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Ficha n.o1 Pgina 112 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (A). a nica figura que uma sequncia de segmentos de reta (lados), tal que pares de
lados consecutivos partilham um extremo, lados que se intersetam no so colineares e no h mais
do que dois lados a partilhar um extremo. Nas opes (B) e (D) h um extremo partilhado por trs
lados e na opo (C) h uma linha curva.
2. Opo (C). a nica que representa uma linha poligonal fechada simples. Na opo (A) est
representada uma linha poligonal fechada mas no simples. Na opo (B) no est sequer
representada uma linha poligonal, pois existe um extremo partilhado por trs lados. Na opo (D) est
representada uma linha poligonal aberta.
3. Opo (C). Na opo (A) no est sequer representada uma linha poligonal, pois existem dois
extremos partilhados por trs lados. Nas opes (B) e (D) esto representadas as fronteiras de
polgonos convexos, pois qualquer segmento de reta que une dois pontos destes polgonos est
contido neles. De facto, a linha poligonal da opo (C) a fronteira de um polgono cncavo, visto
existirem segmentos de reta que unem dois pontos do polgono e que intersetam o seu exterior.
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Ficha n.o1 Pgina 113
4.1. a) Linhas 3, 4, 5, 6 e 8
b) Linhas 1, 3, 4, 5, 7 e 8
4.2. As extremidades so Ae E.
4.3. a) A linha poligonal 3 representa a fronteira de um polgono, uma vez que se trata de uma linha
poligonal fechada simples.
b) Os vrtices so F, G, H, Ie J.
c) Os lados so os segmentos de reta [FG], [GH], [HI], [IJ] e [JF].
d) Por exemplo, [GH] e [HI] so dois lados consecutivos.
e) Por exemplo, [GH] e [JF] so dois lados no consecutivos.
4.4. Linhas 3, 4, 5 e 8.
4.5. a) Linhas 5 e 8
b) Linhas 3 e 4
5.1. a) Por exemplo: b) Por exemplo:
c) Por exemplo: d) Por exemplo:
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Ficha n.o1 Pgina 114 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
5.1. e) Por exemplo: f) Por exemplo:
6.1. Trata-se de um quadriltero simples uma vez que a unio de uma linha poligonal fechada simples
(com quatro lados) com a sua respetiva parte interna.
6.2. [AB]
6.3. [AB] e [CD]
6.4. [AC] e [BD]
7. a) 0 diagonais
b) 2 diagonais
c) 5 diagonais, como se pode verificar no exemplo abaixo.
d) 9 diagonais, como se pode verificar no exemplo abaixo.
8. Se um polgono tem n lados, ento tambm tem nvrtices. Para formar uma diagonal, cada vrtice
une-se a um vrtice no consecutivo, podendo ento unir-se com 3n vrtices distintos (j que
no se pode unir consigo mesmo nem com os dois vrtices que lhe so consecutivos). Assim,
teramos ( )3n n diagonais. Contudo, cada diagonal est a ser contabilizada duas vezes, uma em
cada um dos vrtices que a definem. Temos, portanto, um total de( )3
2
n ndiagonais.
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Ficha n.o1 Pgina 115
9. O nmero de diagonais de um heptgono ( )7 7 3 7 4 28
142 2 2
= = = .
O nmero de diagonais de um enegono
( )9 9 3 9 6 54
272 2 2
= = = .
10.1. F. Por exemplo, o pentgono tem 5 diagonais e 5 um nmero mpar.
10.2. F. Uma linha poligonal pode ter apenas 2 lados. Por exemplo:
10.3. F. Uma linha poligonal fechada com nlados tem nvrtices.
10.4. V. Por exemplo:
10.5. F. Um polgono a unio de uma linha poligonal simples e fechada com a sua respetiva parte interna.
10.6. V, por definio de polgono.
11. A linha poligonal que satisfaz as quatro propriedades linha 3.
A linha poligonal 1 no satisfaz a propriedade I., pois trata-se de uma linha poligonal aberta. Tambm
no satisfaz a propriedade IV., porque nem sequer a fronteira de um polgono.
A linha poligonal 2 no satisfaz a propriedade II., pois existem pontos comuns a dois lados que no
so vrtices, o que faz com que a linha no seja simples. Tambm no satisfaz a propriedade IV.,
pela mesma razo referida para a linha 1.
A linha poligonal 4 no satisfaz a propriedade IV., visto que se trata da fronteira de um polgonoconvexo, pois qualquer segmento de reta que une dois pontos do polgono est contido no polgono.
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Ficha n.o2 Pgina 116 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (B). 90 38 128DCB = + =
2. Opo (D). 180 112 68 =
3. Opo (A). ( )360 70 110 132 360 312 48x = + + = =
4.1. F. A soma das medidas das amplitudes dos ngulos externos de um tringulo 360.
4.2. V.
4.3. F. Um ngulo externo de um polgono um ngulo suplementar (pois a soma 180) e adjacente a
um ngulo interno desse polgono.
4.4. F. Se o referido polgono existisse, ento o seu nmero de lados seria soluo da equao
( )180 2 1480n = .
( )1840
180 2 1480 180 360 1480 180 1480 360 180 1840180
n n n n n = = = + = =
Como ( )1840
10, 2180
= no representa um nmero natural, conclui-se que o polgono no existe.
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Ficha n.o2 Pgina 117
5.1.
5.2. As diagonais traadas decompem o hexgono [ABCDEF] em 4 tringulos. Como a soma das
medidas das amplitudes dos ngulos internos de qualquer tringulo 180, ento a soma das
medidas das amplitudes dos ngulos internos do hexgono 180 4 720 = = = = .
