Cap. 4. Deformação · Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deslocamento 2.1 Translação, rotação e deformação

Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 4. Deformação

1. Deslocamento

2. Gradiente de deslocamento

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

2.2 Significado físico da rotação pura

3. Tensor de deformação de Lagrange

4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações

4.2 Teoria geometricamente linear

4.3 Significado físico das pequenas deformações 4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

4.3.2 Variação do ângulo

4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

5. Deformação volúmica

6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

7. Equações de compatibilidade

8. Forma matricial das equações introduzidas

9. Estados de deformação

10. Vector das deformações


Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento

Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação

do carregamento muda:

a sua posição (translação e rotação)

o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)

a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação)

vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC

não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento

1. Deslocamento Tw,v,uu

Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,

ao contrário de tensão, que é a nossa ficção


s

s

Pu

Qu

s

u

Tz,y,xs

PQ uuu

uss

Q,Pss Não há deformação, comportamento do corpo rígido

zz

uy

y

ux

x

uu

Escolhe-se ponto P,

e Q na vizinhança

elementar de P

2. Gradiente de deslocamento M

P

Q

P

Q

analogamente ...v ...w

Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,

assim o vector que os liga tem as componentes:

PQ xxx PQ yyy PQ zzz

x0

z

y


Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,

por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido

0antisim

y

w

z

v

2

10

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

z

wsim

y

w

z

v

2

1

y

v

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

M

uss ...sMs expansão de Taylor

sI...sMsIs

Translação

Rotação Deformação

Posição Forma e volume

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

TMM

2

1

p. desviatórica

p. volúmica


z

wsim

y

w

z

v

2

1

y

v

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u

z

yzy

xzxyx

sim

Translação pura sIs

Rotação pura

Deformação pura

sIs

sIs

0antisim

y

w

z

v

2

10

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

0antisim

0

0

yz

xzxy

P

QQ

PPP

PP

PP

0u

su

su


2.2 Significado físico da rotação pura

Plano (x,y)

tg

y

u

y

u

x

v0xy

x

v

y

u

2

1xy

x

ys

P

s

Quy

v

x

0u

1

Q

P

x

y

y

x

0

0

v

u

0yx

00

kji

su z

DCR

0

0

0

xy

xz

yz


1 0 0 1

0 1 0 1

x x xs

y y y

As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação

do corpo rígido, quando as componentes << 1

ss

s

s

Q

Q

PP

uv

Desprezando a condição 1

Das relações em cima:

Rotação finita tem que usar

funções trigonométricas

Rotação do vector, não do referencial, por isso a [R] está transposta

cos sin

sin cos

Tx xs R s

y y


Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas

dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação,

ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas

ssususssTT

22

sMsMsMsssMTTT

sMMssMssMsTTTTT

ss2sMMMMs L

TTTT

Tensor de deformação

de Lagrange MM

2

1 T

L

uuussuTTT

MM2

1 T

3. Tensor de deformação de Lagrange


Joseph Lagrange (1736-1813)

Termo de ordem maior,

ou seja desprezável

L

4. Tensor das pequenas deformações

1Mij Quando componentes do gradiente de deformação

4.1 Caracter tensorial das deformações

MM2

1 T

L

chama-se tensor das pequenas deformações

Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)

obtém-se um tensor da 2ª ordem

Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...

A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico

são tensores simétricos, como se viu da definição

Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:

Le


A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes

a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas

Exemplos: translação pura, rotação pura

4.2 Teoria geometricamente linear

Teoria das pequenas deformações

Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se

igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se

para a forma não-deformada.

Teoria dos pequenos deslocamentos pequenas deformações

Lquando , usa-se então

Teoria da II ordem

Chama-se teoria geometricamente linear

Igualmente teoria da I ordem

As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)

escrevem-se na forma deformada

Estabilidade

As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6


4.3 Significado físico das pequenas deformações

x

ux

Extensão, ou seja

Componente normal

Positiva quando aumenta o comprimento

Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento

L infinitesimal

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

A definição corresponde à variação

relativa do comprimento projectado

na direcção original LP

Q

Q

P

LL

Q~

L

L

PQ

PQQPlim

PQ

PQQ~

Plim

x

u

0PQ0PQP

P

x

x

P

x1LL

LLLLLL

ângulo é pequeno

objectivo da prova

LL P

x

T

s s s Extensão na direcção do versor

não depende do referencial

s


2 2 22

2 2 21 1 1 1 1 1

s x s s s x

x x x x

pequeno

2

x

T2222

x2ss2xsss

xx

xs

s

ss

Queremos provar, que:

Para as pequenas deformações temos:

xx

2

xxx2

2

x 1111211211x

x2

Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x

de comprimento original Δx, ou seja

T0,0,xs

Prova

Voltando à relação anterior:


