentado em (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10), corresponde à
profundidade de penetração do campo eléctrico no interior de um condutor [1].
Este parâmetro é dado por um número complexo, sendo descrito por:
m =
j (2.11)
Os restantes parâmetros existentes nas equações (2.7), (2.8) e (2.9) são:
ρ: resistividade do condutor
q : raio interior do condutor
r: raio exterior do condutor
μ: permitividade do condutor
Relativamente às funções de Bessel usadas em (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10), todos
os argumentos das mesmas são números complexos com ângulo de fase
correspondente a 45º. O facto de o parâmetro dado por (2.11), ser argumento de
todas as funções de Bessel descritas, explica o ângulo de fase referido.
A descrição matemática das tensões induzidas e dos loops de corrente, mediante
o sistema matricial de equações descrito por (2.3), não apresenta grande utilidade
em termos da representação e cálculo dos parâmetros de um cabo subterrâneo.
De forma a tornar a análise mais prática e sistemática, procura-se representar o
sistema de equações (2.3) em função dos elementos condutores do cabo (1)
núcleo, (2) bainha e (3) armadura. A transformação do sistema representado por
(2.3) para a nova forma de representação é conseguida por introdução de
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 16 -
condições terminais, que exprimem as tensões e correntes nos elementos do
cabo, em função das mesmas grandezas existentes em (2.3).
As condições terminais descritas anteriormente são:
V1 = Vnúcleo - Vbainha
V2 = Vbainha - Varmadura
V3 = Varmadura
(2.12)
I1 = Inúcleo
I2 = Ibainha + Inúcleo
I3 = Iarmadura + Ibainha + Inúcleo
Em que,
Vnúcleo = tensão entre núcleo e a terra
Vbainha = tensão entre a bainha e a terra
Varmadura = tensão entre a armadura e a terra
O procedimento que envolve a transformação estabelece-se através da adição
das linhas 2 e 3 da matriz dada por (2.3) com a linha 1 dessa mesma matriz,
seguindo-se a adição das linhas 2 e 3 da referida matriz. Através de uma ligeira
manipulação algébrica consegue-se descrever o sistema de equações de um
cabo subterrâneo, em função das tensões e correntes dos vários elementos
condutores existentes no mesmo.
Seguidamente faz-se a descrição do procedimento descrito anteriormente:
21 VV = (Vnúcleo - Vbainha) + (Vbainha - Varmadura)
21 VV = Vnúcleo – Varmadura (2.13)
Por (2.12) e através de alguma manipulação algébrica tem-se:
21 II = Inúcleo + Iarmadura (2.14)
De acordo com (2.3), tem-se:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 17 -
21 VV = 21
'23
'22
'21
'13
'12
'11
II
ZZZZZZ
(2.15)
Então, por (2.13) e (2.14) tem-se:
Vnúcleo = 21
'23
'22
'21
'13
'12
'11
II
ZZZZZZ
+ Varmadura (2.16)
De acordo com (2.12), tem-se:
Vnúcleo = 21
'33
'32
21
'23
'22
'21
'13
'12
'11
II
ZZ
II
ZZZZZZ
(2.17)
De acordo com (2.3), (2.5.2), (2.5.3) e (2.12) tem-se:
Vnúcleo = 21
'33
'23
'22
'12
'11 22
II
ZZZZZ
(2.18)
De acordo com (2.18), tem-se finalmente:
Znúcleo = '33
'23
'22
'12
'11 22 ZZZZZ (2.19)
As restantes impedâncias próprias e mútuas de cada um dos elementos
integrantes do cabo, calculam-se de forma análoga ao procedimento efectuado no
cálculo de (2.19).
O sistema matricial obtido será dado por:
armadura
bainha
núcleo
AAAS
SASSSC
CSCC
armadura
bainha
núcleo
I
I
I
ZZ
ZZZ
ZZ
dx
dVdx
dVdx
dV
''
'''
''
0
0
(2.20)
Em que,
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 18 -
'CCZ = '
33'23
'22
'12
'11 22 ZZZZZ (2.21.1)
'CSZ = '
SCZ = '33
'23
'22
'12 2 ZZZZ (2.21.2)
'SSZ = '
33'23
'22 2 ZZZ (2.21.3)
'SAZ = '
ASZ = '33
'23 ZZ (2.21.4)
'AAZ = '
terraZ (2.21.5)
No procedimento de obtenção da matriz de admitâncias presente em (2.2),
assume especial relevo, o facto de para as correntes existentes ao longo de um
cabo subterrâneo com a estrutura do referido na Fig. 1, não existirem
acoplamentos entre os vários loops de corrente.
As equações que descrevem os referidos loops serão dadas por:
3'3
'3
3
2'2
'2
2
1'1
'1
1
)(
)(
)(
VCjGdx
dI
VCjGdx
dI
VCjGdx
dI
(2.22)
Em que:
G’1, G’2 e G’
3: são as condutâncias (por unidade de comprimento), para cada
camada de isolamento.
C’1, C’
2 e C’3: são as capacidades (por unidade de comprimento), para cada
camada de isolamento.
A capacidade de um isolamento com formato tubular é dada pela expressão:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 19 -
q
rC r
ln
2 0' (2.23)
Com:
r : raio exterior da camada de isolamento
q : raio interior da camada de isolamento
ε0 : permitividade absoluta ou constante dieléctrica do ar
εr : permitividade relativa ou constante dieléctrica relativa do material isolante
A condutância é desprezada para efeitos de cálculo pois, na maioria dos casos
assume-se como sendo ressonante. Numa abordagem simplificada, pode-se
descrever a condutância em função do ângulo de perdas dieléctricas.
Usualmente, relaciona-se directamente a condutância com a capacidade através
da equação (2.23), assumindo que a constante dieléctrica relativa é um número
imaginário.
A equação (2.23) pode ser reescrita por:
)(ln
2 '''0''
j
q
rj
CjG (2.24)
Com,
εr = ε’ – jε’’
Para efeitos de cálculo, considera-se que a parte imaginária de εr é nula e a sua
parte real é constante. A simplificação efectuada permite conjecturar que a
constante dieléctrica relativa não sofre variação por variabilidade da frequência, e
que as perdas dieléctricas são nulas. O facto de se desprezar o efeito da variação
de εr, com o aumento da frequência, é de acordo com [8] uma boa aproximação
pois, para frequências inferiores a 200000 MHz as perdas dieléctricas são muito
reduzidas.
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 20 -
À imagem de (2.3) para o caso das impedâncias, também o sistema de
admitâncias de um cabo descrito por (2.22), não oferece grande conveniência em
termos de engenharia. É possível mais uma vez, através das condições impostas
por (2.12), transformar o sistema (2.22), num outro modelo baseado nas tensões
e correntes dos vários elementos condutores do cabo (1) núcleo, (2) bainha e (3)
armadura.
O modelo descrito anteriormente é seguidamente apresentado:
armadura
bainha
núcleo
armadura
bainha
núcleo
V
V
V
YYY
YYYY
YY
dx
dIdx
dIdx
dI
'3
'2
'2
'2
'2
'1
'1
'1
'1
0
0
Em que,
'''iii CjGY com 3,2,1i
2.3 Generalização para um Sistema de três
Cabos Subterrâneos
Uma grande parte das aplicações relacionadas com cabos subterrâneos faz uso
de sistemas com mais do que um cabo. Tanto em sistemas onde intervêm (1)
cabos tripolares ou como no estudo aqui efectuado, (2) cabos unipolares, é usual
a utilização de mais que um cabo subterrâneo. Tipicamente, usam-se sistemas de
três cabos subterrâneos unipolares. No caso de a cada um dos cabos
corresponder uma fase distinta, o referido sistema pode ser descrito como um
sistema trifásico de correntes. A análise desde tipo de aplicações, para além de
envolver toda a metodologia descrita na secção anterior, tem também em
consideração o acoplamento entre cada uma das fases do sistema. O
acoplamento entre fases tem influência significativa nos parâmetros dos cabos
(2.25)
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 21 -
que compõem o referido sistema [2]. Deste modo, é necessário tomar em
consideração o chamado Efeito de Proximidade. O acoplamento entre fases varia
em conformidade com diversos factores tais como (1) distância entre cabos, (2)
forma e constituição dos cabos, (3) materiais que constituem os vários elementos
de cada cabo, (4) resistividade do solo, (5) disposição geométrica dos cabos e (6)
tipo de ligação à terra de cada um dos cabos que constituem o sistema.
Relativamente à disposição geométrica, considera-se que os cabos podem ser
enterrados em esteira ou em triângulo [7]. É expectável que existam diferenças
nos parâmetros para cada uma das referidas disposições de enterramento.
Quanto ao procedimento de realização da ligação à terra, existem múltiplas
formas de se efectuar. Sendo o cabo constituído por vários elementos condutores,
é possível que cada um deles seja indiscriminadamente ligado ou não à terra.
Perfilando-se as bainhas e as armaduras como os elementos que têm a função de
proteger o cabo contra esforços electromagnéticos e mecânicos, podem então
estar ligadas à terra (1) simultaneamente, (2) apenas uma delas ou (3) nenhuma.
Deste modo, tendo em conta as aplicações existentes em engenharia são
tomadas algumas simplificações que visam uma abordagem mais prática e
objectiva dos sistemas trifásicos de cabos subterrâneos. Neste contexto,
considera-se para um sistema de três cabos subterrâneos, que os cabos são
idênticos em termos de (1) constituição, (2) forma e (3) componentes
constituintes. Outras considerações efectuadas são que (1) as distâncias de
separação dos cabos são idênticas e que (2) nas ligações à terra dos elementos
dos cabos apenas existem quatro hipóteses de ligação: (1) bainhas e armaduras
dos três cabos ligadas simultaneamente, (2) bainhas dos três cabos ligadas à
terra, (3) armaduras dos três cabos ligadas à terra e (4) bainhas e armaduras dos
três cabos simultaneamente não ligadas à terra.
Tendo em conta o método descrito na secção anterior para um cabo subterrâneo
(Fig. 1), procura-se generalizar essa mesma formulação para um sistema de três
cabos subterrâneos unipolares semelhantes, usando a abordagem efectuada na
matriz expressa por (2.3). A análise do sistema em função dos loops de corrente
será particularizada para os loops de correntes externos de cada cabo. Este tipo
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 22 -
de análise, procura salientar o efeito de proximidade pois, é precisamente neste
aspecto que residem as maiores diferenças em relação ao caso referenciado
anteriormente.
Um sistema de três cabos semelhantes é apresentado na figura seguinte:
Fig. 3: Sistema de três cabos subterrâneos unipolares semelhantes, dispostos em esteira e espaçados de igual distância, com representação dos loops de corrente que se fecham pela terra. Retirado de [1].
Os loops externos dos cabos que são descritos na Fig. 3, correspondem ao
acoplamento entre as fases residentes. O campo eléctrico no exterior do cabo
produzido pelos loop 1 e loop 2 é nulo pois, a corrente originada no núcleo é
exactamente cancelada pelo seu retorno na bainha, tal como acontece na
corrente originada na bainha, cujo efeito é anulado pelo retorno da mesma na
armadura.