6.1. ( )180 7 2 180 5 900 = =
6.2. ( )180 9 2 180 7 1260 = =
7. ( )3600
180 2 3240 180 360 3240 180 3240 360 180 3600 20180
n n n n n n = = = + = = =
Assim, o polgono tem 20 lados.
8.( )180 8 2 180 6
135
8 8
= =
180 135 45 =
Assim, cada ngulo interno de um octgono regular tem 135 de amplitude e cada ngulo externo tem
45.
9.1. 180 150 30 =
9.2. Como a soma das amplitudes dos ngulos externos de um polgono 360, ento o nmero de lados
do polgono ser dado por360
12
30
= . Trata-se, portanto, de um dodecgono.
10. Se cada ngulo interno tem 120 de amplitude, ento cada ngulo externo ter 60, pois
180 120 60 = . O nmero de lados do polgono dado por360
660
= , tratando-se, por isso, de um
hexgono. O nmero de diagonais do hexgono dado por( )6 6 3 6 3
92 2
= = , por aplicao da
frmula do exerccio 8 da ficha n. 1deste tema.
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Ficha n.o3 Pgina 118 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Sim, o objetivo poder ter sido o referido pelo Andr. Os quadrilteros D, E e H so, de entre as
figuras apresentadas, os trapzios no paralelogramos, pois tm dois lados opostos paralelos, sendo
os dois restantes lados no paralelos.
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Ficha n.o3 Pgina 119
2.1. B, C, E, F, H, I, Je L 2.2. B, E, F, Ie L
2.3. C, He J 2.4. B, Ie L
2.5. F, Ie L 2.6. Ie L
2.7. G 2.8. J(ou H)
3.1. V. Para ser um trapzio, bastava que tivesse um par de lados paralelos, mas se tem os dois pares de
lados paralelos, continua a ser um trapzio.
3.2. F. Para ser um paralelogramo no basta ter dois lados paralelos; tem de ter os lados paralelos dois a
dois.
3.3. F. Por exemplo, o trapzio Hdo exerccio 2 desta ficha no um paralelogramo.
3.4. V.
3.5. V. Os quadrados tm os ngulos retos, por isso so retngulos.
3.6. F. Por exemplo, o retngulo Fdo exerccio 2 desta ficha no um quadrado, pois no tem os lados
todos iguais.
3.7. V. Por exemplo, o losango Bdo exerccio 2 desta ficha no um quadrado.
4.1. Para que [ABLM] seja um quadrado, sendo Le Mpontos do 2. quadrante, as coordenadas de Le de
Mtero de ser ( )8, 1 e ( )10, 3 respetivamente, como se pode verificar na figura abaixo.
4.2. O ponto Nter coordenadas ( )4, 2 , como se pode verificar na figura apresentada em 4.1.
4.3. O ponto Pter coordenadas ( )3, 2 , como se pode verificar na figura apresentada em 4.1..
4.4. O ponto Qpoder ter coordenadas( )1, 3 ,
( )2, 3 ou
( )4, 3 , por exemplo.
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Ficha n.o4 Pgina 120 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (C). Num paralelogramo, os ngulos internos adjacentes ao mesmo lado so suplementares,
isto , a soma das medidas das suas amplitudes 180.
2.
3.
Relatrio:
1.: Traar um segmento de reta [AB], com 5 cm de comprimento.
2.: Traar uma semirreta com origem em Ae que faa com ABi
um ngulo com 110 de amplitude.
3.: Marcar, na semirreta traada anteriormente, um ponto Dque diste 3,5 cm de A.
4.: Traar uma reta paralela a ABpor De uma reta paralela a ADpor B, que se intersetam num
ponto (C).
5.: Traar o polgono [ABCD].
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Ficha n.o4 Pgina 121
4. 3,8 2 1,8 cmEC AC AE = = =
Assim, AE EC , logo as diagonais do quadriltero no se bissetam, por isso no se trata de um
paralelogramo.
5. 123XYZ = , pois os ngulos opostos de um paralelogramo tm a mesma amplitude.
180 123 57T XY YZT= = = , uma vez que, num paralelogramo, os ngulos adjacentes ao mesmo
lado so suplementares, ou seja, as medidas das suas amplitudes somam 180.
6. Considerando que CBA x = , ento 27
BAD x = . Como a soma das medidas das amplitudes de dois
ngulos adjacentes ao mesmo lado 180, ento2
180
7
x x+ = .
2 7 2 1260 1260180 9 1260 140
7 7 7 7 9x x x x x x x + = + = = = =
Assim, 140CBA ADC= = e 180 140 40BAD DCB= = = .
7.
O ponto Ctem coordenadas ( )5, 1 .
A rea do paralelogramo [ABCD] igual soma das reas dos tringulos [ABC] e [ADC], ambos com
a mesma rea.
7 12 7
2A
= =
Assim, o paralelogramo [ABCD] tem 7 unidades quadradas.
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Ficha n.o5 Pgina 122 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (A).
2.1.
2.2. Papagaio (porque tem dois pares de lados consecutivos iguais).
2.3. Paralelogramo, trapzio, papagaio e losango
3.
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Ficha n.o5 Pgina 123
4.
5.1.
5.2.
5.3.
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Ficha n.o6 Pgina 124 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Losango [ABCD]
2 2 3,6 dm 7,2 dm 72 cmDB EB = = = =
240 72 1440 cm2 2AC DBA
= = =
Trapzio [FGHI]
( ) 213 7 8 20 8 80 cm2 2
A+
= = =
Papagaio [JLMN]
24 4 8 m2 2
NL MJA
= = =
2. Opo (A). O segmento de reta [BD] uma das diagonais do papagaio. Sendo BD x=
, ento6
16,22x
= .