2 cos

sin

A T B A B

s ss s

Pode provar-se que

A A A

s s M s

2 cos 2

TA T B A A B B

A T B A T B A T T B

A T T B

A T B A T T B

A T B A T B A T B

s s s M s s M s

s s s M s s M s

s M M s

s s s M M s

s s s s s s

B B B

s s M s

4.3.2 Variação do ângulo

Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores

,A B

s s

Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação

Não depende do referencial


cos 2 cos sin cos

A T B A B

s ss s

2 sin cos

A T B A B

s ss s

2 cos

sin

A T B A B

s ss s

cos

1 1 cos cos sin sin

1 1 cos sin

cos sin cos sin

cos sin cos sin cos

A T B A B

A BA B

s s

A B

s s

A B A B

s s s s

A B A B

s s s s

s s s s

s s

Ângulo originalmente recto

2A T B

s s 2

Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação

Comparando


Distorção

Componente tangencial, angular

v

u

x

y

Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,

assim os dois ângulos são positivos e somam-se

4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

x

v

y

uxy

xyPode provar-se, que

x

y

2A T B

s s Já foi provado, que

1,0,0A T

s

0,1,0B T

s

2 2A T B

xys s

A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se

Introduzindo ,


A representação da deformação angular “pura”

tem que ser de modo que cada um dos ângulos

correspondesse a esta média, ou seja tem que se

retirar a rotação do corpo rígido

10

2 2xy yx

u v

y x

Para remover a rotação, roda o eixo azul do ângulo que fazem as semi-rectas azuis

pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho) xy

v

u

x

y

Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos xy

y

utg

x

vtg

xyxy2

x

v

y

u

Distorção “de engenharia”

Componente tensorial

tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto

2

2

rotação positiva ou seja ângulo negativo


4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

yxu xyx xyv xyy

0,0,0:casoxyyx

Remove-se a translação e a rotação,

dimensões unitárias elementares (infinitesimais)

campo de deslocamento linear que representa

deformação pura

x

xy

y

xy

A

rotação

deformação

Rectângulo

elementar

A’ inicial

xy

translação

x

y

B

B’

C

C’

xx

vv

xx

uu

yy

uu

Ajustar os

ângulos

0,0 0,1

1,0 1,1

u

v

yy

vv


zyx2221

zyx111V

321323121321

321

5. Deformação volúmica

Volume depois da deformação:

Campo do deslocamento linear Campo de deformações uniforme

Os planos transformam-se em planos, as rectas em rectas

Os planos ou rectas inicialmente paralelos, mantém-se paralelos após a deformação

Referencial principal

Os ângulos rectos transformam-se em ângulos rectos (distorções são nulas)

zyxV Paralelepípedo elementar: volume inicial:

Variação do volume:

VIzyx222VVV 1321323121321

Deformação volúmica: 321zyx1V I VV V

Separação na parte volúmica e desviatórica, a parte desviatórica tem o

1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa alteração de volume

As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma


6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

Podem-se medir apenas as extensões

a

b

c

x

x

Devido ao sistema de coordenadas introduzido: xa

cossin2sincosxy

2

y

2

xc

cossin2sincosxy

2

y

2

xb

Sabemos: incógnitas: cba,,

xyyx,,

As medições têm que corresponder a

1 ponto ou a distribuição das deformações

têm que ser uniforme

Base de medição: L

Comprimento novo: L+ΔL


7. Equações de compatibilidade

2

y

2

2

x

2

xy

2

xyyx

zyxxzy2

xyzxyzx

2

2

y

2

2

x

2

xy

2

xyyx

Em 2D

Mais duas equações pela

“permutação” positiva

Equações de integrabilidade

Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada

paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios

deslocamentos deformações

deslocamentos deformações ???

6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886

Verificação da possibilidade física

Mais duas equações pela

“permutação” positiva


introduzindo

0xy

x0

z

yz0

~

0~~ T

Equações de compatibilidade

0x/y/z/00

x/0z/0y/0

y/z/000x/

Equações deformações - deslocamento Equações de equilíbrio

0f uT

introduzindo

8. Forma matricial das equações introduzidas

Componentes de tensão

e deformação na forma vectorial

T

xyxzyzzyx,,,,,

T

xyxzyzzyx,,,,,

02


nt

n̂t

0nnn00

n0n0n0

nn000n

n̂

xyz

xzy

yzx

Tz/,y/,x/

0f

Equações de equilíbrio

Vector das tensões

introduzindo


9. Estados de deformação

extensão pura

deformação

volúmica pura

distorção pura

as componentes do tensor das deformações não variam com a posição

são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear

10. Vector das deformações

n

Não se usa a componente tangencial, mas a variação

do ângulo entre as fibras originalmente rectas

definidas pelos versores ,

distorção pura

mas com a rotação

Componentes cartesianas não se usam muito

Componentes intrínsecas

Componente normal equivale a extensão

da fibra na direcção definida por {n} nnnnTT

n

BAnn2

An B

n

Homogéneo ou uniforme:

Não dependem do referencial

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Cap. 4. Deformação · Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deslocamento 2.1 Translação, rotação e deformação