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Estudo Comparativo de Cálculo de Lajes Analogia de grelha x Tabela de Czerny

Junior, Byl F.R.C. (1), Lima, Eder C. (1), Oliveira,Janes C.A.O. (2),

1 Acadêmicos de Engenharia Civil, Universidade Católica de Goiás – UCG

edercard4@hotmail.com , farneyjr@hotmail.com

2 Professor M.Sc., Universidade Católica de Goiás (UCG) e Universidade Estadual de Goiás (UEG) janes@cultura.com.br

Palavras-Chave: Lajes – Métodos Numéricos - Grelha - Czerny

RESUMO Ao longo dos anos têm sido propostos e aplicados diversos métodos para análise de lajes de concreto armado de pavimentos de edifícios. Dentre os processos que possibilitam a consideração da estrutura no seu aspecto tridimensional, destaca-se o processo das grelhas que tem como idéia principal a divisão das lajes que compõem o pavimento em um número adequado de faixas. Esse processo permite reproduzir um comportamento estrutural bastante aproximado da realidade, podendo-se variar a geometria e as situações do arranjo estrutural. Neste trabalho são comparados esforços e deslocamentos de lajes sob várias condições de contorno. Serão comparados os resultados obtidos pela analogia de grelha, utilizando o software SAP2000n, com aqueles obtidos empregando as tabelas de Czerny. Será demonstrado como a influência de alguns parâmetros (discretização da malha, rigidez a torção dos elementos, etc), influenciam de forma significativa nos resultados obtidos. 1. INTRODUÇÃO Durante muitos anos, o cálculo de pavimentos de edifícios com a estrutura composta por lajes e vigas foi feito com a utilização de tabelas, considerando as lajes como elementos isolados e apoiados em vigas indeformáveis. Com o avanço tecnológico, foram desenvolvidos alguns softwares de análise estrutural que permitem analisar o comportamento de um pavimento como um todo, aproximando com o funcionamento real da estrutura. Neste caso, são considerados na análise alguns parâmetros importantes como a influência da flexibilidade das vigas e a rigidez real à torção das lajes e vigas. O processo de analogia de grelha vem sendo muito utilizado em programas computacionais de análise de estruturas de concreto armado e está tendo muita aceitação no meio profissional. Este processo fornece ao projetista subsídios para a escolha do esquema estrutural mais adequado, na medida que permite a analise de um mesmo pavimento sob diferentes situações, fazendo-se adaptações em um mesmo conjunto de dados. Outra grande vantagem em se utilizar este processo é a possibilidade de análise de lajes com formatos irregulares.

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2. PROCESSO DE ANALOGIA DE GRELHA A idéia principal do método das grelhas é a substituição do pavimento por uma grelha equivalente, sendo que os elementos estruturais (vigas e lajes) são representados pelas barras da mesma. A grande vantagem deste processo é a possibilidade de configuração do sistema estrutural com qualquer geometria abrindo espaço para esquemas sem vigas ou com lajes nervuradas. Durante a análise, as lajes devem ser discretizadas em um número adequado de faixas cujas larguras dependem das dimensões e da geometria do pavimento. No que diz respeito aos carregamentos, estes podem ser considerados distribuídos nas barras da grelha equivalente, de acordo com a área de influência de cada uma. Para que o modelo numérico reflita o comportamento real do arranjo estrutural, deve-se avaliar as características geométricas dos dois tipos de elementos utilizados na malha : placa e viga-placa. Considera-se então, além da rigidez à torção e à flexão das lajes, a rigidez à flexão e à torção das vigas, fazendo com que os momentos fletores no centro da laje na direção perpendicular o eixo da viga se apresentem maiores quando a viga é de bordo, pois não há uma segunda laje contribuindo para redistribuir os momentos fletores. Para as lajes com as mesmas dimensões, os momentos fletores são tão menores quanto maior for a contribuição de lajes adjacentes. Tem-se a expressão que permite calcular a inércia à torção da viga, de maneira simplificada, dada pela Resistência dos Materiais:

Onde: h, a altura da viga e b , a respectiva largura. No cálculo utilizando as tabelas de Czerny, não são levadas em consideração a rigidez a torção, simplificando a análise da estrutura considerando as lajes como painéis isolados, apoiados em vigas indeformáveis. A compatibilização dos momentos fletores entre lajes conjugadas se dá utilizando 80% do maior momento entre lajes contíguas ou a média aritmética entre os dois momentos. A seguir serão apresentados alguns resultados comparando a análise de painéis de lajes entre a analogia de grelha e as tabelas de czerny. 3. SITUAÇÕES ESTUDADAS Algumas situações foram estudadas exemplificando a utilização do processo de analogia de grelha na análise de lajes maciças de concreto armado. Os valores serão conflitados com os provenientes do cálculo pelas tabelas de Czerny. Serão levados em consideração a influência do refinamento da malha e a rigidez à torção dos elementos. Para a obtenção dos esforços e dos deslocamentos das placas através do

3. 3bh

It =

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processo de analogia de grelha, foi utilizado o software SAP 2000n, versão 7.12, desenvolvido pela Universidade de Berkeley. Exemplo 1 – Foi considerada uma laje de um edifício garagem cujos esforços e deslocamentos verticais foram calculados através da Analogia de grelha e comparando com os resultados das Tabelas de Czerny. Características dos Materiais: Es=2128,7367 kN/cm² ; ν = 0,2 Dados do carregamento da placa: carga permanente = 4 kN/m2; sobrecarga = 3 kN/m2 Na analogia de grelha, utilizou-se uma discretização com espaçamento entre barras de 50 cm, nas duas direções.