6 16,216,2 3 16,2 5,4 cm
2 3x
x x x= = = =
3. Opo (B). A rea do losango 29 8 72
36 m2 2
= = . Se um quadrado equivalente a este losango,
ento tem a mesma rea. Assim, o lado do quadrado ter 6 m de comprimento, pois 36 6= .
4. 4AC = ;4
10 10 2 10 52 2
AC BD BD BD BD
= = = =
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Ficha n.o6 Pgina 125
5.1. O trapzio [ABCD] um trapzio issceles.
5.2. 5 cmCD AB = = ; ( )30 5 7 5 30 17 13 cmAD = + + = =
A rea do trapzio , ento, 213 7
4 10 4 40 cm2 2
AD BCBF
+ + = = =
5.3.13 7 6
3 cm2 2
AF ED
= = = =
Os tringulos [ABF] e [CDE] so retngulos (pois apresentam um ngulo reto) e escalenos (pois as
medidas dos comprimentos dos seus lados so todas diferentes).
5.4. O tringulo a que se refere o enunciado tem 20 cm de base, uma vez que 13 7 20+ = . Se a sua altura
4 cm, ento a rea 220 4 40 cm2
= ,o que mostra que este tringulo equivalente ao trapzio
[ABCD], pois apresentam a mesma rea.
5.5. Seja xo comprimento da diagonal maior do papagaio. Se este equivalente ao trapzio da figura,
ento apresenta a mesma rea. Assim,4
40 2 40 202x
x x= = = . Conclui-se, ento, que a
diagonal maior do papagaio tem 20 cm de comprimento.
6.1. F. A rea do trapzio calculada usando a frmula 2B b
h+
e no 2B b
h+
+ .
6.2. V.
6.3. V. Se o trapzio e o papagaio tm a mesma rea, ento2 2
D d B b h
+= , o que equivalente a ter
( )
2 2
B b hD d + = , que por sua vez equivalente a ter ( )D d B b h = + , ou seja,
( )D d h B b = + .
6.4. V. Se a rea do trapzio x unidades quadradas e as suas bases somam x unidades de
comprimento, ento a sua altura h tal que2x
h x = .
22 2
2 2 2x xh x
h x xh x h = = = =
6.5. F. Se o losango tem 225 cm de rea e uma das suas diagonais mede 5 cm, ento, representando a
outra diagonal por d, tem-se que5
25 5 50 10
2
dd d= = = . Assim, a outra diagonal tem 10 cm
de comprimento.
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Ficha n.o6 Pgina 126 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
7.1. As diagonais de um papagaio so sempre perpendiculares. Neste caso, as diagonais do papagaio
so os segmentos de reta [AC] e [BD]. Como r perpendicular a [AC] e Bpertence a r, ento o ponto
Dter de pertencer a r, para que [AC] e [BD] sejam perpendiculares.
7.2. Dtem coordenadas ( )2, 1 , como se pode verificar na figura abaixo.
7.3. A rea do losango 4 2
42
= unidades quadradas. Assim, a rea do papagaio [ABCE] ser 6
unidades quadradas, pois 4 2 6+ = . O ponto E ter, ento, coordenadas ( )2, 3 , pois assim o
papagaio ter uma diagonal com 2 unidades de comprimento e outra com 6 unidades, sendo,
portanto, a sua rea dada por2 6
6
2
= unidades quadradas.
8. Seja DC x= . Se a rea do trapzio 254 cm , ento:
10 60 6 246 54 54 30 3 54 3 24 8
2 2 3x x
x x x x + +
= = + = = = =
Assim, 8 cmDC = .
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Ficha n.o6 Pgina 127
9. Seja NP x= . Assim,3,6 7,56
7,56 1,8 7,56 4,22 1,8
xx x x= = = = .
10.1.4 120
30 24 m5 5
DC = = =
30 24 5418 m
3 3 3AB DC
CE + +
= = = =
A rea do trapzio , ento, 230 24 54
18 18 27 18 486 m2 2+
= = =
10.2. 25% de 2486 m equivale a 20,25 486 121,5 m =
O custo da plantao de tlipas ficar por 1215 , pois 121,5 10 1215 = .
Assim, no possvel encomendar o servio ao horto PlantAses, pois o custo superior ao dinheiro
disponibilizado pela cmara.
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Ficha n.o7 Pgina 128 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (D). Os dois tringulos referidos nesta opo so congruentes, uma vez que possvel
estabelecer entre os respetivos vrtices uma correspondncia de um para um de tal modo que pares
de vrtices correspondentes so equidistantes.
2.1.
Os dois quadrilteros so figuras isomtricas, uma vez que pares de pontos correspondentes esto
mesma distncia.
2.2. Qualquer reflexo uma isometria, pois dados dois pontos Ae B, e as respetivas imagens Ae Bpor
essa reflexo, os comprimentos dos segmentos de reta [AB] e [AB] so sempre iguais.
3. 1. par de tringulos
Os dois tringulos so iguais pelo critrio LLL de igualdade de tringulos, pois os seus lados
apresentam os mesmos comprimentos.
2. par de tringulos
Os dois tringulos so iguais pelo critrio LAL de igualdade de tringulos, pois apresentam um ngulo
com a mesma amplitude e dos lados adjacentes a esse ngulo com o mesmo comprimento.
