Cálculo II

Aula 07: Maximizando a Derivada Direcional, Plano Tangente às Superfícies de

Nível, A Importância do Vetor Gradiente.

Teorema

Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis.

O valor máximo da derivada direcional

e ocorre quando u tem mesma direção e sentido que o vetor gradiente .

( ) é ( )uD f X f X

( )f X

Exemplo 1

(a) Se , determine a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na direção

de P a .

(b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

( , ) yf x y xe

1,2

2Q

graficamente

Exemplo 2

Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por

, onde T é a temperatura medida em graus Celsius e x,y,z em metros. Em qual direção do ponto (1,1,-2) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

2 2 2( , , ) 80 /(1 2 3 )T x y z x y z

Plano tangente e reta normal

Plano tangente e reta normal

Exemplo 3

Determine as equações do plano tangente e reta normal no ponto (-2,1,-3) ao elipsóide

2 22 3

4 9

x zy

Gráficamente

Importância do vetor gradiente

Montanha Lonesome

f (x,y) = x2 – y2

Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2