Desta forma, as equações designadas em (2.3) continuam válidas e concordantes
com os pressupostos assumidos anteriormente, havendo agora uma terceira
equação que designa o acoplamento existente para cada uma das três fases.
O sistema matricial que descreve a situação apresentada na Fig. 3 é dado por:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 23 -
'33
'23
'23
'22
'21
'12
'11
''33
'23
'23
'22
'21
'12
'11
'''33
'32
'23
'22
'21
'12
'11
'
0
0
00
000
000
0
0
00
000
000
00
000
000
0
0
cc
ccc
cc
bcbb
bbb
bb
acabaa
aaa
aa
loop
ZZ
ZZZ
ZZ
Simétrica
ZZZ
ZZZ
ZZ
ZZZZ
ZZZ
ZZ
Z (2.26)
Em que,
Z’ab, Z’
ac e Z’bc: são as impedâncias mútuas existentes entre os três loops de
corrente exteriores descritos na Fig. 3.
Os elementos da diagonal principal correspondem aos loops internos de cada
cabo (Fig. 1) descritos pela equação (2.3). A matriz do sistema dado por (2.26) é
simétrica.
À imagem do que foi efectuado para o caso de um cabo, o sistema (2.26) irá ser
transformado numa outra representação mais prática, ou seja, o sistema passa a
ser descrito numa notação baseada nas respectivas fases.
Fazendo uso novamente das equações dadas por (2.12), o sistema é agora
descrito por:
'_
'_
'_
'_
'_
'_
'
cprópria
cmútuabprópria
cmútuabmútuaaprópria
fase
ZSimétrica
ZZ
ZZZ
Z (2.27)
As sub-matrizes da diagonal principal com dimensão 33 são idênticas, para cada
cabo, ao sistema matricial descrito por (2.20), As matrizes correspondentes aos
elementos não diagonais de (2.27), são dadas por:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 24 -
'''
'''
'''
'_
ababab
ababab
ababab
bamútua
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z (2.28)
Os elementos correspondentes às impedâncias mútuas e aos loops exteriores de
corrente, designados por Z’ab, Z’
ac e Z’bc, são alvo de uma discussão mais
aprofundada na secção 2.4.
Relativamente às admitâncias do sistema ilustrado na Fig. 3, a representação é
simplificada de sobremaneira, devido ao facto de não haver acoplamento entre as
três fases do sistema.
Assim, a representação matricial das admitâncias, no sistema de três fases, é
simplesmente:
'
'
'
'
00
00
00
c
b
a
fase
Y
Y
Y
Y (2.29)
2.4 Efeito de Proximidade
Na equação (2.4.3), a parcela da impedância correspondente à superfície da
terra, não foi concretamente explicitada. A referida impedância, tem origem no
loop que se estabelece entre o condutor tubular exterior do cabo e a terra. Deve
ser designada por impedância própria de retorno pela terra. Na matriz descrita por
(2.26), estão também presentes os elementos Z’ik, denominados por impedâncias
mútuas de retorno pela terra. Os elementos descritos correspondem às
impedâncias que relacionam os vários loops de corrente formados em cada um
dos cabos do sistema, entre o condutor tubular exterior e o retorno pela terra.
Existem aplicações em que o retorno das correntes pela terra assume especial
importância devido ao efeito pelicular existente na terra. O referido efeito deve-se
ao facto da terra ter uma condutividade finita, permitindo a penetração do campo
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 25 -
eléctrico na mesma. No contexto dos cabos subterrâneos este problema não
assume grande relevância. O estudo do fenómeno em questão serve sobretudo
para descrever o denominado efeito de proximidade, originado pelas curtas
distâncias de separação entre cada um dos cabos.
Existem duas possíveis abordagens para efectuar o cálculo das impedâncias
próprias e mútuas de retorno pela terra, (1) considerando a terra como semi-
infinita ou (2) considerando a terra como um plano infinito.
A figura seguinte ilustra a configuração geométrica de dois cabos subterrâneos:
Fig. 4: Ilustração de dois cabos subterrâneos denominados por cabos i e k, enterrados a uma
profundidade h e y, respectivamente, e separados por uma distância x. Retirado de [1].
Na hipótese de a terra ser considerada um plano infinito em todas as direcções à
volta de um cabo subterrâneo descrito na Fig. 4, considera-se que a profundidade
de penetração do campo eléctrico na terra é muito inferior, quando comparada
com a profundidade de enterramento.
A referida hipótese não é tida como razoável no contexto do presente estudo.
Deste modo, para efeitos de cálculo de (2.21.5) e (2.28), a terra é tratada como
um plano semi-infinito que se estende desde o plano da terra, segundo as
direcções descendente e lateral ao mesmo. De acordo com [10], as impedâncias
próprias e mútuas de cabos subterrâneos são descritas por:
Metodologia de Cálculo de Parâmetros
- 26 -
dxj
m
myhDmKdmK
mZ )exp(
))(exp()()(
2 22
22
00
2' (2.30)
Com,
x: distância horizontal entre o cabo i e o cabo k.
h e y: profundidade de enterramento dos cabos i e k, respectivamente.
d: distância directa entre o cabo i e o cabo k.
D: distância entre o cabo i e a imagem do cabo k no ar.
m: profundidade de penetração do campo eléctrico na terra.
α : constante de integração.
Devido à complexidade da descrição anterior, de acordo com [10], pode-se usar
uma simplificação da expressão (2.30), cometendo-se um erro tolerável até
frequências na ordem de 100 KHz.
A expressão aproximada para a impedância própria de retorno pela terra,
apresentada na equação (2.21.5), é dada por:
hm
RmmZterra 3
4
2
1
2ln
2
2'
(2.31)
A expressão aproximada que designa a impedância mútua de retorno pela terra,
descrita pela equação (2.28) é:
m
dmmZterra 3
2
2
1
2ln
2
2'
(2.32)
Com,
: constante de Euler.
: soma das profundidades de enterramento dos dois cabos.
- 27 -
____________________________
Capítulo 3 ____________________________
Redução e Descrição do Sistema em
Componentes Simétricas
No presente capítulo é abordada a descrição do sistema em coordenadas
simétricas pois, no caso concreto de um sistema trifásico, ao conseguir-se
calcular os parâmetros e descrevê-los separadamente em relação às fases do
referido sistema, não se obtém informação de grande relevância. Transforma-se
então o sistema em cada uma das suas fases, numa notação relativa às suas
componentes directa, inversa e homopolar. Para realizar a transformação,
efectua-se a redução do sistema inicial, mediante as condições de ligação à terra
do mesmo. A redução do sistema nas referidas componentes obedece a
determinados algoritmos que são explicitados detalhadamente. Outro aspecto que
assume especial relevância é a forma de ligação entre as bainhas, que pode
trazer vantagens sobretudo ao nível do equilíbrio do sistema trifásico de
correntes. A forma de ligação usada é designada por cross bonding e é também
alvo de uma análise detalhada.
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 28 -
3.1 Introdução
Para calcular os parâmetros característicos de um cabo subterrâneo em
coordenadas simétricas é necessário um conjunto de procedimentos, por forma a
reduzir o sistema total a um conjunto de equações em coordenadas abc.
Posteriormente, efectuar-se-á a transformação para coordenadas simétricas.
Um dos procedimentos referidos caracteriza-se pela redução do sistema matricial
inicial dado por (2.27), por intermédio da eliminação dos condutores ligados à
terra, obtendo-se um sistema descrito em função das fases, com a influência dos
condutores ligados à terra já devidamente contabilizada.
Outra possível redução a efectuar ao sistema é a eliminação de possíveis
condutores agrupados por fase, ou seja, que mediante certas condições de
ligação à terra a corrente que circula por um determinada fase se distribua por
mais do que um condutor. A redução do sistema é realizada, considerando que se
podem agrupar os condutores comuns a uma dada fase, transformando-os num
só condutor equivalente, onde está contemplada a influência de cada condutor
inicial da referida fase.
Um aspecto que será abordado, no caso dos sistemas trifásicos, é a ligação entre
as bainhas dos vários cabos do sistema. Dos vários tipos de ligação de bainhas
existentes, aquele que é mais usado, é a ligação em cross bonding [5]. Este tipo
de ligação permite a transposição de correntes entre bainhas, em determinados
pontos de ligação, permitindo um maior equilíbrio entre cada uma das fases. Este
aspecto tem especial relevo devido à diminuição das perdas num sistema de
transmissão de energia, como também uma menor sobrecarga em termos de
esforços termoeléctricos dos cabos que o compõem.
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 29 -
3.2 Redução do Sistema Matricial
3.2.1 Eliminação dos condutores ligados à terra
Um dos aspectos que assume grande relevância e influência na variação dos
parâmetros característicos de um cabo subterrâneo é a forma como os diversos
elementos condutores desse mesmo cabo estão ligados à terra. A referida ligação
implica que os terminais de um determinado elemento condutor sejam ligados à
terra, estabelecendo um percurso de muito baixa impedância, ou seja, impondo
uma diferença de potencial nula entre os terminais do condutor. É em relação a
este último conceito, que todo o procedimento de eliminação dos condutores de
terra se baseia.
Para aplicar o método de redução do sistema inicial dado por (2.27) é necessário
reorganizar esse mesmo sistema [4], segundo uma disposição em que (1) os
condutores de fase são colocados nas posições iniciais das linhas e colunas do
sistema matricial e (2) os condutores de terra nas posições finais do mesmo.
De acordo com [1], a representação matricial do sistema (2.1) já ordenado é
descrita por:
g
u
gggu
uguu
g
u
I
I
ZZ
ZZ
dx
dV
dx
dV
''
''
(3.1)
Onde,
u e g são, respectivamente, os condutores de fase e terra.
De acordo com [4], num sistema arbitrário de um cabo subterrâneo, antes de
proceder à redução do sistema por eliminação dos condutores ligados à terra, o
sistema tem de estar organizado da seguinte forma:
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 30 -
TT
abc
DC
BA
TT
abc
I
I
ZZ
ZZ
V
V (3.2)
Em que,
a, b e c: correspondem aos condutores de fase.
T: correspondem aos condutores ligados à terra.
De (3.2) têm-se as seguintes equações:
TTBabcAabc IZIZV (3.2.1)
TTDabcC IZIZ 0 (3.2.2)
Resolvendo a equação (3.2.2) em ordem a ITT, tem-se:
abcCDTT IZZI 1 (3.3)
Por substituição de (3.3) na equação (3.2.1) obtém-se:
abcCDBabcAabc IZZZIZV 1 (3.4)
Resolvendo a equação (3.4) em ordem a Iabc tem-se:
abcCDBAabc IZZZZV )( 1 (3.5)
Pode-se escrever de forma simplificada a equação (3.5):
abcabcabc IZV
Após a aplicação de todo o procedimento descrito, o sistema fica reduzido aos
condutores de fase, já com a devida contabilização do efeito dos condutores de
terra, tendo-se finalmente:
cccbca
bcbbba
acabaa
CDBAabc
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZZZ )( 1 (3.6)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 31 -
Transformação
3.2.2 Eliminação dos condutores agrupados por fase
Em linhas aéreas é muito usual a utilização de condutores múltiplos agrupados
por fase, sobretudo ao nível do transporte de energia a elevadas potências. O
facto de existir mais que um condutor por fase permite uma distribuição mais
uniformizada da corrente por cada condutor, como também uma redução das
perdas de transmissão de energia [4].