3. par de tringulos
( )180 110 30 180 140 40 + = =
Os dois tringulos no so iguais, visto que o segundo tem um ngulo com 50 de amplitude, mas o
primeiro no tem nenhum ngulo com essa amplitude.
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Ficha n.o7 Pgina 129
4.1. Uma infinidade.
4.2. A medida do comprimento de um dos seus lados.
5. Os ngulos ECDe BCAtm a mesma amplitude, uma vez que so verticalmente opostos. Os ngulos
ABCe DECtm a mesma amplitude, j que so ngulos alternos internos, pois AB// ED. Alm disso,
EC CB= . Assim, os tringulos [CDE] e [ABC] so iguais pelo critrio ALA de igualdade de tringulos.
6. AC CB= . O lado [CM] comum aos dois tringulos. Como o ponto M o ponto mdio de [AB], ento
AM MB = . Assim, os tringulos [ACM] e [MCB] so iguais pelo critrio LLL de igualdade de
tringulos.
7. Os tringulos [ABC] e [CDB] tm em comum o lado [BC] e o ngulo DBC. Alm disso, o comprimentodo lado [AC] do tringulo [ABC] igual ao do lado [CD] do tringulo [CDB]. No entanto, os tringulos
no so iguais, uma vez que apesar de terem dois lados iguais e um ngulo de igual amplitude, este
no o ngulo formado pelos referidos lados, no podendo ser aplicado o critrio LAL de igualdade
de tringulos.
8. Considere-se o paralelogramo [ABCD] e a sua diagonal [AC].
Os lados opostos de qualquer paralelogramo so iguais, logo AB DC= e BC AD = . O lado [AC]
comum aos dois tringulos, [ABC] e [ACD]. Assim, estes dois tringulos so iguais pelo critrio LLL de
igualdade de tringulos.
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Ficha n.o8 Pgina 130 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Os pares de figuras semelhantes so I, III e V.
2. Opo (B). Os quadrilteros Ae Bno so semelhantes, pois de Apara B, uma das dimenses do
paralelogramo mantm-se constante e a outra duplica o seu comprimento.
3.1. F. Por exemplo, as figuras apresentadas em I no exerccio 1 desta ficha tm a mesma forma, mas
no so iguais, pois tm dimenses distintas.
3.2. F. Por exemplo, os retngulos apresentados na situao IV do exerccio 1 desta ficha tm o mesmo
nmero de lados, contudo no so semelhantes.
3.3. V. Se duas figuras so isomtricas, ento so semelhantes com razo de semelhana igual a 1.
3.4. V. Duas figuras so semelhantes se tiverem a mesma forma, logo dois quadrados so sempresemelhantes.
3.5. V. Por exemplo, os tringulos da situao II do exerccio 1desta ficha no so semelhantes, pois os
comprimentos dos seus lados no so diretamente proporcionais.
3.6. V. Pelo mesmo raciocnio apresentado em 3.4., dois crculos so sempre semelhantes.
3.7. V. Para que um polgono sofra uma ampliao, a medida do comprimento dos seus lados ter de ser
multiplicada por um nmero superior a 1.
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Ficha n.o8 Pgina 131
4.
5.1.AD DC AC
EH HG EG = = , porque
15 54
3,75 1,25= = .
5.2. Os papagaios so semelhantes, porque as medidas dos comprimentos dos seus lados sodiretamente proporcionais.
5.3. A razo de semelhana da reduo 14
3,75 115 4
HG
DC
= =
.
6.1.2,4 2,4 10 24
46 10 6 6
xx x x
= = = =
Logo, 4 cmx = .
6.2.9,5 9,5 4 38
54 7,6 7,6 7,6x
x x x
= = = =
Logo, 5 cmx = .
7. Se o permetro de um crculo 4 cm , ento o seu raio 2 cm, pois 2 2 2 4P r= = = . Assim, o
raio de um crculo construdo com razo de semelhana23
ser2 4
2 cm3 3
= .
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Ficha n.o9 Pgina 132 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (A). Esta igualdade vem da aplicao do Teorema de Tales.
2. Opo (B). Pelo Teorema de Tales, sabe-se queAC AB
AE AD
= , ou seja,
3 4 9 412
9 3AD AD
AD
= = = .
Assim, 12 4 8 cmBD= = .
3. Diviso de [LM] em trs partes iguais
1. passo:traar uma semirreta com origem em L, que no contenha [LM].
2. passo: marcar na semirreta traada no passo anterior trs pontos, de tal modo que pontos
consecutivos sejam equidistantes (contando com L).3. passo: unir P(o ltimo dos pontos a que se refere o passo anterior) a M.
4. passo: traar segmentos de reta paralelos ao traado no 3. passo, passando pelos pontos
referidos no 2, passo.
Diviso de [PQ] em cinco partes iguaisO procedimento anlogo ao usado para dividir [LM] em trs partes iguais.
4. Se r // AC, ento, pelo Teorema de Tales,AB CB
MB DB = . Como M o ponto mdio de [AB], ento
2AB
MB= , logo tambm 2
CB
DB= , isto , 2CB DB = . Assim, conclui-se que BD DC= , ou seja, D o
ponto mdio de [BC].
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133
Ficha n.o9 Pgina 133
5. Procedimento:
1. passo: traar uma semirreta com origem
em A, que no contenha [AB].
2. passo: marcar na semirreta traada no
passo anterior sete pontos, de tal modo que
pontos consecutivos sejam equidistantes
(contando com A). Seja Po quinto desses pontos e Qo stimo.
3. passo:traar [PB].
4. passo:traar um segmento de reta paralelo a [PB] por Q, que interseta ABem C.