L1

L2

L6

L10

L14

L5

L9

L13

L4

L8

L12

L3

L7

L11

20 488 20

488 20 480 20 480 20 488 20

488

2048

020

488

20

488 20 480 20 480

20

20

20

480

2048

020

488

2048

020

488

2020

Figura 1- Planta de forma do pavimento tipo do edifício garagem

O carregamento foi considerado uniformemente distribuído nas barras sendo que o seu valor numérico foi obtido da sobrecarga atuante nos triângulos (áreas de influência) determinadas através das charneiras plásticas, coerente com os critérios do item 14.7.4 (NB1 2001): Para as barras do centro:

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Para as barras de contorno:

Tabela 1 – Momento fletor (em Kgf.cm/m) e flecha (em cm) do exemplo1

LAJE TABELA DE CZERNY (A) PROCESSO DA GRELHA (B) RAZÃO (A/B) Mx My FLECHA Mx My FLECHA Mx My F

L1 61083,00 44814,00 0,376 30918,66 46335,62 0,501 1,98 0,97 0,750 L2 54461,00 29954,00 0,262 20497,64 44890,48 0,391 2,66 0,67 0,670 L3 48146,00 48146,00 0,304 33144,24 33272,70 0,389 1,45 1,45 0,781 L4 43657,00 33238,00 0,231 22140,90 34666,58 0,306 1,97 0,96 0,755 L5 43657,00 33238,00 0,231 19671,14 31474,78 0,248 2,22 1,06 0,931 L6 32529,00 43888,00 0,231 34702,40 25470,50 0,351 0,94 1,72 0,658 L7 43657,00 33238,00 0,216 18645,98 33891,12 0,261 2,34 0,98 0,828 L8 33011,00 33011,00 0,171 20610,12 16925,54 0,116 1,60 1,95 1,474 L9 33011,00 33011,00 0,171 20718,66 17869,32 0,123 1,59 1,85 1,390 L10 43657,00 33238,00 0,216 20203,64 33430,88 0,275 2,16 0,99 0,785 L11 48146,00 48146,00 0,304 33429,36 33600,20 0,39 1,44 1,43 0,779 L12 43657,00 33238,00 0,182 21506,34 35394,04 0,299 2,03 0,94 0,609 L13 43657,00 33238,00 0,182 21569,72 35232,94 0,296 2,02 0,94 0,615 L14 48146,00 48146,00 0,304 32105,94 32602,66 0,385 1,50 1,48 0,790

Tabela 2 – Momento fletor negativo (em Kgf.cm/m) LAJE TABELA DE CZERNY (A) PROCESSO DA GRELHA (B) RAZÃO (A/B)

X X X L1 - L2 147346,00 44269,89 3,33 L8 - L9 96649,00 41205,89 2,35

Observa-se que os momentos fletores obtidos pelo processo das grelhas são bem menores em comparação com os resultados encontrados pelas tabelas de Czerny. Isto pode ser explicado pela melhor redistribuição dos momentos fletores quando na análise pelo processo das grelhas. Exemplo 2 – Foi analisado o mesmo painel de lajes do exemplo 1 considerando agora todas as lajes do pavimento sob apoio simples, desprezando-se a influência do engastamento da laje adjacente. Tabela 3 – Momento máximo positivo (em Kgf.cm/m) e flecha (em cm)

LAJE TABELA DE CZERNY (A) PROCESSO DA GRELHA (B) RAZÃO (A/B) Mx My FLECHA Mx My FLECHA Mx My F

L1 71195,00 68691,00 0,558 42343,38 58505,34 0,645 1,68 1,17 0,865 L2 71195,00 68691,00 0,558 37171,00 61722,76 0,593 1,92 1,11 0,941 L3 71157,00 71157,00 0,595 50671,54 49484,78 0,612 1,40 1,44 0,972 L4 71195,00 68691,00 0,595 41818,72 53777,66 0,566 1,70 1,28 1,051 L5 71195,00 68691,00 0,595 40754,36 51966,80 0,528 1,75 1,32 1,127 L6 71157,00 71157,00 0,595 55180,80 44406,28 0,614 1,29 1,60 0,969 L7 71195,00 68691,00 0,558 39918,46 55756,36 0,542 1,78 1,23 1,030