Nas aplicações que fazem uso de cabos subterrâneos não é frequente a
existência de vários condutores por cada fase. Também no contexto do presente
estudo essa questão não se coloca, visto que, o tipo de cabos analisados é
unipolar.
O interesse do conceito para o presente estudo, insere-se na problemática da
ligação à terra das bainhas e armaduras dos cabos subterrâneos. Caso ocorra
uma falha, por uma anomalia ou simplesmente por inexistência de ligação à terra
de um ou de ambos os elementos referidos, pode proporcionar-se a existência de
mais que um condutor por fase. É para resolver este problema, de forma a
possibilitar a redução do sistema e descrevê-lo em relação às suas componentes
simétricas, que será útil aplicar o método de eliminação dos condutores
agrupados por cada fase.
O procedimento de eliminação baseia-se na contabilização dos efeitos dos
condutores de uma determinada fase, criando um condutor equivalente para essa
mesma fase.
O procedimento descrito anteriormente é ilustrado na figura seguinte:
Fig. 5: Ilustração da transformação de um sistema inicial de dois condutores por cada uma das
fases a’, b’ e c’ do sistema, para um sistema de apenas um condutor (equivalente) por cada fase.
Adaptado de [4].
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 32 -
O procedimento de redução dos condutores agrupados por fase de um sistema
trifásico de cabos subterrâneos ilustrado pela Fig. 5, baseia-se na seguinte
representação matricial inicial:
t
s
r
c
b
a
tttstrtctbta
stsssrscsbsa
rtrsrrrcrbra
ctcscrcccbca
btbsbrbcbbba
atasaracabaa
t
s
r
c
b
a
I
I
I
I
I
I
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
V
V
V
V
V
V
1
1
1
''''''
''''''
''''''
(3.7)
No sistema ilustrado na Fig. 5, a corrente em cada fase é a soma das correntes
que percorrem os condutores que constituem essa mesma fase.
No sistema descrito em (3.7), as correntes são dadas pelas equações:
tcc
sbb
raa
III
III
III
1
1
1
(3.8)
As quedas de tensão que se estabelecem entre os condutores de cada fase são:
0
0
0
ct
bs
ar
VV
VV
VV
(3.9)
Efectuando as operações designadas em (3.8) e (3.9), o sistema matricial dado
por (3.7) transformar-se-á e será designado de forma compacta por:
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 33 -
rst
abc
DC
BAabc
I
I
ZZ
ZZV
0 (3.10)
Em que,
''''''
''''''
''''''
cccbca
bcbbba
acabaa
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z (3.11)
''''''
''''''
''''''
ccctcbcscacr
bcbtbbbsbabr
acatabbsaaar
B
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
Z (3.12)
''''''
''''''
''''''
cctccbtbcata
bcscbbsbbasa
acrcabrbaara
C
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
Z (3.13)
333231
232221
131211
DDD
DDD
DDD
ZD (3.14)
Com,
tsrpq
cbahi
ZZZZD ihphiqpqpq
,,
,,,
A redução efectiva do sistema dá-se por aplicação da equação (3.6), ficando o
sistema descrito por:
cccbca
bcbbba
acabaa
abc
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z (3.15)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 34 -
3.2.3 Transformação do sistema em componentes
simétricas
No presente texto, todas as grandezas calculadas anteriormente são expressas
em componentes relativas a um referencial de fases.
Como já foi citado, em termos práticos não se verifica grande interesse na
apresentação das referidas grandezas neste referencial. Deste modo, será mais
conveniente que estas grandezas venham expressas num referencial de
coordenadas simétricas. A transformação linear de componentes simétricas é do
ponto de vista prático, definida em termos de fasores e faz uso da matriz de
fortescue.
Uma transformação linear é uma operação que permite transferir um conjunto de
equações, definido em relação a um ponto de referência, para outro. A questão de
passar de um referencial para outro, consiste em encontrar uma matriz de
transformação de referencial. No contexto das redes eléctricas, para modelos
perfeitamente equilibrados, a matriz de transformação é a matriz de Fortescue.
Considerando um sistema trifásico equilibrado definido pela matriz de
impedâncias seguinte:
zzMM
MzzM
MMzz
Zabc (3.16)
Sendo a matriz de Fortescue dada por:
2
2
1
1
111
aa
aaTS (3.17)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 35 -
Com,
3
42
3
2
j
j
ea
ea
A matriz inversa de (3.17) é dada por:
aa
aaTS2
21
1
1
111
3
1 (3.18)
Tem-se em termos de circuitos trifásicos, um modelo matricial que relaciona
tensões e correntes que é definido por:
ababab IZV (3.19)
A tensão descrita pela equação (3.19), descrita em coordenadas de fase (abc),
pode transpor-se para um modelo em que poderá surgir em termos de
componentes simétricas (012), aplicando-se para isso a seguinte relação:
012012 ITZIZVTV sábcabcabcsabc
Usando a matriz de componentes simétricas (3.17) obtém-se:
012012 ITZVT sabcs
Multiplicando de ambos os lados por Ts-1 tem-se:
0121
012 ITZTV sabcs
Relativamente a um referencial de componentes simétricas tem-se:
012012012 IZV (3.20)
Finalmente a matriz de impedâncias do sistema é dada por:
sabcs TZTZ 1012 (3.21)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 36 -
Todo o procedimento efectuado nas secções 3.2.1 e 3.2.2, do qual resulta a
obtenção de um sistema trifásico descrito em coordenadas abc, a partir da
redução dos condutores ligados à terra e dos condutores agrupados por fase,
pode ser posteriormente descrito em coordenadas simétricas através da aplicação
da equação (3.21).
3.3 Ligações entre Bainhas: cross bonding
Para sistemas trifásicos onde sejam usados cabos subterrâneos e em que cada
um dos cabos contenha uma fase do sistema, é usual que as bainhas dos cabos
estejam interligadas em determinados pontos. O procedimento adoptado está
associado ao facto de as perdas energéticas existentes num cabo serem
fortemente dependentes das correntes que circulam nas bainhas dos cabos [5].
Para reduzir o efeito das correntes das bainhas, nas perdas de energia que
afectam os cabos subterrâneos, são aplicados alguns métodos de ligação entre
bainhas. É assim possível aumentar a corrente de carga do cabo, como também
tornar o sistema trifásico de tensões mais equilibrado.
São vários os métodos existentes de ligação entre bainhas, embora apenas três
métodos sejam frequentemente usados (A) ligação de ambos os lados da bainha,
(B) ligação de ambos os lados da bainha num único ponto e (C) ligação em cross
bonding.
A. Ligação de ambos os lados da bainha: método em que as bainhas fornecem,
em condições normais, um caminho de retorno para as correntes. Ocorrem
perdas nos ecrãs das bainhas, verificando-se uma redução da corrente de carga
do cabo. O método permite uma redução das perdas em cabos com formação em
triângulo, relativamente à configuração em esteira.
B. Ligação num único ponto das bainhas: método onde as bainhas fornecem um
caminho de retorno para as correntes de circulação. Estabelecem-se tensões
induzidas nas bainhas entre fases adjacentes do circuito de cabos e entre as
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 37 -
bainhas e a terra mas, não existem correntes a circular pelas bainhas. As tensões
induzidas são proporcionais ao comprimento dos cabos. Este tipo de ligação
apenas pode ser usado em determinadas aplicações, nomeadamente em
contextos com cabos de comprimento limitado.
C. Ligação em cross bonding: o circuito fornece um caminho contínuo, desde as
terminações das bainhas até à terminação da terra mas, com as bainhas
seccionadas e ligadas de forma cruzada, por forma a eliminar as correntes de
circulação das bainhas. Estabelecem-se tensões induzidas entre bainhas e a terra
mas, em contrapartida não existem correntes significativas a circular nas bainhas.
O comprimento dos cabos não obedece a qualquer tipo de limitação.
A figura que se segue ilustra a situação em que a ligação das bainhas é realizada
usando o método de cross bonding:
Fig. 6: Ilustração do método de cross bonding onde as bainhas estão ligadas à terra em ambos os
extremos. Verifica-se que a ligação entre bainhas é efectuada de forma cruzada, havendo troca
das fases nas bainhas. Retirado de [5].
No presente estudo, a ligação das bainhas considerada obedece ao método de
cross bonding (Fig. 6) pois, é o que apresenta maior aplicabilidade e também
maior eficiência no tipo de sistemas tratados.
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 38 -
Num sistema trifásico de cabos subterrâneos unipolares, como já foi referido
anteriormente, a ligação das bainhas de forma cruzada surge pela necessidade
de reduzir as perdas originadas pelas correntes nas bainhas. Segundo [3], os
pontos de cruzamento das bainhas são, do ponto de vista das ondas transmitidas,
pontos descontínuos. Desta forma, os cabos com as bainhas ligadas em cross
bonding podem ser descritos como uma linha não-homogénea, o que para análise
de efeitos transitórios torna a impedância dos cabos subterrâneos fortemente
dependente da frequência.
Em relação aos métodos de cálculo, duas abordagens podem ser tomadas: o uso
de métodos exactos ou a utilização de métodos aproximados. O método usado no
presente estudo é o método aproximado, que de acordo com [3] produz
resultados muito satisfatórios, além do que, o cálculo dos parâmetros de um cabo
com ligação em cross bonding não é um processo muito simples e que requer
elevado trabalho computacional.
Assume-se por uma questão de simplificação, que os cabos não têm armaduras,
sendo o procedimento perfeitamente análogo ao caso em que os cabos têm
armaduras.
O primeiro passo para efectuar o cálculo da impedância é a definição de uma
matriz de rotação do sistema, que será responsável pela troca de fases que
ocorre nas bainhas.
A matriz de rotação é apresentada seguidamente, onde as relações entre as
tensões k e k’ são dadas por:
3
2
1
2
2
1
'3
'2
'1
'2
'2
'1
'
010000
001000
100000
000100
000010
000001
Ks
Ks
Ks
Kc
Kc
Kc
Ks
Ks
Ks
Kc
Kc
Kc
K
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V (3.22)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 39 -
O sistema dado por (3.22) pode ser escrito de forma compacta por:
KK VRV ' (3.23)
e
KK IRI ' (3.24)
Onde,
k e k’: são os índices correspondentes aos nós k e k’, respectivamente.
c e s: expressam o núcleo e a bainha do cabo, respectivamente.
A matriz R é denominada de matriz de rotação. As características da mesma são
as seguintes:
1
12
3
RR
RR
UR
t
(3.25)
Em que,
U: é a matriz unitária
t: é um índice que designa a matriz transposta
Ilustração de um esquema de ligações usado no método de cross bonding:
Fig. 7: A ligação entre bainhas é neste caso efectuada em quatro pontos de cruzamento, situados
em cada subdivisão de secção. As bainhas estão ligadas conjuntamente entre si e à terra, de
ambos os lados da secção maior. Retirado de [3].