6. Se
2
5
AC
BC = , ento tem que se dividir o
segmento de reta [AB] em sete partes
iguais.
7.1. 4,8 3,2 8 cmAE = + =
AE BE
CE DE = , logo
8 8 3,66
4,8 3,6 4,8BE
BE BE
= = =
Assim, 6 3,6 2,4 cmx BD= = =
7.2.EC CD
EA AB = , logo
8 6 9 812
9 6EA EA
EA
= = =
Assim, 12 8 4 cmx AC= = =
7.3.EB AB
ED CD = , logo
16 16 712,4 dm
7 9 9x
x x
= =
7.4. EB AB ED CD
= , logo 6,4 5 2,8 5 2,2 m2,8 6,4
x xx
= =
8. Como h duas retas paralelas, possvel aplicar o Teorema de Tales.
Assim,110 3050
x
x
+= , sendo x AB= . Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos
extremos, logo:
( )1500
50 30 110 1500 50 110 50 110 1500 60 1500 2560
x x x x x x x x x + = + = = = = =
Conclui-se, ento, que o Joo tem de andar 25 m.
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Ficha n.o10 Pgina 134 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1.1.16 4
44 1
= =
Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LAL de semelhana de tringulos, uma vez
que apresentam dois lados com medidas diretamente proporcionais e o ngulo por eles formado comigual amplitude (90).
1.2.18 16 28
3,25,625 5 8,75
= = =
Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LLL de semelhana de tringulos, pois as
medidas dos trs lados de um so diretamente proporcionais s medidas dos lados do outro.
1.3. Cada um dos lados iguais do tringulo maior mede 6 cm, pois19,2 7,2
6
2
= .
Cada um dos lados iguais do tringulo menor mede 5 cm, pois16 6
52
= .
7,2 61,2
6 5= =
Assim, os dois tringulos so semelhantes pelo critrio LLL de semelhana de tringulos, pois as
medidas dos trs lados de um so diretamente proporcionais s medidas dos trs lados do outro.
1.4. ( )180 90 42 48 + =
Os dois tringulos no so semelhantes, uma vez que o tringulo mais pequeno tem um ngulo com58 de amplitude e o maior no tem nenhum ngulo com esta amplitude.
2. Opo (D).
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Ficha n.o10 Pgina 135
3. O ngulo CABdo tringulo [ABC] igual ao ngulo CDEdo tringulo [CDE]. Alm disso, o ngulo
BCA do tringulo [ABC] igual ao ngulo ECD do tringulo [CDE]. Assim, os dois tringulos so
semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos. A razo de semelhana da ampliao que
transforma o tringulo [CDE] no tringulo [ABC] 85
, sendo58
a razo de semelhana da
correspondente reduo. Como os tringulos so semelhantes, ento os comprimentos dos seus
lados so diretamente proporcionais.
Assim,BC AB AC
CE DE CD = = . O valor de CE, ento 6,25 cm, uma vez que
10 56,25
8CE
= = .
4. Opo (A). ( )180 95 47 38 + = , logo os tringulos no tm os mesmos ngulos internos e, por
isso, no so semelhantes.
5.1. O ngulo DCB comum aos dois tringulos. Alm disso, os ngulos CBDe CAEso iguais, uma vez
que AE// BD. Assim, os tringulos [ACE] e [BCD] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de
tringulos.
5.2. A razo de semelhana da ampliao 8,4 5,6 14 140 5
8,4 8,4 84 3+
= = = .
5.3.5 30
6 10 cm
3 3
x = = =
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Ficha n.o10 Pgina 136 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
6. Os tringulos [DCE] e [CBA] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos
( DCE BCA= , pois so ngulos verticalmente opostos, e EDC ABC= , pois so ngulos alternos
internos, em virtude de ABe DEserem retas paralelas).
Assim,10 8 8 25
2025 10
AB AB AB
= = =
Como 20 m superior a 14 m, conclui-se que no possvel construir a referida ponte.
7. No concordo com nenhuma das respostas dadas pela Rita. Na questo 1, a resposta deveria ser:
o critrio AA, pois os dois tringulos a que se refere a questo tm um ngulo em comum (o ngulo
CED) e DCE BAE= pelo facto de CD ser paralela a AB. Na questo 2, a resposta deveria ser
120 4080
x
x
+
= , pois, segundo o Teorema de Tales,AB AE
CD CE = e 40AE x= + .
8. 2,3 3,2 5,5 mPT = + = e 3 4 7 mQT = + =
5,51,71875
3,2 = e
71,75
4 =
Se [PQ] e [RS] fossem paralelos, ento, pelo Teorema de Tales, ter-se-ia que verificar a igualdade
PT QT
RT ST = , contudo esta no se verifica, pelos clculos apresentados acima. Assim, conclui-se que
[PQ] e [RS] no so paralelos.
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Ficha n.o10 Pgina 137
9.1. Os tringulos [ABC] e [EDC] so semelhantes pelo critrio AA, uma vez que partilham o ngulo BCA
e, alm disso, EDC ABC= .
9.2. Se a razo de semelhana que transforma o tringulo [ABC] no tringulo [EDC] 38
, ento a razo
da semelhana que transforma [EDC] em [ABC] o seu inverso, ou seja,83
. Assim,8 32
43 3
AB = = .
O comprimento da circunferncia ser, ento,32 32
33,5 cm3 3
d
= = .
10. Se a pirmide quadrangular regular, ento a sua base quadrada. Sendo 231,36 cm a rea da
base, ento a medida do lado da base 5,6 cm, pois 31,36 5,6= .
