Cap 15 Respostas Gujarati - 4º Edição (Em Português )

8/18/2019 Cap 15 Respostas Gujarati - 4º Edição (Em Português )

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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati

CAPÍTULO 15MODELOS DE ESCOLHA QUALITATIVA

15.1 Os resultados da regressão baseados na exclusão das 12 observações são:

1ˆ 1, 246 0,120 iii i

X Y

w w= +

t = (–10,332) (17,454)

E os resultados baseados na manutenção das 12 observações depois de feitos osajustes sugeridos são:

1ˆ 0,635 0,0820 iii i

X Y

w w= − +

t = (–12,576) (26,305)

A diferença entre os dois modelos é perceptível. Não esqueça que a regressão revisadabaseia-se nas 40 observações, enquanto a original baseia-se somente em 28. Talvezos resultados do modelo revisado sejam preferíveis porque incluem todas asobservações. Repare também na mudança das razões t estimadas.

15.2 Esses dados produzirão um ajuste perfeito, pois todos os valores de X acima de16 correspondem a Y = 1 e todos aqueles inferiores a 16 correspondem a Y = 0.Portanto, uma infinidade de curvas se ajustaria a esses dados. O método de máximaverossimilhança pode falhar em situações assim, e, por isso, as estimativas MV

fornecidas no enunciado são de valor questionável.

15.3 Reportando-nos ao modelo original, verificamos que os resultados são de ummodelo de probabilidade linear e que a unidade para renda disponível X 1 é milhares dedólares.

(a) Dentre os regressores, somente as variáveis X 1, X 13 e X 16 são estatisticamentesignificativas no nível de 5% e têm os sinais corretos. O valor baixo de R² não devepreocupar, pois essa medida não deve ser adequada ao modelo em questão.

(b) Como esse coeficiente não é estatisticamente significativo, não podemos atribuirgrande significado a essa variável.

(c) Os termos ao quadrado são utilizados para contornar as taxas de variação dessasvariáveis. Os sinais não têm sentido prático, uma vez que nenhum dos doiscoeficientes é estatisticamente significativo.

(d) A probabilidade é 0,6431.

(e) A probabilidade é 0,6936.


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15.4 Como a medida convencional do R² não é especialmente útil em modelos comregressando dicotômico, não há muito sentido em testar sua significância como o testeF visto no Capítulo 8. Medidas alternativas da qualidade do ajustamento são abordadasno texto e nas referências (veja também o Exercício 15.13).

15.5 As probabilidades estimadas nos vários níveis de renda são: 0,2458; 0,2761;0,3086; 0,3611; 0,3981; 0,4950; 0,5923; 0,6828; 0,7614 e 0,8254. Representando-as contra a renda, obteremos quase uma linha reta com inclinação crescente,conforme o gráfico abaixo.

VERTICAL = PROB HORIZONTAL = RENDA

15.6 Recordemos que 1 2i i I X β β = + . Portanto, a variável normal padronizada é

1i x xi i

x x x

X I X

μ μ

σ σ σ

⎛ ⎞−= = − + ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Daí, 1 x

x

μ β

σ = − e 2

1

x

β σ

= .

15.7 (a) O logaritmo das chances de uma taxa de homicídios mais alta estápositivamente relacionado ao número de habitantes e à taxa de crescimentopopulacional, mas negativamente relacionado à taxa de alfabetização. O coeficiente de0,0014 ligado a P i deve ser interpretado como segue: tome seu antilogaritmo,subtraia-lhe 1 e multiplique o resultado por 100. Assim, antilog(0,0014) = 1,0014,subtraindo-lhe 1 e multiplicando o resultado por 100, temos 0,14%, o que quer dizerque se o número de habitantes aumentar uma unidade (no caso, mil), as chances deuma taxa de homicídios mais alta crescem 0,14%. Os outros coeficientes devem serinterpretados de forma análoga.

(b) Individualmente, os coeficientes de C e R são estatisticamente significativos nonível de 5% ou melhor.


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(c) Seguindo as etapas dadas em (a), o efeito do aumento de uma unidade na taxa dealfabetização é uma redução de cerca de 49,93% nas chances de uma taxa dehomicídios mais alta.

(d) As chances subirão 5,77%.

[N] Nota: Se tomarmos os valores nominais dos coeficientes dos regressores, teremosa variação percentual aproximada das chances de uma taxa de homicídios mais alta,mas, para sermos precisos, temos de seguir o procedimento descrito em (a).

15.8 Os coeficientes estimados diferem pouco. A diferença principal está nos erros-padrão estimados. A Equação (15.7.3) corrige a heterocedasticidade, ao passo que a(15.7.3) não o faz.

15.9 (a) Repare que nesse modelo o logaritmo da razão das chances é uma função dologaritmo da renda, o que faz dele um duplo log. Daí, se a renda aumenta 1%, emmédia, o log das chances favoráveis a possuir um carro cresce cerca de 34,8%.

(b) Tirando o antilogaritmo da equação estimada, obtemos( )

0,34750,06251

i

i

P X

P=

−, em

que X é a renda. Note que tirando o logaritmo dessa expressão voltamos à equaçãodada no enunciado.

A partir da equação anterior, tiramos a expressão para a probabilidade de possuir um

carro:

0,3475

0,3475

0,0625

1 0, 0625i

X P

X =

+.

(c) A probabilidade é

0,3475

0,3475

0,0625(20000)0,66

1 0,0625(20000)i

P = ≈+

.

Ou seja, é de aproximadamente 66%. Seguindo esse mesmo procedimento, podemosverificar que para o nível de renda de 25.000, essa probabilidade é de cerca de 68%.De acordo com a nota de rodapé número 19 do livro-texto, também verificamos que avariação da probabilidade do nível de renda de 20.000 para o de 25.000 é bempequena.