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 40 -
Cada uma das secções menores pode ser descrita em termos de parâmetros
concentrados. A figura seguinte mostra um esquema da secção maior,
subdividida em várias secções de tamanho menor, onde cada ponto de cross
bonding é representado por x:
Fig. 8: Circuito equivalente representado em termos de parâmetros concentrados. Retirado de [3].
Como está representado na Fig. 8, a tensão de desvio entre dois nós é dada da
seguinte forma:
ii
ii
VlYI
IlZV
(3.26)
Com,
Z: matriz de impedâncias dada por (3.26)
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
Z (3.27)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 41 -
Uma matriz de impedâncias equivalente é dada da seguinte forma:
deecba
edecba
eedcba
ccc
bbb
aaa
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
Z 332313
232212
131211
' (3.28)
Onde,
3
3
3
3
3
564645
665544
363534
262524
161514
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
e
d
c
b
a
De acordo com [3], a diferença de tensão entre os pontos de chegada e partida no
cruzamento das bainhas, por unidade de comprimento, é dada da seguinte forma:
lIZl
V
'
3 (3.29)
Onde,
)(3
1 11' RZRRZRZZ (3.30)
Da mesma maneira, de acordo com [3], tem-se:
lVYl
I
'
3 (3.31)
Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas
- 42 -
Onde,
)(3
1 11' RYRRYRYY (3.32)
As equações (3.28) e (3.30) são semelhantes às da linha homogénea. Desta
forma, uma secção de maior comprimento pode ser representada por uma linha
homogénea equivalente de impedância [Z’] e de admitância designada por [Y’].
Sendo a matriz de impedâncias simétrica e a matriz de impedâncias equivalente
expressas pelos elementos da matriz dada por (3.26), verifica-se por comparação
das matrizes representadas por (3.26) e (3.27), que as impedâncias próprias e
mútuas relativas aos núcleos não se alteram. As impedâncias mútuas das
bainhas são dadas pelos valores médios. De referir, que o fenómeno descrito é
similar à transposição de fases que ocorre nas linhas aéreas.
- 43 -
____________________________
Capítulo 4 ____________________________
Análise e Comparação dos Resultados
Obtidos
Neste capítulo descreve-se o cálculo de parâmetros de um sistema de cabos
subterrâneos, como um processo onde intervêm diversos factores que influenciam
significativamente o resultado do mesmo. Neste contexto, é extremamente
importante que se adquira uma certa sensibilidade na análise dos resultados em
si, como também da variabilidade dos mesmos em função da alteração de certos
aspectos que envolvem o referido cálculo. Desta forma, procura-se perceber qual
a variação dos parâmetros consoante o tipo de condições que rodeiam todo o
procedimento. Outro aspecto importante é o teste e comparação dos resultados
obtidos. A comparação é, em primeira instância, efectuada em relação a
programas de elevado reconhecimento e fiabilidade. Posteriormente, é também
realizada a comparação com dados reais, recorrendo a catálogos fornecidos por
fabricantes.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 44 -
4.1 Estrutura Abreviada do Programa de
Cálculo
Para se conseguir obter os parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos,
torna-se necessário desenvolver uma ferramenta informática que sirva de base a
todo o procedimento e metodologia adoptados. Desta forma, desenvolveu-se uma
ferramenta de cálculo bastante simplificada, clara e explícita. Facilmente se
consegue obter e comparar os resultados com outros valores, obtidos a partir de
ferramentas informáticas existentes ou através de catálogos disponibilizados por
fabricantes.
Pretende-se que o programa desenvolvido seja bastante detalhado, embora não
exista uma grande preocupação com aspectos de validação e tratamento de
dados de entrada e saída pois, não se procura construir uma aplicação
informática que possa ser usada por qualquer utilizador.
A estrutura do referido programa é apresentada seguidamente de forma sucinta,
sendo descriminados todos os passos importantes.
INÍCIO
Passo 1: Definição das constantes que são usadas no programa.
Passo 2: Leitura das variáveis de entrada.
- Frequência
- Características dos materiais: permitividade eléctrica dos isoladores,
permeabilidades magnéticas dos condutores e resistividade dos condutores
- Especificação dos elementos tubulares que constituem os cabos
- Raios dos elementos tubulares
- Número de cabos do sistema
- Especificação da geometria do sistema
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 45 -
- Especificação dos condutores que estão ligados à terra
- Indicação da distância entre os cabos
Passo 3: Especificação do tipo de aplicação do sistema.
- Distribuição
- Transporte
Passo 4: Cálculo das coordenadas horizontal e vertical em relação ao centro
de cada cabo, mediante o uso de funções trigonométricas, a partir da
distância entre cabos.
Passo 5: Cálculo de variáveis que são necessárias para a realização de
cálculos posteriores, recorrendo a funções de Bessel.
Passo 6: Cálculo das impedâncias intermédias que intervêm posteriormente,
no cálculo da matriz de impedâncias em coordenadas abc.
- Impedâncias originadas em cada malha de corrente para o exterior
do condutor
- Impedâncias originadas em cada malha de corrente para o interior
do condutor
- Impedância mútua entre cada malha de corrente
- Impedâncias dos isolamentos
- Impedância originada pela parcela de corrente que retorna pela terra
Passo 7: Cálculo das matrizes de impedâncias e de capacidades, descritas
em relação às malhas de corrente no interior de um cabo subterrâneo.
Passo 8: Obtenção das matrizes de impedâncias e capacidades de um cabo
em coordenadas abc.
Passo 9: Escolha do cálculo a efectuar em função do tipo de sistema de
cabos, ou seja, consoante seja monofásico ou trifásico.
- Faz-se uso de um ciclo if / else
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 46 -
Passo 10: Construção das matrizes de impedâncias mútuas entre cabos no
caso de um sistema constituído por três fases.
- Usa-se um ciclo for para construir as matrizes
Passo 11: Construção das matrizes de impedâncias para um sistema de três
cabos subterrâneos.
- Criação de uma matriz genérica através do encadeamento de dois
Ciclos for
- Preenchimento da matriz recorrendo a ciclos for e ciclos while,
colocando as sub-matrizes de impedâncias próprias dos cabos nas
posições diagonais e as sub-matrizes de impedâncias mútuas nas posições
não diagonais
- Ordenamento da matriz obtida, através de um algoritmo de trocas de
linhas e colunas
Passo 12: Definição da matriz de capacidades para um sistema com três
fases.
- Criação de uma matriz genérica através do encadeamento de dois
Ciclos for
- Preenchimento da matriz recorrendo a ciclos for e ciclos while,
colocando as sub-matrizes de impedâncias próprias dos cabos nas
posições diagonais, ficando as restantes posições a zeros
Passo 13: Aplicação do algoritmo relativo às ligações entre bainhas, em
sistemas de três fases, usando o método de ligação denominado por cross
bonding.
- Construção da matriz de transformação do sistema e das matrizes
auxiliares
- Aplicação do algoritmo através de operações matriciais
Passo 14: Escolha do tipo de ligação à terra, consoante os elementos
condutores que estão ligados à terra.
- Faz-se uso de um ciclo switch com um case para cada tipo de
ligação
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 47 -
Passo 15: Eliminação dos condutores ligados à terra.
- Ordenamento das matrizes de impedâncias e de capacidades,
colocando-se os elementos de terra nas posições finais das mesmas
- Definição das sub-matrizes auxiliares
- Aplicação do algoritmo às matrizes de impedâncias e capacidades
iniciais recorrendo ao cálculo matricial
Passo 16: Eliminação dos condutores agrupados por fase.
- Definição das sub-matrizes auxiliares usando ciclos for
- Aplicação do algoritmo usando cálculo matricial
Passo 17: Transformação da matriz de impedâncias do sistema trifásico,
descrita em coordenadas abc, para coordenadas simétricas.
- Definição das matrizes de Fortescue e de Fortescue inversa
- Aplicação do procedimento através de uma simples operação
matricial
FIM
4.2 Análise dos Resultados Obtidos
Como já foi referenciado no presente estudo, os parâmetros de um cabo
subterrâneo variam consoante alguns aspectos, tais como (1) forma, (2)
constituição, (3) materiais usados e (4) disposição geométrica do sistema de
cabos. O impacto que os referidos aspectos têm na variação dos parâmetros dos
cabos subterrâneos é alvo de uma análise mais aprofundada pois, é tido como um
aspecto de especial relevância no contexto designado.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 48 -
4.2.1 Exemplo de cálculo dos parâmetros aplicado a um
caso particular
Considerando um sistema formado por três cabos subterrâneos unipolares,
semelhantes entre si, constituído cada um deles por (1) núcleo, (2) bainha e (3)
armadura. Para a disposição geométrica do sistema, considera-se que os cabos
estão enterrados em esteira, ou seja, dispostos lado a lado à mesma
profundidade e separados entre si por uma determinada distância horizontal.
Relativamente aos materiais dos elementos condutores de cada cabo, considera-
se que o núcleo é de alumínio sendo a bainha e armadura constituídas à base de
aço. Em relação aos isolamentos, o que protege o núcleo é constituído por
polietileno, enquanto que os que envolvem a bainha e a armadura são
constituídos por PVC.
Em relação à ligação à terra dos elementos que protegem electricamente os
cabos, considera-se o caso típico e desejável, ou seja, tanto as bainhas como as
armaduras estão ligadas à terra. Quanto ao tipo de solo e à profundidade de
enterramento consideram-se também as situações típicas. A frequência de
operação usada é de 50 Hz.
Os dados relativos aos factores que intervêm no cálculo são apresentados nas
seguintes tabelas:
Tabela 4.1.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema
Núcleo Bainha ArmaduraIsolador 1
(polietileno)Isolador 2
(PVC)Isolador 3
(PVC)
Secção (mm2) 254,34 1704,67 2122,64 1326,03 2041,79 2289,06
Resistividade (Ω.km/mm2)
28,4 214 214 ___ ___ ___
Constante dieléctrica relativa
___ ___ ___ 2,30 8,00 8,00
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 49 -
Tabela 4.1.2 Dados relativos à disposição geométrica do sistema de cabos,
considerando um referencial fixado no cabo 1
A partir dos dados presentes nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2, podem-se obter os
parâmetros do sistema trifásico referido anteriormente, caracterizados pela sua
(1) resistência eléctrica, (2) indutância magnética e (3) capacidade eléctrica. As
grandezas referidas são apresentadas em termos de componentes simétricas.
Na seguinte tabela são apresentados os resultados obtidos das grandezas em
questão:
Tabela 4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos em
componentes simétricas
Directa Inversa Homopolar
Resistência (Ω/km)
0,2037 0,2037 0,4665
Indutância (mH/km)
0,8956 0,8956 0,4455
Capacidade (μF/km)
0,1523 0,1523 0,1523
4.2.2 Influência dos materiais
Um dos factores com maior impacto na variação dos parâmetros de um sistema
de cabos subterrâneos é o tipo de condutores e isoladores usados, pois as suas
características físico-químicas diferem bastante consoante o tipo de materiais que
os constituem. Assim, considera-se interessante verificar as diferenças entre
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
Distância de separação (m) 0 1 1,5
Profundidade de enterramento (m)
1,198 1,198 1,198
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 50 -
parâmetros, para os diversos tipos de materiais que podem constituir as
superfícies condutoras e isolantes de um cabo subterrâneo. De referir, que no
caso descrito na secção anterior, em que a ligação à terra corresponde á situação
típica, apenas tem interesse variar os valores da resistividade do núcleo e a
permitividade do isolamento do núcleo, pois é precisamente no núcleo que circula
a maior parcela da corrente do cabo. Um aspecto a ter em especial atenção é o
facto de os parâmetros, sobretudo a resistência eléctrica, variarem fortemente
com a temperatura. No caso avaliado na secção anterior, tem-se em
consideração que os valores dos parâmetros são obtidos para uma temperatura
de aproximadamente 40°C.