Na figura ao lado, A o vrtice da pirmide original, Do centro da sua base, Eo ponto mdio de umaaresta da sua base, B o centro da base da pirmide mais pequena que resultou do corte na
pirmide maior e C o ponto mdio de uma aresta da base desta pirmide mais pequena. Os
tringulos [ADE] e [ABC] so semelhantes pelo critrio AA, pois partilham o ngulo DAE e, alm
disso, 90CBA EDA= = . Segundo os dados do enunciado, 6 cmAB = , 10 cmAD = e
5,62,8 cm
2DE = = . Como
AD DE
AB BC = , ento
10 2,8 2,8 61,68
6 10BC BC
BC
= = = . Assim, a altura
da pirmide mais pequena mede 6cm e o seu lado da base 3,36 cm, pois 1,68 2 3,36 = .
11. Os dois tringulos representados na figura so semelhantes pelo critrio AA (partilham um ngulo de
vrtice Fe ambos tm um ngulo reto).
Assim, representando por x a altura da torre,60 48 108 108 40
9040 48 40 48 48x x
x x+
= = = = .
Conclui-se, ento, que a torre tem 90 m de altura.
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Ficha n.o11 Pgina 138 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. A opo correta a (A), uma vez que2
'5
OC OC = .
2.1. F. A ampliao que transforma Cem Dtem razo 2.
2.2. V. Trata-se da homotetia que transforma Dem B.
2.3. V. So todas semelhantes, uma vez que resultam umas das outras por homotetias de centro O.
2.4. V. As figuras Ae D, para alm de semelhantes, tm as mesmas dimenses, logo so isomtricas.
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Ficha n.o11 Pgina 139
3.
4.
5.1. 5.3.
A rea do tringulo [DEF] dada por
8 28
2
= unidades quadradas.
5.2. A rea do trapzio [ABBA] dada por4 2 6
1 1 32 2+
= = unidades quadradas.
A rea do tringulo [DEF] dada por8 2
82
= unidades quadradas.
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Ficha n.o12 Pgina 140 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1.1. A opo correta a (B), visto que a razo entre os permetros de duas figuras semelhantes igual
respetiva razo de semelhana.
1.2. A opo correta a (C), uma vez que a razo das reas de duas figuras semelhantes igual aoquadrado da respetiva razo de semelhana.
2.1. A razo da semelhana que transforma o quadriltero [EFGH] no quadriltero [IJKL] 32
, pois
32
OL OH = . Assim, o permetro do quadriltero [IJKL] 3 25,2
8,4 12,6 cm2 2
= = .
2.2. A razo da semelhana que transforma o quadriltero [EFGH] no quadriltero [ABCD] 12
, pois
12
OD OH = . Assim, a rea do quadriltero [ABCD] 2
21 16,8 6,8 1,7 cm2 4
= =
.
3. O permetro do polgono B 5 78
15,6 19,5 cm4 4
= = . A rea do polgono B
225 25 45018 18 28,125 cm
4 16 16
= = =
.
4.1. O permetro de Y
3 60
20 7,5 dm8 8 = =
.
4.2. Se a razo da semelhana que transforma X em Y 38
, ento a razo da semelhana que
transforma Yem X83
. A rea de X, ento,2
28 64 1209,618,9 18,9 134,4 dm3 9 9
= = =
.
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Ficha n.o12 Pgina 141
5.1. Se 6,25 a razo entre as reas de A e de B, ento A uma ampliao de B com razo
56,25 2,5
2= = . Assim, a razo da semelhana que transforma Aem Bser o inverso desta, isto ,
25
, pois trata-se de uma reduo.
5.2. A altura da figura B2
52 20,8 mm5
= .
6. Se 2OF OA= , ento o pentgono [FGHIJ] a imagem do pentgono [ABCDE] por uma homotetia de
razo 2. Assim, a rea do pentgono [FGHIJ] ser 2 225,6 2 25,6 4 102,4 cm = = . Alm disso,
2 2 4 8 cmFG AB = = = , logo a rea do quadrado [FGKL] 28 8 64 cm = . Assim, a rea do
hexgono [FJIHGKL] dada por 2102,4 64 38,4 cm = .
7. Se o tringulo [CPQ] equivalente ao trapzio [ABQP], ento tm a mesma rea, logo o tringulo
[ABC] tem o dobro da rea do tringulo [CPQ]. Assim, a razo entre a rea do tringulo [ABC] e a do
tringulo [CPQ] 2, logo a razo da semelhana que transforma o tringulo [CPQ] no tringulo [ABC]
2 , sendo1
2a razo da reduo que transforma o segundo no primeiro. Assim,
1 1 66 4,24 cm
2 2 2PQ AB PQ PQ PQ = = = .
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Ficha n.o13 Pgina 142 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1.1. A opo correta a (A), pois5
2,52
= .
1.2. A opo correta a (B), pois 2 0,54
= .
2. A opo correta a (C), pois [EC] e [CB] so, respetivamente, um cateto e a hipotenusa de um
tringulo retngulo issceles (o tringulo [BEC]).
3.1. 2 2180 2 3 5b = =
3.2. ( )22 2 2 4 4 22 3 5 2 3 5b = =
3.3. 2 4 4 2 5 4 22 2 3 5 2 2 3 5b = =
3.4. Seja qual for o nmero natural a, na decomposio em fatores primos do nmero 2a , o nmero primo
2, se constar dessa decomposio, tem expoente par, logo 2a no poder ser igual a 22b , j que na
decomposio de 22b em fatores primos, o nmero primo 2 tem expoente mpar (5).