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L8 68934,00 68934,00 0,558 45724,88 42694,00 0,459 1,51 1,61 1,216 L9 68934,00 68934,00 0,558 45672,70 43297,78 0,462 1,51 1,59 1,208 L10 71195,00 68691,00 0,595 40963,94 53968,12 0,553 1,74 1,27 1,076 L11 71157,00 71157,00 0,595 50943,30 50955,46 0,613 1,40 1,40 0,971 L12 71195,00 68691,00 0,595 41545,24 55154,50 0,564 1,71 1,25 1,055 L13 71195,00 68691,00 0,595 41706,32 55078,08 0,562 1,71 1,25 1,059 L14 71157,00 71157,00 0,595 49074,14 50822,26 0,611 1,45 1,40 0,974

Em se tratando de momentos fletores positivos, os resultados obtidos pela analogia de grelha foram bem inferiores aos encontrados pelas tabelas de Czerny. No que se refere às deformações, foram encontrados resultados diferenciados, dependendo da posição do painel da laje. Nas lajes situadas na extremidade da planta, as deformações obtidas pelo analogia de grelha foram maiores que os valores encontrados pela tabela de Czerny. Nas lajes centrais, a situação se inverte, sendo os valores maiores para as deformações determinadas pelas tabelas de Czerny. Estes resultados podem ser observados claramente analisando as lajes L3 e L8. Exemplo 3 – Após as comparações realizadas entre a analogia de grelha e as Tabelas de Czerny, foram calculadas as armaduras positivas e negativas das lajes analisadas por ambos os processos. As armaduras positivas foram calculadas utilizando os momentos máximos positivos como de prática no meio profissional. Tabela 4 – Armaduras positivas e negativas (em cm²) LAJE TABELA DE CZERNY (A) PROCESSO DA GRELHA (B) RAZÃO (A/B)

As + As - As + As - As + As - L1 4,99 5,61 3,55 1,55 1,41 3,62 L8 5,68 3,64 3,01 1,44 1,89 2,53

Como esperado, a taxa de armadura obtida pela analogia de grelha foi menor do que a análise utilizando as tabelas de czerny. Exemplo 4 – Para confirmar a influência do refinamento do modelo nos resultados obtidos, foi realizada uma comparação de resultados variando a discretização da malha de uma laje com dimensões 5 x 5 metros, com espaçamento entre barras 100 x 100 cm, 50 x 50 cm e 20 x 20 cm. Tabela 5 – Momentos fletores (em Kgf.cm/m) e flecha (em cm)

MALHA DA GRELHA EQUIVALENTE Mx=My FLECHA MALHA 1 (100 X 100) 40255,73 0,500 MALHA 2 (50 X 50) 41395,38 0,530 MALHA 3 (20 X 20) 42625,30 0,546

Utilizando-se uma menor discretização de malha, os resultados dos esforços e deformações convergem para o valor exato. Observando os resultados da tabela 5, para os valores de momentos fletores e flechas, a discretização utilizando espaçamento de 50 x 50 cm entre barras,

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fornecem resultados bastante satisfatórios no que tange a precisão e rapidez do processamento dos cálculos. 4. CONCLUSÔES Com base nos resultados apresentados no item 3, algumas conclusões podem ser retiradas: • Os resultados encontrados pela analogia de grelha e pelas tabelas

de Czerny divergem pelo fato de que no segundo processo são ignorados alguns parâmetros como a influência da deformabilidade das vigas de apoio e a consideração da rigidez a torção dos elementos.

• Para os exemplos estudados, na análise pela analogia de grelha, as lajes mais próximas da extremidade apresentam flechas e momentos fletores maiores que as lajes centrais;

• Pela analogia de grelha, ocorre uma maior redistribuição dos momentos fletores entre lajes contíguas. Os resultados são menores do que os encontrados pela compatibilização realizada quando no cálculo pelas tabelas de Czerny;

• Na direção onde há menos influência de lajes adjacentes, o momento fletor é maior pelo Processo de analogia de grelha. Já pelas Tabelas de Czerny isso não acontece por não serem consideradas as dimensões das outras lajes, condições de carregamento e deformações;

• A taxa de armadura obtida pela analogia de grelha é bem menor do que na análise utilizando as tabelas de Czerny; Devem ser processados novos exemplos para verificar a validação dos resultados encontrados;

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Associação Brasileira de Normas Técnicas (2001). - Projeto de Estruturas de Concreto, Texto concluído da revisão da NB1, Ibracon; Silva, Marcos A. F., Filho, Jasson R. F., Carvalho, Roberto C. - Utilização da analogia de grelha para análise de pavimentos de edifícios de concreto armado. – Artigo publicado no 45° Congresso Brasileiro do concreto, 2003. Custódio, V. & Pimenta, A. - Lajes de Concreto Armado e Protendido, Editora da Universidade Fluminense, 1990, Rio de Janeiro. Chaer, A. V. – Notas de Aula do Curso de Concreto Armado, Universidade Católica de Goiás, 2001; 6. AGRADECIMENTOS Agradecemos ao professor Janes Cleiton que nos orientou no estudo, principalmente na modelagem das estruturas no software SAP 2000.