Seguidamente é apresentada uma tabela com as propriedades físico-químicas de
vários géneros de materiais:
Tabela 4.3 Características de vários tipos de materiais
Condutores Dieléctricos
MateriaisResistividade(Ω.km/mm2)
MateriaisConstante dieléctrica
relativa
Cobre 17,24 Quartzo 4,3
Alumínio 28,4 Neopreno 4,1
Almelec 32,5 Polietileno 2,3
Chumbo 190 PVC 8
Aço 206Polietileno reticulado
3
Para cada tipo de material e mantendo-se inalterados todos os restantes factores
que rodeiam o sistema trifásico, apresenta-se na seguinte tabela os valores dos
parâmetros em componentes simétricas.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 51 -
Tabela 4.4.1 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos relativos a
vários condutores metálicos
Condutores
ComponenteDirecta
ComponenteInversa
ComponenteHomopolar
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Cobre 0,1469 0,8959 0,1469 0,8959 0,4096 0,4455
Alumínio 0,2037 0,8956 0,2037 0,8956 0,4665 0,4455
Almelec 0,2242 0,8954 0,2242 0,8954 0,4869 0,4455
Chumbo 1,01 0,8901 1,01 0,8901 1,27 0,4455
Aço 1,11 0,8894 1,11 0,8894 1,37 0,4455
Tabela 4.4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos relativos a
vários isolamentos
Dieléctricos
Componente Directa
Componente Inversa
ComponenteHomopolar
Capacidade (μF/km)
Quartzo 0,2847 0,2847 0,2847
Neopreno 0,2715 0,2715 0,2715
Polietileno 0,1523 0,1523 0,1523
PVC 0,5298 0,5298 0,5298
Polietileno reticulado
0,1987 0,1987 0,1987
Analisando os valores apresentados nas tabelas 4.4.1 e 4.4.2, verifica-se que o
tipo de material constituinte do condutor tem grande influência no valor da
resistência. A resistência é mais elevada para condutores que apresentam
maiores resistividades. Uma observação interessante é que o valor da indutância
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 52 -
dos cabos se mantém praticamente inalterado para os diferentes tipos de
condutores metálicos usados. Quanto à capacidade do sistema, verificam-se duas
situações (1) o tipo de condutor usado não influi no valor da mesma e (2) regista-
se uma acentuada variação consoante o tipo de dieléctrico usado. A capacidade
aumenta significativamente para dieléctricos com maior constante de
permitividade relativa.
4.2.3 Influência da temperatura
A temperatura é um factor que influencia indirectamente o valor dos parâmetros
característicos de cabos subterrâneos. A variação da temperatura introduz
alterações a nível microscópico na estrutura dos materiais que constituem os
condutores metálicos.
A condutividade dos condutores é uma característica que influencia fortemente o
cálculo dos parâmetros, sendo amplamente distinta consoante o material em
questão.
O valor da condutividade dos condutores depende da temperatura a que estes
estão sujeitos e é dada pelo inverso da resistividade. A resistividade é dada pela
seguinte expressão:
10
T
(4.1)
em que é o coeficiente de temperatura, sendo a condutividade dada por:
1 (4.2)
Para condutores de alumínio em que 10 .00429ºC , tem-se que
13 .22*1 7[ ]E Sm .
Num cabo subterrâneo existem vários elementos com características condutoras,
embora apenas o núcleo do cabo seja um condutor por excelência. Desta forma,
a variação da temperatura tem implicações, sobretudo na condutividade do
material que constitui o núcleo. Tipicamente, o núcleo é constituído por cobre ou
alumínio.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 53 -
).(777.3 1 mSE
0,19
0,195
0,2
0,205
0,21
0,215
0,22
0,225
0,23
0,235
0 20 40 60 80 100
Temperatura (ºC)
Res
istê
nci
a (o
hm
/km
)
À temperatura standard de 40ºC, a condutividade do alumínio tem como valor
.
Através das expressões 4.1 e 4.2 pode-se calcular a condutividade dos
condutores para qualquer outra temperatura.
No exemplo descrito na secção 4.2, escolheu-se um cabo constituído por um
núcleo de alumínio. De seguida, efectua-se o cálculo da resistência para um
sistema de cabos subterrâneos semelhante ao da secção 4.2.1, em função da
temperatura, cujos resultados são apresentados na tabela seguinte:
Tabela 4.5 Valores de condutividade e resistência para várias temperaturas de
operação
De seguida é ilustrada a representação gráfica da tabela anterior:
Fig.9: Variação da resistência com a temperatura.
Temperatura (ºC)
Condutividade (S.m-1)
Resistência (Ω/km)
20 3,77*10 7 0,1951
30 3,62*10 7 0,2005
40 3,48*10 7 0,2037
50 3,34*10 7 0,2119
60 3,22*10 7 0,2177
70 3,11*10 7 0,2231
80 3,00*10 7 0,2290
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 54 -
Como se pode constatar através da análise do gráfico da Fig.9, a temperatura de
operação dos cabos subterrâneos é um factor que influencia de sobremaneira a
resistência dos cabos subterrâneos. A variação da resistência é aproximadamente
linear, aumentando gradualmente com o aumento da temperatura. A indutância e
a capacidade dos cabos subterrâneos não foram referidas, pois os seus valores
praticamente não variam mediante alterações da temperatura de operação dos
cabos.
4.2.4 Influência do tipo de solo e da profundidade de
enterramento dos cabos
Considerando o sistema de cabos, cujas características estão descritas nas
tabelas 4.1.1 e 4.1.2, pretende-se avaliar qual a influência da resistividade do solo
e da distância vertical de colocação dos cabos abaixo do plano da terra nos
parâmetros do sistema.
Tabela 4.6 Parâmetros do sistema para vários valores de resistividade do solo
Componente Directa
Resistividade do solo
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Capacidade (μF/km)
100 0,2037 0,8956 0,1523
200 0,2037 0,8956 0,1523
300 0,2037 0,8956 0,1523
400 0,2037 0,8956 0,1523
500 0,2037 0,8956 0,1523
600 0,2037 0,8956 0,1523
700 0,2037 0,8956 0,1523
800 0,2037 0,8956 0,1523
900 0,2037 0,8956 0,1523
1000 0,2037 0,8956 0,1523
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 55 -
Tabela 4.7 Parâmetros do sistema para diversos valores de profundidade de
enterramento
Componente Directa
Profundidade de enterramento (m)
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Capacidade (μF/km)
0,5 0,2037 0,8956 0,1523
1 0,2037 0,8956 0,1523
1,5 0,2037 0,8956 0,1523
2 0,2037 0,8956 0,1523
2,5 0,2037 0,8956 0,1523
3 0,2037 0,8956 0,1523
3,5 0,2037 0,8956 0,1523
4 0,2037 0,8956 0,1523
4,5 0,2037 0,8956 0,1523
5 0,2037 0,8956 0,1523
Através da análise das tabelas 4.6 e 4.7, verifica-se que os parâmetros do
sistema trifásico descrito na secção 4.2.1, não sofreram qualquer alteração do seu
valor. Desta forma, pode-se admitir que em condições normais de instalação é
perfeitamente possível desprezar estes dois factores, ou seja, a resistividade do
solo e a profundidade de enterramento. Estes factores não causam praticamente
impacto nos parâmetros do sistema de cabos.
4.2.5 Influência da distância de separação
O efeito derivado da existência de cabos subterrâneos próximos entre si, assume
uma importância acentuada em sistemas com mais que um cabo subterrâneo, e é
tanto maior quanto menor a distância de separação entre os cabos. Este
fenómeno caracteriza o efeito que o campo eléctrico, originado num determinado
condutor, produz nos condutores da sua vizinhança. Deste modo, pretende-se
avaliar o impacto que a variação da distância horizontal entre condutores tem nos
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 56 -
parâmetros do sistema de cabos. Realiza-se também a diferenciação deste efeito
consoante o tipo de disposição geométrica do sistema de cabos, ou seja, nas
situações de enterramento em esteira ou triângulo.
A figura seguinte ilustra duas formas de disposição geométrica do sistema:
(a) (b)
Fig. 10: Tipos de geometria do sistema de cabo, em que (a) é um sistema de três cabos,
separados por uma distância S, dispostos em esteira e (b) é um sistema de cabos dispostos em
triângulo com uma distância de separação dada por S. Retirado de [5].
Tabela 4.8.1 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em esteira
Componente Directa e Inversa Componente Homopolar
Distânciaentre
cabos (m)
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Capacidade (μF/km)
Resistência (Ω/km)
Indutância (mH/km)
Capacidade(μF/km)
0,1 0,16 0,55 0,15 0,47 0,42 0,15
0,3 0,18 0,75 0,15 0,47 0,43 0,15
0,5 0,19 0,84 0,15 0,47 0,44 0,15
0,7 0,20 0,89 0,15 0,47 0,45 0,15
0,9 0,21 0,93 0,15 0,47 0,45 0,15
1,1 0,22 0,96 0,15 0,46 0,45 0,15
1,3 0,22 0,99 0,15 0,46 0,45 0,15
1,5 0,23 1,01 0,15 0,46 0,46 0,15
1,7 0,23 1,02 0,15 0,46 0,46 0,15
2 0,24 1,04 0,15 0,46 0,46 0,15
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 57 -
Tabela 4.8.2 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em triângulo
Componente Directa e Inversa Componente Homopolar
Distância entre
cabos (m)
Resistência(Ω/km)
Indutância(mH/km)
Capacidade(μF/km)
Resistência(Ω/km)
Indutância(mH/km)
Capacidade(μF/km)
0,1 0,23 0,87 0,15 0,46 0,45 0,15
0,3 0,23 0,96 0,15 0,46 0,46 0,15
0,5 0,24 1,00 0,15 0,46 0,46 0,15
0,7 0,24 1,02 0,15 0,46 0,05 0,15
0,9 0,24 1,04 0,15 0,46 0,05 0,15
1,1 0,24 1,05 0,15 0,46 0,05 0,15
1,3 0,24 1,06 0,15 0,46 0,05 0,15
1,5 0,25 1,07 0,15 0,46 0,05 0,15
1,7 0,25 1,08 0,15 0,46 0,05 0,15
2 0,25 1,08 0,15 0,46 0,05 0,15
As figuras seguintes ilustram a variação dos parâmetros em função da distância
de separação dos cabos:
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Distância entre cabos (m)
Res
istê
nci
a (o
hm
/km
)
Resistência em Esteira Resistência em Triângulo
Fig. 11: Comparação das componentes directa e inversa da resistência de um sistema de cabos
disposto em Esteira e em Triângulo.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 58 -
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Distância entre cabos (m)
Ind
utâ
nci
a (m
H/k
m)
Indutância em Esteira Indutância em Triângulo
Fig. 12: Comparação das componentes directa e inversa da indutância de um sistema de cabos
dispostos em Esteira e em Triângulo.