(d) Vemos pelos resultados que os coeficientes são individualmente muitosignificativos, assim como também o é o valor χ ², medida da qualidade deajustamento.

15.10 Conforme o Apêndice A, para uma distribuição Bernoulli o valor médio é P, e avariância, P(1-P).

15.11 (a) Embora os resultados não sejam uniformes, os coeficientes logit, emalgumas situações, são, em valores absolutos, mais baixos para os alunos negros doque para todos os alunos, mas há casos em que a diferença pode não ser


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estatisticamente significativa. As variáveis, no entanto, têm os sinais esperados namaioria das vezes.

(b) Na maioria dos casos, sim.

(c) Como vemos, tomando todos os alunos, os coeficientes são todos estatisticamentemuito significativos, o que não é o caso para os estudantes negros. A significânciageral do modelo pode ser julgada pelos valores χ ², muito significativos para todos,inclusive os negros. Esse valor mede a qualidade de ajustamento do modelocomparando os valores previstos por ele com os valores reais. Veja o Exercício 15.13sobre esse tema.

15.12 (a) Para tornar homocedástico o termo de erro, o peso deve ser o inverso do

erro-padrão de termo de distúrbio estocástico ui . Nesse caso, o peso é(1 )

i i

i

i i

N f w

P P=

−.

(b) Os pesos e os dados transformados são os seguintes:

ProbabilidadePeso(w i )

I * =I w i

X i * =X i w i

0,20 0,075 -11,157 79,6900,24 0,086 -8,113 92,7170,30 0,114 -4,571 87,8960,35 0,140 -2,708 92,6360,45 0,415 -0,289 36,1810,51 1,991 0,015 10,0440,60 0,243 1,029 102,8560,66 0,168 2,388 179,1240,75 0,102 6,557 342,5090,80 0,095 8,820 420,000

(c) Os resultados pelos mínimos quadrados ponderados são:

* *1,086 0,049

i i I X = − +

ep = (0,031) (0,001)

Vê-se que os resultados pelos mínimos quadrados não-ponderados e ponderados nãosão muito diferentes, embora para estes últimos os erros-padrão sejam relativamentemenores, como era de se esperar.

15.13 Nesse caso, o teste estatístico χ ² é 2,3449, com valor p de 0,97. Portanto, nãorejeitamos a hipótese nula de que não há diferença estatística entre os valoresestimados da probabilidade e os reais.

15.14 Seguem os resultados do modelo logit ponderado que expressam aprobabilidade de morte como função do logaritmo da dosagem.


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î L = –4,837 + 7,058ln X i

ep = (0,434) (0,599)t = (–11,141) (11,782); χ ² = 1,4069.

Esses resultados revelam que os coeficientes estimados são muito significativos. Ovalor p do χ ² observado é 0,7039, indicando que não há diferença estatística entre osvalores da probabilidade estimados e os reais. Ou seja, o modelo ajustado é bastantebom.

15.15 (a) Seguem os resultados pelo MPL, com Y = 1 se o candidato for admitido; senão, Y = 0.

îY = –2,867 + 0,003Qi + 0,002V i

t = (–3,442) (2,976) (3,441)

(b) Embora os resultados estatísticos pareçam aceitáveis, o MPL não é um modelosatisfatório devido aos problemas analisados no texto, tais como ausência denormalidade do termo de erro, heterocedasticidade etc.

15.16 (a) O modelo logit estimado é:

î

Y = –2,085 + 0,136 X i t = (–143,597) (151,621).

(b) O modelo probit estimado é:

î I = 3,722 + 0,083 X i t =(316,543) (115,524).

(c) O valor logit estimado correspondente ao desconto de 17 centavos é 1,2548, doqual tiramos que a probabilidade estimada é de aproximadamente 56%, quase igual àdo modelo probit.

(d) O que precisamos achar é0,70

ln 2,085 0,1361 0,70

i X ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠. Resolvendo essa

expressão, teremos o valor de X, que é 21,56 centavos.

15.17 (a) Como o coeficiente do estado civil é estatisticamente insignificante paraambos os períodos, não há muito a dizer sobre a importância dessa variável, mas seusinal é positivo tanto em 1977 quanto em 1989, e isso faz sentido sob o aspectoeconômico.

(b) O coeficiente negativo estimado para a variável minoria está provavelmenterefletindo algum efeito da variável renda, e indica que as minorias têm rendas maisbaixas e menor necessidade de contas bancárias.


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(c) Essa variável também reflete o efeito da variável renda, indicando que à medidaque cresce o número de filhos, é possível que a família disponha de menos dinheiropara depositar em contas correntes ou de poupança.

(d) A estatística χ ² é uma medida da qualidade de ajustamento do modelo que, nesse

caso, é boa, pois a previsão de quem teria ou não uma conta corrente foi feita comacerto de 91% em 1977 e 90% em 1989.

15.18 (a) Os resultados do MPL ponderado são:

ˆi

Y = 0,184 + 0,874 X i t = 1,373) (5,042).

(b) Dado que X = 48, o verdadeiro E (Y | X =0,48) = 0,440, e o estimado E (Y | X ) =0,603.

(c) Com os dados, podemos confirmar assim a resposta dos autores:

P (Y*| X =0,48) = –0,969 + 2,764(0,48) = 0,3579.A probabilidade é 0,6398, validando o resultado dos autores.

(d) P (Y*| X =0,79) = –0,969 + 2,764(0,79) = 1,2145. A probabilidade é 0,8878. Avariação prevista é 24,80, que está de acordo com os resultados dos autores.

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