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Ficha n.o13 Pgina 143
4. Etapa 1:Sejam quais forem os nmeros naturais ae b, nas decomposies em fatores primos dos
nmeros 2a e 2b figuram nmeros primos com expoentes pares, pois os expoentes das
decomposies em fatores primos de ae de bso multiplicados por 2.
Etapa 2:Na decomposio em fatores primos de 2b , o fator 2 ter expoente par (eventualmente
expoente nulo se o fator 2 no fizer parte da decomposio). Ao multiplicar 2b por 2, o expoente do
fator 2 fica mpar, pois ao multiplicar duas potncias de base 2, mantm-se a base e somam-se os
expoentes. Ora, a soma de um nmero par com um nmero mpar um nmero mpar.
Etapa 3:Assim, se na decomposio em fatores primos de 2a o fator 2 tem expoente par e em 22b
esse expoente mpar, ento 2 22a b , concluindo-se ento o pretendido.
5.1. [ ] [ ]AD BC , logo 90CDA ADC= = . Alm disso, CBA ACB= , pois num tringulo issceles, a lados
iguais opem-se ngulos iguais. Consequentemente, BAD DAC= , pois se dois tringulos tm, de um
para o outro, dois ngulos iguais, o terceiro ngulo ser tambm igual. Para alm disso, o lado [ AD]
comum aos tringulos [ABD] e [ADC], logo estes tringulos so iguais pelo critrio ALA de igualdade
de tringulos.
180 90 452
CBA ACB
= = = . Os dois referidos tringulos so retngulos, porque apresentam um
ngulo reto e so issceles, pois ( )180 90 45 45DAC BAD= = + = , logo tm dois ngulos com a
mesma amplitude (45) e, consequentemente, tm dois lados iguais, logo so issceles.
5.2. Os trs tringulos so semelhantes, pois todos apresentam um ngulo reto e dois ngulos com 45 de
amplitude, logo aplica-se o critrio AA de semelhana de tringulos.
5.3. Como os tringulos [ABD] e [ABC] so semelhantes, entoAB BD
BC AB = . Se BC a= ,
6 26
a
a= , o que
equivalente a ter 2 72a = (pois2
2 26 6 36 2 36 722 2a a
a a a = = = = ). A decomposio
dente nmero em fatores primos 3 2
2 3
, sendo 3 o expoente do fator 2. Conclui-se ento que anopode ser um nmero natural. Assim, os segmentos de reta [BC] e [AB] so incomensurveis.
6. No tringulo [ABC], [BC] e [AB] so segmentos de reta comensurveis, pois54
CB AB = , sendo54
um
nmero racional. Se um tringulo [ABC] semelhante a [ABC] com razo de semelhana r, ento
' 'A B r AB = e ' 'C B rCB = . Como54
CB AB = , ento54
rCB r AB = , pelo princpio da multiplicao
das equaes, ou seja,5
' ' ' '4
C B A B = e, portanto, [CB] e [AB] so segmentos de reta
comensurveis. Analogamente se procederia com o outro cateto.
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Teste n.o1 Pgina 144 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (C). Esta linha a nica, de entre as opes, em que os nicos pontos comuns a dois lados
so vrtices.
2. Opo (D). Esta afirmao falsa, uma vez que o hexgono regular tem 6 lados e 9 diagonais e 9no o dobro de 6.
3. Como [AB] // [DC], se [BC] tambm fosse paralelo a [AD], ento [ABDC] seria um paralelogramo.
Contudo, num paralelogramo os ngulos internos consecutivos so suplementares, o que no se
verifica neste caso, pois 53 129 182 180+ = . Conclui-se, ento, que [BC] e [AD] no so
paralelos.
4. Se todas as peas representassem polgonos regulares, teramos um quadrado, um hexgono regular
e um octgono regular, cujos ngulos internos tm 90, 120 e 135 de amplitude, respetivamente,
pois 360 :4 90= ,( )180 6 2
1206
= e
( )180 8 2135
8
= . Ora, 90 120 135 345 360+ + = ,
logo as trs peas no se conseguiriam juntar como na figura. Assim, nem todas representam
polgonos regulares, ou seja, pelo menos uma das peas no representa um polgono regular.
5. A afirmao falsa. H losangos que tm os lados todos iguais e no so quadrados; basta que no
tenham os ngulos retos.
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Teste n.o1 Pgina 145
6.1. Se [EBFC] um paralelogramo, ento [BF] // [EC], logo [BF] // [AC] e, portanto, [ABFC] um trapzio,
j que tem dois lados paralelos. Alm disso, lados opostos de um paralelogramo so iguais, logo
EC BF = . As diagonais do paralelogramo [ABCD] bissetam-se, logo AE EC = . Assim sendo,
2 2AC EC BF = = , de onde se conclui que uma das bases do trapzio tem o dobro do comprimento
da outra.
6.2. AE EC = , logo os tringulos [ABE] e [BCE] tm bases com o mesmo comprimento. A altura destes
dois tringulos coincide pois , em ambos, igual distncia de B reta AC. Assim, se os dois
tringulos tm a mesma altura e bases com o mesmo comprimento, tm a mesma rea, j que a rea
de um tringulo dada por2
base altura. Conclui-se, portanto, que so tringulos equivalentes.
6.3. A rea de [ABFC] o triplo da rea do tringulo [ABE], pois os tringulos [ABE], [EBC] e [CBF] so
equivalentes. Assim, a rea do tringulo [ABE] 26 cm , pois18
63
= . A rea do paralelogramo
[ABCD] o qudruplo da do tringulo [ABE], ou seja, 24 6 24 cm = .
7.1.