Visualizando as figuras Fig.11 e Fig.12 é possível verificar que a resistência e a
indutância sofrem um incremento no seu valor quando os cabos estão mais
distanciados entre si.
Verifica-se também, que a indutância é mais influenciada pela variação da
distância entre os cabos que a resistência.
Relativamente ao tipo de disposição geométrica, observa-se que os valores da
resistência e indutância são superiores quando os cabos então dispostos em
esteira, comparativamente ao caso em que os cabos então dispostos em
triangulo.
4.3 Comparação de Resultados com
Programas Reconhecidos
Depois de realizada a análise dos resultados obtidos torna-se importante, numa
primeira abordagem, efectuar a comparação desses mesmos resultados com os
valores calculados a partir de programas fiáveis e de elevado reconhecimento.
Foram encontradas algumas aplicações que permitem a realização do cálculo dos
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 59 -
parâmetros de cabos subterrâneos mas, na maior parte das vezes esse mesmo
cálculo é efectuado com pouco detalhe. De entre as escassas aplicações
disponíveis gratuitamente e que apresentam um grau de fiabilidade satisfatório,
escolheu-se o programa EMTP para servir de base de comparação com os
resultados obtidos para o cálculo dos parâmetros. Desta forma, desenvolveu-se
um programa de cálculo em Matlab bastante claro e explícito, que permite com
grande simplicidade a comparação dos valores dos parâmetros com os resultados
processados pela rotina Cable Constants do programa EMTP [7].
Nesta secção são descritos exemplos de cálculo de parâmetros, sendo
posteriormente realizada a comparação dos resultados obtidos com os valores
decorrentes do cálculo efectuado através da referida rotina do EMTP. Nos
ensaios efectuados a frequência considerada é de 50 Hz. Outro aspecto a ter em
conta é o facto de não se considerar a situação da ligação das bainhas através do
método denominado de cross bonding pois, no EMTP esta situação não é
considerada.
Devido ao facto de no EMTP, os valores dos parâmetros serem apresentados em
coordenadas abc, e na aplicação desenvolvida os resultados serem expressos em
coordenadas de fase, efectua-se a comparação usando valores em coordenada
abc.
Resultados obtidos para o sistema semelhante ao da secção 4.2.1, em
coordenadas abc:
A matriz de impedâncias é dada por:
66289,033178,060745,030909,061111,030576,0
60745,030909,066121,033101,060966,030702,0
61111,030576,060966,030702,066602,033319,0
EiEEiEEiE
EiEEiEEiE
EiEEiEEiE
Z (4.3.1)
Em que,
Z representa a matriz de impedâncias em (Ω/m).
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 60 -
A matriz de capacidades é dada por:
71764,070540,00
70540,070556,070015,0
070015,070015,0
EE
EEE
EE
C (4.3.2)
Em que,
C representa a matriz de capacidades em (F/m).
Exemplo 1
Tomando como ponto de partida o sistema de três cabos subterrâneos, cujos
dados são apresentados nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2, presentes na secção 4.2.1, e
tendo em conta as afirmações efectuadas anteriormente, obtêm-se os parâmetros
do sistema através da rotina disponibilizada pelo EMTP.
A figura seguinte ilustra os valores obtidos através do EMTP:
Resistance [ R ] in [ohm/m] and inductance [ L ] in [henry/m] follows : 3.3253350E-04 7.0170721E-05 5.7493289E-05 6.5976795E-07 -9.6634668E-08 -1.1110328E-07
7.0170721E-05 3.1079189E-04 9.0860030E-05 -9.6634668E-08 6.1184675E-07 -7.4629151E-08
5.7493289E-05 9.0860030E-05 3.1845334E-04 -1.1110328E-07 -7.4629151E-08 6.2852567E-07
Conductance [ G ] in [mho/m] and capacitance [ C ] in [farad/m] follows : 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10 0.0000000E+00 0.0000000E+00
0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10 0.0000000E+00
0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10
Fig. 13: Parâmetros do sistema de cabos subterrâneos, cujos dados do ficheiro de entrada do
EMTP são descritos nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2..
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 61 -
As matrizes dos parâmetros do sistema, obtidas usando um programa digital
construído em Matlab, são apresentadas seguidamente em coordenadas abc.
A matriz de resistências é dada por:
3185,00909,00576,0
0909,03108,00702,0
0576,00702,03326,0
R (4.3.3)
Em que,
R representa a matriz de resistências em (Ω/km).
A matriz de indutâncias é dada por:
0,62890,0745-0,1111-
0,0745- 0,61220,0966-
0,1111- 0,0966- 0,6602
L (4.3.4)
Em que,
L representa a matriz de indutâncias em (mH/km).
A matriz de capacidades é dada por:
0,152300
0 0,15230
0 0 0,1523
C (4.3.5)
Em que,
C representa a matriz de capacidades em (μF/km).
Da comparação dos resultados obtidos através da aplicação desenvolvida,
descritos nas matrizes 4.3.1 e 4.3.2, com os valores resultantes da aplicação do
EMTP, verifica-se uma grande concordância entre ambos. Para qualquer
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 62 -
elemento das matrizes representadas por 4.3.3, 4.3.4 e 4.3.5, a discrepância
máxima em relação aos valores obtidos pela aplicação desenvolvida é inferior a
1%.
Exemplo 2
Partindo dos dados relativos ao sistema de cabos subterrâneos apresentado na
secção 4.2.1, procede-se à alteração de alguns factores e à consequente
comparação dos resultados obtidos com os valores resultantes da aplicação do
EMTP. Os factores modificados são (1) o tipo de materiais que constituem os
condutores, (2) o tipo de isolamentos usados e (3) a distância entre os cabos.
Tabela 4.9.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema
Núcleo Bainha ArmaduraIsolador 1
(polietileno)Isolador 2
(PVC)Isolador 3
(PVC)
Secção (mm2) 254,34 1704,67 2122,64 1326,03 2041,79 2289,06
Resistividade (Ω.km/mm2)
17,24 214 214 ___ ___ ___
Constante dieléctrica relativa ___ ___ ___ 3,00 8,00 8,00
Tabela 4.9.2 Dados relativos à disposição geométrica do sistema de cabos,
considerando um referencial fixado no cabo 1
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
Distância de separação (m) 0 0,5 1,0
Profundidade de enterramento (m)
1,198 1,198 1,198
Resultados obtidos para o sistema descrito no Exemplo 2, em coordenadas abc:
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 63 -
A matriz de impedâncias é dada por:
66312,032610,060790,030854,061105,030637,0
60790,030854,065951,032474,060790,030854,0
61105,030637,060790,030854,066312,032610,0
EiEEiEEiE
EiEEiEEiE
EiEEiEEiE
Z (4.4.1)
Em que,
Z representa a matriz de impedâncias em (Ω/m).
A matriz de capacidades é dada por:
91987,000
091987,00
0091987,0
E
E
E
C (4.4.2)
Em que ,
C representa a matriz de capacidades em (F/m).
De seguida ilustra-se os resultados obtidos através do EMTP:
Resistance [ R ] in [ohm/m] and inductance [ L ] in [henry/m] follows : 2.6004528E-04 8.5302927E-05 6.3631124E-05 6.3086345E-07 -7.9128766E-08 -1.1054532E-07
8.5302927E-05 2.4637449E-04 8.5302927E-05 -7.9128766E-08 5.9481338E-07 -7.9128766E-08
6.3631124E-05 8.5302927E-05 2.6004528E-04 -1.1054532E-07 -7.9128766E-08 6.3086345E-07
Conductance [ G ] in [mho/m] and capacitance [ C ] in [farad/m] follows : 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10 0.0000000E+00 0.0000000E+00
0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10 0.0000000E+00
0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10
Fig. 14: Resultados obtidos usando o EMTP, em que os dados do ficheiro de entrada estão
designados nas tabelas 4.9.1 e 4.9.2..
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 64 -
As matrizes dos parâmetros do sistema, obtidas usando um programa de cálculo
construído em Matlab, são apresentadas seguidamente em coordenadas abc.
A matriz de resistências é dada por:
2601,00854,00637,0
0854,02464,00854,0
0638,00856,02601,0
R (4.4.3)
Em que,
R representa a matriz de resistências em (Ω/km).
A matriz de indutâncias é dada por:
0,63120,0790-0,1105-
0,0790- 0,59510,0790-
0,1105- 0,0790- 0,6312
L (4.4.4)
Em que,
L representa a matriz de indutâncias em (mH/km).
A matriz de capacidades é dada por:
0,198700
0 0,19870
0 0 0,1987
C (4.4.5)
Em que,
C representa a matriz de capacidades em (μF/km).
Comparando os resultados decorrentes da aplicação desenvolvida com os do
EMTP, verifica-se novamente uma grande proximidade de valores, sendo o erro
resultante extremamente reduzido. Isto é possível ser observado através das
matrizes designadas em 4.4.1 e 4.4.2. As alterações introduzidas baseiam-se no
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 65 -
(1) uso de um condutor de cobre no núcleo, (2) uso de um isolador do núcleo de
polietileno reticulado e (3) uma maior proximidade entre as três fases do sistema.
4.4 Comparação de Resultados com
Catálogos
Um procedimento fundamental para conceder validade e fiabilidade a um
determinado estudo é o processo de testes e comparação dos resultados obtidos.
Numa primeira abordagem, recorreu-se a processos de simulação para testar e
comprovar a validade dos resultados obtidos através do programa digital
desenvolvido, usando para este efeito programas digitais de reconhecido valor.
Esta situação foi abordada na secção 4.3, onde se compararam os resultados
obtidos com os valores dados pelo EMTP. Na presente secção é realizada a
comparação dos resultados obtidos com os valores dos parâmetros
disponibilizados em catálogos de fabricantes de elevado reconhecimento. Para
realizar a comparação, seleccionaram-se do catálogo de [5], um conjunto de
cabos subterrâneos de média tensão usados pela EDP ao nível da distribuição.
Os cabos seleccionados são unipolares e têm como tensão nominal de
funcionamento 60 KV. Os parâmetros comparados são a (1) capacidade eléctrica,
(2) a resistência e a (3) indutância para as configurações geométricas de triângulo
e esteira. Não é efectuada a comparação com a resistência, uma vez, que o valor
deste parâmetro não é referido no catálogo. Para efeitos de cálculo, considera-se
que o núcleo é constituído por alumínio, a bainha por aço e os isoladores interior
e exterior por polietileno reticulado e PVC, respectivamente. A frequência de
operação considerada é de 50 Hz e os parâmetros presentes no catálogo estão
representados em coordenadas simétricas em termos da sua componente directa.
