Cap. 2 – Conceitos Fundamentais

2.1 – O fluido como um continuum

X

z

y

m,V

dm,dV

dV

dm/dV

dV

dmlim

'dVdV

)t,z,y,x(campo de massa específica =distribuição espacial de massa específica

2.2 – Campo de velocidade

)t,z,y,x(VV

campo de velocidade = distribuição espacial da velocidade (pontos do escoamento)

X

z

y kwjviuV

Regime permanente:

)z,y,x(0dt

d

)z,y,x(VV

0dt

Vd

Velocidade: grandeza vetorial (3 componentes)

zVVrVV zr

Coordenadas cilíndricas

2.2.1 – Escoamentos uni, bi e tri-dimensional

V

V

zVVrVV zr

Escoamento em uma tubulação

tri-dimensional

Considerando a direção z, sendo o eixo longitudinal da tubulação, geralmente tem-se:

0V;0Vr zVV z

uni-dimensional

2

máx R

r1uu

perfil de velocidades parabólico

zR

r1uV

2

máx

r

Seção de Entrada Seção de Saída

Escoamento uniforme

expansão

Escoamento uniforme:Velocidade é igual em qualquer elemento de área da seção

No caso da expansão da figura acima o escoamento é uni ou bi-dimensional ?

z)z(VV z

uni-dimensional

Seção de Entrada Seção de Saída

Escoamento bi-dimensional

Porque que no caso da expansão da figura acima o escoamento é bi-dimensional se temos escoamento somente na direção longitudinal z ?

zVV z

bi-dimensional z)z,r(VV z

2

máx )z(R

r1)z(uu

perfil de velocidades parabólico

2.2.2 - Visualização do escoamento

Linhas de emissão

Linhas de trajetória

Linhas de filete

Linhas de corrente

http://www.youtube.com/watch?v=DOUfyDHxkYQ&feature=related

2.3 – Campo de tensões

X

z

ydm,dV

dm

Forças de massa

dV..gdm.gFd m

Forças atuantes no elemento:

a) Forças de massa

b) Forças de superfície

X

z

y

Forças de superfície :

xx

xz

xy

yFd

XAd

x

y

'dVdVxy

Ad

Fdlim

xytensão de cisalhamento (na área perpendicular ao eixo X ... na direção Y)

2.4 – Viscosidade

dy

duyx

Duas placas planas infinitas com um fluido entre elas (superior é móvel , inferior é fixa)

U = velocidade [m/s]

x

yu(x,y)

v(x,y)

yx

Esta tensão (perpendicular a y na direção x) é proprocional ao gradiente de velocidade u (velocidade na direção x) na direção y.

A

Fyxyx

yxF

Tensão (perpendicular a y na direção x)yx

Viscosidade absoluta do fluido (N.s/m2)

(viscosidade dinâmica)

2.4.1 – Fluidos Newtonianos

dy

duyx

m

s/m][

m

N2

2m

s.N][

s.m

kg

m

s

s

m.kg][

22

s.cm

gppoise][ s.Pa

m

s.N][

2

s.cm

g10poise10cppoisecenti][ 22

Viscosidade cinemática

Viscosidade cinemática do fluido (m2/s)

s

m

m

kg/

s.m

kg][

2

3

s

cmststoke][

2

s

cm10stoke10cststokecenti][

222

s

m10

s

cm10cst][

26

22

Exercício 2.2

U = 0,3 [m/s]

x

yu(x,y)

v(x,y)0,3 [mm]

Dados: cp3,0

D = 0,88

Incógnitas: a) na placa superior

b) na placa inferior

c) F na placa superior

s.cm

g10x3,0 2

m

cm100x

g1000

kgx

s.cm

g10x3 3

s.m

kg10x3 4

dy

duyx ]s[000.1

)01000/3,0(

)03,0(

dy

du 1

24

s.m

kg1000x10x3 yx Pa3,0

m

N3,0

2

]m[1A 2

A.F yx

N3,0F

Exemplo 2.3 : Mancal de deslizamento

Calcular a potência de atrito de um mancal, com dimensões na figura, trabalhando com óleo SAE 30W em uma rotação de 400 RPM.

mm40i

mm44e

L=50 mm

.TP ATATR Potência de atrito = Torque x rotação (N.m x rd/s)

2

0 iATAT dF.rTdT

dF

ri

2

0

2irAT d.r.L.T 2.r.L.T 2

irAT

d.r.L.dA.dF irr

d

dr

)r(dur

)r(u

r

ei

i

rr rr

0r.

dr

)r(du

i

ei

ir rr

r.

2.r.L.T 2irAT

2.r.L.rr

r.T 2

iei

iAT

88,09,41002,0

05,0x02,0x4,0x2P 2

3

AT

2

ei

3i

AT .rr

Lr2P

]m/s.N[4,0 2 ]s/rd[9,4160

4002

m022,0rm02,0r ei

W

Viscosidade dinâmica de várias

substâncias

Viscosidade cinemática de

várias substâncias

2.4.2 – Fluidos não-Newtonianosn

yx dy

duk

Fluidos não-Newtonianos

não segue a proporcionalidade entre tensão de cisalhamento e a taxa de deformação

dy

duPyyx

taxa de deformaçãody

du

tensão de cisalhamento

Plástico de Bingham

Pseudo-plástico

Dilatante

Newtoniano

taxa de deformaçãody

du

viscosidade aparente

Pseudo-plástico

Dilatante

Newtoniano