Relatrio da construo:
1.: Traar [AC].
2.: Traar a mediatriz de [AC], ou seja, uma reta perpendicular a [AC] e que passa no seu ponto
mdio. A mediatriz de [AC] interseta rem Be [AC] em M.
3.: Marcar D, na mediatriz de [AC], tal que MB MD= .
4.: Traar o losango [ABCD].
7.2. As propriedades do losango em que se baseou a construo foram:
As diagonais de um losango so perpendiculares.
As diagonais de um losango (em geral, de um paralelogramo) bissetam-se.
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Teste n.o1 Pgina 146 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
8.3
8 6 cm4
BD = =
A rea do papagaio [ABCD] 28 6
24 cm2
= . A rea do trapzio [EFGH] ser, ento,
21 1 31 24 1 24 24 36 cm2 2 2
= + = =
.
Assim,( )11,6 8, 4 20 36
36 36 10 36 3,62 2 10
h hh h h
+ = = = = = , ou seja, a altura do
trapzio mede 3,6 cm.
9.1. Se DF// EBe DE// FB, ento [DEBF] um paralelogramo. Num paralelogramo os lados opostos so
iguais, logo DF EB = e DE FB = .
9.2. FDC EAD= , pois DF// AE, e ADE DCF= , pois DE// CB. Alm disso, AD DC= , pois D o ponto
mdio de [AC]. Assim, os tringulos [ADE] e [DCF] so iguais pelo critrio ALA de igualdade de
tringulos.
9.3. Sendo os tringulos [ADE] e [DCF] iguais, ento DF AE = , pois em tringulos iguais, a ngulos
iguais opem-se lados iguais. Como DF EB = e DF AE = , ento tambm AE EB = , logo E o
ponto mdio de [AB]. Analogamente se mostraria que F o ponto mdio de [BC].
10.1.
10.2.
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Teste n.o1 Pgina 147
11.1.32
11.2. 12
11.3. 5
11.4.14
12.1. Os tringulos [ABC] e [EBD] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos, pois
ambos tm um ngulo reto e o ngulo EBD comum aos dois tringulos.
12.2. Se 3AB EB = , ento a razo da semelhana que transforma o tringulo [EBD] no tringulo [ABC] 3.
Assim, a rea do tringulo [EBD] 2
21 150,4 50,4 5,6 m3 9
= =
.
13. Opo (C).
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Teste n.o2 Pgina 148 5. FIGURAS GEOMTRICAS. SEMELHANA
1. Opo (A). Segundo este termo geral, o segundo termo da sequncia 2 4 6+ = e o terceiro termo
3 4 7+ = . A diferena entre os terceiro e segundo termos um cubo perfeito, pois 37 6 1 1 = = .
2. Opo (D).21 1
0,(1)3 9
= =
. Assim,
213
representa uma dzima infinita peridica de perodo 1.
3.1. O lado do pedao de papel mede 14 cm, pois 196 14= .
145,6
2,5 = e
144
3,5 = , logo as diagonais do losango medem 4 cm e 5,6 cm.
3.2. A rea do losango 211,2 cm , pois5,6 4
11,2
2
= .
4. ( )12
g x x b = +
Como ( )2, 3 pertence ao grfico de g, ento1
3 2 3 1 3 1 42
b b b b = + = + + = = , logo
( )1
42
g x x= + .
( ) ( ) ( )1
2 2 4 1 4 5 22
g f = + = + = =
( ) ( )1 1 8 7
1 1 4 12 2 2 2
g f= + = + =
( ) ( )1 7 8 1
7 7 4 72 2 2 2
g f= + = + =
( ) ( )1
4 4 4 2 4 2 42
g f= + = + = =
Assim, o conjunto-soluo da equao ( ) ( )f x g x = { }2, 4S = .
5. Seja xo nmero de bolas vermelhas existentes no saco. Ento, o nmero de bolas azuis ser 28 x .
Assim, ( )1 1 1 28 1 2 84 3 72
28 12 12 2 84 3 723 2 3 2 2 6 6 6 6
x x x x x x x x + = + = + = + =
72 84 12 12x x x = = =
Assim, existem no saco 12 bolas vermelhas e 16 azuis (pois 28 12 16 = ).
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Teste n.o2 Pgina 149
6.1. Como [ABPC] sempre um quadriltero simples, ento Pnunca coincide com Cnem poder estar
localizado esquerda de C. Alm disso, como r // s, ento [CP] // [AB], logo [ABPC] tem dois lados
opostos paralelos sendo, portanto, um trapzio.
6.2. a) ( ) ( )5 3 15 3 3 15
2 2 2 2
x xf x x
+ += = = +
b) f uma funo afim, pois a soma de uma funo linear (de coeficiente da varivel32
) com uma
funo constante (igual a152
). O coeficiente da varivel de f32
e o termo independente 152
.
c) ( )3 15 9 15 24
3 3 122 2 2 2 2f = + = + = =
( )3 15 12 15 27
4 4 13,52 2 2 2 2
f = + = + = =
( )3 15 15 15 30
5 5 152 2 2 2 2
f = + = + = =
7. Os tringulos [ABD] e [CBE] so semelhantes pelo critrio AA de semelhana de tringulos. Assim,
7 14 4 72 cm
4 14AD AB
CE CE CE CB CE
= = = = .
A rea do tringulo [CBE] 24 2 4 cm2
= . A rea do trapzio [ACED] :
( ) 27 2 10 9 10 45 cm2 2
+ = =
Assim, a razo entre a rea do trapzio [ACED] e a do tringulo [CBE] 45
11,254
= .