O fabricante tem em conta que o condutor do núcleo é tubular e considera para o
caso de existirem três fases, que a distância horizontal de separação dos cabos é
dada, no caso da disposição em esteira, por:
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 66 -
DemmS 70 (4.5)
Com,
S: Distância entre cabos
De: Diâmetro do cabo
Os dados relativos aos cabos subterrâneos descritos estão ilustrados na figura
seguinte:
Fig. 15: Catálogo disponibilizado pela ABB, para vários cabos unipolares de diversas secções com
tensão nominal 60 KV. Retirado de [5].
Os cabos da Fig .15 que são alvo de comparação têm secções de: 150 mm2, 185
mm2, 300mm2, 400mm2, 500mm2, 800mm2, 1000mm2 e 1200mm2, 1400mm2 e
2000mm2.
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 67 -
Tabela 4.10 Resultados obtidos com a ferramenta de cálculo usando os valores
de cabos indicados na Fig. 15
Nas figuras seguintes é ilustrada a variação dos parâmetros relativos à
componente directa para as várias secções, com a respectiva comparação dos
resultados obtidos com os valores disponibilizados no catálogo apresentado na
Fig. 15.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0 500 1000 1500 2000 2500
Secção do condutor (mm^2)
Cap
acid
ade
(uF
/km
)
Parâmetros do programa Parâmetros do catálogo
Fig. 16: Comparação dos valores da capacidade com os dados relativos ao catálogo (Fig. 15) para
vários valores de secção.
Indutância (mH/km)Secção do condutor
(mm2)
Capacidade (μF/km)
Triângulo Esteira
150 0,17 0,40 0,64
185 0,21 0,38 0,61
300 0,25 0,35 0,56
400 0,27 0,33 0,54
500 0,29 0,31 0,52
800 0,32 0,29 0,51
1000 0,39 0,28 0,49
1200 0,40 0,29 0,47
1400 0,41 0,28 0,45
2000 0,42 0,27 0,44
Análise e Comparação dos Resultados Obtidos
- 68 -
0,000,100,200,300,400,500,600,70
0 500 1000 1500 2000 2500Secção do condutor (mm^2)
Ind
utâ
nci
a (m
H/k
m)
Parâmetros do programa (triângulo)
Parâmetros do catálogo (triângulo)
Parâmetros do programa (esteira)
Parâmetros do catálogo (esteira)
Fig. 17: Comparação dos valores da indutância para as disposições em esteira e triângulo com os
dados do catálogo para várias secções.
Como seria de esperar os resultados obtidos não são exactamente iguais aos
valores dos catálogos, embora as diferenças existentes não sejam significativas.
Os dados necessários para a realização de cálculo como sejam, os valores
exactos relativos aos materiais dos condutores e isoladores não são
disponibilizados pelo fabricante. Através da abordagem seguida na presente
secção, pode-se concluir através da visualização das ilustrações das Fig.16 e
Fig.17, que os resultados obtidos através do método implementado com a
ferramenta de cálculo desenvolvida são muito próximos dos valores catalogados e
variam da forma que seria expectável.
- 69 -
____________________________
Capítulo 5 ____________________________
Análise em Frequência
No presente capítulo procura-se estudar o efeito que a variação da frequência
provoca nos parâmetros de sistemas de cabos subterrâneos. Outro aspecto com
grande relevância é a ligação à terra do sistema, que assume importância não
apenas na protecção dos cabos e das pessoas que circulam em seu redor, como
também pelo forte impacto provocado nos parâmetros do sistema. Faz-se
referência a um aspecto que ocorre em sistema trifásicos que é a ligação entre
bainhas dos cabos subterrâneos. Esta situação assume especial importância na
protecção dos equipamentos e nas perdas que ocorrem no sistema, manifestando
também bastante influência nos parâmetros que o caracterizam.
Análise em Frequência
- 70 -
5.1 Introdução
O estudo da variação da frequência trata-se de uma situação que se resume a
episódios esporádicos e pouco usuais no âmbito da engenharia, correspondendo
quase sempre a situações anómalas que ocorrem no Sistema de Energia. O
interesse da situação anterior, no presente estudo, centra-se em poder descrever
os parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos em função da variação da
frequência. As variações que ocorrem nos parâmetros devem-se em grande parte
a um fenómeno denominado de efeito pelicular. O efeito pelicular trata-se da
alteração da distribuição da densidade de corrente no interior de um condutor,
provocando alterações na transmissão de energia e por consequente nos
parâmetros característicos do sistema. Em sistemas de corrente alternada, o facto
de se aumentar a frequência provoca uma concentração da densidade de
corrente nas zonas periféricas do condutor, conduzindo a uma redução efectiva
da secção útil do condutor. A redução da secção útil do condutor causa
imediatamente um aumento aparente da resistência eléctrica do sistema.
Relativamente à indutância do sistema existe também uma alteração do seu valor
pois, este parâmetro é fortemente dependente da frequência. A capacidade não
sofre qualquer alteração com a variação da frequência.
Em relação às condições da ligação à terra dos elementos, a falha ou inexistência
de ligação de um dos elementos de protecção do cabo, sobretudo no caso das
bainhas, influencia fortemente os parâmetros que caracterizam o sistema. Este
fenómeno deve-se em grande medida ao facto de os materiais não serem
perfeitos, não se conseguindo confinar o campo eléctrico à superfície dos
elementos condutores do cabo, o que origina o aparecimento de correntes nas
bainhas e armaduras. Quando por defeito não existe um caminho de baixa
impedância que permita o fecho das correntes pela terra, os parâmetros são
fortemente influenciados, com destaque para a resistência eléctrica.
Em sistemas trifásicos, a ligação entre as bainhas dos cabos do sistema perfila-se
como outro factor com forte impacto nos parâmetros de um sistema de cabos
subterrâneos pois, não só permite equilibrar o sistema de tensões existente, como
também reduzir as correntes que circulam nas bainhas. Este facto permite reduzir
Análise em Frequência
- 71 -
as perdas existentes no cabo, tendo um forte impacto também nos parâmetros do
sistema.
5.2 Análise em Frequência dos Parâmetros
A análise efectuada para frequências distintas da frequência normal de operação
da rede, apenas assume especial relevância em determinados contextos
relacionados com regimes transitórios ocorridos na rede, como seja a análise
harmónica de uma rede ou sistema. No presente contexto apenas se pretende
aquilatar e ponderar os efeitos que ocorrem nos parâmetros característicos de um
sistema de cabos subterrâneos, quando este está inserido num contexto em que
a rede trabalha com frequências muito superiores à frequência normal de
operação.
Deste modo, para o sistema descrito na secção 4.2.1, apresenta-se as
representações gráficas da variação dos parâmetros em função da frequência da
rede (50 Hz):
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Res
istê
nci
a (o
hm
/km
)
Fig. 18: Valores da componente directa da resistência em função da variação da frequência.
Análise em Frequência
- 72 -
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Ind
utâ
nci
a (m
H/k
m)
Fig. 19: Valores da componente directa da indutância em função da variação da frequência.
Através da visualização das representações gráficas ilustradas anteriormente,
verifica-se que a resistência sofre um incremento no seu valor, consoante o
aumento da frequência. O aumento da resistência é aproximadamente linear até
valores próximos de 500 Hz, verificando-se de seguida um aumento não linear
para as frequências superiores. A variação não linear observada deve-se
essencialmente ao efeito pelicular, apresentando um maior impacto até à gama
de frequências descrita. O aumento da frequência provoca uma modificação
significativa da distribuição da densidade de corrente nos condutores, originando
a variação dos parâmetros em questão.
A partir de determinadas frequências a densidade de corrente fica extremamente
compactada numa determinada secção, sendo a secção real do condutor cada
vez menor. Este facto explica o menor aumento da resistência para frequências
muito superior à frequência da rede.
Relativamente á indutância verifica-se uma diminuição do seu valor, que decresce
á medida que se aumenta a frequência.
Quanto á capacidade do sistema, esta não foi representada pois, não sofre
qualquer alteração com a frequência da rede.
Análise em Frequência
- 73 -
5.3 Ligação à terra
A ligação dos condutores de protecção dos cabos subterrâneos à terra é um
factor importante, sobretudo nas condições de segurança com que o cabo opera.
Para além deste facto, é também importante destacar as perdas que podem ser
originadas devido a casos de deficiente ou inexistente ligação à terra dos
elementos de protecção do cabo. Este facto tem implicações muito significativas
no valor dos parâmetros característicos do sistema de cabos.
Seguidamente apresenta-se as representações gráficas, para o sistema de cabos
descrito na secção 4.2.1, para diferentes tipos de ligação à terra:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Res
istê
nci
a (o
hm
/km
)
Bainha e Armadura ligadas Bainha não ligada
Armadura não ligada
Fig. 20: Variação na frequência da resistência para diferentes tipos de ligação à terra.
Pela figura anterior observa-se que na situação em que as bainhas e as
armaduras do sistema se encontram correctamente ligadas à terra, a resistência
varia, em função do aumento da frequência, de uma forma praticamente linear.
No caso, em que apenas as armaduras do sistema não se encontram
correctamente ligadas à terra, o comportamento da resistência em função da
frequência, não difere muito da situação típica e desejável. Existe um aumento
acentuado para frequência menores mas, a variação é praticamente linear para a
restante gama de frequências.
Análise em Frequência
- 74 -
A situação mais atípica e também mais gravosa, é ilustrada pela figura 5.2 e
corresponde a uma falha na ligação à terra nas bainhas do sistema de cabos
subterrâneos. Verifica-se uma variação substancialmente diferente da situação
normal e típica, em que a resistência sofre um incremento desmesurado até
frequências da ordem dos 600Hz, registando-se um abrandamento do
crescimento da resistência.
00,1
0,20,3
0,40,5
0,60,7
0,80,9
1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Ind
utâ
nci
a (m
H/k
m)
Bainha e Armadura ligadas Bainha não ligada
Armadura não ligada
Fig. 21: Variação na frequência da indutância para diferentes tipos de ligação à terra.
Pela visualização da Fig. 21, é possível verificar que o valor da indutância varia de
modo semelhante em qualquer das situações de ligação à terra dos condutores
de protecção do sistema de cabos subterrâneos. Apenas se verifica uma
inesperada variação da indutância, quando a armadura não está ligada à terra. O
valor da indutância decresce consoante se regista um aumento da frequência e
evidencia um decrescimento aproximadamente exponencial. Relativamente à
capacidade eléctrica do sistema de cabos, verifica-se que não sofre qualquer
influência com a alteração das condições de ligação à terra dos elementos que
constituem o sistema.
Análise em Frequência
- 75 -
5.4 Ligação entre Bainhas: cross bonding
Em sistemas trifásicos de cabos subterrâneos a ligação entre as bainhas de cada
um dos cabos assume-se como um aspecto de elevada importância. Existem
várias formas de se efectuar a referida ligação mas, tendo em conta o tipo de
aplicações em que o presente estudo se insere, a ligação cruzada entre bainhas é
a que melhor se adequa, sendo usualmente denominada de cross bonding. Desta
forma, procura-se analisar a influência deste aspecto no cálculo dos parâmetros
característicos de um sistema de cabos subterrâneos. Para o efeito, considera-se
o sistema de cabos subterrâneos descrito na secção 4.2.1. Para a ligação à terra
considera-se a situação normal e desejável, ou seja, ambas as bainhas e
armaduras estão correctamente ligadas à terra. Assim, realiza-se o cálculo dos
parâmetros do sistema para diversos valores de frequência, comparando-os com
a situação de ausência de ligação entre as bainhas.
Seguidamente, apresenta-se as representações gráficas dos parâmetros do
sistema em função da frequência de operação do sistema:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Res
istê
nci
a (o
hm
/km
)
cross bonding sem cross bonding
Fig. 22: Variação na frequência do valor da resistência para as situações a) bainhas ligadas em
cross bonding, b) ausência de ligação entre as bainhas.
Análise em Frequência
- 76 -
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Frequência (Hz)
Ind
utâ
nci
a (m
H/k
m)
cross bonding sem cross bonding
Fig. 23: Variação na frequência do valor da indutância para as situações a) bainhas ligadas em
cross bonding, b) ausência de ligação entre as bainhas.
Nas figuras anteriores verifica-se que o valor da componente directa da
resistência é bastante superior, comparativamente com o caso em que existe
ligação entre as bainhas. Em relação ao valor da indutância observa-se que é
ligeiramente inferior no caso em que não existe ligação entre as bainhas. O valor
da capacidade não é influenciado pelo aspecto referido anteriormente. As ilações
que se podem tirar vão de encontro ao que era espectável inicialmente, ou seja,
que o facto de as bainhas estarem ligadas entre si permite reduzir as perdas do
sistema. Esta conclusão é suportada pelo facto de existir um decréscimo do valor
da resistência, relativamente à situação de ligação entre bainhas, e devido ao
aumento do valor da indutância em relação à referida situação. Verifica-se ainda,
no caso em que as bainhas não estão ligadas entre si, uma variação mais
acentuada da resistência e da indutância em função da frequência, quando
comparada com a situação de ligação entre as bainhas. Conclui-se assim, que
para frequências mais elevadas, a ausência de ligação entre as bainhas origina
uma situação ainda mais gravosa do ponto de vista das perdas existentes no
sistema.
- 77 -
____________________________
Capítulo 6 ____________________________
Conclusão
Neste capítulo são apresentadas as principais conclusões que têm como base o
trabalho de investigação desenvolvido sobre a temática do cálculo de parâmetros
de cabos subterrâneos em redes de distribuição. Discute-se os resultados que se
obtiveram, tomando em consideração vários aspectos que têm grande influência
dentro do contexto pretendido. Apontam-se alguns aspectos ainda não muito
esclarecidos, segundo os quais pode ser desenvolvido um trabalho de
investigação mais intenso, e que no contexto da problemática abordada no texto
da tese assumem especial interesse e importância.
Conclusões
- 78 -
6.1 Conclusões Principais
Na abordagem efectuada no texto da tese teve-se em especial consideração qual
o principal objectivo do estudo que foi realizado, ou seja, o desenvolvimento de
uma ferramenta de cálculo informática de parâmetros de cabos subterrâneos.
Procurou-se ilustrar todo o planeamento e metodologia usados no cálculo dos
parâmetros de cabos subterrâneos, bem como todo o tratamento matemático que
foi necessário realizar. Foram explicitados todos os algoritmos usados e todas as
simplificações efectuadas, tendo em conta o contexto e as aplicações em que o
estudo pretende abranger. Depois de abordar a metodologia e algoritmos usados,
procurou-se comparar os resultados obtidos com outras ferramentas de cálculo
informáticas e com catálogos de fabricantes com elevado reconhecimento.
Relativamente a este último facto, conseguiu-se obter resultados muito próximos
dos que poderão ser obtidos com recurso a programas de cálculo,
nomeadamente com o EMTP. Também em relação aos catálogos de cabos
subterrâneos obteve-se resultados bastante semelhantes, tendo-se tomado como
termo de comparação os catálogos disponibilizados por [5]. Posteriormente a ser
efectuada a comparação dos resultados obtidos, procurou-se estudar a influência
de um certo conjunto de factores que intervêm na metodologia de cálculo
desenvolvida. Aspectos como (1) materiais, (2) tipo de solo, (3) profundidade de
enterramento, (4) temperatura, (5) distância entre cabos e (6) disposição
geométrica dos cabos são alvo de uma análise mais aprofundada. Verificou-se
que o tipo de materiais usados, tanto nos condutores como nos dieléctricos,
influencia fortemente os parâmetros em cabos subterrâneos. A capacidade
eléctrica é um parâmetro que depende em grande parte do tipo de material usado,
sendo tanto maior conforme a permitividade eléctrica do material isolante
dieléctrico usado. Em relação à resistividade do solo e à profundidade de
enterramento, concluiu-se que estes factores praticamente não influenciam os
parâmetros dos cabos subterrâneos. Quanto à temperatura a que os cabos estão
sujeitos, verificou-se que é um factor a ter em consideração pois, influencia
fortemente a resistividade dos condutores e consequentemente a resistência
eléctrica dos cabos subterrâneos. Em sistemas constituídos por mais que um
cabo subterrâneo, é extremamente importante a distância existente entre os
Conclusões
- 79 -
vários cabos que constituem o sistema, bem como a geometria em que eles estão
dispostos. A distância de separação dos cabos tem impacto no valor dos
parâmetros devido ao efeito de proximidade, em que o campo eléctrico originado
em cada cabo influencia a distribuição de correntes nos cabos da sua vizinhança.
O efeito de proximidade é tanto maior quanto mais próximos estiverem os cabos
entre si. A resistência eléctrica aumenta ligeiramente à medida que os cabos
estão mais afastados entre si, enquanto que a capacidade é inerte a este efeito. A
indutância é o parâmetro que sofre maior impacto com a variação da distância de
separação entre os cabos e é tanto maior quanto mais afastados os cabos estão
entre si. Relativamente à disposição geométrica dos cabos subterrâneos, verifica-
se que tal como a resistência, também a indutância é mais elevada na situação
em que os cabos estão dispostos em esteira. É interessante verificar, que à
medida que aumenta a distância de separação entre cabos, o valor da resistência
e da indutância tende a ser semelhante para as duas geometrias do sistema de
cabos subterrâneos.
6.2 Outras conclusões: abordagens futuras
No presente texto, para além do objectivo de desenvolver uma ferramenta de
cálculo e comparar a validade dos resultados obtidos, conseguiu-se estender o
estudo a outras vertentes não perspectivadas inicialmente. Partindo da ferramenta
desenvolvida, procurou-se perceber e avaliar o impacto que outros aspectos, cuja
influência não é obvia, têm nos parâmetros de cabos subterrâneos. Um dos
aspectos analisados foi a variação registada nos parâmetros, quando a frequência
de operação do sistema se altera para valores superiores aos da frequência
normal de operação da rede eléctrica. Para um sistema trifásico de cabos
subterrâneos, com as bainhas e armaduras correctamente ligadas à terra,
verifica-se que a resistência eléctrica regista um aumento aproximadamente linear
para as frequências superiores à da rede. A partir de frequências da ordem de
500 Hz a resistência varia de forma não linear, sofrendo um incremento
significativo devido essencialmente à influência do efeito pelicular. A um aumento
de frequência verifica-se que a indutância sofre um decréscimo, enquanto que a
Conclusões
- 80 -
capacidade não sofre quaisquer alterações por acção da variação da frequência.
Outro aspecto causador de um forte impacto nos parâmetros de cabos
subterrâneos é a forma de ligação à terra dos elementos de protecção dos cabos.
Neste caso particular, destaca-se a situação em que as bainhas não estão ligadas
à terra, onde a resistência assume um valor muito superior quando comparado
com a situação em que as bainhas estão correctamente ligadas à terra. Por sua
vez, a indutância de um sistema de cabos subterrâneos é menor em relação à
situação normal e típica, enquanto que a capacidade do sistema não é
influenciada pelo referido aspecto. Procurou-se também estudar o comportamento
que os sistemas registam em função da variação da frequência. A indutância teve
um comportamento semelhante ao esperado, ou seja, obteve-se um decréscimo
aproximadamente exponencial. A resistência registou um aumento extremamente
acentuado até frequências da ordem dos 500 Hz, registando um aumento
aproximadamente linear para frequências superiores. Em sistemas trifásicos de
cabos subterrâneos, a ligação entre as bainhas dos cabos constituintes do
sistema, tem um impacto muito forte nos seus parâmetros. De entre várias formas
de realizar a ligação, escolheu-se estudar a ligação das bainhas de forma
cruzada, usualmente denominada de cross bonding. Este aspecto assume-se
com um factor que permite reduzir as perdas energéticas nos cabos subterrâneos.
Através de uma redistribuição mais equilibrada das correntes que circulam nas
bainhas dos cabos é possível, não apenas tornar o sistema mais equilibrado,
como também reduzir as correntes que circulam nas bainhas. As perdas dos
cabos são extremamente influenciadas pelas correntes que circulam nas bainhas.
Deste modo, reduzindo as correntes que circulam nas bainhas consegue-se
reduzir as perdas existentes no sistema. Da observação dos resultados obtidos
consegue-se depreender e verificar que para a situação em que as bainhas estão
ligadas em cross bonding, a resistência é menor relativamente à situação em que
não existe ligação entre bainhas. A indutância regista um decréscimo no seu valor
para a situação em que as bainhas não estão ligadas entre si, comparativamente
com a situação em que existe ligação em cross bonding
Referências Bibliográficas
- 81 -
Referências Bibliográficas
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Developed by Bonneville Power Administration, Portland, Oregon, 1986.
[2] – A. Ametani, "A General Formulation of Impedance and Admittance of Cacles”,IEEE
Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-99,No. 3, pp. 902-910,
May/June 1980, Doshisha University, Kyoto - Japan.
[3] – N. Nagaoka, A. Ametani, “Transient Calculations on Crossbonded Cables”, IEEE
Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, No. 4, pp. 779-787, April
1983, Doshisha University, Kyoto – Japan.
[4] – J. Horácio Tovar Hernandéz, H. F. Ruiz Paredes, “Modelado y Análisis de Sistemas
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[5] – XLPE Cable System User’s Guide,
(www.abb.pt/product/seitp332/c1256ccb004e670dc1256bdc002351d3.aspx), consultado
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[6] – High Voltage Cable Cataloge,
(www.generalcable.pt/Productos/Catálogos/tabid/403/Default.aspx), consultado em
28/06/2007.
[7] – ATP- Alternative Transients Program – Rule book, Bonneville Power Administration,
1987.
[8] – A. Ametani, “Wave Propagation Characteristics of Cables”, IEEE Transactions on
Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-99, No. PAS-2, pp. 499-505, March/April 1980,
Doshisha University, Kyoto – Japan.
[9] – Ting-Chung Yu , José R. Martí ,”A Robust Phase-Coordinates Frequency-Dependent
Underground Cable Model (zCable) for the EMTP”, IEEE Transactions on Power Delivery,
VOL. 18, No. 1, pp.189-194, January 2003.
Referências Bibliográficas
- 82 -
[10] – Stefan S¨orensen, Hans Nielsen, “Underground Cables and Overhead Lines Earth
Return Path Impedance Calculations with Reference to Single Line to Ground Faults”,
Section of Electric Power Systems, Aalborg University, Denmark.